Как се определя последователността. Числова последователност

Подпоследователност

Подпоследователност- това е комплектелементи от някакъв набор:

• за всяко естествено число можете да посочите елемент от това множество;
• това число е номерът на елемента и показва позицията на този елемент в последователността;
• за всеки елемент (член) от последователността можете да посочите следващия елемент от последователността.

Така че последователността е резултатът последователенизбор на елементи от даден набор. И ако някой набор от елементи е краен и говорим за извадка от краен обем, тогава последователността се оказва извадка от безкраен обем.

Последователността по своята същност е дисплей, така че не трябва да се бърка с набор, който „протича“ през последователността.

Много различни последователности се разглеждат в математиката:

• времеви редове с числено и нечислово естество;
• поредици от елементи на метричното пространство
• поредици от функционални космически елементи
• последователност от състояния на системите за управление и автоматите.

Целта на изучаването на всички видове последователности е да се намерят модели, да се предскажат бъдещи състояния и да се генерират последователности.

Определение

Нека бъде даден набор от елементи с произволен характер. | Извиква се всяко преобразуване на множество естествени числа в дадено множество последователност(елементи от комплекта).

Изображението на естествено число, а именно елемент, се нарича - ти член наили елемент на последователност, а поредният номер на член от последователността е неговият индекс.

Свързани дефиниции

• Ако вземем нарастваща последователност от естествени числа, тогава тя може да се разглежда като последователност от индекси на някаква последователност: ако вземем елементите на оригиналната последователност със съответните индекси (взети от нарастваща последователност от естествени числа), тогава ние може отново да получи последователност, която се нарича подпоследователностдадена последователност.

Коментари (1)

• В математическия анализ важно понятие е границата на числова последователност.

Обозначения

Последователности на формата

обичайно е да се пише компактно с помощта на скоби:

или

понякога се използват къдрави скоби:

Позволявайки известна свобода на словото, може да се разгледат и крайни последователности на формата

,

които представляват образа на началния сегмент от поредица от естествени числа.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Синоними:

Вижте какво е "Последователност" в други речници:

ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ. В статията на И. В. Киреевски „Деветнадесети век“ (1830 г.) четем: „От самото падане на Римската империя до наши дни просвещението на Европа ни се явява в постепенно развитие и в непрекъсната последователност“ (т. 1, стр. ... ... Историята на думите

ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, поредици, мн.ч. не, съпруги. (Книга). Разсейвам. съществително до последователен. Поредица от някакъв вид явления. Последователност в промяната на приливи и отливи. Последователност в разсъжденията. Обяснителен речникУшаков ........ Тълковен речник на Ушаков

Последователност, приемственост, последователност; ред, прогресия, заключение, серия, низ, последователност, верига, верига, каскада, реле; постоянство, валидност, набиране, методичност, подреждане, хармония, постоянство, последователност, връзка, завой, ... ... Синонимен речник

ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, числа или елементи в организиран ред. Последователностите могат да бъдат крайни (с ограничен брой елементи) или безкрайни, като пълна поредица от естествени числа 1, 2, 3, 4 .... ... ... Научно-технически енциклопедичен речник

ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, набор от числа (математически изрази и др.; те казват: елементи от всякакво естество), номерирани с естествени числа. Последователността се записва като x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xi) ... Съвременна енциклопедия

Едно от основните понятия на математиката. Последователността се формира от елементи от всякакво естество, номерирани с естествени числа 1, 2, ..., n, ... и записани във формата x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xn ) ... Голям енциклопедичен речник

Подпоследователност- ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ, набор от числа (математически изрази и т.н.; те казват: елементи от всякакво естество), номерирани с естествени числа. Последователността се записва като x1, x2, ..., xn, ... или накратко (xi). ... Илюстриран енциклопедичен речник

ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ и съпруги. 1. виж последователно. 2. В математиката: безкраен подреден набор от числа. Тълковен речник на Ожегов. S.I. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 ... Тълковен речник на Ожегов

