Аритметична прогресия с разлика 1. аритметична прогресия
Концепция цифрова последователност Това предполага кореспонденция на всеки естествен брой на някакво валидно значение. Такъв брой числа могат да бъдат и произволни и да притежават определени свойства - прогресия. В последен случай Всеки следващ елемент (член) на последователността може да бъде изчислен с предишния.
Аритметична прогресия - последователността на числени стойности, в които съседните му членове се различават един по един и същ номер (всички елементи на поредицата, започващи от 2-ри) притежават имота. Този номер е разликата между предишния и последващия член - постоянно и се нарича разлика в прогресията.
Разлика на прогресията: определение
Помислете за последователност, състояща се от J стойности A \u003d A (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към набор от естествени числа n. аритметична прогресия , съгласно нейната дефиниция - последователност, в която А (3) - А (2) \u003d А (4) - А (3) \u003d А (5) - A (4) \u003d ... \u003d A (J) - a ( J-1) \u003d d. Стойността на D е желаната разлика в тази прогресия.
d \u003d A (J) - A (J-1).
Разпределяйте:
- Увеличаване на прогресията, в този случай d\u003e 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Намаляване на прогресията, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Разликата в прогресията и нейните произволни елементи
Ако има 2 произволен член на прогресията (I-Th, Kh), тогава разликата за тази последователност може да се основава на връзката:
a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, означава d \u003d (a (i) - a (k)) / (i - к).
Разликата в прогресията и нейния първи член
Този израз ще спомогне за определяне на неизвестната стойност само в случаите, когато е известен номерът на елемента на последователността.
Разликата в прогресията и нейната сума
Размерът на прогресията е сумата на нейните членове. За да се изчисли общата стойност на първите й елементи, използвайте подходящата формула:
S (J) \u003d ((a (1) + a, j)) / 2) * j, но защото a (j) \u003d a (1) + d (J - 1), след това s (j) \u003d (((a (1) + a (1) + d (J - 1)) / 2) * j \u003d ((((((). \\ t 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.
Проучва се темата "аритметична прогресия" общ курс Алгебри в училища в 9 клас. Тази тема е важна за по-нататъшно задълбочено проучване на математиката на числените редове. В тази статия ще се запознаем с прогресията на аритметиката, нейната разлика, както и с типични задачи, които учениците могат да срещнат.
Концепцията за прогресията на алгебриката
Числената прогресия е последователност от числа, в които всеки следващ елемент може да бъде получен от предишния, ако използвате някакъв математически закон. Има два прости вида прогресия: геометрична и аритметика, която също се нарича алгебрична. Нека да живеем по-подробно.
Представете си някакво рационално число, ние обозначаваме с него със символа A1, където индексът показва номера на последователността си в разглежданата поредица. Добавете друг номер на A1, го обозначете d. След това вторият елемент от серията може да бъде отразен, както следва: A2 \u003d A1 + d. Сега отново добавим, получаваме: A3 \u003d A2 + d. Продължавайки тази математическа операция, можете да получите редица числа, които ще се наричат \u200b\u200bаритметична прогресия.
Както може да се разбира от горното, за да се намери N-та елемент от тази последователност, е необходимо да се използва формулата: Al \u003d A1 + (N-1) d. Всъщност, замествайки n \u003d 1 в експресията, получаваме A1 \u003d A1, ако n \u003d 2, след това от формулата следва: A2 \u003d A1 + 1 * D, и така нататък.
Например, ако разликата между аритметичната прогресия е 5 и A1 \u003d 1, това означава, че числовият номер на разглеждания тип има външен вид: 1, 6, 11, 16, 21, ... както можете да видите всеки член повече от предишния.
