Какво представляват математическите понятия. Методи за изучаване на математически понятия

План:

1. Понятието като форма на мислене. Съдържание и обхват на концепцията.

2. Определение на понятието, видове определения. Класификация на понятията.

3. Методи за изучаване на понятия в курс на средно училище (пропедевтика, въведение, усвояване, консолидиране, предотвратяване на грешки).

1. Познаването на околния свят се осъществява в диалектическото единство на сетивни и рационални форми на мислене. Сензорните форми на мислене включват: усещане, възприятие, представяне. Рационалните форми на мислене включват: концепции, преценки, изводи. Чувството и възприятието са първите сигнали за реалността. На тяхна основа се формират общи идеи и от тях в резултат на сложна умствена дейност преминаваме към понятия.

Концепцията е форма на мислене, която отразява съществените характеристики (свойства) на обектите в реалния свят.

Свойството е от съществено значение, ако е присъщо на този обект и без него не може да съществува. Например формалната концепция за куб (различни кубчета, размери, цветове, материали). При тяхното наблюдение възниква възприемането на обект, следователно в съзнанието възниква представа за тези обекти. След това, подчертавайки съществените характеристики, се формира концепция.

И така, концепцията е абстрахирана от индивидуалните черти и особености на индивидуалните възприятия и представи и е резултат от обобщаване на възприятия и представи на много голям брой хомогенни явления и обекти.

Всяка концепция има две логически характеристики: съдържание и обем.

Обхватът на концепцията е набор от обекти, обозначени със същия термин (име).

Например терминът (име) - трапец.

1) четириъгълник,

2) една двойка противоположни страни е успоредна,

3) другата двойка противоположни страни не е успоредна,

4) сумата от ъглите, съседни на страничната страна, е равна на.

Обхватът на концепцията е всички възможни трапеци.

Между съдържанието на концепцията и обема има следната връзка: колкото по -голям е обемът на концепцията, толкова по -малко е нейното съдържание и обратно. Така например обхватът на понятието "равнобедрен триъгълник" е по -малък от обхвата на понятието "триъгълник". И съдържанието на първото понятие е по -голямо от съдържанието на второто, тъй като равнобедрен триъгълник има не само всички свойства на триъгълник, но и специални свойства, присъщи само на равнобедрените триъгълници (страните са равни, ъглите в основата са равни). Така че, ако увеличите съдържанието, тогава обемът на концепцията ще намалее.

Ако обемът на едно понятие е включен като част от обема на друго понятие, тогава първото понятие се нарича специфично, а второто родово.

Например, ромб е успоредник, в който всички страни са равни (Погорелов, клас 8). Ромб - специфичен, паралелограм - общ.

Квадратът е правоъгълник, в който всички страни са равни (Погорелов, клас 8). Квадратът е специфичен, правоъгълникът е генеричен.

Но, квадрат е ромб, чийто ъгъл е прав.

Тоест понятието род и вид са относителни.

Всяко понятие е свързано с дума-термин, която съответства на даденото понятие. В математиката понятието често се обозначава със символа (‌‌‌‌║). Термините и символите са средства, които служат за изразяване и фиксиране на математически понятия, за предаване и обработка на информация за тях.

2. Съдържанието на концепцията за всеки математически обект включва много различни съществени свойства на този обект. Въпреки това, за да се разпознае обект, да се установи дали той принадлежи към дадено понятие или не, достатъчно е да се провери дали той има някои съществени свойства.

Дефиниция на понятие - формулирането на изречение, което изброява необходимите и достатъчни характеристики на едно понятие. По този начин съдържанието на концепцията се разкрива чрез дефиницията.

Видове определения на понятия.

1.Определение чрез най -близката родова и видова разлика .

Нека подчертаем, че една незначителна черта на родовото понятие винаги се приема като разграничение на вида, което вече е от съществено значение за дефинирането на понятието.

Свойствата на обект в такова определение се разкриват чрез показване на операциите по неговото изграждане.

Пример,триъгълниците се наричат равни, ако имат съответните страни и съответните ъгли са равни (Погорелов, степен 7). Това определение казва на учениците как да конструират триъгълник, равен на даден.

3.Определения - условни конвенции ... Същите конструктивни определения, но основани на някаква конвенция. Такива определения се използват в училищен курсматематика, като същевременно разширява концепцията за число.

Например, .

4. Индуктивен (рекурсивен). Посочени са някои основни обекти от определен клас и правила, които позволяват получаването на нови обекти от същия клас.

Например . Числова последователноствсеки член, който, започвайки от втория, е равен на предходния добавен термин със същото число се нарича аритметична прогресия.

5. Отрицателни определения. Те не задават свойствата на обекта. Те изпълняват така или иначе класификационна функция. Например, кръстосани линии са тези линии, които не принадлежат на равнината и не се пресичат.

6. Аксиоматично определение ... Определение чрез система от аксиоми. Например дефиницията на площ и обем.

Видове грешки при определяне на понятия.

1) Определението трябва да бъде пропорционално - то трябва да посочва най -близкото родово понятие до дефинираното понятие (паралелограм е четириъгълник, паралелограм е многоъгълник).

2) Определението не трябва да съдържа „порочен кръг“ - първият се определя чрез втория, а вторият през първия (прав ъгъл е деветдесет градуса, една степен е деветдесет от прав ъгъл).

3) Определението трябва да е достатъчно. Определението трябва да посочва всички характеристики, които дават възможност недвусмислено да се разграничат обектите на дефинираната концепция (ъглите, които се събират, се наричат съседни).

4) Определението не трябва да бъде излишно, тоест определението не трябва да посочва ненужни характеристики на дефинираното понятие. Например, ромб е успоредник, в който всички страни са равни (Погорелов, клас 8). Това определение е излишно, тъй като равенството на две съседни страни е достатъчно.

5) Определението не трябва да бъде тавтология, тоест да повтаря под каквато и да е словесна форма казаното по -рано. Например, равни триъгълницинаречени триъгълници, които са равни помежду си.

Логическата структура на видовите различия.

1. Видовите различия могат да бъдат свързани със съюза "и" - конюнктивната структура на определението.

2. Разликите във видовете са свързани чрез съюза „или“ - дизъюнктивната структура на определението.

