- 88.50 KB.

Федерална горска агенция на Руската федерация

ФБУ SPO "Divnogorsky Leschoz - Техническо училище"

Математика на кабинета

Доклад

На изследователския номер

На тема "Непрекъснати фракции"

Извършено:

Студентски 1 курс c. 11b-l. Kardapoltsev a.o.

Проверено:

Учител: КОНОВАЛОВА напр.

Оценка:

Въведение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 \\ t

Непрекъсната фракция - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 \\ t

Разлагане във веригата фракция - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 \\ t

Сближаване на реалните числа разрушени - - 6

Историческа справка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7 \\ t

Заключение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 \\ t

Библиографски списък - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9 \\ t

Въведение

Целта на моя изследователска работа Това е изследването на теорията на веригата. В него ще се опитам да разкрия свойствата на подходящи фракции, характеристиките на разлагането на реални числа в грешната фракция, грешки, които възникват в резултат на това разлагане, и използването на теория на веригата за решаване на редица алгебрични проблеми.

Верижните фракции бяха въведени през 1572 г. от италианската математика бомбе. Модерното обозначение на непрекъснатите фракции се намира в италианската математика Каталди през 1613 година. Най-големият математик на XVIII век Леонардо Айлер първо очерта теорията на верижните фракции, повдигна въпроса за тяхното използване за решаване на диференциални уравнения, прилагайки ги за разлагане на функции, представляващи безкрайни творби, даде важна обща обобщение.

Произведенията на ауйвър на теорията на фракцията бяха продължени от М. Софронов (1729-1760), академик v.m. Viscovat (1779-1819), D. Bernoulli (1700-1782) и др. Много важни резултати от тази теория принадлежат към френската математика LAGRANGE, която намери метод с приблизително решение, използвайки верижни фракции на диференциални уравнения.

Продължаваща фракция

Верижна фракция(или продължаваща фракция) - Това е математически израз

където а. 0 има цяло число и всичко останало а. н. Естествени числа (т.е. неотрицателно цяло число). Всяко реално число може да бъде представено като верижна фракция (крайна или безкрайна). Номерът е представен от крайната скорост на веригата, ако и само ако е рационална. Номерът е представен от периодична верига на веригата, ако и само ако е квадратична ирационалност.

Верижно разлагане

Всяко реално числох. може да бъде представена (в крайна сметка безкрайна) фракция на веригата, където

където означава целочислото част от номерах. .

За рационално числох. това разлагане ще се обърне, за да постигне нулах. н. За някои н.. В такъв случай х. изглежда, че е крайната верижна фракция

За ирационалнох. Всички ценности х. н. ще има ненулева и процесът на разлагане може да продължи безкрайно. В такъв случайх. изглежда безкрайна фракция на веригата

Сближаване на реалните числа разумно

Фракциите на веригата позволяват ефективно да намерите добри рационални приближения на реалните числа. А именно, ако е реално числох. изпращате във фракция на веригата, след това неговите подходящи фракции ще задоволят неравенството:

От тук следва:

1) подходяща фракцияе най-доброто приближение

за х. сред всички фракции знаменателят не надвишаваq. н. ;

2) мярката за ирационалност на ирационалното число е не по-малка от 2.

Примери

1) Разграждане на номераπ \u003d 3,14159265 ... в непрекъсната фракция и изчисляваме своите подходящи фракции: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ... \\ t

Втората фракция (22/7) е прочутото Архимедейско приближение. Четвърто (355/113) е получено за първи път в древен Китай.

2) в теорията на музиката е необходимо да се намери рационално сближаване за

Третата подходяща фракция: 7/12 ви позволява да обосновате класическата дивизия на октава на 12 halftone.

Исторически справочник

Античните математици успяха да представляват връзката между непреодолимите стойности под формата на верига от последователни подходящи взаимоотношения, приемане на тази верига, използвайки алгоритъма на евклидо. Очевидно това беше по този начин, Архимед получи подход:

Това е 12-та подходяща част за

Или от 4-та подходяща част за.

През V век индийската математика на Ариарабхат прилага подобен "метод за смилане" за решаване на неопределените уравнения на първата и втора степен. С помощта на същата техника вероятно е получил известно сближаване за брояπ (355/113). През XVI век Рафаел бомбено извади квадратните корени с верижни фракции (виж алгоритъма му).