Разлика в аритметичната прогресия
От горното определение на броя на въпросните номера следва, че за неговото определение трябва да бъдат известни две числа: А1 и д. Последното се нарича разлика в тази прогресия. Определено определя поведението на целия ред. Всъщност, ако D е положителен, цифровият ред непрекъснато ще се увеличава, напротив, в случай на отрицателно, ще се появят нарастващият брой в поредица от само модул, тяхната абсолютна стойност ще намалее с нарастващ номер n.
Каква е разликата в прогресията на аритметиката? Разгледайте двете основни формула, които се използват за изчисляване на тази стойност:
Тези две основни формула се използват за решаване на всякакви задачи, за да се намери разликата в прогресията. Въпреки това има друга формула, която също трябва да знаете.
Сумата на първите елементи
Формулата, която може да бъде определена от сумата на произволен брой членове на прогресията на алгебричния, според исторически доказателства, е получена за първи път от "принца" на математиката на 18-ти век Карл Гаус. Немски учен, докато все още е момче първични оценки Рустик училище, забелязано, че за да се сгъне цел В брой от 1 до 100, първо трябва да обобщим първия елемент и последният (получената стойност е равна на сумата на предпоследните и второто, предишните и трети елементи, и т.н.) и след това този номер трябва да се умножи по броя на тези суми, т.е.
Формула, която отразява очертания резултат върху личен пример, може да бъде обобщен за произволен случай. Ще разгледа: SN \u003d N / 2 * (AN + A1). Обърнете внимание, че за да намерите определената стойност, знанията за разликата d не се изискват, ако са известни двама членове на прогресията (A1).
Пример номер 1. Определят разликата, знаейки двама членове на серията A1 и AN
Нека покажем как да приложим горната формула по-горе. Ние даваме прост пример: разликата в прогресията на аритметика неизвестна, е необходимо да се определи какво ще бъде равно на A13 \u003d -5.6 и A1 \u003d -12.1.
Тъй като знаем стойностите на два елемента на числената последователност, докато един от тях е първият номер, тогава можете да използвате формула № 2, за да определите разликата d. Имаме: d \u003d (- 1 * (- 12.1) + (- 5,6)) / 12 \u003d 0.54167. В израза използвахме стойността n \u003d 13, тъй като членът е известен с този последователен номер.
Получената разлика предполага, че прогресията се увеличава, въпреки факта, че данните в проблема с проблемните елементи имат отрицателна стойност. Може да се види, че A13\u003e A1 обаче | A13 |<|a1|.
Пример номер 2. Положителни прогресионни членове в пример №1
Използваме резултата, получен в предишния пример за решаване на новата задача. Формулира се, както следва: от който ординалният брой на прогресивните елементи в пример 1 ще започне да приема положителни стойности?
Както беше показано, прогресията, при която A1 \u003d -12.1 и D \u003d 0.54167 се увеличава, следователно ще се вземат само положителни стойности от няколко числа. За да се определи този N номер, е необходимо да се реши лесно неравенство, което математически пише, както следва: AN\u003e 0 или използване на съответната формула, пренаписване неравенство: A1 + (N-1) * D\u003e 0. Необходимо е да се намери неизвестен n, изразяващ го: N\u003e -1 * A1 / D + 1. Сега остава да се замени известните стойности на разликата и първия член на последователността. Получаваме: N\u003e -1 * (- 12,1) / 0.54167 + 1 \u003d 23,338 или N\u003e 23,338. Тъй като N може да приемат само целочислени стойности, от полученото неравенство следва, че всички членове на поредицата, които ще имат номер повече от 23, ще бъдат положителни.
Проверете отговора, получен чрез използване на горната формула за изчисляване на 23 и 24 позиции на тази аритметична прогресия. Ние имаме: A23 \u003d -12,1 + 22 * \u200b\u200b0.54167 \u003d -0,18326 (отрицателно число); A24 \u003d -12,1 + 23 * 0.54167 \u003d 0.3584 (положителна стойност). Така полученият резултат е вярно: започвайки с n \u003d 24, всички членове на числения ред ще бъдат по-големи от нула.
