Какъв е естественият логаритъм 10. Логаритъм

Така че, преди да се приспадне. Ако вземете номер от долния ред, лесно можете да намерите степен, в която ще трябва да се вземе думата, за да получите този номер. Например, за да получите 16, имате нужда от две за изграждане на четвърта степен. И за да получите 64, имате нужда от двама, за да изградите в шестата степен. Това се вижда от таблицата.

И сега - всъщност, определението за логаритъм:

Логаритъмът на основата А от аргумента X е степента, в която трябва да се вземе номер А, за да получите номер X.

Означаване: log a x \u003d b, където е основата, x е аргумент, b - всъщност, какво е равно на логаритъм.

Например, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (логаритъмът за базата 2 от номер 8 е три, от 2 3 \u003d 8). Със същия успех 2 64 \u003d 6, от 2 6 \u003d 64.

Работата на намиране на логаритъма на номера за дадена база се нарича логаритминг. Така че, допълнете нашата маса с нов низ:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

За съжаление, не всички логаритми се считат за толкова лесни. Например, опитайте се да намерите дневник 2 5. Числата 5 не са в таблицата, но логиката предполага, че логаритъмът ще лежи някъде на сегмента. Защото 2 2.< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат \u200b\u200bирационални: числата след запетая могат да бъдат записани до безкрайност и те никога не се повтарят. Ако логаритъмът е получен ирационален, по-добре е да го оставите: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). Мнозина първоначално объркват къде се намира основата и къде е аргументът. За да се избегнат досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Преди нас не е нищо повече от определението за логаритъм. Помня: логаритъм е степенВ която Фондацията трябва да бъде взета, за да се получи аргумент. Това е основата, която се изгражда в степен - на снимката, която е маркирана в червено. Оказва се, че основата е винаги долу! Това чудесно правило казвам на учениците си на първия урок - и не възниква объркване.

Ние се занимавахме с дефиницията - остава да се научим да разглеждаме логаритмите, т.е. Отървете се от знака "log". За да започнем, отбелязваме, че от дефиницията следва две важни факта:

Аргументът и базата винаги трябва да бъдат по-големи от нула. Това следва да определи степента на рационален индикатор, към който се намалява определението за логаритъм.
Основата трябва да бъде различна от уреда, тъй като устройството до всяка степен все още остава единство. Поради това въпросът "колко трябва да бъде издигната единицата, за да се получи" лишен от значение ". Няма такава степен!

Такива ограничения се наричат областта на допустимите стойности (OTZ). Оказва се, че нечетният логаритъм изглежда така: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Обърнете внимание, че няма ограничения за броя B (стойността на логаритъма) не се наслагват. Например логаритъм може да бъде отрицателен: log 2 0.5 \u003d -1, защото 0.5 \u003d 2 -1.

Сега обаче обмисляме само цифрови изрази, където да знаем, че Hogarithmът на OTZ не се изисква. Всички ограничения вече са взети под внимание от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенства отиват, изискванията на OTZ ще станат задължителни. Наистина, в основата и аргумента, могат да стоят много необосновани структури, които непременно отговарят на горните ограничения.

Сега разгледайте обща схема Изчисления на логаритми. Състои се от три стъпки:

Изпратете основата А и аргумент X под формата на степен с минималната възможна база, голяма единица. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните фракции;
Решете спрямо променливата B уравнение: x \u003d a b;
Полученият номер Б ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът е ирационален, той ще бъде видим в първата стъпка. Изискването, че базата е по-обединена, е много важна: тя намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Подобно на S. десетични фракции: Ако веднага ги прехвърляте в обикновените, грешките ще бъдат по-малко.

Нека видим как тази схема работи в конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъм: log 5 25

В основата и аргументацията като степен от пет: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Нека и решаваме уравнението:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

Получи отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъм:

Задача. Изчислете логаритъм: log 4 64

Представете си основата и аргументацията като степен на двойки: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
Нека и решаваме уравнението:
log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
Получил отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъм: log 16 1

Представете си основата и аргументацията като степен на две: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
Нека и решаваме уравнението:
log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
Получил отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъм: log 7 14

Представят основата и аргумента като степен от седем: 7 \u003d 7 1; 14 Под формата на степен от седем, тя не изглежда, от 7 1< 14 < 7 2 ;
От предишната точка следва, че логаритъм не се разглежда;
Отговорът не е промяна: log 7 14.