Английски. последователност / последователност; Немски Konsequenz. 1. Редът на следване едно след друго. 2. Едно от основните понятия на математиката. 3. Качеството е правилно логично мислене, кога да ром, разсъжденията са свободни от вътрешни противоречия в едно и също ... ... Енциклопедия по социология

Подпоследователност- „функция, дефинирана върху множество естествени числа, чийто набор от стойности може да се състои от елементи от всякакво естество: числа, точки, функции, вектори, множества, случайни променливи и т.н., номерирани с естествени числа. . Икономико-математически речник

Книги

• Изграждаме последователност. котенца. 2-3 години,. Игра "Котенца". Изграждаме последователност. 1-во ниво. серия" Предучилищно образование". Смешни котенца решиха да правят слънчеви бани на плажа! Но те просто не могат да споделят местата. Помогнете им да разберат! ...

Видове г= е(х), хО н, където н- набор от естествени числа (или функция на естествен аргумент), обозначени г=е(н) или г 1 ,г 2 ,…, y n,…. Стойностите г 1 ,г 2 ,г 3 ,… се наричат ​​съответно първи, втори, трети, ... членове на поредицата.

Например за функцията г= н 2 може да се запише:

г 1 = 1 2 = 1;

г 2 = 2 2 = 4;

г 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Методи за задаване на последователности.Последователностите могат да бъдат посочени по различни начини, от които три са особено важни: аналитични, описателни и повтарящи се.

1. Последователност се дава аналитично, ако е дадена формулата нти член:

y n=е(н).

Пример. y n= 2н - 1 – поредица от нечетни числа: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Описателен начинът за определяне на числова последователност е, че тя обяснява от кои елементи е изградена последователността.

Пример 1. "Всички членове на последователността са равни на 1". Това означава, идваза неподвижна последователност 1, 1, 1,…, 1,….

Пример 2. "Последователността се състои от всички прости числа във възходящ ред." Така дадената последователност е 2, 3, 5, 7, 11,…. С този метод за настройка на последователността в този примертрудно е да се отговори кой е, да речем, 1000-ият елемент от последователността.

3. Повтарящ се начин за определяне на последователност е, че е посочено правило, което ви позволява да изчислявате н th член на последователността, ако предишните й членове са известни. Името рекурсивен път идва от латинската дума повтарят се- Върни се. Най-често в такива случаи се посочва формула, която позволява да се изрази н-ти член на последователността през предишните и задайте 1–2 начални члена на поредицата.

Пример 1. г 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ако н = 2, 3, 4,….

Тук г 1 = 3; г 2 = 3 + 4 = 7;г 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можете да видите, че последователността, получена в този пример, може да бъде определена и аналитично: y n= 4н - 1.

Пример 2. г 1 = 1; г 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 ако н = 3, 4,….

Тук: г 1 = 1; г 2 = 1; г 3 = 1 + 1 = 2; г 4 = 1 + 2 = 3; г 5 = 2 + 3 = 5; г 6 = 3 + 5 = 8;

Последователността в този пример е специално изследвана в математиката, тъй като има редица интересни свойства и приложения. Нарича се последователността на Фибоначи по името на италианския математик от 13 век. Много е лесно да се дефинира последователността на Фибоначи рекурсивно, но аналитично е много трудно. н-то число на Фибоначи се изразява чрез неговия пореден номер със следната формула.

На пръв поглед формулата за нЧислото на Фибоначи изглежда малко вероятно, тъй като формулата, определяща поредица само от естествени числа, съдържа квадратни корени, но можете да проверите "ръчно" валидността на тази формула за първите няколко н.

Свойства на числовите поредици.

Числовата последователност е специален случай на числова функция, следователно редица свойства на функциите се разглеждат и за последователности.

Определение . Подпоследователност ( y n} се нарича нарастващ, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-голям от предишния:

г 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение. Последователността ( y n} се нарича намаляващ, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-малък от предишния:

г 1 > г 2 > г 3 > … > y n> y n +1 > … .

Възходящите и низходящите поредици са обединени от общ термин – монотонни поредици.

Пример 1. г 1 = 1; y n= н 2 - възходяща последователност.