3. Видовите различия са свързани с думите „ако ..., тогава ...“ - импликативна структура.

Класификацията е разпределението на обекти на концепция във взаимосвързани класове (типове, типове) според най -съществените характеристики (свойства). Атрибутът (свойството), чрез който възниква класификацията (разделянето) на концепцията на типове (класове), се нарича основа на класификацията.

При извършване на класификацията трябва да се спазват следните правила:

1) Като основа за класификация можете да вземете само една обща характеристика на всички обекти на дадена концепция, тя трябва да остане непроменена в процеса на класификация.

2) Всеки обект на концепцията трябва да попадне в резултат на класифицирането в един и само един клас.

3) Класификацията трябва да бъде пропорционална, тоест обединението на класове обекти съставлява обхвата на концепцията (няма обект, който да не попада в нито един клас).

4) Класификацията трябва да бъде непрекъсната, тоест в процеса на класифициране е необходимо да се премине към най -близкото (до това) родово понятие (тип).

Понастоящем терминът класификация не се използва в училищните учебници, изискванията не са посочени. Но това не означава, че учителят не класифицира понятия. Можете да класифицирате числа, функции, алгебрични изрази, геометрични трансформации, многоъгълници, многогранници. Тя може да бъде съставена под формата на диаграма, таблица.

Учениците трябва да бъдат постоянно обучавани за изграждане на класификация. На първия етап на учениците трябва да бъдат предложени готови диаграми, таблици. На второ, попълване на тези схеми, таблици. На трето, самоизграждане.

Видове класификации:

1. Класификация според модифициран атрибут. Например триъгълник. Основата на класификацията: размерът на вътрешните ъгли, членове: правоъгълни, остроъгълни, тъпоъгълни.

2. Дихотомична класификация (dicha и tome (гръцки) - "разрязани на две части"). Това е разделянето на обема на класифицираната концепция на две противоречащи си всекикъм друго видово понятие, едното от които има определена черта, а другото няма.

Например,

3. При формирането на концепция трябва да се спазват три етапа: въведение, асимилация, консолидация.

I. Въвеждането може да се извърши по два начина:

а) конкретно индуктивен - всички признаци на концепция се разглеждат с помощта на примери или проблеми, след което се въвеждат терминът и определението.

б) абстрактно -дедуктивно - веднага се дава определението и след това характеристиките се обработват с помощта на примери.

II. Асимилация.

Тук има две цели:

1) научете определението.

2) Научете учениците да определят дали даден обект отговаря на разглежданите понятия или не. Този етап се провежда върху специално разработени упражнения.

За постигане на втората цел е необходимо:

1) посочете системата от необходими и достатъчни свойства на обекти от този клас.

2) за установяване дали даден обект притежава избраните свойства или не.

3) да се заключи, че обектът принадлежи на това понятие.

III. Консолидация-решение на по-сложни проблеми, които включват разглежданите понятия.

Забележка 1... При формулирането на дефиницията на понятие трябва да се обърне внимание дали учениците разбират значението на всяка дума, използвана в определението. На първо място, трябва да обърнете внимание на следните думи: "всеки", "не повече" и т.н.

Забележка 2... На етапа на консолидиране на концепцията трябва да се предложат задачи не само за разпознаване на обект, но и за намиране на последствия. Например, известно е, че четириъгълникът е трапец (и неговите основи). Какви са последствията, които произтичат от тези условия по силата на определението за трапец.

2
Федерална агенция по образование
Щат образователна институцияпо-висок професионално образование
Вятски държавен хуманитарен университет
Математически факултет
Катедра „Математически анализ и методи на преподаване на математика“
Заключителна квалификационна работа
Характеристики на формирането на математическипонятия в 5-6 клас
Завършено:
Студент 5 -ти курс на Факултета по математика
Белтюкова Анастасия Сергеевна
Ръководител:
кандидат педагогически науки, доцент, гл. Департамент по математически анализ и МММ
М. В. Крутихина
Рецензент:
Кандидат педагогика, доцент от катедра „Математически анализ и МПМ“ И .В Ситникова
Допуснат до защита в държавата атестационна комисия
"___" __________ 2005 г. Ръководител. отдел М.В. Крутихин
"___" ___________ 2005 Декан на факултета В.И. Варанкина
Киров
2005
Съдържание
Въведение 3
Глава 1 Основи на методите за изучаване на математически понятия 5

Глава 2 Психолого-педагогически особености на преподаването на математика в 5-6 клас 15

2.4 Характеристики на формирането на математически понятия в 5-6 клас

Глава 3 Опитно преподаване 36
Заключение 44
Библиографски списък 45

Въведение

Концепцията е един от основните компоненти в съдържанието на всеки академичен предмет, включително математиката.
Едно от първите математически понятия, с които детето се сблъсква в училище, е концепцията за число. Ако това понятие не бъде усвоено, учениците ще имат сериозни проблеми при по -нататъшното изучаване на математиката.
От самото начало студентите срещат понятия, докато изучават различни математически дисциплини. И така, започвайки да изучават геометрия, учениците веднага се сблъскват с понятията: точка, линия, ъгъл, а след това - с цяла система от понятия, свързани с типовете геометрични обекти.
Задачата на учителя е да осигури пълното усвояване на понятията. В училищната практика обаче този проблем не се решава толкова успешно, колкото изискват целите на общообразователното училище.
„Основният недостатък на училищното усвояване на понятията е формализмът“, казва психологът Н. Ф. Тализина. Същността на формализма е, че учениците, правилно възпроизвеждайки определението на понятие, тоест осъзнавайки неговото съдържание, не знаят как да го използват при решаване на проблеми по прилагането на това понятие. Следователно формирането на концепции е важно, Действайте при al проблем.
Обект на изследване: процесът на формиране на математически понятия в 5-6 клас.
Непокътнат б работа: разработват насоки за изучаване на математически понятия в 5-6 клас.
Работни задачи:
1. Да се изучава математическа, методическа, педагогическа литература по тази тема.
2. Да се идентифицират основните начини за дефиниране на понятия в учебниците от 5-6 клас.
3. Да се определят особеностите на формирането на математически понятия в 5-6 клас.
4. Да се разработят насоки за формиране на някои понятия.
Изследователска хипотеза : Ако в процеса на формиране на математически понятия в 5-6 клас се вземат предвид следните характеристики:
· Концепциите в по -голямата си част се определят с помощта на конструкция, като често формирането на правилната представа за концепцията сред учениците се постига с помощта на обяснителни описания;
· Понятията се въвеждат по конкретно-индуктивен начин;
· По време на процеса на формиране на концепция се обръща много внимание на яснотата, тогава този процес ще бъде по -ефективен.
Изследователски методи:
· Изучаване на методическа и психологическа литература по темата;
· Сравнение на различни учебници по математика;
· Преподаване с опит.

