Примери намаляват алгебричната фракция. Трансформация на изрази

Преди да пристъпи към проучването алгебрични фракции Препоръчваме да запомните как да работите с обикновените фракции.

Всяка фракция, в която има азбучен фактор, се нарича алгебрична фракция.

Примери алгебрични фракции.

Както при обикновената фракция, в алгебричната фракция има числа (горния етаж) и знаменател (по-долу).

Намаляване на алгебрични фракции

Алгебричната фракция може да бъде намалена. С намаляването използвайте правилата за намаляване на обикновените фракции.

Напомняме ви, че с намаление на обикновената фракция също разделяме числатора и знаменател за същия брой.

Алгебричната фракция се намалява по същия начин, но само числителят и знаменателят са разделени на един и същ полином.

Обмисли пример за намаляване на алгебричната фракция.

Ние определяме най-малката степен, в която стои "А". Най-малката степен за еднокрила "А" е в знаменателя - това е втората степен.

Ние разделяме и цифровия и знаменател на "A 2". Когато се разделят хомормите, използвайте собствеността на степента на частност.

Напомняме ви, че всяка буква или число в нулева степен е единица.

Няма нужда да пишете подробно всеки път, към който е намалена алгебричната фракция. Достатъчно е да се има предвид степента, до която сме намалили и записваме само резултата.

Обобщение на намаляването на алгебричната фракция изглежда така.

Могат да се режат само еднакви фактори на писмо.

Не може да се реже

Може да бъде нарязан

Други примери за намаляване на алгебричните фракции.

Как да намалите фракцията с полиноми

Помислете за друг пример за алгебрична фракция. Необходимо е да се намали алгебричната фракция, която в числатора струва полином.

Намаляване на полиномите в скоби може да бъде само с точно същия полином в скоби!

В никакъв случай не можете да намалите част Полиномът вътре в скобите!

Погрешно

Определете къде полиномните краища са много прости. Може да има само признак на умножение между полиноми. Целият полином е вътре в скобите.

След като сме идентифицирали полиноми от алгебрични фракции, намаляваме полиномния "(m - n)" в числитетор с полином "(m - n)" в знаменателя.

Примери за намаляване на алгебричните фракции с полиноми.

Постигане на общ фактор при рязане на фракции

За в алгебрични фракции същите полиноми понякога трябва да направят общ фактор за скоби.

В тази форма е невъзможно да се намали алгебричната фракция, тъй като полиномната
"(3F + k)" може да бъде намален само с полином "(3F + k)".

Ето защо, за да се получи "(3F + k) в числатора", ще обобщя "5" множител.

Намаляване на фракциите, използвайки формулите на съкратеното умножение

В други примери, за намаляване на изискваните алгебрични фракции
прилагане на формули на съкратено умножение.

В първоначалната форма е невъзможно да се намали алгебричната фракция, тъй като няма идентични полиноми.

Но ако приложите формулата за разликата в квадратите за полинома "(A 2 - B 2)", тогава ще се появят същите полиноми.

Други примери за намаляване на алгебричните фракции, използвайки формулите на съкратеното умножение.

Намаляването на алгебричните (рационални) фракции се основават на основното им свойство: ако числителят и знаменателят са разделени в един и същ ненулев полином, тогава фракцията е равна на нея.

Само мултипликатори могат да бъдат намалени!

Членовете на полиномите не могат да бъдат отрязани!

За да се намали алгебричната фракция, полиномите, стоящи в числителя и знаменателят трябва първо да раздалят на множителите.

Разгледайте примерите за намаляване на фракциите.

В цифроратора и знаменателя франракторите са класифицирани. Те представляват състав (цифри, променливи и техните степени), мултипликатори Можем да намалим.

Цифрите намаляват най-големия си общ делител, т.е. най-голям брой, за които всеки от тези числа е разделен. За 24 и 36 е 12. След намаляването на 24 остава 2, от 36 - 3.

Степента намалява до степента с най-малкия индикатор. Намалете фракционните средства за разделяне на числителя и знаменателя към същия делител и когато степента на степени, изваждаме индикаторите.

a² и A⁷ намалява A². В същото време, единица остава в числителя от A² (1 запис само в случая, когато е оставен, след намаляването на други фактори, той остава. От 24 остава 2, следователно 1 оставащ от A², не пишете ). От A⁷ след редукцията остава A⁵.

b и b Намаляване на b, получените единици не пишат.

c³º и прашка на S⁵. От C³º остава c² ⁵, от C⁵ - един (не го пишете). По този начин,

Числиране и знаменател на тази алгебрична фракция - полиноми. Нарежете членовете на полиномите не могат! (Не може да намали, например, 8x² и 2x!). За да се намали тази фракция, е необходимо да се разложи полиномите върху мултипликатори. Числителят има общ мултипликатор 4x. Ние го носим за скоби:

Както в числителя, така и в знаменателя има същия множител (2х-3). Намаляване на фракцията в този мултипликатор. В цифровия числа получи 4x, в знаменателя - 1. Съгласно 1 свойство на алгебрични фракции, фракцията е 4x.

Само мултипликатори могат да бъдат отрязани (е невъзможно да се намали тази фракция на 25x²!). Следователно, полиномите, стоящи в числителя и деномотерът на фракцията, трябва да бъдат разградени върху мултипликатори.

В цифровия номер - пълният квадрат на количеството, в знаменателя - разликата в квадратите. След разлагане според формулите на съкратеното умножение, получаваме:

Ние намаляваме фракцията (5x + 1) (за това, в числителя, ще прекосим думата в индикатора, от (5x + 1) ² ще остане (5x + 1)):

В цифроратора има общ множител 2, аз ще го извадя от скоби. В знаменател - комбинирана формула за разлика в куб:

В резултат на разлагането в числителя и знаменателя се получава същия множител (9 + 3A + A²). Намалете фракцията върху нея:

Полиномът в числителя се състои от 4 термина. Ние групираме първия мандат с втория, третия - с четвърти и издържат от първите скоби, общия мултипликатор x². Знаменателят се разширява според формулата на кубчетата:

В цифровия номер изпращаме общ множител за скоби (X + 2):

Ние намаляваме фракцията на (x + 2):

Само мултипликатори могат да намалят! За да намалите тази фракция, трябва да разграждате полиноми в числителя и знаменателя. В числителя, общият мултипликатор А³, в знаменателя - A⁵. Да ги вземем за скоби:

Мултипликатори - градуси със същата база A³ и A⁵ - намаляване на a³. От А³ останки 1, ние не го пишем, от A⁵ остава A². В числа, изразът в скоби може да бъде разграден като разлика на квадратите:

Ние намаляваме фракцията на общия делител (1 + а):

И как да намалите частта от вида

в който изразът, който стои в числителя и знаменателят се различава само от признаци?

