Integrallar va ularning xossalari. Noaniq integralning asosiy xossalari
Differensial hisoblashning asosiy vazifasi hosilasini topishdir f'(x) yoki differentsial df=f'(x)dx funktsiyalari f(x). Integral hisoblashda teskari masala yechiladi. Berilgan funktsiyaga muvofiq f(x) bunday funktsiyani topish talab qilinadi F(x), nima F'(x)=f(x) yoki dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.
Shunday qilib, integral hisoblashning asosiy vazifasi tiklash funktsiyasidir F(x) bu funktsiyaning ma'lum hosilasi (differensial) bo'yicha. Integral hisob geometriya, mexanika, fizika va texnologiyada ko'plab ilovalarga ega. U maydonlarni, hajmlarni, tortishish markazlarini va boshqalarni topishning umumiy usulini beradi.
Ta'rif. FunktsiyaF(x), , funksiyaning anti hosilasi deyiladif(x) X to'plamda, agar u har qanday va uchun differentsiallanadigan bo'lsaF'(x)=f(x) yokidF(x)=f(x)dx.
Teorema. Intervaldagi har qanday uzluksiz [a;b] funktsiyasif(x) bu segmentda antiderivativga egaF(x).
Teorema. AgarF 1 (x) vaF 2 (x) bir xil funktsiyaning ikki xil antiderivativlarif(x) x to'plamida, keyin ular bir-biridan doimiy had bilan farqlanadi, ya'ni.F 2 (x)=F1x)+C, bu erda C doimiydir.
- Noaniq integral, uning xossalari.
Ta'rif. AgregatF(x)+Barcha antiderivativlarning Cf(x) X to'plamdagi noaniq integral deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
- (1)Formulada (1) f(x)dx chaqirdi integral,f(x) integral, x integrasiya o’zgaruvchisi, a C - integratsiya konstantasi.
Noaniq integralning ta'rifidan kelib chiqadigan xossalarini ko'rib chiqing.
1. Noaniq integralning hosilasi integradaga, noaniq integralning differensiali integralga teng:
va .2. Ayrim funksiya differensialining noaniq integrali bu funksiya va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng:
3. Doimiy a (a≠0) koeffitsienti noaniq integral belgisidan chiqarilishi mumkin:
4. Cheklangan sonli funksiyalar algebraik yig‘indisining noaniq integrali ushbu funksiyalar integrallarining algebraik yig‘indisiga teng:
5. AgarF(x) funksiyaning anti hosilasidirf(x), keyin:
6 (integratsiya formulalarining o'zgarmasligi). Har qanday integratsiya formulasi, agar integratsiya o'zgaruvchisi ushbu o'zgaruvchining har qanday differentsiallanuvchi funktsiyasi bilan almashtirilsa, o'z shaklini saqlab qoladi:
qayerdau differensiallanuvchi funksiyadir.
- Noaniq integrallar jadvali.
olib kelamiz funktsiyalarni birlashtirishning asosiy qoidalari.
olib kelamiz asosiy noaniq integrallar jadvali.(E'tibor bering, bu erda, differentsial hisobda bo'lgani kabi, harf u mustaqil o'zgaruvchi deb atash mumkin (u=x), va mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi (u=u(x)).)
(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).
1 - 17 integrallar deyiladi jadvalli.
Hosilalar jadvalida o‘xshashi bo‘lmagan yuqoridagi integrallar jadvalining ba’zi formulalari ularning o‘ng tomonlarini differensiallash yo‘li bilan tekshiriladi.
- O'zgaruvchining o'zgarishi va noaniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash.
O'zgartirish orqali integratsiya (o'zgaruvchining o'zgarishi). Integralni hisoblash talab qilinsin
, bu jadval shaklida emas. O'zgartirish usulining mohiyati shundaki, integralda o'zgaruvchi mavjud X o'zgaruvchini almashtiring t formula bo'yicha x=ph(t), qayerda dx=ph'(t)dt.Teorema. Funktsiyaga ruxsat beringx=ph(t) ba'zi T to'plamlarida aniqlanadi va differentsiallanadi va X bu funktsiyaning qiymatlari to'plami bo'lsin, bunda funktsiya aniqlanadi.f(x). Keyin X to'plamida funktsiyaf(
Bu xossalar integralni elementar integrallardan biriga keltirish va keyingi hisoblash uchun uni o'zgartirishni amalga oshirish uchun ishlatiladi.