Малка забележка К. последния пример. Как да се уверите, че номерът не е точната степен на друг номер? Много просто - достатъчно, за да го разградим на прости фактори. Ако има най-малко два различни фактора в разлагането, броят им не е точна степен.

Задача. Разберете дали точната степен на числото: 8; 48; 81; 35; четиринадесет.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - точна степен, защото Мултипликатът е само един;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - това не е точна степен, тъй като има два фактора: 3 и 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3,3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - точна степен;
35 \u003d 7 · 5 - отново не е точна степен;
14 \u003d 7 · 2 - отново, не точна степен;

Отбелязваме и, че самите прости числа са винаги точни степени.

Десетични логаритъм

Някои логаритми се срещат толкова често, че имат специално име и обозначение.

Десетичният логаритъм от аргумента X е логаритъм въз основа на 10, т.е. Степента, в която трябва да се издигне номер 10, за да получите номер x. Означаване: LG X.

Например, lg 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато учебникът срещне фразата като "Find LG 0.01", знам: Това не е печатна грешка. Това е десетичен логаритъм. Ако обаче сте необичайни за такова обозначение, винаги може да бъде пренаписано:
Lg x \u003d log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно за десетично.

Естествен логаритъм

Има друг логаритъм, който има свое собствено обозначение. В известен смисъл е още по-важно от десетичната запетая. Говорим си За естествения логаритъм.

Естественият логаритъм от аргумента X е логаритъм въз основа на e, т.е. Степента, в която трябва да се издигне номерът e, за да получите номер x. Означаване: LN X.

Мнозина ще попитат: Какво друго в номер Е? Това е ирационален номер, точната му стойност, която да намери и пише невъзможна. Ще дам само първите си фигури:
e \u003d 2,718281828459 ...

Няма да задълбочаваме, че това е номерът и защо се нуждаете. Само не забравяйте, че Е е в основата на естествения логаритъм:
ln x \u003d log e x

По този начин, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационален номер. Като цяло естественият логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен това, разбира се, единици: ln 1 \u003d 0.

За естествени логаритми всички правила, които са верни за обикновените логаритми, са валидни.

Естествен логаритъм

Графиката на функцията на естествения логаритъм. Функцията бавно се приближава към положителната безкрайност, като същевременно се увеличава х. и бързо приближава се към негативната безкрайност, когато х. се стреми да 0 ("бавно" и "бързо" в сравнение с всяка функция на захранването от х.).

Естествен логаритъм - Това е логаритъм въз основа на където д. - ирационална константа, равна на приблизително 2,718281 828. Естественият логаритъм обикновено означава като ln ( х.), Log. д. (х.) или понякога просто дневник ( х.) Ако основата д. Членове.

Естествен логаритъм номер х. (написано като ln (x)) е показател за степента, в която трябва да се издаде броят им д., Придобивам х.. Например, ln (7,389 ...) равен на 2, защото д. 2 =7,389... . Естествен логаритъм на самия брой д. (ln (e)) Равен 1, защото д. 1 = д.и естествен логаритъм 1 ( ln (1)) равен на 0, тъй като д. 0 = 1.

Естественият логаритъм може да бъде дефиниран за всяко положително реално число. а. като област под кривата y. = 1/х. от 1 до а.. Простотата на това определение, която е в съответствие с много други формули, в които се прилага естественият логаритъм, доведе до появата на името "естествено". Тази дефиниция може да бъде разширена на интегрирани числа, както ще се каже по-долу.

Ако разгледаме естествения логаритъм като реална функция на валидна променлива, то това е обратна функция към експоненциална функция, която води до идентичности:

Както всички логаритми, естественият логаритъм показва умножение чрез добавяне:

По този начин логаритмичната функция е изоморфизъм на група положителни номера спрямо умножаването от група реални числа чрез добавяне, която може да бъде представена като функция:

Логаритъм може да бъде дефиниран за всяка положителна основа, различна от 1, а не само за д.Но логаритмите за други основи се различават от естествения логаритъм само с постоянен фактор и, като правило, се определят по отношение на естествения логаритъм. Логаритмите са полезни за решаване на уравнения, в които неизвестни лицата присъстват като индикатор за степента. Например, логаритмите се използват за намиране на постоянен гниещ за известния период на полуживот или за намиране на време на разпадане в решаването на проблеми на радиоактивността. Те играят важна роля в много области на математиката и приложни науки, прилагат в областта на финансите за решаване на много задачи, включително намиране на сложен интерес.