Глава 1
Основи на методите за изучаване на математически понятия

1.1 Математически понятия, тяхното съдържание и обхват, класификация на понятията

Концепцията е форма на мислене за интегрален набор от съществени и несъществени свойства на обект.

Математическите понятия имат свои собствени характеристики: те често произтичат от нуждите на науката и нямат аналози в реалния свят; те имат висока степен на абстракция. По силата на това е желателно да се покаже на учениците появата на изучаваната концепция (или от необходимостта от практика, или от нуждата от наука).

Всяка концепция се характеризира с обем и съдържание. Съдържание - много съществени характеристики на концепцията. Сила на звука - набор от обекти, към които това понятие е приложимо. Помислете за връзката между обхвата и съдържанието на концепцията. Ако съдържанието отговаря на реалността и не включва противоречиви знаци, тогава обемът не е празен набор, което е важно да се покаже на учениците при въвеждане на концепция. Съдържанието определя изцяло силата на звука и обратно. Това означава, че промяната в едната води до промяна в другата: ако съдържанието се увеличава, тогава обемът намалява.

Съдържанието на едно понятие се идентифицира с неговото определение, а обемът се разкрива чрез класификация. Класификация - разделяне на набор на подмножества, които отговарят на следните изисквания:

o трябва да се извършва на една основа;

o класовете трябва да са разделени;

o обединението на всички класове трябва да даде целия набор;

o класификацията трябва да бъде непрекъсната (класовете трябва да са най -близките понятия за вида по отношение на концепцията, която подлежи на класификация).

Има следните видове класификация:

1. На модифицирана основа. Обектите, които ще бъдат класифицирани, могат да имат няколко характеристики, така че те могат да бъдат класифицирани по различни начини.

Пример. Понятието "триъгълник".

2. Дихотомичен. Разделяне на обхвата на една концепция на две видови концепции, едната от които има тази характеристика, а другата не.

Пример .

Нека подчертаем целите на преподаването на класификация:

1) развитие на логическо мислене;

2) чрез изучаване на видовите различия ние формираме по -ясна представа за родовото понятие.

В училището се използват и двата вида класификация. Като правило, първоначално е дихотомично, а след това според модифициран знак.

1.2 Определение на математически понятия, първични понятия, уточняващо описание

Определете обект - изберете от неговите съществени свойства такива и толкова, че всяко от тях е необходимо и всички заедно са достатъчни, за да различат този обект от другите. Резултатът от това действие се записва в дефиницията.

По дефиниция се разглежда такава формулировка, която свежда новото понятие до вече познатите понятия за същата област. Такова намаляване не може да продължи безкрайно, следователно науката го е направила първични понятия , които не са дефинирани изрично, но косвено (чрез аксиоми). Списъкът на основните понятия е двусмислен, в сравнение с науката, в училищния курс има много повече първични понятия. Основният метод за изясняване, въвеждане на първични понятия е съставянето на родословия.

В училищния курс не винаги е препоръчително да се дава стриктно определение на понятията. Понякога е достатъчно да се формира правилната представа. Това се постига с колан заяждане описания - изречения, достъпни за учениците, които предизвикват един визуален образ в тях и помагат за усвояването на концепцията. Тук няма изискване за свеждане на нова концепция до тези, които са били изследвани по -рано. Усвояването трябва да бъде доведено до такова ниво, че в бъдеще, без да помни описанието, ученикът да може да разпознае обекта, свързан с това понятие.

1.3 Методи за дефиниране на понятия

От логическа структура дефинициите са разделени на конюнктивни (съществените признаци са свързани чрез обединението "и") и дизъюнктивни (съществените признаци са свързани чрез обединението "или").

Избирането на съществени характеристики, фиксирани в дефиницията, и фиксираните връзки между тях се нарича логико-математически анализ на определението .

Има разделение на дефинициите на описателни и конструктивни.

Описателно - описателни или косвени дефиниции, които по правило имат формата: "обект се нарича ... ако притежава ...". Фактът на съществуване на даден обект не следва от такива определения, следователно всички такива понятия изискват доказателство за съществуване. Сред тях се разграничават следните начини за дефиниране на понятия:

· През най -близък роди видова разлика. (Ромб се нарича паралелограм, две съседни страни от които са равни. Понятието паралелограм е родово, от което понятието, което се дефинира, се разграничава чрез една специфична разлика).

· Определения-конвенции- дефиниции, в които свойствата на понятията се изразяват с помощта на равенства или неравенства.

· Аксиоматични определения.В самата наука математиката често се използва, а в училищния курс рядко се използва за интуитивно ясни понятия. (Площта на фигурата е величина, чиято числова стойност отговаря на условията: S (F) 0; F 1 = F 2 S (F 1) = S (F 2); F = F 1 F 2, F 1 F 2 = S (F) = S (F 1) + S (F 2); S (E) = 1)

Определения чрез абстракция.Те прибягват до такова определение на понятие, когато нещо друго е трудно или невъзможно за изпълнение (например естествено число).

· Определение-отрицание- определение, в което не се записва наличието на свойство, а неговото отсъствие (например успоредни линии).

Конструктивно (или генетични) са дефиниции, които показват метод за получаване на нов обект (например сфера е повърхност, получена чрез завъртане на полукръг около диаметъра си). Такива определения понякога се разграничават рекурсивен- дефиниции, които посочват някакъв основен елемент на клас и правило, чрез което могат да бъдат получени нови обекти от същия клас (например дефиницията на прогресия).

1.4 Методологически изисквания за определяне на понятието

· Изискването за научен характер.

· Изискване за достъпност.

