Kaka намери разликата в аритметичната прогресия. Как да намерим разликата в аритметичната прогресия: формули и примери за решения

Да, да: аритметичната прогресия не е играта ви :)

Е, приятели, ако прочетете този текст, тогава вътрешната капачка очевидна ми казва, че все още не знаете каква аритметична прогресия е, но много (не, такава: oooooo!) Искате да знаете. Ето защо, няма да ви тормозят и незабавно да отида в случая.

За да започна няколко примера. Обмислете няколко комплекта числа:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
SQRT (2); \\ t ... $

Какво е общо за всички тези комплекти? На пръв поглед - нищо. Но всъщност нещо е. А именно: всеки следващ елемент се различава от предишния и един и същ номер..

Съдете за себе си. Първият комплект просто отива в ред от номера, всеки друг е по-голям от предишния. Във втория случай разликата между близките числа вече е равна на пет, но тази разлика е все още постоянна. В третия случай, обикновено корени. Въпреки това, $ 2 sqrt (2) \u003d sqrt (2) + sqrt (2) $, и $ 3 sqrt (2) \u003d 2 sqrt (2) + sqrt (2) $, т.е. И в този случай всеки следващ елемент просто увеличава $ \\ t (2) $ (и нека не плаши, че този брой е ирационален).

Така че: всички такива последователности се наричат \u200b\u200bпросто аритметични прогресии. Нека дадем строга дефиниция:

Определение. Последователността на числата, в която всяка следваща функции се различават от предишната и същата стойност, се нарича аритметична прогресия. Размерът на броя е различен, се нарича разлика в прогресията и най-често се посочва от буквата $ d $.

Означаване: $ лява (((а) _ (n)) вдясно) $ - самата прогресия, $ d $ е нейната разлика.

И веднага няколко важни коментара. Първо, напредъкът се разглежда само . \\ t Последователността на числата: те могат да четат стриктно в реда, в който са записани - и по какъвто и да е начин. Невъзможно е да се пренареди и променя броя на номерата.

Второ, самата последователност може да бъде едновременно крайна и безкрайна. Например, комплектът (1; 2; 3) очевидно е последната аритметична прогресия. Но ако напишете нещо в духа (1; 2; 3; 4; ...) - Това е безкрайна прогресия. След четвъртата, след четвъртата, както и тя намеква, тогава все още има доста числа. Безкрайно много, например. :)

Също така бих искал да отбележа, че прогресията нараства и намалява. Вече видяхме увеличаването - същия комплект (1; 2; 3; 4; ...). Но примери за низходяща прогресия:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
Sqrt (5); sqrt (5) -1; sqrt (5) -3; ... $

ДОБРЕ ДОБРЕ: последния пример Може да изглежда твърде сложно. Но останалото, мисля, че сте разбираеми. Ето защо въвеждаме нови определения:

Определение. Аритметична прогресия Наречен:

увеличаване, ако всеки следващ елемент е по-голям от предишния;

низходящ, ако, напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

В допълнение, има така наречени "стационарни" последователности - те се състоят от същия повтарящ се число. Например (3; 3; 3; ...).

Има само един въпрос: как да разграничим нарастващата прогресия от намаляване? За щастие, всичко зависи от това какъв е знакът на числото $ d $, т.е. Разлика на прогресията:

Ако $ d gt 0 $, тогава прогресията се увеличава;
Ако $ d 0 $, тогава прогресията очевидно намалява;
И накрая, има случай от $ d \u003d 0 $ - в този случай, цялата прогресия се намалява до стационарната последователност на същите числа: (1; 1; 1; 1; ...) и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата от $ d $ за трима намаляващи напредъка, дадени по-горе. За да направите това, е достатъчно да се вземат две съседни елементи (например първото и второто) и извадете отдясно, номерите. Ще изглежда така:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ Sqrt (5) -1- \\ t sqrt (5) \u003d - 1 $.

Както можете да видите, във всичките три случая разликата наистина се оказа отрицателна. И сега, когато ние повече или по-малко измислихме дефиниции, е време да се справим с това как е описано прогресията и какви свойства имат.

Прогресия и повтаряща се формула

Тъй като елементите на нашите последователности не могат да бъдат променяни на места, те могат да бъдат номерирани:

[ляво (((а) _ (n))) дясно) \u003d оставено (((а) _ (1)), (а) _ (2)), ((а) _ (3) \\ t )), ... \\ t

Отделни елементи от този набор се наричат \u200b\u200bчленове на прогресията. Те ги посочват с помощта на номера: първият пишка, вторият термин и др.

Освен това, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани с формулата:

[(а) _ (n)) - (а) _ (n - 1)) \u003d d дял ((а) _ (n)) \u003d ((а) _ (n - 1)) + d \\]

Накратко, за да намерите $ n $ -D член на прогресията, трябва да знаете $ n-1 $-този член и разликата $ d $. Такава формула се нарича повтаряща се, тъй като може да се използва за намиране на произволен брой, само знаейки предишния (и всъщност - всички предишни). Това е много неудобно, следователно има повече хитър формула, която намалява всички изчисления към първия член и разликата:

[(а) _ (n)) \u003d ((а) _ (1)) + наляво (n-1 вдясно) d \\ t

Със сигурност вече сте се срещали с тази формула. Тя обича да дава във всички директории и решебних. Да, и във всеки обяснителен учебник по математика, тя отива един от първите.

Въпреки това предлагам малко напрежение.

Номер 1. Гарантират първите трима членове на аритметичната прогресия от $ лява (((а) _ (n)) вдясно) $, ако $ ((а) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Решение. Така че, ние знаем първия термин (а) _ (1)) \u003d $ 8 и разликата в прогресията от $ d \u003d -5 $. Ние използваме само получената формула и заместител $ n \u003d 1 $, $ n \u003d $ 2 и $ n \u003d $ 3:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n)) \u003d ((а) _ (1)) + оставено (n-1 вдясно) d; ((a) _ (1)) \u003d ((а) _ (1)) + остава (1-1 дясно) d \u003d (((а) _ (1)) \u003d 8; ((a) _ (2)) \u003d ((а) _ (1) +, ляво (2-1 дясно) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; & (a) _ (3)) \u003d ((а) _ (1)) + остава (3-1 дясно) d \u003d (((а) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. End (Elevel) \\ t

Отговор: (8; 3; -2)

Това е всичко! Моля, обърнете внимание: Нашата прогресия се спуска.

Разбира се, $ n \u003d 1 $ не може да бъде заменен - \u200b\u200bпървият член, който сме известни също. Въпреки това, замествайки уреда, бяхме убедени, че дори и за първия член, нашата формула работи. В други случаи всичко е доведено до банална аритметика.

Номер 2. Напишете първите трима членове на аритметичната прогресия, ако нейният седмия член е -40 и седемнадесетият член е -50.

Решение. Ние пишем състоянието на задачата в обичайните условия:

[(а) _ (7)) \u003d - 40; quad ((а) _ (17)) \u003d - 50. \\ t

[вляво (в съответствие) и ((а) _ (7)) \u003d ((а) _ (1)) + 6D \\ t ((a) _ (17)) \u003d (а) _ (1)) + 16D (подравняване). \\ T

[вляво (adown) & ((a) _ (1)) + 6D \u003d -40 \\ t ((а) _ (1)) + 16d \u003d -50 край (подравняване) Право. \\ T

Зададох системния знак, защото тези изисквания трябва да се извършват едновременно. И сега отбелязваме, ако първото приспадане на първото уравнение (имаме право да го направим, защото имаме система), получаваме това:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (1)) + 16D-, ляво (((а) _ (1)) + 6D вдясно) \u003d - 50-, оставено (-40 дясно); ((a) _ (1)) + 16d - ((а) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; & 10d \u003d -10; & D \u003d -1. End (Elevel) \\ t

Това е толкова просто, ние открихме разликата в прогресията! Остава да замени намерения номер на някоя от системните уравнения. Например, в първия:

[начало ((matrix) ((а) _ (1)) + 6D \u003d -40; quad d \u003d -1 закъснение \\ t ((а) _ (1)) - 6 \u003d -40; ((а) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. End (matrix)]

Сега, познаването на първия член и разликата, остава да се намери втория и третия пишка:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (2)) \u003d ((а) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; ((a) _ (3)) \u003d ((а) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. End (Elevel) \\ t

Готов! Задачата е решена.

