Кои изрази са аритметична прогресия. Алгебрична прогресия

Например, последователността (2); (пет); (осем); (единадесет); (14) ... е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предишния (може да бъде получен от предишното добавяне на треска):

В тази прогресия разликата (D) е положителна (равна на (3)) и следователно всеки следващ елемент е по-голям от предишния. Такава прогресия се нарича повишаване на.

Въпреки това, (D) може да е отрицателно число. напримерв аритметична прогресия (шестнадесет); (10); (четири); (- 2); (- 8) ... Разликата на прогресията (D) е минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат низходящ.

Определяне на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Номерата, формиращи прогресията, го наричат членове (или елементи).

Те са обозначени с една и съща буква като аритметична прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента в ред.

Например, аритметична прогресия (A_N \u003d оставена (2; 5; 8; 11; 14 ... дясно)) се състои от елементи (A_1 \u003d 2); (A_2 \u003d 5); (A_3 \u003d 8) и така нататък.

С други думи, за прогресия (A_N \u003d оставена (2; 5; 8; 11; 14 ... дясно) \\ t

Решаване на задачи за аритметична прогресия

По принцип горната информация вече е достатъчна за решаване на почти всяка задача за аритметична прогресия (включително тези, които предлагат на OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя чрез условия (B_1 \u003d 7; D \u003d 4). (B_5).
Решение:

Отговор: (B_5 \u003d 23)

Пример (OGE). Първите трима членове на аритметичната прогресия са дадени: (62; 49; 36 ...) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия.
Решение:

	Намаляваме първите елементи на последователността и е известно, че това е аритметична прогресия. Това означава, че всеки елемент е различен от същия брой съседни. Ние научаваме за какво, приспадане от следващия елемент предишен: (d \u003d 49-62 \u003d -13).
	Сега можем да възстановим нашата прогресия към тази, от която се нуждаем (първи отрицателен) елемент.
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Има няколко аритметични аритметични прогресионни елементи на елементите на аритметичната прогресия: (... 5; x; 10; 12.5 ...) Намерете стойността на елемента, посочен от буквата (x).
Решение:

	За да намерите (x), трябва да знаем колко следващият елемент се различава от предишния, с други думи - разликата в прогресията. Ние ще го намерим от два известни съседни елемента: (D \u003d 12.5-10 \u003d 2.5).
	И сега без никакви проблеми откриваме желаното: (x \u003d 5 + 2.5 \u003d 7.5).
	Готов. Можете да напишете отговор.

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя чрез следните условия: \\ t (A_1 \u003d -11); (A_ (n + 1) \u003d A_N + 5) Намерете сумата от първите шест членове на тази прогресия.
Решение:

Трябва да намерим размера на първите шест членове на прогресията. Но ние не знаем техните ценности, ни се дават само първия елемент. Затова първо изчислете стойностите от своя страна, като използвате това за нас:

(n \u003d 1); (A_ (1 + 1) \u003d A_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6)
(n \u003d 2); (A_ (2 + 1) \u003d A_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1 \\ t
(n \u003d 3); (A_ (3 + 1) \u003d A_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4)
И изчислението на шестте елемента, от които се нуждаем - откриваме тяхната сума.

(S_6 \u003d A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 \u003d \\ t
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Установено е желаната сума.

Отговор: (S_6 \u003d 9).

Пример (OGE). В аритметична прогресия (A_ (12) \u003d 23); (A_ (16) \u003d 51). Намерете разликата в тази прогресия.
Решение:

Отговор: (D \u003d 7).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много задачи за аритметична прогресия могат да бъдат решени, просто разбираме основното - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне към предишния и същия номер ( разлика в прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, когато е доста неудобно да се реши "в челото". Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не пети елемент (B_5) и триста осемдесет и шест (B_ (386)). Това е, което (385) да добави четири пъти? Или си представете, че в предпоследния пример е необходимо да се намери сумата от първите седемдесет и три елемента. Помислете за изтезанията ...