· Изискването за съизмеримост (обемът на дефинираната концепция трябва да бъде равен на обема на определящата концепция). Нарушаването на това изискване води до много широко или много тясно определение.

· Определението не трябва да съдържа порочен кръг.

· Определенията трябва да са ясни, точни и без метафорични изрази.

· Минимално изискване.

1.5 Въвеждане на понятия в училищния курс по математика

При формирането на понятия е необходимо да се организират дейностите на учениците за овладяване на две основни логически техники: подвеждане под понятие и извличане на последици от факта, че обект принадлежи на понятие.

Действие обобщаване има следната структура:

1) Избор на всички свойства, фиксирани в определението.

2) Установяване на логически връзки между тях.

3) Проверка дали обектът е избрал свойства и техните връзки.

4) Получаване на заключение за принадлежността на обекта към обхвата на концепцията.

Извличане на последствия - това е подбор на съществени характеристики на обект, принадлежащ на това понятие.

Има три начина в техниката. въвеждане на понятия :

1) Специфично-индуктивен:

o Разглеждане на различни обекти, както принадлежащи към обхвата на концепцията, така и не принадлежащи.

o Идентифициране на съществени характеристики на концепцията въз основа на сравнение на обекти.

o Въвеждане на термина, формулировка на определението.

2) Резюме-дедуктивно:

o Въвеждане на определението от учителя.

o Разглеждане на специални и специални случаи.

o Формиране на способността да се подведе обект под концепцията и да се изведат основните последици.

Когато въвеждат концепция по първия начин, учениците разбират по -добре мотивите за въвеждането, научават се да изграждат дефиниции и разбират важността на всяка дума в нея. Чрез въвеждането на концепцията по втория начин се спестява голямо количество време, което също не е маловажно.

3) Комбинирано . Използва се за по -сложни понятия в смятането. Дадена е дефиниция на понятието въз основа на малък брой конкретни примери. След това, чрез решаване на проблеми, при които незначителните характеристики варират, и чрез сравняване на това понятие с конкретни примери, формирането на концепцията продължава.

1.6 Основните етапи на изучаване на концепцията в училище

В литературата има три основни етапа в изучаването на понятия в училище:

1. Кога въвеждане на концепцията се използва един от трите горни метода. По време на този етап трябва да имате предвид следното:

· На първо място е необходимо да се осигури мотивация за въвеждането на това понятие.

· Когато изграждате система от задачи за обобщаване на концепцията, осигурете най -пълния обхват на концепцията.

· Важно е да се покаже, че обхватът на една концепция не е празен набор.

· Разширяване на съдържанието на концепцията, работа по съществените белези, като се открояват незначителните.

· В допълнение към познаването на дефиницията е желателно учениците да имат визуално разбиране на концепцията.

· Усвояване на терминология и символи.

Резултатът от този етап е формулирането на определение, чието усвояване е съдържанието на следващия етап. Да се овладее дефиницията на понятие означава да се овладеят действията по разпознаване на обекти, принадлежащи на концепция, извличане на последици от принадлежността на обект към концепция, конструиране на обекти, свързани с обхвата на концепцията.

2. На етапа усвояване на определението работата по запаметяване на определението продължава. Това може да се постигне с помощта на следните техники:

· Записване на дефиниции в тетрадка.

· Произношение, подчертаване или номериране на основни свойства.

· Използване на контрапримери за изпълнение на правилата за съизмеримост.

· Избор на липсващи думи в определението, намиране на ненужни думи.

· Научете се да давате примери и контрапримери.

· Да се научим да прилагаме дефиницията в най -простите, но по -скоро типични ситуации, тъй като многократното повтаряне на определението извън решаването на проблеми е неефективно.

· Посочете възможността за различни определения, докажете тяхната еквивалентност, но изберете само едно за запомняне.

· Да се научат да конструират определение, да използват компилацията от родословия за това, обяснявайки логическата структура; да се запознаят с правилата за изграждане на определение.

· Дайте сходни двойки понятия за сравнение и сравнение.

Така на този етап всяко съществено свойство на понятието, използвано в определението, се превръща в специален обект на изследване.

3. Следващ етап - закрепване ... Концепцията може да се счита за формирана, ако учениците незабавно я разпознаят в дадена задача без никакво сортиране на характеристики, тоест процесът на обобщаване на концепцията е сведен до минимум. Това може да се постигне по следните начини:

· Прилагане на дефиницията в по -сложни ситуации.

· Включване на нова концепция в логически връзки, взаимоотношения с други понятия (например, сравнение на родословията, класификации).

· Желателно е да се покаже, че дефиницията е дадена не заради самата нея, а за да „работи“ при решаване на проблеми и изграждане на нова теория.

Глава 2
Психолого-педагогически особености на преподаването на математика в 5-6 клас

2.1 Характеристики на познавателната дейност

Възприятие. Ученик 5-6 клас има достатъчно ниво на развитие на възприятието. Той има високо ниво на зрителна острота, слух, ориентация към формата и цвета на обекта.

Учебният процес поставя нови изисквания към възприятието на ученика. В процеса на възприемане образователна информацияса необходими произволност и смисъл на дейностите на учениците. Отначало детето се привлича от самия обект и преди всичко от външните му ярки знаци. Но децата вече са в състояние да се концентрират и внимателно да обмислят всички характеристики на даден обект, да подчертаят основното, съществено в него. Тази функция се проявява в процеса учебни дейности... Те могат да анализират групи от фигури, да подреждат обекти според различни критерии и да класифицират фигури според едно или две свойства на тези фигури.

При учениците на тази възраст наблюдението се проявява като специална дейност, наблюдението се развива като черта на характера.

Процесът на формиране на концепция е постепенен процес, в първите етапи на който сетивното възприемане на обект играе важна роля.

Памет. Ученик в 5-6 клас е в състояние да управлява своя произволно запаметяване... Способността за запомняне (запомняне) бавно, но постепенно се увеличава.

На тази възраст паметта се възстановява, преминавайки от господството на механичното запаметяване към семантичното запаметяване. В същото време самата семантична памет се възстановява. Придобива непряк характер, задължително се включва мислене. Следователно е необходимо да се научат учениците да разсъждават правилно, така че процесът на запомняне да се основава на разбиране на предложения материал.

