Интеграли и техните свойства. Основни свойства на неопределения интеграл

Основната задача на диференциалното смятанее намирането на производната е '(х)или диференциал df =е '(х)dxфункции е (х).В интегралното смятане се решава обратната задача. За дадена функция е (х) е необходимо да се намери такава функция F (х),Какво F '(x) =е (х)или dF (х) =F '(х)dx =е (х)dx.

Поради това, основната задача на интегралното смятанее възстановяване на функцията F (х)чрез известната производна (диференциал) на тази функция. Интегралното смятане има множество приложения в геометрията, механиката, физиката и инженерството. Той предоставя общ метод за намиране на площи, обеми, центрове на тежестта и др.

Определение. ФункцияF (x), се нарича първообразна за функциятае (x) на множеството X, ако е диференцируемо за всяко иF '(х) =е (х) илиdF (х) =е (х)dx.

Теорема. Всяка непрекъсната на сегмента [а;b] функцияе (x) има първопроизводната на този сегментF (x).

Теорема. АкоF 1 (x) иF 2 (x) - две различни първопроизводни с една и съща функцияе (x) на множеството x, тогава те се различават един от друг с постоянен член, т.е.F 2 (х) =F 1x) +C, където C е константа.

Неопределен интеграл, неговите свойства.

Определение. АгрегатътF (x) +C на всички първопроизводни на функцияе (x) върху множеството X се нарича неопределен интеграл и се означава с:

- (1)

Във формула (1) е (х)dxНаречен интегралната функция,е (x) е интегралната величина, x е променливата на интегрирането,а С - константа на интегриране.

Разгледайте свойствата на неопределения интеграл, произтичащи от неговото определение.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интеграла, диференциалът на неопределения интеграл е равен на интеграла:

и .

2. Неопределеният интеграл от диференциала на някаква функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:

3. Постоянният фактор a (a ≠ 0) може да бъде изведен извън знака за неопределен интеграл:

4. Неопределеният интеграл от алгебричния сбор на краен брой функции е равен на алгебричния сбор от интеграли на тези функции:

5. АкоF (x) е първообразната на функциятае (x), тогава:

6 (инвариантност на интегриращите формули). Всяка формула за интегриране запазва формата си, ако интегриращата променлива е заменена с която и да е диференцируема функция на тази променлива:

къдетоu е диференцируема функция.

Таблица с неопределени интеграли.

Нека дадем основни правила за интегриране на функции.

Нека дадем таблица на основните неопределени интеграли.(Обърнете внимание, че тук, както в диференциалното смятане, буквата uможе да се обозначи като независима променлива (u =х)и функция на независимата променлива (u =ти (х)).)

(n ≠ -1). (a> 0, a ≠ 1). (a ≠ 0). (a ≠ 0). (| u |> | a |).(| ф |< |a|).

Интеграли 1 - 17 се наричат табличен.

Някои от горните формули на таблицата на интегралите, които нямат аналог в таблицата на производните, се проверяват чрез диференциране на техните десни страни.

Променлива промяна и интегриране по части в неопределения интеграл.

Интегриране чрез заместване (замяна на променлива). Нека се изисква да се изчисли интегралът

което не е таблично. Същността на метода на заместване е, че в интеграла променливата NSзамени с променлива Tспоред формулата x = φ (T),където dx = φ ’(T)dt.

Теорема. Нека функциятаx = φ (t) е дефиниран и диференцируем върху някакво множество T и нека X е множеството от стойности на тази функция, върху която функциятае (х). Тогава, ако на множеството X функциятае (

Тези свойства се използват за извършване на трансформации на интеграла с цел свеждането му до един от елементарните интеграли и по-нататъшно изчисление.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интеграла:

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интеграла:

3. Неопределеният интеграл от диференциала на някаква функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:

4. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Освен това a ≠ 0

5. Интегралът от сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) от интегралите:

6. Имотът е комбинация от свойства 4 и 5:

Освен това a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство на инвариантност на неопределения интеграл:

Ако, тогава

8. Имот:

Ако, тогава

Всъщност това свойство е специален случай на интегриране с помощта на метода за промяна на променливата, който е разгледан по-подробно в следващия раздел.