История

Първото споменаване на естествения логаритъм направи Никълъс Меркатор в работата Логаритмотехно, публикуван през 1668 г., въпреки че учител по математика Джон Шпинъл през 1619 г. е направил таблица на естествените логаритми. Преди това се нарича хиперболичен логаритъм, тъй като съответства на площта под хипербола. Понякога се нарича логаритъм на вярата, въпреки че първоначалното значение на този термин е малко по-различно.

Конвенция за обозначения

Естественият логаритъм е направен за означаване на "ln ( х.) ", Логаритъм за базата 10 - чрез" lg ( х.) ", А други основи обикновено се определят изрично с" log "символ.

В много творби по дискретна математика, кибернетика, компютърни науки, авторите използват обозначението "log ( х.) "За логаритми на базата на 2, но настоящото споразумение не е общоприето и изисква изясняване или в списъка на използваните обозначения, или (при липса на такъв списък) с бележка под линия или коментар при първата употреба.

Скоби около аргумента на логаритмите (ако не води до погрешно четене на формулата) обикновено пропуска, и когато логаритъмът е издигнат в степента, индикаторът се приписва директно на знака на логаритъма: LN 2 LN 3 4 х. 5 = [ ln. ( 3 )] 2 .

Англо-американска система

Математиката, статистиката и част от инженерите обикновено се използват за обозначаване на естествен логаритъм или "log ( х.) ", Или" ln ( х.) ", И за обозначаване на логаритъм въз основа на базата 10 -" log 10 ( х.)».

Някои инженери, биолози и други специалисти винаги пишат "ln ( х.) "(Или понякога" дневник e ( х.) ") Когато те означават естествен логаритъм и записващ" дневник ( х.) "Те означават дневник 10 ( х.).

дневник. д. Това е "естествен" логаритъм, тъй като се появява автоматично и се появява много често в математиката. Например, помислете за проблема с деривата логаритмична функция:

Ако основата б. по равно д., производно е само 1 / х., и когато х. \u003d 1 това производно е 1. друга обосновка, за която базата д. Логаритмът е най-естественият, е, че може просто просто да се определи по отношение на прост интеграл или поредица от Тейлър, което не може да се каже за други логаритми.

По-нататъшното обосноваване на естествеността не е свързано с броя. Например, има няколко прости реда с естествени логаритми. Пиетро Менголи и Николай Меркатор ги наричаха logarithmus naturulis. Няколко десетилетия до Нютон и лабиртите са разработили диференциално и интегрално смятане.

Дефиниция

Формално ln ( а.) може да се дефинира като област под кривата на графиката 1 / х. от 1 до а., т.е. като интеграл:

Това е наистина логаритъм, защото отговаря на фундаменталната собственост на логаритъма:

Това може да бъде доказано, което позволява следното:

Числена стойност

За да се изчисли цифровата стойност на естествения логаритъм на номера, е възможно да се използва неговото разлагане в поредица от Тейлър под формата на:

За да получите най-добрата скорост на сближаване, можете да използвате следната идентичност:

при условие че y. = (х.−1)/(х.+1) I. х. > 0.

За ln ( х.), където х. \u003e 1, толкова по-тясна стойност х. K 1, толкова по-бързо скоростта на сближаване. Идентичността, свързана с логаритъма, може да се използва за постигане на целта:

Тези методи се използват още преди да се появят калкулатори, за които са използвани цифрови таблици и се извършват манипулации, подобни на описаните по-горе.

Висока точност

За да се изчисли естествен логаритъм с голям брой номера на точност, серия от Тейлър не е ефективна, тъй като нейното сближаване е бавно. Алтернатива е да се използва методът на Нютон, за да се обърне в експоненциална функция, номер, който се слива по-бързо.

Алтернатива за много висока точност на изчислението е формулата:

където М. означава средноаритметична геометрична средна стойност от 1 и 4 / s, и

м. избрана така пс. Постига се знаци за точност. (В повечето случаи стойността на 8 за m е достатъчна.) В действителност, ако този метод се използва, инверсията на естествения логаритъм на Нютон може да се използва за ефективно изчисляване на експоненциалната функция. (LN 2 и PI константи могат да бъдат предварително изчислени до желаната точност, като се използва някоя от добре познатите бързи конвергирани серии.)

