Binar dinamik tizimlarni sifat tahlilida mantiqiy cheklash usuli. Dinamik tizimlarning sifat tahlili
BIOLOGIK JARAYONLAR KINETIKASI
Biologik tizimlar dinamikasini qanday tasvirlash mumkin? Vaqtning har bir daqiqasida biologik tizim ma'lum xususiyatlar to'plamiga ega. Masalan, bir turning populyatsiyasini kuzatish orqali uning hajmini, egallagan hududining maydonini, mavjud oziq-ovqat miqdorini, atrof-muhit haroratini va boshqalarni qayd etish mumkin. Kimyoviy reaktsiyaning borishini konsentratsiyalar bilan tavsiflash mumkin. ishtirok etadigan moddalar, bosim, harorat va muhitning kislotalilik darajasi. Tadqiqotchi tizimni tavsiflash uchun tanlagan barcha xususiyatlarning qiymatlari to'plami - bu tizimning har bir daqiqadagi holati. Model yaratishda belgilangan to'plamda o'zgaruvchilar va parametrlar tanlanadi. O'zgaruvchilar - bu o'zgarishlar birinchi navbatda tadqiqotchini qiziqtiradigan miqdorlar, parametrlar "tashqi muhit" shartlari. Aynan tanlangan o'zgaruvchilar uchun vaqt o'tishi bilan tizimdagi o'zgarishlarni aks ettiruvchi tenglamalar tuziladi. Masalan, mikrobial madaniyatning o'sishi uchun model yaratishda odatda uning soni o'zgaruvchi sifatida, ko'payish tezligi esa parametr sifatida ishlatiladi. Ehtimol, o'sish sodir bo'ladigan harorat sezilarli bo'lib chiqishi mumkin, keyin bu ko'rsatkich parametr sifatida modelga kiritilgan. Va agar, masalan, shamollatish darajasi har doim etarli bo'lsa va o'sish jarayonlariga hech qanday ta'sir qilmasa, u umuman modelga kiritilmagan. Qoida tariqasida, eksperiment davomida parametrlar o'zgarishsiz qoladi, ammo shuni ta'kidlash kerakki, bu har doim ham shunday emas.
Diskret va uzluksiz modellar yordamida biologik tizimning dinamikasini (ya'ni uning holatining vaqt o'tishi bilan o'zgarishini) tavsiflash mumkin. Diskret modellar vaqtni diskret miqdor deb hisoblaydi. Bu o'zgaruvchilar qiymatlarini ma'lum vaqt oralig'ida (masalan, soatiga bir marta yoki yiliga bir marta) yozib olishga mos keladi. Uzluksiz modellarda biologik o'zgaruvchi vaqtning uzluksiz funktsiyasi bo'lib, masalan, x(t).
Ko'pincha katta ahamiyatga ega boshlang'ich sharoitlar modellar - vaqtning boshlang'ich momentidagi o'rganilayotgan xarakteristikaning holati, ya'ni. da t = 0.
Ba'zi xususiyatlarning uzluksiz o'zgarishini o'rganishda x(t) uning o'zgarish tezligi haqidagi ma'lumotlarni bilishimiz mumkin. Ushbu ma'lumot odatda differentsial tenglama sifatida yozilishi mumkin:
Bunday rasmiy belgi o'rganilayotgan ayrim belgining o'zgarish tezligi vaqt va bu belgining kattaligiga bog'liqligini bildiradi.
Shaklning differentsial tenglamasining o'ng tomoni aniq vaqtga bog'liq bo'lmasa, ya'ni. adolatli:
keyin bu tenglama deyiladi avtonom(bunday tenglama bilan tasvirlangan tizim deyiladi avtonom). Vaqtning har bir momentidagi avtonom tizimlarning holati bitta qiymat - o'zgaruvchining qiymati bilan tavsiflanadi x hozirgi paytda t.
Keling, o'zimizga savol beraylik: differensial tenglama berilsin x(t), barcha funksiyalarni topish mumkinmi x(t) bu tenglama qanoatlantiriladi? Yoki: agar ma'lum bir o'zgaruvchining boshlang'ich qiymati ma'lum bo'lsa (masalan, populyatsiyaning boshlang'ich kattaligi, moddaning konsentratsiyasi, muhitning elektr o'tkazuvchanligi va boshqalar) va o'zgarishlarning tabiati haqida ma'lumot mavjud bo'lsa. bu o'zgaruvchi, vaqtning barcha keyingi nuqtalarida uning qiymati qanday bo'lishini taxmin qilish mumkinmi? Berilgan savolga javob quyidagicha bo'ladi: agar tenglama uchun Koshi teoremasining boshlang'ich shartlari berilgan bo'lsa va shartlari bajarilsa (ma'lum bir mintaqada berilgan funktsiya va uning qisman hosilasi bu mintaqada uzluksiz), u holda u erda berilgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning yagona yechimidir. (Eslatib o'tamiz, differensial tenglamani qanoatlantiradigan har qanday uzluksiz funksiya shu tenglamaning yechimi deb ataladi.) Bu shuni anglatadiki, agar biologik tizimning boshlang'ich holatining xarakteristikalari ma'lum bo'lsa va model tenglamasi quyidagi shartlarga javob bersa, biz uning xatti-harakatlarini yagona bashorat qilishimiz mumkin. Koshi teoremasi.
Statsionar holat. Barqarorlik
Biz avtonom differentsial tenglamani ko'rib chiqamiz
Statsionar holatda tizimdagi o'zgaruvchilarning qiymatlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi, ya'ni o'zgaruvchilar qiymatlarining o'zgarish tezligi 0: . Agar (1.2) tenglamaning chap tomoni nolga teng bo'lsa, o'ng tomoni ham nolga teng: . Ushbu algebraik tenglamaning ildizlari statsionar holatlar differensial tenglama (1.2).
1.1-misol: Tenglamaning statsionar holatlarini toping.
Yechim: Tarkibida hosilasi bo lmagan atamani tenglikning o ng tomoniga o tkazamiz: . Ta'rifga ko'ra, statsionar holatda quyidagi tenglik bajariladi: . Shunday qilib, tenglik saqlanib qolishi kerak 
. Tenglamani yechamiz:
,
Demak, tenglama 3 ta statsionar holatga ega: , .
Biologik tizimlar doimo turli xil tashqi ta'sirlarni va ko'plab tebranishlarni boshdan kechiradi. Shu bilan birga, ular (biologik tizimlar) gomeostazga ega, ya'ni. chidamli. Matematik tilda bu o'zgaruvchilar kichik og'ishlar bilan o'zlarining statsionar qiymatlariga qaytishini anglatadi. Biologik tizimning bu xatti-harakati uning matematik modelida aks etadimi? Modelning statsionar holatlari barqarormi?
Barqaror holat barqaror, agar muvozanat holatidan etarlicha kichik og'ish uchun tizim hech qachon yagona nuqtadan uzoqqa bormaydi. Barqaror holat tizim ishining barqaror rejimiga mos keladi.
Lyapunov tenglamasining muvozanat holati barqaror bo'ladi, agar har bir kishi uchun har doim shunday bo'lsa, u holda hamma uchun topa olsa.
Statsionar holatning barqarorligini o'rganishning analitik usuli - Lyapunov usuli mavjud. Buni asoslash uchun eslaymiz Teylor formulasi.
To'g'ridan-to'g'ri gapiradigan bo'lsak, Teylor formulasi ma'lum bir nuqtaga yaqin joylashgan funktsiyaning harakatini ko'rsatadi. Funktsiyaning barcha tartiblar nuqtasida hosilalari bo'lsin n- th, shu jumladan. Keyin Teylor formulasi quyidagilar uchun amal qiladi:
dan yuqori tartibli cheksiz kichikni ifodalovchi qolgan haddan voz kechsak, taxminan Teylor formulasini olamiz:
Taxminiy formulaning o'ng tomoni deyiladi Teylor polinomi funktsiyalari, deb belgilanadi.
1.2-misol: Teylor qatoridagi funktsiyani 4-darajali nuqtaga yaqin joyda kengaytiring.
Yechim: Biz Teylor seriyasini 4-tartibga qadar umumiy shaklda yozamiz:
Berilgan funksiyaning nuqtadagi hosilalarini toping:
,
Olingan qiymatlarni asl formulaga almashtiring:
Statsionar holatning barqarorligini o'rganishning analitik usuli ( Lyapunov usuli) quyidagicha. Tenglamaning statsionar holati bo'lsin. O'zgaruvchining kichik og'ishini o'rnatamiz x uning statsionar qiymatidan: , bu yerda. Nuqta o‘rniga ifodani qo‘ying x asl tenglamaga: 
. Tenglamaning chap tomoni quyidagi shaklni oladi: 
, chunki statsionar holatda o'zgaruvchining qiymatining o'zgarish tezligi nolga teng: . Biz o'ng tomonni statsionar holatga yaqin joyda Teylor qatoriga kengaytiramiz, shuni hisobga olib, biz tenglamaning o'ng tomonida faqat chiziqli hadni qoldiramiz:
Qabul qildi chiziqli tenglama yoki birinchi taxminiy tenglama. Qiymat qandaydir doimiy qiymatdir, uni belgilang a: . Chiziqli tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega: . Bu ibora biz bergan statsionar holatdan chetlanish vaqt o'tishi bilan o'zgarishi qonunini tavsiflaydi. Og'ish vaqt o'tishi bilan parchalanadi, ya'ni. da, ko'rsatkichdagi ko'rsatkich manfiy bo'lsa, ya'ni. . Ta'rifga ko'ra, barqaror holat bo'ladi barqaror. Agar , u holda vaqt ortishi bilan og'ish faqat kuchayadi, statsionar holat beqaror. Birinchi yaqinlashish tenglamasi statsionar holatning barqarorligi haqidagi savolga javob bera olmasa. Teylor seriyasini kengaytirishda yuqori tartibli shartlarni ko'rib chiqish kerak.
Statsionar holatning barqarorligini o'rganishning analitik usulidan tashqari, grafik usuli ham mavjud.
1.3-misol. Mayli. Funksiya grafigi yordamida tenglamaning statsionar holatlarini toping va ularning barqarorlik turini aniqlang 
.
Yechim: Keling, maxsus nuqtalarni topamiz:
,
,
Funksiya grafigini quramiz (1.1-rasm).
Guruch. 1.1. Funksiya grafigi (1.3-misol).
Topilgan statsionar holatlarning har biri barqaror yoki yo‘qligini grafikdan aniqlaymiz. Vakil nuqtaning birlik nuqtadan chapga kichik og'ishini o'rnatamiz: . Koordinatali nuqtada funktsiya ijobiy qiymatni oladi: yoki . Oxirgi tengsizlik shuni anglatadiki, vaqt o'tishi bilan koordinata ortishi kerak, ya'ni vakili nuqta nuqtaga qaytishi kerak . Endi vakillik nuqtasining birlik nuqtadan o'ngga kichik og'ishini o'rnatamiz: . Ushbu mintaqada funktsiya ijobiy qiymatni saqlab qoladi, shuning uchun vaqt o'tishi bilan koordinata x ham ortadi, ya’ni vakili nuqta nuqtadan uzoqlashadi. Shunday qilib, kichik og'ish tizimni statsionar holatdan chiqaradi, shuning uchun ta'rifga ko'ra, yagona nuqta beqaror. Shunga o'xshash mulohazalar yagona nuqtadan har qanday og'ish vaqt o'tishi bilan pasayib, statsionar holat barqaror bo'lishiga olib keladi. Vakillik nuqtasining har qanday yo'nalishda statsionar holatdan chetlanishi uni nuqtadan olib tashlashga olib keladi , bu beqaror statsionar holat.
Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini yechish
Keling, birinchi chiziqli tenglamalar tizimini o'rganishga murojaat qilaylik. Umuman olganda, chiziqli differentsial tenglamalar tizimini quyidagicha ifodalash mumkin:
Tenglamalar tizimini tahlil qilish statsionar holatlarni topishdan boshlanadi. (1.3) shakldagi sistemalar uchun yagona nuqta yagona, uning koordinatalari (0,0) ga teng. Istisno - bu degenerativ holat, bunda tenglamalar quyidagicha ifodalanishi mumkin:
(1.3*)
Bunda munosabatni qanoatlantiruvchi barcha juftliklar sistemaning statsionar nuqtalari (1,3*) hisoblanadi. Xususan, (0,0) nuqta ham (1,3*) sistema uchun statsionar hisoblanadi. Faza tekisligida, bu holda, biz boshlang'ichdan o'tuvchi nishab koeffitsientiga ega bo'lgan to'g'ri chiziqqa ega bo'lamiz, uning har bir nuqtasi tizimning yagona nuqtasi (1,3 *) (1.1-jadval, 6-bandga qarang).
Tenglamalar tizimini o'rganish natijasida javob berilishi kerak bo'lgan asosiy savol - bu tizimning statsionar holati barqarormi va bu yechim qanday xususiyatga ega (monotonik yoki monotonik).
Umumiy qaror Ikki chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:
xarakterli raqamlar chiziqli tenglamalar koeffitsientlari orqali quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Xarakterli sonlar 1) har xil belgili haqiqiy, 2) bir xil belgili haqiqiy, 3) murakkab konjugat, shuningdek, degenerativ holatlarda, 4) sof xayoliy, 5) haqiqiy mos keladigan, 6) haqiqiy, ulardan biri (yoki) bo'lishi mumkin. ikkalasi) nolga teng. Bu holatlar oddiy differensial tenglamalar sistemasiga yechimning harakat turini aniqlaydi. Tegishli bosqichli portretlar 1.1-jadvalda keltirilgan.
1.1-jadval. Ikki chiziqli differensial tenglamalar sistemasining statsionar holatlari turlari va ularga mos keladigan fazali portretlar. Oklar vakillik nuqtasining harakat yo'nalishini ko'rsatadi
Ikki chiziqli differensial tenglamalar sistemasining faza va kinetik portretlarini qurish
faza tekisligi o'zgaruvchilar qiymatlari chizilgan koordinata o'qlari bo'lgan tekislik deb ataladi x va y, tekislikning har bir nuqtasi tizimning ma'lum bir holatiga mos keladi. O'rganilayotgan tizimning berilgan tenglamalariga ko'ra, o'zgaruvchilarni vaqt bo'yicha o'zgartirish jarayonida tizimning holatiga mos keladigan fazalar tekisligidagi nuqtalar to'plami deyiladi. fazali traektoriya. O'zgaruvchilarning turli xil boshlang'ich qiymatlari uchun fazali traektoriyalar to'plami tizimning portretini beradi. Bino fazali portret o'zgaruvchilarning o'zgarishi tabiati haqida xulosa chiqarish imkonini beradi x va y dastlabki tenglamalar tizimining analitik yechimlarini bilmasdan.
Chiziqli differentsial tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:
Fazali portretning qurilishi qurilishdan boshlanadi asosiy izoklinlar(izoklin - tenglama bilan aniqlangan faza egri chizig'ining (traektoriya) qiyaligi doimiy bo'lib qoladigan chiziq). Ikki chiziqli differensial tenglamalar tizimi uchun bular har doim koordinatali to'g'ri chiziqlardan o'tuvchi to'g'ri chiziqlardir. Tenglama gorizontal tangenslarning izoklinlari: 
. Vertikal tangenslar izokliniyasi tenglamasi: 
. Fazali portretni keyingi qurish uchun burchak ostida o'tadigan tangenslarning izoklinini qurish foydalidir. Tegishli izoklin tenglamasini topish uchun tenglamani yechish kerak 
. Shuningdek, burchaklar tangenslarining taxminiy qiymatlaridan foydalanib, boshqa burchaklar tangenslarining izoklinlarini ham topishingiz mumkin. Fazali traektoriyalar koordinata o'qlarini qaysi burchakda kesishi kerakligi haqidagi savolga javob ham faza portretini yaratishda yordam berishi mumkin. Buning uchun izoklin tenglamasida 
mos keladigan tengliklarni (OY o'qi bilan kesishish burchagini aniqlash uchun) va (OX o'qi bilan kesishish burchagini aniqlash uchun) almashtiramiz.
1.4-misol. Chiziqli tenglamalar tizimining yagona nuqtasi turini aniqlang:
Tizimning faza va kinetik portretini tuzing.
Yechim: Yagona nuqta koordinatalari (0,0). Chiziqli tenglamalarning koeffitsientlari: , , , . Keling, statsionar holat turini aniqlaymiz (xarakterli raqamlar bo'limiga qarang):
Shunday qilib, xarakterli ildizlar xayoliydir: shuning uchun ko'rib chiqilayotgan chiziqli tizimning yagona nuqtasi markaz turiga ega (1.2a-rasm).
Gorizontal tangenslar izoklinasi tenglamasi: , Vertikal tangenslar izoklinasi tenglamasi:. 45 ° burchak ostida tizimning traektoriyalari to'g'ri chiziq bilan kesishadi 
.
Fazali portretni qurgandan so'ng, topilgan traektoriyalar bo'ylab harakat yo'nalishini aniqlash kerak. Buni quyidagi tarzda amalga oshirish mumkin. Har qanday traektoriyada ixtiyoriy nuqtani oling. Masalan, gorizontal tangenslarning izokliniyasida (1,1). Bu nuqtaning koordinatalarini tenglamalar tizimiga almashtiramiz. O'zgaruvchilarning o'zgarish tezligi uchun ifodalarni olamiz x,y Mazkur holatda:
Olingan qiymatlar o'zgaruvchining o'zgarish tezligini ko'rsatadi x- salbiy, ya'ni uning qiymati kamayishi kerak va o'zgaruvchi y o'zgarmaydi. Qabul qilingan yo'nalishni o'q bilan belgilaymiz. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misolda faza traektoriyalari bo'ylab harakat soat miliga teskari yo'naltiriladi. Turli nuqtalarning koordinatalarini tizimga almashtirib, siz tezliklar yo'nalishlarining "xaritasini" olishingiz mumkin. vektor maydoni.