Отговор: (-34; -35; -36)

Обърнете внимание на любопитното имущество на прогресията, която открихме: ако вземете $ n $ и $ m $--членовете и ги извадите един от друг, тогава ще получим разликата в прогресията, умножена по $ n-m $

[(а) _ (n)) - (а) _ (m)) \u003d d cdot ляво (n-m дясно) \\ t

Просто, но много полезен имотТова трябва да знаете - с него можете значително да ускорите решаването на много проблеми на напредъка. Ето ярък пример:

Номер 3. Петият срок на аритметичната прогресия е 8.4, а десетият му член е 14.4. Намери петнадесета член на тази прогресия.

Решение. Тъй като $ (а) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4 и трябва да намерите $ ((а) _ (15)) $, след това отбележете следното:

[започнете (в съответствие) и ((а) _ (15)) - ((а) _ (10)) \u003d 5D; ((a) _ (10)) - ((а) _ (5)) \u003d 5d. End (Elevel) \\ t

Но чрез условие $ (a) _ (10)) - (а) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d $ 6, следователно $ 5D \u003d $ 6, откъдето имаме:

[започнете (подравнете) и (а) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; & ((а) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20.4. End (Elevel) \\ t

Отговор: 20.4.

Това е всичко! Не е нужно да сме някои системи на уравнения и да разгледаме първия член и разликата - всичко е решило буквално в няколко линии.

Сега разгледайте друг вид задача - да намерите отрицателни и положителни членове на прогресията. Не е тайна, че ако прогресията се увеличи, с нейния първи член на негативния й, после рано или късно ще има положителни членове. Почти: членовете на намаляващата прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

В същото време не винаги е възможно да добавите този момент "в челото", последователно завъртане на елементите. Често задачите са проектирани така, че да има няколко листа, без да знаят формулите - просто ще заспим, докато намериха отговора. Затова нека се опитаме да решим тези задачи по по-бърз начин.

Номер 4. Колко отрицателни членове в аритметичната прогресия е -38.5; -35.8; ...?

Решение. Така $ ((а) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((а) _ (2)) \u003d - $ 35.8, където веднага намираме разлика:

Имайте предвид, че разликата е положителна, затова прогресията се увеличава. Първият член е отрицателен, така че наистина в някакъв момент ще пречи на положителните числа. Единственият въпрос е, когато се случва.

Нека се опитаме да разберем: колко време (т.е. на какво естествено число $ n $) запазва негативността на членовете:

[Започнете (подравнете) и ((а) _ (n))) ipe 0 адвокат (а) _ (1)) + оставени (n-1 вдясно) d lt 0; Ich & -38,5+ ляво (n-1 дясно) cdot 2.7 LT 0; Ccot 10 право. CDOT лява (N-1 дясно) LT 0; & -385 + 27N-27 LT 0; 412; 15, FRAC (7) (27) дял ((N) _ (макс)) \u003d 15. End (Elevel) \\ t

Последният ред изисква обяснение. Така че, ние знаем, че $ n 15 \\ t (7) (27) $. От друга страна, ние ще симулираме само целочислените стойности на номера (повече от: $ n в $), така че най-големият допустим брой е точно $ n \u003d $ 15, и в никакъв случай 16.

Номер 5. В аритметичната прогресия от $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Намерете първия положителен член на тази прогресия.

Това би било точно същата задача като предишната, но ние не знаем $ (a) _ (1)) $. Но съседните членове са известни: $ (а) _ (5)) $ и $ ((а) _ (6)) $, така че лесно ще намерим разликата в прогресията:

В допълнение, нека се опитаме да изразим петата пишка през първата и разликата в съответствие със стандартната формула:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n)) \u003d ((а) _ (1)) + оставено (n-1 дясно) ccot d; ((a) _ (5)) \u003d ((а) _ (1)) + 4D; ((A) _ (1)) + 4 ccot 3; ((а) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. End (Elevel) \\ t

Сега ние правим по аналогия с предишната задача. Разбираме в каква точка в нашата последователност ще има положителни числа:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n)) \u003d - 162 + ляво (n-1 дясно) ccot 3 gt 0; & -162 + 3N-3 GT 0; 165; 45 Радница (n) _ (min)) \u003d 56. End (Elevel) \\ t

Минималното цяло число на това неравенство е номер 56.

Моля, обърнете внимание: В последната задача всичко е било осветено до строго неравенство, така че опцията $ n \u003d $ 55 няма да ни подхожда.

Сега, когато се научихме как да решаваме прости задачи, се обръщаме към по-сложни. Но първо, нека изучаваме още един много полезен имот от аритметични прогресии, които в бъдеще ще ни спаси купчина време и неравномерни клетки. :)

Средна аритметична и еднаква тире

Обмислете няколко последователни членове на нарастващата аритметична прогресия от $ лява ((а) _ (n)) вдясно) $. Нека се опитаме да ги маркираме на числов прав:

Членове на аритметична прогресия по цифров пряк

Специално отбелязах произволни членове $ (a) _ (n-3)), ..., ((а) _ (n + 3)) $, а не някои $ (a) _ (1)), \\ t (а) _ (2)), (а) _ (3)) $ и т.н. Защото правилото, което ще кажа сега, тя работи еднакво за всеки "сегменти".

И правилото е много просто. Нека помним формулата за рецидив и да я напиша на всички маркирани членове:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n-2)) \u003d ((а) _ (n-3)) + d; ((a) _ (n - 1)) \u003d ((а) _ (n - 2)) + d; ((a) _ (n)) \u003d ((а) _ (n - 1)) + d; & (a) _ (n + 1)) \u003d ((а) _ (n)) + d; & (a) _ (n + 2)) \u003d ((а) _ (п + 1) + d; End (Elevel) \\ t

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n - 1)) \u003d ((а) _ (n)) - D; ((a) _ (n-2)) \u003d ((а) _ (n)) - 2D; & (a) _ (n-3)) \u003d ((а) _ (n)) - 3D; & (a) _ (n + 1)) \u003d ((а) _ (n)) + d; ((a) _ (n + 2)) \u003d ((а) _ (n)) + 2d; & (a) _ (n + 3)) \u003d ((а) _ (n)) + 3D; End (Elevel) \\ t

Е, какво? И факта, че членове $ (а) _ (n - 1)) $ и $ ((а) _ (n + 1)) $ лежа на същото разстояние от $ (a) _ (n)) $. И това разстояние е $ d $. Същото може да се каже за членовете на $ (a) _ (n - 2)) $ и $ ((а) _ (n + 2)) $ - те също са премахнати от $ (a) _ (n )) $ На същото разстояние, равно на $ 2D $. Можете да продължите до безкрайност, но точката е добре илюстрирана от картината

Членове на прогресията лежат на същото разстояние от центъра

Какво означава това за нас? Това означава, че можете да намерите $ (а) _ (n)) $, ако съседите са известни:

[(а) _ (n)) \u003d frac (((а) _ (n - 1)) + ((а) _ (n + 1))) (2) \\ t

Донесохме голямо одобрение: всеки член на аритметичната прогресия е равен на средните аритметични съседни членове! Освен това: можем да се оттеглим от нашите $ (a) _ (n)) отляво и надясно не една стъпка, а на $ k $ стъпки - и все пак формулата ще бъде правилна:

[(a) _ (n)) \u003d frac (((а) _ (n - k)) + ((а) _ (п + к))) (2) \\ t

Тези. Можем безопасно да намерим някои $ (а) _ (150)) $, ако знаем $ ((а) _ (100)) $ и $ ((а) _ (200)) $, защото $ ((а) _ (150)) \u003d FRAC (((а) _ (100)) + ((а) _ (200))) (2) $. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много задачи са конкретно "заострени", за да се използва средната аритметика. Погледни:

Номер 6. Намерете всички стойности от $ x $, при които числата $ -6 (x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ и $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ са последователни членове на аритметичната прогресия (в определени).

Решение. Тъй като тези цифри са членове на прогресията, се извършва състоянието на средната аритметика за тях: централният елемент $ x + 1 $ може да бъде изразен чрез съседни елементи:

[започнете (подравнете) и x + 1 \u003d frac (-6 (((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); & x + 1 \u003d frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. End (Elevel) \\ t

Оказа се класически квадратно уравнение. Корените му: $ x \u003d $ 2 и $ x \u003d -3 $ - това са отговорите.

Отговор: -3; 2.

Номер 7. Намерете стойността $ $, на която $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ представляват аритметична прогресия (в посочения ред).