Началото на съвременната теория на фракцията, поставена в 1613 Pietro Antonio Kataldi. Той отбеляза основната собственост (ситуацията между съответните фракции) и въведе обозначението, което прилича на модерното. По-късно неговата теория беше разширена от Джон Валис, който беше предложен терминът "Продължителна фракция". Еквивалентен термин " верижна фракция"Се появи в края на XVIII век.

Тези фракции се използват предимно за рационално сближаване на реалните числа; Например, християните на Хюйген ги използват за проектиране на нежни колела на своя планетариум. Гуенс вече знаеше, че подходящите фракции са винаги опозорни и че те представляват най-доброто рационално сближаване.

През XVIII век Леонард Юулер и Йосиф Луи Лагран са завършени през XVIII век.

Заключение

Тази изследователска работа показва стойността на верижните фракции по математика.

Те могат успешно да се прилагат за решаването на несигурните уравнения на вида

aX + by \u003d C.

Основната трудност при решаването на такива уравнения е да се намери част от личното му решение. Така че, с помощта на верижни фракции, можете да посочите алгоритъма, за да намерите такова лично решение.

Фракциите на веригата могат също да бъдат приложени за решаване на по-сложни неопределени уравнения, например, така нареченото полско уравнение:

().

Безкрайните фракции на веригата могат да бъдат използвани за решаване на алгебрични и трансцендентни уравнения, за бързо изчисляване на стойностите на отделните функции.

В момента фракциите на веригата все повече се използват в компютърна технологияЗа да ви позволи да изградите ефективни алгоритми за решаване на редица задачи на компютъра.

Библиографски списък:

http://ru.wikipedia.org.

1. Алгебрата и теорията на числата. Редактиран от n.ya. Vilenkin, M, "Просвещение", 84.
2. Тях. Виноградов. Основи на теорията на числата. М, "наука", 72.
3. A.A. Кочиева. Работната среща на Algebra и теорията на номерата. M, "просветление", 84.
4. L.ya. Куликов, a.i. Moskalenko, A.A. Fomin. Събиране на задачи по алгебра и теория на числата. М, "просветление", 93.

Е.. Ляпин, A.E. Евсеев. Алгебрата и теорията на числата. M, "просветление",

Работно описание

Целта на моята изследователска работа е да проучи теорията на верижните фракции. В него ще се опитам да разкрия свойствата на подходящи фракции, характеристики на разширяването на реалните числа неправилни фракции, грешки, които възникват в резултат на това разлагане и използването на теория на веригата за решаване на редица алгебрични проблеми.

Непрекъсната фракция - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 \\ t

Разлагане във веригата фракция - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 \\ t

Сближаване на реалните числа разрушени - - 6

Историческа справка - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7 \\ t

Заключение - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 \\ t

Библиографски списък - - - - - - - - - - - - - - - - \\ t

Непрекъснати фракции

Последователността, всеки член на която е обичайната фракция, генерира непрекъсната (или верига) фракция, ако нейният втори елемент се добавя към първата и всяка фракция, започваща с третата, добавя към знаменателя на предишната фракция. Например, последователност 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n / (n + 1), ... генерира непрекъсната фракция

където точка в края показва, че процесът продължава безкрайно. На свой ред, непрекъсната фракция генерира друга последователност от фракции, наречена подходяща. В нашия пример първите, второто, третото и четвъртото подходящи фракции са равни

Те могат да бъдат изградени по просто правило от последователността на непълната частна 1, 1/2, 2/3, 3/4, .... На първо място, ще напишем първата и втората подходящи фракции 1/1 и 3/2. Третата подходяща фракция е равна на (231 + 3? 3) / (231 + 3 ° 2) или 11/8, числителят е равен на количеството на продуктите на числа на първата и втората здрави фракции, \\ t умножено по числовия и знаменател на третия непълен личен, а знаменателят е равен на количеството на деноминатите на първото и второто непълно, умножено по числителя и знаменателя на третия непълен личен. Четвъртата подходяща фракция е подобна на четвъртата непълна частна част 3/4 и втората и третата подходяща фракции: (33 + 4? 11) / (33 + 4? 8) или 53/38. След това правило, ние намираме първите седем подходящи фракции: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Пишаме ги във формата десетични фракции (с шест десетични знака): 1,000000; 1,500000; 1.375000; 1.397368; 1,391892; 1.392247 и 1,392208. Стойността на нашата непрекъсната фракция ще бъде номер X, чиито първите цифри са 1.3922. Подходящите фракции са най-доброто приближение на числото x. Освен това те последователно се оказват по-малко, тогава числото x (странно - повече x, и дори - по-малко).