Ето защо, в такива случаи, "в челото" не решават, но използвайте специални формули, получени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата на невалиден член на прогресията и формулата на сумата (n) на първите членове.

(N) - член: (A_N \u003d A_1 + (N - 1) D), където (A_1) е първият срок на прогресията;
(n) - броя на артистичния елемент;
(A_N) е член на прогресията с номера (n).

Тази формула ни позволява бързо да намерим най-малко три стотни, най-малко един милион елемент, знаейки само първата и разликата в прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се определя чрез условия: (B_1 \u003d -159); (D \u003d 8.2). (B_ (246)).
Решение:

Отговор: (B_ (246) \u003d 1850).

Формула на количеството на първите членове: (S_N \u003d FRAC (A_1 + A_N) (2) CDOT N), където

(A_N) - последният призован член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условия (A_N \u003d 3.4N-0.6). Намерете сумата на първите (25) членове на тази прогресия.
Решение:

(S_ (25) \u003d \\ t (4) (A_1 + A_ (25)) (2) \\ t		За да се изчисли размерът на първите двадесет и пет елемента, трябва да знаем стойността на първия и двадесет петия член. Нашата прогресия се задава по формулата на еленен член в зависимост от неговия номер (виж повече подробности). Да изчислим първия елемент, заместващ вместо единица (n).
(n \u003d 1;) \\ t (A_1 \u003d 3.4 · 1-0.6 \u003d 2.8)		Сега ще намерим двадесет и петия член, заместващ вместо (n) двадесет и пет.
(n \u003d 25;) \\ t (A_ (25) \u003d 3.4 · 25-0.6 \u003d 84.4)		Е, и сега без никакви проблеми, изчисляваме желаната сума.
(S_ (25) \u003d) (FRAC (A_1 + A_ (25)) (2) \\ t (cdot 25 \u003d \\ t (\u003d \\ T) \\\\ (2.8 + 84.4) (2) \\ t (cdot 25 \u003d) (1090)		Отговорът е готов.

Отговор: (S_ (25) \u003d 1090).

За сумата (n) първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да (S_ (25) \u003d) \\ t (FRAC (A_1 + A_ (25)) (2) \\ t CDOT 25) вместо (A_N), замества формулата за него (A_N \u003d A_1 + (N- 1) D). Получаваме:

Формула на количеството на първите членове: (S_N \u003d) \\ t (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\ t (ccot n), където

(S_N) е желаното количество (n) на първите елементи;
(A_1) - първият призован член;
(D) - разликата в прогресията;
(n) - броя на елементите в сумата.

Пример. Намерете сумата на първото (33) - бивнето на членовете на аритметичната прогресия: (17); (15,5); (четиринадесет) ...
Решение:

Отговор: (S_ (33) \u003d - 231).

По-сложни задачи за аритметична прогресия

Сега имате цялата необходима информация за решаване на почти всяка задача за аритметична прогресия. Попълнете темата с разглеждането на задачите, в които не е лесно да се използват формули, но също така и да се мисли малко (в математиката е полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: (- 19.3); \\(-деветнайсет\\); (- 18.7) ...
Решение:

(S_N \u003d) \\ t (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\ t		Задачата е много подобна на предишната. Ние също така започваме да решаваме: Първо откриваме (D).
(D \u003d A_2-A_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0.3)		Сега бих замествал (D) във формулата за сумата ... и тук малкият нюанс се появява - не знаем (n). С други думи, ние не знаем колко членове трябва да бъдат сгънати. Как да разберете? Нека да помислим. Ние спрем сгъваеми елементи, когато стигнем до първия положителен елемент. Това е, трябва да знаете номера на този елемент. Как? Ние пиша формулата за изчисляване на всеки елемент от аритметична прогресия: (A_N \u003d A_1 + (N - 1) D) за нашия случай.
(A_N \u003d A_1 + (N - 1) D \\ t
(A_N \u003d -19,3 + (N- 1) · 0.3)		Нуждаем се, така че (A_N) стана повече нула. Така с това, което ще се случи.
(- 19.3+ (n - 1) · 0,3\u003e 0)
((N - 1) · 0,3\u003e 19.3) \\ t		Ние разделяме двете части на неравенството на (0.3).
(N-1\u003e) (FRAC (19.3) (0.3) \\ t		Носете минус, без да забравяте да променяте знаците
(N\u003e) (FRAC (19.3) (0.3) (+ 1) \\ t		Изчисли ...
(n\u003e 65,333 ... \\ t		... и се оказва, че първият положителен елемент ще има номер (66). Съответно, последният отрицателен има (n \u003d 65). Само в случай, проверете го.
(n \u003d 65;) \\ t (A_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) · 0.3 \u003d -0.1 \\ t (n \u003d 66;) \\ t (A_ (66) \u003d - 19.3+ (66-1) · 0.3 \u003d 0.2)		Така трябва да сгънем първите (65) елемента.
(S_ (65) \u003d \\ t (Frac (2 cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \\ t(CCOT 65) (S_ (65) \u003d) ((- 38,6 + 19.2) (2) \\ t (cdot 65 \u003d -630.5)		Отговорът е готов.

Отговор: (S_ (65) \u003d - 630.5).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя чрез условия: (A_1 \u003d -33); (A_ (N + 1) \u003d A_N + 4). Намерете сумата от (26) до (42) елемент, включващ.
Решение:

(A_1 \u003d -33;) (A_ (N + 1) \u003d A_N + 4)	Тази задача също трябва да намери количеството елементи, но да не започне от първото и C \\ t (26). За такъв случай нямаме формули. Как да решим? Лесно - да получите сумата от (26) - ОХ, е необходимо първо да намерите сумата от (1) - уау (42) - о, и след това приспадане сумата от нея първо до (25) - CSO (виж снимка).
	За нашата прогресия (A_1 \u003d -33) и разликата (D \u003d 4) (в края на краищата добавяме към предишния елемент към предишния елемент, за да намерим следващия). Знаейки това, ще намерим сумата на първата (42) - приключва.
(S_ (42) \u003d \\ t (Frac (2 cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\ t(ccot 42 \u003d \\ t (FRAC (-66 + 164) (2) \\ t (cdot 42 \u003d 2058)	Сега сумата на първите (25) елементи.
(S_ (25) \u003d \\ t (Frac (2 cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \\ t(Ccot 25 \u003d \\ t (\u003d \\ _) \\\\ (-66 + 96) (2) \\ t (cdot 25 \u003d 375)	И накрая, изчисляваме отговора.
(S \u003d S_ (42) -S_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683)

Отговор: (S \u003d 1683).

За аритметична прогресия има още няколко формули, които не сме разглеждали в тази статия поради тяхната малка практическа полезност. Въпреки това лесно можете да ги намерите.

I. V. Yakovlev | Математически материали | Mathus.ru.

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е специална последователност от форми. Ето защо, преди да дадете дефиницията на аритметика (и след това геометрична) прогресия, трябва да обсъдим накратко важната концепция за числената последователност.

Последователност

Представете си устройството на екрана, на което се показват някои числа. Да кажем 2; 7; 13; един; 6; 0; 3; ::: такъв набор от числа е просто пример за последователност.

Определение. Числената последователност е набор от числа, в които всеки номер можете да присвоите уникален номер (т.е. да композирате едно естествено число) 1. Номер n номер n-m пишка Последователности.

Така, в примера по-горе, първото число има номер 2 е първият член на последователността, който може да бъде обозначен с А1; Номер пет има номер 6 е петият член на последователността, който може да бъде обозначен с A5. Изобщо, n-ти член Последователността се обозначава с (или BN, CN и т.н.).