Решение. Отново изразяваме средния член чрез средната аритметична стойност на съседните членове:

[започнете (подравнете) и 4x-3 \u003d frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); & 4x-3 \u003d frac (((x) ^ (2)) + x) (2); quad \\ t Ccot 2 надясно.; & 8х-6 \u003d ((x) ^ (2)) + х; ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. End (Elevel) \\ t

Отново квадратното уравнение. И отново два корена: $ x \u003d $ 6 и $ x \u003d 1 $.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на проблема имате някои брутални числа, или не сте напълно уверени в коректността на намерените отговори, т.е. чудесна техника, която ви позволява да проверите: решавате ли задачата?

Да предположим, че в номера на задача 6 получихме отговори -3 и 2. Как да проверим дали тези отговори са правилни? Нека просто ги заменим в първоначалното състояние и да видим какво се случва. Позволете ми да ви напомня, че имаме три числа ($ -6 ((() (2)) $, $ + 1 $ и $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), което трябва да бъде аритметична прогресия. Заменете $ x \u003d -3 $:

[Започнете (подравнете) и X \u003d -3 дясното радността (x) ^ (2)) \u003d - 54; & x + 1 \u003d -2; & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. Край (подравняване) \\ t

Получени номера -54; -2; 50, които се различават в 52 - без съмнение, това е аритметична прогресия. Същото се случва и при $ x \u003d $ 2:

[започнете (подравнете) и x \u003d 2 дясното радство (x) ^ (2)) \u003d - 24; & x + 1 \u003d 3; & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. Край (подравняване) \\ t

Отново прогресията, но с разлика 27. Така задачата е решена вярна. Тези, които желаят, могат да проверят втората задача сама, но веднага ще кажа: всичко е вярно.

Като цяло, решаването на най-новите задачи, ние се натъкнахме на друг интересен фактКой също трябва да запомни:

Ако трима числа са такива, че второто е средно първо аритметика И последната, тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това изявление ще ни позволи буквално "проектиране" на необходимите прогресии, основани на състоянието на проблема. Но преди да се справим с такъв "дизайн", трябва да обърнете внимание на друг факт, който директно следва от вече разгледаните.

Групиране и количество елементи

Нека се върнем към числената ос. Отбелязваме, че няколко членове на прогресията, между които, евентуално. Има много други членове:

6 елемента са маркирани на цифрово право

Нека се опитаме да изразим "лявата опашка" чрез $ ((a) _ (n)) $ и $ d $, и "дясната опашка" през $ ((а) _ (k)) $ и $ d $. Много е просто:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n + 1)) \u003d ((а) _ (n)) + d; ((a) _ (n + 2)) \u003d ((а) _ (n)) + 2d; & (a) _ (k - 1)) \u003d ((а) _ (k)) - D; ((a) _ (К-2)) \u003d ((а) _ (k)) - 2г. End (Elevel) \\ t

И сега отбелязваме, че следните суми са равни:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n)) + ((а) _ (k)) \u003d s; ((а) _ (n + 1)) + ((а) _ (k - 1)) \u003d ((а) _ (n)) + d + ((а) _ (k)) - d \u003d S; ((a) _ (n + 2)) + ((а) _ (k-2)) \u003d ((а) _ (n)) + 2d + ((а) _ (k)) - 2D \u003d S. Край (подравняване) \\ t

Просто поставени, ако разгледаме двата елемента на прогресия като начален старт, който в сумата е равен на всеки номер $ s $ и след това започват да ходят от тези елементи в противоположните страни (един към друг или обратно за заличаване), \\ t тогава количествата елементи, които ще препънем, също ще бъдат равни $ S $. Най-ясно могат да бъдат представени графично:

Същото тире дават равни количества.

Разбиране от този факт Нека решаваме задачите за фундаментално по-високо ниво на сложност, отколкото тези, които считаме за по-горе. Например, такова:

Номер 8. Определете разликата в аритметичната прогресия, в която първият термин е 66, а работата на втория и дванадесетия членове е възможно най-малка.

Решение. Пишем всичко, което знаем:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (1)) \u003d 66; & D \u003d? (а) _ (2)) ccot ((а) _ (12)) \u003d мин. Край (подравняване) \\ t

Така че, ние сме неизвестни разликата в развитието на $ d $. Всъщност, около разликата и ще бъде изградена цялото решение, тъй като продуктът е $ ((а) _ (2)) ccot (а) _ (12)) $ може да пренапише, както следва:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (2)) \u003d ((а) _ (1)) + d \u003d 66 + d; ((a) _ (12)) \u003d ((а) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; & ((a) _ (2)) ccot ((а) _ (12)) \u003d лява (66 + d) cdot ляво (66 + 11d) \u003d \\ t Cdot ляво (d + 66 дясно) cdot ляво (d + 6 вдясно). Край (подравняване) \\ t

За тези, които са в резервоара: извърших общ множител от 11 от втората скоба. По този начин, желаният продукт е квадратична функция спрямо $ d $ променлива. Ето защо считаме функцията $ f, ляво (d) \u003d 11, ляво (D + 66 дясно), ляво (D + 6 вдясно) $ - графикът му ще бъде Parabola клони, защото Ако разкриете скобите, тогава ще получим:

[започнете) & f left (d) \u003d 11 наляво ((d) ^ (2)) + 66D + 6D + 66 cdot 6 надясно) \u003d \\ t d) ^ (2)) + 11 cdot 72D + 11 cdot 66 cdot 6 край (подравняване) \\ t

Както можем да видим, коефициентът с висшите термини е равен на 11 - това е положително число, така че наистина се занимава с парабола нагоре:

График квадратична функция - Parabola
Моля, обърнете внимание: Минималната стойност на тази PARABOLA е в гордеята си с абсциса $ (d) _ (0)) $. Разбира се, можем да изчислим тази абсциса според стандартната схема (има формула $ (d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a); $), но много чудесно ще забележи, че желаното нагоре лежи на оста симетрията на парабола, затова точката $ (d) _ (0)) $ е равна на корените на уравнението $ f, ляво (d] \u003d 0 $:

[започнете (подравнете) & f оставете (d) \u003d 0; CDOT лява (D + 66) CDOT лява (D + 6 дясно) \u003d 0; ((d) _ (1)) \u003d - 66; quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. End (Elevel) \\ t

Ето защо не бързах да разкривам скобите: в оригиналната форма корените бяха много и много прости. Следователно абсцисата е равна на средното аритметично число -66 и -6:

[((d) _ (0)) \u003d frac (-66-6) (2) \u003d - 36]

Какво ни дава открит номер? С него необходимата работа отнема най-малката стойност (ние, между другото, не считахме $ (y) _ (мин)) $ - не се изисква от нас). В същото време този брой е разликата в първоначалната прогресия, т.е. Намерихме отговора. :)

Отговор: -36.

Номер 9. Между числата $ - frac (1) (2) $ и $ - frac (1) (6) $ вмъкнете три числа, така че да ги направят аритметична прогресия заедно с тези числа.

Решение. По същество трябва да направим поредица от пет числа, а първият и последният номер вече е известен. Означава липсващия брой променливи $ x $, $ y $ и $ z $:

[ляво (((а) _ (n))) дясно) \u003d оставено (- frac (1) (2); x; y; z; - frac (1) (6) дясно \\ t )

Трябва да се отбележи, че числото $ y $ е "средна" на нашата последователност - това е равнодушно и от числа $ x $ и $ z $, и от числа $ - frac (1) (2) $ и $ - Frac (1) (6) $. И ако от числа $ x $ и $ z $ сме този момент Не можем да получим $ y $, а след това с краищата на прогресията, ситуацията е различна. Спомняме си за средното за аритметиката:

Сега, знаейки $ y $, ще намерим останалите числа. Обърнете внимание, че $ x $ lies между числата $ - frac (1) (2) (2) $ и намерената $ y \u003d - frac (1) (3) $ е намерен. Следователно

По същия начин, спорейки, намираме оставащия номер:

Готов! Намерихме и трите числа. Пишем ги в отговор в реда, в който трябва да бъдат вмъкнати между първоначалните номера.

Отговор: $ - FRAC (5) (12); \\ t- \\ t (1) (3); \\ t

Номер 10. Между числа 2 и 42, поставете няколко номера, които заедно с тези числа образуват аритметична прогресия, ако е известно, че сумата от първия, втория и последният от вмъкнатата числа е 56.

