Как да се изчисли коренът на квадратното уравнение. Разтвор на квадратни уравнения, root формула, примери
Видео урок 2: Разтвор на квадратни уравнения
Лекция: Квадратни уравнения
Уравнението
Уравнението - Това е някакво равенство, в изразите, на които има променлива.
Решаване на уравнение - Това означава да се намери такъв номер вместо променлива, която ще го доведе до истинско равенство.
Уравнението може да има едно решение или няколко, или да не го има.
За да разрешите всяко уравнение, той трябва да бъде лесно опростен по формата:
Линейно: a * x \u003d b;
Квадрат: a * x 2 + b * x + c \u003d 0.
Това означава, всяко уравнение преди решението да се превърне в стандартен вид.
Всяко уравнение може да бъде решено по два начина: аналитична и графика.
На графиката чрез решаване на уравнението се считат, в които графикът пресича оста о.
Квадратни уравнения
Уравнението може да се нарича квадрат, ако придобие мнението, когато е опростено:
a * x 2 + b * x + c \u003d 0.
Където a, B, C са коефициенти на уравнение, които се различават от нула. НО "Х" - Корен на уравнението. Смята се, че квадратното уравнение има два корени или изобщо не могат да имат решения. Получените корени могат да бъдат еднакви.
"но" - коефициентът, който стои пред корена на площада.
"Б" - Това е преди неизвестно първа степен.
"от - свободен член на уравнението.
Ако, например, имаме уравнението на формуляра:
2x 2 -5x + 3 \u003d 0
В него "2" е коефициент с старши член на уравнението, "-5" - втори коефициент и "3" - свободен член.
Решение квадратно уравнение
Има огромен набор от начини за решаване на квадратно уравнение. Въпреки това, в училищния курс на математиката, решението се изследва върху теоремата на Vieta, както и с помощта на дискриминантна.
Решение за дискриминантност: \\ t
При решаването с този метод Необходимо е да се изчисли дискриминацията по формулата:
Ако, когато изчисленията сте получили, че дискриминацията е по-малка от нула, това означава, че това уравнение няма решения.
Ако дискриминацията е нула, уравнението има две идентични решения. В този случай полиномът може да бъде сгънат с формулата на съкратеното умножение в квадрата на количеството или разликата. След това, за да го решите, като линейно уравнение. Или да се възползват от формулата:
Ако дискриминацията е по-голяма от нула, тогава е необходимо да се използва следният метод:
Vieta теорема
Ако е дадено уравнението, т.е. коефициентът в старшия член е равен на един, след което можете да използвате vieta теорема.
Така че, да предположим, че уравнението изглежда като:
Корените на уравнението са следните:
Непълна квадратна уравнение
Има няколко варианта за получаване на непълно квадратно уравнение, видът, който зависи от наличието на коефициенти.
1. Ако вторият и третият коефициент е нула (B \u003d 0, c \u003d 0)Коравното уравнение ще разгледа:
Това уравнение ще има едно решение. Равенството ще бъде правилно само когато уравнението е нула като разтвор.
Формулите на корените на квадратното уравнение. Разглеждат се случаи на валидни, множество и сложни корени. Разлагане на тристранни множители на квадрат. Геометрично тълкуване. Примери за определяне на корените и разграждането на мултипликатори.
Основни формули
Помислете за квадратно уравнение:
(1)
.
Корените квадратно уравнение (1) се определят чрез формули:
;
.
Тези формули могат да бъдат комбинирани като този:
.
Когато корените на квадратното уравнение са известни, полиномът от втора степен може да бъде представен като произведение на факторите (разлагане на мултипликатори):
.
След това вярваме, че - действителните числа.
Обмисли дискриминантно квадратно уравнение:
.
Ако дискриминацията е положителна, тогава квадратното уравнение (1) има два различни валидни корени:
;
.
Тогава разлагането на квадрат три намаляването на факторите има формата:
.
Ако дискриминацията е нула, тогава квадратното уравнение (1) има два многократни (равни) валиден корен:
.
Факторизиране:
.