Ситуацията е много удобна, когато N-тият член на последователността може да бъде поискан за някаква формула. Например, формулата AN \u003d 2N3 определя последователността: 1; един; 3; пет; 7; :::: формула AN \u003d (1) n поставя последователността: 1; един; един; един; :: :::

Не е много числа е последователност. Така че сегментът не е последователност; Съдържа много много числа, за да могат да се наемат. Задаването r от всички валидни числа също не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математическия анализ.

Аритметична прогресия: Основни определения

Сега сме готови да дефинираме аритметична прогресия.

Определение. Аритметичната прогресия е последователност, всеки член на който (от второто) е равен на количеството на предишния член и определен фиксиран номер (наричан разликата в аритметичната прогресия).

Например, последователност 2; пет; осем; единадесет; ::: Това е аритметична прогресия с първия термин 2 и разликата 3. Последователност 7; 2; 3; осем; ::: Това е аритметична прогресия с първия термин 7 и разликата 5. Последователност 3; 3; 3; ::: Това е аритметична прогресия с разлика, равна на нула.

Еквивалентно определение: последователността А се нарича аритметична прогресия, ако разликата A + 1 е постоянна стойност (независима от n).

Аритметичната прогресия се нарича увеличение, ако разликата му е положителна и намалява, ако разликата му е отрицателна.

1, но повече лаконична дефиниция: последователността е функция, определена на комплекта естествени числа. Например, последователността на валидните числа има F: N функция! R.

По подразбиране последователността се счита за безкрайна, която съдържа безкрайно много числа. Но никой не притеснява крайните последователности; Всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайната последователност. Например крайната последователност 1; 2; 3; четири; 5 се състои от пет номера.

Формула на N-тия член на аритметичната прогресия

Лесно е да се разбере, че аритметичната прогресия е напълно определена от два числа: първият член и разликата. Ето защо възниква въпросът: как, знаейки първия мандат и разликата, намират произволен член на аритметичната прогресия?

Получете желаната формула на N-тия член на аритметичната прогресия не е трудно. Нека да.

аритметична прогресия с разлика d. Ние имаме:
aN + 1 \u003d AN + D (n \u003d 1; 2; :: :):
По-специално, пишем:
a2 \u003d A1 + D;
a3 \u003d A2 + D \u003d (A1 + D) + D \u003d A1 + 2D;
a4 \u003d A3 + D \u003d (A1 + 2D) + D \u003d A1 + 3D;
и сега става ясно, че формулата за AN има формата:
al \u003d A1 + (N1) D:

Задача 1. В аритметична прогресия 2; пет; осем; единадесет; :::: Намерете формулата на N-тия член и изчислете стотен член.

Решение. Според формулата (1) имаме:

aN \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3N 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Собственост и знак за аритметична прогресия

Собственост на аритметична прогресия. В аритметична прогресия за всеки

С други думи, всеки член на аритметичната прогресия (от второто) е средноаритметични съседни членове.

	Доказателства. Ние имаме:
	a N 1 + N + 1		(Г) + (AN + D)

какво е необходимо.

| Повече ▼ обикновен начинза аритметична прогресия равенството е справедливо

n \u003d a n k + a n + k

с всеки N\u003e 2 и всеки естествен k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказва се, че формулата (2) служи не само необходима, но и достатъчно условие, че последователността е аритметична прогресия.

Знак за аритметична прогресия. Ако не се извършва равенство (2) за всички N\u003e 2, тогава последователността А е аритметична прогресия.

Доказателства. Ние пренаписваме формула (2), както следва:

a n a n 1 \u003d a n + 1 a n:

Може да се види, че разликата A + 1 не зависи от N, и това е точно това, което означава, че последователността е аритметична прогресия.

Имотът и знак за аритметична прогресия могат да бъдат формулирани под формата на едно изявление; Ще го направим за удобство за трима числа (тази ситуация често се среща в задачите).

