Складання поступального та обертального рухів. Гвинтовий рух

Поступальний рух,
- обертання навколо нерухомої осі,
- Плоский рух,
- сферичний рух,
- Вільний рух.

Поступальний рух твердого тіла - Це рух, при якому будь-яка пряма, пов'язана з тілом, при його русі залишається паралельною своєму початковому положенню.

Приклади поступального руху: рух педалей велосипеда щодо його рами, рух поршнів у циліндрах двигуна внутрішнього згоряння щодо циліндрів, рух кабін колеса огляду щодо Землі тощо.

Завдання кінематики поступального руху твердого тіла зводиться завдання кінематики матеріальної точки.

Теорема . При поступальному русі всі точки тіла описують однакові (при накладенні збігаються) траєкторії і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямом швидкості та прискорення.

Доведення.

Якщо вибрати дві точки твердого тіла Аі У, то радіус-вектори цих точок пов'язані

Траєкторія точки А- це крива, яка задається функцією , а траєкторія точки B- Це крива, яка задається функцією . Траєкторія точки B виходить перенесенням траєкторії точки A у просторі вздовж вектора AB, який не змінює своєї величини та напрямки у часі (AB = const).Отже, траєкторії всіх точок твердого тіла однакові.

Продиференціюємо за часом вираз

Отримуємо

Продиференціюємо за часом швидкість та отримаємо вираз a B = a A.Отже, швидкості та прискорення всіх точок твердого тіла однакові.

Для завдання поступального руху твердого тіла достатньо встановити рух однієї з його точок

Обертове рух- Вид механічного руху. При обертальному русі матеріальної точки вона описує коло. При обертальному русі абсолютно твердого тіла всі його точки описують кола, розташовані в паралельних площинах. Центри всіх кіл лежать при цьому на одній прямій, перпендикулярній до площин кіл і званою віссю обертання. Вісь обертання може розташовуватися всередині тіла та за його межами. Вісь обертання у цій системі відліку то, можливо рухомий, і нерухомої. Наприклад, у системі відліку, пов'язаної із Землею, вісь обертання ротора генератора на електростанції нерухома.

При виборі деяких осей обертання можна отримати складний обертальний рух - сферичний рух, коли точки тіла рухаються по сферах. При обертанні навколо нерухомої осі, що не проходить через центр тіла або матеріальну точку, що обертається, обертальний рух називається круговим.

Обертання характеризується кутом , що вимірюється в градусах або радіанах, кутовою швидкістю (вимірюється в рад/с) та кутовим прискоренням (одиниця виміру - рад/с²).

6. Зв'язок між кутовим та лінійним параметром

Для зміни радіус-вектора проведеного в точку A з довільної точки О осі обертання тіла маємо . Поділимо обидві частини цього виразу з урахуванням того, що і , - Формула Ейлера.

Модуль швидкості. Знайдемо повне прискорення точки A із формули Ейлера, скориставшись правилом диференціювання добутку двох функцій або .

Визначимо, яке доданок є нормальним, а яке –тангенціальне, прискорення:

- другий доданок, - перше доданок;

або, міркуючи інакше: тому що вісь обертання нерухома, то - це; - .

Ці проекціїрівні; ,

а модуль повного прискорення - .

Вектори повного прискорення точок твердого тіла, що лежать на тому самому радіусі, проведеному перпендикулярно осі обертання, паралельні один одному, а їх модуль зростає пропорційно відстані від осі. Кут характеризує напрям щодо радіусу і дорівнює

, він залежить від .

Отже, лінійні та кутові параметри пов'язанінаступним чином :

Можна провести наступну аналогіюміж поступальним та обертальним видами руху: так, при : , ; при: , .

7. Динаміка. Маса та імпульс тіла. Основні закони динаміки.

Динаміка – це розділ механіки, в якому вивчають рух тіл під дією прикладених до них сил. Під час вивчення величин, які характеризуються як величиною, а й напрямом (наприклад, швидкість, прискорення, сила тощо.) застосовують їх векторне зображення.

Маса

Маса- фізична величина, що є мірою інертності тіл ( інертна маса) та їх гравітаційних властивостей ( гравітаційна маса)

Інертність -податливість тіла до зміни його швидкості (за модулем чи напрямом).