Решение. Още по-трудна задача, която обаче се решава със същата схема като предишните - чрез средноаритметичната средна стойност. Проблемът е, че не сме известни колко конкретно трябва да бъдат поставени числа. Ето защо, поставихме за дефиницията, че след вмъкването ще има точно $ n $ номера, а първият е 2, а последният - 42. В този случай търсенето на аритметична прогресия е представена във формата:

[ляво ((а) _ (n))) дясно) \u003d оставено (2; (а) _ (2)); (а) _ (3)); ...; ((((((). а) _ (n - 1)); 42 дясно) \\ t

[(а) _ (2)) + (а) _ (3)) + ((а) _ (n - 1)) \u003d 56]

Забележете обаче, че числата $ (a) _ (2)) $ и $ ((а) _ (n - 1)) се получават от ръбовете на числа 2 и 42 с една стъпка един към друг, т.е. . Към центъра за последователност. И това означава, че

[(а) _ (2)) + ((а) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44]

Но тогава изразът, записан по-горе, може да бъде пренаписан така:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (2)) + ((а) _ (3)) + ((а) _ (n - 1)) \u003d 56; ляво (((а) _ (2)) + ((а) _ (n - 1)) право) + ((а) _ (3)) \u003d 56; & 44 ((а) _ (3)) \u003d 56; ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. End (Elevel) \\ t

Знаейки $ (а) _ (3)) $ и $ ((а) _ (1)) $, ние лесно ще намерим разликата в прогресията:

[начало) и ((а) _ (3)) - ((а) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; ((a) _ (3)) - (а) _ (1)) \u003d оставено (3-1 дясно) ccot d \u200b\u200b\u003d 2D; 10d \u003d 10 дял d \u003d 5. End (Elevel) \\ t

Остава само да се намерят други членове:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (1)) \u003d 2; & (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; ((a) _ (3)) \u003d 12; & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 cdot 5 \u003d 17; ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 cdot 5 \u003d 22; & (a) _ (6)) \u003d 2 + 5 cdot 5 \u003d 27; & (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 cdot 5 \u003d 32; & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 cdot 5 \u003d 37; ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 cdot 5 \u003d 42; End (Elevel) \\ t

Така, вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на последователността - числото 42. Беше необходимо да се вмъкнат само 7 номера: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Текстови задачи с прогресия

В заключение бих искал да помисля за една двойка прости задачи. Е, толкова просто: за повечето ученици, които изследват математиката в училище и не са прочели какво е написано по-горе, тези задачи могат да изглеждат като калай. Независимо от това именно такива задачи ще се срещнат с OGE и EGE в математиката, така че препоръчвам да се запознаете с тях.

Номер 11. Бригадата, произведена през 62 януари, и във всеки следващ месец той е направил повече от 14 части, отколкото в предишния. Колко подробности са направили бригада през ноември?

Решение. Очевидно е, че броят на детайлите, рисувани по месеци, ще бъде нарастваща аритметична прогресия. И:

[начало) и ((а) _ (1)) \u003d 62; quad d \u003d 14; & (a) _ (n)) \u003d 62 + ляво (n-1 дясно) cdot 14. край (подравняване) \\ t

Ноември е 11-ти месец годишно, така че трябва да намерим $ (а) _ (11)) $:

[(а) _ (11)) \u003d 62 + 10 cdot 14 \u003d 202]

Ето защо 202 детайли ще бъдат произведени през ноември.

Номер 12. Обвързващ семинар се припокрива през 216-те книги, а през следващия месец тя се преплита на 4 книги повече, отколкото в предишния. Колко книги претоварени семинара през декември?

Решение. Все същото:

$ започнете (подравнете) и ((а) _ (1)) \u003d 216; quad d \u003d 4; & ((a) _ (n)) \u003d 216+ ляво (n-1 дясно) cdot 4. край (подравняващ) $

Декември е последният, 12-ти месец годишно, така че търсим $ (а) _ (12)) $:

[(а) _ (12)) \u003d 216 + 11 cdot 4 \u003d 260]

Това е отговорът - 260 книги ще бъдат преплетени през декември.

Е, ако го прочетете тук, аз бързам да ви поздравя: "Курсът на млад боец" на аритметични прогресии, които сте преминали успешно. Можете спокойно да преминете към следващия урок, където изучаваме формулата на размера на прогресията, както и важни и много полезни последици от него.

Внимание!
Тази тема има допълнителни
Материали в специален раздел 555.
За тези, които са силно "не много ..."
И за тези, които са "много ...")

Аритметичната прогресия е редица числа, в които всеки номер е по-голям от (или по-малко) предишната и същата стойност.

Тази тема често е сложна и неразбираема. Индекси на клюна, n-ти член Прогресия, разликата в прогресията - всичко това по някакъв начин обърква, да ... нека да разберем със значението на аритметичната прогресия и всичко ще работи незабавно.)

Концепцията за аритметична прогресия.

Аритметична прогресия - концепцията е много проста и ясна. Съмнение? Напразно.) Виж себе си.

Ще пиша недовършен брой числа:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Можете ли да разширите тази серия? Какви числа ще отидат по-далеч след първите пет? Всеки ... UH-UH ..., Накратко, всеки ще разбере, че числата 6, 7, 8, 9 и т.н. ще продължат.

Завършете задачата. Давам недовършен брой числа:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Можете да хванете редовност, да удължите ред и да се обадите седма Брой редове?

Ако осъзнахте, че това е номер 20 - поздравявам ви! Не само се чувствахте ключови точки на аритметична прогресия, Но и успешно ги използвах в случая! Ако не сте реализирани - четем.

И сега ще прехвърлим ключови моменти от усещания по математика.)

Първи ключов момент.

Аритметичната прогресия се занимава с числа. Това първо се обърка. Ние сме свикнали с уравнението, за да решим, изграждаме графики и всичко това ... и след това да разширим номер, да намерят броя на редовете ...

Нищо грешно. Просто прогресията е първият познат с новия участък на математиката. Секцията се нарича "редове" и работи именно с редиците на цифри и изрази. Свиквам с.)

Вторият ключов момент.

В аритметична прогресия, всеки номер се различава от предишното на същата величина.

В първия пример тази разлика е една. Това, което номер не е нито взето, то е повече от предишния на единица. Във втората - тройка. Всеки номер повече от предишния. Всъщност това е моментът и ни дава възможност да уловим модела и да изчислим следващите номера.

Трета ключова точка.

Този момент не е поразителен, да ... но много, много важно. Ето го: всеки брой прогресия е на негово място. Има първото число, има седмо, има четиридесет пети и др. Ако те са объркани, докато падна, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия ще изчезне. Ще има само няколко числа.

Това е цялата точка.

Разбира се, Б. нова тема Появяват се нови термини и нотация. Те трябва да знаят. В противен случай няма да разбера задачата. Например, трябва да решите нещо, подобно на:

Напишете първите шест члена на аритметичната прогресия (AN), ако 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Вдъхновява?) Готвеs, някои индекси ... и задачата, между другото - не е по-лесно. Просто трябва да разберете смисъла на термини и обозначения. Сега ще овладеем това нещо и ще се върнем към задачата.

Условия и обозначения.

Аритметична прогресия - това е редица числа, в които всеки брой се различава от предишното на същата величина.

Тази стойност се нарича . Нека да разпознаем с тази концепция по-подробно.

Разликата в аритметичната прогресия.

Разликата в аритметичната прогресия - Това е стойността, която е този брой прогресия повече ▼ предишното.

Една важна точка. Моля, обърнете внимание на думата "Повече ▼". Математически, това означава, че се получава всеки брой прогресия допълване Разликата в аритметичната прогресия към предишния номер.

Да се \u200b\u200bизчисли, да кажем втори Брой редове е необходимо първо Номер добави Тази много разлика в аритметичната прогресия. За изчисление пети - Необходима е разликата добави да се четвърто Добре и т.н.

Разликата в аритметичната прогресия може би положителен Тогава всеки брой редове всъщност ще повече от предишния. Такава прогресия се нарича повишаване на. Например:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тук всеки номер се оказва допълване Положително число, +5 към предишния.

Разликата може да бъде отрицателен Тогава всеки брой редове ще се окаже по-малко от предишния. Такава прогресия се нарича (няма да повярваш!) низходящ.

Например:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тук всеки номер се получава също допълване До предишния, но вече отрицателен брой, -5.