Заедно с формата се променя и съдържанието на запаметяване. Става по -достъпно запаметяването на абстрактни материали.

Внимание. Процесът на овладяване на знания, умения и способности изисква постоянен и ефективен самоконтрол на учениците, което е възможно само ако е достатъчно високо нивопроизволно внимание.

Ученик в 5-6 клас може добре да контролира вниманието си. Той се концентрира добре върху дейности, които са значими за него. Следователно е необходимо да се поддържа интересът на ученика към изучаването на математика. В този случай е препоръчително да разчитате на помощни средства (предмети, картини, таблици).

В училище в класната стая вниманието се нуждае от подкрепа от учителя.

Въображение. В процеса на учебна дейност ученикът получава много описателна информация. Това изисква от него постоянно да пресъздава образи, без които е невъзможно да се разберат и усвоят учебни материали, т.е. пресъздаването на въображението на учениците от 5-6 клас от самото начало на обучението е включено в целенасочена дейност, която допринася за умственото му развитие.

С развитието на способността на детето да контролира умствената си дейност, въображението се превръща във все по -контролируем процес.

За учениците в 5-6 клас въображението може да се превърне в самостоятелно вътрешни дейности... Те могат да играят умствени задачи с математически знаци в съзнанието си, да оперират със значенията и значенията на езика, съчетавайки две висши умствени функции: въображение и мислене.

Всички горепосочени характеристики създават основата за развитието на процеса на творческо въображение, в който специалните знания на учениците играят важна роля. Тези знания формират основата за развитието на творческото въображение в следващите възрастови периоди от живота на ученика.

Мислене. Теоретичното мислене, способността за установяване на максимален брой семантични връзки в света около нас, започва да придобива все по -голямо значение. Ученикът е психологически потопен в реалността на обективния свят, образно-знаковите системи. Изученият в училище материал става за него условие за изграждане и проверка на хипотезите му.

В 5-6 клас ученикът развива формално мислене. Ученик на тази възраст вече може да разсъждава, без да се свързва с конкретна ситуация.

Учените проучиха въпроса за умствените способности на учениците в 5-6 клас. В резултат на изследването беше разкрито, че умствените възможности на детето са по -широки, отколкото се предполагаше преди, и със създаването на подходящи условия, т.е. със специални методическа организацияучейки, ученик в 5-6 клас може да усвои абстрактния математически материал.

Както се вижда от горното, психични процесисе характеризират с възрастови характеристики, знанията и разглеждането на които са необходими за организирането на успешно обучение и умствено развитиестуденти.

2.2 Психологически аспекти на формирането на концепции

Нека се обърнем към психологическата литература и да разберем основните положения на концепцията за формиране на научни концепции.
V учебно ръководствосе говори за невъзможността да се пренесе понятието в завършен вид. Детето може да го получи само в резултат на собствената си дейност, насочена не към думи, а към онези предмети, чиято концепция искаме да оформим у него.
Формирането на концепции е процесът на формиране не само на специална извадка от света, но и на определена система от действия. Действия, операции и грим психологически механизъмконцепции. Без тях концепцията не може нито да бъде научена, нито да се прилага в бъдеще за решаване на проблеми. Поради това характеристиките на формираните понятия не могат да бъдат разбрани без да се позовават на действията, на които те са продукт. И е необходимо да се формират следните видове действия, използвани при изучаването на концепции:
· Действието за разпознаване се използва, когато концепцията се научи да разпознава обекти, принадлежащи към даден клас. Това действие може да се приложи при формиране на понятия с конюнктивна и дизъюнктивна логическа структура.
· Извеждане на последствия.
· Сравнение.
· Класификация.
· Действия, свързани с установяването на йерархични отношения в рамките на системата от понятия и др.
Разглежда се и ролята на дефиницията на понятието в процеса на неговото усвояване. Определение - индикативна основа за оценка на предметите, с които обучаемият взаимодейства. Така че, след като е получил определението за ъгъл, ученикът вече може да анализира различни обекти от гледна точка на наличието или отсъствието на признаци на ъгъл в тях. Такава истинска работа създава в главата на ученика образ на предметите от този клас. По този начин получаването на определение е само първа стъпкапо пътя на усвояване на концепцията.
Втората стъпка евключването на определението на понятие в онези действия на учениците, които те извършват със съответните обекти и с помощта на които изграждат в главата си концепцията за тези обекти.
Трета стъпкае да научи учениците да се съсредоточат върху съдържанието на определението, когато извършват различни действия с обекти. Ако това не е гарантирано, тогава в някои случаи учениците ще разчитат на свойствата, които самите те са идентифицирали в обектите, в други случаи децата могат да използват само част от тези свойства; трето, те могат да добавят свои собствени към тези определения.
Условия, осигуряващи контрола на процеса на усвояване на концепцията th
1. Наличието на адекватно действие: то трябва да бъде насочено към съществени свойства.
2. Познаване на състава на използваното действие. Например действието по разпознаване включва: а) актуализиране на системата от необходими и достатъчни свойства на концепцията; б) проверка на всеки от тях в предложените съоръжения; в) оценка на получените резултати.
3. Представяне на всички елементи на действието във външна, материална форма.
4. Поетапно формиране на въведеното действие.
5. Наличието на оперативен контрол при усвояването на нови форми на действие.
N.F. Тализина се спира подробно върху поетапното формиране на понятия. След като изпълнят 5-8 задачи с реални обекти или модели, учениците запомнят както знаците на концепцията, така и правилото за действие, без да запомнят. След това действието се превежда във външна речева форма, когато задачите се дават писмено, а знаците на понятия, правила и инструкции се наричат или записват от учениците по памет.
В случай, че действието е лесно и правилно изпълнено във външната речева форма, то може да бъде преведено във вътрешната форма. Задачата е дадена в писмена форма, а възпроизвеждането на знаците, тяхната проверка, сравняване на резултатите с правилото, учениците правят по свой собствен начин. В началото се следи правилността на всяка операция и крайният отговор. Постепенно контролът се осъществява само върху крайния резултатколкото е необходимо.
Ако действието е изпълнено правилно, то то се прехвърля на умствения етап: самият ученик и изпълнява и контролира действието. Контролът от стажанта се осигурява само за крайния продукт от действията. Ученикът получава помощ при наличие на трудности или несигурност в правилността на резултата. Процесът на изпълнение сега е скрит, действието е напълно умствено.
Така постепенно се осъществява трансформацията на действието във форма. Трансформацията по отношение на обобщението се осигурява от специална селекция от задачи
По -нататъшното преобразуване на действието се постига чрез повторяемост на задачи от същия тип. Препоръчително е да направите това само на последните етапи. На всички останали етапи се дават само такъв брой задачи, което осигурява усвояването на действието в тази форма.
Изисквания към съдържанието и формата на заданията
1. Когато съставяте задачи, човек трябва да се ръководи от онези нови действия, които се формират.
2. Второто изискване за задачите е съответствието на формата на етапа на усвояване. Например, в ранните етапи обектите, с които работят учениците, трябва да са достъпни за реална трансформация.
3. Броят на задачите зависи от целта и сложността на дейността, която се формира.
4. При избора на задачи е необходимо да се вземе предвид, че трансформацията на действие протича не само във форма, но и в степента на обобщение, автоматизация и т.н.
Когато са изпълнени тези условия, са проведени много експерименти. Във всички случаи, твърди Н. Ф. Тализина, концепциите са били формирани не само с определено съдържание, но и с високи показатели според следните характеристики:
· Рационалността на действията на субектите;
• осъзнаване на асимилацията;
· Доверие на учениците в знания и действия;
• липса на съгласуваност от сензорните свойства на обектите;
· Обобщение на понятия и действия;
· Силата на формираните концепции и действия.
И така, детето постепенно формира определен образ на обектите от този клас. Концепцията наистина не може да бъде дадена в завършен вид, тя може да бъде изградена само от самия ученик чрез извършване на определена система от действия с обекти. Учителят помага на ученика да формира този образ със съдържание, което изпреварва съществените свойства на обектите от този клас, и задава социално развита гледна точка за обектите, с които ученикът работи. Концепцията е продукт на действия, извършвани от ученик с обектите на даден клас.