Одиниці вимірумаси в СІ:

Властивості маси:
- Адитивність: - Маса системи дорівнює сумі мас окремих її елементів;
- незалежність від швидкості руху;
- сталість маси для ізольованої системи тіл і незалежність від процесів, що відбуваються в них: - закон збереження маси.

Імпульс тіла

- кількість руху(за Ньютоном) ; імпульс(Сучасна назва).

В основі класичної динаміки в механіці (основний розділ механіки) лежать три закони Ньютона.

Перший закон Ньютона:всяка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки впливз боку інших тіл не змусить її змінити цей стан.

Прагнення тіла зберігати стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху називається інертністю. Тому перший закон Ньютона називають також законом інерції.

Механічне рух щодо, та її характер залежить від системи отсчета. Перший закон Ньютона виконується не у будь-якій системі відліку, а ті системи, стосовно яких він виконується, називаються інерційними системами відліку.

Інерційною системою відліку є така система відліку, щодо якої матеріальна точка, вільна від зовнішніх впливів,або спочиває, або рухається рівномірно і прямолінійно. Перший закон Ньютона затверджує існування інерційних систем відліку.

З досвіду відомо, що з однакових впливах різні тіла неоднаково змінюють швидкість свого руху, т. е., інакше кажучи, набувають різні прискорення. Прискорення залежить як від величини впливу, а й від властивостей самого тіла (від його маси).

Щоб описувати впливи, що згадуються у першому законі Ньютона, вводять поняття сили. Під дією сил

тіла або змінюють швидкість руху, тобто набувають прискорення (динамічний прояв сил), або деформуються, тобто змінюють свою форму та розміри (статичний прояв сил).

У кожний момент часу сила характеризується числовим значенням, напрямом у просторі та точкою

програми. Отже, сила - це векторна величина, що є мірою механічного впливу на тіло з боку інших тіл або полів, в результаті якого тіло набуває прискорення або змінює свою форму та розміри.

Другий закон Ньютона- Основний закон динаміки поступального руху -відповідає питанням, як змінюється механічне рух матеріальної точки (тіла) під впливом прикладених до неї сил.

Якщо розглянути дію різних сил одне й те тіло, то виявляється, що прискорення, здобуте тілом, завжди пропорційно рівнодіє прикладених сил: .

При дії тієї самої сили на тіла з різними масами їх прискорення

виявляються різними, а саме

Враховуючи, що сила та прискорення – величини векторні, можемо записати

Співвідношення висловлює другий закон Ньютона: прискорення, що придбавається матеріальною точкою (тілом), що пропорційно викликає його силі, збігається з нею у напрямку і обернено пропорційно масі

матеріальної точки (тіла).

У СІ коефіцієнт пропорційності до - 1. Тоді або

Враховуючи, що маса матеріальної точки (тіла) у класичній механіці є величина постійна, у виразі її можна внести під знак похідної:

Цей вираз - більш загальне формулювання другого закону Ньютона: швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює чинній її силі. Вираз називається також рівнянням руху матеріальної точки.

Якщо на тіло діє кілька сил, то у формулах під Fмається на увазі їх результуюча

(Векторна сума сил).

Одиниця сили у СІ - Ньютон (Н): 1 Н - сила, яка масі 1 кг повідомляє прискорення 1 у напрямку дії сили: 1Н = 1кг*. Другий закон Ньютона справедливий лише в інерційних системах відліку.

Взаємодія між матеріальними точками (тілами) визначається третім законом Ньютона: будь-яка дія матеріальних точок (тіл) одна на одну носить характер взаємодії; сили, з якими діють одна на одну матеріальні точки, завжди рівні за модулем, протилежно спрямовані і діють вздовж прямої, що з'єднує ці точки: , де - сила, що діє на першу матеріальну точку з боку другої; - Сила, що діє на другу матеріальну точку з боку першої. Ці сили додані до різнихматеріальним точкам (тілам), завжди діють парамиі є силами однієї природи.

Третій закон Ньютона, як і перші два, справедливий лише в інерційних системах відліку.

8. Класифікація сил. Все про сили.

Сила- Це векторна величина, що характеризує міру впливу на матеріальну точку в будь-який момент часу з боку інших матеріальних об'єктів.