1.2-rasm. Tizimning faza (a) va kinetik (b) portreti, 1.4-misol
Gorizontal tangenslarning izoklinida o'zgaruvchiga e'tibor bering y berilgan traektoriyada maksimal yoki minimal qiymatiga etadi. Aksincha, vertikal tangenslarning izokliniyasida o'zgaruvchan x.
Tizimning kinetik portretini yaratish o'zgaruvchilar qiymatlarining bog'liqligini chizishni anglatadi. x,y vaqtdan boshlab. Fazali portret kinetik portretni yaratish uchun ishlatilishi mumkin va aksincha. Bir fazali traektoriya bir juft kinetik egri chiziqqa mos keladi. Keling, ixtiyoriy fazali traektoriyadagi faza portretidagi ixtiyoriy nuqtani tanlaylik. Bu vaqtga mos keladigan boshlang'ich nuqtadir. Ko'rib chiqilayotgan tizimdagi harakat yo'nalishiga qarab, o'zgaruvchilarning qiymatlari x,y kamayadi yoki ko'tariladi. Boshlanish nuqtasining koordinatalari (1,1) bo'lsin. Tuzilgan faza portretiga ko'ra, shu nuqtadan boshlab, biz soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilishimiz kerak, koordinatalar x va y ular esa kamayadi. Vaqt o'tishi bilan koordinata x 0 dan o'tadi, qiymat y ijobiy bo'lib qolganda. Qo'shimcha koordinatalar x va y kamaytirish davom etmoqda, koordinata y 0 dan o'tadi (qiymat x salbiy bo'lsa). Qiymat x vertikal tangenslar izokliniyasida minimal qiymatiga etadi, keyin esa orta boshlaydi. Qiymat y gorizontal tangenslar izoklinida minimal qiymatiga etadi (qiymat x bu vaqtda vaqt salbiy). Keyingi, va qiymat x, va qiymati y oshirish, dastlabki qiymatlarga qaytish (1.2b-rasm).
Ikkinchi tartibli chiziqli bo'lmagan tizimlarning statsionar holatlarining barqarorligini tekshirish
Biologik tizim umumiy shakldagi ikkita avtonom ikkinchi tartibli differentsial tenglamalar tizimi bilan tavsiflansin:
Tizim o'zgaruvchilarining statsionar qiymatlari algebraik tenglamalardan aniqlanadi:
Har bir statsionar davlatning qo'shnisida ko'rib chiqish mumkin birinchi yaqinlashish tizimi(chiziqli tizim), uni o'rganish yagona nuqtaning barqarorligi va uning kichik qo'shnisidagi faza traektoriyalarining tabiati haqidagi savolga javob berishga imkon beradi.
tashqarida
Bizda ... bor 
, , birlik nuqta qo'pol. Birinchi yaqinlashish tizimining xarakterli ildizlari ga teng, ikkalasi ham haqiqiy, ham manfiy, shuning uchun nol yagona nuqtaga yaqin joyda tizimning fazali traektoriyalarining harakati barqaror tugun turiga mos keladi.
Avtomatlashtirish va telemexanika, L-1, 2007 yil
RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j
© 2007 Yu.S. POPKOV, texnologiya doktori. Ilmiy (RAS tizimli tahlil instituti, Moskva)
DINAMIK TIZIMLARNI Vd-ENTROPY operatori BILAN SIFATLI TAhlil.
Ko'rib chiqilayotgan DSEE sinfining yagona nuqtalarining mavjudligi, o'ziga xosligi va lokalizatsiyasini o'rganish usuli taklif etiladi. "Kichikda" va "kattalikda" barqarorlik shartlari olinadi. Olingan shartlarni qo'llash misollari keltirilgan.
1.Kirish
Entropiya operatori (DEOS) bilan dinamik tizimlar kontseptsiyasi asosida dinamik jarayonlarni matematik modellashtirishning ko'plab masalalarini hal qilish mumkin. DSEE dinamik tizim bo'lib, unda nochiziqlik entropiyani maksimallashtirishning parametrik muammosi bilan tavsiflanadi. Feio-moyologik nuqtai nazardan, DSEO "sekin" o'z-o'zini ko'paytirish va resurslarni "tezkor" taqsimlash bilan makrotizim modelidir. DSEO ning ba'zi xususiyatlari o'rganildi. Ushbu ish DSEO ning sifat xususiyatlarini o'rganish tsiklini davom ettirmoqda.
Vd-entropiya operatori bilan dinamik tizimni ko'rib chiqamiz:
^ = £(x, y(x)), x e En:
y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.
Ushbu iboralarda:
C(x, y), u(x) uzluksiz differensiallanuvchi vektor funksiyalar;
Entropiya
(1.2) Hv (y) = uz 1n sifatida > 0, s = T~m;
T - (r x w)- ^ 0 elementlari bo'lgan matritsa r ga teng umumiy darajaga ega;
u(x) vektor funksiyasi uzluksiz differensiallanuvchi, to'plam deb qabul qilinadi
(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,
Bu erda a- va a + E+ dan vektorlar, bu erda a- kichik komponentli vektor.
Entropiya operatorining Lagranj multiplikatorlari nuqtai nazaridan ma'lum ko'rinishidan foydalanish. (1.1) tizimni quyidagi shaklga aylantiramiz:
- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+
Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-
O(x, z) = Ty(z) = q(x),
bu yerda rk = exp(-Ak) > 0 ko‘rsatkichli Lagranj ko‘paytuvchilari.
Umumiy shakldagi DSEE bilan bir qatorda (1.1) da keltirilgan tasnifga rioya qilgan holda ko'rib chiqamiz.
Ajraladigan oqim bilan DSEE:
(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),
bu yerda B (n x m)-matritsa;
Multiplikativ oqim bilan DSEO:
(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab
Bu yerda W - manfiy bo'lmagan elementlarga ega (n x m)-matritsa, a musbat komponentli vektor, ® - koordinatali ko'paytirish belgisi.
Ushbu maqolaning maqsadi DSEE ning yagona nuqtalarining mavjudligi, o'ziga xosligi va lokalizatsiyasini va ularning barqarorligini o'rganishdir.
2. Yakka nuqtalar
2.1. Mavjudlik
Tizimni ko'rib chiqing (1.4). Ushbu dinamik tizimning yagona nuqtalari quyidagi tenglamalar bilan aniqlanadi:
(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;
(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:
(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.
Avval yordamchi tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:
(2.4) C(q, z) = r, q e R,
bu yerda R to‘plami (1.3) tenglik bilan aniqlanadi va C(q, r) komponentli vektor funksiyadir.
(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.
(2.4) tenglama Vg-entropiya operatorining xususiyatlaridan kelib chiqadigan har bir qo'zg'almas vektor q uchun r* yagona yechimga ega (qarang).
S(g, z) vektor funksiyasining komponentlarini aniqlashdan aniq baho olinadi:
(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:
Birinchi tenglamaning yechimini r+, ikkinchisini esa r- bilan belgilaymiz. Keling, aniqlaymiz
(2.7) C (a+,z) = z, C(a
(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk
va r o‘lchamli vektorlar
(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin , zmin).
Lemma 2.1. Barcha q G Q (1 . 3) uchun (2.4) tenglamaning z*(q) yechimlari segmentning 1 vektoriga tegishli.
zmin< z*(q) < zmax,
bu yerda zmin va zmax vektorlari (2.7)-(2.9) ifodalar bilan aniqlanadi.
Teoremaning isboti Ilovada keltirilgan. Qq
x G Rn uchun qk(x) (1.3), u holda biz bor
Xulosa 2.1. Lemma 2.1 shartlari qanoatlansin va qk(x) funksiyalar barcha ex x G Rn uchun (1.3) shartlarni qanoatlantirsin. U holda barcha x G Rm uchun (2.3) tenglamaning z* yechimlari vektor segmentiga tegishli
zmin< z* < zmax
Endi (2.2) tenglamalarga qaytaylik. y(z) vektor funksiyasining komponentlarini aniqlaydi. Yakobiyning elementlari shaklga ega
(2.10) jb aj zk JJ & > 0
0 va g dan tashqari barcha z G R+ uchun. Shuning uchun y(z) vektor funktsiyasi qat'iy monoton ortib bormoqda. Lemma 2.1 ga ko'ra, u pastdan va yuqoridan chegaralangan, ya'ni. barcha z G Rr uchun (shuning uchun barcha x G Rn uchun) uning qiymatlari to'plamga tegishli
(2.11) Y = (y: y-< y < y+},
bu yerda yk, y+ vektorlarining komponentlari quyidagi ifodalar bilan aniqlanadi:
(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.
(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,
(2.1) dagi birinchi tenglamani ko'rib chiqing va uni quyidagicha yozing:
(2.14) L(x, y) = 0 barcha y e Y ⊂ E^ uchun.
Bu tenglama x o'zgaruvchining Y ga tegishli y o'zgaruvchiga bog'liqligini aniqlaydi
biz (1.4) (2.14) tenglama bilan aniqlangan yashirin funksiya x(y) mavjudligiga keltiramiz.
Lemma 2.2. Quyidagi shartlar bajarilsin:
a) vektor funksiya L(x, y) o‘zgaruvchilar to‘plamida uzluksiz;
b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;
c) det J (x, y) = 0 barcha ex x e En uchun har qanday qo'zg'almas y e Y uchun.
U holda Y da aniqlangan yagona yashirin funksiya x*(y) mavjud. Bu lemmada J(x, y) elementlarli yakobiydir.
(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.
Dalil Ilovada keltirilgan. Yuqoridagi lemmalardan kelib chiqadi
2.1 teorema. Lemmalar 2.1 va 2.2 shartlari qanoatlansin. Keyin DSEE ning yagona yagona nuqtasi mavjud (1.4) va shunga mos ravishda (1.1).
2.2. Mahalliylashtirish
Yagona nuqtaning lokalizatsiyasini o'rganish deganda u joylashgan intervalni o'rnatish imkoniyati tushuniladi. Bu vazifa unchalik oddiy emas, lekin DSEE ning ba'zi sinflari uchun bunday intervalni o'rnatish mumkin.
(2.1) dagi tenglamalarning birinchi guruhiga murojaat qilamiz va ularni shaklda tasvirlaymiz
(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,
bu yerda y- va y+ tenglik (2.12), (2.13) bilan aniqlanadi.
2.2 teorema. L(x,y) vektor funksiyasi har ikkala oʻzgaruvchida ham uzluksiz differentsiallanuvchi va monoton ortib boruvchi boʻlsin, yaʼni.
--> 0, --> 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj
U holda (2.16) sistemaning x o'zgaruvchisiga nisbatan yechimi (2.17) xmin x x x xmax oralig'iga tegishli bo'ladi,
a) xmin, xmax vektorlari ko'rinishga ega
Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;
\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):
xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;
6) x- va x+ - quyidagi tenglamalar yechimining komponentlari
(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0
oo m bilan albatta.
Teoremaning isboti Ilovada keltirilgan.
3. "Kichikda" DSEA barqarorligi
3.1. Ajraladigan oqimga ega DSEE Keling, ajratiladigan oqimga ega DSEE tenglamalariga murojaat qilib, ularni quyidagi shaklda taqdim etamiz:
- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab
Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1
0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.
Bu erda q(x) vektor funktsiyasi komponentlarining qiymatlari Q (1.3) to'plamiga tegishli, (n × w)-matritsa B n (n) ga teng umumiy darajaga ega.< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.
Ko'rib chiqilayotgan sistemaning yagona x nuqtasi bo'lsin. Ushbu yagona nuqtaning "kichikda" barqarorligini o'rganish uchun biz chiziqli tizimni quramiz
Bu yerda A - (n x n)-matritsa, uning elementlari x nuqtada hisoblangan va vektor t = x - x. (3.1) dagi birinchi tenglamaga ko'ra, chiziqli tizimning matritsasi mavjud
A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),
| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,
I k \u003d 1, g, I \u003d 1, p
(3.1) dan Yr: dy matritsaning elementlari aniqlanadi.
"bkz P" 8=1
3, r8 x8, 5 1, r.
Zx matritsasining elementlarini aniqlash uchun (3.1) tenglamalarning oxirgi guruhiga murojaat qilamiz. B shuni ko'rsatadiki, bu tenglamalar r(x) vektor funktsiyasi uzluksiz differensiallanadigan bo'lsa, u doimiy ravishda differentsiallanuvchi r(x) vektor funktsiyasini aniqlaydi. z(x) vektor funksiyasining Yakobiy Zx i tenglama bilan aniqlanadi
<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),
vg (X) \u003d T Ug (X),
ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \
Bu tenglamadan (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x) ga egamiz.
Bu natijani tenglikka almashtirish (3.3). olamiz:
A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).
Shunday qilib, chiziqli tizim tenglamasi shaklni oladi
(c.i) | = (j+p)e
Bu yerda J, P matritsalarning elementlari singulyar nuqtada hisoblanadi. "Kichik" DSEEda (3.1) etarli barqarorlik shartlari quyidagilar bilan aniqlanadi
3.1 teorema. DSEE (3.1) quyidagi shartlar bajarilsa, "kichikda" barqaror bo'lgan yagona x nuqtaga ega:
a) chiziqli sistemaning (3.11) J, P (3.10) matritsalari haqiqiy va turli xos qiymatlarga ega, J matritsasi esa maksimal xos qiymatga ega.
Pmax = max Pg > 0,
Wmax = maxUi< 0;
Umax + Ptah<
Bu teorema va tenglikdan (3.10) kelib chiqadiki, Qx(x) = 0 va (yoki) X, = 0 va tkj ^ 1 bo‘lgan yagona nuqtalar uchun barcha ex k,j uchun teoremaning yetarli shartlari bo‘lmaydi. mamnun.
3.2. Multiplikativ oqim bilan DSEE (1.6) tenglamalarni ko'rib chiqing. ularni quyidagi shaklda taqdim etish:
X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;
yj(z(x)) = aj PZs(x)]isi" j = 1,m;
(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts
Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.
tizimlari. Quyidagilarga ega bo'ladi:
(3.13)
Bu ifodada diag C] - a1,..., an, Yr, Zx musbat elementlarga ega diagonal matritsa, (3.4)-(3.7) tenglik bilan aniqlangan matritsalar.
A matritsani shaklda ifodalaymiz
(3.14) A = diag + P (x),
(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).
Belgilang: maxi ai = nmax va wmax P(x) matritsaning maksimal xos qiymati (3.15). U holda 3.1 teorema DSEE (1.6) uchun ham amal qiladi. (3.12).
4. DSEA barqarorligi "katta"
DESO tenglamalariga (1.4) murojaat qilaylik, bunda q(x) vektor funktsiyasi komponentlarining qiymatlari Q (1.3) to'plamiga tegishli. Ko'rib chiqilayotgan tizimda yagona Z nuqta mavjud bo'lib, unga z(x) = z ^ z-> 0 vektorlari va
y(x) = y(z) = y > y- > 0.
Birlik nuqtadan £, C, P chetlanish vektorlarini kiritamiz: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.
ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009 yil
Kirish
Chiziqli bo'lmagan dinamik tizim tushunchasi tizimning kelajakdagi xatti-harakatlari o'tmish bilan belgilanadigan juda keng jarayonlarni qamrab olish uchun etarlicha boy bo'lganligi sababli, ushbu sohada ishlab chiqilgan tahlil usullari juda ko'p turli xil kontekstlarda foydalidir.
Nochiziqli dinamika adabiyotga kamida uchta usulda kiradi. Birinchidan, bir yoki bir nechta miqdorlarning vaqt o'tishi bilan o'zgarishi bo'yicha eksperimental ma'lumotlar to'plangan va ma'lumotlarni ishlab chiqarish jarayonini boshqaradigan asosiy tenglamalar haqida minimal taxminlar bilan chiziqli bo'lmagan dinamik nazariyaga asoslangan texnikalar yordamida tahlil qilinadigan holatlar mavjud. Ya'ni, bu modelni oldindan taxmin qilish va keyin uni ma'lumotlar bilan taqqoslash o'rniga, matematik modelni ishlab chiqishga yordam beradigan ma'lumotlardagi korrelyatsiyalarni topishga intiladigan holat.
Ikkinchidan, nochiziqli dinamik nazariyadan ba'zi soddalashtirilgan model berilgan tizimning muhim xususiyatlarini ko'rsatishi kerakligini ta'kidlash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan holatlar mavjud, bu tavsiflovchi modelni keng parametrlar oralig'ida qurish va o'rganish mumkinligini anglatadi. Bu ko'pincha turli parametrlar ostida sifat jihatidan boshqacha harakat qiladigan modellarga olib keladi va bir mintaqa haqiqiy tizimda kuzatilgan xatti-harakatlarga juda o'xshash xatti-harakatlarni namoyish etadi. Ko'pgina hollarda, modelning xatti-harakati parametrlarning o'zgarishiga juda sezgir, shuning uchun agar modelning parametrlarini real tizimda o'lchash mumkin bo'lsa, model ushbu qiymatlarda real xatti-harakatni namoyish etadi va ishonch hosil qilish mumkinki, model tizimining asosiy xususiyatlari.
Uchinchidan, model tenglamalari ma'lum fizikaning batafsil tavsiflari asosida qurilgan holatlar mavjud. Raqamli tajribalar keyinchalik fizik tajribalar uchun mavjud bo'lmagan o'zgaruvchilar haqida ma'lumot berishi mumkin.