Примери за намаляване на такива фракции ще разгледаме следващия път.

2 Коментари

Много добър сайт, аз го използвам всеки ден и помага.
Преди да дойда на този сайт, не знаех много за решаване на алгебрата, геометрията, но благодарение на този сайт, моите оценки и 3 нараснаха до 4-5.
Сега мога безопасно да предам оге и nn се страхува, че няма да го предам!
Научете и ще успеете!

Витя, пожелавам ви успех в изучаването и високите резултати на изпитите!

www.algebraclass.ru.

Намаляване на алгебричните франгори

Намаляване на алгебрични фракции

Нова концепция в математиката рядко възниква от нищо "" на празно място. " Тя се появява, когато се чувства обективна необходимост. Така се появяват негативни числа в математиката, толкова обикновена и десетична алгебричен фракри.

Предпоставки за въвеждане на нова концепция "алгебрична фракция" имаме. Даваме да заемаме § 12. Обсъждане на разделянето има необработено на еднократно, прегледахме редица примери. Подчертаваме две от тях.

1. Да се \u200b\u200bраздели едно крилото 36a 3 B5 на единично крило 4AB 2 (виж пример 1Ь) от §12).
Ние го решаваме така. Вместо да записват 36а 3 B 5: 4AB 2 използвани фракции:

Това е позволено вместо записите 36: 4, и 3: a, b 5: b 2 също използвайте чертата на фракцията, която прави решението на примера по-визуален:

2. Да се \u200b\u200bраздели единната 4x 3 на единична 2H (виж пример 1 d) от § 12). Действайки върху същия модел, имаме:

В § 12 отбелязахме, че 4x 3 не е успял. Не беше възможно да се разделят на еднократно 2 часа, така че да се оказа мономиал. Но математически модели Реалните ситуации могат да съдържат операцията за разделяне на едно крило, а не непременно така, че човек да бъде разделен на друг. Предвиждайки това, математиката въведе нова концепция - концепцията за алгебрична фракция. По-специално, алгебричната фракция. Сега нека се върнем към § 18. Обсъждайки там операцията на разделение на полинома върху Unrochene, отбелязахме, че не винаги се прави. Така че, в Пример 2 на § 18, става въпрос за разделяне на двадесети 6x 3 - 24x 2 на еднократно 6х2. Тази операция се оказа, че се извършва и в резултат на това получаваме усукани х - 4. така С други думи, алгебрично изражение успя да замени по-прост израз - полином X - 4.

В същото време, в Пример 3 на § 18, полиномният 8А 3 + BA 2B - B е разделен на 2А 2, т.е. изразът не може да бъде заменен с по-прост израз, необходимо е да се остави като алгебрична фракция.

Що се отнася до операцията по полиномна дивизия полиномвсъщност не направихме нищо за нея. Единственото нещо, което можем да кажем сега, е: един полином може да бъде разделен на друг, ако този друг полином е един от мултипликатите в разлагането на първия полином към множителите.

Например, x 3 - 1 \u003d (x - 1) (x 2 + x + 1). Така че x 3 - 1 може да бъде разделен на x 2 + x + 1, той се оказва x - 1; x 3 - 1 може да бъде разделен на X - 1,

оказва се x 2 + x + 1.
полиноми p и q. в същото време използване на запис
където p е числителят, Q - знаменател на алгебрична фракция.
Примери за алгебрични фракции:

Понякога алгебричната фракция може да бъде заменена с полином. Например, както вече сме инсталирали по-рано,

(полином 6x 3 - 24x2 успя да се раздели с 6x 2, докато по-специално се оказва X - 4); Ние също така отбелязахме това

Но това е сравнително рядко.

Въпреки това, подобна ситуация вече ви е срещала - при изучаването на обикновените фракции. Например, фракцията може да бъде заменена с цяло число 4, а фракцията е цяло число 5. Въпреки това, фракцията не може да бъде заменена с цяло число, въпреки че тази фракция може да бъде намалена чрез разделяне на числителя и знаменателя към номер 8 - Общият мултипликатор на числителя и знаменателя:
По същия начин можете да съкратите алгебричните фракции, разделяйки числителя и знаменателя на фракцията върху тяхната обща меко. И за това трябва да се разложи и числителят и деномотерът на факторите. Тук ще се нуждаем от всичко, което сме обсъдили в тази глава толкова дълго.

Пример. Намаляване на алгебричната фракция:

Решение, а) Ще намерим общ фактор за хомормите
12x 3 в 4 и 8x 2 в 5, както направихме в § 20. Получаваме 4x 2 в 4. След това 12x 3 Y4 \u003d 4x 2 Y 4 кв.м; 8x 2 Y 5 \u003d 4x 2 Y 4 2Y.
Това означава

Числатор I. знак Дадената алгебрична фракция е намалила общия мултипликатор от 4x 2 в 4.
Решението на този пример може да бъде записано по различен начин:

б) да съкрати фракцията, разпространете числителя и знаменателя за множителите. Получаваме:

(Фракцията се намалява до общия фактор A + B).

И сега се върнете към забележката 2 на § 1. Виж, най-накрая успяхме да обещаем там.
в) имаме:

(намалява фракцията върху общия коефициент на числителя и знаменателя, т.е. на x (x - y))

Така че, за да се намали алгебриката на фракцията, е необходимо преди всичко да се разложи своя числител и знаменател. Така че вашият успех в този нов бизнес (намаляване на алгебричните фракции) зависи главно от това как сте научили материала на предишните параграфи на настоящата глава.

А. В. Погорелов, геометрия за 7-11 класа, учебник за общи институции за образование

Ако имате корекции или предложения за този урок, пишете ни.