Ако дискриминацията е отрицателна, тогава квадратното уравнение (1) има два изчерпателно конюгирания корен:
;
.
Тук - въображаема единица;
И - действителните и въображаеми части на корените:
;
.
Тогава
.
Графична интерпретация
Ако Build. функция за график
,
която е парабола, тогава точката на пресичане на графиката с оста ще бъде корени на уравнението
.
Когато графикът пресича ос абсциса (ос) в две точки.
Когато графиката се отнася до ос абсцисата в една точка.
Когато графикът не пресича ос абсцисата.
По-долу са примери за такива графики.
Полезни формули, свързани с квадратно уравнение
(F.1) ;
(F.2) ;
(F.3) .
Изхода на формулата за корените на квадратното уравнение
Извършваме трансформации и прилагаме формули (F.1) и (F.3):
,
Където
;
.
Така че имаме формула за полином от втора степен във формата:
.
Оттук може да се види, че уравнението
извършен в
и.
Това означава, че корените на квадратното уравнение са корени
.
Примери за определяне на корените на квадратното уравнение
Пример 1.
(1.1)
.
Решение
.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), ние намираме ценностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминантност:
.
Тъй като дискриминацията е положителна, уравнението има два валидни корени:
;
;
.
От тук получаваме разлагане на квадратни три залози на множители:
.
Функция на графика y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 Пресича ос от абсциса в две точки.
Изграждаме функционална графика
.
Графикът на тази функция е Parabola. Тя поставя Asccissa AXIS (ос) на две точки:
и.
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).
Отговор
;
;
.
Пример 2.
Намерете корените на квадратното уравнение:
(2.1)
.
Решение
Пишаме квадратното уравнение в обща форма:
.
Сравнявайки с първоначалното уравнение (2.1), ние намираме стойностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминантност:
.
Тъй като дискриминацията е нула, уравнението има два множествени (равни) корен:
;
.
Тогава разлагането на три решения за мултипликатори има формата:
.
Функционална графика y \u003d x 2 - 4 x + 4 Изисква ос от абсюса в една точка.
Изграждаме функционална графика
.
Графикът на тази функция е Parabola. Тя се отнася до ос абсциса (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен влиза в разширяването на множителите два пъти:
,
Този корен се нарича няколко. Смята се, че има два равни корени:
.
Отговор
;
.
Пример 3.
Намерете корените на квадратното уравнение:
(3.1)
.
Решение
Пишаме квадратното уравнение в обща форма:
(1)
.
Пренаписваме първоначалното уравнение (3.1):
.
Сравнете C (1), ние намираме стойностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминантност:
.
Дискриминацията е отрицателна. Следователно няма валидни корени.
Можете да намерите сложни корени:
;
;
.
Тогава
.
Функционалната графика не пресича оста на абсциса. Няма валидни корени.
Изграждаме функционална графика
.
Графикът на тази функция е Parabola. Тя не пресича ASCCISSA ос (ос). Следователно няма валидни корени.
Отговор
Няма валидни корени. Ряви са интегрирани:
;
;
.
С тази математическа програма можете решаване на квадратно уравнение.
Програмата не само дава задачата на отговор, но и показва процеса на решение по два начина:
- с помощта на дискриминантност
- използване на теоремата на Vieta (ако е възможно).
Освен това отговорът е точен, не е приблизително.
Например, за уравнението (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0), отговорът се извежда в този формуляр:
Тази програма може да бъде полезна за учениците от учениците от гимназията в подготовка за контролна работа и изпити, когато проверяват знанията пред изпита, родителите да контролират решаването на много проблеми в математиката и алгебрата. Или може би сте прекалено скъпи за наемане на преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите възможно най-скоро домашна работа в математика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.
По този начин можете да провеждате собствено обучение и / или обучение на по-малките си братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решени задачи се увеличава.
Ако не сте запознати с правилата за влизане в квадратна полинома, препоръчваме ви да се запознаете с тях.
Правила за въвеждане на квадратни полиномиални вход
Като променлива може да бъде всяка латинска буква.