Розмірністьсили:

,

Результуюча всіх сил, що діють на досліджувану точку, принципом суперпозиції

Де - сила, з якою діяла б на дану точку -е тіло у відсутностіінших тіл .

Лінія діїсили – пряма, вздовж якої спрямований вектор сили.

Дві сили рівні за модулем і протилежно спрямовані– якщо вони, прикладені до тіла, не викликають прискорення.

Види взаємодій:гравітаційне, електромагнітне, сильне, слабке.

Два прояви сил:
- Статичне (деформація тіл),

Динамічне (зміна швидкості руху).

Класифікація сил

- Фундаментальні сили:
a) гравітаційні,
б) електричні.

- Наближені сили:

а) сила тяжіння;

б) сила тертя;

в) пружна сила (сила пружності);

г) сила опору.

а) Сила тяжінняу системі відліку, пов'язаної із Землею,

Сила реакціїпідвісу чи опори - це сила, з якою тіло діють інші тіла, обмежують його рух.

Вага тіла- Сила, з якою тіло діє на опору або підвіс.

Якщо підвіс чи опора спочиває щодо Землі (або рухається без прискорення):

б) Сила тертя

1) зовнішня (виникає у місцях зіткнення тіл і перешкоджає їх відносному переміщенню);

Тертя ковзання (виникає під час поступального руху одного тіла поверхнею іншого);

Тертя кочення (виникає, коли одне тіло котиться поверхнею іншого);

Тертя спокою (виникає під час спроб викликати переміщення);

2) внутрішня (виникає при переміщенні частин рідини чи газу)

Емпіричний закон всім типів сил зовнішнього тертя:

Де - сила нормального тиску, що притискає дотичні поверхні один до одного, - коефіцієнт тертя ковзання (спокою, кочення), що залежить від природи і стану поверхонь (шорсткості та ін.).

в) Сила пружності

Де - радіус-вектор, що характеризує зміщення матеріальної точки з положення рівноваги, - коефіцієнт пропорційності. Рухом зі змінною масою.

tмаса ракети т,а її швидкість v,то після закінчення часу dt т - dm, a швидкість стане рівною v+dv. dt

Де і -

Другий доданок у правій частині називають реактивною силою Fp. Якщо іпротилежний vу напрямку, то ракета прискорюється, а якщо збігається з v,то гальмується. Таким чином, ми отримали рівняння руху тіла змінної маси , яке вперше було виведено І. Б. Мещерським (1859-1935):

Де - реактивна сила, Яка виникає в результаті дії на тіло маси, що приєднується (відділяється).

10. Рух тіла із змінною масою. Формула Ціолковського.

Рух деяких тіл супроводжується зміною їх маси, наприклад, маса ракети зменшується внаслідок закінчення газів, що утворюються при згорянні палива, і т. п. Такий рух називається рухом із змінною масою.

Виведемо рівняння руху тіла змінної маси з прикладу руху ракети. Якщо у момент часу tмаса ракети т,а її швидкість v,то після закінчення часу dtїї маса зменшиться на dm і стане рівною т - dm, a швидкість стане рівною v+dv.Зміна імпульсу системи за час dt

Де і -швидкість витікання газів щодо ракети.

Якщо на систему діють зовнішні сили, то тому чи

Вважаючи F = 0 і вважаючи, що швидкість газів, що викидаються, відносно ракети постійна (ракета рухається прямолінійно), отримаємо , звідки

Значення постійної інтеграції Звизначимо із початкових умов. Якщо початковий момент часу швидкість ракети дорівнює нулю, а її стартова маса , то С= . Отже,

Це співвідношення називається формулою Ціолковського. Вона показує, що: 1) чим більша кінцева маса ракети, тим більше має бути стартова маса ракети; 2) чим більша швидкість закінчення газів, тим більше може бути кінцева маса при даній стартовій масі ракети.

11. Динаміка обертального руху твердого тіла.

Основний Закон.

рух твердого тіла, як і рух крапки, може бути складним.

Нехай тіло здійснює деякий рух щодо системи координат 0 x 1 y 1 z 1 , яка, у свою чергу, рухається щодо нерухомих осей xyz.Відноснимрухом тіла називають його рух по відношенню до рухомої системи координат 0 x 1 y 1 z 1 . Для з'ясування переносногоруху тіла в кожний момент часу слід вважати тіло жорстко скріпленим з рухомою системою відліку, і рух, який здійснюватиме тіло з рухомою системою відліку щодо нерухомої системи, і буде переносним рухом. Рух тіла щодо нерухомої системи координат називається абсолютним.

