Концепцията за цифрова последователност предполага кореспонденция на всеки естествен брой на някаква валидна стойност. Такъв брой числа могат да бъдат и произволни и да притежават определени свойства - прогресия. В последен случай Всеки следващ елемент (член) на последователността може да бъде изчислен с предишния.

Аритметична прогресия - последователността на числени стойности, в които съседните му членове се различават един по един и същ номер (всички елементи на поредицата, започващи от 2-ри) притежават имота. Този номер е разликата между предишния и последващия член - постоянно и се нарича разлика в прогресията.

Разлика на прогресията: определение

Помислете за последователност, състояща се от J стойности A \u003d A (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към комплекта естествени числа N. Аритметична прогресия, съгласно нейната дефиниция, е последователност, в която А (3) - А (2) \u003d А (4) - А (3) \u003d А (5) - А (4) \u003d ... \u003d a (J) - a (J-1) \u003d d. Стойността на D е желаната разлика в тази прогресия.

d \u003d A (J) - A (J-1).

Разпределяйте:

• Увеличаване на прогресията, в този случай d\u003e 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Намаляване на прогресията, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Разликата в прогресията и нейните произволни елементи

Ако има 2 произволен член на прогресията (I-Th, Kh), тогава разликата за тази последователност може да се основава на връзката:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, означава d \u003d (a (i) - a (k)) / (i - к).

Разликата в прогресията и нейния първи член

Този израз ще спомогне за определяне на неизвестната стойност само в случаите, когато е известен номерът на елемента на последователността.

Разликата в прогресията и нейната сума

Размерът на прогресията е сумата на нейните членове. За да се изчисли общата стойност на първите й елементи, използвайте подходящата формула:

S (J) \u003d ((a (1) + a, j)) / 2) * j, но защото a (j) \u003d a (1) + d (J - 1), след това s (j) \u003d (((a (1) + a (1) + d (J - 1)) / 2) * j \u003d ((((((). \\ t 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Да, да: аритметичната прогресия не е играта ви :)

Е, приятели, ако прочетете този текст, тогава вътрешната капачка очевидна ми казва, че все още не знаете каква аритметична прогресия е, но много (не, такава: oooooo!) Искате да знаете. Ето защо, няма да ви тормозят и незабавно да отида в случая.

За да започна няколко примера. Обмислете няколко комплекта числа:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• SQRT (2); \\ t ... $

Какво е общо за всички тези комплекти? На пръв поглед - нищо. Но всъщност нещо е. А именно: всеки следващ елемент се различава от предишния и един и същ номер..

Съдете за себе си. Първият комплект просто отива в ред от номера, всеки друг е по-голям от предишния. Във втория случай разликата между близките числа вече е равна на пет, но тази разлика е все още постоянна. В третия случай, обикновено корени. Въпреки това, $ 2 sqrt (2) \u003d sqrt (2) + sqrt (2) $, и $ 3 sqrt (2) \u003d 2 sqrt (2) + sqrt (2) $, т.е. И в този случай всеки следващ елемент просто увеличава $ \\ t (2) $ (и нека не плаши, че този брой е ирационален).

Така че: всички такива последователности се наричат \u200b\u200bпросто аритметични прогресии. Нека дадем строга дефиниция:

Определение. Последователността на числата, в която всяка следваща функции се различават от предишната и същата стойност, се нарича аритметична прогресия. Размерът на броя е различен, се нарича разлика в прогресията и най-често се посочва от буквата $ d $.

Означаване: $ лява (((а) _ (n)) вдясно) $ - самата прогресия, $ d $ е нейната разлика.

И веднага няколко важни коментара. Първо, напредъкът се разглежда само . \\ t Последователността на числата: те могат да четат стриктно в реда, в който са записани - и по какъвто и да е начин. Невъзможно е да се пренареди и променя броя на номерата.

Второ, самата последователност може да бъде едновременно крайна и безкрайна. Например, комплектът (1; 2; 3) очевидно е последната аритметична прогресия. Но ако напишете нещо в духа (1; 2; 3; 4; ...) - Това е безкрайна прогресия. След четвъртата, след четвъртата, както и тя намеква, тогава все още има доста числа. Безкрайно много, например. :)

Също така бих искал да отбележа, че прогресията нараства и намалява. Вече видяхме увеличаването - същия комплект (1; 2; 3; 4; ...). Но примери за низходяща прогресия:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• Sqrt (5); sqrt (5) -1; sqrt (5) -3; ... $

ДОБРЕ ДОБРЕ: последния пример Може да изглежда твърде сложно. Но останалото, мисля, че сте разбираеми. Ето защо въвеждаме нови определения:

Определение. Аритметичната прогресия се нарича:

1. увеличаване, ако всеки следващ елемент е по-голям от предишния;
2. низходящ, ако, напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

В допълнение, има така наречени "стационарни" последователности - те се състоят от същия повтарящ се число. Например (3; 3; 3; ...).

Има само един въпрос: как да разграничим нарастващата прогресия от намаляване? За щастие, всичко зависи от това какъв е знакът на числото $ d $, т.е. Разлика на прогресията:

1. Ако $ d gt 0 $, тогава прогресията се увеличава;
2. Ако $ d 0 $, тогава прогресията очевидно намалява;
3. И накрая, има случай от $ d \u003d 0 $ - в този случай, цялата прогресия се намалява до стационарната последователност на същите числа: (1; 1; 1; 1; ...) и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата от $ d $ за трима намаляващи напредъка, дадени по-горе. За да направите това, е достатъчно да се вземат две съседни елементи (например първото и второто) и извадете отдясно, номерите. Ще изглежда така:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ Sqrt (5) -1- \\ t sqrt (5) \u003d - 1 $.

Както можете да видите, във всичките три случая разликата наистина се оказа отрицателна. И сега, когато ние повече или по-малко измислихме дефиниции, е време да се справим с това как е описано прогресията и какви свойства имат.

Прогресия и повтаряща се формула

Тъй като елементите на нашите последователности не могат да бъдат променяни на места, те могат да бъдат номерирани:

[ляво (((а) _ (n))) дясно) \u003d оставено (((а) _ (1)), (а) _ (2)), ((а) _ (3) \\ t )), ... \\ t

Отделни елементи от този набор се наричат \u200b\u200bчленове на прогресията. Те ги посочват с помощта на номера: първият пишка, вторият термин и др.