Например: (X, Y, Z, A, B, C, O, P, Q) и др.
Числата могат да влязат цялостно или частично.
Освен това, фракционните числа могат да се прилагат не само под формата на десетична, но и под формата на обикновена фракция.
Правилата за въвеждане на десетични фракции.
При десетични фракции частичната част на цялото може да бъде разделена като точка и запетая.
Например, можете да влезете десетични фракции Така: 2.5x - 3.5x ^ 2
Правила за влизане на обикновени фракции.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от фракцията.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
Когато влизате в цифрова фракция, числителят се отделя от знаменателя към делената: /
Цялата част е отделена от Fraraty Ampersand Sign: &
Вход: 3 и 1/3 - 5 и 6 / 5Z + 1 / 7Z ^ 2
Резултат: (3 FRAC (1) (3) - 5 FRAC (6) (5) Z + RAC (1) (7) Z ^ 2)
При влизане в израза можете да използвате скоби. В този случай, когато решават квадратното уравнение, въведеният израз е първи опростен.
Например: 1/2 (Y - 1) (Y + 1) - (5Y-10 и 1/2)
Реши
Установено е, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не се зареждат, а програмата може да не работи.
Може да имате включен Adblock.
В този случай го изключете и актуализирайте страницата.
За да се появи решението, трябва да активирате JavaScript.
Ето инструкциите, как да активирате JavaScript в браузъра си.
Като Желаейки да решават задачата е много, заявката ви е в съответствие.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай Сек ...
Ако ти забеляза грешка в решаванетоМожете да пишете за него в формуляра за обратна връзка.
Не забравяй посочете каква задача Вие решавате и какво влезте в полето.
Нашите игри, пъзели, емулатори:
Малко теория.
Квадратно уравнение и корените му. Непълни квадратни уравнения
Всяко от уравненията
(- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, quad x ^ 2- frac (4) (9) \u003d 0)
Има външен вид
(AX ^ 2 + BX + C \u003d 0, \\ t
където x е променлива, a, b и c - номера.
При първото уравнение A \u003d -1, B \u003d 6 и C \u003d 1.4, във втория А \u003d 8, В \u003d -7 и С \u003d 0, в третия А \u003d 1, В \u003d 0 и С \u003d 4/9. Такива уравнения се наричат квадратни уравнения.
Определение.
Квадратно уравнение Уравнението на Axe Ax2 + BX + C \u003d 0, където X е променливата, А, В и С са някои числа, и (NEQ 0).
Числата А, В и С са коефициентите на квадратното уравнение. Броят А се нарича първият коефициент, числото Б е вторият коефициент и номер C - свободен член.
Във всяко от уравненията на формата AX 2 + BX + C \u003d 0, където (NEQ 0), най-голяма степен на променлива X - квадрат. Оттук и името: квадратно уравнение.
Обърнете внимание, че квадратното уравнение се нарича още уравнение на втората степен, тъй като лявата му част има полином от втора степен.
Квадратно уравнение, в което коефициентът при X 2 е 1, наречен дадено квадратно уравнение. Например, дадени квадратни уравнения са уравнения
(x ^ 2-11x + 30 \u003d 0, quad x ^ 2-6x \u003d 0, quad x ^ 2-8 \u003d 0)
Ако в квадратната уравнение AX2 + BX + C \u003d 0, поне един от коефициентите В или С е нула, тогава такова уравнение се нарича непълна квадратна уравнение. Така че, уравненията -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 са непълни квадратни уравнения. В първия от тях b \u003d 0, във втория c \u003d 0, в третия b \u003d 0 и c \u003d 0.
Непълните квадратни уравнения са три вида:
1) AX 2 + C \u003d 0, където (C \\ t NEQ 0);
2) AX 2 + BX \u003d 0, където (b] 0);
3) AX 2 \u003d 0.
Помислете за решаването на уравненията на всеки от тези видове.