1. Noaniq integralning hosilasi integralga teng:
2. Noaniq integralning differensiali integralga teng:
3. Ayrim funksiya differensialining noaniq integrali bu funksiya va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng:
4. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:
Bundan tashqari, a ≠ 0
5. Yig‘indining (farqning) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:
6. Xususiyat 4 va 5 xossalarning birikmasidir:
Bundan tashqari, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xususiyati:
Agar , keyin
8. Mulk:
Agar , keyin
Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.
Bir misolni ko'rib chiqing:
Avval 5-xususiyatni, keyin 4-xususiyatni qo‘lladik, so‘ngra antiderivativlar jadvalidan foydalandik va natijaga erishdik.
Onlayn integral kalkulyatorimizning algoritmi yuqorida sanab o'tilgan barcha xususiyatlarni qo'llab-quvvatlaydi va integralingiz uchun osonlikcha batafsil yechim topadi.
Bu xossalar integralni elementar integrallardan biriga keltirish va keyingi hisoblash uchun uni o'zgartirishni amalga oshirish uchun ishlatiladi.
1. Noaniq integralning hosilasi integralga teng:
2. Noaniq integralning differensiali integralga teng:
3. Ayrim funksiya differensialining noaniq integrali bu funksiya va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng:
4. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:
Bundan tashqari, a ≠ 0
5. Yig‘indining (farqning) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:
6. Xususiyat 4 va 5 xossalarning birikmasidir:
Bundan tashqari, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xususiyati:
Agar , keyin
8. Mulk:
Agar , keyin
Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.
Bir misolni ko'rib chiqing:
Avval 5-xususiyatni, keyin 4-xususiyatni qo‘lladik, so‘ngra antiderivativlar jadvalidan foydalandik va natijaga erishdik.
Onlayn integral kalkulyatorimizning algoritmi yuqorida sanab o'tilgan barcha xususiyatlarni qo'llab-quvvatlaydi va integralingiz uchun osonlikcha batafsil yechim topadi.
Integrallarni yechish oson ish, lekin faqat elita uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lgan, lekin ular haqida kam yoki hech narsa bilmaydiganlar uchun. Integral... Nima uchun kerak? Uni qanday hisoblash mumkin? Aniq va noaniq integrallar nima?
Agar siz bilgan yagona integraldan foydalanish qiyin bo'lgan joylardan integral piktogramma shaklidagi ilgagi bilan foydali narsalarni olish bo'lsa, xush kelibsiz! Matematikada oddiy va boshqa integrallarni yechish usullarini va nima uchun ularsiz bajara olmasligingizni bilib oling.
Biz kontseptsiyani o'rganamiz « integral »
Integratsiya qadimgi Misrda ma'lum bo'lgan. Albatta, zamonaviy shaklda emas, lekin baribir. O'shandan beri matematiklar bu borada juda ko'p kitoblar yozdilar. Ayniqsa ajralib turadi Nyuton va Leybnits lekin narsalarning mohiyati o'zgarmadi.
Integrallarni noldan qanday tushunish mumkin? Bo'lishi mumkin emas! Ushbu mavzuni tushunish uchun sizga hali ham matematik tahlil asoslari bo'yicha asosiy bilim kerak bo'ladi. Haqida integrallarni tushunish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar allaqachon bizning blogimizda.
Noaniq integral
Keling, qandaydir funktsiyaga ega bo'laylik f(x) .
Funktsiyaning noaniq integrali f(x) bunday funktsiya deyiladi F(x) , hosilasi funksiyaga teng f(x) .
Boshqacha qilib aytganda, integral teskari hosila yoki antiderivativdir. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday o'qish haqida.
Barcha uzluksiz funksiyalar uchun antiderivativ mavjud. Shuningdek, antiderivativga ko'pincha doimiy belgi qo'shiladi, chunki doimiy bilan farq qiluvchi funktsiyalarning hosilalari mos keladi. Integralni topish jarayoni integrasiya deb ataladi.
Oddiy misol:
Elementar funksiyalarning antiderivativlarini doimiy hisoblab bormaslik uchun ularni jadvalga keltirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay.