Следователно, следната теорема е вярна (характерно свойство на аритметична прогресия). Числовата последователност е аритметична тогава и само ако всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), е равен на средното аритметично на предходния и следващите членове.

Пример. На каква стойност хномер 3 х + 2, 5х- 4 и 11 х+ 12 образуват крайна аритметична прогресия?

Според характеристичното свойство дадените изрази трябва да удовлетворяват релацията

5х – 4 = ((3х + 2) + (11х + 12))/2.

Решението на това уравнение дава х= –5,5. С тази стойност хдадени изрази 3 х + 2, 5х- 4 и 11 х+ 12 приемат, съответно, стойности от –14,5, –31,5, –48,5. То - аритметична прогресия, разликата му е –17.

Геометрична прогресия.

Числова последователност, всички членове на която са различни от нула и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножение по същото число q, се нарича геометрична прогресия, а числото q- знаменателят на геометрична прогресия.

Поради това, геометрична прогресияе числова последователност ( б н) се дефинира рекурсивно от отношенията

б 1 = б, б н = б н –1 q (н = 2, 3, 4…).

(би q -дадени числа, б ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1.2, 6, 18, 54, ... - нарастваща геометрична прогресия б = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2,… – геометрична прогресия б= 2,q= –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, ... – геометрична прогресия б= 8, q= 1.

Геометричната прогресия е възходяща последователност, ако б 1 > 0, q> 1 и намаляващо ако б 1> 0, 0 q

Едно от очевидните свойства на геометричната прогресия е, че ако една последователност е геометрична прогресия, тогава поредица от квадрати, т.е.

б 1 2 , б 2 2 , б 3 2 , …, б н 2, ... е геометрична прогресия, чийто първи член е б 1 2, а знаменателят е q 2 .

Формула н-тият член на геометричната прогресия има формата

б н= б 1 q n– 1 .

Можете да получите формула за сбора на членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека е дадена крайна геометрична прогресия

б 1 ,б 2 ,б 3 , …, б н

нека бъде S n -сборът от членовете му, т.е.

S n= б 1 + б 2 + б 3 + … +б н.

Предполага се, че q No 1. Да се ​​определи S nприлага се изкуствен трик: извършват се някои геометрични трансформации на израза S n q.

S n q = (б 1 + б 2 + б 3 + … + б н –1 + б н)q = б 2 + б 3 + б 4 + …+ б н+ b n q = S n+ b n q– б 1 .

Поради това, S n q= S n +b n q - b 1 и следователно

Това е формула с ummah n членове на геометрична прогресияза случая, когато q≠ 1.

В q= 1, формулата може да бъде пропусната отделно, очевидно е, че в този случай S n= а 1 н.

Геометричната прогресия е наречена, защото всеки член в нея, с изключение на първия, е равен на средната геометрична стойност на предишния и следващите членове. Наистина, тъй като

b n = b n- 1 q;

b n = b n + 1 / q,

следователно, б н 2= b n– 1 b n + 1 и следната теорема е вярна (характерно свойство на геометрична прогресия):

числова последователност е геометрична прогресия, ако и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предишния и следващите членове.

Ограничение на последователността.

Нека има последователност ( c n} = {1/н}. Тази последователност се нарича хармонична, тъй като всеки от нейните членове, започвайки от втория, е средната хармонична стойност между предишния и следващите членове. Средна геометрична стойност на числата аи бима номер

В противен случай последователността се нарича дивергентна.

Въз основа на това определение може например да се докаже съществуването на границата A = 0хармонична последователност ( c n} = {1/н). Нека ε е произволно малко положително число. Разликата се взема предвид

Съществува ли такова нещо нтова за всички n ≥ ннеравенство 1 / Н? Ако приемем като нвсякакви естествено числопревишаване 1/ε след това за всички n ≥ Nнеравенство 1 / n ≤ 1/ N ε, Q.E.D.

Понякога е много трудно да се докаже, че една последователност има граница. Най-често срещаните последователности са добре проучени и са изброени в справочниците. Има важни теореми, които ни позволяват да заключим, че дадена последователност има ограничение (и дори да го изчислим), въз основа на вече изследваните последователности.