Между другото, когато работите с напредък, е много полезно незабавно да се определи неговият характер - той се увеличава или намалява. Той много помага да се движите в решението, ще повредите грешките си и ги поправете, докато не стане твърде късно.

Разликата в аритметичната прогресия означава, като правило, писмото д.

Как да намеря д. ? Много просто. Необходимо е да се отнеме от произволен брой от произволен брой предишен номер. Приспадане. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)

Ние определяме например, д. За увеличаване на аритметичната прогресия:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Вземете произволен брой редове, както искаме, 11. отнемайте от него предишен номер тези. Осем:

Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.

Можете да вземете точно някакъв брой прогресия Като За специфична прогресия д -винаги едно и също нещо. Въпреки че някъде в началото на реда, дори в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първия номер. Само защото на първото име Няма предишен.)

Между другото, знаейки това d \u003d 3.Много е лесно да се намери седмия брой на тази прогресия. Ние добавяме 3 към петия номер - ще получим шести, ще бъде 17. Ще добавя към шестия брой топ три, получаваме седмия брой - двадесет.

Определи д. За намаляване на аритметичната прогресия:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Напомням ви това, независимо от знаците, за да определите д. нужда от произволен номер отнеме предишния. Изберете произволен брой прогресия, например -7. Предишният има номер -2. Тогава:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Разликата в аритметичната прогресия може да бъде всеки номер: цели, частични, ирационални, всякакви видове.

Други термини и обозначения.

Всеки брой редове се нарича член на аритметична прогресия.

Всеки член на прогресия има ли вашият номер. Стаите отиват строго в няколко, без никакъв фокус. Първата, втората, третата, четвъртата и т.н. Например, в прогресия 2, 5, 8, 11, 14, ... две - това е първият член, петте, втората, единадесет - четвъртата, добре, вие разбрахте ...) Искам ясно да реализирам - сами може да бъде напълно всички, цели, частични, отрицателни, които паднаха, но номерации - строго в ред!

Как да напишете прогресия в обща форма? Няма проблем! Всеки брой редове е написан под формата на писмото. Да посочи аритметична прогресия, обикновено е буквата а.. Номерът на член е посочен от индекса в долния десен ъгъл. Членовете пишат през запетая (или точка със запетая), като тази:

a 1, a 2, a 3, 4, 5, .....

а 1.- Това е първото число а 3. - трето и т.н. Нищо без лук. Запишете тази серия, която можете да понявате накратко: (N.).

Прогресията е там Крайни и безкрайни.

Краен Прогресията има ограничен брой членове. Пет, тридесет и осем, колкото искате. Но - краен номер.

Безкраен Прогресия - има безкраен брой членове, както можете да предположите.)

Запишете последната прогресия през серия може да бъде такава, всички членове и точката в края:

а 1, А2, А3, А4, А5.

Или така, ако много членове са:

а 1, А2, ... А 14, А 15.

В кратък запис ще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), подобно:

(a n), n \u003d 20

Безкрайната прогресия може да бъде намерена в изданието в края на реда, както в примерите на този урок.

Сега можете да изпълните задачите. Задачите са прости, чисто да се разберат значението на аритметичната прогресия.

Примери за задачи за аритметична прогресия.

Ще анализираме подробната задача, която е посочена по-горе:

1. Отстранете първите шест члена на аритметичната прогресия (AN), ако 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Ние превеждаме задачата на разбираем език. Дана безкрайна аритметична прогресия. Известно е второто число на тази прогресия: а 2 \u003d 5. Разликата в прогресията е известна: d \u003d -2.5. Необходимо е да се намерят първите, трети, четвърти, пети и шести членове на тази прогресия.

За яснота напишете редица състоянието на задачата. Първите шест членове, където вторият член е пета:

a 1, 5, 3, 4, 5, a 6, ....

а 3. = а2. + д.

Ние заменяме изражението 2 \u003d 5 и d \u003d -2.5.. Не забравяйте минус!

а 3.=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третият член се оказа по-малко от втория. Всичко е логично. Ако номерът е по-голям от предишния отрицателен Количеството, тогава самият номер ще се окаже по-малък от предишния. Прогресията се спуска. Добре, помислете.) Смятаме, че четвъртият член на нашата серия:

а 4. = а 3. + д.

а 4.=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

а 5. = а 4. + д.

а 5.=0+(-2,5)= - 2,5

а 6. = а 5. + д.

а 6.=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

По този начин членовете с трети бяха изчислени на шестата. Оказа се такава серия:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Остава да намери първия член а 1. до известен втори. Това е стъпка към другата страна, оставена.) Така че, разликата в аритметичната прогресия д. Не трябва да добавяме а2., но за вкъщи:

а 1. = а2. - д.

а 1.=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Това са всичко. Отговор на търсенето:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Подемно внимание, че решихме тази задача повтарящ се начин. Това е ужасна дума означава само член на прогресията според предишния (съседен) номер. Други начини за работа с напредък ще разгледаме по-нататък.

От тази проста задача можете да направите един важен изход.

Помня:

Ако сме известни поне един член и разликата в аритметичната прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.

Помня? Това просто заключение ви позволява да решите повечето от задачите на курса на училището по тази тема. Всички задачи се въртят около три основни параметъра: член на аритметична прогресия, разликата в прогресията, член на напредъка. Всичко.

Разбира се, цялата предишна алгебра не е отменена.) При прогресията на неравенствата и уравненията и други неща са в капан. Но за самата прогресия - Всичко се завърта около три параметъра.

Например, обмислете някои популярни задачи по тази тема.

2. Запишете крайната аритметична прогресия под формата на серия, ако n \u003d 5, d \u003d 0.4 и 1 \u003d 3.6.

Всичко е просто тук. Всичко вече е дадено. Необходимо е да се помни как се считат членовете на аритметичната прогресия, за изчисляване и писане. Препоръчително е да не пропускате думите в състоянието на заданието: "Final" и " n \u003d 5."За да не се броят за завършване на Scoff.) В тази прогресия само 5 (пет) членове:

a 2 \u003d 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

а 4. = а 3. + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

а 5. = а 4. + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

Наляво, за да запишете отговора:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Повече задача:

3. Определете дали броят е 7 член на аритметична прогресия (AN), ако a 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

Хм ... Кой го познава? Как да определим нещо?

Как ... да, напишете прогресия под формата на ред и вижте, там ще има седем там, или не! Считаме:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1.2 \u003d 5.3

а 3 \u003d A 2 + D \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

а 4. = а 3. + d \u003d 6.5 + 1,2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Сега ясно се вижда, че ние сме просто подхлъзна Между 6.5 и 7.7! Седем влязоха в нашия брой числа и това означава, че седемте няма да бъдат член на дадена прогресия.

Отговор: Не.

Но проблем въз основа на реален вариант GIA:

4. Има няколко последователни членове на аритметична прогресия:

...; петнадесет; х; девет; 6; ...

Тук се записва ред без край и започнете. Няма номера на членове, нито разликата д.. Нищо грешно. За да разрешите задачата, е достатъчно да разберем значението на аритметичната прогресия. Изглеждаме и мислим, че можете открийте От тази серия? Какви са параметрите на трите основни?

Членове на членовете? Няма нито един номер.

Но има три номера и внимание! - дума "Последователно" В състояние. Това означава, че числата са строго по ред, без да прескачат. Има ли два две в този ред съседна известни номера? Да, има! Това е 9 и 6. Стана, можем да изчислим разликата в аритметичната прогресия! От Tutter на Sixtur предишен номер, т.е. Девет:

Имаше останали дреболии. Какъв номер ще бъде предишният за IKSA? Петнадесет. Така че X може лесно да се намери лесно. До 15 Добавете разликата в аритметичната прогресия:

Това е всичко. Отговор: x \u003d 12.

Следните задачи решават. Забележка: Тези задачи не са за формули. Единствено за разбиране на значението на аритметичната прогресия.) Просто напишете ред с числа, погледнете и ние мислим.

5. Намерете първи положителен член на аритметичната прогресия, ако 5 \u003d -3; d \u003d 1.1.

6. Известно е, че числото 5.5 е член на аритметичната прогресия (AN), където 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. Определят броя на N на този член.

7. Известно е, че в аритметична прогресия 2 \u003d 4; 5 \u003d 15.1. Намерете 3.

8. Написани са няколко последователни членове на аритметичната прогресия:

...; 15.6; х; 3.4; ...