2.3 Някои педагогически особености на преподаването на математика в 5-6 клас

Водещата идея модерна концепция училищно образованиее идеята за хуманизация, поставяйки в центъра на учебния процес на ученика с неговите интереси и възможности, което изисква отчитане характеристиките на неговата личност. Основните направления на математическото образование са засилване на общия културен звук и повишаване на значението му за формирането на личността на растящ човек. Основните идеи, които стоят в основата на курса по математика в 5-6 клас, са общата културна насоченост на съдържанието, интелектуалното развитие на учениците чрез математика върху материала, отговарящ на интересите и възможностите на децата на възраст 10-12 години.

Курсът по математика за 5-6 клас е важна връзка в образованието по математика и развитието на учениците. На този етап основно се завършва обучението за броене на множеството рационални числа, формира се концепцията за променлива и се дават първите знания за методите за решаване на линейни уравнения, продължава обучението за решаване на задачи с думи, уменията за геометрични конструкциите и измерванията се подобряват и обогатяват. Сериозно внимание се обръща на формирането на способността да се разсъждава, да се правят прости доказателства, да се обосноват извършените действия. Успоредно с това се полагат основите за изучаване на систематични курсове по стереометрия, физика, химия и други сродни предмети.

Курсът по математика от 5-6 клас е органична част от цялото училищна математика... Следователно основното изискване за изграждането му е структурирането на съдържанието на единна идеологическа основа, което, от една страна, е продължаването и развитието на идеите, внедрени в преподаването на математика през начално училище, и, от друга страна, служи за последващо изучаване на математика в гимназията.

Продължава развитието на всички съдържателно-методологични линии на курса на елементарната математика: числов, алгебричен, функционален, геометричен, логически, анализ на данни. Те са внедрени в числов, алгебричен, геометричен материал.

V последните временаизследването на геометрията е значително преработено. Целта на изследването геометрия в 5-6 клас познаването на околния свят е езикът и средствата на математиката. С помощта на конструкции и измервания учениците идентифицират различни геометрични модели, които формулират като предложение, хипотеза. Базираният на доказателства аспект на геометрията се разглежда в проблематична равнина - учениците се обучават на идеята, че много геометрични факти могат да бъдат открити експериментално, но тези факти се превръщат в математически истини само когато са установени чрез средства, приети в математиката.

Поради това, геометричен материалв този курс може да се характеризира като геометрия на визуалната дейност. Образованието е организирано като процес на интелектуална и практическа дейност, насочена към развитие на пространствени представи, визуални умения, разширяване на геометричните хоризонти, по време на които най -важните свойства на геометричните фигури се получават чрез опит и здрав разум.

Линията на съдържанието „ Анализ на данни », Която съчетава три области: елементи от математическата статистика, комбинаторика, теория на вероятностите. Въвеждането на този материал е продиктувано от самия живот. Изследването му има за цел да развие у учениците както обща вероятностна интуиция, така и специфични методи за оценка на данните. Основната задача в тази връзка е формирането на подходящ речник, преподаване на най -простите техники за събиране, представяне и анализ на информация, научаване как да се решават комбинаторни проблеми чрез изброяване възможни варианти, създаване на елементарни идеи за честотата и вероятността от случайни събития.

Този ред обаче не присъства във всички съвременни училищни учебници за 5-6 клас. Този ред е особено подробен и ярко представен в учебниците.

Алгебрично материалът, включен в курса по математика за 5-6 клас, е основата за системното изучаване на алгебра в гимназията. Могат да се отбележат следните характеристики на изучаването на този алгебричен материал:

1. Изучаването на алгебричен материал се основава на научна основа, като се вземат предвид възрастовите характеристики и възможности на учениците.

Сред уменията, които математиката учи и които всички трябва да научите, голямо значениеима умения класифицирайтеконцепции.

Факт е, че математиката, подобно на много други науки, изучава не единични обекти или явления, а масивна... Така че, когато изучавате триъгълници, изучавате свойствата на всякакви триъгълници и има безкраен брой от тях. Като цяло обхватът на всяка математическа концепция по правило е безкраен.