За решаване на непълна квадратна уравнение на формата AX 2 + C \u003d 0, с (C), тя се прехвърля в свободния си член в дясната страна и прави двете части на уравнението на:
(x ^ 2 \u003d - frac (c) (а) дясно x_ (1,2) \u003d pm sqrt (- frac (c) (a)) \\ t
Тъй като (C] 0), след това (- FRAC (C) (a) neq 0)
IF (- frac (c) (а)\u003e 0), уравнението има два корени.
IF (- - FRAC (с) (а), за решаване на непълно квадратно уравнение на формата 2 + bx \u003d 0, с (b] 0), те намаляват лявата си част на множителите и получават уравнението
(X (ax + b) \u003d 0 Радницата е ляво (начало (масив) (l) x \u003d 0 ax + b \u003d 0 край (масив) дясно. \\ T (Array) (l) x \u003d 0 x \u003d - frac (b) (a) край (масив) \\ t
Така че, непълното квадратно уравнение на формата 2 + bx \u003d 0 с (b] New) винаги има два корена.
Непълна квадратна уравнение на формата 2 \u003d 0 е еквивалентна на уравнение x 2 \u003d 0 и следователно има единствения корен 0.
Коренна формула за уравнение
Помислете сега как се решават квадратните уравнения, в които и двата коефициента с неизвестен и свободен елемент са различни от нула.
Shofest Square уравнение като цяло и в резултат получаваме кореновата формула. След това тази формула може да се използва при решаване на всяко квадратно уравнение.
Resister Square уравнение AX 2 + BX + C \u003d 0
Отделяме двете части на него, ние получаваме еквивалента на представеното квадратно уравнение
(x ^ 2 + frac (b) (а) х + frac (c) (а) \u003d 0)
Ние трансформираме това уравнение, подчертавайки площада на отскочи:
(x ^ 2 + 2x cdot frac (b) (2a) + left (frac (b) (2a) вдясно) ^ 2- \\ t 2 + frac (c) (а) \u003d 0 дял)
Изявлението се нарича дискриминантно квадратно уравнение AX 2 + BX + C \u003d 0 ("дискриминантност" на латиница е различен). Той се обозначава с буквата D, т.е.
(D \u003d b ^ 2-4ac)
Сега, използвайки обозначението на дискриминацията, пренапишете формулата за корените на квадратното уравнение:
(X_ (1,2) \u003d frac (-b pm sqrt (d)) (2a)), където (d \u003d b ^ 2-4ac)
Очевидно е, че:
1) Ако D\u003e 0, квадратното уравнение има два корена.
2) Ако d \u003d 0, квадратното уравнение има един корен (x \u003d - frac (b) (2a)).
3) ако d е по този начин, в зависимост от дискриминантната стойност, квадратното уравнение може да има два корена (с d\u003e 0), един корен (при d \u003d 0) или да няма корени (с d, когато решават квадратното уравнение за Тази формула е препоръчително да се прилага по следния начин:
1) Изчислете дискриминацията и го сравнете с нула;
2) Ако дискриминацията е положителна или равна на нула, след това използвайте коренната формула, ако дискриминацията е отрицателна, след това напишете корените.
Vieta теорема
Представеното квадратно уравнение AX 2-7x + 10 \u003d 0 има корени 2 и 5. количеството на корените е 7 и продуктът е 10. Виждаме, че количеството на корените е равно на втория коефициент, взет с обратното знака и продуктът на корените е равен на свободен член. Такъв имот има някакво квадратно уравнение с корен.
Сумата от корените на представеното квадратна уравнение е равна на втория коефициент, взет с противоположния знак, а продуктът на корените е равен на свободен елемент.
Тези. Теоремата на Vieta твърди, че корените на x 1 и x 2 от даденото квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0 имат имот:
(отляво (начало (масив) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\ _ x_1 \u003d q край (масив) \\ t
Квадратно уравнение - просто е решено! * След това в текста "KU".Приятели на пръв поглед, това може да бъде по-лесно по математиката, отколкото решение на такова уравнение. Но нещо ми предложи, че мнозина имат проблеми с него. Реших да видя колко впечатления по заявка на месец дава yandex. Това се случи, виж:
Какво означава? Това означава, че около 70 000 души на месец търсят тази информация, какво е това лято и какво ще бъде сред тях учебна година - Исканията ще бъдат два пъти повече. Не е изненадващо, защото тези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за изпита, те търсят тази информация, а учениците се стремят да го освежат в паметта.