Ikkinchi yo'lga asoslanib, bu ish mening oldingi ishimning "O'zaro bog'liq bo'lmagan tarmoqlarning nochiziqli dinamik modeli" ning kengaytmasi, shuningdek, boshqa ish (Dmitriev, 2015)
Ishda zarur bo'lgan barcha zarur ta'riflar va boshqa nazariy ma'lumotlar kerak bo'lganda birinchi bobda paydo bo'ladi. Bu erda tadqiqot mavzusini ochib berish uchun zarur bo'lgan ikkita ta'rif beriladi.
Birinchidan, tizim dinamikasini aniqlaymiz. Ta'riflardan biriga ko'ra, tizim dinamikasi - bu o'zining usullari va vositalari tufayli murakkab tizimlar tuzilishini va ularning dinamikasini baholashga yordam beradigan simulyatsiya modellashtirish yondashuvi (Shterman). Shuni qo'shimcha qilish kerakki, tizim dinamikasi, shuningdek, yanada samaraliroq kompaniya / tashkilotni yaratish, shuningdek, samaraliroq ishlash usullarini takomillashtirish maqsadida kelajakda foydalanish uchun murakkab tizimlar uchun to'g'ri (aniqlik nuqtai nazaridan) kompyuter modellarini qayta yaratish uchun foydalaniladigan modellashtirish usulidir. ushbu tizim bilan o'zaro ta'sir. Tizim dinamikasiga bo'lgan ehtiyojning aksariyati uzoq muddatli, strategik modellar bilan to'qnashganda paydo bo'ladi va bu juda mavhum ekanligini ham ta'kidlash kerak.
Chiziqli bo'lmagan differensial dinamika haqida gap ketganda, biz chiziqli bo'lmagan tizimni ko'rib chiqamiz, bu ta'rifiga ko'ra, natijaning o'zgarishi kirish parametrlarining o'zgarishiga proportsional bo'lmagan va funktsiyani tavsiflovchi tizimdir. vaqt o'zgarishiga va nuqtaning kosmosdagi holatiga bog'liqligi (Boeing, 2016).
Yuqoridagi ta'riflarga asoslanib, ushbu ishda kompaniyalarning o'zaro ta'sirini tavsiflovchi turli xil nochiziqli differentsial tizimlar, shuningdek, ular asosida qurilgan simulyatsiya modellari ko'rib chiqilishi aniq bo'ladi. Shundan kelib chiqib, ishning maqsadi aniqlanadi.
Shunday qilib, ushbu ishning maqsadi birinchi yaqinlashuvda kompaniyalarning o'zaro ta'sirini tavsiflovchi dinamik tizimlarning sifatli tahlilini o'tkazish va ular asosida simulyatsiya modelini qurishdir.
Ushbu maqsadga erishish uchun quyidagi vazifalar belgilandi:
Tizimning barqarorligini aniqlash.
Fazali portretlarni qurish.
Tizimlarning integral traektoriyalarini topish.
Simulyatsiya modellarini qurish.
Ushbu vazifalarning har biri ishning har bir bobining bo'limlaridan biriga bag'ishlanadi.
Amaliyotga asoslanib, turli jismoniy tizimlar va jarayonlarda dinamikani samarali modellashtiradigan fundamental matematik tuzilmalarni qurish shuni ko'rsatadiki, mos keladigan matematik model ma'lum darajada o'rganilayotgan asl nusxaga yaqinlikni aks ettiradi, bunda uning xarakterli xususiyatlarini xossalari va xususiyatlaridan olish mumkin. tizimning dinamikasini tashkil etuvchi harakat turidan tuzilmalar. Hozirgi kunga qadar iqtisodiy fan o'zining rivojlanish bosqichida bo'lib, unda iqtisodiy jarayonlarni fizik-matematik modellashtirishning yangi, ko'p hollarda nostandart usullari va usullari ayniqsa samarali qo'llaniladi. Iqtisodiy vaziyatni qandaydir tarzda tavsiflashi mumkin bo'lgan modellarni yaratish, o'rganish va qurish zarurati haqida xulosa shu erda.
Miqdoriy tahlilni emas, balki sifatni tanlash sababiga kelsak, shuni ta'kidlash kerakki, aksariyat hollarda dinamik tizimlarning sifat tahlili natijalari va xulosalari ularning miqdoriy tahlili natijalaridan ko'ra muhimroq bo'ladi. Bunday vaziyatda V.P.ning bayonotlariga ishora qilish o'rinlidir. Milovanovning ta'kidlashicha, ular an'anaviy ravishda haqiqiy ob'ektlarni tahlil qilishda matematik usullarni qo'llashda kutilgan natijalarni raqamli natijaga kamaytirish kerak deb hisoblashadi. Shu ma'noda, sifatli usullar biroz boshqacha vazifaga ega. U tizimning sifatini tavsiflovchi natijaga erishishga, butun hodisalarning xarakterli belgilarini izlashga, bashorat qilishga qaratilgan. Albatta, ma'lum turdagi tovarlar narxi o'zgarganda talab qanday o'zgarishini tushunish muhimdir, lekin shuni unutmangki, bunday sharoitlarda ushbu tovarlarning etishmasligi yoki ortiqcha bo'lishini tushunish muhimroqdir (Dmitriev , 2016).
Ushbu tadqiqot ob'ekti chiziqli bo'lmagan differentsial va tizim dinamikasidir.
Bunda nochiziqli differensial va tizim dinamikasi orqali kompaniyalar o'rtasidagi o'zaro ta'sir jarayonini tavsiflash tadqiqot predmeti hisoblanadi.
Tadqiqotning amaliy qo'llanilishi haqida gapiradigan bo'lsak, uni darhol ikki qismga bo'lish kerak. Ya'ni, nazariy, ya'ni tizimlarning sifat tahlili va amaliy, bunda simulyatsiya modellarini qurish ko'rib chiqiladi.
Ushbu tadqiqotning nazariy qismida asosiy tushunchalar va hodisalar keltirilgan. U ko'plab boshqa mualliflarning (Teschl, 2012; Nolte, 2015) asarlaridagi kabi oddiy differentsial tizimlarni ko'rib chiqadi, lekin shu bilan birga kompaniyalar o'rtasidagi o'zaro ta'sirni tavsiflashga imkon beradi. Shunga asoslanib, kelajakda yanada chuqurroq tadqiqotlar o'tkazish yoki tizimlarning sifat tahlili nimadan iboratligi bilan tanishishni boshlash mumkin bo'ladi.
Ishning amaliy qismi qarorlarni qo'llab-quvvatlash tizimini yaratish uchun ishlatilishi mumkin. Qarorlarni qo'llab-quvvatlash tizimi - biznesni yoki tashkilotda qaror qabul qilishni qo'llab-quvvatlashga qaratilgan avtomatlashtirilgan axborot tizimi, bu sizga turli xil alternativalar orasidan tanlash imkonini beradi (Keen, 1980). Ayni paytda modellar juda aniq bo'lmasa ham, lekin ularni ma'lum bir kompaniya uchun o'zgartirib, aniqroq natijalarga erishishingiz mumkin. Shunday qilib, ularda bozorda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan turli xil parametrlar va sharoitlarni o'zgartirganda, siz kelajak uchun prognozni olishingiz va oldindan foydaliroq qaror qabul qilishingiz mumkin.
1. Mutualizm sharoitida kompaniyalarning o'zaro ta'siri
Maqolada yuqori darajadagi tizimlar bilan solishtirganda juda oddiy bo'lgan ikki o'lchovli tizimlar taqdim etiladi, ammo shu bilan birga bizga kerak bo'lgan tashkilotlar o'rtasidagi munosabatlarni ko'rsatishga imkon beradi.
Kelajakda tavsiflanadigan o'zaro ta'sir turini tanlash bilan ishlashni boshlash arziydi, chunki har bir tur uchun ularni tavsiflovchi tizimlar biroz bo'lsa-da, farq qiladi. 1.1-rasmda Yujim Odumning iqtisodiy o'zaro ta'sir uchun o'zgartirilgan aholi o'zaro ta'siri bo'yicha tasnifi ko'rsatilgan (Odum, 1968), uning asosida biz kompaniyalarning o'zaro ta'sirini ko'rib chiqamiz.
1.1-rasm. Korxonalar o'rtasidagi o'zaro aloqa turlari
1.1-rasmga asoslanib, biz o'zaro ta'sirning 4 turini ajratamiz va ularning har biri uchun Maltus modeli (Malthus, 1798) asosida ularni tavsiflovchi tenglamalar tizimini taqdim etamiz. Unga ko'ra, o'sish sur'ati turning hozirgi ko'pligiga mutanosibdir, boshqacha qilib aytganda, uni quyidagi differensial tenglama bilan tavsiflash mumkin:
bu erda a - aholining tabiiy o'sishiga bog'liq bo'lgan parametr. Shuni ham qo'shimcha qilish kerakki, quyida ko'rib chiqilgan tizimlarda barcha parametrlar, shuningdek, o'zgaruvchilar salbiy bo'lmagan qiymatlarni oladi.
Xom ashyoni ishlab chiqarish - bu yirtqich-o'lja modeliga o'xshash mahsulotlarni ishlab chiqarish. Yirtqich-o'lja modeli, Lotka-Volterra modeli sifatida ham tanilgan, ikkita turga ega biologik tizim dinamikasini tavsiflovchi chiziqli bo'lmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar, ulardan biri yirtqich, ikkinchisi o'lja (Llibre). , 2007). Ushbu turlarning ko'pligining o'zgarishi quyidagi tenglamalar tizimi bilan tavsiflanadi:
(1.2)
Bu erda - ikkinchi korxonaning ta'sirisiz birinchi korxona mahsulotining o'sishini tavsiflaydi (yirtqich-o'lja modelida, yirtqichlarsiz o'lja populyatsiyasining o'sishi),
Bu birinchi korxonaning ta'sirisiz ikkinchi korxona ishlab chiqarishining o'sishini tavsiflaydi (yirtqichlar populyatsiyasining o'ljasiz o'sishi),
Bu ikkinchi korxonaning unga ta'sirini hisobga olgan holda birinchi korxona ishlab chiqarishining o'sishini tavsiflaydi (yirtqichlar bilan o'zaro aloqada o'lja sonining ko'payishi),
U birinchi korxonaning unga ta'sirini hisobga olgan holda ikkinchi korxona ishlab chiqarishining o'sishini tavsiflaydi (yirtqichlar sonining jabrlanganlar bilan o'zaro munosabatlarida ko'payishi).
Birinchisi, yirtqich, tizimdan, shuningdek, Odumning tasnifidan ko'rinib turibdiki, ularning o'zaro ta'siri ijobiy ta'sir ko'rsatadi. Boshqa tomondan noqulay. Iqtisodiy voqelikda ko'rib chiqilsa, rasmda ko'rinib turganidek, eng oddiy analog ishlab chiqaruvchi va uning mos ravishda yirtqich va o'ljaga mos keladigan resurslarni etkazib beruvchisidir. Shunday qilib, xom ashyo yo'q bo'lganda, ishlab chiqarish eksponent ravishda kamayadi.
Raqobat - bu ikki yoki undan ortiq (bizning holatlarimizda biz ikki o'lchovli tizimlarni ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz aniq ikki turdagi raqobatni olamiz) turlar, hududlar uchun iqtisodiy guruhlar, cheklangan resurslar yoki boshqa qadriyatlar o'rtasidagi raqobatdir (Elton, 1968). Turlar sonining yoki bizning holatlarimizda mahsulot sonining o'zgarishi quyidagi tizim bilan tavsiflanadi:
(1.3)
Bunday holda, bitta mahsulot ishlab chiqaradigan turlar yoki kompaniyalar bir-biriga salbiy ta'sir qiladi. Ya'ni, raqobatchi bo'lmasa, mahsulotning o'sishi eksponent ravishda oshadi.
Endi ikkala korxona bir-biriga ijobiy ta'sir ko'rsatadigan simbiotik o'zaro ta'sirga o'tamiz. Mutualizmdan boshlaylik. Mutualizm - bu har xil turlar o'rtasidagi munosabatlarning bir turi bo'lib, unda ularning har biri boshqasining harakatlaridan foyda ko'radi va shuni ta'kidlash kerakki, sherikning mavjudligi mavjud bo'lish uchun zaruriy shartdir (Tompson, 2005). Ushbu turdagi munosabatlar tizim tomonidan tavsiflanadi:
(1.4)
Kompaniyalar o'rtasidagi o'zaro ta'sir ularning mavjudligi uchun zarur bo'lganligi sababli, bir kompaniyaning mahsuloti yo'q bo'lganda, boshqasining tovarlari ishlab chiqarish eksponent ravishda kamayadi. Bu kompaniyalar xaridlar uchun boshqa muqobil variantlarga ega bo'lmaganda mumkin.
Simbiotik o'zaro ta'sirning yana bir turini, protokooperatsiyani ko'rib chiqing. Proto-hamkorlik o'zaro munosabatlarga o'xshaydi, faqat bundan mustasno, sherikning mavjudligiga hojat yo'q, chunki, masalan, boshqa alternativalar mavjud. Ular o'xshash bo'lganligi sababli, ularning tizimlari bir-biriga deyarli bir xil ko'rinadi:
(1.5)
Shunday qilib, bir kompaniya mahsulotining yo'qligi boshqa kompaniya mahsulotining o'sishiga to'sqinlik qilmaydi.
Albatta, 3 va 4-bandlarda sanab o'tilganlarga qo'shimcha ravishda, simbiotik munosabatlarning boshqa turlarini ham qayd etish mumkin: komensalizm va amensalizm (Hanski, 1999). Ammo ular bundan keyin ham eslatib o'tilmaydi, chunki kommensalizmda sheriklardan biri boshqasi bilan o'zaro munosabatiga befarq bo'ladi, ammo biz hali ham ta'sir bo'lgan holatlarni ko'rib chiqamiz. Va amensalizm hisobga olinmaydi, chunki iqtisodiy nuqtai nazardan, bunday munosabatlar, ularning o'zaro ta'siri biriga zarar etkazsa, ikkinchisi esa befarq bo'lsa, shunchaki mavjud bo'lolmaydi.
Kompaniyalarning bir-biriga ta'siridan, ya'ni simbiotik munosabatlar kompaniyalarning barqaror birga yashashiga olib kelishidan kelib chiqqan holda, biz ushbu maqolada faqat o'zaro munosabatlar va proto-kooperatsiya holatlarini ko'rib chiqamiz, chunki ikkala holatda ham o'zaro ta'sir hamma uchun foydalidir.
Ushbu bob o'zaro munosabatlar sharoitida kompaniyalarning o'zaro ta'siriga bag'ishlangan. Maltus modeliga asoslangan tizimlarning keyingi rivojlanishi bo'lgan ikkita tizim, ya'ni ishlab chiqarishni ko'paytirishga cheklovlar qo'yilgan tizimlar ko'rib chiqiladi.
O'zaro munosabatlar bilan bog'langan juftlikning dinamikasi, yuqorida aytib o'tilganidek, tizimning birinchi yaqinlashuvida tasvirlanishi mumkin:
(1.6)
Ko'rinib turibdiki, boshlang'ich ishlab chiqarishning katta miqdori bilan tizim cheksiz o'sib boradi va oz miqdorda ishlab chiqarish kamayadi. Mutualizmdan kelib chiqadigan ta'sirning ikki chiziqli tavsifining noto'g'riligi ham shu erda. Rasmni tuzatishga harakat qilish uchun biz yirtqichning to'yinganligiga o'xshash omilni kiritamiz, ya'ni agar u ortiqcha bo'lsa, ishlab chiqarishning o'sish sur'atini kamaytiradigan omil. Bunday holda, biz quyidagi tizimga kelamiz:
(1.7)
to'yinganlikni hisobga olgan holda birinchi kompaniyaning ikkinchi bilan o'zaro ta'sirida mahsulot ishlab chiqarishning o'sishi qayerda?
To'yinganlikni hisobga olgan holda, ikkinchi kompaniyaning birinchi bilan o'zaro ta'sirida mahsulot ishlab chiqarishning o'sishi,
To'yinganlik koeffitsientlari.
Shunday qilib, biz ikkita tizimga ega bo'ldik: to'yingan va to'yinmagan o'sishning Maltus modeli.
1.1 Birinchi yaqinlashuvda tizimlarning barqarorligi
Birinchi yaqinlashishda tizimlarning barqarorligi ko'plab xorijiy (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogats, 2001 va boshqalar) va rus tilidagi (Axromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovskiy, 1959 va boshqalar) va uning ta'rifi tizimda sodir bo'layotgan jarayonlarni tahlil qilishning asosiy bosqichidir. Buning uchun quyidagi kerakli amallarni bajaring:
Keling, muvozanat nuqtalarini topamiz.
Sistemaning Yakobiy matritsasi topilsin.
Yakobiy matritsasining xos qiymatlarini toping.
Muvozanat nuqtalarini Lyapunov teoremasi bo'yicha tasniflaymiz.
Bosqichlarni ko'rib chiqqach, ularning tushuntirishlari haqida batafsilroq to'xtalib o'tishga arziydi, shuning uchun men ta'riflar beraman va ushbu bosqichlarning har birida biz foydalanadigan usullarni tasvirlab beraman.
Birinchi qadam, muvozanat nuqtalarini qidirish. Ularni topish uchun har bir funktsiyani nolga tenglashtiramiz. Ya'ni, biz tizimni hal qilamiz:
Bu yerda a va b tenglamaning barcha parametrlarini bildiradi.