За да се разграничат обектите на математическите понятия, да се изучат техните свойства, тези понятия обикновено се разделят на типове, класове. Всъщност, в допълнение към общите свойства, всяко математическо понятие има много по -важни свойства, които не са присъщи на всички обекти на това понятие, а само на обекти от някакъв вид. Така, правоъгълни триъгълници, в допълнение към общите свойства на всякакви триъгълници, те имат много свойства, които са много важни за практиката, например питагорейската теорема, съотношения между ъгли и страни и др.

В процеса на вековното изучаване на математическите понятия, в процеса на многобройните им приложения в живота, в други науки, някои специални типове бяха разграничени от техния обем, притежаващи най-интересните свойства, които най-често се срещат и използват в практика. И така, има безкрайно много различни четириъгълници, но на практика в технологиите най -често се използват само определени видове от тях: квадрати, правоъгълници, успоредници, ромби, трапеци.

Разделянето на обема на концепцията на части е класификацията на това понятие. По -точно класификацията се разбира като разпределение на обекти от всяка концепция във взаимосвързани класове (типове, типове) според най -съществените характеристики (свойства). Атрибутът (свойството), чрез който се прави класификацията (разделянето) на понятието на типове (класове), се нарича основакласификация.

Правилно изградената класификация на концепцията отразява най -съществените свойства и връзки между обектите на концепцията, помага за по -доброто навигиране в множеството от тези обекти, дава възможност да се установят такива свойства на тези обекти, които са най -важни за прилагането на това понятие в други науки и ежедневна практика.

Класификацията на понятието е направена на едно или повече от най -значимите основания.

Така че триъгълниците могат да бъдат класифицирани според големината на ъглите. Получаваме следните видове: остроъгълни (всички ъгли са остри), правоъгълни (единият ъгъл е прав, останалите са остри), тъпоъгълни (единият ъгъл е тъп, останалите са остри). Ако вземем връзката между страните като основа за разделяне на триъгълниците, тогава получаваме следните типове: многостранни, равнобедрени и правилни (равностранни).

По -трудно е, когато трябва да класифицирате понятие на няколко основания. Така че, ако изпъкналите четириъгълници са класифицирани според паралелността на страните, тогава по същество трябва да разделим всички изпъкнали четириъгълници едновременно според два критерия: 1) една двойка противоположни страни е успоредна или не; 2) втората двойка противоположни страни е успоредна или не. В резултат на това получаваме три вида изпъкнали четириъгълници: 1) четириъгълници с непаралелни страни; 2) четириъгълници с една двойка успоредни страни- трапец; 3) четириъгълници с две двойки успоредни страни - паралелограми.

Доста често една концепция се класифицира на етапи: първо, на една основа, след това някои видове се разделят на подвидове на различна основа и т. Н. Пример за това е класификацията на четириъгълниците. На първия етап те се разделят според издутината. Тогава изпъкналите четириъгълници се разделят според успоредността на противоположните страни. От своя страна паралелограмите се разделят според наличието на прави ъгли и т.н.

При извършване на класификацията трябва да се спазват определени правила. Нека посочим основните.

Като основа за класификация може да се вземе само обща характеристика на всички обекти на дадено понятие.Така например, това е невъзможно като основа за класификация алгебрични изразида вземем знака за подреждането на термините по степени на някаква променлива. Тази функция не е обща за всички алгебрични изрази, например няма смисъл за дробни изрази или мономи. Тази функция се притежава само от полиноми; следователно полиномите могат да бъдат класифицирани по най -високата степеносновната променлива.
За основа на класификацията трябва да се вземат съществените свойства (атрибути) на понятията.Помислете отново за концепцията за алгебричен израз. Едно от свойствата на тази концепция е, че променливите, включени в алгебричен израз, се обозначават с някои букви. Това свойство е общо, но не е съществено, тъй като характерът на израза не зависи от това с каква буква е определена определена променлива. По този начин алгебричните изрази x + yи a + bе по същество един и същ израз. Следователно не трябва да класифицирате изразите въз основа на обозначението на променливите с букви. Друг е въпросът, ако вземем за основа за класификацията на алгебричните изрази атрибута на типа действия, чрез които променливите са свързани, тоест действията, които се извършват върху променливите. Тази обща характеристика е много важна и класификацията, базирана на тази характеристика, ще бъде правилна и полезна.
На всеки етап от класификацията може да се приложи само един вид основа.Не можете едновременно да класифицирате понятие на две различни основания. Например, невъзможно е да се класифицират триъгълници едновременно както по размер, така и по отношение на страните, защото в резултат получаваме класове триъгълници, които имат общи елементи(например остроъгълни и равнобедрени или тъпи и равнобедрени и т.н.). Тук се нарушава следното изискване за класификация: в резултат на класификацията на всеки етап, получените класове (типове) не трябва да се припокриват.
В същото време класификацията по някаква причина трябва да бъде изчерпателна и всеки обект на концепцията трябва да попадне в резултат на класифицирането в един и само един клас.

Следователно разделянето на всички цели числа на положителни и отрицателни е неправилно, тъй като целочислената нула не попада в нито един от класовете. Трябва да кажем това: цели числа са разделени на три класа - положителни, отрицателни и числото нула.

Често при класифицирането на понятия само някои класове са ясно разграничени, а останалите само се подразбират. Така например при изучаването на алгебрични изрази обикновено се разграничават само такива видове от тях: мономи, полиноми, дробни изрази, ирационални. Но тези типове не изчерпват всички видове алгебрични изрази, следователно такава класификация е непълна.

Пълна правилна класификация на алгебричните изрази може да се направи, както следва.

На първия етап от класификацията на алгебричните изрази те се разделят на два класа: рационални и ирационални. На втория етап рационалните изрази се разделят на цели и дробни. В третата стъпка цели изрази се разделят на мономи, полиноми и сложни цели изрази.

Тази класификация може да бъде представена по следния начин

Задание 7

7.1. Защо рационалните числа не могат да бъдат класифицирани според паритета им?

7.2. Установете дали разделението на концепцията е правилно:

а) Стойностите могат да бъдат равни или неравни.

б) Функциите се увеличават и намаляват.

в) Равнобедрените триъгълници могат да бъдат остроъгълни, правоъгълни и тъпоъгълни.

г) Правоъгълниците са квадрати и ромби.

7.3. Разделете концепцията " геометрична фигура„по свойство да заемат част от равнината и да дават примери за всеки тип.