За да представите съотношението на две положителни числа под формата на крайната непрекъсната фракция, трябва да използвате метода за намиране на най-голям общ разделител. Например, вземете съотношението от 50/11. От 50 \u003d 4? 11 + 6 или 11/50 \u003d 1 / (4 + 6/11) и, по същия начин, 6/11 \u003d 1 / (1 + 5/6) или 5/6 \u003d 1 / (1 + 1/5), получаваме:

Непрекъснатите фракции се използват за приблизителни ирационални числа. Да предположим, че X е ирационален номер (т.е. непредсказуемо под формата на връзка на две цели числа). След това, ако N0 е най-голямото цяло число, което е по-малко от X, X \u003d N0 + (X - N0), където X е N0 е положително число по-малко от 1, следователно обратното число X1 е по-голямо от 1 и X \u003d N0 + 1 / x1. Ако N1 е най-голямото цяло число, което е по-малко от X1, след това X1 \u003d N1 + (X1 - N1), където X1 - N1 е положително число, което е по-малко от 1, следователно обратното число X2 е по-голямо от 1, и X1 \u003d N1 + 1 / x2. Ако N2 е най-голямото цяло число, което е по-малко от X2, след това X2 \u003d N2 + 1 / X3, където X3 е по-голямо от 1 и т.н. В резултат на това имаме стъпка по стъпка ние откриваме последователността на непълна частна N0, 1 / N1, 1 / N2, ... непрекъснати фракции, които са приблизителни x.

Нека обясним примера за примера. Да предположим, че тогава

Първите 6 подходящи фракции са равни на 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Те са записали под формата на десетични продукти, те дават следните приблизителни стойности: 1000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрекъснатата фракция е непълна частна 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, .... Ирационалният номер е коренът квадратно уравнение С целочислени коефициенти в това и само ако непълт частни декомпозиции в непрекъсната фракция са периодични.

Непрекъснатите фракции са тясно свързани с много секции на математиката, например, с теорията на функциите, отклоняващите се редове, проблема с моментите, диференциалните уравнения и безкрайни матрици. Ако x - радиантска мярка остър кът, след това допирателната на ъгъла x е равна на стойността на непрекъснатата фракция с непълна част 0, x / 1, x2 / 3, x2 / 7, \u003cx2 / 9, и ако x е a тогава положително число естествен логаритъм От 1 + x е равен на непрекъснатата фракция с непълна частна 0, x / 1, 12x / 2, 12x / 3, 22x / 4, 22x / 5, 32x / 6, .... Официалното решение на диференциалното уравнение x2dy / dx + y \u003d 1 + x под формата на захранващ ред е изпратеният мощност серия 1 + x - 1! X2 + 2! X3 - 3! X4 + .... Тази мощност може да бъде превърната в непрекъсната фракция с непълна частна 1, x / 1, x / 1, 2x / 1, 2x / 1, 3x / 1, 3x / 1, ... и на свой ред, използвани за получаване на a Различно уравнение X2DY / DX + Y \u003d 1 + x.

Колтер. Цвят речник. 2012

Виж също интерпретации, синоними, значенията на думата и какво е непрекъснато фрарати на руски в речниците, енциклопедии и справочници:

• ФРАКЦИЯ
  Ако някакво цяло число е разделено на друго цяло число b, т.е. числото x се търси, удовлетворяващо състоянието bx \u003d a, тогава ...
• Кауай остров в наръзката на чудеса, необичайни явления, НЛО и други неща:
  най-суровото място на земята, разположено в хавайския архипелаг в Тихия океан, където отиват почти непрекъснати дъждовни дъждове. Средното годишно ...
• Сталкер (филм) в цитат на Уики.
• Русия, секция. Математика в кратка биографична енциклопедия:
  Филосът на паметниците на писането ще поеме използването на десетична система в рамките на 1 - 10 000 (тъмнина) и фракции на двоичната система ...
• ФРАКЦИЯ в големия енциклопедичен речник:
  