Пример номер 3. Колко дневници годни?
Ние даваме една любопитна задача: по време на заготовката на гората е решено да се подреждате един на друг, както е показано на фигурата по-долу. Колко трупа могат да бъдат положени по този начин, като знаете, че 10 реда годни?
В такъв метод на сгъване на трупи може да се види едно интересно нещо: всеки следващ ред ще съдържа един дневник по-малък от предишния, т.е. прогресията на алгебриката, разликата, която е d \u003d 1. Вярвайки, че броят на дневниците на всеки ред е член на тази прогресия, и също така обмисля, че A1 \u003d 1 (само един дневник е поставен на самия връх), ще намерим номера А10. Ние имаме: A10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Това е, в 10-ия ред, който се намира на Земята, ще има 10 трупа.
Общото количество на този "пирамидален" дизайн може да бъде получен, ако използвате формулата Гаус. Получаваме: S10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 трупа.
Внимание!
Тази тема има допълнителни
Материали в специален раздел 555.
За тези, които са силно "не много ..."
И за тези, които са "много ...")
Аритметичната прогресия е редица числа, в които всеки номер е по-голям от (или по-малко) предишната и същата стойност.
Тази тема често е сложна и неразбираема. Индекси на клюна, n-ти член Прогресия, разликата в прогресията - всичко това по някакъв начин обърква, да ... нека да разберем със значението на аритметичната прогресия и всичко ще работи незабавно.)
Концепцията за аритметична прогресия.
Аритметична прогресия - концепцията е много проста и ясна. Съмнение? Напразно.) Виж себе си.
Ще пиша недовършен брой числа:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Можете ли да разширите тази серия? Какви числа ще отидат по-далеч след първите пет? Всеки ... UH-UH ..., Накратко, всеки ще разбере, че числата 6, 7, 8, 9 и т.н. ще продължат.
Завършете задачата. Давам недовършен брой числа:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Можете да хванете редовност, да удължите ред и да се обадите седма Брой редове?
Ако осъзнахте, че това е номер 20 - поздравявам ви! Не само се чувствахте ключови точки на аритметична прогресия, Но и успешно ги използвах в случая! Ако не сте реализирани - четем.
И сега ще прехвърлим ключови моменти от усещания по математика.)
Първи ключов момент.
Аритметичната прогресия се занимава с числа. Това първо се обърка. Ние сме свикнали с уравнението, за да решим, изграждаме графики и всичко това ... и след това да разширим номер, да намерят броя на редовете ...
Нищо грешно. Просто прогресията е първият познат с новия участък на математиката. Секцията се нарича "редове" и работи именно с редиците на цифри и изрази. Свиквам с.)
Вторият ключов момент.
В аритметична прогресия, всеки номер се различава от предишното на същата величина.
В първия пример тази разлика е една. Това, което номер не е нито взето, то е повече от предишния на единица. Във втората - тройка. Всеки номер повече от предишния. Всъщност това е моментът и ни дава възможност да уловим модела и да изчислим следващите номера.
Трета ключова точка.
Този момент не е поразителен, да ... но много, много важно. Ето го: всеки брой прогресия Си струва. Има първото число, има седмо, има четиридесет пети и др. Ако те са объркани, докато падна, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия ще изчезне. Ще има само няколко числа.
Това е цялата точка.
Разбира се, Б. нова тема Появяват се нови термини и нотация. Те трябва да знаят. В противен случай няма да разбера задачата. Например, трябва да решите нещо, подобно на:
Напишете първите шест члена на аритметичната прогресия (AN), ако 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.
Вдъхновява?) Готвеs, някои индекси ... и задачата, между другото - не е по-лесно. Просто трябва да разберете смисъла на термини и обозначения. Сега ще овладеем това нещо и ще се върнем към задачата.
Условия и обозначения.
Аритметична прогресия - това е редица числа, в които всеки брой се различава от предишното на същата величина.