Теорема 1. Ако една последователност има ограничение, тогава тя е ограничена.

Теорема 2. Ако една последователност е монотонна и ограничена, тогава тя има граница.

Теорема 3. Ако последователността ( a n} има лимит А, след това последователностите ( мога}, {a n+ s) и (| a n|} имат граници cA, А +° С, |А| съответно (тук ° С- произволно число).

Теорема 4. Ако последователности ( a n} и ( б н) имат граници, равни на Аи Б pa n + qb n) има ограничение pA+ qB.

Теорема 5. Ако последователности ( a n) и ( б н) имат граници, равни на Аи Бсъответно, тогава последователността ( a n b n) има ограничение AB.

Теорема 6. Ако последователности ( a n} и ( б н) имат граници, равни на Аи Бсъответно и, освен това, b n ≠ 0 и B ≠ 0, след това последователността ( a n / b n) има ограничение А/Б.

Анна Чугайнова

Числова последователност е числова функция, дефинирана върху множество естествени числа .

Ако функцията е зададена на множество естествени числа
, тогава наборът от стойности на функцията ще бъде изброим и всяко число
съвпада с числото
... В този случай те казват, че дадено числова последователност... Извикват се числата елементиили членове на поредицата и числото - общ или Th член на последователността. Всеки елемент има последващ елемент
... Това обяснява използването на термина "последователност".

Последователността обикновено се задава или чрез изброяване на нейните елементи, или чрез уточняване на закона, по който се изчислява елементът с номер , т.е. посочвайки неговата формула Th член .

Пример.Подпоследователност
може да се даде по формулата:
.

Обикновено последователностите се обозначават, както следва: и т.н., където формулата е посочена в скоби ти член.

Пример.Подпоследователност
‑това е последователността

Набор от всички елементи на последователността
обозначено
.

Нека бъде
и
- две последователности.

С уммапоследователности
и
последователност от повиквания
, където
, т.е.

Р изобилиетотези последователности се наричат ​​последователност
, където
, т.е.

Ако и ‑ константа, след това последователността
,
са наречени линейна комбинация последователности
и
, т.е.

По продуктпоследователности
и
извикване на последователност с -ти член
, т.е.
.

Ако
, тогава можете да дефинирате частен
.

Сума, разлика, произведение и частно от последователности
и
те се наричат алгебричникомпозиции.

Пример.Помислете за последователностите
и
, където. Тогава
, т.е. подпоследователност
има всички елементи, равни на нула.

,
, т.е. всички елементи на произведението и частното са равни
.

Ако задраскате някои елементи от поредицата
така че да остане безкраен брой елементи, тогава получаваме друга последователност, наречена подпоследователностпоследователности
... Ако зачеркнете първите няколко елемента от поредицата
, тогава новата последователност се извиква остатъкът.

Подпоследователност
ограниченпо-горе(отдолу) ако комплектът
ограничен отгоре (отдолу). Последователността се нарича ограниченако е ограничен отгоре и отдолу. Последователността е ограничена, ако и само ако някой от остатъка й е ограничен.

Сближаващи се последователности

Казват, че подпоследователност
се сближава, ако има число такъв, че за всеки
има такъв
че за всяко
, неравенството е в сила:
.

номер са наречени граница на последователността
... В същото време пишете
или
.

Пример.
.

Нека покажем това
... Нека зададем произволно число
... Неравенство
извършено за
такъв, че
че определението за сходимост е изпълнено за числото
... означава,
.

С други думи
означава, че всички членове на последователността
с достатъчно големи числа се различава малко от броя , т.е. започвайки от някакво число
(за) елементите на последователността са в интервала
което се нарича - околността на точката .

Подпоследователност
, чиято граница е нула (
, или
в
) е наречен безкрайно малък.

По отношение на безкрайно малките са верни следните твърдения:

Сборът от две безкрайно малки е безкрайно малък;

Произведението на безкрайно малко от ограничено количество е безкрайно малко.