Изчислителна сложност

Изчислителната сложност на естествените логаритми (използвайки средна аритметична геометрична средна) е ( М.(н.) ln. н.). Тук н. - броя на номерата на точността, за които трябва да се оцени естественият логаритъм и М.(н.) - изчислителна сложност на умножаването на две н.- обобщени номера.

Непрекъснати фракции

Въпреки че няма прости непрекъснати фракции, които да представляват логаритъм, но можете да използвате няколко генерализирани непрекъснати фракции, включително:

Комплексни логаритми

Експонсовата функция може да бъде разширена до функция, която дава цялостен брой видове. д. х. За всеки арбитър интегриран номер х.Той използва безкраен ред със сложен х.. Това експоненциална функция Тя може да бъде обърната с формирането на интегриран логаритъм, който ще има повечето свойства на обикновените логаритми. Има обаче две трудности: не х., за което д. х. \u003d 0 и се оказва това д. 2πi. = 1 = д. 0. Тъй като имуществото за умножение е валидно за сложна експоненциална функция, д. z. = д. z.+2n. За всички комплекси z. и цели числа н..

Логаритъмът не може да бъде определен на цялата сложна равнина и дори в същото време е многоценен - \u200b\u200bвсеки сложен логаритъм може да бъде заменен с "еквивалентен" логаритъм, добавяйки цяло число, множество 2 πi.. Комплексният логаритъм може да бъде недвусмислен само на парче от сложна равнина. Например, ln. i. = 1/2 πi. или 5/2. πi. или -3/2. πi.и т.н., и въпреки това i. 4 \u003d 1, 4 log i. може да се дефинира като 2 πi.или 10. πi. или -6. πi.и т.н.

Вижте също

Йоан никога - изобретателят на логаритмите

. \\ T

Математика за физическа химия. - 3-ти. - Академична преса, 2005. - стр. 9. - ISBN 0-125-08347-5 , Екстракт от страница 9
J J O "Конър и Е, Робъртсън Номер E. Историята на Мактурата на Архив на математиката (септември 2001 г.). Архивирани
Cajori Флориан. История на математиката, 5-то Ед. - AMS Bookstore, 1991. - стр. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Мартин. Оценка на интегралите, използващи полиноми. Архивирани от първичен източник на 12 февруари 2012 година.

Естествен логаритъм - Това е логаритъм въз основа на където E (displessSyle e) - ирационална константа, равна на приблизително 2.72. Той е посочен от Ln \u2061 x (displaySley ln x), Log e \u2061 x (displessstyle] log _ (e) x) Или понякога просто Log \u2061 x (displaystyle] log x)Ако фондацията E (displessSyle e) Членове. С други думи, естествен логаритъм х. - Това е индикатор, в който трябва да се издаде броят д., Придобивам х.. Тази дефиниция може да бъде разширена на сложни числа.

ln \u2061 e \u003d 1 (displaySley ln e \u003d 1), защото E 1 \u003d e (displaySyle e ^ (1) \u003d e); Ln \u2061 1 \u003d 0 (displaySley ln 1 \u003d 0), защото E 0 \u003d 1 (DisplaySyle e ^ (0) \u003d 1).

Естественият логаритъм може да се определи и геометрично за всяко положително реално число. а. като област под кривата y \u003d 1 x (displaySyle y \u003d (frac (1) (x))) На интервала [един; А] (DispressSley). Простотата на тази дефиниция, която е в съответствие с много други формули, в която се прилага този логаритъм, обяснява произхода на името "естествено".

e ln \u2061 a \u003d a (a\u003e 0); (displessstyle e ^ (ln a) \u003d quad (a\u003e 0);) Ln \u2061 e a \u003d a (a\u003e 0). (displessSley ln e ^ (a) \u003d quad (a\u003e 0).)

Както всички логаритми, естественият логаритъм показва умножение чрез добавяне:

Ln \u2061 x y \u003d ln \u2061 x + ln \u2061 y. (displaySley ln xy \u003d ln x + ln y.)

Логаритъмът на положителния номер B за основата A (A\u003e 0, а не е равен на 1) те повикат такъв номер с този AC \u003d B: log ab \u003d c ⇔ AC \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1 , B\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Моля, обърнете внимание: логаритъмът от неадекватно число не е дефиниран. В допълнение, в основата на логаритъма трябва да бъде положително число, а не равно на 1. например, ако сме издигнати на квадрат, получаваме номер 4, но това не означава, че логаритъмът на базата е - 2 от 4 е 2.