Тази стойност се нарича . Нека да разпознаем с тази концепция по-подробно.
Разликата в аритметичната прогресия.
Разликата в аритметичната прогресия - Това е стойността, която е този брой прогресия повече ▼ предишното.
Един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "Повече ▼". Математически, това означава, че се получава всеки брой прогресия допълване Разликата в аритметичната прогресия към предишния номер.
Да се \u200b\u200bизчисли, да кажем втори Брой редове е необходимо първо Номер добави Тази много разлика в аритметичната прогресия. За изчисление пети - Необходима е разликата добави да се четвърто Добре и т.н.
Разликата в аритметичната прогресия може би положителен Тогава всеки брой редове всъщност ще повече от предишния. Такава прогресия се нарича повишаване на. Например:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Тук всеки номер се оказва допълване Положително число, +5 към предишния.
Разликата може да бъде отрицателен Тогава всеки брой редове ще се окаже по-малко от предишния. Такава прогресия се нарича (няма да повярваш!) низходящ.
Например:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Тук всеки номер се получава също допълване До предишния, но вече отрицателен брой, -5.
Между другото, когато работите с напредък, е много полезно незабавно да се определи неговият характер - той се увеличава или намалява. Той много помага да се движите в решението, ще повредите грешките си и ги поправете, докато не стане твърде късно.
Разликата в аритметичната прогресия означава, като правило, писмото д.
Как да намеря д. ? Много просто. Необходимо е да се отнеме от произволен брой от произволен брой предишен номер. Приспадане. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разлика".)
Ние определяме например, д. За увеличаване на аритметичната прогресия:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Вземете произволен брой редове, както искаме, 11. отнемайте от него предишен номер тези. Осем:
Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.
Можете да вземете точно някакъв брой прогресия Като За специфична прогресия д -винаги едно и също нещо. Въпреки че някъде в началото на реда, дори в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първия номер. Само защото на първото име Няма предишен.)
Между другото, знаейки това d \u003d 3., Много е лесно да се намери седмия брой на тази прогресия. Ние добавяме 3 към петия номер - ще получим шести, ще бъде 17. Ще добавя към шестия брой топ три, получаваме седмия брой - двадесет.
Определи д. За намаляване на аритметичната прогресия:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Напомням ви това, независимо от знаците, за да определите д. нужда от произволен номер отнеме предишния. Изберете произволен брой прогресия, например -7. Предишният има номер -2. Тогава:
d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5
Разликата в аритметичната прогресия може да бъде всеки номер: цели, частични, ирационални, всякакви видове.
Други термини и обозначения.
Всеки брой редове се нарича член на аритметична прогресия.
Всеки член на прогресия има ли вашият номер. Стаите отиват строго в няколко, без никакъв фокус. Първата, втората, третата, четвъртата и т.н. Например, в прогресия 2, 5, 8, 11, 14, ... две - това е първият член, петте, втората, единадесет - четвъртата, добре, вие разбрахте ...) Искам ясно да реализирам - сами може да бъде напълно всички, цели, частични, отрицателни, които паднаха, но номерации - строго в ред!
Как да напиша прогресия в общ? Няма проблем! Всеки брой редове е написан под формата на писмото. Да посочи аритметична прогресия, обикновено е буквата а.. Номерът на член е посочен от индекса в долния десен ъгъл. Членовете пишат през запетая (или точка със запетая), като тази:
a 1, a 2, a 3, 4, 5, .....
а 1.- Това е първото число а 3. - трето и т.н. Нищо без лук. Запишете тази серия, която можете да понявате накратко: (N.).
Прогресията е там Крайни и безкрайни.
Краен Прогресията има ограничен брой членове. Пет, тридесет и осем, колкото искате. Но - краен номер.
Безкраен Прогресия - има безкраен брой членове, както можете да предположите.)
Запишете последната прогресия през серия може да бъде такава, всички членове и точката в края:
а 1, А2, А3, А4, А5.