Теорема .С цел последователност
има граница, необходимо и достатъчно е това
, където - постоянен; - безкрайно малък .

Основни свойства на сближаващите се последователности:

Свойства 3. и 4. обобщават за случая на произволен брой сближаващи се последователности.

Имайте предвид, че при изчисляване на границата на дроб, числителят и знаменателят на които са линейни комбинации от степени , границата на дроба е равна на границата на съотношението на най-високите членове (т.е. членовете, съдържащи най-големите степени числител и знаменател).

Подпоследователност
Наречен:

Всички такива последователности се наричат монотонен.

Теорема . Ако последователността
нараства монотонно и е ограничено отгоре, след което се сближава и границата му е равна на точната му горна граница; ако последователността намалява и е ограничена отдолу, тогава тя се сближава до точната си долна граница.

Въведение …………………………………………………………………………………………… 3

1.Теоретична част ………………………………………………………………………… .4

Основни понятия и термини ………………………………………………………… .... 4

1.1 Видове последователности ………………………………………………………… 6

1.1.1.Ограничени и неограничени числови поредици ... ..6

1.1.2.Монотонност на последователностите …………………………………………… 6

1.1.3 Безкрайно големи и безкрайно малки поредици …… .7

1.1.4 Свойства на безкрайно малките поредици ………………… 8

1.1.5. Сближаващи се и разминаващи се последователности и техните свойства ... ... 9

1.2 Ограничение на последователност …………………………………………………………… .11

1.2.1 Теореми за ограничения на последователността ………………………………………………………………………………………………………… 15

1.3. Аритметична прогресия ………………………………………………………… 17

1.3.1. Свойства на аритметичната прогресия …………………………………………… ..17

1.4 Геометрична прогресия ………………………………………………………… ..19

1.4.1. Свойства на геометрична прогресия ……………………………………………… .19

1.5. Числа на Фибоначи ………………………………………………………… ..21

1.5.1 Връзка на числата на Фибоначи с други области на знанието …………………… .22

1.5.2. Използване на поредица от числа на Фибоначи за описване на живата и неживата природа ……………………………………………………………………………………………… .23

2. Собствено проучване …………………………………………………………… .28

Заключение ………………………………………………………………………………… .30

Списък на използваната литература ………………………………………… .... 31

Въведение.

Числовите поредици са много интересна и образователна тема. Тази тема се среща в куестове повишена сложностпредлагани на учениците от авторите дидактически материали, по задачи на математически олимпиади, приемни изпити за висше Образователни заведенияи на изпита. Интересувам се да науча връзката на математическите последователности с други области на знанието.

Цел изследователска работа: Разширете знанията си за поредицата от числа.

1. Помислете за последователността;

2. Разгледайте неговите свойства;

3. Помислете за аналитичната задача на последователността;

4. Демонстрирайте ролята му в развитието на други области на знанието.

5. Демонстрирайте използването на поредица от числа на Фибоначи за описание на живата и неживата природа.

1. Теоретичната част.

Основни понятия и термини.

Определение. Числовата последователност е функция от вида y = f (x), x О N, където N е набор от естествени числа (или функция на естествен аргумент), означени с y = f (n) или y1, y2 ,…, yn,…. Стойностите y1, y2, y3,... се наричат ​​съответно първи, втори, трети,... членове на последователността.

Числото a се нарича граница на последователността x = (x n), ако за произволно предварително определено произволно малко положително число ε има естествено число N, такова че за всички n> N неравенството | x n - a |< ε.

Ако числото a е границата на последователността x = (x n), тогава те казват, че x n клони към a, и пишат

.

Последователност (yn) се нарича възходяща, ако всеки от нейните членове (с изключение на първия) е по-голям от предишния:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Последователност (yn) се нарича намаляваща, ако всеки от нейните членове (с изключение на първия) е по-малък от предишния:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

Възходящите и низходящите поредици са обединени от общ термин – монотонни поредици.

Поредица се нарича периодична, ако съществува естествено число T такова, че, като се започне от някакво n, е изпълнено равенството yn = yn + T. Числото T се нарича дължина на периода.