Характеризиране на аритметична прогресия. Три номера a, b, c образуват аритметична прогресия след това и само ако 2b \u003d a + c.

Задача 2. (MSU, ESCU. FT, 2007) Три номера 8x, 3 x2 и 4 в определената процедура образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете x и посочете разликата в тази прогресия.

Решение. Чрез собственост на аритметична прогресия, ние имаме:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Ако X \u003d 1, след това намаляващото развитие от 8, 2, 4 се получава с разлика от 6. Ако х \u003d 5, тогава се получава нарастваща прогресия 40, 22, 4; Този случай не е подходящ.

Отговор: x \u003d 1, разликата е равна на 6.

Сумата на първите n членове на аритметичната прогресия

Легендата казва, че един ден учителят нареди на децата да намерят сумата от числата от 1 до 100 и седнаха спокойно прочетете вестника. Въпреки това, няколко минути не минаваха, тъй като едно момче каза, че решава задачата. Това беше 9-годишен Карл Фридрих Гаус, впоследствие един от най-големите математици в историята.

Идеята за малко Гаус е както следва. Нека бъде

S \u003d 1 + 2 + 3 + :: + 98 + 99 + 100:

Ние пишем тази сума в обратен ред:

S \u003d 100 + 99 + 98 + :: + 3 + 2 + 1;

и постави две от тези формули:

2s \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + :: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Всеки термин в скоби е равен на 101 и всички такива термини 100. Следователно

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

Използваме тази идея за продукцията на сумата от сумата.

S \u003d A1 + A2 + :: + AN + A N N: (3)

Полезната модификация на формула (3) се получава, ако заменят формулата на N-The An \u003d A1 + (N1) D:

		2A1 + (n 1) d

Задача 3. Намерете сумата от всички положителни трицифрени числа, разделени на 13.

Решение. Трицифрени числа, множествени 13, образуват аритметична прогресия с първия елемент 104 и разликата между 13; N-тият член на тази прогресия е:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13N:

Нека разберем колко членове съдържа нашата прогресия. За да направите това, решайте неравенството:

6 999; 91 + 13N 6 999;

n6 908 13 \u003d 6911 13; N 6 69:

Така че, в нашата прогресия от 69 членове. По формула (4) откриваме търсената сума:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

Така че седнете и започнете да пишете никакви цифри. Например:
Можете да пишете каквито и да са цифри и те могат да бъдат такава (в нашия случай). Колко числа не сме написали, винаги можем да кажем коя от тях е втората и така на последната, т.е. можем да ги вкопаем. Това е пример за цифрова последователност:

Последователност на числа
Например, за нашата последователност:

Целевият номер е характерно само за един брой последователности. С други думи, няма три втора числа в последователността. Второто число (като номер) винаги е едно.
Номерът с номера се нарича член на последователността.

Обикновено наричаме цялата последователност (например) и всеки член на тази последователност е същата буква с индекс, равен на броя на този член :. \\ t

В нашия случай:

Да предположим, че имаме последователност на числав която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква.
Например:

и т.н.
Такава цифрова последователност се нарича аритметичен напредък.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор на Boeziem през 6-ти век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна цифрова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията на непрекъснатите пропорции, които са били ангажирани в древните гърци.

Това е цифрова последователност, всеки член е равен на предишния, сгънат със същия номер. Този номер се нарича разлика в аритметичната прогресия и е посочена.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметичен напредък и които не са:

а)
б)
° С)
д)

Измислени? Сравнете нашите отговори:
Е Аритметичен прогрес - B, c.
Не е Аритметична прогресия - а, д.

Нека да се върнем към дадена прогресия () и да се опитаме да намерим значението му - член. Съществува две Как да го намерим.

1. Метод

Можем да добавим към предишната стойност на броя на прогресията, докато не го направим преди прогресията на прогресията. Добре е, че трябва да обобщим малко ляво - само три значения:

Така че член на описаната аритметична прогресия е равен.