Основним завданням кінематики складного руху твердого тіла є встановлення співвідношень між кінематичними характеристиками абсолютного, відносного та переносного рухів. Складне рух твердого тіла може складатися з поступальних та обертальних рухів або може бути отримано в результаті складання поступального та обертального рухів. У деяких задачах кінематики заданий складний рух твердого тіла розкладають на складові руху (аналіз); в інших – потрібно визначити складний рух як результат складання простіших (синтез). Як при аналізі, так і при синтезі рухів йдеться про розкладання та складання рухів, що розглядаються в даний момент (миттєвих рухів).

Складання поступальних рухів твердого тіла

Нехай тверде тіло одночасно бере участь у двох миттєво поступальних рухах, з яких одне є поступальним зі швидкістю v 1 , друге - переносним зі швидкістю v 2 (рис 2.73). Виділимо якусь точку Мтіла. Знайдемо абсолютну швидкість точки М

v a = v r + v e = v 1 + v 2 . (2.113)

Так як і відносний, і переносний рух твердого тіла є миттєво поступальними, то відносні, переносні і, отже, згідно з формулою (2.113), абсолютні швидкості всіх точок тіла будуть рівними між собою в кожний момент часу (рівні за величиною і паралельні за напрямом) , тобто. абсолютний рух тіла також є миттєво поступальним.

Очевидно, що цей висновок застосовний до складного руху твердого тіла, що складається з трьох і більше миттєво поступальних рухів, тоді в загальному випадку

Отже, внаслідок складання миттєвих поступальних рухів твердого тіла результуючий рух виходить миттєво поступальним.

Зауваження. Миттєво поступальний рух твердого тіла відрізняється від поступального тим, що при поступальному русі в кожний момент часу рівні між собою швидкості та прискорення всіх точок тіла, а при миттєво поступальному русі в даний момент часу рівні між собою тільки швидкості всіх точок тіла.

66, 67 Складання обертань навколо паралельних осей

Розглянемо випадок, коли відносний рух тіла є обертанням

з кутовою швидкістю навколо осі, закріпленої на кривошипі (рис.1а), а переносне - обертанням кривошипа навколо осі, паралельної, з кутовою швидкістю. Тоді рух тіла буде плоскопаралельним по відношенню до площини перпендикулярної до осей.

Візьмемо, що обертання направлені в один бік. Зобразимо перетин тіла площиною, перпендикулярною до осей (рис. 1 б). Сліди осей у перерізі позначимо літерами та . Тоді і . При цьому вектори і паралельні один одному перпендикулярні і спрямовані в різні сторони. Тоді точка є миттєвим центром швидкостей , а отже, вісь , паралельна осям і є миттєвою віссю обертання. Для визначення кутової швидкості абсолютного обертання тіла навколо осі та положення самої осі, тобто. точки , скористаємося властивістю миттєвого центру швидкостей

.

Підставивши в ці рівності значення і остаточно отримаємо

Отже, при додаванні двох спрямованих в один бік обертань навколо паралельних осей результуючий рух тіла буде миттєвим обертанням з абсолютною швидкістю навколо миттєвої осі, паралельною даним, положення якої визначається пропорціями (2).

З часом миттєва вісь обертання змінює своє положення, описуючи циліндричну поверхню.

Розглянемо тепер випадок, коли обертання спрямовані різні сторони (рис.2).

Припустимо, що . Тоді, міркуючи, як у попередньому випадку, для кутової швидкості абсолютного руху тіла навколо осі та положення самої осі, отримаємо

Таким чином, при додаванні двох спрямованих у різні сторони обертань навколо паралельних осей, результуючий рух тіла буде миттєвим обертанням з абсолютною кутовою швидкістю навколо миттєвої осі, положення якої визначається пропорціями (4).

Зауважимо, що у цьому випадку точка ділить відстань між паралельними осями зовнішнім чином.

Розглянемо окремий випадок, коли обертання навколо паралельних осей направлені в різні боки, але за модулем (рис.3).