Или така, ако много членове са:
а 1, А2, ... А 14, А 15.
В кратък запис ще трябва допълнително да посочите броя на членовете. Например (за двадесет членове), подобно:
(a n), n \u003d 20
Безкрайната прогресия може да бъде намерена в изданието в края на реда, както в примерите на този урок.
Сега можете да изпълните задачите. Задачите са прости, чисто да се разберат значението на аритметичната прогресия.
Примери за задачи за аритметична прогресия.
Ще анализираме подробната задача, която е посочена по-горе:
1. Отстранете първите шест члена на аритметичната прогресия (AN), ако 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.
Ние превеждаме задачата на разбираем език. Дана безкрайна аритметична прогресия. Известно е второто число на тази прогресия: а 2 \u003d 5. Разликата в прогресията е известна: d \u003d -2.5. Необходимо е да се намерят първите, трети, четвърти, пети и шести членове на тази прогресия.
За яснота напишете редица състоянието на задачата. Първите шест членове, където вторият член е пета:
a 1, 5, 3, 4, 5, a 6, ....
а 3. = а2. + д.
Ние заменяме изражението 2 \u003d 5 и d \u003d -2.5.. Не забравяйте минус!
а 3.=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третият член се оказа по-малко от втория. Всичко е логично. Ако номерът е по-голям от предишния отрицателен Количеството, тогава самият номер ще се окаже по-малък от предишния. Прогресията се спуска. Добре, помислете.) Смятаме, че четвъртият член на нашата серия:
а 4. = а 3. + д.
а 4.=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
а 5. = а 4. + д.
а 5.=0+(-2,5)= - 2,5
а 6. = а 5. + д.
а 6.=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
По този начин членовете с трети бяха изчислени на шестата. Оказа се такава серия:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Остава да намери първия член а 1. до известен втори. Това е стъпка към другата страна, оставена.) Така че, разликата в аритметичната прогресия д. Не трябва да добавяме а2., но за вкъщи:
а 1. = а2. - д.
а 1.=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Това са всичко. Отговор на търсенето:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Подемно внимание, че решихме тази задача повтарящ се начин. Това е ужасна дума означава само член на прогресията според предишния (съседен) номер. Други начини за работа с напредък ще разгледаме по-нататък.
От тази проста задача можете да направите един важен изход.
Помня:
Ако сме известни поне един член и разликата в аритметичната прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.
Помня? Това просто заключение ви позволява да решите повечето от задачите на курса на училището по тази тема. Всички задачи се въртят около три основни параметъра: член на аритметична прогресия, разликата в прогресията, член на напредъка. Всичко.
Разбира се, цялата предишна алгебра не е отменена.) При прогресията на неравенствата и уравненията и други неща са в капан. Но за самата прогресия - Всичко се завърта около три параметъра.
Например, обмислете някои популярни задачи по тази тема.
2. Запишете крайната аритметична прогресия под формата на серия, ако n \u003d 5, d \u003d 0.4 и 1 \u003d 3.6.
Всичко е просто тук. Всичко вече е дадено. Необходимо е да се помни как се считат членовете на аритметичната прогресия, за изчисляване и писане. Препоръчително е да не пропускате думите в състоянието на заданието: "Final" и " n \u003d 5."За да не се броят за завършване на Scoff.) В тази прогресия само 5 (пет) членове:
a 2 \u003d 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
а 4. = а 3. + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8
а 5. = а 4. + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2
Наляво, за да запишете отговора:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Повече задача:
3. Определете дали броят е 7 член на аритметична прогресия (AN), ако a 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.
Хм ... Кой го познава? Как да определим нещо?
Как ... да, напишете прогресия под формата на ред и вижте, там ще има седем там, или не! Считаме:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1.2 \u003d 5.3
а 3 \u003d A 2 + D \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
а 4. = а 3. + d \u003d 6.5 + 1,2 \u003d 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Сега ясно се вижда, че ние сме просто подхлъзна Между 6.5 и 7.7! Седем влязоха в нашия брой числа и това означава, че седемте няма да бъдат член на дадена прогресия.