Намерете член на прогресията, посочена от буквата x.

9. Влакът започва да се движи от станцията, а равномерно увеличава скоростта от 30 метра в минута. Какво ще бъде скоростта на влака след пет минути? Отговор Дайте km / h.

10. Известно е, че в аритметична прогресия 2 \u003d 5; 6 \u003d -5. Намерете 1..

Отговори (в разстройство): 7.7; 7.5; 9.5; девет; 0.3; четири.

Всичко, което е изработено? Чудесен! Можете да изследвате аритметичната прогресия на повече високо нивоВ следните уроци.

Не всичко се случи? Няма проблем. В специална раздел 555 всички тези задачи се разглобяват около костите.) И, разбира се, е описано просто практичен прием, който веднага подчертава решението на тези задачи ясно, ясно е как да се палм!

Между другото, в проблема на влака има два проблема, които хората често се спъват. Единствено е на прогресията, а вторият е общ за всички проблеми в математиката и физиката. Това е превод на размери от един към друг. Показано е как да се решат тези проблеми.

В този урок преразгледахме елементарния смисъл на аритметичната прогресия и основните си параметри. Това е достатъчно, за да разрешите почти всички задачи по тази тема. Нагласям д. За числата напишете ред, всичко ще бъде решено.

Решението "на пръстите" е подходящо за много къси части от число, както в примерите на този урок. Ако ред е по-пълно, изчисленията са сложни. Например, ако е в задачата 9 да замени "пет минути" на "Тридесет и пет минути", Задачата ще стане съществена.)

И има още прости задачи по същество, но невалидни изчисления, например:

Дадена е аритметична прогресия (N). Намерете 121, ако 1 \u003d 3, и d \u003d 1/6.

И какво, ще добавим много повече до 1/6? Можете да го убиете!?

Ако не знаете проста формула, според която такива задачи могат да бъдат решени за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И тази задача е решена там. След минутка.)

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и деривати.

Инструкция

Аритметичната прогресия е последователност от формуляра А1, А1 + D, A1 + 2D ..., A1 + (N- 1) D. Номер D стъпка прогресия, Очевидно, че общият произволен член на аритметиката прогресия Изглежда: AN \u003d A1 + (N- 1) d. След това познаването на един от членовете прогресиячлен прогресия и стъпка прогресияТова е възможно, това е броят на член на напредъка. Очевидно е, че ще се определи с формулата n \u003d (AN-A1 + D) / D.

Нека сега да знаем m-пишка прогресия И тя е друг член прогресия - nth, но n, както в предишния случай, но е известно, че n и m не съвпадат. hasha прогресия Тя може да бъде изчислена по формулата: D \u003d (AN-AM) / (N-M). След това n \u003d (AN-AM + MD) / d.

Ако сумата от няколко елемента на аритметиката прогресия, както и първото и последно, тогава може да се определи и броят на тези елементи. Аритметичната система прогресия Ще бъде: S \u003d (((А1 + А) / 2) N. След това n \u003d 2S / (A1 + AN) - Ctenov прогресия. Използвайки факта, че Al \u003d A1 + (N- 1) d, тази формула може да бъде пренаписана във формата: n \u003d 2S / (2A1 + (N- 1) d). От това може да се изрази с N, решаване на квадратно уравнение.

Аритметичната последователност се нарича такава подредена набор от числа, всеки член, в допълнение към първия, се различава от предишната и същата стойност. Тази постоянна стойност се нарича разлика в прогресията или нейната стъпка и може да бъде изчислена според добре познатите членове на аритметична прогресия.

Инструкция

Ако стойностите на задачата са известни на първия и втория или друг двойка съседни членове, за изчисляване на разликата (г) просто отнемайте от последващия член предишния. Получената стойност може да бъде както положително, така и отрицателно, това зависи от това дали прогресирането на нарастващо. Като цяло, решението за произволно взето двойка (Aᵢ и Aᵢ₊₁) на съседните членове на прогресията се записва, както следва: D \u003d Aᵢ₊₁ - Aᵢ.

За няколко членове на такава прогресия една от които е първата (A₁), а другата - всяка друга произволна избрана, може да бъде и формула за намиране на разлика (D). В този случай обаче трябва да се известият номерът на последователността (I) на избран член на последователността. За да се изчисли разликата, поставете и двата номера и полученият резултат е разделен на по-малък брой произволни членове, намалени на единица. Като цяло, тази формула се записва както следва: D \u003d (A₁ + Aᵢ) / (I-1).

Ако освен произволен член на аритметичната прогресия с номер на последователност I, друг член е известен с номера на последователността U, променя формулата от предишния етап съответно. В този случай разликата (г) на прогресията ще бъде сумата от тези двама члена, разделена на разликата в техните последователни номера: D \u003d (Aᵢ + Aᵥ) / (I-V).

Формулата за изчисляване на разликата (г) е донякъде сложна, ако стойността на първия мандат (A₁) и сумата на първите членове на аритметичната последователност (i) са дадени в условия на проблема. За да получите желана стойност, разделете сумата от броя на членовете на неговите членове, вземете първия номер в последователността и резултатът е двойно. Получената стойност е разделена на число, намалено от един по размера на членовете. Като цяло, формулата за изчисляване на дискриминатора се записва, както следва: D \u003d 2 * (Sᵢ / I-A₁) / (I-1).

Например, последователността (2); (пет); (осем); (единадесет); (14) ... е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предишния (може да бъде получен от предишното добавяне на треска):

В тази прогресия разликата (D) е положителна (равна на (3)) и следователно всеки следващ елемент е по-голям от предишния. Такава прогресия се нарича повишаване на.

Въпреки това, (D) може да е отрицателно число. например, в аритметична прогресия (16); (10); (четири); (- 2); (- 8) ... Разликата на прогресията (D) е минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат низходящ.

Определяне на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Номерата, формиращи прогресията, го наричат членове (или елементи).

Те са обозначени с една и съща буква като аритметична прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента в ред.

Например, аритметична прогресия (A_N \u003d оставена (2; 5; 8; 11; 14 ... дясно)) се състои от елементи (A_1 \u003d 2); (A_2 \u003d 5); (A_3 \u003d 8) и така нататък.

С други думи, за прогресия (A_N \u003d оставена (2; 5; 8; 11; 14 ... дясно) \\ t

Решаване на задачи за аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всяка задача за аритметична прогресия (включително тези, които предлагат на OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя чрез условия (B_1 \u003d 7; D \u003d 4). (B_5).
Решение:

Отговор: (B_5 \u003d 23)

Пример (OGE). Първите трима членове на аритметичната прогресия са дадени: (62; 49; 36 ...) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия.
Решение:

	Намаляваме първите елементи на последователността и е известно, че това е аритметична прогресия. Това означава, че всеки елемент е различен от същия брой съседни. Ние научаваме за какво, приспадане от следващия елемент предишен: (d \u003d 49-62 \u003d -13).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия към тази, от която се нуждаем (първи отрицателен) елемент.
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: $-3$

Пример (OGE). Има няколко аритметични аритметични прогресионни елементи на елементите на аритметичната прогресия: (... 5; x; 10; 12.5 ...) Намерете стойността на елемента, посочен от буквата (x).
Решение:

	За да намерите (x), трябва да знаем колко следващият елемент се различава от предишния, с други думи - разликата в прогресията. Ние ще го намерим от два известни съседни елемента: (D \u003d 12.5-10 \u003d 2.5).
	И сега без никакви проблеми откриваме желаното: (x \u003d 5 + 2.5 \u003d 7.5).
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: $7,5$.

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя чрез следните условия: \\ t (A_1 \u003d -11); (A_ (n + 1) \u003d A_N + 5) Намерете сумата от първите шест членове на тази прогресия.
Решение:

Трябва да намерим размера на първите шест членове на прогресията. Но ние не знаем техните ценности, ни се дават само първия елемент. Затова първо изчислете стойностите от своя страна, като използвате това за нас:

(n \u003d 1); (A_ (1 + 1) \u003d A_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6)
(n \u003d 2); (A_ (2 + 1) \u003d A_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1 \\ t
(n \u003d 3); (A_ (3 + 1) \u003d A_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4)
И изчислението на шестте елемента, от които се нуждаем - откриваме тяхната сума.

(S_6 \u003d A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 \u003d \\ t
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

Установено е желаната сума.

Отговор: (S_6 \u003d 9).