Въпреки факта, че има много сайтове, където е описано как да се реши това уравнение, реших да направя приноса си и да публикувам материала. Първо, искам да дойда на моя сайт за това искане и посетителите дойдоха на моя сайт; Второ, в други статии, когато речта на "KU" ще бъде позоваване на този член; Трето, ще ви разкажа за решението си малко повече, отколкото обикновено се намират на други сайтове. Baister!Съдържанието на статията:
Квадратното уравнение е уравнението на формуляра:
където коефициентите aб. и с произволни числа, с нещо a ≠ 0.
В училищния курс материалът е даден в следната форма - отделянето на уравнения в три класове е условно направено:
1. Имате два корена.
2. * Има само един корен.
3. Нямате корени. Струва си да се отбележи, че те нямат валидни корени
Как се изчисляват корените? Просто!
Изчисляване на дискриминацията. Под тази "ужасна" дума лежи доста проста формула:
Коренните формули имат следната форма:
* Тези формули трябва да знаят по сърце.
Можете веднага да пишете и да решите:
Пример:
1. Ако D\u003e 0, уравнението има два корена.
2. Ако D \u003d 0, уравнението има един корен.
3. ако D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Нека разгледаме уравнението:
По този повод, когато дискриминацията е нула, в училищния курс се казва, че един корен се оказва, тук е равно на девет. Точно така и има, но ...
Тази гледна точка е донякъде неправилна. Всъщност се получават два корена. Да, не се изненадвайте, се получават два равни корени и ако сте математически точни, тогава два корена трябва да бъдат записани в отговора:
x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3
Но това е толкова леко отстъпление. В училище може да пише и да каже, че коренът е един.
Сега следният пример е:
Както знаем - коренът на отрицателното число не е премахнат, така че в този случай няма решения.
Това е процесът на целия решения.
Квадратична функция.
Тук се показва как решението изглежда геометрично. Изключително важно е да се разбере (в бъдеще, в един от статиите, ние ще разглобим решението на квадратното неравенство в детайли).
Това е функцията на формуляра:
където x и y са променливи
a, B, C - зададени числа, с какво a ≠ 0
Графикът е Parabola:
Това означава, че решавайки на квадратното уравнение в "Y" равен на нула, намираме точката на пресичане на парабола с оста о. Тези точки могат да бъдат две (дискриминантни положителни), един (дискриминантност е нула), а не един (отрицателен дискриминант). Подробности O. квадратична функция можете да видите Inna feldman статия.
Помислете за примери:
Пример 1: Решете 2x. 2 +8 х.–192=0
a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192
D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600
Отговор: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12
* Възможно е незабавно лявото и дясно на уравнението да се раздели 2, т.е. да го опростят. Изчисленията ще бъдат по-лесни.
Пример 2: Реши x 2.–22 x + 121 \u003d 0
a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121
D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0
Получено, че x 1 \u003d 11 и x 2 \u003d 11
В отговор е допустимо за писане x \u003d 11.
Отговор: x \u003d 11
Пример 3: Реши x 2 -8x + 72 \u003d 0
a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72
D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224
Дискриминацията е отрицателна, няма решения по валидни номера.
Отговор: Няма решения
Дискриминацията е отрицателна. Решението е!
Тук ще бъде обсъдено за решаване на уравнението в случая, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за интегрираните числа? Няма да говоря подробно защо и къде са възникнали и каква е тяхната специфична роля и необходимостта от математика е темата за голяма отделна статия.
Концепцията за комплексен номер.
Малко теория.
Комплексният номер Z нарече броя на видовете
z \u003d a + bi
където a и b са валидни числа, аз - така наречената въображаема единица.
a + BI. - Това е един номер, а не допълнение.