2. Метод

И какво, ако трябва да намерим значението на член на прогресията? Сумирането ще отнеме с нас не един час, а не факта, че няма да бъдем погрешни при добавяне на числа.
Разбира се, математиката излезе с метод, в който не е необходимо да се добавя разликата в аритметичната прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно на рисунката ... със сигурност вече сте забелязали някаква редовност, а именно:

Например, нека да видим каква е стойността на член на тази аритметична прогресия:

С други думи:

Опитайте се да намерите значението на член на тази аритметична прогресия по този начин.

Изчислени? Сравнете записите си с отговора:

Моля, обърнете внимание, че имате точно същия номер, както в предишния метод, когато последователно добавихме към предишната стойност на членовете на аритметичната прогресия.
Нека се опитаме да "открием" тази формула - ние го даваме обща форма. и получавам:

Уравнение на аритметичната прогресия.

Аритметичната прогресия нараства и намалява.

Повишаване на - прогресии, при които всяка последваща стойност на членовете е повече от предишната.
Например:

Низходящ - прогресии, при които всяка последваща стойност на членовете е по-малка от предишната.
Например:

Извлечената формула се прилага при изчисляването на членовете както в увеличаване, така и в намаляването на членовете на аритметичната прогресия.
Проверете го на практика.
Получаваме аритметична прогресия, състояща се от следните номера: проверете какъв е броят на тази аритметична прогресия, ако използвате нашата формула при изчисляване:

От тогава:

Така се уверихме, че формулата действа както в низходящата, така и в увеличаването на аритметичната прогресия.
Опитайте се да намерите собствените ми членове на тази аритметична прогресия.

Сравнете получените резултати:

Собственост на аритметична прогресия

Завършете задачата - оттеглите собствеността на аритметичната прогресия.
Да предположим, че ни е дадено такова условие:
- аритметична прогресия, намерете стойност.
Лесно, ще кажете и ще започнете да обмисляте вече известната формула ви:

Нека и след това:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо откриваме, след това го добавим към първия номер и получаваме желаното. Ако прогресията е представена от малки стойности, в това няма нищо сложно и ако номерът ни бъде даден? Съгласен съм, има шанс да направите грешка в изчисленията.
И сега мисля, че е възможно да се реши този проблем в едно действие, използвайки всякаква формула? Разбира се, да, и тя е, че ще се опитаме да го донесем точно сега.

Означаваме желания член на аритметичната прогресия като, формулата за нейното местоположение ни е известна - това е самата формула, получена от нас в началото:
, тогава:

прогресията предишната термин е:
следващ член на прогресия Това е:

Ние обобщаваме предишните и последващите членове на прогресията:

Оказва се, че сумата от предишните и последващите членове на прогресията е двойната стойност на член на прогресията, която е между тях. С други думи, да се намери стойността на член на прогресията с добре познатите предишни и последователни стойности, е необходимо да ги добавите и разделени от.

Точно така, имаме същия номер. Закрепете материала. Изчислете стойността за прогресията сами, защото тя е доста проста.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Оставаше да открие само една формула, която на легендите без затруднения води един от най-големите математици по всяко време, "цар на математиците" - Карл Гаус ...

Когато Carl Gaussu е на 9 години, учител, който проверява работата на учениците от други класове, зададе следната задача на урока: "Пребройте сумата от всички естествени числа от до (от други източници) включително." Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) в минута даде правилния отговор на зададената задача, докато повечето от съучениците на Mozelchka след дълго изчисление получиха грешен резултат ...

Млад Карл Гаус забеляза някаква редовност, която лесно можете да забележите.
Да предположим, че имаме аритметична прогресия, състояща се от член: трябва да намерим размера на тези членове на аритметична прогресия. Разбира се, можем да обобщим ръчно всички ценности, но какво да правим, ако в задачата ще бъде необходимо да се намери сумата на нейните членове, как е търсил Гаус?