Ако искате да видите други корекции и желания към уроците, вижте тук - образователен форум.

Намаляване на алгебрични фракции: правило, примери.

Продължаваме да проучваме темата за трансформацията на алгебрични фракции. В тази статия ще се съсредоточим подробно намаляване на алгебрични фракции. Първо, ние ще разберем какво разбират термина "намаляване на алгебричната фракция" и разберете дали алгебричната фракция винаги се намалява. След това даваме правилото да позволи това преобразуване. И накрая, ние обмисляме решения на характерни примери, които ще позволят да се разберат всички тънкости на процеса.

Навигация.

Какво означава да се намали алгебричната фракция?

Изучаване обикновени фракцииГоворихме за тяхното намаляване. С намаляване на обикновената фракция, ние наричахме разделение на номера и знаменателя в общата фабрика. Например, обикновена фракция от 30/54 може да бъде намалена с 6 (която е разделена на 6 числатора и знаменателя), който ще ни води до фракцията 5/9.

При намаляването на алгебричните фракции разбират подобен ефект. Намаляване на алгебричната фракция - Това означава разделяне на числителя и знаменателя към общ фактор. Но ако общата фабрика на числителя и знаменател на обикновената фракция може да бъде само номер, след това общият фактор на числителя и знаменателя на алгебричната фракция може да бъде полином, по-специално единичен или номер.

Например алгебрична фракция може да бъде намален по номер 3, който ще даде фракция . Можете също да намалите променливата x, която ще доведе до изразяване . Първоначалната алгебрична фракция може да бъде намалена до единично крило 3 · x, както и на всеки от полиномите X + 2 · Y, 3 · X + 6 y, x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y.

Крайната цел на намаляването на алгебричната фракция се състои в получаване на част от по-прост гледна точка, в най-добрия случай, нестабилна фракция.

Всяка алгебрична фракция трябва да бъде намалена?

Знаем, че обикновените фракции са разделени на съкратени и неконструирани фракции. Нестабилните фракции не са различни от единицата на обикновените мултипликатори в числа и знаменател, следователно, не подлежат на намаляване.

Алгебричните фракции могат също да имат общи множители на числителя и знаменателя, и може да нямат. Ако има общи фактори, има намаляване на алгебричната фракция. Ако няма общи фактори, тогава опростяването на алгебричната фракция е невъзможно чрез неговото намаляване.

Като цяло, според появата на алгебричната фракция, е доста трудно да се определи дали е възможно да се натрупа. Несъмнено в някои случаи са очевидни общи множители на числителя и знаменателя. Например, ясно се вижда, че числителят и знаменателят на алгебричната фракция имат общ множител 3. Също така е лесно да се отбележи, че алгебричната фракция може да бъде намалена с х, на Y или веднага до X y. Но много по-често от общия фактор на числителя и алгебричната фракция на знаменател не е веднага се вижда и по-често - просто не. Например, фракцията може да бъде намалена с х-1, но този общ фактор очевидно не присъства в записа. И алгебрична фракция невъзможно е да се намали, тъй като числителят и знаменателят нямат общи множители.

Като цяло въпросът за намаляването на алгебричната фракция е много труден. И понякога е по-лесно да се реши задачата, работеща с алгебрична фракция в първоначалната му форма, отколкото да се разбере дали тази фракция може да бъде предварително намалена. Но все пак има трансформации, които в някои случаи позволяват с относително незначителни усилия да се намерят общи множители на числителя и знаменателя, ако има такива или сключване на непоследователността на първоначалната алгебрична фракция. Тази информация ще бъде оповестена в следващия параграф.

Правилото за намаляване на алгебричните фракции

Информацията за предишните параграфа ви позволява естествено да възприемате следното правилото за намаляване на алгебричните фракциикоето се състои от две стъпки:

• първо има общи множители на числителя и знаменателя на първоначалната фракция;
• ако има такава, тогава има намаляване на тези мултипликатори.

Тези стъпки от изразеното правило се нуждаят от изясняване.

Най-удобният начин за намиране на генерала е да се разложи мулти-полиномите в числителя и знаменателя на оригиналната алгебрична фракция. В същото време се виждат общи множители на числителя и знаменателя, или става ясно, че няма общи фактори.

Ако няма общи множители, можем да заключим, че алгебричната фракция не е конструирана. Ако се намират общите фактори, след това във втората стъпка те са намалени. В резултат на това се получава нова фракция от по-проста гледна точка.

Правилото за намаляване на алгебричните фракции се основава на основното свойство на алгебричната фракция, която се изразява от равенство, където А, В и С са някои полиноми, с В и С - Ненуле. В първата стъпка първоначалната алгебрична фракция е дадена на формата, от която се вижда общото множител C, а във втората стъпка се извършва редукцията - преход към фракцията.

Отидете в решаването на примери, като използвате това правило. Ще анализираме всички възможни нюанси, които възникват при разлагане на числителя и знаменателя на алгебрични фракции върху мултипликатори и последващо намаление.

Характерни примери

Първо трябва да кажете за намаляване на алгебричните фракции, числата и знаменателят на които са едни и същи. Такива фракции са еднакви равни на един в целия EDD на променливите, включени в него, например,
и т.н.

Сега няма да боли да си спомните как се извършва намаляване на обикновените фракции - в края на краищата те са специален случай на алгебрични фракции. Естествените числа в числа и знаменател на обикновените Fraci са колоритни на прости мултипликатори, след което се намаляват общите мултипликатори (ако има такива). Например, . Продуктът на същите прости мултипликатори може да бъде записан под формата на градуси и по време на намаляване на имуществото на степен в градуси със същите основи. В този случай решението ще изглежда така: Тук сме числител и знаменател, разделен на общ множител 2 2 · 3. Или за по-голяма яснота въз основа на свойствата на умножаването и разделянето, разтворът е представен във формата.

В абсолютно подобни принципи алгебричните фракции се намаляват, чиято цифра и знаменател са неизвестни с целочислени коефициенти.

Намаляване на алгебричната фракция .

Възможно е да се представлява числителят и знаменател на оригиналната алгебрична фракция като продукт на прости мултипликатори и променливи, след което се намалява:

Но решението е по-рационално под формата на изрази с градуси:

.