Аритметична прогресия е последователност (an), всеки член на който, започвайки от втория, е равен на сбора от предишния член и същото число d, се нарича аритметична прогресия, а числото d е разликата от аритметична прогресия.

По този начин, аритметичната прогресия е числова последователност (an), дадена рекурсивно от отношенията

a1 = a, an = an – 1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Геометрична прогресия е последователност, всички членове на която са различни от нула и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножение по същото число q.

По този начин геометричната прогресия е числова последователност (bn), дадена рекурсивно от отношенията

b1 = b, bn = bn – 1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Видове последователности.

1.1.1 Ограничени и неограничени поредици.

Последователност (bn) се нарича ограничена отгоре, ако има число M такова, че за всяко число n е изпълнено неравенството bn≤ M;

Последователност (bn) се нарича ограничена отдолу, ако има число M такова, че за всяко число n е изпълнено неравенството bn≥ M;

Например:

1.1.2 Монотонност на последователностите.

Последователност (bn) се нарича ненарастваща (ненамаляваща), ако за произволно число n неравенството bn≥ bn + 1 (bn ≤bn + 1) е вярно;

Последователност (bn) се нарича намаляваща (нарастваща), ако за произволно число n неравенството bn> bn + 1 (bn

Намаляващите и нарастващите поредици се наричат ​​строго монотонни, ненарастващи монотонни в широкия смисъл.

Последователностите, които са ограничени едновременно отгоре и отдолу, се наричат ​​ограничени.

Последователността на всички тези типове общо се нарича монотонна.

1.1.3 Безкрайно големи и малки поредици.

Безкрайно малка последователност е числова функция или последователност, която клони към нула.

Последователност an се нарича безкрайно малка, ако

Функция се нарича безкрайно малка в околност на точката x0, ако ℓimx → x0 f (x) = 0.

Функция се нарича безкрайно малка в безкрайност, ако ℓimx →. + ∞ f (x) = 0 или ℓimx → -∞ f (x) = 0

Също така, една безкрайно малка функция е разликата между функция и нейната граница, тоест ако ℓimx →. + ∞ f (x) = a, тогава f (x) - a = α (x), ℓimx →. + ∞ f (( x) -a) = 0.

Безкрайно голяма последователност е числова функция или последователност, която се стреми към безкрайност.

Последователност an се нарича безкрайно голяма ако

ℓimn → 0 an = ∞.

Функцията се нарича безкрайно голяма в околност на точката x0, ако ℓimx → x0 f (x) = ∞.

Функцията се нарича безкрайно голяма при безкрайност, ако

ℓimx →. + ∞ f (x) = ∞ или ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 Свойства на безкрайно малките поредици.

Сумата от две безкрайно малки последователности сама по себе си също е безкрайно малка последователност.

Разликата на две безкрайно малки последователности сама по себе си също е безкрайно малка последователност.

Алгебрична сума на произволно краен бройбезкрайно малки последователности сами по себе си също са безкрайно малки последователности.

Продуктът на ограничена последователност от безкрайно малка последователност е безкрайно малка последователност.

Продуктът на произволен краен брой безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

Всяка безкрайно малка последователност е ограничена.

Ако една стационарна последователност е безкрайно малка, тогава всички нейни елементи, започвайки с един, са равни на нула.

Ако цялата безкрайно малка последователност се състои от идентични елементи, тогава тези елементи са нули.

Ако (xn) е безкрайно голяма последователност, която не съдържа нулеви членове, тогава има последователност (1 / xn), която е безкрайно малка. Ако въпреки това (xn) съдържа нула елементи, тогава последователността (1 / xn) все още може да бъде дефинирана, започвайки от някакво число n, и все още ще бъде безкрайно малка.

Ако (an) е безкрайно малка последователност, която не съдържа нулеви членове, тогава има последователност (1 / an), която е безкрайно голяма. Ако въпреки това (an) съдържа нула елементи, тогава последователността (1 / an) все още може да бъде дефинирана, започвайки от някакво число n, и все още ще бъде безкрайно голяма.

1.1.5 Сближаващи се и разминаващи се последователности и техните свойства.