• Якобен
  функционален детерминант -AIK-1N с елементи, където yi (x1, ..., xn), l £ i £ ... \\ t
• Функционален анализ (MateMat.) в Биг съветска енциклопедия, БФБ:
  анализ, част от съвременната математика, основната задача на която е да изучават безкрайни пространства и техните съкращения. Най-изучаваните линейни пространства и линейни ...
• Функционални уравнения в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  уравнения, много общ клас уравнения, в които е желана някаква функция. До F. y. По същество диференциални уравнения, ...
• Енергийни нива в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  енергия, възможни стойности на енергията на квантови системи, т.е. системи, състоящи се от микрочастици (електрони, протони и др. Елементарни частици, атомни ядра, ...
• Топология в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  (от гръцки. TPOS е място и логика) - част от геометрията, посветена на изследването на явлението на непрекъснатост (изразено, например, в концепцията ...
• Термодинамика на неприятелски процеси в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  не-равновесни процеси, обща теория на макроскопичното описание на нежните процеси. Той се нарича още равновесна термодинамика или термодинамика необратими процеси. Класическа термодинамика ...
• Термична фурна в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  фурна, Индустриална пещ за различни операции по термична или химическа термична обработка на метални изделия. Т. P. Класифициран по метода на работа: Периодични ...
• СССР. Техническа наука в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  научна авиационна наука и технологии в предворетационна Русия е построена редица въздухоплавателни средства на оригиналния дизайн. Създадени са самолетите му (1909-1914) J. M. ...
• Рационална функция в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  функция, функция, произтичаща от крайния брой аритметични операции (добавяне, умножение и разделяне) по променливи х и произволни числа. R. ...
• Подвижна станция в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  все пак машината за обработка на метални налягане и др. Материали между въртящи се ролки, т.е. за процеса на валцуване, в ...
• Полимери в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  (от гръцки. полимери - състоящи се от много части, разнообразни), химични съединения С високо молекулно тегло (от няколко хиляди до много ...
• Периодична фракция в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  фракция, безкрайна десетична фракция, в която, започвайки от определено място, тя е само периодично повтаряща се група от числа. Например, 1.3181818 ...; Накратко ...
• Продължаваща фракция в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  фракция, верижна фракция, един от най-важните начини за представяне на числа и функции. N. d. Налице е израз на вида, където 0 - ...
• Непрекъсната група в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  група, математическа концепция, както и концепцията за обикновена група, която се случва при разглеждането на трансформациите. Нека m е набор от елементи от всеки ...
• Мароко. в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  Кралство Мароко (арабска. - Ал-мама ал Магрярия, или Магреб Ал-Акша, буквално - далеч запад). I. Общ М. - Състояние на ...
• Линия (геометрич. Концепция) в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  (от лат. Linea), геометрична концепция, точна и в същото време обща дефиниция Кое е значителни трудности и се извършва ...
• Количество в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  категория, изразяваща външна, формална връзка на елементите или техните части, както и имоти, връзки: тяхната стойност, брой, степен на проявление на това или ...
• Кибернетика в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  (от гръцки. KyberNetike е изкуството на мениджмънта, от Kybernao - дясно шофиране, управление), наука за управление, комуникация и обработка на информация. ...
• Златни сплави в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  сплави, сплави, най-важният компонент на който е злато (AU). Сливането на AU с други метали (лигатури) има за цел да увеличи силата ...
• Пробукровая Стан. в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  мелницата, подвижна мелница, предназначена за търкаляне на сметки или блокове в празно място на квадратно или кръгло сечение за целите на тяхната последваща обработка ...
• Пробиване на пиене в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  пробиване, тип ротационно пробиване с използването на фракции като абразивен материал. Предложени в Съединените щати през 1899 г. за напитки в ...
• Валиден номер в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  номер, реален номер, всяко положително число, отрицателно число или нула. Г. Часовете са разделени на рационално и ирационално. Първият представлява как ...
• Геометрия в Голямата съветска енциклопедия, БФБ:
  (Гръцки. Геометрия, от GE - Earth и Metreo - мярка), част от математиката, изучаване на пространствени отношения и форми, както и други ...
• СПИРАЧКА
• Ръчно огнестрелно оръжие в енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron:
  тя се характеризира с факта, че тя изисква за борба с усилията на един човек. Primise (XIII, XIV век) Нейната - Ръководство Bombard (Bomba ...
• Русия. Руска наука: математика в енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron:
  Ерата на писмените паметници е принудена в Русия използването на система за десетична номера в рамките на 1-10000 (тъмнина) и фракции на двоичната система заедно с ...
• Решения в енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron.
• Изстрел от ловна пушка в енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron:
  тя има задача като проучване на битката при нея и определянето на границите на cuchiness, острота и гама от битка с различни броя на фракцията. Борба всеки ...
• Движение на растителни органи в енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron.
• Математика в енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron:
  Думата "математика" идва от гръцки ?????? (Наука, преподаване), от своя страна, какво се случва, заедно със смисъла с него в една дума ...
• КОСТИ в енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron:
  твърди вещества, чието съединение е скелет или гръбначен кабел за тяло и които се характеризират с голяма твърдост, значително съдържание на минерали и ...
• Срам за стрелба в енциклопедичния речник на Brockhaus и Euphron.
• Дигитален в големия руски енциклопедичен речник:
  Цифрова телевизия, телевизионна телевизионна система, в K-Roy непрекъсната телевизия във времето. Прехвърлящите сигнали се трансформират в дискретни и предавани ...
• СПИРАЧКА*
• Ръчно огнестрелно оръжие *
  ? Тя се характеризира с факта, че тя изисква за борба с усилията на един човек. Primozyme (XIII, XIV век)? Ръчно бомбардиране ...
• Решения * в енциклопедия на Брокхаус и Ефрон.
• Изстрел от ловна пушка в енциклопедия на Брокър и Ефрон:
  ? Тя има задача като проучване на битката при нея и определянето на границите на cuchiness, острота и гама от битка с различни броя на фракцията. Битката …
• Движение на растителните органи * в енциклопедия на Брокхаус и Ефрон.
• Производство на мукомол * в енциклопедия на Брокхаус и Ефрон.
• Математика в енциклопедия на Брокър и Ефрон:
  ? Думата "математика" идва от гръцки ?????? (Наука, преподаване), от своя страна, какво се случва, заедно с една стойност с нея ...
• КОСТИ в енциклопедия на Брокър и Ефрон:
  ? Твърди вещества, чието съединение е скелет или гръбначен кабел и които се характеризират с голяма твърдост, значително съдържание на минерални вещества ...
• Числа и цифрови системи: номера на обозначения в цветен речник:
  Към номерата на артикулите и системите за брой Древен Египет. Дешифриране на номерата, създадена в Египет по време на първата династия (около 2850 ...
• Функции Теория: Функции на действителния AC в цветен речник:
  Към статията функциите теорията за функциите, използвани в елементарния анализ, се дават по формули. Техните графики обикновено могат да бъдат изтеглени, без да разкъсват молив от ...
• Дърво: основни части на дървото в цветен речник:
  Към статията дървесни дървета, с изключение на дървесни папрати, - семена растения, състоящи се от корени, стъбла, листа и репродуктивни (секс) органи, ...