Що се отнася до редукцията на алгебрични фракции с частични цифрови коефициенти в числа и знаменател, е възможно да се десет: или отделно да се извърши разделение на тези частични коефициенти, или да се отървете от частични коефициенти, умножаване на числителя и знаменател за нещо подобно естествено число. Говорихме за последната трансформация в статията, привеждайки алгебрични фракции на нов знаменател, той може да се извърши по силата на основните свойства на алгебричната фракция. Ще се справим с това при примера.

Извършват рязане на фракцията.

Можете да намалите фракцията, както следва: .

И е възможно да се отървете от фракционните коефициенти, да се умножи числителя и знаменател до най-малкия общ знаменател на тези коефициенти, т.е. на NOC (5, 10) \u003d 10. В този случай имаме .

.

Можете да отидете в алгебрични фракции общо изгледВ който в цифровия и знаменател може да бъде и двата номера и единични и полиноми.

С намаляване на тези фракции основният проблем е, че общият мултипликатор на числителя и знаменателят не винаги се вижда. Освен това не винаги съществува. За да се намери общ мултипликатор или да се увери, че не е необходимо числителят и знаменателят на алгебрична част, за да се разложи на множителите.

Намаляване на рационалната фракция .

За да направите това, ние ще разложим полиноми в цифров и знаменател. Нека започнем с подаването на скобите :. Очевидно е, че изразите в скоби могат да бъдат превърнати, като се използват формулите на съкратеното умножение: . Сега ясно се вижда, че е възможно да се намали фракцията на общ фактор B 2 · (A + 7). Хайде да го направим .

Кратко решение без обяснение обикновено е написано под формата на верига от равенства:

.

Понякога общите мултипликатори могат да бъдат скрити с числови коефициенти. Следователно, с намаляване на рационалните фракции, цифрови мултипликатори с старши степени на числителя и знаменателят ще бъдат извадени за скоби.

Намаляване на фракцията , ако е възможно.

На пръв поглед числителят и знаменателят нямат общ фактор. Но все пак, нека се опитаме да извършим някои реализации. Първо, е възможно да се направи мултипликатор X в числатор: .

Сега някои сходства на изрази в скоби и изрази в знаменателя, дължащи се на x 2 y y, са блокирани. Ще нося числени коефициенти за скобата със старши степени на тези полиноми:

След извършената трансформация общата фабрика е видима, към която ние извършваме намаление. . \\ T

.

Завършване на разговора за намаляване на рационалните фракции, отбелязваме, че успехът зависи от способността да се разпространяват полиноми към множителите.

www.cleverstuents.ru.

Математика

Навигация по ред

Намаляване на алгебрични фракции

Позовавайки се на горния имот, можем да опростим алгебричните фракции, както и с аритметични фракции, като ги намаляваме.

Намаляването на фракциите е, че числителят и знаменателят на фракцията се разделят на същия брой.

Ако алгебричната фракция е неизвестна, числителят и знаменателят изглеждат под формата на продукт от няколко фактора и веднага могат да се видят, които същите числа могат да бъдат разделени на:

Същата фракция можем да напишем повече подробности :. Виждаме, че можете последователно да се разделяте и числителят и знаменателят 4 пъти на A, т.е., в крайна сметка, разделете всеки от тях на 4. Следователно ; Също така, така че, ако има мултипликатори в числителя и знаменателя, има няколко степени от една и съща буква, можете да намалите тази фракция в по-малка степен на това писмо.

Ако фракцията е полиномист, тогава трябва първо да раздалите тези полиноми, ако е възможно, за множители, и след това възможността да видите какви са същите мултипликатори да бъдат разделени на цифров и знаменател.

.... Числителят лесно се сгъва върху факторите "съгласно формулата" - той представлява квадрата на разликата в два числа, а именно (x - 3) 2. Знаменателят не е подходящ за формули и ще трябва да го разложи с приемане, използвано за квадратно три декларирано: повдигане на 2 числа, така че тяхната сума е -1 и техният продукт \u003d -6, - тези числа са -3 и + 2; След това x 2 - x - 6 \u003d x 2 - 3x + 2x - 6 \u003d x (x - 3) + 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 2).

Популярен:

• Кратки правила за игра на шахматния съвет и нотация Шах - игра за двама. Един играч (бял) използва бели форми, а вторият играч (черен) обикновено играе черни фигури. Бордът е разделен на 64 малки [...]
• Опростяването на изрази на собственост на добавяне, изваждане, умножение и разделение са полезни, тъй като ви позволява да трансформирате суми и работи в удобни изрази за изчисляване. Ще научим как да опростим използването на тези свойства [...]
• Инерция Правилото на динамиката е частта на механиката, в която е движението на тялото под действието на свързаните с тях сили. В биомеханиката също обмисля взаимодействието между човешкото тяло и външната среда, между връзките между телата, [...]
• Буквите e (e), о, след съскане в корена на думата. Правилото и примерите за писане на буквите "Е" (д) или "O" след съскане в основата на думите, ние ще изберем, използвайки съответното правило на руския правопис. Да видим как [...]
• Механични и електромагнитни трептения 4. Осцилации и вълни 1. Хармоничните колебания на стойността s са описани от уравнението s \u003d 0.02 cos (6π + π / 3), m. Определя: 1) амплитудата на трептенията; 2) циклична честота; 3) Честота [...]
• Закон за разреждане Osvalda 4.6 Законът на разреждането на отглеждането степента на дисоциация (αDIS) и константа на дисоциация (KDIS) на слабия електролит се взаимосвързва количествено. Извличаме уравнението на тази връзка за примера на слаби [...]
• Формулировката и съдържанието на заповедта на Руската федерация № 365 от 2002 г. в тази наредба съдържа информация за правото на допълнителни ваканционни дни в зависимост от различните условия и аспекти на услугата. Тази заповед е безшумен [...]
• Искане, което дисциплинарното възстановяване има право на глава 3. Дисциплинарно възстановяване на правото на командир (шефове) да налага дисциплинарни възстановявания на заинтересованите страни на знамената и Михманов 63. Командирът на взвод (група) и [...]