Освен това, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани с формулата:

[(а) _ (n)) - (а) _ (n - 1)) \u003d d дял ((а) _ (n)) \u003d ((а) _ (n - 1)) + d \\]

Накратко, за да намерите $ n $ -D член на прогресията, трябва да знаете $ n-1 $-този член и разликата $ d $. Такава формула се нарича повтаряща се, тъй като може да се използва за намиране на произволен брой, само знаейки предишния (и всъщност - всички предишни). Това е много неудобно, следователно има повече хитър формула, която намалява всички изчисления към първия член и разликата:

[(а) _ (n)) \u003d ((а) _ (1)) + наляво (n-1 вдясно) d \\ t

Със сигурност вече сте се срещали с тази формула. Тя обича да дава във всички директории и решебних. Да, и във всеки обяснителен учебник по математика, тя отива един от първите.

Въпреки това предлагам малко напрежение.

Номер 1. Гарантират първите трима членове на аритметичната прогресия от $ лява (((а) _ (n)) вдясно) $, ако $ ((а) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Решение. Така че, ние знаем първия термин (а) _ (1)) \u003d $ 8 и разликата в прогресията от $ d \u003d -5 $. Ние използваме само получената формула и заместител $ n \u003d 1 $, $ n \u003d $ 2 и $ n \u003d $ 3:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n)) \u003d ((а) _ (1)) + оставено (n-1 вдясно) d; ((a) _ (1)) \u003d ((а) _ (1)) + остава (1-1 дясно) d \u003d (((а) _ (1)) \u003d 8; ((a) _ (2)) \u003d ((а) _ (1) +, ляво (2-1 дясно) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; & (a) _ (3)) \u003d ((а) _ (1)) + остава (3-1 дясно) d \u003d (((а) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. End (Elevel) \\ t

Отговор: (8; 3; -2)

Това е всичко! Моля, обърнете внимание: Нашата прогресия се спуска.

Разбира се, $ n \u003d 1 $ не може да бъде заменен - \u200b\u200bпървият член, който сме известни също. Въпреки това, замествайки уреда, бяхме убедени, че дори и за първия член, нашата формула работи. В други случаи всичко е доведено до банална аритметика.

Номер 2. Напишете първите трима членове на аритметичната прогресия, ако нейният седмия член е -40 и седемнадесетият член е -50.

Решение. Ние пишем състоянието на задачата в обичайните условия:

[(а) _ (7)) \u003d - 40; quad ((а) _ (17)) \u003d - 50. \\ t

[вляво (в съответствие) и ((а) _ (7)) \u003d ((а) _ (1)) + 6D \\ t ((a) _ (17)) \u003d (а) _ (1)) + 16D (подравняване). \\ T

[вляво (adown) & ((a) _ (1)) + 6D \u003d -40 \\ t ((а) _ (1)) + 16d \u003d -50 край (подравняване) Право. \\ T

Зададох системния знак, защото тези изисквания трябва да се извършват едновременно. И сега отбелязваме, ако първото приспадане на първото уравнение (имаме право да го направим, защото имаме система), получаваме това:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (1)) + 16D-, ляво (((а) _ (1)) + 6D вдясно) \u003d - 50-, оставено (-40 дясно); ((a) _ (1)) + 16d - ((а) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; & 10d \u003d -10; & d \u003d -1. End (Elevel) \\ t

Това е толкова просто, ние открихме разликата в прогресията! Остава да замени намерения номер на някоя от системните уравнения. Например, в първия:

[начало ((matrix) ((а) _ (1)) + 6D \u003d -40; quad d \u003d -1 закъснение \\ t ((а) _ (1)) - 6 \u003d -40; ((а) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. End (matrix)]

Сега, познаването на първия член и разликата, остава да се намери втория и третия пишка:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (2)) \u003d ((а) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; ((a) _ (3)) \u003d ((а) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. End (Elevel) \\ t

Готов! Задачата е решена.

Отговор: (-34; -35; -36)

Обърнете внимание на любопитното имущество на прогресията, която открихме: ако вземете $ n $ и $ m $--членовете и ги извадите един от друг, тогава ще получим разликата в прогресията, умножена по $ n-m $

[(а) _ (n)) - (а) _ (m)) \u003d d cdot ляво (n-m дясно) \\ t

Просто, но много полезен имотТова трябва да знаете - с него можете значително да ускорите решаването на много проблеми на напредъка. Ето ярък пример:

Номер 3. Петият срок на аритметичната прогресия е 8.4, а десетият му член е 14.4. Намери петнадесета член на тази прогресия.

Решение. Тъй като $ (а) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4 и трябва да намерите $ ((а) _ (15)) $, след това отбележете следното:

[започнете (в съответствие) и ((а) _ (15)) - ((а) _ (10)) \u003d 5D; ((a) _ (10)) - ((а) _ (5)) \u003d 5d. End (Elevel) \\ t

Но чрез условие $ (a) _ (10)) - (а) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d $ 6, следователно $ 5D \u003d $ 6, откъдето имаме:

[започнете (в съответствие) и (а) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; & ((а) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20.4. End (Elevel) \\ t

Отговор: 20.4.

Това е всичко! Не е нужно да сме някои системи на уравнения и да разгледаме първия член и разликата - всичко е решило буквално в няколко линии.

Сега разгледайте друг вид задача - да намерите отрицателни и положителни членове на прогресията. Не е тайна, че ако прогресията се увеличи, с нейния първи член на негативния й, после рано или късно ще има положителни членове. Почти: членовете на намаляващата прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

В същото време не винаги е възможно да добавите този момент "в челото", последователно завъртане на елементите. Често задачите са проектирани така, че да има няколко листа, без да знаят формулите - просто ще заспим, докато намериха отговора. Затова нека се опитаме да решим тези задачи по по-бърз начин.

Номер 4. Колко отрицателни членове в аритметичната прогресия е -38.5; -35.8; ...?

Решение. Така $ ((а) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((а) _ (2)) \u003d - $ 35.8, където веднага намираме разлика:

Имайте предвид, че разликата е положителна, затова прогресията се увеличава. Първият член е отрицателен, така че наистина в някакъв момент ще пречи на положителните числа. Единственият въпрос е, когато се случва.

