А именно това, което виждате в заглавието. По същество това е "пространствен аналог" проблемът с намирането на допирателнатаи нормалникъм графиката на функция на една променлива и следователно не би трябвало да възникват трудности.

Нека започнем с някои основни въпроси: КАКВО Е допирателна равнина и КАКВО Е нормална? Мнозина са наясно с тези понятия на ниво интуиция. Най-простият модел, който ви идва на ум, е топка, върху която лежи тънко плоско парче картон. Картонът е разположен възможно най-близо до сферата и го докосва в една точка. Освен това в точката на контакт се фиксира чрез игла, залепена право нагоре.

На теория има доста гениално определение за допирателна равнина. Представете си произвол повърхности точката, която й принадлежи. Очевидно, много от пространствени линиикоито принадлежат на тази повърхност. Кой какви асоциации има? =) ... лично аз представих октопода. Да предположим, че всяка такава линия има пространствена допирателнав точката.

Определение 1: допирателна равнинана повърхността в точка е самолетсъдържащи допирателни към всички криви, които принадлежат на тази повърхност и минават през точката.

Определение 2: нормалнона повърхността в точка е правминаваща през тази точка перпендикулярно на допирателната равнина.

Просто и елегантно. Между другото, за да не умрете от скука от простотата на материала, малко по-късно ще споделя с вас една елегантна тайна, която ви позволява да забравите ВЕДНЪЖ И ЗАВИНАГИ за тъпченето на различни дефиниции.

Ще се запознаем с работните формули и алгоритъма на решението директно на конкретен пример. В по-голямата част от проблемите се изисква да се съставят както уравнението на допирателната равнина, така и уравненията на нормата:

Пример 1

Решение: ако повърхността е дадена от уравнението (т.е. имплицитно), то уравнението на допирателната равнина към дадена повърхност в дадена точка може да се намери по следната формула:

Обръщам специално внимание на необичайните частични производни – техните да не се бъркас частични производни на имплицитно дефинирана функция (въпреки че повърхността е имплицитно посочена)... Когато намирате тези производни, трябва да се ръководите от правилата за диференциране на функция от три променливи, тоест при диференциране по отношение на която и да е променлива, другите две букви се считат за константи:

Без да излизаме от касата, намираме частичната производна в точката:

По същия начин:

Това беше най-неприятният момент от решението, в който грешка, ако не се допуска, то постоянно се появява. Въпреки това тук има ефективна техника за проверка, за която говорих в урока Производна по посока и градиент.

Всички „съставки“ са открити и сега е готова замяна с допълнителни опростявания:

– общо уравнениенеобходимата допирателна равнина.

Силно препоръчвам да проверите и този етап от решението. Първо, трябва да се уверите, че координатите на точката на допир наистина отговарят на намереното уравнение:

- истинско равенство.

Сега "премахваме" коефициентите на общото уравнение на равнината и ги проверяваме за съвпадение или пропорционалност със съответните стойности. В този случай те са пропорционални. Спомняте ли си от курс по аналитична геометрия, - това е нормален вектордопирателна равнина и е - вектор на посокатанормална права линия. Да композираме канонични уравнениянормали по вектор на точка и посока:

По принцип знаменателите могат да бъдат намалени с "две", но няма специална нужда от това

Отговор:

Не е забранено уравненията да се обозначават с някои букви, но отново - защо? Тук и така е пределно ясно какво е какво.

Следващите два примера са за самопомощ. Малко "математическа скороговорка":

Пример 2

Намерете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността в точка.

И задача, която е интересна от техническа гледна точка:

Пример 3

Напишете уравненията за допирателната равнина и нормалата към повърхността в точка

В точката.

Има всички шансове не само да се объркате, но и да срещнете трудности при запис канонични уравнения на правата... И уравненията на нормалното, както вероятно разбрахте, обикновено се записват в тази форма. Въпреки че поради забрава или непознаване на някои от нюансите, параметричната форма е повече от приемлива.

Примерни примери за довършителни решения в края на урока.

Съществува ли допирателна равнина в която и да е точка на повърхността? Като цяло, разбира се, че не. Класическият пример е заострена повърхност и точка - допирателните в тази точка директно образуват конична повърхност и, разбира се, не лежат в една и съща равнина. Лесно е да се убедите в проблемите аналитично:.