фракцията "Телео, фракция" Telnaya, фракция "TELNY, фракция" TELNY, фракция "TELNY, фракция" Telnaya, фракция "TELNY, фракция" TELNY, фракция "TELNY, фракция" TELNY, фракция "TELNY, FRACTION" TELNY, фракция "Teeloe, фракции" Telnaya, фракция "Telnaya, фракция" телета, фракции "TELNY, фракция" Telnaya, фракция "Telnoe, фракция" безжични, ...
• Пелети в пълната акцентирана парадигма на връзката:
  плодове "NCA, фракция" NKI, FRARATY "NKI, фракция" NOK, фракция "NCA, фракция" NAC, фракция "NCU, Fraraty" NKI, FRARATY "NKU, фракция" NKO, FRARATY "NKI, FRARATY" NCA, .. .
• Дробина в пълната акцентирана парадигма на връзката:
  фракциите "ON, фракция" САЩ, фракции "ни, фракции" Н, фракция "не, фракция" за нас, фракции "добре, фракцията" САЩ, фракцията "Ной, фракцията" Ной, фракцията "ние, Фракцията "не, ...
• Трошачка в пълната акцентирана парадигма на връзката:
  фрак, фракции, фракции, фракции "Флас, фракции", фракции "листо, фракция" недостатъци, фракции "листо, фракция" недостатъци, фракции "листо, фракция" листа, фракция "листо, ... \\ t
• Раздробяване в пълната акцентирана парадигма на връзката:
  плодове "лен, фракция" лен, фракция "лен, фракция" лен, фракция "на лен, фракция" лен, фракция "лен, фракция" лен, фракция "лен", фракрат "лен, fraraty" лен, фракция "лен, fraraty \\ t "Лен, фракция" Лен, Фрарати "Лен, фракция" Fla'ry, фракция "Лен, Фрарати", ... \\ t
• Кръст в пълната акцентирана парадигма на връзката:
  фракциите "Lo, фракция" La, фракция "La, фракция" L, фракция "Лу, фракция" Лам, Фрарати "Ло, фракция" La, фракция "Скрап, фракция" Лами, Фрарати ", ... \\ t
• Трошачка в пълната акцентирана парадигма на връзката:
  плодове "LKA, фракции" LCI, фракция "LCI, фракция" Lock, фракция "LCA, фракция" Ланка, фракция "LCA, Fraraty" LKI, FRARATY "LKA, FRARATY" LKO, FRARATY "LKI, FRARATY" LCI, .. .
• ФРАКЦИЯ в съвременния обяснителен речник, БФБ:
  в аритметика - номер, съставен от цялостен брой единици. Фракцията се изразява от съотношението на две цели числа m / n, където n - ...
• Непрекъснато в Обяснителен речник Руски език Ушаков:
  непрекъснато, непрекъснато; Непрекъснато, непрекъснато, непрекъснато. 1. Няма прекъсвания, размери, разтягащи се солидни в близост, линия. Непрекъсната верига. Непрекъснат ред. Непрекъснат поток. ...