В тази статия ще анализираме подробно как се провежда намаляване на фракциите. Първо, ние ще обсъдим какво се нарича фракцията. След това нека поговорим за постигането на намалена фракция към непоследователен ум. Освен това, ние ще получим правило за намаляване на фракциите и накрая, считаме, че примерите за прилагането на това правило.

Навигация.

Какво означава съкращаване на фракцията?

Знаем, че обикновените фракции са разделени на намалени и неконструирани фракции. По имена е възможно да се отгатне, че намалената фракция може да бъде намалена и не-съзнание - това е невъзможно.

Какво означава съкращаване на фракцията? Намаляване на фракцията - Това означава разделяне на числителя и знаменателя върху тяхното положително и различно от един. Ясно е, че в резултат на намаляването на фракцията се получава нова фракция с по-малък брой и знаменател и, по силата на основните свойства на фракцията, получената фракция е равна на източника.

Например, ние ще намалим обикновената фракция 8/24, разделяйки числителя и знаменателя на 2. С други думи, ще намалим фракцията 8/24 до 2. Тъй като 8: 2 \u003d 4 и 24: 2 \u003d 12, в резултат на такова намаление, той се оказва фракция 4/12, която е равна на първоначалната фракция 8/24 (виж равни и неравномерни фракции). В крайна сметка имаме.

Привличане на обикновени фракции до нестоверност

Обикновено крайната цел на редукцията на фракцията е да се получи нестантьорска фракция, която е равна на първоначалната намалена фракция. Тази цел може да бъде постигната, ако тя бъде намалена чрез първоначалната намалена фракция на нейния числен и знаменател. В резултат на такова намаляване винаги се получава нестабилна фракция. Всъщност, фракция не е износен, защото от него е известно, че и -. Тук, нека кажем, че най-големият общ делител на числителя и знаменател на фракцията е най-голямото число, което може да бъде намалено с тази фракция.

Така, привеждане на обикновени фракции до неразделна форма Тя е да се раздели числителят и знаменател на първоначалната намалена фракция на техния възел.

Ще анализираме един пример, за който ще се върнем към фракцията 8/24 и ще я намалим до най-големия общ делител на числа 8 и 24, който е 8. От 8: 8 \u003d 1 и 24: 8 \u003d 3, след това пристигаме в нестандартната фракция 1/3. Така, .

Обърнете внимание, че под фразата "нарязана фракция" често предполага воденето на първоначалната фракция именно до неразделна форма. С други думи, рязането на фракцията много често се нарича разделение на числителя и знаменателя върху най-големия им общ делител (а не върху нито един от техния общ делител).

Как да намалите фракцията? Примери за намаляване на правилото и фракцията

Тя остава само за разглобяване на недостига на фракции, което обяснява как да се намали тази фракция.

Правилото за намаляване на фракциите Се състои от две стъпки:

• първо, има възел на числителя и знаменателя на фракцията;
• второ, се извършва разделянето на числителя и знаменателя на фракцията върху техните възли, което дава неразбираема фракция, равна на първоначалната.

Ще разберем пример за намаляване на Fraci Според изразеното правило.

Пример.

Намаляване на фракцията 182/195.

Решение.

Извършваме двете стъпки, предписани от правилата за рязане на фракцията.

Първо откриваме Кид (182, 195). Това е най-удобно да се използва алгоритъмът на еуклид (виж): 195 \u003d 182 · 1 + 13, 182 \u003d 13,14, т.е. възел (182, 195) \u003d 13.

Сега разделяме числатора и знаменателя на фракцията 182/195 с 13, докато получаваме непонятна фракция 14/15, която е равна на първоначалната фракция. При това рязане на фракцията е завършено.

Накратко решението може да бъде написано така :.

Отговор:

При това с намаляване на фракциите е възможно да приключите. Но за пълнотата на картината обмислете още два начина за намаляване на фракциите, които обикновено се прилагат в лесни случаи.

Понякога числителят и знаменателят на режещата фракция са лесни. Намалете фракцията в този случай е много проста: трябва само да премахнете всички обикновени мултипликатори от числителя и знаменателя.

Заслужава да се отбележи, че този метод следва директно от правилото за намаляване на фракциите, тъй като продуктът от всички обикновени множители на числителя и знаменателя е равен на най-големия им генерал делител.

Ще анализираме решението на примера.

Пример.

Намаляване на фракцията 360/2 940.

Решение.

Разстелете зърното и знаменателя за прости мултипликатори: 360 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3,5 и 2 940 \u003d 2 · 2 · 3 · 5 · 7,7. По този начин, .

Сега се отърваме от общите мултипликатори в числителя и знаменателя, за удобство, те просто плачат: .

И накрая, изваждам останалите мултипликатори: и намаляването на фракцията е завършено.

Ето кратък записване на решението: .

Отговор:

Помислете за друг начин да намалите фракцията, която се състои в последователна намаление. Тук на всяка стъпка има намаляване на фракцията на някакъв общ делител на числителя и знаменателя, който е или очевиден или лесно определен от

Тази статия продължава темата за преобразуване на алгебрични фракции: разгледа такова действие като намаляване на алгебричните фракции. Нека дадем определението за самия термин, формулираме правилото за намаляване и анализираме практическите примери.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Значението на редукцията на алгебричната фракция

В материалите на обикновената фракция считаме за нейното намаляване. Ние определихме намаляването на обикновената фракция като разделение на номера и знаменателя за общ фактор.

Намаляването на алгебричната фракция е подобно действие.

Определение 1.

Намаляване на алгебрични фракции - Това е разделението на числителя и знаменателя за общ фактор. В същото време, за разлика от редукцията на обикновена фракция (общият знаменател може да бъде само число), общият мултипликатор на числителя и знаменателя на алгебричната фракция може да служи като полином, по-специално или номер.

Например, алгебричната фракция 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y2 може да бъде намалена по номер 3, в резултат на това получаваме: x 2 + 2 · x · Y 6 · x 3 · Y + 12 · x 2 · y 2. Можем да изрежем същата фракция до променливата x и тя ще ни даде експресията 3 · x + 6 · y 6 · x 2 y + 12 · x y 2. Също дадена фракция може да бъде намалена с едностранна 3 · X.или някой от полиномите X + 2 · y, 3 · X + 6 y, x 2 + 2 · x y или 3 · x 2 + 6 · x y.