Отговор: Не.
Но проблем въз основа на реален вариант GIA:
4. Има няколко последователни членове на аритметична прогресия:
...; петнадесет; х; девет; 6; ...
Тук се записва ред без край и започнете. Няма номера на членове, нито разликата д.. Нищо грешно. За да разрешите задачата, е достатъчно да разберем значението на аритметичната прогресия. Изглеждаме и мислим, че можете открийте От тази серия? Какви са параметрите на трите основни?
Членове на членовете? Няма нито един номер.
Но има три номера и внимание! - дума "Последователно" В състояние. Това означава, че числата са строго по ред, без да прескачат. Има ли два две в този ред съседна известни номера? Да, има! Това е 9 и 6. Стана, можем да изчислим разликата в аритметичната прогресия! От Tutter на Sixtur предишен номер, т.е. Девет:
Имаше останали дреболии. Какъв номер ще бъде предишният за IKSA? Петнадесет. Така че X може лесно да се намери лесно. До 15 Добавете разликата в аритметичната прогресия:
Това е всичко. Отговор: x \u003d 12.
Следните задачи решават. Забележка: Тези задачи не са за формули. Единствено за разбиране на значението на аритметичната прогресия.) Просто напишете ред с числа, погледнете и ние мислим.
5. Намерете първи положителен член на аритметичната прогресия, ако 5 \u003d -3; d \u003d 1.1.
6. Известно е, че числото 5.5 е член на аритметичната прогресия (AN), където 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. Определят броя на N на този член.
7. Известно е, че в аритметична прогресия 2 \u003d 4; 5 \u003d 15.1. Намерете 3.
8. Написани са няколко последователни членове на аритметичната прогресия:
...; 15.6; х; 3.4; ...
Намерете член на прогресията, посочена от буквата x.
9. Влакът започва да се движи от станцията, а равномерно увеличава скоростта от 30 метра в минута. Какво ще бъде скоростта на влака след пет минути? Отговор Дайте km / h.
10. Известно е, че в аритметична прогресия 2 \u003d 5; 6 \u003d -5. Намерете 1..
Отговори (в разстройство): 7.7; 7.5; 9.5; девет; 0.3; четири.
Всичко, което е изработено? Чудесен! Можете да изследвате аритметична прогресия на повече високо нивоВ следните уроци.
Не всичко се случи? Няма проблем. В специална раздел 555 всички тези задачи се разглобяват около костите.) И, разбира се, е описано просто практичен прием, който веднага подчертава решението на тези задачи ясно, ясно е как да се палм!
Между другото, в проблема на влака има два проблема, които хората често се спъват. Единствено е на прогресията, а вторият е общ за всички проблеми в математиката и физиката. Това е превод на размери от един към друг. Показано е как да се решат тези проблеми.
В този урок преразгледахме елементарния смисъл на аритметичната прогресия и основните си параметри. Това е достатъчно, за да разрешите почти всички задачи по тази тема. Нагласям д. За числата напишете ред, всичко ще бъде решено.
Решението "на пръстите" е подходящо за много къси части от число, както в примерите на този урок. Ако ред е по-пълно, изчисленията са сложни. Например, ако е в задачата 9 да замени "пет минути" на "Тридесет и пет минути", Задачата ще стане съществена.)
И има още прости задачи по същество, но невалидни изчисления, например:
Дадена е аритметична прогресия (N). Намерете 121, ако 1 \u003d 3, и d \u003d 1/6.
И какво, ще добавим много повече до 1/6? Можете да го убиете!?
Ако не знаете проста формула, според която такива задачи могат да бъдат решени за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И тази задача е решена там. След минутка.)
Ако ви харесва този сайт ...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и деривати.