Непрекъснати фракции.Последователността, всеки член на която е обичайната фракция, генерира непрекъсната (или верига) фракция, ако нейният втори елемент се добавя към първата и всяка фракция, започваща с третата, добавя към знаменателя на предишната фракция.

Например, последователност 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... н./(н. + 1), ... размножава непрекъсната фракция

където точка в края показва, че процесът продължава безкрайно. На свой ред, непрекъсната фракция генерира друга последователност от фракции, наречена подходяща. В нашия пример първите, второто, третото и четвъртото подходящи фракции са равни

Те могат да бъдат изградени по прост правило от последователността на непълната частна 1, 1/2, 2/3, 3/4, .... преди всичко ще доведе първата и втората подходящи фракции 1/1 и 3 / 2. Третата подходяща фракция е равна на (2H 1 + 3H3) / (2H 1 + 3H2) или 11/8, числителят е равен на количеството на продуктите от първата и втората подходящи фракции, умножена по числителя и. \\ T знаменател на третия непълен личен, а знаменателят е равен на количеството произведенията на знамяните на първото и второто непълно, умножено според числителя и знаменателя на третия непълен личен. Четвъртата подходяща фракция е подобна на четвъртата непълна частна част 3/4 и втората и третата подходяща фракции: (3H3 + 4H 11) / (3H2 + 4H8) или 53/38. След това правило, ние намираме първите седем подходящи фракции: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Пишем ги под формата на десетични фракции (с шест десетични знака): 1,000000; 1,500000; 1.375000; 1,397368; 1,391892; 1.392247 и 1,392208. Значението на нашата непрекъсната фракция ще бъде номерът х., първите числа са 1.3922. Подходящите фракции са най-доброто приближение на номера. х.. И те последователно се оказват по-малко, тогава повече х. (странно - повече х.И дори - по-малко).