Нека се опитаме да разберем: колко време (т.е. до какъв вид естествен брой $ n $), негативността на членовете е запазена:

[Започнете (подравнете) и ((а) _ (n))) ipe 0 адвокат (а) _ (1)) + оставени (n-1 вдясно) d lt 0; Ich & -38,5+ ляво (n-1 дясно) cdot 2.7 LT 0; Ccot 10 право. CDOT лява (N-1 дясно) LT 0; & -385 + 27N-27 LT 0; 412; 15, FRAC (7) (27) дял ((N) _ (макс)) \u003d 15. End (Elevel) \\ t

Последният ред изисква обяснение. Така че, ние знаем, че $ n 15 \\ t (7) (27) $. От друга страна, ние ще симулираме само целочислените стойности на номера (повече от: $ n в $), така че най-големият допустим брой е точно $ n \u003d $ 15, и в никакъв случай 16.

Номер 5. В аритметичната прогресия от $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Намерете първия положителен член на тази прогресия.

Това би било точно същата задача като предишната, но ние не знаем $ (a) _ (1)) $. Но съседните членове са известни: $ (а) _ (5)) $ и $ ((а) _ (6)) $, така че лесно ще намерим разликата в прогресията:

В допълнение, нека се опитаме да изразим петата пишка през първата и разликата в съответствие със стандартната формула:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n)) \u003d ((а) _ (1)) + оставено (n-1 дясно) ccot d; ((a) _ (5)) \u003d ((а) _ (1)) + 4D; ((A) _ (1)) + 4 ccot 3; ((а) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. End (Elevel) \\ t

Сега ние правим по аналогия с предишната задача. Разбираме в каква точка в нашата последователност ще има положителни числа:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n)) \u003d - 162 + ляво (n-1 дясно) ccot 3 gt 0; & -162 + 3N-3 GT 0; 165; 45 Радница (n) _ (min)) \u003d 56. End (Elevel) \\ t

Минималното цяло число на това неравенство е номер 56.

Моля, обърнете внимание: В последната задача всичко е било осветено до строго неравенство, така че опцията $ n \u003d $ 55 няма да ни подхожда.

Сега, когато се научихме как да решаваме прости задачи, се обръщаме към по-сложни. Но първо, нека изучаваме още един много полезен имот от аритметични прогресии, които в бъдеще ще ни спаси купчина време и неравномерни клетки. :)

Средна аритметична и еднаква тире

Обмислете няколко последователни членове на нарастващата аритметична прогресия от $ лява ((а) _ (n)) вдясно) $. Нека се опитаме да ги маркираме на числов прав:

Членове на аритметична прогресия по цифров пряк

Специално отбелязах произволни членове $ (a) _ (n-3)), ..., ((а) _ (n + 3)) $, а не някои $ (a) _ (1)), \\ t (а) _ (2)), (а) _ (3)) $ и т.н. Защото правилото, което ще кажа сега, тя работи еднакво за всеки "сегменти".

И правилото е много просто. Нека помним формулата за рецидив и да я напиша на всички маркирани членове:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n-2)) \u003d ((а) _ (n-3)) + d; ((a) _ (n - 1)) \u003d ((а) _ (n-2)) + d; ((a) _ (n)) \u003d ((а) _ (n - 1)) + d; & (a) _ (n + 1)) \u003d ((а) _ (n)) + d; & (a) _ (n + 2)) \u003d ((а) _ (п + 1) + d; End (Elevel) \\ t

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n - 1)) \u003d ((а) _ (n)) - D; ((a) _ (n-2)) \u003d ((а) _ (n)) - 2D; & (a) _ (n-3)) \u003d ((а) _ (n)) - 3D; & (a) _ (n + 1)) \u003d ((а) _ (n)) + d; ((a) _ (n + 2)) \u003d ((а) _ (n)) + 2d; & (a) _ (n + 3)) \u003d ((а) _ (n)) + 3D; End (Elevel) \\ t

Е, какво? И факта, че членове $ (а) _ (n - 1)) $ и $ ((а) _ (n + 1)) $ лежа на същото разстояние от $ (a) _ (n)) $. И това разстояние е $ d $. Същото може да се каже за членовете на $ (a) _ (n - 2)) $ и $ ((а) _ (n + 2)) $ - те също са премахнати от $ (a) _ (n )) $ На същото разстояние, равно на $ 2D $. Можете да продължите до безкрайност, но точката е добре илюстрирана от картината

Членове на прогресията лежат на същото разстояние от центъра

Какво означава това за нас? Това означава, че можете да намерите $ (а) _ (n)) $, ако съседите са известни:

[(а) _ (n)) \u003d frac (((а) _ (n - 1)) + ((а) _ (n + 1))) (2) \\ t

Донесохме голямо одобрение: всеки член на аритметичната прогресия е равен на средните аритметични съседни членове! Освен това: можем да се оттеглим от нашите $ (a) _ (n)) отляво и надясно не една стъпка, а на $ k $ стъпки - и все пак формулата ще бъде правилна:

[(a) _ (n)) \u003d frac (((а) _ (n - k)) + ((а) _ (п + к))) (2) \\ t

Тези. Можем безопасно да намерим някои $ (а) _ (150)) $, ако знаем $ ((а) _ (100)) $ и $ ((а) _ (200)) $, защото $ ((а) _ (150)) \u003d FRAC (((а) _ (100)) + ((а) _ (200))) (2) $. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много задачи са конкретно "заострени", за да се използва средната аритметика. Погледни:

Номер 6. Намерете всички стойности от $ x $, при които числата $ -6 (x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ и $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ са последователни членове на аритметичната прогресия (в определени).

Решение. Тъй като тези цифри са членове на прогресията, се извършва състоянието на средната аритметика за тях: централният елемент $ x + 1 $ може да бъде изразен чрез съседни елементи:

[започнете (подравнете) и x + 1 \u003d frac (-6 (((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); & x + 1 \u003d frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. End (Elevel) \\ t

Оказа се класически квадратно уравнение. Корените му: $ x \u003d $ 2 и $ x \u003d -3 $ - това са отговорите.

Отговор: -3; 2.

Номер 7. Намерете стойността $ $, на която $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ представляват аритметична прогресия (в посочения ред).

Решение. Отново изразяваме средния член чрез средната аритметична стойност на съседните членове:

[започнете (подравнете) и 4x-3 \u003d frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); & 4x-3 \u003d frac (((x) ^ (2)) + x) (2); quad \\ t Ccot 2 надясно.; & 8х-6 \u003d ((x) ^ (2)) + х; ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. End (Elevel) \\ t

Отново квадратното уравнение. И отново два корена: $ x \u003d $ 6 и $ x \u003d 1 $.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на проблема имате някои брутални числа, или не сте напълно уверени в коректността на намерените отговори, т.е. чудесна техника, която ви позволява да проверите: решавате ли задачата?