Сходящата последователност е последователност от елементи от множество X, която има ограничение в това множество.

Дивергентна последователност е последователност, която не е конвергентна.

Всяка безкрайно малка последователност е конвергентна. Неговата граница е нула.

Премахването на произволен краен брой елементи от безкрайна последователност не засяга нито сближаването, нито границата на тази последователност.

Всяка сближаваща се последователност е ограничена. Въпреки това, не всяка ограничена последователност се сближава.

Ако последователността (xn) се сближава, но не е безкрайно малка, тогава, започвайки от някакво число, се дефинира последователността (1 / xn), която е ограничена.

Сборът от сближаващите се последователности също е сближаваща се последователност.

Разликата на сближаващите се последователности също е сближаваща се последователност.

Продуктът от сближаващи се последователности също е сближаваща се последователност.

Коефициентът на две сближаващи се последователности се дефинира, започвайки от някакъв елемент, освен ако втората последователност не е безкрайно малка. Ако частното на две сближаващи се последователности е дефинирано, тогава това е сближаваща се последователност.

Ако една сходяща последователност е ограничена отдолу, тогава никоя от долните й граници не надвишава нейната граница.

Ако една сходяща последователност е ограничена отгоре, тогава нейната граница не надвишава нито една от горните й граници.

Ако за произволно число членовете на една сближаваща се последователност не надвишават членовете на друга сближаваща се последователност, тогава границата на първата последователност също не надвишава границата на втората.

Лекция 8. Числови поредици.

Определение8.1. Ако на всяка стойност се присвои по определен закон някакво реално числох н , след това множеството номерирани реални числа

– съкратена нотация
, (8.1)

ще звънначислова последователност или просто последователност.

Отделни числа х н  елементи или членове на последователност (8.1).

Последователността може да бъде дадена с обща формула за термин, например:
или
... Последователността може да бъде определена двусмислено, например последователността –1, 1, –1, 1, ... може да бъде определена с формулата
или
... Понякога се използва рекурсивен начин за определяне на последователност: дават се първите няколко члена на последователността и се използва формула за изчисляване на следващите елементи. Например последователността, дефинирана от първия елемент и рекурентната връзка
(аритметична прогресия). Помислете за последователност, наречена близо до Фибоначи: първите два елемента са зададени х 1 =1, х 2 = 1 и рекурентна връзка
за всякакви
... Получаваме поредица от числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... За такава серия е доста трудно да се намери формула за общия термин.

8.1. Аритметични операции с поредици.

Помислете за две последователности:

(8.1)

Определение 8.2. Да се ​​обадимпродукт на последователността
по числото мподпоследователност
... Нека го напишем така:
.

Да наречем последователността сума от последователности (8.1) и (8.2), пишем, както следва:; по същия начин
да се обадим разлика в последователността (8.1) и (8.2);
 продукт на последователности (8.1) и (8.2);  частни поредици (8.1) и (8.2) (всички елементи
).

8.2. Ограничени и неограничени поредици.

Колекция от всички елементи в произволна последователност
образува някакво числово множество, което може да бъде ограничено отгоре (отдолу) и за което са валидни определения, подобни на въведените за реални числа.

Определение 8.3. Подпоследователност
Нареченограничен отгоре , ако ; М  горен ръб.

Определение 8.4. Подпоследователност
Нареченограничен отдолу , ако ;м  долен ръб.

Определение 8.5.Подпоследователност
Нареченограничен ако е ограничен както отгоре, така и отдолу, тоест ако има две реални числа M им така че всеки елемент от последователността
удовлетворява неравенствата:

, (8.3)

миМ- долни и горни ръбове
.

Неравенствата (8.3) се наричат условието за ограниченост на последователността
.

Например последователността
ограничено и
неограничен.

♦ Изявление 8.1.
е ограничен .

Доказателство.Да изберем
... Съгласно дефиниция 8.5, последователността
ще бъде ограничен. ■

Определение 8.6. Подпоследователност
Нареченнеограничен ако за всяко положително (произволно голямо) реално число A има поне един елемент от последователносттах н удовлетворяване на неравенството:
.