Крайната цел на намаляването на алгебричната фракция е частта от по-проста точка, в най-добрия случай, нестабилна фракция.

Всички алгебрични фракции подлежат на намаляване?

Отново, от материалите на обикновените фракции, ние знаем, че има разфасовки и неинструктивни фракции. Нестабилна е фракция, която няма общи множители на цифровия и знаменател, различен от 1.

С алгебрачни фракции всичко е същото: те могат да имат общи множители на числителя и знаменателя, може да нямат. Наличието на общи фактори дава възможност за опростяване на първоначалната фракция чрез намаляване. Когато няма общи множители, е невъзможно да се оптимизира определената част от намаляването.

В общи случаи, съгласно посочения тип, фракцията е доста трудно да се разбере дали тя подлежи на намаляване. Разбира се, в някои случаи присъствието на общ мултипликатор на числителя и знаменателя е очевиден. Например, в алгебрични фракции 3 · x 2 3 · y е абсолютно ясно, че общият фактор е номер 3.

В фракцията - x · y 5 · x · y · z 3 Веднага разберем, че е възможно да се намали на X, или Y, или върху X y. И все пак, това е много по-често срещани примери за алгебрични фракции, когато общият множител на числителя и знаменателят не е толкова лесен за разглеждане и още по-често - той просто отсъства.

Например, фракцията на x 3 - 1 x 2 - 1 можем да намалим X - 1, докато посоченият общ множител в записа липсват. Но фракцията x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 е невъзможно да се разкрие намаляването, тъй като числителят и знаменателят нямат общ фактор.

По този начин въпросът за намирането на намаляването на алгебричната част не е толкова прост, а често е по-лесно да се работи с част от даден вид, отколкото се опитва да се разбере дали е намален. В същото време има такива трансформации, които в конкретни случаи ви позволяват да определите общия мултипликатор на числителя и знаменателя или да приключите нестабилността на фракцията. Ще анализираме подробно този въпрос в следващия параграф на статията.

Правилото за намаляване на алгебричните фракции

Правилото за намаляване на алгебричните фракции се състои от две последователни действия:

• намиране на общи множители на числителя и знаменателя;
• ако такова, прилагането на режещия ефект на фракцията е директно.

Най-удобният метод за намиране на общи знаменатели е разграждането на полиноми, съществуващи в числителя и знаменателя на дадена алгебрична фракция. Това ви позволява незабавно да видите присъствието или отсъствието на общи множители.

Ефектът от намаляването на алгебричната фракция се основава на основното свойство на алгебрична фракция, изразена от равнопоставеност, където А, В, С е някои полиноми и В и С - ненулева. Първата стъпка, фракцията е дадена на формата a · c b · c, в която незабавно забелязваме общия фактор c. Втората стъпка е да се намали, т.е. Преход към част от формата b.

Характерни примери

Въпреки някои доказателства, ние изясняваме за конкретен случай, когато числителят и знаменателят на алгебричната фракция са равни. Подобни фракции са идентично равни на 1 по цялата променлива на тази фракция:

5 5 \u003d 1; - 2 3 - 2 3 \u003d 1; x x \u003d 1; - 3, 2 · х 3 - 3, 2 · х 3 \u003d 1; 1 2 · X - X 2 · Y 1 2 · X - X 2 y;

Тъй като обикновените фракции са специален случай на алгебрични фракции, ние ще ви напомним как да ги намалите. Естествените номера, записани в числа и знаменател, са поставени на прости мултипликатори, след това общият фактори са намалени (ако има такива).

Например, 24 1260 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 \u003d 2 3 · 5 · 7 \u003d 2 105

Работата на прости идентични фактора може да бъде написана като градуса, а в процеса на намаляване на фракцията да се използва свойството на степен по степени със същите основи. Тогава горното решение ще бъде:

24 1260 \u003d 2 3 · 3 2 2 · 3 2,5 · 7 \u003d 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 \u003d 2 105

(Числителят и знаменателят са разделени в общ фактор 2 2 · 3). Или за яснота, разчитайки на свойствата на умножението и разделението, ние ще дадем този вид решение:

24 1260 \u003d 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 \u003d 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 \u003d 2 1 · 1 3 · 1 35 \u003d 2 105

По аналогия алгебричните фракции се намаляват, в които числото и знаменателят имат универсален с целочислени коефициенти.

Пример 1.

Алгебричната фракция е дадена - 27 · А 5 · B 2 · C Z6 · А2 · B 2 · C 7 · Z. Необходимо е да се намали.

Решение

Възможно е да се напише цифров и знаменател на дадена фракция като продукт на прости мултипликатори и променливи, след което намаляването:

27 · А 5 · B 2 · C Z6 · A 2 · B 2 · C7 · Z \u003d - 3 · 3 · 3 · a · b · c · z 2 · 3 · a · · c · c · ° С · z \u003d \u003d - 3 · 3 · a · ° · ° · c · c · c · c · c · c \\ t \u003d - 9 · А 3 2 · C 6

Въпреки това, по-рационален начин ще записва решение под формата на изрази с градуса:

27 · А 5 · B 2 · C Z6 · A 2 · B 2 · C 7 · Z \u003d - 3 3 · А 5 · 3 · ° С 2 · 3 · А2 · B 2 · C 7 · Z \u003d - 3 3 2 · 3 · А 5 А2 · B 2 B2 · CC7 ZZ \u003d \u003d \u003d - 3 3 - 1 2 · А 5 - 2 1 · 1 ° С 7 - 1 · 1 \u003d · - 3 2 · А3 2 · C6 \u003d · - 9 · А 3 2 · С6.

Отговор: - 27 · А 5 · B 2 · C · Z6 · А2 · B 2 · C 7 · Z \u003d - 9 · А 3 2 · C 6

Когато алгебричната фракция в числителя и знаменателя има частични цифрови коефициенти, има два начина за по-нататъшни действия: или отделно разделят тези частични коефициенти, или да се отървете от частични коефициенти, умножаване на числителя и знаменателя за един вид естествен номер. Последната трансформация се извършва поради основните свойства на алгебричната фракция (възможно е да се чете за нея в статията "Работа с алгебрична фракция за нов знаменател").