Да предположим, че в номера на задача 6 получихме отговори -3 и 2. Как да проверим дали тези отговори са правилни? Нека просто ги заменим в първоначалното състояние и да видим какво се случва. Позволете ми да ви напомня, че имаме три числа ($ -6 ((() (2)) $, $ + 1 $ и $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), което трябва да бъде аритметична прогресия. Заменете $ x \u003d -3 $:

[Започнете (подравнете) и X \u003d -3 дясното радността (x) ^ (2)) \u003d - 54; & x + 1 \u003d -2; & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. Край (подравняване) \\ t

Получени номера -54; -2; 50, които се различават в 52 - без съмнение, това е аритметична прогресия. Същото се случва и при $ x \u003d $ 2:

[започнете (подравнете) и x \u003d 2 дясното радство (x) ^ (2)) \u003d - 24; & x + 1 \u003d 3; & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. Край (подравняване) \\ t

Отново прогресията, но с разлика 27. Така задачата е решена вярна. Тези, които желаят, могат да проверят втората задача сама, но веднага ще кажа: всичко е вярно.

Като цяло, решаването на най-новите задачи, ние се натъкнахме на друг интересен фактКой също трябва да запомни:

Ако трите номера са такива, че второто е средната аритметика първо и последно, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това изявление ще ни позволи буквално "проектиране" на необходимите прогресии, основани на състоянието на проблема. Но преди да се справим с такъв "дизайн", трябва да обърнете внимание на друг факт, който директно следва от вече разгледаните.

Групиране и количество елементи

Нека се върнем към числената ос. Отбелязваме, че няколко членове на прогресията, между които, евентуално. Има много други членове:

6 елемента са маркирани на цифрово право

Нека се опитаме да изразим "лявата опашка" чрез $ ((a) _ (n)) $ и $ d $, и "дясната опашка" през $ ((а) _ (k)) $ и $ d $. Много е просто:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n + 1)) \u003d ((а) _ (n)) + d; ((a) _ (n + 2)) \u003d ((а) _ (n)) + 2d; & (a) _ (k - 1)) \u003d ((а) _ (k)) - D; ((a) _ (К-2)) \u003d ((а) _ (k)) - 2г. End (Elevel) \\ t

И сега отбелязваме, че следните суми са равни:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (n)) + ((а) _ (k)) \u003d s; ((а) _ (n + 1)) + ((а) _ (k - 1)) \u003d ((а) _ (n)) + d + ((а) _ (k)) - d \u003d S; ((a) _ (n + 2)) + ((а) _ (k-2)) \u003d ((а) _ (n)) + 2d + ((а) _ (k)) - 2D \u003d S. Край (подравняване) \\ t

Просто поставени, ако разгледаме двата елемента на прогресия като начален старт, който в сумата е равен на всеки номер $ s $ и след това започват да ходят от тези елементи в противоположните страни (един към друг или обратно за заличаване), \\ t тогава количествата елементи, които ще препънем, също ще бъдат равни $ S $. Най-ясно могат да бъдат представени графично:

Същото тире дават равни количества.

Разбиране от този факт Позволете ни да решаваме проблемите по принцип повече високо ниво трудности, отколкото тези, които считахме по-горе. Например, такова:

Номер 8. Определете разликата в аритметичната прогресия, в която първият термин е 66, а работата на втория и дванадесетия членове е възможно най-малка.

Решение. Пишем всичко, което знаем:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (1)) \u003d 66; & D \u003d? (а) _ (2)) ccot ((а) _ (12)) \u003d мин. Край (подравняване) \\ t

Така че, ние сме неизвестни разликата в развитието на $ d $. Всъщност, около разликата и ще бъде изградена цялото решение, тъй като продуктът е $ ((а) _ (2)) ccot (а) _ (12)) $ може да пренапише, както следва:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (2)) \u003d ((а) _ (1)) + d \u003d 66 + d; ((a) _ (12)) \u003d ((а) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; & ((a) _ (2)) ccot ((а) _ (12)) \u003d лява (66 + d) cdot ляво (66 + 11d) \u003d \\ t Cdot ляво (d + 66 дясно) cdot ляво (d + 6 вдясно). Край (подравняване) \\ t

За тези, които са в резервоара: извърших общ множител от 11 от втората скоба. По този начин, желаният продукт е квадратична функция спрямо $ d $ променлива. Ето защо считаме функцията $ f, ляво (d) \u003d 11, ляво (D + 66 дясно), ляво (D + 6 вдясно) $ - графикът му ще бъде Parabola клони, защото Ако разкриете скобите, тогава ще получим:

[започнете) & f left (d) \u003d 11 наляво ((d) ^ (2)) + 66D + 6D + 66 cdot 6 надясно) \u003d \\ t d) ^ (2)) + 11 cdot 72D + 11 cdot 66 cdot 6 край (подравняване) \\ t

Както можем да видим, коефициентът с висшите термини е равен на 11 - това е положително число, така че наистина се занимава с парабола нагоре:

График квадратична функция - Parabola

Моля, обърнете внимание: Минималната стойност на тази PARABOLA е в гордеята си с абсциса $ (d) _ (0)) $. Разбира се, можем да изчислим тази абсциса според стандартната схема (има формула $ (d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a); $), но много чудесно ще забележи, че желаното нагоре лежи на оста симетрията на парабола, затова точката $ (d) _ (0)) $ е равна на корените на уравнението $ f, ляво (d] \u003d 0 $:

[започнете (подравнете) & f оставете (d) \u003d 0; CDOT лява (D + 66) CDOT лява (D + 6 дясно) \u003d 0; ((d) _ (1)) \u003d - 66; quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. End (Elevel) \\ t

Ето защо не бързах да разкривам скобите: в оригиналната форма корените бяха много и много прости. Следователно абсцисата е равна на средната стойност аритметични номера -66 и -6:

[((d) _ (0)) \u003d frac (-66-6) (2) \u003d - 36]

Какво ни дава открит номер? С него необходимата работа отнема най-малката стойност (ние, между другото, не считахме $ (y) _ (мин)) $ - не се изисква от нас). В същото време този брой е разликата в първоначалната прогресия, т.е. Намерихме отговора. :)

Отговор: -36.

Номер 9. Между числата $ - frac (1) (2) $ и $ - frac (1) (6) $ вмъкнете три числа, така че да ги направят аритметична прогресия заедно с тези числа.