За да представите съотношението на две положителни числа под формата на крайната непрекъсната фракция, трябва да използвате метода за намиране на най-голям общ разделител. Например, вземете съотношението от 50/11. От 50 \u003d 4h 11 + 6 или 11/50 \u003d 1 / (4 + 6/11), и по същия начин, 6/11 \u003d 1 / (1 + 5/6) или 5/6 \u003d 1 / (1 + 1 / 5), получаваме:

Непрекъснатите фракции се използват за приблизителни ирационални числа. Нека се преструваме това х. - ирационален номер (т.е. непредсказуемо под формата на връзка между две цели числа). Тогава, ако има н. 0 - най-голямото цяло число, което е по-малко х.T. х. = н. 0 + (х. – н. 0) където х. – н. 0 е положителен брой по-малко от 1, така че обратното число х. 1 повече от 1 и х. = н. 0 + 1/х. един. Ако н. 1 - най-голямото цяло число, което е по-малко х. 1, Т. х. 1 = н. 1 + (х. 1 – н. 1) където х. 1 – н. 1 е положително число, което е по-малко от 1, така че обратното число х. 2 повече от 1, и х. 1 = н. 1 + 1/х. 2. Ако н. 2 - най-голямото цяло число, което е по-малко х. 2, Т. х. 2 = н. 2 + 1/х. 3, където х. 3 още 1 и т.н. В резултат на това имаме стъпка по стъпка ние откриваме последователността на непълна частна н. 0 , 1/н. 1 , 1/н. 2, ... непрекъснати фракции, които са приблизителни х..

Нека обясним примера за примера. Да предположим, че тогава

Първите 6 подходящи фракции са равни на 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Те са записали под формата на десетични продукти, те дават следните приблизителни стойности: 1000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрекъснатата фракция е непълна частна 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, .... ирационален номер е коренът на квадратно уравнение с целочислени коефициенти в това и само Ако непълни частни декомпозиции в непрекъсната фракция са периодични.

Непрекъснатите фракции са тясно свързани с много секции на математиката, например, с теорията на функциите, отклоняващите се редове, проблема с моментите, диференциалните уравнения и безкрайни матрици. Ако х. - радиална мярка за остър ъгъл, след това допиращ ъгъл х. х./1, - х. 2 /3, - х. 2 /7, - х. 2/9, ... и ако х. - положителен брой, след това естествен логаритъм от 1 + х. равно на значението на непрекъсната фракция с непълна част 0, х./1, 1 2 х./2, 1 2 х./3, 2 2 х./4, 2 2 х./5, 3 2 х./ 6, .... Официално решение на диференциалното уравнение х. 2 dY./dX + Y. = 1 + х. Под формата на захранваща серия е последователна мощност 1 + х. – 1!х. 2 + 2!х. 3 – 3!х. 4 + .... тази мощност може да бъде преобразувана в непрекъсната фракция с непълна част 1, х./1, х./1, 2х./1, 2х./1, 3х./1, 3х./ 1, ... и на свой ред, използвани за получаване на решение на диференциално уравнение х. 2 dY./dX. + y. = 1 + х..

Намаляване с помощта на разлагане в непрекъсната фракция

Подходящи фракции. Подход на реални числа

Литература: 1. Виноградова иМ. Елементи на по-висша математика.

Част от третата. Основи на теорията на числата. Учебник за университети.

М.: По-високо. Шк. 1999. - С. 335 - 340.

Gribanov v.u. Събиране на упражнения по теорията на числата.

- m.: Просвещение, 1964.

Schneperman L.b. Събиране на задачи по алгебра и теория

числа: Ръководител. - SPB.: Ед. "LAN", 2008.- 224С.

КРАТКА ИНФОРМАЦИЯ От теория

Ако - обикновена разкриваща фракция, правилна или неправилна, след това с помощта на алгоритъм на евклидо, можете да подадете тази фракция под формата на:

a \u003d bq 0 + a 1,

b \u003d a 1 q 1 + a 2,

a 1 \u003d a 2 q2 + a 3,

…………….

n-2 \u003d N-1 Q N-1 + N,

n - 1 \u003d a n q n.

Тук q 0, q 1, q2, q3, ..., q n - непълна частна;

a 1, a 2, a 3, ...., n- остава.

Дясната страна на това разлагане може да бъде представена като:

\u003d Q 0 +

…………

+ ,

Изразът, написан в дясната страна, се нарича крайна непрекъсната или верижна фракция.