Пример 2.

Дадена е фракцията 2 5 · x 0, 3 · x 3. Необходимо е да се намали.

Решение

Възможно е да се намали фракцията по този начин:

2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 2 5 3 10 · x x 3 \u003d 4 3 · 1 x 2 \u003d 4 3 · x 2

Нека се опитаме да решим проблема, в противен случай, предварително да се отървете от фракционните коефициенти - умножете числителя и знаменателя до най-малките общи европейски знаменатели на тези коефициенти, т.е. на NOC (5, 10) \u003d 10. Тогава получаваме:

2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 \u003d 4 · х 3 · х 3 \u003d 4 3 · х 2.

Отговор: 2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 4 3 · x 2

Когато намалим алгебричната част от споделена форма, в която цифрите и знаменателите могат да бъдат както универсални, така и полиноми, проблемът е възможен, когато общият фактор не винаги се вижда веднага. Или още повече, той просто не съществува. След това, за да се определи общия фактор или фиксиране на факта за неговото отсъствие, числителят и знаменателят на алгебричната фракция се поставят върху множителите.

Пример 3.

Рационалната фракция 2 · А2 · B 2 + 28 · A · B 2 + 98 · B 2 A2 · B3 - 49 · B3. Необходимо е да го отрежете.

Решение

Ще разложим полиноми в цифров и знаменател. Прилагане за скоби:

2 · А2 · B 2 + 28 · A · B 2 + 98 · B 2 A2 · B 3 - 49 · B 3 \u003d 2 · В2 · (А2 + 14 · А + 49) В3 · (a 2 - 49)

Виждаме, че изразът в скоби може да бъде преобразуван чрез формулите на съкратеното умножение:

2 · B 2 · (А2 + 14 · А + 49) В3 · (А2-49) \u003d 2 · В2 · (A + 7) 2 В3 · (А - 7) (А + 7) \\ t

Ясно е, че е възможно да се намали фракцията върху общата фабрика B 2 · (a + 7). Ще намалим:

2 · B 2 · (A + 7) 2 B 3 · (A - 7) · (A + 7) \u003d 2 · (A + 7) b · (А - 7) \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · Б.

Кратко решение без обяснение пишем като верига от равенства:

2 · А2 · B 2 + 28 · A · B 2 + 98 · B 2 A2 · B 3 - 49 · B 3 \u003d 2 · B 2 · (А2 + 14 A + 49) В3 · (А2 - 49) \u003d \u003d 2 · B 2 · (A + 7) 2 В3 · (А - 7) · (A + 7) \u003d 2 · (A + 7) b · (А - 7) \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · B

Отговор: 2 · А2 · B 2 + 28 · A · B 2 + 98 · B 2 A2 · B3 - 49 · B 3 \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · b.

Случва се, че общи фактори са скрити от числови коефициенти. След това, при рязане на фракции, оптималните цифрови фактори с висшите степени на числителя и знаменател, който трябва да се осъществи зад скобите.

Пример 4.

Dana алгебрична фракция 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 y - 3 1 2. Необходимо е да се извърши неговото намаляване, ако е възможно.

Решение

На пръв поглед цифрорът и знаменателят не съществуват общ знаменател. Въпреки това, нека се опитаме да конвертирате дадена фракция. Ще донеса мултипликатор X в числа:

1 5 · X - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 y - 3 1 2 \u003d x · 1 5 - 2 7 · х 2 · y 5 · х 2 · y - 3 1 2

Сега определена прилика на изразите в скоби и изрази в знаменателя поради x 2 y y . Ще нося числени коефициенти за скобата със старши степени на тези полиноми:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 y - 3 1 2 \u003d x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · х 2 · y - 1 5 · 3 1 2 \u003d - - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · х 2 · y - 7 10

Сега общият мултипликатор става видим, ние извършваме намаляване:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 \u003d - 2 7 · x 5 \u003d - 2 35 · x

Отговор: 1 5 · x - 2 7 · х 3 · y 5 · х 2 y - 3 1 2 \u003d - 2 35 · x.

Нека акцентът върху факта, че умението за намаляване на рационалните фракции зависи от способността да се разпределят полиноми към множителите.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

На пръв поглед алгебричните фракции изглеждат много трудни и неподготвен ученик може да мисли, че е невъзможно да се направи нещо с тях. Пътуването на променливите, номерата и дори степените налага страх. Въпреки това, за да се намали обичайното (например 15/25) и алгебрични фракции, се използват същите правила.

Стъпка

Намаляване на фракциите

Проверете действията с прости фракции. Операциите с конвенционални и алгебрични фракции са сходни. Например, ние вземаме изстрел 15/35. Следва тази фракция, следва намерете общ разделител. И двата номера са разделени от пет, така че можем да маркираме 5 в числителя и знаменателя:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Сега ти можеш намалете общите мултипликатори, т.е. изтрийте 5 в числителя и знаменателя. В резултат на това получаваме опростена фракция 3/7 . В алгебрични изрази Обикновените мултиплици се открояват по същия начин, както в обикновените. В предишния пример успяхме лесно да разграничим 5 от 15 - същия принцип е приложим за по-сложни изрази, като например 15x - 5. Ще намерим общ фактор. В този случай, той ще бъде 5, тъй като и двамата членове (15x и -5) са разделени на 5. Както и преди, ще подчертаем общ мултипликатор и ще го прехвърлим наляво.

15x - 5 \u003d 5 * (3x - 1)

За да проверите дали всичко е достатъчно правилно, за да се размножават 5, които стоят в скоби в скоби - в резултат на това ще бъдат в началото. Комплексните членове могат да бъдат разпределени по същия начин като прост. За алгебрични фракции същите принципи се прилагат като за обикновените. Това е най-лесният начин за намаляване на фракцията. Помислете за следната фракция:

(x + 2) (x-3)(x + 2) (x + 10)

Обърнете внимание, че в цифровия (отгоре) и в знаменател (отдолу) има член (X + 2), така че може да бъде намален по същия начин като общия мултипликатор 5 в фракцията 15/35:

(x + 2) (x-3) → (X-3) (x + 2) (x + 10) → (x + 10)

В резултат на това получаваме опростен израз: (x-3) / (x + 10)

Намаляване на алгебрични фракции

Намерете общ мултипликатор в числа, т.е. в горната част на фракцията. С намаляване на алгебричните фракции, първото нещо трябва да опрости двете части от него. Започнете от числителя и се опитайте да го разградите възможно най-много фактори. Помислете в този раздел следната фракция:

9x-3.15x + 6.