Решение. По същество трябва да направим поредица от пет числа, а първият и последният номер вече е известен. Означава липсващия брой променливи $ x $, $ y $ и $ z $:

[ляво (((а) _ (n))) дясно) \u003d оставено (- frac (1) (2); x; y; z; - frac (1) (6) дясно \\ t )

Трябва да се отбележи, че числото $ y $ е "средна" на нашата последователност - това е равнодушно и от числа $ x $ и $ z $, и от числа $ - frac (1) (2) $ и $ - Frac (1) (6) $. И ако от числа $ x $ и $ z $ сме този момент Не можем да получим $ y $, а след това с краищата на прогресията, ситуацията е различна. Спомняме си за средното за аритметиката:

Сега, знаейки $ y $, ще намерим останалите числа. Обърнете внимание, че $ x $ lies между числата $ - frac (1) (2) (2) $ и намерената $ y \u003d - frac (1) (3) $ е намерен. Следователно

По същия начин, спорейки, намираме оставащия номер:

Готов! Намерихме и трите числа. Пишем ги в отговор в реда, в който трябва да бъдат вмъкнати между първоначалните номера.

Отговор: $ - FRAC (5) (12); \\ t- \\ t (1) (3); \\ t

Номер 10. Между числа 2 и 42, поставете няколко номера, които заедно с тези числа образуват аритметична прогресия, ако е известно, че сумата от първия, втория и последният от вмъкнатата числа е 56.

Решение. Още по-трудна задача, която обаче се решава със същата схема като предишните - чрез средноаритметичната средна стойност. Проблемът е, че не сме известни колко конкретно трябва да бъдат поставени числа. Ето защо, поставихме за дефиницията, че след вмъкването ще има точно $ n $ номера, а първият е 2, а последният - 42. В този случай търсенето на аритметична прогресия е представена във формата:

[ляво ((а) _ (n))) дясно) \u003d оставено (2; (а) _ (2)); (а) _ (3)); ...; ((((((). а) _ (n - 1)); 42 дясно) \\ t

[(а) _ (2)) + (а) _ (3)) + ((а) _ (n - 1)) \u003d 56]

Забележете обаче, че числата $ (a) _ (2)) $ и $ ((а) _ (n - 1)) се получават от ръбовете на числа 2 и 42 с една стъпка един към друг, т.е. . Към центъра за последователност. И това означава, че

[(а) _ (2)) + ((а) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44]

Но тогава изразът, записан по-горе, може да бъде пренаписан така:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (2)) + ((а) _ (3)) + ((а) _ (n - 1)) \u003d 56; ляво (((а) _ (2)) + ((а) _ (n - 1)) право) + ((а) _ (3)) \u003d 56; & 44 ((а) _ (3)) \u003d 56; ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. End (Elevel) \\ t

Знаейки $ (а) _ (3)) $ и $ ((а) _ (1)) $, ние лесно ще намерим разликата в прогресията:

[начало) и ((а) _ (3)) - ((а) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; ((a) _ (3)) - (а) _ (1)) \u003d оставено (3-1 дясно) ccot d \u200b\u200b\u003d 2D; 10d \u003d 10 дял d \u003d 5. End (Elevel) \\ t

Остава само да се намерят други членове:

[започнете (подравнете) и ((а) _ (1)) \u003d 2; & (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; ((a) _ (3)) \u003d 12; & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 cdot 5 \u003d 17; ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 cdot 5 \u003d 22; & (a) _ (6)) \u003d 2 + 5 cdot 5 \u003d 27; & (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 cdot 5 \u003d 32; & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 cdot 5 \u003d 37; ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 cdot 5 \u003d 42; End (Elevel) \\ t

Така, вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на последователността - числото 42. Беше необходимо да се вмъкнат само 7 номера: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Текстови задачи с прогресия

В заключение бих искал да помисля за една двойка прости задачи. Е, толкова просто: за повечето ученици, които изследват математиката в училище и не са прочели какво е написано по-горе, тези задачи могат да изглеждат като калай. Независимо от това именно такива задачи ще се срещнат с OGE и EGE в математиката, така че препоръчвам да се запознаете с тях.

Номер 11. Бригадата, произведена през 62 януари, и във всеки следващ месец той е направил повече от 14 части, отколкото в предишния. Колко подробности са направили бригада през ноември?

Решение. Очевидно е, че броят на детайлите, рисувани по месеци, ще бъде нарастваща аритметична прогресия. И:

[начало) и ((а) _ (1)) \u003d 62; quad d \u003d 14; & (a) _ (n)) \u003d 62 + ляво (n-1 дясно) cdot 14. край (подравняване) \\ t

Ноември е 11-ти месец годишно, така че трябва да намерим $ (а) _ (11)) $:

[(а) _ (11)) \u003d 62 + 10 cdot 14 \u003d 202]

Ето защо 202 детайли ще бъдат произведени през ноември.

Номер 12. Обвързващ семинар се припокрива през 216-те книги, а през следващия месец тя се преплита на 4 книги повече, отколкото в предишния. Колко книги претоварени семинара през декември?

Решение. Все същото:

$ започнете (подравнете) и ((а) _ (1)) \u003d 216; quad d \u003d 4; & ((a) _ (n)) \u003d 216+ ляво (n-1 дясно) cdot 4. край (подравняващ) $

Декември е последният, 12-ти месец годишно, така че търсим $ (а) _ (12)) $:

[(а) _ (12)) \u003d 216 + 11 cdot 4 \u003d 260]

Това е отговорът - 260 книги ще бъдат преплетени през декември.

Е, ако го прочетете тук, аз бързам да ви поздравя: "Курсът на млад боец" на аритметични прогресии, които сте преминали успешно. Можете спокойно да преминете към следващия урок, където изучаваме формулата на размера на прогресията, както и важни и много полезни последици от него.

Аритметична прогресия Обадете се на последователността на номерата (членове на прогресията)

В който всеки следващ член се различава от предишния до задушен срок, който също се нарича разлика на терена или прогресия.

По този начин, задаване на стъпка на прогресия и първия му член, можете да намерите всяка позиция според формулата

Свойства на аритметичната прогресия

1) Всеки член на аритметичната прогресия, започващ от второто число е средната аритметика от предишния и следващия член на прогресията

Обратното изявление също е вярно. Ако аритметичната аритметична съседна нечетна (дори) членове на прогресията е равна на член, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Според това твърдение е много лесно да проверите всяка последователност.