Пример (OGE). В аритметична прогресия (A_ (12) \u003d 23); (A_ (16) \u003d 51). Намерете разликата в тази прогресия.
Решение:

Отговор: (D \u003d 7).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много задачи за аритметична прогресия могат да бъдат решени, просто разбираме основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне към предишния и същия номер ( разлика в прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е доста неудобно да се реши "в челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не пети елемент (B_5) и триста осемдесет и шест (B_ (386)). Това е, което (385) да добави четири пъти? Или си представете, че в предпоследния пример е необходимо да се намери сумата от първите седемдесет и три елемента. Помислете за изтезания ...

Ето защо, в такива случаи, "в челото" не решават, но използвайте специални формули, получени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата на невалиден член на прогресията и формулата на сумата (n) на първите членове.

(N) - член: (A_N \u003d A_1 + (N - 1) D), където (A_1) е първият срок на прогресията;
(n) - броя на артистичния елемент;
(A_N) е член на прогресията с номера (n).

Тази формула ни позволява бързо да намерим най-малко три стотни, най-малко един милион елемент, знаейки само първата и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се определя чрез условия: (B_1 \u003d -159); (D \u003d 8.2). (B_ (246)).
Решение:

Отговор: (B_ (246) \u003d 1850).

Формула на количеството на първите членове: (S_N \u003d FRAC (A_1 + A_N) (2) CDOT N), където

(A_N) - последният призован член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условия (A_N \u003d 3.4N-0.6). Намерете сумата на първите (25) членове на тази прогресия.
Решение:

(S_ (25) \u003d \\ t (4) (A_1 + A_ (25)) (2) \\ t		За да се изчисли размерът на първите двадесет и пет елемента, трябва да знаем стойността на първия и двадесет петия член. Нашата прогресия се задава по формулата на еленен член в зависимост от неговия номер (виж повече подробности). Да изчислим първия елемент, заместващ вместо единица (n).
(n \u003d 1;) \\ t (A_1 \u003d 3.4 · 1-0.6 \u003d 2.8)		Сега ще намерим двадесет и петия член, заместващ вместо (n) двадесет и пет.
(n \u003d 25;) \\ t (A_ (25) \u003d 3.4 · 25-0.6 \u003d 84.4)		Е, и сега без никакви проблеми, изчисляваме желаната сума.
(S_ (25) \u003d) (FRAC (A_1 + A_ (25)) (2) \\ t (cdot 25 \u003d \\ t (\u003d \\ T) \\\\ (2.8 + 84.4) (2) \\ t (cdot 25 \u003d) (1090)		Отговорът е готов.

Отговор: (S_ (25) \u003d 1090).

За сумата (n) първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да (S_ (25) \u003d) \\ t (FRAC (A_1 + A_ (25)) (2) \\ t CDOT 25) вместо (A_N), замества формулата за него (A_N \u003d A_1 + (N- 1) D). Получаваме:

Формула на количеството на първите членове: (S_N \u003d) \\ t (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\ t (ccot n), където

(S_N) е желаното количество (n) на първите елементи;
(A_1) - първият призован член;
(D) - разликата в прогресията;
(n) - броя на елементите в сумата.

Пример. Намерете сумата на първото (33) - бивнето на членовете на аритметичната прогресия: (17); (15,5); (четиринадесет) ...
Решение:

Отговор: (S_ (33) \u003d - 231).

По-сложни задачи за аритметична прогресия

Сега имате цялата необходима информация за решаване на почти всяка задача за аритметична прогресия. Попълнете темата с разглеждането на задачите, в които не е лесно да се използват формули, но също така и да се мисли малко (в математиката е полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: (- 19.3); \$-деветнайсет\$; (- 18.7) ...
Решение:

(S_N \u003d) \\ t (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\ t		Задачата е много подобна на предишната. Ние също така започваме да решаваме: Първо откриваме (D).
(D \u003d A_2-A_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0.3)		Сега бих замествал (D) във формулата за сумата ... и тук малкият нюанс се появява - не знаем (n). С други думи, ние не знаем колко членове трябва да бъдат сгънати. Как да разберете? Нека да помислим. Ние спрем сгъваеми елементи, когато стигнем до първия положителен елемент. Това е, трябва да знаете номера на този елемент. Как? Ние пиша формулата за изчисляване на всеки елемент от аритметична прогресия: (A_N \u003d A_1 + (N - 1) D) за нашия случай.
(A_N \u003d A_1 + (N - 1) D \\ t
(A_N \u003d -19,3 + (N- 1) · 0.3)		Нуждаем се, така че (A_N) стана повече нула. Така с това, което ще се случи.
(- 19.3+ (n - 1) · 0,3\u003e 0)
((N - 1) · 0,3\u003e 19.3) \\ t		Ние разделяме двете части на неравенството на (0.3).
(N-1\u003e) (FRAC (19.3) (0.3) \\ t		Носете минус, без да забравяте да променяте знаците
(N\u003e) (FRAC (19.3) (0.3) (+ 1) \\ t		Изчисли ...
(n\u003e 65,333 ... \\ t		... и се оказва, че първият положителен елемент ще има номер (66). Съответно, последният отрицателен има (n \u003d 65). Само в случай, проверете го.
(n \u003d 65;) \\ t (A_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) · 0.3 \u003d -0.1 \\ t (n \u003d 66;) \\ t (A_ (66) \u003d - 19.3+ (66-1) · 0.3 \u003d 0.2)		Така трябва да сгънем първите (65) елемента.
(S_ (65) \u003d \\ t (Frac (2 cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \\ t(CCOT 65) (S_ (65) \u003d) ((- 38,6 + 19.2) (2) \\ t (cdot 65 \u003d -630.5)		Отговорът е готов.

Отговор: (S_ (65) \u003d - 630.5).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя чрез условия: (A_1 \u003d -33); (A_ (N + 1) \u003d A_N + 4). Намерете сумата от (26) до (42) елемент, включващ.
Решение:

(A_1 \u003d -33;) (A_ (N + 1) \u003d A_N + 4)	Тази задача също трябва да намери количеството елементи, но да не започне от първото и C \\ t (26). За такъв случай нямаме формули. Как да решим? Лесно - да получите сумата от (26) - ОХ, е необходимо първо да намерите сумата от (1) - уау (42) - о, и след това приспадане сумата от нея първо до (25) - CSO (виж снимка).
	За нашата прогресия (A_1 \u003d -33) и разликата (D \u003d 4) (в края на краищата добавяме към предишния елемент към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, ще намерим сумата на първата (42) - приключва.
(S_ (42) \u003d \\ t (Frac (2 cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\ t(ccot 42 \u003d \\ t (FRAC (-66 + 164) (2) \\ t (cdot 42 \u003d 2058)	Сега сумата на първите (25) елементи.
(S_ (25) \u003d \\ t (Frac (2 cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \\ t(Ccot 25 \u003d \\ t (\u003d \\ _) \\\\ (-66 + 96) (2) \\ t (cdot 25 \u003d 375)	И накрая, изчисляваме отговора.
(S \u003d S_ (42) -S_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683)

Отговор: (S \u003d 1683).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разглеждали в тази статия поради тяхната малка практическа полезност. Въпреки това лесно можете да ги намерите.

При изучаване на алгебра в средното училище (степен 9), една от важните теми са числени последователностиКъм която прогресията на изометрична и аритметика. В тази статия обмислете аритметичната прогресия и примери с решения.

Какво е аритметичната прогресия?

За да разберем това, е необходимо да се определи прогресията на прогресията, както и да се донесат основните формули, които допълнително ще бъдат използвани при решаване на проблеми.

Аритметика или е такъв набор от поръчани рационални числа, всеки член, който е различен от предишния на някаква постоянна стойност. Тази стойност се нарича разлика. Това е, което знае всеки член на поръчаната серия от числа и разлика, човек може да възстанови цялата аритметична прогресия.

Нека да дадем пример. Следващата последователност от числа ще бъде прогресията на аритметика: 4, 8, 12, 16, ..., тъй като разликата в този случай е 4 (8 - 4 \u003d 12 - 8 \u003d 16 - 12). Но наборът от числа 3, 5, 8, 12, 17 не може да се приписва на вида на разглежданата прогресия, тъй като разликата за това не е постоянна стойност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега представяме основните формули, които ще са необходими за решаване на проблеми с аритметичната прогресия. Означават със символа N N-ти член на последователността, където п е цяло число. Разликата се обозначава с латинската буква d. Тогава са следните следните изрази:

За да се определи стойността на N-The член, формулата е подходяща: N \u003d (N- 1) * D + A 1.
За да се определи количеството на първия N на компонентите: s n \u003d (N + a 1) * п / 2.