Talabalar uchun integrallarning to'liq jadvali
Aniq integral
Integral tushunchasi bilan shug'ullanar ekanmiz, biz cheksiz kichik miqdorlar bilan shug'ullanamiz. Integral shaklning maydonini, bir jinsli bo'lmagan jismning massasini, notekis harakat paytida bosib o'tgan yo'lni va boshqalarni hisoblashda yordam beradi. Shuni esda tutish kerakki, integral cheksiz ko'p sonli cheksiz kichik hadlar yig'indisidir.
Misol tariqasida, qandaydir funksiyaning grafigini tasavvur qiling.
Funktsiya grafigi bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topish mumkin? Integral yordamida! Funksiyaning koordinata o‘qlari va grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani cheksiz kichik qismlarga ajratamiz. Shunday qilib, raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlar maydonlarining yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo esda tutingki, bunday hisob-kitob taxminiy natija beradi. Biroq, segmentlar qanchalik kichikroq va torroq bo'lsa, hisoblash qanchalik aniq bo'ladi. Agar biz ularni uzunlik nolga moyil bo'ladigan darajada kamaytirsak, u holda segmentlar maydonlarining yig'indisi rasmning maydoniga moyil bo'ladi. Bu aniq integral bo'lib, u quyidagicha yoziladi:
a va b nuqtalar integrasiya chegaralari deyiladi.
« Integral »
Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud
Dummies uchun integrallarni hisoblash qoidalari
Noaniq integralning xossalari
Noaniq integral qanday yechiladi? Bu erda biz noaniq integralning xossalarini ko'rib chiqamiz, bu misollarni yechishda foydali bo'ladi.
- Integralning hosilasi integralga teng:
- Konstanta integral belgisi ostidan chiqarilishi mumkin:
- Yig'indining integrali integrallar yig'indisiga teng. Farq uchun ham amal qiladi:
Aniq integralning xossalari
- Chiziqlilik:
- Agar integratsiya chegaralari teskari bo'lsa, integral belgisi o'zgaradi:
- Da har qanday ball a, b va Bilan:
Aniq integral yig'indining chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Lekin misolni yechishda ma'lum bir qiymatni qanday olish mumkin? Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi mavjud:
Integrallarni yechishga misollar
Quyida noaniq integral va yechimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz. Sizga yechimning nozik tomonlarini mustaqil ravishda tushunishni taklif qilamiz va agar biror narsa aniq bo'lmasa, sharhlarda savollar bering.
Materialni mustahkamlash uchun integrallarning amalda yechilishi haqidagi videoni tomosha qiling. Agar integral darhol berilmasa, umidsizlikka tushmang. Professional talaba xizmatiga murojaat qiling va yopiq sirt ustidagi har qanday uch yoki egri chiziqli integral sizning kuchingiz doirasida bo'ladi.
Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) [ oraliqda aniqlanadi a, b ], a < b. Keling, quyidagi operatsiyalarni bajaramiz:
1) bo'linish [ a, b] ball a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b ustida n qisman segmentlar [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];
2) qisman segmentlarning har birida [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, ixtiyoriy nuqtani tanlang va ushbu nuqtadagi funktsiyaning qiymatini hisoblang: f(z i ) ;
3) asarlarni toping f(z i ) · Δ x i , bu erda qisman segmentning uzunligi [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;
4) tuzing integral yig'indisi funktsiyalari y = f(x) segmentida [ a, b ]:
Geometrik nuqtai nazardan, bu yig'indi s - asoslari qisman segmentlar bo'lgan to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ] va balandliklar f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) mos ravishda (1-rasm). tomonidan belgilang λ eng katta qisman segment uzunligi:
5) qachon integral yig‘indining chegarasini toping λ → 0.
Ta'rif. Agar integral yig'indining (1) chekli chegarasi bo'lsa va u segmentni bo'lish usuliga bog'liq bo'lmasa [ a, b] qisman segmentlarga, na nuqta tanlashdan z i ularda, keyin bu chegara deyiladi aniq integral funktsiyasidan y = f(x) segmentida [ a, b] va belgilangan
Shunday qilib,
Bunday holda, funktsiya f(x) deyiladi ajralmas ustida [ a, b]. Raqamlar a va b mos ravishda integratsiyaning pastki va yuqori chegaralari deb ataladi, f(x) integraldir, f(x ) dx- integral, x– integratsiya o‘zgaruvchisi; Bo'lim [ a, b] integrallash intervali deyiladi.