Keyingi qadam Yakobiy matritsasini topishdir. Bizning holatda, bu quyida ko'rsatilganidek, qaysidir nuqtada birinchi hosilalari bo'lgan 2x2 matritsa bo'ladi:
Birinchi ikki bosqichni bajargandan so'ng, biz quyidagi xarakterli tenglamaning ildizlarini topishga o'tamiz:
Bu nuqta birinchi bosqichda topilgan muvozanat nuqtalariga to'g'ri keladi.
Va topib, biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz va quyidagi Lyapunov teoremalaridan foydalanamiz (Parks, 1992):
1-teorema: Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari manfiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, u holda dastlabki va chiziqli tizimlarga mos keladigan muvozanat nuqtasi asimptotik barqarordir.
2-teorema: Agar xarakteristik tenglamaning ildizlaridan kamida bittasi ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, u holda asl va chiziqli tizimlarga mos keladigan muvozanat nuqtasi asimptotik jihatdan beqarordir.
Shuningdek, 1.2-rasmda (Lamar universiteti) ko'rsatilgan bo'linish asosida barqarorlik turini ko'rib chiqsak va aniqroq aniqlash mumkin.
1.2-rasm. Muvozanat nuqtalarining barqarorligi turlari
Kerakli nazariy ma'lumotlarni ko'rib chiqib, biz tizimlar tahliliga murojaat qilamiz.
To'yinganliksiz tizimni ko'rib chiqing:
Bu juda oddiy va amaliy foydalanish uchun mos emas, chunki unda hech qanday cheklovlar yo'q. Ammo tizim tahlilining birinchi misoli sifatida ko'rib chiqish mos keladi.
Birinchidan, tenglamalarning o'ng tomonlarini nolga tenglashtirib, muvozanat nuqtalarini topamiz. Shunday qilib, biz ikkita muvozanat nuqtasini topamiz, keling, ularni A va B deb ataymiz: 
.
Qadamni Yakobiy matritsasi, xarakteristik tenglamaning ildizlarini izlash va barqarorlik turini aniqlash bilan birlashtiramiz. Ular boshlang'ich bo'lgani uchun biz darhol javob olamiz:
1. , , nuqtasida barqaror tugun mavjud.
Shu nuqtada: 
... egar.
Men allaqachon yozganimdek, bu tizim juda ahamiyatsiz, shuning uchun hech qanday tushuntirish talab qilinmadi.
Endi tizimni to'yinganlikdan tahlil qilaylik:
(1.9)
Korxonalar tomonidan mahsulotlarning o'zaro to'yinganligini cheklashning paydo bo'lishi bizni sodir bo'layotgan voqealarning haqiqiy rasmiga yaqinlashtiradi va tizimni biroz murakkablashtiradi.
Avvalgidek, tizimning to'g'ri qismlarini nolga tenglashtiramiz va hosil bo'lgan tizimni yechamiz. Nuqta o'zgarishsiz qoldi, ammo bu holatda boshqa nuqta avvalgidan ko'ra ko'proq parametrlarni o'z ichiga oladi: 
.
Bunday holda, Yakobi matritsasi quyidagi shaklni oladi:
Undan ga ko'paytirilgan birlik matritsasini ayirib, A va B nuqtalarda hosil bo'lgan matritsaning determinantini nolga tenglashtiring.
Xuddi shunday dastlabki rasmda:
barqaror tugun.
Lekin nuqtada hamma narsa biroz murakkabroq va matematika hali ham juda oddiy bo'lsa-da, murakkablik uzoq so'zma-so'z iboralar bilan ishlashda noqulaylik tug'diradi. Qiymatlar juda uzun va noqulay tarzda yozilganligi sababli, ular berilmaydi, bu holda, oldingi tizimda bo'lgani kabi, olingan barqarorlik turi egar ekanligini aytish kifoya.
2 Tizimlarning fazali portretlari
Chiziqli bo'lmagan dinamik modellarning aksariyati murakkab differentsial tenglamalar bo'lib, ularni echib bo'lmaydi yoki bu qandaydir murakkablikdir. Bunga oldingi bo'limdagi tizim misol bo'la oladi. Ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, ikkinchi muvozanat nuqtasida barqarorlik turini topish oson ish emas edi (matematik nuqtai nazardan bo'lmasa ham) va o'zaro ta'sir qiluvchi korxonalar sonini ko'paytirish uchun parametrlar, cheklovlar va tenglamalarning ko'payishi bilan murakkablik faqat kuchayadi. Albatta, agar parametrlar raqamli ifodalar bo'lsa, unda hamma narsa nihoyatda sodda bo'ladi, ammo keyin tahlil qandaydir tarzda barcha ma'nosini yo'qotadi, chunki oxirida biz muvozanat nuqtalarini topamiz va ularning barqarorlik turlarini faqat ma'lum bir narsa uchun bilib olamiz. umumiy holat emas.
Bunday hollarda faza tekisligi va fazali portretlarni esga olish kerak. Amaliy matematikada, xususan, chiziqli bo'lmagan tizimlarni tahlil qilish kontekstida, faza tekisligi ma'lum turdagi differentsial tenglamalarning ma'lum xususiyatlarining vizual tasviridir (Nolte, 2015). Tizimning holatini tavsiflovchi har qanday juft o'zgaruvchilarning qiymatlari o'qlari bilan koordinata tekisligi umumiy n o'lchovli fazali fazoning ikki o'lchovli holatidir.
Faza tekisligi tufayli differensial tenglamaning yechimlarida chegara davrlarining mavjudligini grafik tarzda aniqlash mumkin.
Differensial tenglamaning yechimlari funksiyalar oilasidir. Grafik jihatdan, buni ikki o'lchovli vektor maydoni sifatida fazalar tekisligida tasvirlash mumkin. Vektorlar tekislikda chiziladi, ular xossa nuqtalarda hosilalarni qandaydir parametrga nisbatan, bizning holatlarimizda vaqtga nisbatan, ya'ni (). Bitta hududda yetarlicha ushbu o'qlar bilan tizimning xatti-harakatlarini ko'rish mumkin va chegara davrlarini osongina aniqlash mumkin (Boeing, 2016).
Vektor maydoni - bu fazali portret, oqim chizig'i bo'ylab ma'lum bir yo'l (ya'ni, har doim vektorlarga tegib turgan yo'l) fazali yo'ldir. Vektor maydonidagi oqimlar differensial tenglama bilan tavsiflangan vaqt davomida tizimning o'zgarishini ko'rsatadi (Jordan, 2007).
Shuni ta'kidlash kerakki, fazali portret hatto differensial tenglamani yechmasdan ham tuzilishi mumkin va shu bilan birga, yaxshi vizualizatsiya juda ko'p foydali ma'lumotlarni taqdim etishi mumkin. Bundan tashqari, hozirgi vaqtda fazaviy diagrammalarni qurishda yordam beradigan ko'plab dasturlar mavjud.
Shunday qilib, faza tekisliklari fizik tizimlarning xatti-harakatlarini vizualizatsiya qilish uchun foydalidir. Xususan, yuqorida aytib o'tilgan yirtqich-o'lja modeli kabi tebranish tizimlari. Bu modellarda faza traektoriyalari nolga qarab “burilishi”, cheksizlikka “spiraldan chiqishi” yoki markazlar deb ataladigan neytral barqaror vaziyatga yetishi mumkin. Bu dinamikaning barqaror yoki barqaror emasligini aniqlashda foydalidir (Jordan, 2007).
Ushbu bo'limda taqdim etilgan bosqichli portretlar WolframAlpha vositalari yordamida quriladi yoki boshqa manbalardan taqdim etiladi. To'yingan holda Maltus o'sish modeli.
Keling, ularning xatti-harakatlarini solishtirish uchun uchta parametrlar to'plami bilan birinchi tizimning fazali portretini yarataylik. Yagona to'plam deb ataladigan A ((1,1), (1,1)) to'plami, B to'plami ((10,0.1), (2,2)), tanlanganda tizim keskin o'zgarishlarni boshdan kechiradi. ishlab chiqarishning pasayishi , va C to'plami ((1,10), (1,10)) buning uchun, aksincha, keskin va cheksiz o'sish sodir bo'ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'qlar bo'ylab qiymatlar barcha holatlarda -10 dan 10 gacha bir xil oraliqda bo'ladi, bu faza diagrammalarini bir-biri bilan taqqoslash qulayligi uchun. Albatta, bu o'qlari o'lchamsiz bo'lgan tizimning sifatli portretiga taalluqli emas.
1.3-rasm A parametrlari bilan fazali portret
mutualizm differensial chegara tenglamasi
Yuqoridagi 1.3-rasmda uchta ko'rsatilgan parametrlar to'plami uchun tizimning fazali portretlari, shuningdek tizimning sifatli xatti-harakatlarini tavsiflovchi fazali portret ko'rsatilgan. Shuni unutmangki, amaliy nuqtai nazardan eng muhimi birinchi chorakdir, chunki faqat salbiy bo'lishi mumkin bo'lmagan ishlab chiqarish miqdori bizning o'qlarimizdir.
Raqamlarning har birida muvozanat nuqtasida (0,0) barqarorlik aniq ko'rinadi. Va birinchi rasmda "egar nuqtasi" (1,1) nuqtada ham seziladi, boshqacha qilib aytganda, agar tizimga parametrlar to'plamining qiymatlarini almashtirsak, u holda B muvozanat nuqtasida. Model qurilishining chegaralari o'zgarganda, egar nuqtasi boshqa fazali portretlarda ham topiladi.
To'yinganlikdan o'sishning Maltus modeli.
Parametr qiymatlarining uchta yangi to'plami bilan to'yinganlik mavjud bo'lgan ikkinchi tizim uchun bosqich diagrammalarini tuzamiz. A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), B to‘plami ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) va C ((20,1,100), (20,1,100) to‘plamlari )).
1.4-rasm. A parametrlari bilan fazali portret
Ko'rib turganingizdek, har qanday parametrlar to'plami uchun nuqta (0,0) muvozanat va barqarordir. Shuningdek, ba'zi raqamlarda siz egar nuqtasini ko'rishingiz mumkin.
Bunda tizimga toʻyinganlik omili qoʻshilsa ham sifat koʻrinishi oʻzgarmasligini, yaʼni toʻyinganlikning oʻzi yetarli emasligini aniqroq koʻrsatish uchun turli masshtablar koʻrib chiqildi. Shuni hisobga olish kerakki, amalda kompaniyalarga barqarorlik kerak, ya'ni chiziqli bo'lmagan differensial tenglamalarni ko'rib chiqsak, bizni barqaror muvozanat nuqtalari ko'proq qiziqtiradi va bu tizimlarda faqat nol nuqtalar bunday nuqtalardir, ya'ni Bunday matematik modellar korxonalar uchun mos emasligi aniq. . Axir, bu faqat nol ishlab chiqarish bilan kompaniyalar barqarorlikda ekanligini anglatadi, bu dunyoning haqiqiy manzarasidan aniq farq qiladi.
Matematikada integral egri chiziq oddiy differensial tenglama yoki tenglamalar sistemasining maxsus yechimini ifodalovchi parametrik egri chiziqdir (Lang, 1972). Agar differensial tenglama vektor maydoni sifatida tasvirlangan bo'lsa, unda tegishli integral egri chiziqlar har bir nuqtada maydonga tegib turadi.
Differensial tenglama yoki vektor maydonining tabiati va talqiniga qarab integral egri chiziqlar boshqa nomlar bilan ham tanilgan. Fizikada elektr yoki magnit maydon uchun integral egri chiziqlar maydon chiziqlari, suyuqlik tezligi maydoni uchun integral egri chiziqlar oqim chiziqlari deb nomlanadi. Dinamik tizimlarda differensial tenglama uchun integral egri chiziqlar traektoriyalar deyiladi.
1.5-rasm. Integral egri chiziqlar
Har qanday tizimning yechimlarini integral egri chiziqlar tenglamalari sifatida ham ko'rish mumkin. Shubhasiz, har bir faza traektoriyasi x,y,t fazodagi qandaydir integral egri chiziqning fazalar tekisligiga proyeksiyasidir.
Integral egri chiziqlarni qurishning bir necha usullari mavjud.
Ulardan biri izoklin usulidir. Izoklinal - bu nuqtalardan o'tuvchi egri chiziq bo'lib, unda ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning qiyaligi boshlang'ich sharoitlardan qat'iy nazar har doim bir xil bo'ladi (Hanski, 1999).
Odatda oddiy differensial tenglamalarni echishda grafik usul sifatida foydalaniladi. Masalan, y "= f (x, y) ko'rinishdagi tenglamada izoklinlar f (x, y) ni doimiyga tenglashtirish natijasida olingan (x, y) tekislikdagi chiziqlardir. Bu qator chiziqlarni beradi ( turli konstantalar uchun) boʻylab egri chiziqlar yechimlari bir xil gradientga ega boʻladi.Har bir izoklin uchun bu gradientni hisoblash orqali qiyalik maydonini tasavvur qilish mumkin, bu esa yechimning taxminiy egri chiziqlarini chizishni nisbatan osonlashtiradi.Quyidagi rasmda izoklin usulidan foydalanish misoli koʻrsatilgan. .
1.6-rasm. Izoklin usuli
Bu usul kompyuter hisob-kitoblarini talab qilmaydi va o'tmishda juda mashhur edi. Endi kompyuterlarda integral egri chiziqlarni juda aniq va tez quradigan dasturiy echimlar mavjud. Biroq, shunga qaramay, izoklin usuli yechimlarning harakatini o'rganish vositasi sifatida o'zini yaxshi ko'rsatdi, chunki u integral egri chiziqlarning tipik harakat sohalarini ko'rsatishga imkon beradi.
To'yingan holda Maltus o'sish modeli.
Har xil qurilish usullari mavjudligiga qaramay, tenglamalar tizimining integral egri chiziqlarini ko'rsatish unchalik oson emasligidan boshlaylik. Yuqorida aytib o'tilgan izoklin usuli mos emas, chunki u birinchi tartibli differentsial tenglamalar uchun ishlaydi. Va bunday egri chiziqlarni chizish qobiliyatiga ega bo'lgan dasturiy vositalar jamoat mulki emas. Masalan, bunga qodir bo'lgan Wolfram Mathematica to'lanadi. Shuning uchun biz Wolfram Alpha imkoniyatlaridan maksimal darajada foydalanishga harakat qilamiz, ular bilan ishlash turli maqolalar va ishlarda tasvirlangan (Orca, 2009). Rasm aniq to'liq ishonchli bo'lmasligiga qaramay, lekin hech bo'lmaganda bu sizga (x, t), (y, t) tekisliklardagi qaramlikni ko'rsatishga imkon beradi. Avval t uchun tenglamalarning har birini yechamiz. Ya'ni, biz har bir o'zgaruvchining vaqtga bog'liqligini olamiz. Ushbu tizim uchun biz quyidagilarni olamiz:
(1.10)
(1.11)
Tenglamalar simmetrikdir, shuning uchun biz ulardan faqat bittasini, ya'ni x (t) ni ko'rib chiqamiz. Konstanta 1 ga teng bo'lsin. Bu holda biz chizma funktsiyasidan foydalanamiz.
1.7-rasm. (1.10) tenglama uchun uch o'lchovli model
To'yinganlikdan o'sishning Maltus modeli.
Keling, boshqa model uchun ham xuddi shunday qilaylik. Oxir-oqibat, biz o'zgaruvchilarning vaqtga bog'liqligini ko'rsatadigan ikkita tenglamani olamiz.
(1.12)
(1.13)
Keling, yana uch o'lchamli model va tekis chiziqlarni quramiz.
1.8-rasm. (1.12) tenglama uchun uch o'lchovli model
O'zgaruvchilarning qiymatlari manfiy bo'lmaganligi sababli, ko'rsatkichli kasrda biz manfiy sonni olamiz. Shunday qilib, integral egri vaqt o'tishi bilan kamayadi.
Ilgari ishning mohiyatini tushunish uchun tizim dinamikasiga ta'rif berilgan bo'lsa, endi bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tamiz.
Tizim dinamikasi murakkab muammolarni shakllantirish, tushunish va muhokama qilish uchun matematik modellashtirishning metodologiyasi va usuli bo'lib, dastlab 1950-yillarda Jey Forrester tomonidan ishlab chiqilgan va uning ishida tavsiflangan (Forrester, 1961).
Tizim dinamikasi - bu murakkab tizimlarning dinamik xatti-harakatlarini tushunish usuli sifatida tizimlar nazariyasining bir jihati. Usulning asosi har qanday tizimning tuzilishi uning tarkibiy qismlari o'rtasidagi ko'plab munosabatlardan iborat ekanligini tan olishdan iborat bo'lib, ular ko'pincha uning xatti-harakatlarini aniqlashda alohida komponentlarning o'zlari kabi muhimdir. Bunga turli mualliflarning asarlarida tasvirlangan xaos nazariyasi va ijtimoiy dinamikani misol qilish mumkin (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Shuningdek, ta’kidlanadiki, butun xossalar ko‘pincha element xossalarida topilmaydi, ba’zi hollarda butunning harakatini qismlarning xatti-harakati bilan izohlab bo‘lmaydi.
Simulyatsiya dinamik tizimning amaliy ahamiyatini to'liq ko'rsatishi mumkin. Elektron jadvallarda bu mumkin bo'lsa-da, bu maqsad uchun maxsus optimallashtirilgan ko'plab dasturiy paketlar mavjud.