7.4. Изградете възможни схеми за класификация за рационални числа.

7.5. Изградете класификационна схема за следните концепции:

а) четириъгълник;

б) два ъгъла.

7.6. Класифицирайте следните понятия:

а) триъгълник и кръг;

б) ъгли в окръжност;

в) два кръга;

г) линия и кръг;

д) квадратни уравнения;

е) система от две уравнения от първа степен с две неизвестни.

Обширните дефиниции са такива дефиниции, които въвеждат понятие, като демонстрират, показват обекти, обозначени с този термин.

Математиката, за разлика от другите науки, изучава света около нас от специална гледна точка. Всякакви математически обектитова е резултат от отделянето от обекти и явления на количествени и пространствени свойства и взаимоотношения. Че. математически обекти всъщност не съществуват. Това са идеални понятия, те съществуват само в мисленето на човек и в онези знаци и символи, които образуват математически език. Нещо повече, при формирането на математически понятия, в допълнение към абстракцията, те се приписват на такива светци, които никой реален обект не притежава.

Основни математически понятия: точка, линия, равнина, множественост, число, стойност, аритметична операция.

Всяко математическо понятие се характеризира с термин, обем и съдържание.

Терминът е дума или група от думи, които се наричат елементи от множество. Обхватът на една концепция е много от всички обекти, обозначени с един и същ термин. Разграничаване на съществени и несъществени свойства на обектите. Sv-in ще бъде от съществено значение, ако е присъщ на обекта и без него обектът не може да съществува. Незначителни - липсата на които не засяга съществени обекти.

а-концепция за паралелограм; в-концепцията за правоъгълник; √вс√а и родово за в; специфично за a; c-концепция за четириъгълник. √а с√с

Едно и също понятие, например паралелограм, може да бъде общо за понятието правоъгълник или специфично за понятието четириъгълник.

Понятията за равнобедрен треуг. И правоъгълен триъгълник. Те не са в специфични за рода отношения. Съществува връзка между понятията като част и цяло.

Например, лъчът е част от права линия, сегментът е част от права линия, дъга е част от окръжност.

Ако понятията са в специфични за рода отношения, тогава има връзка между обхвата на понятието и неговото съдържание: колкото по-голям е обемът, толкова по-малко е неговото съдържание и обратно.

Определението на понятия е логическа операция, която разкрива съдържанието на концепцията. Той посочва тези съществени sv-va, които са достатъчни за неговото разпознаване. Определенията се делят на явни и неявни (косвени). Изричните определения приемат формата на равенство, съвпадение на две понятия.

Пример: Извиква се паралелограма. четириъгълник, чиито страни са успоредни по двойки. но има в; a е успоредник (определено понятие; b е четириъгълник, чиито страни са двойно успоредни (определящо понятие; a = r + v

Определено понятие = родово понятие + видова разлика

Общо: Бисектрисата на ъгъла се нарича. лъч, излизащ от върха на ъгъла и разполовяващ ъгъла / r-обща концепция: лъч; концепция v-species: излизане от върха на ъгъла и разделяне на ъгъла на две части. В началното училище рядко се използва изрична дефиниция за разграничение на род и вид. Пример: Определяне на четно число, правоъгълник, квадрат, умножение.

Изричните определения могат да имат различна структура: а) генетични определения. Триъгълник е фигура, състояща се от 3 точки, които не лежат на една права линия, и 3 сегмента, които ги свързват последователно.Обща концепция и метод на изграждане.

б) повтарящи се (рекурсия-връщане) Аритметична прогресиясе нарича числова последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния, добавен към константата d за дадена последователност (разлика).

В началното училище преобладават неявните определения. Неявните определения са контекстуални и показателни. Контекстуални дефиниции - в тези определения съдържанието на новите понятия се разкрива чрез контекста, анализ на конкретна ситуация, която описва значението на въвежданото понятие. Пример: 2 + x = 5

2. На учениците от началните класове се предлагат задачи:

1) Коя цифра е излишна? Обяснете отговора.

Въведение

Концепцията е един от основните компоненти в съдържанието на всеки академичен предмет, включително математиката.

Едно от първите математически понятия, с които детето се сблъсква в училище, е концепцията за число. Ако това понятие не бъде усвоено, учениците ще имат сериозни проблеми при по -нататъшното изучаване на математиката.

От самото начало студентите срещат понятия, докато изучават различни математически дисциплини. И така, започвайки да изучават геометрия, учениците веднага се сблъскват с понятията: точка, линия, ъгъл, а след това - с цяла система от понятия, свързани с типовете геометрични обекти.

Задачата на учителя е да осигури пълното усвояване на понятията. В училищната практика обаче този проблем не се решава толкова успешно, колкото изискват целите на общообразователното училище.

„Основният недостатък на училищното усвояване на понятията е формализмът“, казва психологът Н. Ф. Тализина. Същността на формализма е, че учениците, правилно възпроизвеждайки определението на понятие, тоест осъзнавайки неговото съдържание, не знаят как да го използват при решаване на проблеми по прилагането на това понятие. Следователно формирането на концепции е важно, действителни проблем.

Обект на изследване: процесът на формиране на математически понятия в 5-6 клас.

Цел на работата: разработват насоки за изучаване на математически понятия в 5-6 клас.

Работни задачи:

1. Да се изучава математическа, методическа, педагогическа литература по тази тема.

2. Да се идентифицират основните начини за дефиниране на понятия в учебниците от 5-6 клас.

3. Да се определят особеностите на формирането на математически понятия в 5-6 клас.

Изследователска хипотеза : Ако в процеса на формиране на математически понятия в 5-6 клас се вземат предвид следните характеристики:

· Концепциите в по -голямата си част се определят с помощта на конструкция, като често формирането на правилната представа за концепцията сред учениците се постига с помощта на обяснителни описания;

· Понятията се въвеждат по конкретно-индуктивен начин;

· По време на процеса на формиране на концепция се обръща много внимание на яснотата, тогава този процес ще бъде по -ефективен.

Изследователски методи:

· Изучаване на методическа и психологическа литература по темата;

· Сравнение на различни учебници по математика;

· Преподаване с опит.

Основи на методите за изучаване на математически понятия

Математически понятия, тяхното съдържание и обхват, класификация на понятията