Въображаемата единица е равна на корена на минус единици:
Сега разгледайте уравнението:
Получи два конюгатни корени.
Непълно квадратно уравнение.
Помислете за частни дела, това е, когато коефициентът "В" или "С" е нула (или и двете са нулеви). Те се решават лесно без никакви дискриминанти.
Случай 1. Коефициентът b \u003d 0.
Уравнението придобива формата:
Ние трансформираме:
Пример:
4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2
Случай 2. C \u003d 0 коефициент.
Уравнението придобива формата:
Ние се трансформираме, излагаме на множителите:
* Работата е нула, когато поне един от мултипликателите е нула.
Пример:
9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 или x-5 \u003d 0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5
Случай 3. Коефициентите b \u003d 0 и c \u003d 0.
Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде X \u003d 0.
Полезни свойства и модели на коефициенти.
Има свойства, които позволяват решаване на уравнения с големи коефициенти.
нох. 2 + bX.+ ° С.=0 Се извършва равенство
а. + б. + C \u003d 0,че
- ако за коефициентите на уравнението нох. 2 + bX.+ ° С.=0 Се извършва равенство
а. + C \u003d.б., че
Тези свойства помагат за решаването на определен вид уравнение.
Пример 1: 5001 х. 2 –4995 х. – 6=0
Сумата от коефициентите е 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, това означава
Пример 2: 2501 х. 2 +2507 х.+6=0
Се извършва равенство а. + C \u003d.б., Така
Закони на коефициентите.
1. Ако в Ax2 + BX + C \u003d 0 уравнение коефициентът "В" е равен на (2 + 1), а коефициентът "С" е числено равен на коефициента "А", неговите корени са равни
aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.
Пример. Помислете за уравнение 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.
x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.
2. Ако в AX 2 - BX + C \u003d 0 уравнението, коефициентът "В" е равен на (и 2 +1) и коефициентът "С" е числено равен на коефициента "А", неговите корени са равни
aX 2 - (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.
Пример. Помислете за уравнение 15x 2 -226x +15 \u003d 0.
x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.
3. Ако в уравнениетоaX 2 + BX - C \u003d 0 Коефициентът "Б" равен (2 - 1) и коефициентът "С" числено равен на коефициента "А", тогава корените му са равни
aX 2 + (A 2 -1) ∙ x - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.
Пример. Помислете за уравнение 17x 2 + 288X - 17 \u003d 0.
x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.
4. Ако в AX 2 - BX - C \u003d 0 уравнението, коефициентът "В" е равен на (2 - 1), а коефициентът е числено равен на коефициента на "А", неговите корени са равни
aX 2 - (A 2 -1) ∙ x - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.
Пример. Помислете за уравнение 10x 2 - 99x -10 \u003d 0.
x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10
Vieta теорема.
Теоремата на Виета се нарича от името на известната френска математика Франсоа Вата. Използвайки теоремата на Vieta, можете да изразявате количеството и продукта на корените на произволно KU чрез нейните коефициенти.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
В обобщение, числото 14 се дава само 5 и 9. Това са корените. С определено умение, използвайки теоремата, представена от много квадратни уравнения, можете да решите дали да дойдете устно.
Vieta теорема, освен това. Той е удобен, защото след решаването на квадратното уравнение по обичайния начин (чрез дискриминантно), получените корени могат да бъдат проверени. Препоръчвам ви да го правите винаги.
Метод на преминаване
В този метод коефициентът "А" се умножава от свободен член, сякаш "се движи" към него, така че се нарича метода на "транзит".Този метод се използва, когато можете лесно да намерите корените на уравнението, като използвате теоремата Vieta и най-важното, когато дискриминацията е точен квадрат.
Ако но± b + C.≠ 0, тогава приемането се използва например:
2х. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => х. 2 – 11x +.10 = 0 (2)
От теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че X 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1
Получените корени на уравнението трябва да бъдат разделени на 2 (както два пъти от x 2 "е преместена), ние получаваме
x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.
Каква е оправданието? Виж какво се случва.