Teorema 1. Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] bo'lsa, u bu oraliqda integrallanadi.
Integrallash chegaralari bir xil bo‘lgan aniq integral nolga teng:
Agar a > b, keyin, ta'rifga ko'ra, biz o'rnatamiz
2. Aniq integralning geometrik ma’nosi
Intervalga ruxsat bering [ a, b] uzluksiz manfiy bo'lmagan funksiya y = f(x ) . Egri chiziqli trapezoid funksiya grafigi bilan yuqoridan chegaralangan figura deyiladi y = f(x), pastdan - Ox o'qi bo'yicha, chapga va o'ngga - to'g'ri chiziqlar bilan x = a va x = b(2-rasm).
Manfiy bo'lmagan funksiyaning aniq integrali y = f(x) geometrik nuqtai nazardan yuqoridan funktsiya grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng y = f(x), chapda va o'ngda - chiziq segmentlari bo'yicha x = a va x = b, pastdan - Ox o'qi segmenti tomonidan.
3. Aniq integralning asosiy xossalari
1. Aniq integralning qiymati integral o'zgaruvchining yozuviga bog'liq emas:
2. Aniq integral belgisidan o‘zgarmas omilni chiqarish mumkin:
3. Ikki funktsiyaning algebraik yig‘indisining aniq integrali shu funksiyalarning aniq integralining algebraik yig‘indisiga teng:
4.if funksiyasi y = f(x) [ da integrallash mumkin a, b] va a < b < c, keyin
5. (o'rtacha qiymat teoremasi). Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b], keyin bu segmentda shunday nuqta mavjud
4. Nyuton-Leybnits formulasi
Teorema 2. Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] va F(x) ushbu segmentdagi har qanday antiderivativ bo'lsa, quyidagi formula to'g'ri bo'ladi:
qaysi deyiladi Nyuton-Leybnits formulasi. Farq F(b) - F(a) quyidagicha yoziladi:
bu erda belgi qo'sh joker belgi deb ataladi.
Shunday qilib, formula (2) quyidagicha yozilishi mumkin:
1-misol Integralni hisoblash
Yechim. Integral uchun f(x ) = x 2 ixtiyoriy antiderivativ shaklga ega
Nyuton-Leybnits formulasida har qanday antiderivativdan foydalanish mumkinligi sababli, integralni hisoblash uchun eng oddiy shaklga ega bo'lgan antiderivativni olamiz:
5. Aniq integralda o'zgaruvchining o'zgarishi
Teorema 3. Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b]. Agar:
1) funktsiya x = φ ( t) va uning hosilasi ph "( t) uchun uzluksiz;
2) funksiya qiymatlari to‘plami x = φ ( t) uchun bu segment [ a, b ];
3) ph ( a) = a, φ ( b) = b, keyin formula
qaysi deyiladi aniq integralda o'zgaruvchan formulaning o'zgarishi .
Bu holda noaniq integraldan farqli o'laroq Hojati yo'q asl integratsiya o'zgaruvchisiga qaytish uchun - a va b integratsiyaning yangi chegaralarini topish kifoya (buning uchun o'zgaruvchini hal qilish kerak) t tenglamalar ph ( t) = a va ph ( t) = b).
O'zgartirish o'rniga x = φ ( t) almashtirishdan foydalanishingiz mumkin t = g(x). Bunday holda, o'zgaruvchiga nisbatan integratsiyaning yangi chegaralarini topish t soddalashtiradi: a = g(a) , β = g(b) .
2-misol. Integralni hisoblash
Yechim. Keling, formula bo'yicha yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirsak, biz 1 + ni olamiz x= t 2 , qayerda x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Biz integratsiyaning yangi chegaralarini topamiz. Buning uchun eski chegaralarni formulaga almashtiramiz x= 3 va x= 8. Biz olamiz: , qaerdan t= 2 va a = 2; , qayerda t= 3 va b = 3. Demak,
3-misol Hisoblash
Yechim. Mayli u=ln x, keyin, v = x. Formula bo'yicha (4)