Нека разгледаме пример:

Първо приложихме свойство 5, след това свойство 4, след това използвахме таблицата с анти-производни и получихме резултата.

Алгоритъмът на нашия онлайн интегрален калкулатор поддържа всички изброени по-горе свойства и може лесно да намери подробно решение за вашия интеграл.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интеграла:

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интеграла:

3. Неопределеният интеграл от диференциала на някаква функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:

4. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Освен това a ≠ 0

5. Интегралът от сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) от интегралите:

6. Имотът е комбинация от свойства 4 и 5:

Освен това a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство на инвариантност на неопределения интеграл:

Ако, тогава

8. Имот:

Ако, тогава

Нека разгледаме пример:

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интеграли, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл ... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво са определени и неопределени интеграли?

Ако единствената употреба на интеграла, за която познавате, е да изплетете нещо полезно от труднодостъпни места с плетене на една кука под формата на интегрална икона, тогава сте добре дошли! Научете как да решавате елементарни и други интеграли и защо не можете без това в математиката.

Изследване на концепцията « интегрална »

Интеграцията е известна още от древен Египет. Разбира се, не в съвременната си форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон и Лайбниц но същността на нещата не се е променила.

Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все още се нуждаете от основни познания за основите на смятането. Вече имаме информация за, необходима за разбиране на интеграли, в нашия блог.

Неопределен интеграл

Да предположим, че имаме някаква функция f (x) .

Неопределен интеграл от функция f (x) такава функция се извиква F (x) чиято производна е равна на функцията f (x) .

С други думи, интегралът е обратната производна или антипроизводната. Между другото, прочетете за това в нашата статия.

Първоначалната производна съществува за всички непрекъснати функции. Също така, знакът на константа често се добавя към антипроизводната, тъй като производните на функциите, които се различават с константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводните на елементарните функции, е удобно да ги сведете до таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигура, масата на нехомогенно тяло, пътят, изминат с неравномерно движение, и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример, нека си представим графика на някаква функция.

Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция? Използване на интеграла! Разделяме криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сборът от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:

Точки a и b се наричат граници на интегриране.

« Интегрална »

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка

Интегрални изчислителни правила за манекени

Неопределени интегрални свойства

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще са полезни при решаването на примери.

Производната на интеграла е равна на интеграла:

Константата може да бъде извадена под знака на интеграла:

Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Вярно е и за разликата:

Свойства на определения интеграл

Линейност:

Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се обърнат:

В всякаквиточки а, би с:

Вече разбрахме, че определеният интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност, когато решавате пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за интегрални решения

По-долу ще разгледаме неопределен интеграл и примери с решение. Предлагаме ви самостоятелно да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задайте въпроси в коментарите.

За да консолидирате материала, гледайте видеоклипа за това как се решават интегралите на практика. Не се обезкуражавайте, ако интегралът не бъде даден веднага. Свържете се с професионалната студентска служба и можете да се справите с всеки троен или криволинейно интеграл върху затворена повърхност.

Нека функцията г = е(х) е дефиниран на отсечката [ а, б ], а < б... Нека извършим следните операции:

1) разделяме се [ а, б] точки а = х 0 < х 1 < ... < х и- 1 < х и < ... < х н = б На нчастични отсечки [ х 0 , х 1 ], [х 1 , х 2 ], ..., [х и- 1 , х и ], ..., [х н- 1 , х н ];

2) във всеки от частичните сегменти [ х и- 1 , х и ], и = 1, 2, ... н, изберете произволна точка и изчислете стойността на функцията в тази точка: е(z i ) ;

3) намерете произведения е(z i ) · Δ х и , където е дължината на частичния сегмент [ х и- 1 , х и ], и = 1, 2, ... н;

4) композирайте интегрална сумафункции г = е(х) на сегмента [ а, б ]:

От геометрична гледна точка тази сума σ е сумата от площите на правоъгълници, чиито основи са частични отсечки [ х 0 , х 1 ], [х 1 , х 2 ], ..., [х и- 1 , х и ], ..., [х н- 1 , х н ], а височините са е(z 1 ) , е(z 2 ), ..., е(z n) съответно (фиг. 1). Нека означим с λ дължина на най-големия частичен сегмент:

5) намерете границата на интегралната сума, когато λ → 0.