Уравнения на дискриминанти (1) и (2) са равни: \\ t
Ако погледнете корените на уравненията, се получават само различни знаменатели и резултатът зависи от коефициента на x 2:
Вторият (модифициран) корените се получават 2 пъти повече.
Следователно, резултатът и разделянето с 2.
* Ако хвърлим пътуване, тогава резултатът е разделен с 3 и т.н.
Отговор: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5
Кв.м. Ur-ye и ege.
Ще кажа за неговата важност за кратко - трябва да можете да решавате бързо и без да мислите, формулите на корените и дискриминацията трябва да знаете на сърцето си. Много задачи, включени в задачите на употребата, се намаляват до решаване на квадратно уравнение (геометрично, включително).
Какво да празнуваме!
1. Формата на записване на уравнение може да бъде "имплицитно". Например, този запис е възможен:
15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 или 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 или 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.
Трябва да го донесете в стандартната форма (така че да не се обърка при решаване).
2. Не забравяйте, че X е неизвестна стойност и може да бъде обозначена с всяка друга буква - t, q, p, h и други.
"Това е уравненията от първа степен. В този урок ще анализираме какво се нарича квадратно уравнение И как да го решите.
Какво се нарича квадратно уравнение
Важно!
Степента на уравнение се определя от най-голяма степен, в която е неизвестен.
Ако максималната степен, в която неизвестното е "2", това означава, че сте квадратно уравнение.
Примери за квадратни уравнения
- 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
- -X 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0.25x \u003d 0
- x 2 - 8 \u003d 0
Важно! Общото изглед на квадратното уравнение изглежда така:
A x 2 + b x + c \u003d 0
"А", "Б" и "С".- "А" е първият или старши коефициент;
- "Б" - вторият коефициент;
- "C" е свободен член.
За да намерите "A", "B" и "C" трябва да сравните уравнението си с общ изглед на квадратното уравнение "AX 2 + BX + C \u003d 0".
Нека се погрижим за определянето на коефициентите "А", "Б" и "С" в квадратни уравнения.
| Уравнението | Фактори | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a \u003d -1.
- b \u003d 1.
- c \u003d.
1 3
- a \u003d 1.
- b \u003d 0.25.
- c \u003d 0.
- a \u003d 1.
- b \u003d 0.
- c \u003d -8.
Как да решават квадратни уравнения
За разлика от линейните уравнения за решаване на квадратни уравнения, специален формула за намиране на корените.
Помня!
За да решите квадратното уравнение, от което имате нужда:
- създайте квадратно уравнение общо изглед "AX 2 + BX + C \u003d 0". \\ T Това е, само "0" трябва да остане в дясната част;
- използвайте горната формула:
Нека да анализираме примера, как да приложим формулата за намиране на корените на квадратното уравнение. Нека квадратното уравнение.
X 2 - 3x - 4 \u003d 0
Уравнението "x 2 - 3x - 4 \u003d 0" вече се дава на общия вид на "AX 2 + BX + C \u003d 0" и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешите, имаме достатъчно, за да кандидатстваме формулата за намиране на корените на квадратното уравнение.
Ние определяме коефициентите "А", "Б" и "С" за това уравнение.
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
С него се решава всяко квадратно уравнение.
Във формулата "X 1; 2 \u003d" често замества направляваното изразяване
"B 2 - 4AC" на буквата "D" и се нарича дискриминантна. Концепцията за дискриминация се разглежда по-подробно в урока "какво е дискриминантно".
Помислете за друг пример за квадратно уравнение.
x 2 + 9 + x \u003d 7x
В тази форма определят коефициентите "А", "Б" и "С" е доста трудно. Нека първо да дадем уравнението на генерал тип "AX 2 + BX + C \u003d 0".
X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0
Сега можете да използвате коренната формула.
X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.
| 6 |
| 2 |
x \u003d 3.
Отговор: x \u003d 3
Има случаи, когато няма корени в квадратни уравнения. Тази ситуация възниква, когато отрицателното число е под корена.