Например последователността 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 н,…  неограничен, тъй като ограничени само отдолу.

8.3. Безкрайно големи и безкрайно малки поредици.

Определение 8.7. Подпоследователност
Нареченбезкрайно голям ако за всяко (произволно голямо) реално число A има число
такъв, че за всички
елементитех н
.

☼ Забележка 8.1.Ако последователността е безкрайно голяма, тогава тя е неограничена. Но не трябва да се мисли, че всяка неограничена последователност е безкрайно голяма. Например последователността
не ограничен, но не и безкрайно голям, тъй като състояние
се проваля за всички дори н. ☼

 Пример 8.1.
е безкрайно голям. Вземете произволно число А> 0. От неравенството
получаваме н>А... Ако вземете
след това за всички н>ннеравенството
, тоест, съгласно дефиниция 8.7, последователността
безкрайно голям. 

Определение 8.8. Подпоследователност
Нареченбезкрайно малък ако за
(колкото и да е малък ) има номер
такъв, че за всички
елементите от тази последователност удовлетворяват неравенството
.

 Пример 8.2.Нека докажем, че последователността безкрайно малък.

Вземете произволно число
... От неравенството
получаваме ... Ако вземете
след това за всички н>ннеравенството
. 

♦ Изявление 8.2. Подпоследователност
е безкрайно голям за
и безкрайно малък за
.

Доказателство.

1) Нека първо
:
, където
... По формулата на Бернули (Пример 6.3, стр. 6.1.)
... Фиксираме произволно положително число Аи изберете число от него нтака че неравенството е вярно:

,
,
,
.

Защото
, след това чрез свойството на произведението на реалните числа за всички

.

По този начин, за
има такъв номер
това за всички


- безкрайно голям при
.

2) Разгледайте случая
,
(при q= 0 имаме тривиалния случай).

Нека бъде
, където
, по формулата на Бернули
или
.

Ние оправяме
,
и изберете
такъв, че

,
,
.

За

... Посочваме такъв номер нтова за всички

, тоест за
подпоследователност
безкрайно малък. ■

8.4. Основни свойства на безкрайно малките поредици.

♦ Теорема 8.1.Сума

и

Доказателство.Ние оправяме ;
- безкрайно малък

,

- безкрайно малък

... Да изберем
... След това при

,
,
. ■

♦ Теорема 8.2. Разликата
две безкрайно малки последователности
и
има безкрайно малка последователност.

За доказателствона теоремата е достатъчно да се използва неравенството. ■

Последствие.Алгебричната сума на произволен краен брой безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

♦ Теорема 8.3.Продуктът на ограничена последователност от безкрайно малка последователност е безкрайно малка последователност.

Доказателство.
- ограничено,
- безкрайно малка последователност. Ние оправяме ;
,
;
: в
справедлив
... Тогава
. ■

♦ Теорема 8.4.Всяка безкрайно малка последователност е ограничена.

Доказателство.Ние оправяме Нека някакво число. Тогава
за всички числа н, което означава, че последователността е ограничена. ■

Последствие. Продуктът на две (и произволен краен брой) безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

♦ Теорема 8.5.

Ако всички елементи на безкрайно малка последователност
равно на същото число° С, след това c = 0.

Доказателствотеоремата се осъществява от противоречие, ако означим
. ■

♦ Теорема 8.6. 1) Ако
Тогава е безкрайно голяма последователност, започваща от някакво числон, коефициентът е дефиниран две последователности
и
, което е безкрайно малка последователност.

2) Ако всички елементи на безкрайно малка последователност
са различни от нула, тогава частното две последователности
и
е безкрайно голяма последователност.

Доказателство.

1) Нека
- безкрайно голяма последователност. Ние оправяме ;
или
в
... По този начин, по дефиниция 8.8, последователността - безкрайно малък.

2) Нека
- безкрайно малка последователност. Да предположим, че всички елементи
са различни от нула. Ние оправяме А;
или
в
... По дефиниция 8.7, последователността безкрайно голям. ■