Също така, според собствеността на аритметичната прогресия, горната формула може да бъде обобщена до следващата

Това е лесно да се уверите, ако напишете компонентите вдясно от знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчислителните задачи.

2) сумата на първите членове на аритметичната прогресия се изчислява по формулата

Не забравяйте формулата на сумата на аритметичната прогресия, тя е необходима при изчисляване и често се среща в прости жизнени ситуации.

3) Ако не е необходимо да не намерите пълната сума, но част от последователността след K-IT на своя член, тогава ще използвате следното сумиално формула

4) Практическият интерес е установяването на количеството на членовете на аритметичната прогресия след К-номера. За да направите това, използвайте формулата

Този теоретичен материал завършва и отива да решава общите задачи на практика.

Пример 1. Намерете четириделец на аритметична прогресия 4; 7; ...

Решение:

Според състоянието има

Ние определяме стъпка на прогресия

Според известната формула намираме четиридесет член на прогресията

Пример2. Аритметичната прогресия е зададена третия и седмия член. Намерете първия мандат на прогресията и количеството на десетте.

Решение:

Намалете зададените прогресивни елементи по формули

От второто уравнение ще представя първия, в резултат на това ще намерим стъпка на прогресия

Намерената стойност се заменя с някое от уравненията за намиране на първия член на аритметичната прогресия

Изчислете количеството на първите десет прогресия

Без прилагане на сложни изчисления, те открили всички желани стойности.

Пример 3. Аритметичната прогресия се определя от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия мандат на прогресията, количеството на 50 от членовете му от 50 и сумата от 100-те години.

Решение:

Ние пишем формулата на стотен елемент от прогресията

и намери първия

Въз основа на първия, който намери 50 член на прогресията

Ние намираме сумата от прогресията

и сумата от първите 100

Размерът на прогресията е 250.

Пример 4.

Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:

a3-A1 \u003d 8, A2 + A4 \u003d 14, SN \u003d 111.

Решение:

Ние пишем уравненията чрез първия член и стъпката на прогресия и ги определяме

Получените стойности заменят в сумата от сумата, за да се определи броят на членовете в сумата

Извършваме опростяване

и решаване на квадратното уравнение

От откритите две стойности, състоянието на задачите е подходящо само номер 8. Така сумата на първите осем членове на прогресията е 111.

Пример 5.

Решаване на уравнение

1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.

Решение: Това уравнение е сумата от аритметична прогресия. Ще напишем първия си пишка и ще намерим разликата в прогресията

Задачите в аритметичната прогресия съществуват вече в древни времена. Те се появиха и поискаха решение, защото имаха практическа необходимост.

Така че, в един от папируса на древен Египет, който има математическо съдържание, - Ринда Папирус (XIX век пр. Хр.) - съдържа такава задача: ние разделяме десетте ястия за десет души, при условие че разликата между всеки от тях е един осми действия. "

И в математическите произведения на древните гърци има елегантни теореми, свързани с аритметична прогресия. Така че, Hypsum Alexandrian (II век, което е много интересни задачи и добави четиринадесетата книга до "началото на" Евклид, формулира мисълта: "В аритметична прогресия, която има дори брой членове, количеството Членове на втората половина повече от 1-ви членове 1/2 номера на членовете. "

Обозначава последователността AN. Номерата на последователността се наричат \u200b\u200bнейните членове и обикновено се обозначават с букви с индекси, които показват номера на последователността на този член (А1, А2, А3 ... прочетете: "a 1-o", "2-р", "3- ПИН "и така нататък).

Последователността може да бъде безкрайна или крайна.

И какво е аритметична прогресия? Под него те разбират добавянето на предишния член (n), получен със същия номер D, което е разликата в прогресията.

Ако D.<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, тази прогресия се счита за увеличаване.

Аритметичната прогресия се нарича най-доброто, ако се вземат под внимание само няколко от първите му членове. С много голям брой членове, това е безкрайна прогресия.

Всяка аритметична прогресия се определя по следната формула:

aN \u003d kN + b, докато b и k са някои числа.

Абсолютно вярно е изявление, което е обратна: ако последователността се дава с подобна формула, тогава това е точно аритметична прогресия, която има свойства:

1. Всеки член на прогресията е средноаритметичната средна стойност на предишния член и следващ.
2. Обратно: ако, започвайки от втория, всеки член е средноаритметичната средна на предишния член и следващ, т.е. Ако условието е изпълнено, тази последователност е аритметична прогресия. Това равенство е едновременно знак за прогресия, така че обикновено се нарича характерно свойство на прогресия.
   По същия начин, теоремата, която отразява това свойство, е: последователност - аритметична прогресия само ако това равенство е вярно за някой от членовете на последователността, започвайки от втората.

Характерното имущество за четирима всеки брой аритметична прогресия може да бъде изразена с формулата AN + AM \u003d AK + AL, ако N + M \u003d K + L (m, N, K е броят на прогресията).

При аритметична прогресия, всеки необходим (n-th) член може да бъде намерен чрез прилагане на следната формула:

Например: първият термин (А1) в аритметична прогресия е настроен и равен на три, а разликата (D) е равна на четири. Намирането ви се нуждае от четиридесет пети член на тази прогресия. A45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

AK \u003d AK + D формула (N - K) ви позволява да определите n-ти член Аритметична прогресия чрез всеки от нейния K-платен член, при условие че е известен.

Сумата на членовете на аритметичната прогресия (предполага 1-ви N член на окончателната прогресия) се изчислява, както следва: \\ t

SN \u003d (A1 + AN) N / 2.

Ако 1-ва е известен и друга формула е удобна за изчисление:

Sn \u003d ((2A1 + d (n - 1)) / 2) * n.

Количеството аритметична прогресия, която съдържа n членове, се изчислява по този начин:

Изборът на формули за изчисления зависи от условията на задачите и изходните данни.

Естествена серия от всякакви числа, като 1,2,3, ..., n, ...- най-простият пример за аритметична прогресия.

В допълнение към аритметичната прогресия, има и геометрична, която притежава своите свойства и характеристики.

Първо ниво

Аритметична прогресия. Подробна теория Примери (2019) \\ t

Последователност на числа

Така че седнете и започнете да пишете никакви номера. Например:
Можете да пишете каквито и да са цифри и те могат да бъдат такава (в нашия случай). Колко числа не сме написали, винаги можем да кажем коя от тях е втората и така на последната, т.е. можем да ги вкопаем. Това е пример за цифрова последователност:

Последователност на числа
Например, за нашата последователност:

Целевият номер е характерно само за един брой последователности. С други думи, няма три втора числа в последователността. Второто число (като номер) винаги е едно.
Номерът с номера се нарича член на последователността.