Ще изобразя прогресията, дадена за нас. Погледнете внимателно специалните номера и се опитайте да произведете различни математически действия с тях.

Опитах? Какво забелязахте? Право! Техните суми са равни

И сега отговорете, колко са тези двойки в прогресията ни дадени? Разбира се, точно половината от всички номера, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от двама членове на аритметичната прогресия е равна на и такива равни двойки, ние получаваме, че общата сума е:
.
Така формулата за сумата на първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде такава:

В някои задачи ние ни неизвестни, но разликата в прогресията е известна. Опитайте се да замените обобщената формула, формула на член.
Какво направи?

Много добре! Сега ще се върнем към задачата, която Karl Gauss беше настроен: брое самостоятелно, което е равно на количеството на броя, започвайки от -го и количеството номера, вариращи от -го.

Колко сте направили?
Гаус се оказа, че размерът на членовете е равен и размерът на членовете. Решен ли сте?

Всъщност формулата на сумата на членовете на аритметичната прогресия е доказана от древния гръцки учен дифанта през III век, а през това време остроуменните хора са се използвали със свойствата на аритметичната прогресия.
Например, представете си Древен Египет И най-голямото изграждане на времето - изграждането на пирамидата ... Фигурата показва едната страна.

Къде ми казва прогресията? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.

Какво не е аритметична прогресия? Изчислете колко блокове са необходими за конструкцията на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да преброите, водещ пръст върху монитора, помните последната формула и всичко, което говорихме за аритметична прогресия?

В този случай прогресията е както следва :. \\ T
Разликата в аритметичната прогресия.
Брой на членовете на аритметичната прогресия.
Ние заменим данните си в последните формули (изчисляваме броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега е възможно да се изчисли на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Кеширан? Добре направено, вие усвоите сумата на аритметичната аритметична прогресия.
Разбира се, от блоковете в дъното на пирамидата няма да се изгради, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с такова състояние.
Cope?
Правилния отговор - блокове:

Тренировка

Задачи:

Маша идва във форма до лятото. Всеки ден увеличава броя на кляката. Колко пъти Masha ще бъде зашита след седмици, ако тя направи клякам в първата тренировъчна сесия.
Каква е сумата от всички нечетни числа.
Дължините при съхранение на дневници са подредени по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един дневник по-малък от предишния. Колко дневници са в една зидария, ако основата на зидария служи в дневника.

Отговори:

Ние определяме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
(седмици \u003d дни).
Отговор:Две седмици Маша трябва да кляска веднъж на ден.
Първото странно число, последният номер.
Разликата в аритметичната прогресия.
Броят на нечетните номера в половината обаче ще проверят този факт, използвайки формулата на лихвите на аритметичната прогресия:
Числата наистина съдържат нечетни числа.
Наличните данни за заместване във формулата:
Отговор:Сумата от всички нечетни числа, съдържащи се, е равна.
Припомни задачата за пирамидата. За нашия случай, а, тъй като всеки горен слой намалява на един дневник, след това само в куп слоеве, т.е.
Заместващи данни във формулата:
Отговор:В зидария е дневник.

Да обобщим

- Последователност на числата, в която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква. Това се случва да расте и намалява.
Престой на формула "Член на аритметична прогресия се записва по формулата -, където - броят на номерата в прогресията.
Собственост на членове на аритметична прогресия - - Къде - броят на номерата в прогресията.
Сумата на членовете на аритметичната прогресия Може да се намери по два начина:

където - броя на стойностите.

Аритметична прогресия. Средно ниво

Последователност на числа

Нека да седнем и да започнем да пишем никакви номера. Например:

Можете да напишете произволен брой и може да има навсякъде. Но винаги можете да кажете кой от тях, какъв е вторият и т.н., това е, можем да ги вкопчат. Това е пример за цифрова последователност.

Последователност на числа - Това е много числа, всеки от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всеки брой може да бъде поставен в съответствие с определен естествен брой и единственият. И този номер няма да приложим друг номер от този набор.