Modellashtirishning o'zi haqiqiy dunyoda ishlashini bashorat qilish uchun jismoniy modelning prototipini yaratish va tahlil qilish jarayonidir. Simulyatsiya modellashtirish dizaynerlar va muhandislarga jarayon qanday sharoitlarda va qanday hollarda muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkinligini va qanday yuklarga bardosh berishi mumkinligini tushunishga yordam berish uchun ishlatiladi (Khemdy, 2007). Modellashtirish, shuningdek, suyuqlik oqimlari va boshqa jismoniy hodisalarning xatti-harakatlarini bashorat qilishga yordam beradi. Model qo'llaniladigan simulyatsiya dasturi tufayli taxminiy ish sharoitlarini tahlil qiladi (Strogalev, 2008).
Simulyatsiya modellashtirish imkoniyatlaridagi cheklovlar umumiy sababga ega. Aniq modelni qurish va sonli hisoblash faqat aniq miqdoriy nazariya mavjud bo'lgan sohalarda, ya'ni ma'lum hodisalarni tavsiflovchi tenglamalar ma'lum bo'lganda va vazifa faqat ushbu tenglamalarni kerakli aniqlik bilan hal qilishdan iborat bo'lgan joylarda muvaffaqiyatni kafolatlaydi. Miqdoriy nazariya mavjud bo'lmagan hududlarda aniq modelni yaratish cheklangan qiymatga ega (Bazykin, 2003).
Biroq, modellashtirish imkoniyatlari cheksiz emas. Avvalo, bu simulyatsiya modelining qo'llanilishi doirasini, xususan, prognozni kerakli aniqlik bilan qurish mumkin bo'lgan vaqt davrini baholash qiyinligi bilan bog'liq (Qonun, 2006). Bundan tashqari, o'z tabiatiga ko'ra, simulyatsiya modeli ma'lum bir ob'ektga bog'langan va uni boshqa, hatto o'xshash ob'ektga qo'llashga harakat qilganda, u tubdan tuzatishni yoki hech bo'lmaganda sezilarli o'zgartirishni talab qiladi.
Simulyatsiyada cheklovlar mavjudligining umumiy sababi bor. "Aniq" modelni qurish va sonli hisoblash faqat miqdoriy nazariya mavjud bo'lganda, ya'ni barcha tenglamalar ma'lum bo'lsa va muammo faqat ushbu tenglamalarni ma'lum bir aniqlik bilan echishga qisqartirilsagina muvaffaqiyatli bo'ladi (Bazykin, 2003).
Ammo shunga qaramay, simulyatsiya modellashtirish dinamik jarayonlarni vizualizatsiya qilish uchun ajoyib vosita bo'lib, u ko'proq yoki kamroq to'g'ri model bilan uning natijalari asosida qaror qabul qilish imkonini beradi.
Bu ishda AnyLogic dasturi taqdim etgan tizim dinamikasi vositalari yordamida tizim modellari quriladi.
To'yinganliksiz Maltus o'sish modeli/
Modelni yaratishdan oldin biz foydalanadigan tizim dinamikasi elementlarini ko'rib chiqish va ularni tizimimizga bog'lash kerak. Quyidagi ta'riflar AnyLogic dasturining yordam ma'lumotlaridan olingan.
Drayv tizim dinamikasi diagrammalarining asosiy elementi hisoblanadi. Ular real dunyo ob'ektlarini tasvirlash uchun ishlatiladi, ularda ma'lum resurslar to'planadi: pullar, moddalar, odamlar guruhlari soni, ba'zi moddiy ob'ektlar va boshqalar. Akkumulyatorlar simulyatsiya qilingan tizimning statik holatini aks ettiradi va ularning qiymatlari vaqt o'tishi bilan tizimdagi oqimlarga mos ravishda o'zgaradi. Bundan kelib chiqadiki, tizimning dinamikasi oqimlar bilan belgilanadi. Akkumulyatorga kiradigan va undan chiqadigan oqimlar akkumulyator qiymatlarini oshiradi yoki kamaytiradi.
Oqim, shuningdek, yuqorida aytib o'tilgan haydovchi tizim-dinamik diagrammalarning asosiy elementi hisoblanadi.
Binlar tizimning statik qismini aniqlasa, oqimlar qutilarning o'zgarish tezligini, ya'ni vaqt o'tishi bilan zahiralarning qanday o'zgarishini aniqlaydi va shu bilan tizimning dinamikasini aniqlaydi.
Agentda o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin. O'zgaruvchilar odatda agentning o'zgaruvchan xususiyatlarini modellashtirish yoki model natijalarini saqlash uchun ishlatiladi. Odatda, dinamik o'zgaruvchilar akkumulyator funksiyalaridan iborat.
Agent parametrlarga ega bo'lishi mumkin. Parametrlar ko'pincha modellashtirilgan ob'ektning ba'zi xususiyatlarini ifodalash uchun ishlatiladi. Ular ob'ekt namunalari sinfda tavsiflanganidek bir xil xatti-harakatlarga ega bo'lsa, lekin ba'zi parametr qiymatlarida farq qilsa foydali bo'ladi. O'zgaruvchilar va parametrlar o'rtasida aniq farq bor. O'zgaruvchi modelning holatini ifodalaydi va simulyatsiya paytida o'zgarishi mumkin. Parametr odatda ob'ektlarni statik tasvirlash uchun ishlatiladi. Modelning bir "ishlashi" vaqtida parametr odatda doimiy bo'lib, faqat modelning xatti-harakatlarini qayta sozlash kerak bo'lganda o'zgartiriladi.
Bog'lanish - tizim dinamikasining elementi bo'lib, oqim diagrammasi elementlari va akkumulyatorlar o'rtasidagi munosabatlarni aniqlash uchun ishlatiladi.U avtomatik ravishda havolalarni yaratmaydi, lekin foydalanuvchini ularni grafik muharrirda aniq chizishga majbur qiladi (ammo shuni ta'kidlash kerak AnyLogic shuningdek, etishmayotgan havolalarni tezda o'rnatish mexanizmini qo'llab-quvvatlaydi). Misol tariqasida, agar tenglamada A ning biron bir elementi yoki B elementining boshlang'ich qiymati qayd etilgan bo'lsa, unda siz avval ushbu elementlarni A dan B gacha bo'lgan havola bilan bog'lashingiz kerak va shundan keyingina B ning xususiyatlariga ifodani kiritishingiz kerak. .
Tizim dinamikasining boshqa ba'zi elementlari ham mavjud, ammo ular ish jarayonida ishtirok etmaydi, shuning uchun biz ularni o'tkazib yuboramiz.
Boshlash uchun (1.4) tizim modeli nimadan iborat bo'lishini ko'rib chiqamiz.
Birinchidan, biz darhol ikkita drayverni belgilaymiz, ularda har bir korxonaning ishlab chiqarish miqdori qiymatlari mavjud.
Ikkinchidan, har bir tenglamada ikkita atama mavjud bo'lganligi sababli, biz drayvlarning har biriga ikkita oqim olamiz, biri kiruvchi, ikkinchisi chiquvchi.
Uchinchidan, biz o'zgaruvchilar va parametrlarga o'tamiz. Faqat ikkita o'zgaruvchi mavjud. Ishlab chiqarishning o'sishi uchun mas'ul bo'lgan X va Y. Shuningdek, bizda to'rtta variant bor.
To'rtinchidan, ulanishlarga kelsak, oqimlarning har biri oqim tenglamasiga kiritilgan o'zgaruvchilar va parametrlar bilan bog'liq bo'lishi kerak va vaqt o'tishi bilan qiymatni o'zgartirish uchun ikkala o'zgaruvchi ham akkumulyatorlar bilan bog'langan bo'lishi kerak.
Biz AnyLogic modellashtirish muhitida ishlash misoli sifatida keyingi tizim uchun model qurishning batafsil tavsifini qoldiramiz, chunki u biroz murakkabroq va ko'proq parametrlardan foydalanadi va biz darhol modelning tugallangan versiyasini ko'rib chiqishga kirishamiz. tizimi.
Quyidagi 1.9-rasmda tuzilgan model ko'rsatilgan:
1.9-rasm. Tizim uchun tizim dinamikasi modeli (1.4)
Tizim dinamikasining barcha elementlari yuqorida tavsiflanganlarga mos keladi, ya'ni. ikkita drayv, to'rtta oqim (ikkita kiruvchi, ikkita chiquvchi), to'rtta parametr, ikkita dinamik o'zgaruvchi va kerakli havolalar.
Rasmda ko'rsatilgandek, mahsulot qancha ko'p bo'lsa, uning o'sishi shunchalik kuchli bo'lib, bu bizning tizimimizga mos keladigan tovarlar sonining keskin ko'payishiga olib keladi. Ammo avval aytib o'tilganidek, ushbu o'sish bo'yicha cheklovlarning yo'qligi ushbu modelni amalda qo'llash imkonini bermaydi.
To'yinganlikdan Maltus o'sish modeli/
Ushbu tizimni ko'rib chiqsak, modelni qurish haqida batafsilroq to'xtalamiz.
Birinchi qadam ikkita drayverni qo'shishdir, keling, ularni X_stock va Y_stock deb ataymiz. Keling, ularning har biriga 1 ga teng boshlang'ich qiymatni belgilaymiz.E'tibor bering, oqimlar yo'q bo'lganda, klassik tarzda berilgan saqlash tenglamasida hech narsa yo'q.
1.10-rasm. Tizim modelini yaratish (1.9)
Keyingi qadam iplarni qo'shishdir. Keling, grafik muharrir yordamida har bir disk uchun kiruvchi va chiquvchi oqimni yarataylik. Oqimning chekkalaridan biri haydovchida bo'lishi kerakligini unutmasligimiz kerak, aks holda ular ulanmaydi.
Drayv uchun tenglama avtomatik ravishda o'rnatilganligini ko'rishingiz mumkin, albatta, foydalanuvchi "ixtiyoriy" tenglama rejimini tanlab, uni o'zi yozishi mumkin, ammo eng oson yo'li bu amalni dasturga qoldirishdir.
Bizning uchinchi qadamimiz oltita parametr va ikkita dinamik o'zgaruvchini qo'shishdir. Har bir elementga tizimdagi harfiy ifodasiga mos nom beraylik, shuningdek, parametrlarning boshlang'ich qiymatlarini quyidagicha o'rnatamiz: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.
Tenglamalarning barcha elementlari mavjud, faqat oqimlar uchun tenglamalarni yozish uchun qoladi, ammo buning uchun birinchi navbatda elementlar orasidagi ulanishlarni qo'shish kerak. Masalan, atama uchun mas'ul bo'lgan chiquvchi oqim e1 va x bilan bog'langan bo'lishi kerak. Va har bir dinamik o'zgaruvchi o'zining tegishli zaxirasi bilan bog'lanishi kerak (X_stock x, Y_stock y). Havolalar yaratish mavzularni qo'shishga o'xshaydi.
Kerakli ulanishlarni yaratgandan so'ng, siz o'ng rasmda ko'rsatilgan oqimlar uchun tenglamalarni yozishga o'tishingiz mumkin. Albatta, siz teskari tartibda borishingiz mumkin, ammo agar ulanishlar mavjud bo'lsa, tenglamalarni yozishda kerakli parametrlarni / o'zgaruvchilarni almashtirish uchun maslahatlar paydo bo'ladi, bu murakkab modellarda vazifani osonlashtiradi.
Barcha bosqichlarni bajarganingizdan so'ng, siz simulyatsiya modelini ishga tushirishingiz va uning natijasini ko'rishingiz mumkin.
O'zaro munosabatlar sharoitida kompaniyalarning o'zaro ta'siri uchun chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar tizimini ko'rib chiqsak, biz bir nechta xulosalar chiqarishimiz mumkin.
Tizimning ikkita holati mavjud: keskin cheksiz o'sish yoki ishlab chiqarish miqdorining nolga tushish tendentsiyasi. Tizim ikki holatdan qaysi birini qabul qilishi parametrlarga bog'liq.
Taklif etilayotgan modellarning hech biri, shu jumladan to'yinganlikni hisobga olgan holda model, nolga teng bo'lmagan barqaror pozitsiyaning yo'qligi, shuningdek 1-bandda tavsiflangan sabablarga ko'ra amaliy foydalanish uchun mos emas.
Kompaniyalar tomonidan amalda qo'llaniladigan modelni yaratish uchun ushbu turdagi simbiotik o'zaro ta'sirni yanada o'rganishga urinish bo'lsa, tizimni yanada murakkablashtirish va yangi parametrlarni joriy qilish kerak. Masalan, Bazikin o'z kitobida qo'shimcha tur ichidagi raqobat omilini kiritish bilan ikkita o'zaro populyatsiyaning dinamikasiga misol keltiradi. Buning natijasida tizim quyidagi shaklni oladi:
(1.15)
Va bu holda, noldan "egar" bilan ajratilgan tizimning nolga teng bo'lmagan barqaror pozitsiyasi paydo bo'ladi, bu uni sodir bo'layotgan voqealarning haqiqiy rasmiga yaqinlashtiradi.
2. Protokooperatsiya sharoitida kompaniyalarning o'zaro hamkorligi
Barcha asosiy nazariy ma'lumotlar oldingi bobda keltirilgan edi, shuning uchun ushbu bobda ko'rib chiqilgan modellarni tahlil qilishda, ko'pincha, nazariya o'tkazib yuboriladi, oldingi bobda biz uchratmagan bir nechta fikrlar bundan mustasno. bob, shuningdek, hisob-kitoblarning qisqarishi ham bo'lishi mumkin. Maltus modeliga asoslangan ikkita tenglamalar tizimidan iborat bo'lgan protokooperatsiya sharoitida ushbu bobda ko'rib chiqilgan tashkilotlar o'rtasidagi o'zaro ta'sir modeli (1.5) tizimga o'xshaydi. Oldingi bobda tahlil qilingan tizimlar shuni ko'rsatdiki, ularni mavjud modellarga maksimal darajada yaqinlashtirish uchun tizimlarni murakkablashtirish kerak. Ushbu topilmalar asosida biz darhol modelga o'sish cheklovini qo'shamiz. O'zaro ta'sirning oldingi turidan farqli o'laroq, boshqa kompaniyaga bog'liq bo'lmagan o'sish salbiy bo'lsa, bu holda barcha belgilar ijobiy bo'ladi, ya'ni bizda doimiy o'sish bor. Yuqorida tavsiflangan kamchiliklardan qochib, biz uni quyidagi shaklga ega bo'lgan Verhulst tenglamasi (Gershenfeld, 1999) deb ham ataladigan logistik tenglama bilan cheklashga harakat qilamiz:
, (2.1)
Bu erda P - populyatsiya soni, r - o'sish sur'atini ko'rsatadigan parametr, K - maksimal mumkin bo'lgan populyatsiya miqdori uchun javob beradigan parametr. Ya'ni, vaqt o'tishi bilan aholi soni (bizning holatimizda ishlab chiqarish) ma'lum bir parametr K ga moyil bo'ladi.
Ushbu tenglama biz hozirgacha ko'rgan ishlab chiqarishning jadal o'sishini cheklashga yordam beradi. Shunday qilib, tizim quyidagi shaklni oladi:
(2.2)
Shuni unutmangki, har bir kompaniya uchun omborda saqlanadigan tovarlar hajmi har xil, shuning uchun o'sishni cheklaydigan parametrlar boshqacha. Keling, ushbu tizimni "" deb ataymiz va kelajakda biz buni ko'rib chiqsak, bu nomdan foydalanamiz.
Biz ko'rib chiqadigan ikkinchi tizim - Verhulst cheklovi bilan modelning keyingi rivojlanishi. Oldingi bobda bo'lgani kabi, biz to'yinganlik cheklovini kiritamiz, keyin tizim quyidagi shaklni oladi:
(2.3)
Endi atamalarning har biri o'z chegarasiga ega, shuning uchun keyingi tahlillarsiz oldingi bobning modellarida bo'lgani kabi cheksiz o'sish bo'lmasligini ko'rish mumkin. Va atamalarning har biri ijobiy o'sishni ko'rsatganligi sababli, ishlab chiqarish miqdori nolga tushmaydi. Keling, ushbu modelni "ikki cheklangan protooperatsiya modeli" deb ataymiz.
Ushbu ikki model biologik populyatsiyalar bo'yicha turli manbalarda muhokama qilinadi. Endi biz tizimlarni biroz kengaytirishga harakat qilamiz. Buning uchun quyidagi rasmni ko'rib chiqing.
Rasmda ikkita kompaniyaning jarayonlari misoli ko'rsatilgan: po'lat va ko'mir sanoati. Ikkala korxonada ham bir-biridan mustaqil bo'lgan ishlab chiqarishning o'sishi, shuningdek, ularning o'zaro ta'siri natijasida olingan mahsulotning ko'payishi kuzatiladi. Biz buni oldingi modellarda allaqachon hisobga olganmiz. Endi shuni e'tiborga olish kerakki, kompaniyalar nafaqat mahsulot ishlab chiqaradi, balki ularni, masalan, bozorga yoki u bilan o'zaro aloqada bo'lgan kompaniyaga sotadi. Bular. Mantiqiy xulosalarga asoslanib, mahsulotlarni sotish (rasmda b1 va b2 parametrlari buning uchun javob beradi), shuningdek mahsulotning bir qismini boshqa korxonaga o'tkazish tufayli kompaniyalarning salbiy o'sishiga ehtiyoj bor. . Ilgari biz buni faqat boshqa kompaniya uchun ijobiy belgi bilan hisobga oldik, lekin mahsulotlarni o'tkazishda birinchi korxona uchun mahsulot soni kamayib ketishini hisobga olmadik. Bunday holda biz tizimni olamiz:
(2.4)
Va agar atama haqida aytish mumkin bo'lsa, agar avvalgi modellarda tabiiy o'sishni tavsiflovchi va parametr salbiy bo'lishi mumkinligi ko'rsatilgan bo'lsa, u holda bu atama haqida deyarli hech qanday farq yo'q. 
buni aytish mumkin emas. Bundan tashqari, kelajakda bunday tizimni cheklash bilan ko'rib chiqishda, ijobiy va salbiy o'sish shartlaridan foydalanish to'g'riroq bo'ladi, chunki bu holda ularga turli xil cheklovlar qo'llanilishi mumkin, bu tabiiy ravishda mumkin emas. o'sish. Keling, buni "kengaytirilgan proto-hamkorlik modeli" deb ataymiz.