За да се разберат всички примери за аритметична прогресия с решение в 9 клас 9, е достатъчно да запомните тези две формули, тъй като са изградени никакви задачи на разглеждания тип. Не трябва да забравяме, че разликата в прогресията се определя по формулата: D \u003d A N - N-1.

Пример №1: Намиране на неизвестен член

Ние даваме прост пример за прогресията на аритметиката и формулите, които трябва да се използват за решаване.

Позволете на последователността от 10, 8, 6, 4, ... е необходимо да се намерят пет члена в нея.

От състоянието на проблема вече следва, че първите 4 компонента са известни. Петата може да се определи по два начина:

Изчислете, за да започнете разликата. Имаме: D \u003d 8 - 10 \u003d -2. По същия начин можете да вземете двама други членове, които стоят един до друг. Например, d \u003d 4 - 6 \u003d -2. Тъй като е известно, че d \u003d a n-a n-1, след това d \u003d a 5 - A 4, от където получаваме: a 5 \u003d 4 + d. Ние заменяме известните стойности: a 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
Вторият метод също изисква знанията за разликата в разглежданата прогресия, следователно е необходимо първо да се определи, както е показано по-горе (d \u003d -2). Знаейки, че първият термин е 1 \u003d 10, ние използваме формулата за n брой последователност. Имаме: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Заместване в последния израз n \u003d 5, получаваме: a 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.

Както може да се види, и двата метода за решаване доведоха до същия резултат. Обърнете внимание, че в този пример разликата d на прогресията е отрицателна стойност. Такива последователности се наричат \u200b\u200bнамаляването, тъй като всеки следващия термин е по-малък от предишния.

Пример номер 2: Разликата на прогресията

Сега усложнявайте малко задача, даваме пример, как да намерим разликата в прогресията на аритметиката.

Известно е, че в известно развитие на алгебричния 1-ва елемент е 6, а 7-ми член е 18. Необходимо е да се намери разлика и да се възстанови тази последователност до 7 членове.

Използваме формулата, за да определим неизвестния елемент: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Ние заменяме добре познатите данни от състоянието, т.е. числата 1 и 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: D \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Така те отговориха на първата част от проблема.

За да възстановите последователност от до 7 члена, трябва да използвате дефиницията алгебрична прогресия, т.е. 2 \u003d a 1 + d, 3 \u003d 2 + d, и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14 , 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, 7 \u003d 18.

Пример номер 3: Производство на прогресия

Нека усложним още по-силно условието на задачата. Сега е необходимо да се отговори на въпроса как да се намери аритметична прогресия. Можете да дадете следния пример: дадени два номера, например, - 4 и 5. Необходимо е да се направи прогресия на алгебричния, така че да бъдат поставени още трима членове.

Преди да започнете да решавате тази задача, е необходимо да се разбере какво място ще бъде дадените номера в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още трима членове, след това 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. Като го инсталирате, ние се обръщаме към задачата, която е подобна на предишната. Отново за N-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Местоположение: D \u003d (5 - А 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Тук не получихме цялата стойност на разликата обаче, това е рационално число, така че формулите за алгебрична прогресия остават същите.

Сега добавете разликата, намерена на 1 и възстановете липсващия член на прогресията. Получаваме: a 1 \u003d - 4, 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75, a 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5, 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75, 5 \u003d 5, + 2.25 \u003d 5, което съвпадна с състоянието на проблема.

Пример №4: първи член на прогресията

Продължаваме да въвеждаме примери за аритметична прогресия с решението. Във всички предишни задачи е известна първия брой алгебрична прогресия. Сега разгледайте задачата на различен тип: Нека да бъдат дадени две числа, където 15 \u003d 50 и 43 \u003d 37. Необходимо е да се намери, от коя дата започва тази последователност.

Използваните досега формули предполагат знания 1 и D. В състоянието на проблема с тези числа нищо не е неизвестно. Въпреки това, ние ще напишем изразите за всеки член, който има информация: a 15 \u003d a 1 + 14 * d и 43 \u003d a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които 2 неизвестни стойности (a 1 и d). Това означава, че задачата се намалява до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесно да реши дали да експресира във всяко уравнение a 1 и след това да сравни получените изрази. Първото уравнение: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; Второто уравнение: a 1 \u003d 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравняването на тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, където d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (42 - 14) \u003d - 0.464 (само 3 знака на точност след запетая).

Знаете, че можете да използвате някоя от двете изрази по-горе за 1. Например, първо: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56,496.

Ако в резултат на това се появят съмнения, можете да го проверите например, за да определите 43 членове на прогресията, която е зададена в състоянието. Получаваме: A 43 \u003d A 1 + 42 * D \u003d 56,496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Малка грешка е свързана с факта, че когато изчисленията се използват за закръгляване до хилядни фракции.

Пример номер 5: Сума

Сега разгледайте няколко примера с решения за количеството аритметична прогресия.

Оставете следното прогресиране на следната форма: 1, 2, 3, 4, ... ,. Как да изчислим количеството 100 от тези числа?

Благодарение на разработването на компютърни технологии, можете да решите тази задача, т.е. последователно сгънете всички числа, които компютвателната машина ще го направи веднага след като човек натисне клавиша Enter. Въпреки това, задачата може да бъде решена, ако обърнете внимание, че броят на представените числа е прогресията на алгебриката и нейната разлика е 1. Използване на формулата за сумата, получаваме: s n \u003d n * (a 1 +) AN) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Любопитно е да се отбележи, че тази задача се нарича "Гаусс", тъй като в началото на XVIII век известният немски все още е на възраст от 10 години, успя да го реши в ума за няколко секунди. Момчето не знае формулата за количеството алгебрична прогресия, но забеляза, че ако сгънем номерата в краищата на последователността, тогава един резултат винаги се получава, т.е. 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100/2), тогава е достатъчно да се умножи 50 до 101, за да получи правилния отговор.

Пример №6: количество членове от n до m

Друг типичен пример Размерът на аритметичната прогресия е следният: Дан Такива номера обхват: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите това, което сумата от нейните членове от 8 до 14 ще бъде еднаква.

Задачата се решава по два начина. Първият предполага откриването на неизвестни членове от 8 до 14 години и след това тяхното последователно обобщение. Тъй като термините са малко, този метод не е доста труден. Въпреки това се предлага да се реши този проблем с втория метод, който е по-гъвкав.

Идеята е да се получи формула за сумата от алгебрична прогресия между членове m и n, където n\u003e m е цели числа. Пиехме две изрази и за двата случая:

S m \u003d m * (m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като N\u003e m е очевидно, че количеството на сумата включва първото. Последното заключение означава, че ако имате разлика между тези суми, и добавете член към него (в случай на разлика, тя се приспада от сумата), след това получаваме необходимия отговор на задачата. Имаме: s mn \u003d s n-s m + am \u003d n * (a 1 + AN) / 2 - m * (A 1 + AM) / 2 + Am \u003d A 1 * (N- m) / 2 + AN * N / 2 + AM * (1- m / 2). В този израз е необходимо да се замени формулата за N и m. След това получаваме: s mn \u003d a 1 * (n- m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е малко тромав, въпреки това сумата s mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай, 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. заместваме тези числа, получаваме: s mn \u003d 301.

Както може да се види от дадените решения, всички задачи се основават на познаването на експресията за N-тия член и формулата за количеството на набора от първите компоненти. Преди да започнете да решавате някоя от тези задачи, се препоръчва внимателно да се чете състоянието, ясно е да се разбере какво трябва да бъде намерено и след това продължете към решението.

Друг съвет е в желанието за простота, т.е. ако можете да отговорите на въпроса, без да се прилагат сложни математически изчисления, е необходимо да се действа по този начин, тъй като в този случай вероятността е по-малка от грешка. Например, в примера на аритметична прогресия с решения номер 6, би било възможно да се спре на формулата S MN \u003d N * (A 1 + AN) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM, и Smash. обща задача На отделни подзадачи (в този случай първо намерете членове N и A m).

Ако има съмнения относно резултата, се препоръчва да го проверите, както е направено в някои от дадените примери. Как да намерим аритметична прогресия, разбрана. Ако разберете, не е толкова трудно.