Обикновено наричаме цялата последователност (например) и всеки член на тази последователност е същата буква с индекс, равен на броя на този член :. \\ t

В нашия случай:

Да предположим, че имаме последователност на числав която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква.
Например:

и т.н.
Такава цифрова последователност се нарича аритметичен напредък.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор на Boeziem през 6-ти век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна цифрова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията на непрекъснатите пропорции, които са били ангажирани в древните гърци.

Това е цифрова последователност, всеки член е равен на предишния, сгънат със същия номер. Този номер се нарича разлика в аритметичната прогресия и е посочена.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметичен напредък и които не са:

а)
б)
° С)
д)

Измислени? Сравнете нашите отговори:
Е Аритметичен прогрес - B, c.
Не е Аритметична прогресия - а, д.

Нека да се върнем към дадена прогресия () и да се опитаме да намерим значението му - член. Съществува две Как да го намерим.

1. Метод

Можем да добавим към предишната стойност на броя на прогресията, докато не го направим преди прогресията на прогресията. Добре е, че трябва да обобщим малко ляво - само три значения:

Така че член на описаната аритметична прогресия е равен.

2. Метод

И какво, ако трябва да намерим значението на член на прогресията? Сумирането ще отнеме с нас не един час, а не факта, че няма да бъдем погрешни при добавяне на числа.
Разбира се, математиката излезе с метод, в който не е необходимо да се добавя разликата в аритметичната прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно на рисунката ... със сигурност вече сте забелязали някаква редовност, а именно:

Например, нека да видим каква е стойността на член на тази аритметична прогресия:


С други думи:

Опитайте се да намерите значението на член на тази аритметична прогресия по този начин.

Изчислени? Сравнете записите си с отговора:

Моля, обърнете внимание, че имате точно същия номер, както в предишния метод, когато последователно добавихме към предишната стойност на членовете на аритметичната прогресия.
Нека се опитаме да "открием" тази формула - ние го даваме обща форма. и получавам:

Уравнение на аритметичната прогресия.

Аритметичната прогресия нараства и намалява.

Повишаване на - прогресии, при които всяка последваща стойност на членовете е повече от предишната.
Например:

Низходящ - прогресии, при които всяка последваща стойност на членовете е по-малка от предишната.
Например:

Извлечената формула се прилага при изчисляването на членовете както в увеличаване, така и в намаляването на членовете на аритметичната прогресия.
Проверете го на практика.
Получаваме аритметична прогресия, състояща се от следните номера: проверете какъв е броят на тази аритметична прогресия, ако използвате нашата формула при изчисляване:

От тогава:

Така се уверихме, че формулата действа както в низходящата, така и в увеличаването на аритметичната прогресия.
Опитайте се да намерите собствените ми членове на тази аритметична прогресия.

Сравнете получените резултати:

Собственост на аритметична прогресия

Завършете задачата - оттеглите собствеността на аритметичната прогресия.
Да предположим, че ни е дадено такова условие:
- аритметична прогресия, намерете стойност.
Лесно, ще кажете и ще започнете да обмисляте вече известната формула ви:

Нека и след това:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо откриваме, след това го добавим към първия номер и получаваме желаното. Ако прогресията е представена от малки стойности, в това няма нищо сложно и ако номерът ни бъде даден? Съгласен съм, има шанс да направите грешка в изчисленията.
И сега мисля, че е възможно да се реши този проблем в едно действие, използвайки всякаква формула? Разбира се, да, и тя е, че ще се опитаме да го донесем точно сега.

Означаваме желания член на аритметичната прогресия като, формулата за нейното местоположение ни е известна - това е самата формула, получена от нас в началото:
, тогава:

• прогресията предишната термин е:
• следващ член на прогресия Това е:

Ние обобщаваме предишните и последващите членове на прогресията:

Оказва се, че сумата от предишните и последващите членове на прогресията е двойната стойност на член на прогресията, която е между тях. С други думи, да се намери стойността на член на прогресията с добре познатите предишни и последователни стойности, е необходимо да ги добавите и разделени от.

Точно така, имаме същия номер. Закрепете материала. Изчислете стойността за прогресията сами, защото тя е доста проста.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Оставаше да открие само една формула, която на легендите без затруднения води един от най-големите математици по всяко време, "цар на математиците" - Карл Гаус ...

Когато Carl Gaussu е на 9 години, учител, който проверява работата на учениците от други класове, зададе следната задача на урока: "Пребройте сумата от всички естествени числа от до (от други източници) включително." Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) в минута даде правилния отговор на зададената задача, докато повечето от съучениците на Mozelchka след дълго изчисление получиха грешен резултат ...

Млад Карл Гаус забеляза някаква редовност, която лесно можете да забележите.
Да предположим, че имаме аритметична прогресия, състояща се от член: трябва да намерим размера на тези членове на аритметична прогресия. Разбира се, можем да обобщим ръчно всички ценности, но какво да правим, ако в задачата ще бъде необходимо да се намери сумата на нейните членове, как е търсил Гаус?

Ще изобразя прогресията, дадена за нас. Погледнете внимателно специалните номера и се опитайте да произведете различни математически действия с тях.


Опитах? Какво забелязахте? Право! Техните суми са равни

И сега отговорете, колко са тези двойки в прогресията ни дадени? Разбира се, точно половината от всички номера, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от двама членове на аритметичната прогресия е равна на и такива равни двойки, ние получаваме, че общата сума е:
.
Така формулата за сумата на първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде такава:

В някои задачи ние ни неизвестни, но разликата в прогресията е известна. Опитайте се да замените обобщената формула, формула на член.
Какво направи?

Много добре! Сега ще се върнем към задачата, която Karl Gauss беше настроен: брое самостоятелно, което е равно на количеството на броя, започвайки от -го и количеството номера, вариращи от -го.

Колко сте направили?
Гаус се оказа, че размерът на членовете е равен и размерът на членовете. Решен ли сте?

Всъщност формулата на сумата на членовете на аритметичната прогресия е доказана от древния гръцки учен дифанта през III век, а през това време остроуменните хора са се използвали със свойствата на аритметичната прогресия.
Например, представете си Древен Египет И най-голямото изграждане на времето - изграждането на пирамидата ... Фигурата показва едната страна.