Va nihoyat, ko'rib chiqilayotgan to'rtinchi model - ilgari aytib o'tilgan logistika o'sish cheklovi bilan kengaytirilgan proto-hamkorlik modeli. Va ushbu model uchun tizim quyidagicha:
, (2.5)
logistika cheklovini hisobga olgan holda, ikkinchidan mustaqil ravishda birinchi korxonaning ishlab chiqarish hajmining o'sishi qayerda; 
- birinchi korxonaning ishlab chiqarish hajmini ikkinchisiga qarab, moddiy-texnik jihatdan cheklanishni hisobga olgan holda o'sishi, - ikkinchi korxonaning ishlab chiqarish hajmini birinchisidan mustaqil ravishda, moddiy-texnik cheklovni hisobga olgan holda oshirish; 
- logistika cheklanganligini hisobga olgan holda, birinchisiga qarab ikkinchi kompaniyaning ishlab chiqarish hajmini oshirish, - birinchi kompaniyaning boshqasiga aloqador bo'lmagan tovarlarini iste'mol qilish, - ikkinchi kompaniyaning boshqasiga bog'liq bo'lmagan tovarlarini iste'mol qilish. , - birinchi sanoat tovarlarini ikkinchi sanoat tomonidan iste'mol qilish, - ikkinchi sanoat tovarlarini iste'mol qilish birinchi sanoat.
Kelajakda ushbu model "logistik cheklovlar bilan kengaytirilgan proto-operatsiya modeli" deb nomlanadi.
1 Birinchi yaqinlikdagi tizimlarning barqarorligi
Verhulst cheklovi bilan proto-operatsiya modeli
Tizimning barqarorligini tahlil qilish usullari oldingi bobning shunga o'xshash qismida ko'rsatilgan. Avvalo, biz muvozanat nuqtalarini topamiz. Ulardan biri, har doimgidek, nolga teng. Ikkinchisi esa koordinatali nuqtadir.
Nol nuqtasi uchun l1 =, l2 =, chunki ikkala parametr ham manfiy emas, biz beqaror tugunni olamiz.
Ikkinchi nuqta bilan ishlash juda qulay emasligi sababli, ifodani qisqartirish imkoniyati yo'qligi sababli, barqarorlik turini aniqlashni fazaviy diagrammalarga qoldiramiz, chunki ular muvozanat nuqtasi barqaror yoki yo'qligini aniq ko'rsatadi. yoki yo'q.
Ushbu tizimni tahlil qilish avvalgisiga qaraganda murakkabroq, chunki to'yinganlik omili qo'shiladi, shuning uchun yangi parametrlar paydo bo'ladi va muvozanat nuqtalarini topishda chiziqli emas, balki ikki chiziqli tenglamani yechish kerak bo'ladi. maxrajdagi o'zgaruvchi. Shuning uchun, avvalgi holatda bo'lgani kabi, barqarorlik turining ta'rifini fazali diagrammalarga qoldiramiz.
Yangi parametrlarning paydo bo'lishiga qaramay, nol nuqtadagi Yakobiy, shuningdek, xarakterli tenglamaning ildizlari oldingi modelga o'xshash ko'rinadi. Shunday qilib, nol nuqtada, beqaror tugun.
Keling, ilg'or modellarga o'tamiz. Ulardan birinchisi hech qanday cheklovlarni o'z ichiga olmaydi va tizim shaklini oladi (2.4).
Keling, o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz, 
, 
va 
. Yangi tizim:
(2.6)
Bu holda biz ikkita muvozanat nuqtasini, A(0,0), B() nuqtasini olamiz. B nuqtasi birinchi chorakda joylashgan, chunki o'zgaruvchilar manfiy bo'lmagan qiymatga ega.
A muvozanat nuqtasi uchun biz quyidagilarni olamiz:
. 
- beqaror tugun
. 
- egar,
. 
- egar,
. 
- barqaror tugun
B nuqtada xarakteristik tenglamaning ildizlari kompleks sonlar: l1 =, l2 =. Biz Lyapunov teoremalariga tayanib barqarorlik turini aniqlay olmaymiz, shuning uchun biz barcha mumkin bo'lgan holatlarni ko'rsatmaydigan, lekin hech bo'lmaganda ba'zilarini aniqlashga imkon beradigan raqamli simulyatsiyalarni amalga oshiramiz.
2.2-rasm. Barqarorlik turini qidirishning raqamli simulyatsiyasi
Ushbu modelni hisobga olgan holda, hisoblash qiyinchiliklariga duch kelishingiz kerak bo'ladi, chunki u juda ko'p turli xil parametrlarga ega, shuningdek ikkita cheklovga ega.
Hisob-kitoblarning tafsilotlariga kirmasdan, biz quyidagi muvozanat nuqtalariga kelamiz. A(0,0) nuqta va B nuqta quyidagi koordinatalarga ega:
(), bu erda a = 
A nuqtasi uchun barqarorlik turini aniqlash arzimas vazifadir. Xarakteristik tenglamaning ildizlari l1 =, l2 =. Shunday qilib, biz to'rtta variantni olamiz:
1. l1 > 0, l2 > 0 - beqaror tugun.
2.l1< 0, λ2 >0 - egar.
3. l1 > 0, l2< 0 - седло.
4.l1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.
B nuqtasi haqida gapiradigan bo'lsak, uning ifodasiga qisqartmalarni almashtirish Yakobiy bilan ishlashni va xarakterli tenglamaning ildizlarini topishni qiyinlashtirishiga rozi bo'lish kerak. Masalan, WolframAlpha hisoblash vositalaridan foydalangan holda ularni topishga urinib ko'rganingizdan so'ng, ildizlarning chiqishi taxminan besh qatorni oldi, bu ular bilan tom ma'noda ishlashga imkon bermaydi. Albatta, agar mavjud parametrlar mavjud bo'lsa, tezda muvozanat nuqtasini topish mumkin ko'rinadi, ammo bu alohida holat, chunki biz muvozanat holatini, agar mavjud bo'lsa, faqat ushbu parametrlar uchun topamiz, bu qaror qabul qilish uchun mos kelmaydi. modeli yaratilishi rejalashtirilgan qo'llab-quvvatlash tizimi. .
Xarakteristik tenglamaning ildizlari bilan ishlashning murakkabligi tufayli biz nol-izoklinlarning o'zaro joylashishini Bazykin ishida tahlil qilingan tizimga o'xshash tarzda quramiz (Bazykin, 2003). Bu tizimning mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqishga va kelajakda fazali portretlarni qurishda muvozanat nuqtalarini va ularning barqarorligi turlarini topishga imkon beradi.
Ba'zi hisob-kitoblardan so'ng, nol-izoklinik tenglamalar quyidagi shaklni oladi:
(2.7)
Shunday qilib, izoklinlar parabola shakliga ega.
2.3-rasm. Mumkin bo'lgan nol-izoklinik joylashuv
Hammasi bo'lib, parabolalar orasidagi umumiy nuqtalar soniga ko'ra ularning o'zaro joylashishining to'rtta mumkin bo'lgan holatlari mavjud. Ularning har biri o'z parametrlari to'plamiga ega va shuning uchun tizimning fazali portretlari mavjud.
2 Tizimlarning fazali portretlari
Keling, tizimning fazali portretini tuzamiz, agar shunday bo'lsa 
qolgan parametrlar esa 1 ga teng. Bu holda sifat o‘zgarmasligi uchun bitta o‘zgaruvchi to‘plami yetarli.
Quyidagi raqamlardan ko'rinib turibdiki, nol nuqtasi beqaror tugun, ikkinchi nuqta esa, agar parametrlarning raqamli qiymatlarini almashtirsak, biz (-1,5, -1,5) - egarni olamiz.
2.4-rasm. Tizim uchun fazali portret (2.2)
Shunday qilib, hech qanday o'zgarishlar bo'lmasligi kerakligi sababli, bu tizim uchun faqat beqaror holatlar mavjud bo'lib, bu cheksiz o'sish ehtimoli bilan bog'liq.
Ikki cheklovga ega proto-operatsiya modeli.
Ushbu tizimda qo'shimcha cheklovchi omil mavjud, shuning uchun fazali diagrammalar rasmda ko'rinib turganidek, oldingi holatdan farq qilishi kerak. Nolinchi nuqta ham beqaror tugundir, lekin bu tizimda barqaror pozitsiya, ya'ni barqaror tugun paydo bo'ladi. Ushbu parametrlar bilan uning koordinatalari (5.5,5.5), rasmda ko'rsatilgan.
2.5-rasm. Tizim uchun fazali portret (2.3)
Shunday qilib, har bir atama bo'yicha cheklov tizimning barqaror pozitsiyasini olish imkonini berdi.
Kengaytirilgan proto-operatsiya modeli.
Keling, kengaytirilgan model uchun bosqichli portretlarni yarataylik, lekin darhol uning o'zgartirilgan shaklidan foydalanib:
Nol muvozanat nuqtasiga ega bo'lgan barcha holatlarni ko'rib chiqish, shuningdek nolga teng bo'lmagan muvozanat nuqtasi uchun ishlatiladigan raqamli simulyatsiyaning fazali diagrammalarini ko'rsatish kabi to'rtta parametrlar to'plamini ko'rib chiqaylik: A (1,0,5,0,5) to'plami. holatiga mos keladi , B(1,0,5,-0,5) to'plami mos keladi 
C(-1.0.5,0.5) va D(-1.0.5,-0.5) oʻrnating. 
, ya'ni nol nuqtada barqaror tugun. Birinchi ikkita to'plam biz raqamli simulyatsiyada ko'rib chiqqan parametrlar uchun fazali portretlarni namoyish etadi.
2.6-rasm. A-D parametrlari bilan tizim (2.4) uchun fazali portret.
Raqamlarda mos ravishda (-1,2) va (1,-2) nuqtalarga e'tibor berish kerak, ularda "egar" paydo bo'ladi. Batafsilroq tasvirlash uchun rasmda egar nuqtasi (1,-2) bilan raqamning boshqa shkalasi ko'rsatilgan. Rasmda (1,2) va (-1,-2) nuqtalarda barqaror markaz ko'rinadi. Nolinchi nuqtaga kelsak, fazali diagrammalar bo'yicha shakldan tortib to raqamgacha, biz beqaror tugunni, egarni, egarni va barqaror tugunni aniq ajratishimiz mumkin.
Logistik cheklovlar bilan kengaytirilgan proto-hamkorlik modeli.
Oldingi modelda bo'lgani kabi, biz nol nuqtasining to'rtta holati uchun fazali portretlarni namoyish qilamiz va ushbu diagrammalarda nolga teng bo'lmagan echimlarni ham qayd etishga harakat qilamiz. Buning uchun quyidagi tartibda ko'rsatilgan parametrlar bilan quyidagi parametrlar to'plamini oling (: A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2). ,1) va D (1,2,1,2). Barcha to'plamlar uchun qolgan parametrlar quyidagicha bo'ladi: , 
.
Quyida keltirilgan raqamlarda ushbu dinamik tizim uchun oldingi bobda tasvirlangan nol nuqtasining to'rtta muvozanat holatini kuzatish mumkin. Shuningdek, raqamlarda bitta nolga teng bo'lmagan koordinatali nuqtaning barqaror holati.
2.7-rasm. A-B parametrlari bilan tizim (2.5) uchun fazali portret
3 Tizimlarning integral traektoriyalari
Verhulst cheklovi bilan proto-operatsiya modeli
Oldingi bobda bo'lgani kabi, biz har bir differensial tenglamani alohida yechamiz va o'zgaruvchilarning vaqt parametriga bog'liqligini aniq ifodalaymiz.
(2.8)
(2.9)
Olingan tenglamalardan ko'rinib turibdiki, har bir o'zgaruvchining qiymati ortib boradi, bu quyidagi uch o'lchovli modelda ko'rsatilgan.
2.8-rasm. (2.8) tenglama uchun uch o'lchovli model
Ushbu turdagi grafik dastlab 1-bobda muhokama qilingan to'yinmagan 3D Maltus modeliga o'xshaydi, chunki u xuddi shunday tez o'sishga ega, ammo keyinchalik siz chiqish chegarasiga erishilganda o'sish sur'atining pasayishini ko'rishingiz mumkin. Shunday qilib, integral egri chiziqlarning yakuniy ko'rinishi atamalardan birini cheklash uchun ishlatilgan logistik tenglamaning syujetiga o'xshaydi.
Ikki cheklovga ega proto-operatsiya modeli.
Biz tenglamalarning har birini Wolfram Alpha vositalari yordamida yechamiz. Shunday qilib, x(t) funksiyaning bog'liqligi quyidagi ko'rinishga keltiriladi:
(2.10)
Ikkinchi funktsiya uchun vaziyat o'xshash, shuning uchun biz uning yechimini qoldiramiz. Raqamli qiymatlar parametrlarni ma'lum tegishli qiymatlar bilan almashtirish tufayli paydo bo'ldi, bu integral egri chiziqlarning sifat ko'rsatkichlariga ta'sir qilmaydi. Quyidagi jadvallar o'sish chegaralaridan foydalanishni ko'rsatadi, chunki eksponentsial o'sish vaqt o'tishi bilan logarifmik bo'ladi.
2.9-rasm. (2.10) tenglama uchun uch o'lchovli model
Kengaytirilgan proto-operatsiya modeli
Mutualizmga ega modellarga deyarli o'xshash. Yagona farq ushbu modellarga nisbatan tezroq o'sishdadir, buni quyidagi tenglamalardan (agar ko'rsatkich darajasiga qarasangiz) va grafiklardan ko'rish mumkin. Integral egri chiziq ko'rsatkich shaklini olishi kerak.
(2.11)
(2.12)
Logistik cheklovlar bilan kengaytirilgan proto-hamkorlik modeli
X(t) bog'liqligi quyidagicha ko'rinadi:
Grafiksiz funktsiyaning harakatini baholash qiyin, shuning uchun bizga allaqachon ma'lum bo'lgan vositalardan foydalanib, biz uni quramiz.
2.10-rasm Tenglama uchun 3D model
Funktsiyaning qiymati boshqa o'zgaruvchining kichik bo'lmagan qiymatlari uchun pasayadi, bu salbiy ikki chiziqli atama bo'yicha cheklovlar yo'qligi bilan bog'liq va aniq natijadir.
4 O'zaro ta'sir qiluvchi kompaniyalarning tizim dinamikasi
Verhulst cheklovi bilan proto-operatsiya modeli.
(2.2) tizimni tuzamiz. Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan vositalardan foydalanib, biz simulyatsiya modelini yaratamiz. Bu safar, mutualistik modellardan farqli o'laroq, model logistik cheklovga ega bo'ladi.
2.11-rasm. Tizim uchun tizim dinamikasi modeli (2.2)
Keling, modelni ishga tushiramiz. Ushbu modelda shuni ta'kidlash kerakki, munosabatlardan o'sish hech narsa bilan cheklanmaydi va boshqasining ta'sirisiz mahsulotning o'sishi o'ziga xos cheklovga ega. Agar siz logistik funktsiyaning ifodasini ko'rib chiqsangiz, o'zgaruvchi (tovarlar soni) maksimal mumkin bo'lgan saqlash hajmidan oshib ketganda, atama salbiy bo'lishini ko'rishingiz mumkin. Agar faqat logistika funktsiyasi mavjud bo'lsa, bu mumkin emas, lekin qo'shimcha har doim ijobiy o'sish omili bilan bu mumkin. Va endi shuni tushunish kerakki, logistika funktsiyasi mahsulotlar sonining juda tez o'sishi, masalan, chiziqli vaziyatni engishini tushunish kerak. Keling, quyidagi rasmlarni ko'rib chiqaylik.
2.12-rasm. Tizim uchun tizim dinamikasi modelining ishlashiga misol (2.2)
Chapdagi rasmda tavsiya etilgan modelga mos keladigan dasturning 5-bosqichi ko'rsatilgan. Ammo ayni paytda to'g'ri raqamga e'tibor berishga arziydi.
Birinchidan, Y_stock uchun kiruvchi oqimlardan biri uchun x bilan ifodalangan havola olib tashlandi. Bu X_stock uchun taqdim etilgan chiziqli har doim ijobiy oqim va ikki chiziqli o'sish bilan modelning ishlashidagi farqni ko'rsatish uchun amalga oshiriladi. Chiziqli cheksiz oqimlar bilan, K parametridan oshib ketgandan so'ng, tizim bir nuqtada muvozanatga keladi (ushbu modelda muvozanat holati 200 ming birlik tovarni tashkil qiladi). Ammo ancha oldin, ikki chiziqli o'sish cheksizlikka o'tib, tovarlar miqdorining keskin o'sishiga olib keladi. Agar biz o'ngni ham, chapni ham doimiy ijobiy oqimlarni ikki chiziqli qoldirsak, u holda taxminan 20-30 qadamda akkumulyatorning qiymati ikki cheksizlik farqiga keladi.