Определение.Ако има краен предел на интегралната сума (1) и той не зависи от метода на разделяне на отсечката [ а, б] към частични сегменти, нито от избора на точки z iв тях, тогава тази граница се нарича определен интегралот функция г = е(х) на сегмента [ а, б] и се обозначава

Поради това,

В този случай функцията е(х) е наречен интегрируемиНа [ а, б]. Числа аи бсе наричат съответно долната и горната граница на интеграция, е(х) Интегралната функция ли е, е(х ) dx- интегралната функция, х- променлива на интегриране; раздел [ а, б] се нарича интервал на интегриране.

Теорема 1.Ако функцията г = е(х) е непрекъснат на отсечката [ а, б], то е интегрируем в този сегмент.

Определен интеграл със същите граници на интегриране е равен на нула:

Ако а > б, тогава по дефиниция поставяме

2. Геометричното значение на определен интеграл

Нека на сегмента [ а, б] е дадена непрекъсната неотрицателна функция г = е(х ) . Извит трапеце фигурата, ограничена отгоре от графиката на функцията г = е(х), отдолу - по оста Ox, отляво и отдясно - по прави линии х = аи x = b(фиг. 2).

Определен интеграл от неотрицателна функция г = е(х) от геометрична гледна точка е равна на площта на криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката на функцията г = е(х), отляво и отдясно - по отсечки х = аи x = b, отдолу - от сегмент от оста Ox.

3. Основни свойства на определен интеграл

1. Стойността на определения интеграл не зависи от обозначението на променливата на интегриране:

2. Постоянен коефициент може да бъде изваден от знака на определен интеграл:

3. Определен интеграл от алгебричния сбор на две функции е равен на алгебричния сбор от определени интеграли на тези функции:

4.Ако функцията г = е(х) е интегрируем на [ а, б] и а < б < ° С, тогава

5. (теорема за средната стойност)... Ако функцията г = е(х) е непрекъснат на отсечката [ а, б], то на този сегмент има такава точка, че

4. Формула на Нютон-Лайбниц

Теорема 2.Ако функцията г = е(х) е непрекъснат на отсечката [ а, б] и Ф(х) Има ли някой от неговите антидеривати в този сегмент, тогава е валидна следната формула:

което се нарича по формулата Нютон – Лайбниц.Разликата Ф(б) - Ф(а) е обичайно да се пише по следния начин:

където символът се нарича двоен заместващ знак.

Така формула (2) може да се запише като:

Пример 1.Изчислете интеграла

Решение. За интегралната функция е(х ) = х 2 произволен антипроизводен има формата

Тъй като всяка антипроизводна може да се използва във формулата на Нютон-Лайбниц, тогава за изчисляване на интеграла вземаме антипроизводната, която има най-простата форма:

5. Промяна на променлива в определен интеграл

Теорема 3.Нека функцията г = е(х) е непрекъснат на отсечката [ а, б]. ако:

1) функция х = φ ( T) и неговата производна φ "( T) са непрекъснати при;

2) набор от стойности на функцията х = φ ( T) за е сегментът [ а, б ];

3) φ ( а) = а, φ ( б) = б, след това формулата

което се нарича по формулата за промяна на променливата в определения интеграл .

За разлика от неопределения интеграл, в този случай не е задължителновърнете се към първоначалната променлива на интегриране - достатъчно е просто да намерите нови граници на интегриране α и β (за това е необходимо да се реши по отношение на променливата Tуравнения φ ( T) = аи φ ( T) = б).

Вместо замяна х = φ ( T) можете да използвате заместването T = ж(х). В този случай, намиране на нови граници на интеграция по отношение на променливата Tопростено: α = ж(а) , β = ж(б) .

Пример 2... Изчислете интеграла

Решение. Нека въведем нова променлива по формулата. Възлагайки на квадрат двете страни на равенството, получаваме 1 + х = T 2 , където х = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt... Откриваме нови граници на интеграция. За да направим това, заместваме старите граници във формулата х = 3 и х = 8. Получаваме:, откъдето T= 2 и а = 2; , където T= 3 и β = 3. И така,

Пример 3.Изчисли

Решение. Нека бъде u= ln х, тогава , v = х... Според формулата (4)