Къде ми казва прогресията? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.


Какво не е аритметична прогресия? Изчислете колко блокове са необходими за конструкцията на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да преброите, водещ пръст върху монитора, помните последната формула и всичко, което говорихме за аритметична прогресия?

В този случай прогресията е както следва :. \\ T
Разликата в аритметичната прогресия.
Брой на членовете на аритметичната прогресия.
Ние заменим данните си в последните формули (изчисляваме броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега е възможно да се изчисли на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Кеширан? Добре направено, вие усвоите сумата на аритметичната аритметична прогресия.
Разбира се, от блоковете в дъното на пирамидата няма да се изгради, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с такова състояние.
Cope?
Правилния отговор - блокове:

Тренировка

Задачи:

1. Маша идва във форма до лятото. Всеки ден увеличава броя на кляката. Колко пъти Masha ще бъде зашита след седмици, ако тя направи клякам в първата тренировъчна сесия.
2. Каква е сумата от всички нечетни числа.
3. Дължините при съхранение на дневници са подредени по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един дневник по-малък от предишния. Колко дневници са в една зидария, ако основата на зидария служи в дневника.

Отговори:

1. Ние определяме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
   (седмици \u003d дни).

   Отговор:Две седмици Маша трябва да кляска веднъж на ден.

2. Първо нечетно число, последен номер.
   Разликата в аритметичната прогресия.
   Броят на нечетните номера в половината обаче ще проверят този факт, използвайки формулата на лихвите на аритметичната прогресия:

   Числата наистина съдържат нечетни числа.
   Наличните данни за заместване във формулата:

   Отговор:Сумата от всички нечетни числа, съдържащи се, е равна.

3. Припомни задачата за пирамидата. За нашия случай, а, тъй като всеки горен слой намалява на един дневник, след това само в куп слоеве, т.е.
   Заместващи данни във формулата:

   Отговор:В зидария е дневник.

Да обобщим

1. - Последователност на числата, в която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква. Това се случва да расте и намалява.
2. Престой на формула "Член на аритметична прогресия се записва по формулата -, където - броят на номерата в прогресията.
3. Собственост на членове на аритметична прогресия - - Къде - броят на номерата в прогресията.
4. Сумата на членовете на аритметичната прогресия Може да се намери по два начина:
   
   където - броя на стойностите.

Аритметична прогресия. Средно ниво

Последователност на числа

Нека да седнем и да започнем да пишем никакви цифри. Например:

Можете да напишете произволен брой и може да има навсякъде. Но винаги можете да кажете кой от тях, какъв е вторият и т.н., това е, можем да ги вкопчат. Това е пример за цифрова последователност.

Последователност на числа - Това е много числа, всеки от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всеки брой може да бъде поставен в съответствие с определен естествен брой и единственият. И този номер няма да приложим друг номер от този набор.

Номерът с номера се нарича член на последователността.

Обикновено наричаме цялата последователност (например) и всеки член на тази последователност е същата буква с индекс, равен на броя на този член :. \\ t

Много удобно, ако член на последователността може да бъде поискан за някаква формула. Например, формула

определя последователността:

И формулата е такава последователност:

Например, аритметичната прогресия е последователността (първият термин тук е равен и разликата). Или (, разлика).

Формула N-ти елемент

Ние наричаме такава формула, в която трябва да знаете предишните или повече известни по-рано:

Да се \u200b\u200bнамери за такава формула, например член на прогресията, ще трябва да изчислим предишния девет. Например, нека. Тогава:

Е, какво е ясно сега каква формула?

Във всеки ред добавяме умножено по някакъв брой. Какво? Много просто: това е броят на текущия член минус:

Сега много по-удобно, нали? Проверка:

Споделете себе си:

В аритметична прогресия намират формулата на N-тия член и намиране на стотен член.

Решение:

Първият член е равен. И каква е разликата? Но какво:

(Това е така, защото се нарича разлика, която е равна на разликата в последователните членове на прогресията).

Така, формула:

След това стотен член е:

Каква е сумата от всички естествени числа?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, счита за това количество след няколко минути. Той отбеляза, че сумата на първия и последен номер е равна на сумата на втория и предпоследната - сумата от третия и 3 от края е и така нататък. Колко са такива двойки? Точно така, точно половината от броя на всички номера, т.е. Така,

Общата формула за сумата на първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде такава:

Пример:
Намерете сумата от всички две цифри, няколко.

Решение:

Първият такъв номер е. Всеки следващ се получава чрез добавяне към предишния номер. По този начин, номерата, които се интересувате от аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формула - член на този прогресия:

Колко членове в прогресията, ако всички трябва да бъдат двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. Тогава сумата:

Отговор:.

Сега ще реша:

1. Всеки ден един спортист работи на m по-голям от предишния ден. Колко цели километра работи за една седмица, ако на първия ден той е бил на кил m m?
2. Велосипедистът се движи всеки ден до км повече, отколкото в предишния. На първия ден той караше километър. Колко дни трябва да отиде да преодолее km? Колко километра ще премине през последния ден от пътя?
3. Цената на хладилника в магазина ежегодно намалява със същата сума. Определете колко цената на хладилника намалява всяка година, ако е изложена на продажбата за рубли, шест години се продава за рубли.

Отговори:

1. Тук най-важното е да се признае аритметичната прогресия и да се определят нейните параметри. В този случай (седмици \u003d дни). Необходимо е да се определи размерът на първите членове на тази прогресия:
   .
   Отговор:
2. Тук се дава:, трябва да намерите.
   Очевидно е, че трябва да използвате същата обобщаваща формула, както в предишната задача:
   .
   Ние заменим стойностите:

   Коренът очевидно не е подходящ, това означава, че отговорът.
   Изчислете пътя, преминал през последния ден с помощта на формула на член:
   (км).
   Отговор:

3. Дано: Да намеря: .
   Това не се случва:
   (RUB).
   Отговор:

Аритметична прогресия. Накратко за най-важното нещо

Това е цифрова последователност, в която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква.

Аритметичната прогресия нараства () и намалява ().

Например:

Формула за намиране на N-Bous член на аритметичната прогресия

той е написан с формулата, където - броя на номерата в прогресията.

Собственост на членове на аритметична прогресия

Това улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде - броят на броя на прогресията.

Размер на членовете на аритметичната прогресия

Има два начина за намиране на сумата:

Където - броя на стойностите.

Където - броя на стойностите.