Yuqoridagilarga asoslanib, ishonch bilan aytish mumkinki, bunday modellardan keyingi foydalanishda har qanday ijobiy o'sishni cheklash kerak.
Ikki cheklovga ega proto-operatsiya modeli.
Oldingi modelning kamchiliklarini aniqlab, ikkinchi muddatga to'yinganlik omili bo'yicha cheklov kiritib, biz yangi modelni quramiz va ishga tushiramiz.
2.13-rasm. Tizim dinamikasi modeli va uning tizim uchun ishlashiga misol (2.3)
Ushbu model, oxir-oqibat, uzoq kutilgan natijalarni beradi. Akkumulyator qiymatlarining o'sishini cheklash uchun chiqdi. To'g'ri rasmdan ko'rinib turibdiki, har ikkala korxona uchun ham muvozanat saqlash hajmining biroz oshib ketishi bilan erishiladi.
Kengaytirilgan proto-operatsiya modeli.
Ushbu modelning tizim dinamikasini ko'rib chiqishda modellarni rangli vizualizatsiya qilish uchun AnyLogic dasturiy muhitining imkoniyatlari namoyish etiladi. Oldingi barcha modellar faqat tizim dinamikasi elementlaridan foydalangan holda qurilgan. Shu sababli, modellarning o'zlari beparvo ko'rinardi, ular vaqt o'tishi bilan ishlab chiqarish hajmidagi o'zgarishlar dinamikasini kuzatishga va dastur ishlayotgan vaqtda parametrlarni o'zgartirishga imkon bermadi. Ushbu va keyingi modellar bilan ishlashda biz yuqoridagi uchta kamchiliklarni o'zgartirish uchun dastur imkoniyatlaridan kengroq foydalanishga harakat qilamiz.
Birinchidan, "tizim dinamikasi" bo'limiga qo'shimcha ravishda, dasturda "rasmlar", "3D-ob'ektlar" bo'limlari mavjud bo'lib, ular modelni diversifikatsiya qilish imkonini beradi, bu uning keyingi taqdimoti uchun foydalidir, chunki u modelni yaratadi. "yoqimliroq" ko'ring.
Ikkinchidan, model qiymatlaridagi o'zgarishlar dinamikasini kuzatish uchun "statistika" bo'limi mavjud bo'lib, u diagrammalar va turli xil ma'lumotlarni yig'ish vositalarini modelga bog'lash orqali qo'shish imkonini beradi.
Uchinchidan, modelni bajarish jarayonida parametrlarni va boshqa ob'ektlarni o'zgartirish uchun "boshqaruv" bo'limi mavjud. Ushbu bo'limdagi ob'ektlar model ishlayotgan paytda parametrlarni o'zgartirishga imkon beradi (masalan, "slayder"), ob'ektning turli holatlarini tanlash (masalan, "o'tish") va ish paytida dastlab belgilangan ma'lumotlarni o'zgartiradigan boshqa harakatlarni bajarish. .
Model korxonalar ishlab chiqarishidagi o'zgarishlar dinamikasi bilan tanishishni o'rgatish uchun mos keladi, ammo o'sishda cheklovlarning yo'qligi uni amalda qo'llashga imkon bermaydi.
Logistik cheklovlar bilan kengaytirilgan proto-hamkorlik modeli.
Oldindan tayyorlangan oldingi modeldan foydalanib, biz logistik tenglamadan o'sishni cheklash uchun parametrlarni qo'shamiz.
Biz modelni qurishni o'tkazib yuboramiz, chunki ishda taqdim etilgan oldingi beshta model allaqachon ular bilan ishlash uchun barcha zarur vositalar va tamoyillarni namoyish etgan. Shuni ta'kidlash kerakki, uning xatti-harakati Verhulst cheklovi bilan proto-hamkorlik modeliga o'xshaydi. Bular. to'yinganlikning yo'qligi uning amaliy qo'llanilishiga to'sqinlik qiladi.
Modellarni proto-hamkorlik nuqtai nazaridan tahlil qilgandan so'ng, biz bir nechta asosiy fikrlarni aniqlaymiz:
Amalda ushbu bobda ko'rib chiqilgan modellar o'zaro bog'liqlikdan ko'ra ko'proq mos keladi, chunki ular ikkita shart bilan ham nolga teng bo'lmagan barqaror muvozanat pozitsiyalariga ega. Eslatib o'taman, o'zaro munosabatlar modellarida biz bunga faqat uchinchi muddatni qo'shish orqali erisha oldik.
Tegishli modellar atamalarning har biri bo'yicha cheklovlarga ega bo'lishi kerak, chunki aks holda, bilinear omillarning keskin o'sishi butun simulyatsiya modelini "yo'q qiladi".
2-banddan kelib chiqqan holda, kengaytirilgan modelga to'yinganlik koeffitsientining Verhulst cheklovi bilan proto-operatsiyani qo'shganda, shuningdek ishlab chiqarishning kamroq tanqidiy miqdorini qo'shganda, model ishlarning haqiqiy holatiga iloji boricha yaqinlashishi kerak. Ammo shuni unutmangki, tizimning bunday manipulyatsiyasi uning tahlilini murakkablashtiradi.
Xulosa
Tadqiqot natijasida bir-biriga o'zaro ta'sir ko'rsatadigan korxonalar tomonidan ishlab chiqarish dinamikasini tavsiflovchi oltita tizim tahlil qilindi. Natijada, muvozanat nuqtalari va ularning barqarorligi turlari quyidagi usullardan biri bilan aniqlandi: analitik yoki ba'zi sabablarga ko'ra analitik yechim mumkin bo'lmagan hollarda tuzilgan fazali portretlar tufayli. Tizimlarning har biri uchun fazali diagrammalar qurilgan, shuningdek, uch o'lchovli modellar qurilgan bo'lib, ular asosida loyihalashda (x, t), (y, t) tekisliklarda integral egri chiziqlarni olish mumkin. Shundan so'ng, AnyLogic modellashtirish muhitidan foydalanib, barcha modellar qurildi va ularning xatti-harakatlari ma'lum parametrlar ostida ko'rib chiqildi.
Tizimlarni tahlil qilgandan va ularning simulyatsiya modellarini yaratgandan so'ng, bu modellarni faqat o'qitish yoki makroskopik tizimlarni tavsiflash uchun ko'rib chiqilishi mumkin, ammo aniqligi pastligi va ba'zi joylarda alohida kompaniyalar uchun qarorlarni qo'llab-quvvatlash tizimi sifatida emas. davom etayotgan jarayonlarning ishonchli ifodasi emas. Ammo shuni ham unutmangki, modelni tavsiflovchi dinamik tizim qanchalik to'g'ri bo'lmasin, har bir kompaniya / tashkilot / sanoatning o'ziga xos jarayonlari va cheklovlari mavjud, shuning uchun umumiy modelni yaratish va tavsiflash mumkin emas. Har bir aniq holatda, u o'zgartiriladi: yanada murakkablashadi yoki aksincha, keyingi ish uchun soddalashtiriladi.
Har bir bob bo'yicha xulosalardan xulosa chiqarar ekanmiz, aniqlangan haqiqatga e'tibor qaratish lozimki, tenglamaning har bir shartiga cheklovlar kiritish, garchi bu tizimni murakkablashtirsa ham, tizimning barqaror pozitsiyalarini aniqlashga imkon beradi. shuningdek, uni haqiqatda sodir bo'layotgan narsalarga yaqinlashtiradi. Shuni ta'kidlash kerakki, proto-kooperatsiya modellari o'rganish uchun ko'proq mos keladi, chunki biz ko'rib chiqqan ikkita o'zaro modeldan farqli o'laroq, ular nolga teng bo'lmagan barqaror pozitsiyalarga ega.
Shunday qilib, ushbu tadqiqot maqsadiga erishildi va vazifalar bajarildi. Kelajakda ushbu ishning davomi sifatida protooperatsiya turining o'zaro ta'sirining kengaytirilgan modeli ko'rib chiqiladi, unga uchta cheklov kiritilgan: logistika, to'yinganlik koeffitsienti, pastki kritik raqam, bu aniqroq ma'lumotlarni yaratishga imkon beradi. qarorlarni qo'llab-quvvatlash tizimi uchun model, shuningdek, uchta kompaniya bilan model. Ishning kengaytmasi sifatida biz ishda aytib o'tilgan simbiozdan tashqari yana ikkita o'zaro ta'sir turini ko'rib chiqishimiz mumkin.
Adabiyot
1. Bhatiya Nam Parshad; Szegh Giorgio P. (2002). Dinamik tizimlarning barqarorlik nazariyasi. Springer.
2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differensial tenglamalar. London: Tompson. pp. 96-111.
Boeing, G. (2016). Chiziqli bo'lmagan dinamik tizimlarning vizual tahlili: xaos, fraktallar, o'ziga o'xshashlik va bashorat chegaralari. tizimlari. 4(4):37.
4. Kempbell, Devid K. (2004). Chiziqli bo'lmagan fizika: yangi nafas. Tabiat. 432 (7016): 455-456.
Elton C.S. (1968) qayta chop etish. hayvonlar ekologiyasi. Buyuk Britaniya: Uilyam Klouz va Sons Ltd.
7. Forrester Jey V. (1961). Sanoat dinamikasi. MIT matbuoti.
8. Gandolfo, Jankarlo (1996). Iqtisodiy dinamika (uchinchi nashr). Berlin: Springer. pp. 407-428.
9. Gershenfeld Neil A. (1999). Matematik modellashtirishning tabiati. Kembrij, Buyuk Britaniya: Kembrij universiteti nashriyoti.
10 Gudmen M. (1989). Tizim dinamikasi bo'yicha o'quv eslatmalari. Pegasus.
Grebogi C, Ott E va Yorke J. (1987). Chiziqli bo'lmagan dinamikada tartibsizlik, g'alati jalb qiluvchilar va fraktal havza chegaralari. Fan 238 (4827), 632-638-betlar.
12 Hairer Ernst; Norsett Syvert Pol; Wanner, Gerxard (1993), Oddiy differensial tenglamalarni yechish I: Nonstiff muammolari, Berlin, Nyu-York
Hanski I. (1999) Metapopulyatsiya ekologiyasi. Oksford universiteti matbuoti, Oksford, pp. 43-46.
Xyuz-Xallett Debora; Makkallum, Uilyam G.; Gleason, Endryu M. (2013). Hisoblash: bitta va ko'p o'zgaruvchan (6-nashr). Jon Wiley.
15. Llibre J., Valls C. (2007). Real planar Lotka-Volterra tizimi uchun global analitik birinchi integrallar, J. Math. fizika.
16. Iordaniya D.V.; Smit P. (2007). Chiziqli bo'lmagan oddiy differensial tenglamalar: Olimlar va muhandislar uchun kirish (4-nashr). Oksford universiteti matbuoti.
Xalil Hasan K. (2001). chiziqli bo'lmagan tizimlar. Prentice Hall.
Lamar universiteti, Onlayn matematik eslatmalar - faza tekisligi, P. Dawkins.
Lamar universiteti, Onlayn matematik eslatmalar - Differensial tenglamalar tizimlari, P. Dawkins.
Lang Serj (1972). Differensial manifoldlar. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
Huquq Averill M. (2006). Expertfit dasturi yordamida simulyatsiya modellashtirish va tahlil qilish. MakGrou-Xill fanlari.
Lazard D. (2009). O'ttiz yil davomida ko'p nomli tizimni yechish va hozir? Ramziy hisoblash jurnali. 44(3): 222-231.
24 Lyuis Mark D. (2000). Inson taraqqiyotining integratsiyalashgan hisobi uchun dinamik tizim yondashuvlarining va'dasi. bolaning rivojlanishi. 71(1): 36-43.
25. Maltus T.R. (1798). Aholi printsipi bo'yicha insho, Oksford Jahon klassiklarining qayta nashrida. 61-bet, VII bobning oxiri
26. Morecroft Jon (2007). Strategik modellashtirish va biznes dinamikasi: fikr-mulohaza tizimlariga yondashuv. Jon Uayli va o'g'illari.
27. Nolte D.D. (2015), Zamonaviy dinamikaga kirish: xaos, tarmoqlar, fazo va vaqt, Oksford universiteti nashriyoti.
Kirish 4
Dinamik tizimlarning apriori tahlili 5
Tasodifiy signalning chiziqli tizim orqali o'tishi 5
Tizim faza vektorining evolyutsiyasi 7
Tizimning faza vektorining kovariatsiya matritsasi evolyutsiyasi 8
Statistik linearizatsiya 8
Birinchi yo'l 9
Ikkinchi yo'l 10
Linearizatsiya koeffitsientlarini hisoblash 10
Chiziqli bo'lmagan bog'lanishlarda noaniqlik 14
Teskari aloqa bilan qoplangan chiziqli bo'lmagan aloqa 15
Tasodifiy jarayonlarni simulyatsiya qilish 16
Shakllash filtri 16
Oq shovqinni modellashtirish 17
Dinamik tizimlarning statistik xarakteristikalarini Monte-Karlo usulida baholash 18
Aniqlik darajasi 18
Statsionar bo'lmagan dinamik tizimlar 20
Statsionar dinamik tizimlar 21
Dinamik tizimlarning posteriori tahlili 22
Kalman filtri 22
Harakat shakli 22
O'lchov modeli 23
Tuzatish 23
Prognoz 23
23-sinf
Nochiziqli masalalarda Kalman filtridan foydalanish 25
Eng kichik kvadratlar 27
Qurilish darajasi 27
Prognoz 29
Nochiziqli masalalarda eng kichik kvadratlar usulidan foydalanish 29
Koshi matritsasini qurish 30
O'lchovlarni modellashtirish 30
Raqamli usullar 31
Maxsus funktsiyalar 31
Tasodifiy o'zgaruvchilar simulyatsiyasi 31
Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar 31
Gauss tasodifiy o'zgaruvchilari 32
Tasodifiy vektorlar 33
Ehtimollar integrali 34
Chebishev ko'phadlari 36
Oddiy differensial tenglamalarni integrallash 36
Runge-Kutta usullari 36
Raqamli integratsiya natijalarining aniqligi 37
Dorman-Shahzoda 5(4) tartibi 37
Ko'p bosqichli usullar 39
Adams usullari 39
Kechiktirilgan tenglamalarning integrasiyasi 40
Usullarning hisoblash sifatlarini solishtirish 40
Arenstorf muammosi 40
Yakobi elliptik funksiyalari 41
Ikki tana muammosi 41
Van der Pol tenglamasi 42
Brusselator 42
Osilgan qator Lagranj tenglamasi 42
Pleiades 42
Tushuntirish xati tuzish 43
Sarlavha sahifasi 43
"Kirish" bo'limi 44
“Nazariya” bo‘limi 44
"Algoritm" bo'limi 44
"Dastur" bo'limi 45
"Natijalar" bo'limi 45
"Xulosalar" bo'limi 45
"Ishlatilgan manbalar ro'yxati" bo'limi 45
Ilovalar 45
Adabiyot 47
Kirish
Ushbu qo‘llanmada kurs loyihalari bo‘yicha topshiriqlarni bajarish va “Statistika dinamikasi asoslari” kursi bo‘yicha amaliy mashg‘ulotlar o‘tkazish bo‘yicha ko‘rsatmalar mavjud.
Kurs loyihasi va amaliy mashg'ulotlarning maqsadi tasodifiy buzilishlar ta'sirida chiziqli bo'lmagan dinamik tizimlarni apriori va posteriori tahlil qilish texnologiyasini o'zlashtirishdan iborat.
Dinamik tizimlarning apriori tahlili
Statistik linearizatsiya
Statistik chiziqlilashtirish dastlabki nochiziqli dinamik tizimni shunday o'zgartirishga imkon beradiki, uni tahlil qilish uchun chiziqli tizimlar uchun amal qiladigan usullar, algoritmlar va munosabatlardan foydalanish mumkin bo'ladi.
Ushbu bo'lim prof. I.E. Kazakov tomonidan ishlab chiqilgan bo'lsa-da, bu hatto uzluksiz xususiyatlarga ega bo'lgan muhim nochiziqliklarni o'z ichiga olgan tizimning aniqligini baholashga imkon beradi.
Statistik chiziqlilashtirish kirish va chiqish jarayonlari o'rtasidagi asl inertsiyasiz chiziqli bo'lmagan bog'liqlikni shunday taxminiy bog'liqlik bilan almashtirishdan iborat bo'lib, markazlashtirilgan kirish tasodifiy jarayoniga nisbatan chiziqli bo'lib, u statistik jihatdan dastlabkiga nisbatan ekvivalentdir:
Kirish va chiqish signallari o'rtasida shunday taxminiy munosabatga ega bo'lgan bog'lanish ko'rib chiqilayotgan chiziqli bo'lmagan bog'lanishga ekvivalent deb ataladi.
Qiymat chiziqli bo'lmagan va chiziqli signallarning matematik taxminlarining tengligi sharti asosida tanlanadi va ekvivalent bog'lanishning o'rtacha statistik xarakteristikasi deb ataladi:
,
kirish signalining tarqatish zichligi qaerda.
G'alati xususiyatlarga ega chiziqli bo'lmagan aloqalar uchun, ya'ni. da 
, statistik xarakteristikani quyidagi shaklda ifodalash qulaydir:
kirish signalining matematik kutishidir;
o'rtacha komponent bo'yicha ekvivalent bog'lanishning statistik daromadidir.
Bu. bu holda ekvivalent bog'liqlik quyidagi shaklni oladi:
Xarakteristika tasodifiy komponent (fluktuatsiyalar) uchun ekvivalent bog'lanishning statistik daromadi deb ataladi va ikki usulda aniqlanadi.