Номерът с номера се нарича член на последователността.

Много удобно, ако член на последователността може да бъде поискан за някаква формула. Например, формула

определя последователността:

И формулата е такава последователност:

Например, аритметичната прогресия е последователността (първият термин тук е равен и разликата). Или (, разлика).

Формула N-ти елемент

Ние наричаме такава формула, в която трябва да знаете предишните или повече известни по-рано:

Да се \u200b\u200bнамери за такава формула, например член на прогресията, ще трябва да изчислим предишния девет. Например, нека. Тогава:

Е, какво е ясно сега каква формула?

Във всеки ред добавяме умножено по някакъв брой. Какво? Много просто: това е броят на текущия член минус:

Сега много по-удобно, нали? Проверка:

Споделете себе си:

В аритметична прогресия намират формулата на N-тия член и намиране на стотен член.

Решение:

Първият член е равен. И каква е разликата? Но какво:

(Това е така, защото се нарича разлика, която е равна на разликата в последователните членове на прогресията).

Така, формула:

След това стотен член е:

Каква е сумата от всички естествени числа?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, счита за това количество след няколко минути. Той отбеляза, че сумата на първия и последен номер е равна на сумата на втория и предпоследната - сумата от третия и 3 от края е и така нататък. Колко са такива двойки? Точно така, точно половината от броя на всички номера, т.е. Така,

Общата формула за сумата на първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде такава:

Пример:
Намерете сумата от всички две цифри, няколко.

Решение:

Първият такъв номер е. Всеки следващ се получава чрез добавяне към предишния номер. По този начин, номерата, които се интересувате от аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формула - член на този прогресия:

Колко членове в прогресията, ако всички трябва да бъдат двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. Тогава сумата:

Отговор:.

Сега ще реша:

Всеки ден един спортист работи на m по-голям от предишния ден. Колко цели километра работи за една седмица, ако на първия ден той е бил на кил m m?
Велосипедистът се движи всеки ден до км повече, отколкото в предишния. На първия ден той караше километър. Колко дни трябва да отиде да преодолее km? Колко километра ще премине през последния ден от пътя?
Цената на хладилника в магазина ежегодно намалява със същата сума. Определете колко цената на хладилника намалява всяка година, ако е изложена на продажбата за рубли, шест години се продава за рубли.

Отговори:

Тук най-важното е да се признае аритметичната прогресия и да се определят нейните параметри. В този случай (седмици \u003d дни). Необходимо е да се определи размерът на първите членове на тази прогресия:
.
Отговор:
Тук се дава:, трябва да намерите.
Очевидно е, че трябва да използвате същата обобщаваща формула, както в предишната задача:
.
Ние заменим стойностите:
Коренът очевидно не е подходящ, това означава, че отговорът.
Изчислете пътя, преминал през последния ден с помощта на формула на член:
(км).
Отговор:
Дано: Да намеря: .
Това не се случва:
(RUB).
Отговор:

Аритметична прогресия. Накратко за най-важното нещо

Това е цифрова последователност, в която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква.

Аритметичната прогресия нараства () и намалява ().

Например:

Формула за намиране на N-Bous член на аритметичната прогресия

той е написан с формулата, където - броя на номерата в прогресията.

Собственост на членове на аритметична прогресия

Това улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде - броят на броя на прогресията.

Размер на членовете на аритметичната прогресия

Има два начина за намиране на сумата:

Където - броя на стойностите.

Останалите 2/3 статии са достъпни само за учениците от вас!

Станете ученик със себе си,

Подгответе се за OGE или EGE по математика на цената "чаша кафе на месец",

И също така да получите неопределен достъп до учебника "Youclever", програмата за подготовка (Resebnik) "100ргия", неограничена проба ЕГЕ и OGE, 6000 задачи с решения и други услуги на Youclever и 100gia.