Така сукупність обертань називається парою обертань, а вектори утворюють пару кутових швидкостей. І тут отримаємо і , тобто = . Тоді миттєвий центр швидкостей знаходиться в нескінченності і всі точки тіла в даний момент мають однакові швидкості.

Отже, результуючий рух тіла буде поступальним (або миттєво поступальним) рухом зі швидкістю, чисельно рівною і спрямованою перпендикулярно до площини, що проходить через вектори і . Таким чином, пара обертань еквівалентна миттєво поступальному руху зі швидкістю, що дорівнює моменту пари кутових швидкостей цих обертань.

Прикладом пари кутових швидкостей є рух велосипедної педалі щодо рами велосипеда (рис.4).

Цей рух являє собою сукупність переносного обертання разом з кривошипом навколо осі та відносного обертання педалі по відношенню до кривошипу навколо осі. Педаль весь час руху залишається паралельної своєму початковому становищу, тобто. здійснює поступальний рух.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Кривошип обертається навколо осі за годинниковою стрілкою з кутовою швидкістю, а диск радіусу обертається навколо осі за годинниковою стрілкою з тією ж кутовою швидкістю щодо кривошипа. Знайти величину та напрямок абсолютних швидкостей точок і (рис.5).

Рішення. Так як кутові швидкості переносного та відносного обертань рівні по модулю і спрямовані в одну сторону, то миттєвий центр обертання диска лежить посередині між , тобто. . Модуль абсолютної кутової швидкості обертання диска навколо точки дорівнює. Звідси знаходимо:

, ,

, .

Приклад 2. Кривошип обертається навколо осі з кутовою швидкістю. На палець кривошипа вільно насаджена шестерня радіусу, зчеплена з нерухомим зубчастим колесом радіусу. Знайти абсолютну кутову швидкість шестірні та її кутову швидкість щодо кривошипа (рис.6).

Рішення. Оскільки шестерня зчеплена з нерухомим колесом, абсолютна швидкість точки зачеплення шестерні з цим колесом дорівнює нулю, тобто. точка є для шестірні миттєвим центром обертання. Звідси або ,

Зауважимо, що напрямок обертання шестерні збігається з напрямком обертання кривошипу.

Тоді абсолютну кутову швидкість шестерні знаходимо з рівності

Гвинтовий рух- рух твердого тіла, що складається з прямолінійного поступального руху з деякою швидкістю і обертального руху з деякою кутовою швидкістю навколо осі аa 1 , паралельному напрямку постулат. швидкості (рис. 1). Тіло, що здійснює стаціонарне Ст д., тобто Ст д., при до-ром напрям осі aa 1залишається незмінним, зв. гвинтом; вісь аа 1зв. віссю гвинта; відстань, що проходить будь-якою точкою тіла, що лежить на осі аa 1 , під час одного обороту, зв. кроком hгвинта, величина – параметром гвинта. Якщо вектор спрямований убік, звідки обертання тіла видно тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки, то при векторах, спрямованих в одну сторону, гвинт зв. правим, а різні боки,- лівим.

Швидкість та прискорення будь-якої точки Mтіла, що віддаляється від осі аa 1 на відстані r, чисельно рівні

Коли параметр рпостійний, крок гвинта також постійний. У цьому випадку будь-яка точка Mтіла, що не лежить на осі aa 1 описує гвинтову лінію, дотична до якої в будь-якій точці утворює з площиною yz, перпендикулярної осі aa 1, кут Будь-який складний рух твердого тіла складається в загальному випадку з серії елементарних або миттєвих Ст д. Вісь миттєвого Ст д. зв. миттєвою гвинтовою віссю. На відміну від осі стаціонарного Ст д., миттєва гвинтова вісь безперервно змінює своє положення як по відношенню до системи відліку, в якій розглядається рух тіла, так і по відношенню до самого тіла, утворюючи при цьому 2 лінійчасті (дотичні до прямої лінії ) поверхні, зв. відповідно нерухомим та рухомим аксоідами (рис. 2). Геом. картину руху тіла можна в загальному випадку отримати коченням з поздовжнім прослизанням рухомого аксоїда по нерухомому, здійснюючи таким шляхом серію тих послідовностей. Ст д., з яких брало складається рух тіла.