Накратко написаното равенство може да бъде написано като:

\u003d (Q 0, q 1, q2, q3, ..., q n)

Дроби. = , \u003d Q 0 + , \u003d Q 0 + , ...... наречен подходящ. Числителят и знаменателят на тези франи могат да бъдат изчислени чрез повтарящи се формули:

P -2 \u003d 0; Q -2 \u003d 1: p -1 \u003d 1; Q -1 \u003d 0;

при k≥0; P k k \u003d q k р К -1 + p К -2; Q K \u003d Q K K K -1 + Q K -2. (един)

По дефиниция p n \u003d a, q n \u003d b.

Процесът на изчисление е удобен за издаване под формата на таблица:

К.	-2	-1				……	N-1.	Н.
Q К.			Q 0.	Q 1.	Въпрос 2.	……	Q N-1	Q N.
P K.			P 0.	P 1.	Р 2.	……	P N-1	Р н.
Q К.			Q 0.	Q 1.	Въпрос 2.	……	Q N-1	Q N.

Между съответните фракции и самата фредя, съотношението е:

< < < ….. < < …… < < <

За оценка на грешката при замяна на фракцията подходяща фракция Ще приложим следната формула:

‌‌‌ - .

Пример. Сменете фракцията = Подходящ с грешка 0,001.

Разстелете фракцията, като използвате алгоритъма на EUCLID:

Ако вземем фракция за подмяна, ще бъде заместващата грешка

0.006, който е по-примерен 0.001, така че фракцията не се вписва.

Вземете фракцията, за която грешката е 0,0003< 0,001.

Пример. Според тази последна непрекъсната фракция намират подходящата обикновена фракция. Нека бъде = (2; 1; 1; 3; 1; 2).

Решение. Според съответните стойности q К., използвайки рецидивиращи формули, ние определяме съответните стойности на числителя и знаменателя на подходящи фракции P k, q k . В k \u003d n получаваме P n \u003d a, q n \u003d b .

К.	-2	-1
Q К.
P K.								A \u003d 64.
Q К.								B \u003d 25.

k \u003d 0; P 0 \u003d Q 0 р -1 + р -2 \u003d 2 × 1 + 0 \u003d 2; Q 0 \u003d Q 0 Q -1 + Q -2 \u003d 2 × 0 + 1 \u003d 1;

k \u003d 1; P 1 \u003d q 1 р 0 + р -1 \u003d 1 × 2 + 1 \u003d 3; Q 1 \u003d Q 1 Q 0 + Q -1 \u003d 1 × 1 + 0 \u003d 1;

k \u003d 2; Р2 \u003d Q2 P 1 + P 0 \u003d 1 × 3 + 2 \u003d 5; Q2 \u003d Q 2 Q 1 + Q 0 \u003d 1 × 1 + 1 \u003d 2;

k \u003d 3; Р 3 \u003d Q3 P2 + P 1 \u003d 3 × 5 + 3 \u003d 18; Q 3 \u003d Q 3 Q2 + Q 1 \u003d 3 × 2 + 1 \u003d 7;

k \u003d 4; Р 4 \u003d Q 4 P 3 + P2 \u003d 1 × 18 + 5 \u003d 23; Q 4 \u003d Q 4 Q3 + Q2 \u003d 1 × 7 + 2 \u003d 9;

k \u003d 5; Р 5 \u003d Q 5 P 4 + P3 \u003d 2 × 23 + 18 \u003d 64; Q 5 \u003d Q 5 Q 4 + Q 3 \u003d 2 × 9 + 7 \u003d 25.

Отговор: = .

Пример. Нека фракцията бъде дадена . Използвайки евклидовия алгоритъм на разлагане в непрекъсната фракция, намалете тази фракция.

				Q 0 \u003d 2
			Q 1 \u003d 3
		Q 2 \u003d 1
	Q 3 \u003d 2

Получено 525 \u003d 231 2 +63;

231 = 63 + 42;

63 = 42 1 + 21;

42 \u003d 21 2. Имаме възли (525; 231) \u003d 21.

Полученото декомпозиция ви позволява да направите намален вход

\u003d (2; 3; 1; 2). Ще намерим подходящи фракции за това разлагане, използвайки формули (1).