Нека започнем с числа: 9x - 3. за 9x и -3, общият фактор е номер 3. Ще обобщя 3 на скоби, както се прави с конвенционални номера: 3 * (3x-1). В резултат на тази трансформация следващата фракция ще се окаже:

3 (3x-1)15x + 6.

Намерете общ мултипликатор в числителя. Ще продължим да изпълняваме горния пример и да изпим знаменателя: 15x + 6. Както и преди, ще открием какъв брой части са разделени. И в този случай общият фактор е 3, така че можете да пишете: 3 * (5x +2). Нека пренапишем фракцията в следната форма:

3 (3x-1)3 (5x + 2)

Намаляване на същите членове. На тази стъпка можете да опростите фракцията. Намалете същите елементи в числа и знаменател. В нашия пример това е номер 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x + 2) → (5x + 2)

Определете, че фракцията има най-простия поглед. Фракцията е напълно опростена в случая, когато в числителя и знаменателя няма общи множители. Обърнете внимание, че е невъзможно тези членове, които стоят в скобите - в примера по-горе, не е възможно да се разпределят x от 3x и 5x, тъй като пълните членове са (3x -1) и (5x + 2). Така фракцията не се поддава на по-нататъшно опростяване и окончателният отговор е следният:

(3x-1)(5x + 2)

Повторете сами. Най-добрият начин за усвояване на метода е независимо решение Задачи. При примери са дадени правилни отговори.

4 (x + 2) (x-13)(4x + 8)

Отговор: (x \u003d 13)

2x 2 -x.5x.

Отговор:(2x-1) / 5

Специални техники

Вземете отрицателен знак отвъд фракцията. Да предположим, че следващата фракция е дадена:

3 (x-4)5 (4-X)

Обърнете внимание, че (X-4) и (4-X) "почти" идентични, но те не могат да бъдат намалени незабавно, тъй като те са "обърнати". Въпреки това, (x - 4) може да бъде написано като -1 * (4 - x), точно както (4 + 2x) може да бъде пренаписано като 2 * (2 + x). Това се нарича "промяна на знака".

-1 * 3 (4-x)5 (4-X)

Сега можете да намалите същите елементи (4-x):

-1 * 3 (4-x)5 (4-X)

Така получаваме окончателния отговор: -3/5 . Научете се да разпознавате разликата в квадратите. Разликата в квадратите е, когато квадрата на един номер се изважда от квадрата на друг номер, както в експресията (2 - В2). Разликата в пълните квадрати винаги може да бъде разложена на две части - количеството и разликата на съответното квадратни корени. След това изразът ще приеме следната форма:

А2 - B 2 \u003d (A + B) (A-B)

Тази техника е много полезна при търсене на общи членове в алгебрични фракции.

• Проверете дали сте поставили правилния израз на множителите. За да направите това, трябва да се получат многобройни мултиплици - в резултат на това.
• За да се опростим напълно фракцията, винаги разпределете най-големите мултипликатори.

Предмет:Отдаване на полиноми за мултипликатори

Урок:Алгебрични фракции. Намаляване на алгебричните фракции в по-сложни случаи

Спомнете си, че алгебриката е отношението на полиноми:

В предишния урок проведохме аналогия между алгебричната фракция и аритметичната фракция. Припомням си:

Резултатът от разлагането на мултипликателите на числителя и знаменателя е някаква фракция;

По-конкретно беше фракция

Подайте посочения израз:

Заменяме броя на промените в x, y, z, получаваме:

Припомнете си, че основната задача при работа с алгебрични фракции е да се разложи числителя и знаменател за мултипликатори и ако такава възможност да се намалят общите мултипликатори.

Помислете за примери:

Конвертираме числителя, използвайки формулата за квадратна разлика:

Поправете поправящия се общ мултипликатор:

В резултат на разделянето на букети бяха получени двуглави, които рисувахме формулата на разликата в кубчетата и получихме прекъсване на мултипликатори;

Разстелете цифровия и знаменател на множителите. Знаменателят е изрично формулата на квадрата на сумата, а в числителя под площада има разлика в квадратите:

За това ще разкрием площада в числа, за който всеки множител се издига в квадрата:

Поправете общата фабрика:

Пример 3 - Опростете фракцията и изчислете стойността му, когато:

Разпространете цифровия и знаменател на множителите:

Поправете общата фабрика:

Ние ще заменим стойността и ще изчислим стойността на Fraci:

Пример 4 - Опростете фракцията и изчислете стойността му, когато:

Приложете към цифровата формула за разликата на квадратите и до знаменателя сумата от сумата на квадрата:

Ще заменим стойността и изчисляваме:

Пример 5 - Разграждане на мултипликатори:

Приложете метода на групиране, за да разградите номера и знаменателя:

Поправете общата фабрика:

Изход: В този урок си спомнихме какво е алгебрична фракция и какви са основите на работата с нея. Научихме се как да решаваме сложни примери и да осигурим уменията за решаване на задачи с алгебрични фракции.

1. DOROFEYEV G.V., Суворова с.Б., Байнович Е.А. И други. Algebra 7. 6 издание. М.: Просветление. 2010.

2. Merzlyak, A.g., Polonsky v.b., Yakir M.S. Алгебра 7. м.: Графика на Ventana

3. Колягин Ю., Ткачев M.V., Fedorova n.e. и други. Алгебра 7 .m.: Просветление. 2006.

1. Всички елементарни математика ().

Задача 1: Kolyagin YUM., Tkachev M.V., Fedorova N.E. и други. Алгебра 7, № 446, чл.152;

Задача 2: Колягин Ю.М., Тачев М.В., Федорова Н.Е. и други. Алгебра 7, № 447, чл.152;

Задача 3: Kolyagin Yu.m., Tkachev M.v., Fedorova N.E. et al. Algebra 7, № 448, чл.152;