Основна логаритмична идентичност

log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1) (2)

Важно е областите на определяне на дясната и лявата част на тази формула да бъдат различни. Лявата част се дефинира само в b\u003e 0, a\u003e 0 и a ≠ 1. дясната страна е дефинирана във всеки Б, и изобщо не зависи от това. По този начин използването на основната логаритмична "идентичност" в решаването на уравнения и неравенства може да доведе до промяна в OTZ.

Две очевидни последици от определението за логаритъм

Log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1) (3)
Log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1) (4)

Всъщност, когато номер А е издигнат в първа степен, ще получим същия номер и когато тя бъде издигната в нулева степен.

Логаритъм и логаритъм Лично

Log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (5)

Log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (6)

Бих искал да предупредя учениците от безсмислено прилагане на тези формули в решаването на логаритмични уравнения и неравенства. Когато ги използвате, "отляво надясно" има стесняване на OTZ и в прехода от сумата или разликата на логаритмите към логаритъма на работата или частното - разширяването на OTZ.

Всъщност, експресионният дневник a (F (x) g (x)) е дефиниран в два случая: когато и двете функции са строго положителни или когато f (x) и g (x) са по-малки от нула.

Конвертиране на този израз в количеството log a f (x) + log a g (x), ние сме принудени да ограничаваме само по случай, когато f (x)\u003e 0 и g (x)\u003e 0. Съществува стесняване на допустимите стойности и това е категорично неприемливо, тъй като може да доведе до загуба на решения. Подобен проблем съществува за формула (6).

Степента може да се направи за знака за логаритъма

Log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) (7)

И отново бих искал да призова за точност. Помислете за следния пример:

Log a (f (x) 2 \u003d 2 log a f (x)

Определя се, че лявата част на равенството се определя, като всички стойности на F (X), с изключение на нула. Правилна част - само на F (x)\u003e 0! След като направите известна степен от логаритъма, ние се съди от otz. Обратната процедура води до разширяване на областта на допустимите стойности. Всички тези коментари се отнасят не само до степен 2, но и за всяка дори степен.

Формула на прехода към нова база

Log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1) (8) \\ t

Редният случай, когато OTZ не се променя при конвертиране. Ако разумно сте избрали основата с (положителен и не е равен на 1), формулата за преход към нова база е абсолютно безопасна.

Ако като нова база с избрания номер Б, получаваме важен специален случай с формула (8):

Log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1) (9) \\ t

Някои прости примери с логаритми

Пример 1. Изчислете: LG2 + LG50.
Решение. LG2 + LG50 \u003d LG100 \u003d 2. Използвахме сумата на формулата на логаритмите (5) и определянето на десетичния логаритъм.

Пример 2. Изчислете: LG125 / LG5.
Решение. LG125 / LG5 \u003d log 5 125 \u003d 3. Използвахме прехода към нова база (8).

Формули на масата, свързани с логаритмите

Дневник a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1)

Log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1)

Log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0)

Log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1)

Log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1)

Спазването на поверителността ви е важно за нас. Поради тази причина сме разработили политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата Декларация за поверителност и ни информирайте, ако имате някакви въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Под лична информация подлежи на данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на определено лице или комуникация с него.

Можете да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, които можем да съберем и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

Когато оставите приложение на сайта, можем да съберем различни информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Както използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информация Позволява ни да се свържем с вас и да докладваме за уникални оферти, промоции и други събития и най-близки събития.
От време на време можем да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни уведомления и съобщения.
Можем също така да използваме персонализирана информация за вътрешни цели, като одит, анализ на данните и различни проучвания, за да подобрим услугите на нашите услуги и да ви предоставим препоръки за нашите услуги.
Ако участвате в наградите, конкуренцията или подобно стимулиращо събитие, можем да използваме информацията, която предоставяте, за да управлявате такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме информацията, получена от вас на трети страни.

Изключения:

Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебната процедура, в процеса и / или въз основа на публични запитвания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкрият вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако определим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, поддържането на право и ред или други социално важни случаи.
В случай на реорганизация, сливания или продажби, можем да предадем личната информация, която събираме съответното на третата страна - наследник.

Защита на личната информация

Ние правим предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за защита на личната ви информация от загуба, кражба и безскрупулна употреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промени и унищожаване.

Спазване на поверителността ви на фирмено ниво

За да се уверите, че вашата лична информация е в безопасност, ние носим нормата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно следват изпълнението на мерките за поверителност.