Birinchi yo'l
Statistik chiziqlilashtirishning birinchi usuliga muvofiq, koeffitsient asl va ekvivalent signallarning dispersiyalarining tengligi sharti asosida tanlanadi. Bu. hisoblash uchun quyidagi nisbatni olamiz:
,
bu erda kirish tasodifiy harakatning dispersiyasi.
For ifodasidagi belgi argument qiymatiga yaqin bo'lgan bog'liqlik tabiati bilan belgilanadi. Agar u ortib ketsa, u holda , kamaysa, u holda .
Ikkinchi yo'l
Ikkinchi usul bo'yicha qiymat o'rtacha kvadrat chiziqli xatoni minimallashtirish shartidan tanlanadi:
Ikkinchi usul bilan koeffitsientni hisoblashning yakuniy nisbati:
.
Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, yuqorida ko'rib chiqilgan ikkita chiziqlilashtirish usulining hech biri chiziqli bo'lmagan va ekvivalent bog'lanishlarning chiqish signallarining korrelyatsiya funktsiyalarining tengligini ta'minlamaydi. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, chiziqli bo'lmagan signalning korrelyatsiya funktsiyasi uchun birinchi tanlash usuli yuqori baho beradi, ikkinchi usul esa pastroq baho beradi, ya'ni. chiziqli bo'lmagan chiqish signalining korrelyatsiya funktsiyasini aniqlashdagi xatolar turli belgilarga ega. Prof. I.E. Bu erda tasvirlangan usulning muallifi Kazakov natijada chiziqlilik koeffitsienti sifatida birinchi va ikkinchi usullar bilan olingan koeffitsientlarning yarim yig'indisini tanlashni tavsiya qiladi.
Shakllash filtri
Odatda, parametrlar tenglamadagi pay va maxraj ko'phadlarning koeffitsientlarini tenglashtirish yo'li bilan aniqlanadi.
bir xil darajalar bilan.
Shakllash filtrining uzatish funktsiyasini aniqlagandan so'ng, tasodifiy jarayonni modellashtirish uchun olingan sxema rasmda ko'rsatilganidek ko'rinadi.
Masalan, modellashtiriladigan jarayonning spektral zichligi quyidagi shaklga ega:
,
matematik kutish , va intensivligi bo'lgan oq shovqin modellashtirish uchun ishlatiladi, shuning uchun u birlik spektral zichlikka ega.
Shubhasiz, kerakli o'tkazish funktsiyasining numeratori va maxraji 1 va 2 tartiblariga ega bo'lishi kerak (aslida kvadrat modul bo'lganligi sababli, uzatish funktsiyasi 2 va 4-darajali polinomlarning qismini tashkil qiladi)
Bu. Shakllantiruvchi filtrning eng umumiy ko'rinishida uzatish funktsiyasi quyidagicha:
,
va uning modulining kvadrati:
Olingan nisbatlarni tenglashtiramiz:
Keling, tenglikning o'ng tomonidagi qavslarni chiqaramiz va shu bilan koeffitsientlarni nol darajaga tenglashtiramiz:
,
buning uchun quyidagi tenglik aniq keladi:
; ; ; 
.
Bu. Birlik spektral zichlikka ega oq shovqindan berilgan statistik xususiyatlarga ega tasodifiy jarayonni shakllantirish blok diagrammasi shakllantiruvchi filtr parametrlarining hisoblangan qiymatlarini hisobga olgan holda rasmda ko'rsatilgandek ko'rinadi.
Oq shovqinni modellashtirish
Berilgan statistik xarakteristikalar bilan tasodifiy jarayonni taqlid qilish uchun oq shovqin shakllash filtriga kirish tasodifiy jarayon sifatida ishlatiladi. Biroq, bu tasodifiy jarayonning cheksiz o'zgarishi tufayli oq shovqinni aniq modellashtirish mumkin emas.
Shu sababli, dinamik tizimga ta'sir qiluvchi oq shovqin o'rniga tasodifiy bosqichli jarayon qo'llaniladi. Tasodifiy jarayonni amalga oshirish o'z qiymatini o'zgarmagan holda saqlaydigan interval (qadam kengligi, korrelyatsiya oralig'i) doimiy qiymatdir. Amalga oshirish qiymatlarining o'zlari (qadam balandliklari) nol matematik kutish va cheklangan dispersiya bilan oddiy qonunga muvofiq taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilardir. Jarayon parametrlarining qiymatlari - korrelyatsiya oralig'i va dispersiya - oq shovqin ta'sir qiladigan dinamik tizimning xususiyatlari bilan belgilanadi.
Usul g'oyasi har qanday haqiqiy dinamik tizimning cheklangan tarmoqli kengligiga asoslangan. Bular. haqiqiy dinamik tizimning daromadi kirish signalining chastotasi ortishi bilan kamayadi va shuning uchun tizimning daromadi juda kichik bo'lgan chastota (cheksizdan kam) mavjud bo'lib, uni nolga o'rnatish mumkin. Va bu, o'z navbatida, doimiy, lekin bu chastota bilan cheklangan, spektral zichlikka ega kirish signali, bunday tizim uchun oq shovqinga (doimiy va cheksiz spektral zichlikka ega) teng bo'lishini anglatadi.
Ekvivalent tasodifiy jarayonning parametrlari - korrelyatsiya oralig'i va dispersiya quyidagicha hisoblanadi:
bu yerda dinamik tizimning empirik aniqlangan tarmoqli kengligi chegarasi.
Baholashning aniqligi
Kutish taxminlari
va dispersiya
uning amalga oshirish cheklangan namuna qayta ishlash asosida qurilgan tasodifiy o'zgaruvchilar , , o'zlari tasodifiy o'zgaruvchilar hisoblanadi.
Shubhasiz, amalga oshirishning tanlanma hajmi qanchalik katta bo'lsa, xolis baholash qanchalik aniq bo'lsa, u taxmin qilingan parametrning haqiqiy qiymatiga yaqinroq bo'ladi. Quyida ularning normal taqsimlanishi taxminiga asoslangan taxminiy formulalar keltirilgan. Ishonch ehtimoliga mos keladigan baho uchun simmetrik nisbiy ishonch oralig'i bu munosabat to'g'ri bo'lgan qiymat bilan belgilanadi:
,
qayerda
tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutish haqiqiy qiymati,
tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi, 
ehtimollik integralidir.
Yuqoridagi munosabatga asoslanib, miqdorni quyidagicha aniqlash mumkin:
,
bu yerda funksiya ehtimollik integraliga nisbatan teskari.
Biz smetaning tarqalish xususiyatini aniq bilmaganimiz sababli, biz uning taxminiy qiymatini smeta yordamida hisoblab chiqamiz:
Bu. Matematik taxminni baholashning to'g'riligi va taxmin qilingan namunaning o'lchamini bog'laydigan yakuniy munosabatlar quyidagicha ko'rinadi:
.
Bu shuni anglatadiki, ishonch oralig'ining qiymati (ishonch ehtimolligining doimiy qiymatida) nosimmetrik tarzda joylashgan bo'lib, standart og'ish smetasining kasrlarida ifodalangan, namuna hajmining kvadrat ildiziga teskari proportsionaldir.
Dispersiyani baholash uchun ishonch oralig'i shunga o'xshash tarzda aniqlanadi:
qiymatiga qadar , aniqroq ma'lumot bo'lmaganda, taxminan munosabatdan aniqlanishi mumkin:
Bu. ga nisbatan nosimmetrik tarzda joylashgan ishonch oralig'ining qiymati (ishonch ehtimolligining doimiy qiymatida), uning aktsiyalarida ifodalangan, qiymatning kvadrat ildiziga teskari proportsionaldir, bu erda tanlov hajmi.
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni to'g'risidagi aniq ma'lumotlardan foydalangan holda taxminlarning ishonch oraliqlarini qurish uchun aniqroq formulalarni olish mumkin.
Masalan, Gauss taqsimot qonuni uchun tasodifiy miqdor
erkinlik darajasi bilan Student taqsimot qonuniga va tasodifiy miqdorga bo'ysunadi
qonunga muvofiq, shuningdek, erkinlik darajasi bilan taqsimlanadi.
Kalman filtri
Harakat modeli
Ma'lumki, Kalman filtri chiziqli dinamik tizimning holat vektorini baholash uchun mo'ljallangan, uning evolyutsiya modeli quyidagicha yozilishi mumkin:
qayerda
- Koshi matritsasi bo'lib, u tizimning o'z harakatida (nazorat va shovqin harakatlarisiz) vaqt momentidan to vaqtgacha bo'lgan holat vektorining o'zgarishini aniqlaydi;
vaqt momentida tizimdagi tasodifiy bo'lmagan majburlash harakatlarining vektori (masalan, boshqaruv harakatlari);
- vaqt momentidagi majburlash harakatlarining vaqt momentidagi tizimning davlat vektoriga ta'siri matritsasi;
vaqt momentida tizimdagi tasodifiy mustaqil markazlashtirilgan harakatlar vektori;
vaqt momentidagi tasodifiy ta'sirlarning vaqt momentidagi tizimning holat vektoriga ta'siri matritsasi.
O'lchov modeli
Baholash holat vektori bilan chiziqli bog'langan va qo'shimcha xolis xato bilan buzilgan o'lchov natijalarini statistik qayta ishlash asosida amalga oshiriladi:
bu erda bir vaqtning o'zida holat va o'lchov vektorlarini bog'laydigan matritsa.
Tuzatish
Kalman filtrining asosi tizim holati vektorining chiziqli (o'lchov vektori bo'ylab) taxminlarining posterior taqsimot zichligi kovariatsiya matritsasi izini minimallashtirish natijasi bo'lgan tuzatish nisbatlari:
Prognoz
Tizim evolyutsiyasi modelining chiziqli xususiyatlariga asoslangan prognoz munosabatlari bilan tuzatish munosabatlarini to'ldirish:
vektorning kovariant matritsasi bu erda, biz tizim holati vektorini va o'lchov natijalarini statistik qayta ishlashga asoslangan uning kovariant matritsasi baholash uchun takroriy Bayes algoritmi uchun formulalar olamiz.
Baholash
Shubhasiz, yuqoridagi munosabatlarni amalga oshirish uchun evolyutsiya modelidan matritsalarni, o'lchov modelidan matritsani, shuningdek, kovariatsiya matritsalarini va vaqtning har bir momenti uchun qurish imkoniyatiga ega bo'lish kerak.
Bundan tashqari, hisoblash jarayonini ishga tushirish uchun davlat vektori va uning kovariatsiya matritsasining posteriori yoki apriori baholarini qandaydir tarzda aniqlash kerak. "Apriori" yoki "a posteriori" atamasi bu holda faqat davlat vektori va uning kovariatsiya matritsasi hisoblash algoritmida qo'llaniladigan sifatni anglatadi va ular qanday olinganligi haqida hech narsa aytmaydi.
Shunday qilib, hisob-kitoblarni boshlash kerak bo'lgan nisbatni tanlash, dastlabki filtrlash shartlari va birinchi xom o'lchov vektori tayinlangan vaqt nuqtalari bilan belgilanadi. Agar vaqt nuqtalari bir-biriga to'g'ri keladigan bo'lsa, dastlabki shartlarni yaxshilash uchun tuzatish nisbatlarini qo'llash kerak, agar bo'lmasa, dastlabki shartlarni birinchi o'lchov vektorini bog'lash vaqtiga qarab taxmin qilish kerak.
Keling, Kalman filtrlash algoritmini rasm yordamida tushuntiramiz.
Rasmda koordinata o'qlarida (harakat kanalida) faza vektorining bir nechta mumkin bo'lgan traektoriyalari ko'rsatilgan:
faza vektorining haqiqiy evolyutsiya traektoriyasi;
- faza vektorining evolyutsiyasi, harakat modelidan foydalanish va faza vektorining aprior bahosi asosida bashorat qilingan vaqtga ishora qiladi;
harakat modelidan foydalanish va faza vektorining posteriori (aniqroq) bahosi asosida bashorat qilingan faza vektorining evolyutsiyasidir.
Koordinata o'qlari , (o'lchov kanalida) vaqt lahzalarida va o'lchov natijalarini ko'rsatadi va:
,
qayerda
vaqtdagi o'lchov vektorining haqiqiy qiymati;
vaqt momentida amalga oshirilgan o'lchov xatolarining vektoridir.
Tizimning aprior faza vektoriga tuzatish kiritish uchun o'lchov natijasi va muammoning o'lchov modeliga muvofiq o'lchanadigan qiymat o'rtasidagi farq, agar faza vektori, aslida, qiymatni olgan bo'lsa, ishlatiladi. Aprior baholarga tuzatish munosabatlarini qo'llash natijasida tizimning faza vektorini baholash biroz aniqroq bo'ladi va qiymatni oladi.
Hozirgi vaqtda prognoz natijasi aprior smeta sifatida ishlatiladi 
faza vektoridan o'tuvchi traektoriya bo'yicha , o'lchov farqi yana tuziladi, unga ko'ra posteriori, undan ham aniqroq qiymat hisoblanadi va hokazo. qayta ishlash uchun o'lchov vektorlari mavjud bo'lsa yoki faza vektorining xatti-harakatlarini taxmin qilish zarurati mavjud.
Eng kichik kvadrat usuli
Ushbu bo'lim dinamik tizimlarni posteriori tahlil qilish uchun moslashtirilgan eng kichik kvadratlar usulini taqdim etadi.
Qurilish ballari
Teng o'lchovlarning chiziqli modeli uchun:
Bizda faza vektorini baholashning quyidagi algoritmi mavjud:
.
Teng bo'lmagan o'lchovlar uchun biz diagonalda og'irlik koeffitsientlarini o'z ichiga olgan matritsani kiritamiz. Og'irlik koeffitsientlarini hisobga olgan holda, oldingi nisbat quyidagicha bo'ladi:
.
Agar biz matritsani o'lchov xatolarining kovariatsiya matritsasiga teskari og'irlik matritsasi sifatida ishlatsak, u holda biz quyidagilarni olamiz:
.
Yuqoridagi munosabatlardan kelib chiqadigan bo'lsak, usulning asosi vaqtning ma'lum bir nuqtasiga ishora qilingan taxminiy faza vektori va o'lchov vektori bilan bog'liq bo'lgan matritsadir. Vektor, qoida tariqasida, blok tuzilishiga ega bo'lib, unda bloklarning har biri vaqtning ma'lum bir nuqtasiga tayinlanadi, bu umuman mos kelmaydi.
Rasmda o'lchovlar havola qilinadigan vaqt va taxminiy parametrlar vektori havola qilinadigan vaqt nuqtalarining mumkin bo'lgan o'zaro joylashishi ko'rsatilgan.
Har bir vektor uchun quyidagi munosabat o'rinli:
, da .
Shunday qilib, eng kichik kvadratlar munosabatida vektor va matritsa quyidagi tuzilishga ega:
; 
.
qayerda
- tizimga tasodifiy bo'lmagan majburlash ta'sirini aniqlaydi;
- tizimga tasodifiy ta'sirni aniqlaydi.
Kalman filtrlash algoritmi tavsifida yuqorida uchragan bashorat munosabatlaridan foydalanish mumkin:
vektorning kovariatsiya matritsasi qayerda.
Koshi matritsasini qurish
O'lchovlarni statistik qayta ishlash usullari bilan hisob-kitoblarni tuzish muammolarida Koshi matritsasi qurish muammosi tez-tez uchraydi. Ushbu matritsa tizimning turli vaqt momentlariga tegishli faza vektorlarini o'z harakatida bog'laydi.
Ushbu bo'limda biz oddiy differensial tenglamalar tizimi (chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan) sifatida yozilgan evolyutsiya modeli uchun Koshi matritsasini qurish bilan bog'liq masalalarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.
Bu erda mos yozuvlar traektoriyasiga yaqin joyda tuzilgan mutanosiblik matritsalari uchun quyidagi belgilar qo'llaniladi:
; 
.
O'lchamlarni modellashtirish
Muammo, masalan, ba'zi bir muammoda usulning potentsial erishish mumkin bo'lgan aniqligini baholashda sizda o'lchov natijalari bo'lmaganda paydo bo'ladi. Bunday holda, o'lchov natijalarini simulyatsiya qilish kerak. O'lchov natijalarini modellashtirishning o'ziga xos xususiyati shundaki, bu maqsadda qo'llaniladigan harakat va o'lchov modellari u yoki bu filtrlash usulidan foydalangan holda hisob-kitoblarni tuzishda foydalanadigan modellar bilan mos kelmasligi mumkin.
Dinamik tizimning faza vektorining evolyutsiyasini modellashtirish uchun dastlabki shartlar sifatida ushbu vektor koordinatalarining haqiqiy qiymatlaridan foydalanish kerak. Bu joyga qo'shimcha ravishda, tizimning faza vektori koordinatalarining haqiqiy qiymatlari boshqa joyda ishlatilmasligi kerak.
Raqamli usullar
Maxsus xususiyatlar
Tasodifiy vektorlar
Ushbu kichik bo'limda hal qilinishi tasvirlangan muammo korrelyatsiya qilingan Gauss tasodifiy o'zgaruvchilari vektorini modellashtirishdir.
Modellashtiriladigan tasodifiy vektor mos keladigan o'lchamdagi standart korrelyatsiyasiz tasodifiy o'zgaruvchilar vektorini quyidagicha o'zgartirish asosida shakllantirilsin: 4 ta raqam aniqligi bilan, argumentning vakolatlari bo'yicha qatorlarga kengaytirish asosida. uning uchta oralig'i uchun.
da, asimptotik qatorlar yig'indisi deyarli 1 ga teng bo'ladi.