Друг източник на проблеми е фактът несъществуваневсяка частна производна в точка. Това обаче не означава, че в дадена точка няма единична допирателна равнина.

Но това беше по-вероятно научно-популярна, отколкото практически значима информация и се връщаме към ежедневните си дела:

Как да напиша уравнения за допирателната равнина и нормалата в точка,
ако повърхността е дадена от изрична функция?

Нека го пренапишем имплицитно:

И според същите принципи ще намерим частичните производни:

Така формулата за допирателната равнина се трансформира в следното уравнение:

И съответно, каноничните нормални уравнения:

Както може би се досещате, - това вече са "истински" частични производни на функция от две променливив точката, която обозначавахме с буквата "z" и намерихме 100 500 пъти.

Имайте предвид, че в тази статия е достатъчно да запомните първата формула, от която, ако е необходимо, е лесно да се извлече всичко останало. (разбираемо, с основно ниво на обучение)... Това е подходът, който трябва да се използва при изучаването на точните науки, т.е. от минимум информация човек трябва да се стреми да „извади” максимум изводи и последствия. "Soobrazhalovka" и вече съществуващи знания в помощ! Този принцип е полезен и с това, че е вероятно да ви спаси в критична ситуация, когато знаете много малко.

Нека изработим "модифицираните" формули с няколко примера:

Пример 4

Напишете уравненията за допирателната равнина и нормалата към повърхността в точката.

Тук се оказа малко наслагване с обозначения - сега буквата обозначава точка от равнината, но какво да се прави - толкова популярна буква....

Решение: уравнението на необходимата допирателна равнина се съставя по формулата:

Нека изчислим стойността на функцията в точката:

Да изчислим Частични производни от 1-ви редв този момент:

Поради това:

внимателно, не бързайте:

Записваме каноничните уравнения на нормата в точка:

Отговор:

И последен пример за решение „направи си сам“:

Пример 5

Напишете уравненията за допирателната равнина и нормалата към повърхността в точка.

Последното - защото всъщност съм обяснил всички технически точки и няма какво особено да добавя. Дори самите функции, предлагани в тази задача, са скучни и монотонни – почти гарантирано на практика ще се натъкнете на „полином“, а в този смисъл Пример No2 с показател изглежда като „черна овца“. Между другото, много по-вероятно е да се срещне повърхността, дадена от уравнението, и това е друга причина, поради която функцията е включена в статията "второ число".

И накрая, обещаната тайна: как можете да избегнете тъпченето с дефиниции? (Разбира се, нямам предвид ситуация, в която студент трескаво тъпче нещо преди изпита)

Определението на всяко понятие / явление / обект, на първо място, дава отговор на следния въпрос: КАКВО Е ТОВА? (кой / такъв / такъв / такъв). Съзнателнокато отговорите на този въпрос, трябва да се опитате да помислите същественознаци, недвусмисленоидентифициране на това или онова понятие / явление / обект. Да, отначало това се оказва донякъде скучно, неточно и излишно (учителят ще коригира =)), но с течение на времето се развива напълно достойна научна реч.

Практикувайте върху най-абстрактните обекти, например, отговорете на въпроса: кой е Чебурашка? Не е толкова просто ;-) Това „приказен герой с големи уши, очи и кестенява коса“ ли е? Далеч и много далеч от определението - никога не знаеш, че има герои с такива характеристики .... Но това вече е много по-близо до определението: "Чебурашка е герой, измислен от писателя Едуард Успенски през 1966 г., който ... (изброяване на основните отличителни черти)"... Забележете колко добре започна

1 °

1 °. Уравнения на допирателната равнина и нормалата за случай на изрично уточняване на повърхността.

Помислете за едно от геометричните приложения на частни производни на функция от две променливи. Нека функцията z = е (х;y)диференцируеми в точката (х 0; в 0)някаква област дÎ R 2... Нека изрежем повърхността С,функция за изобразяване z,самолети х = х 0и y = y 0(фиг. 11).

Самолет NS = х 0пресича повърхността Спо някаква линия z 0 (y),чието уравнение се получава чрез заместване на оригиналната функция в израза z ==е (х;y)вместо NSчислата х 0.Точка M 0 (х 0;y 0,е (х 0;y 0))принадлежи на кривата z 0 (y).По силата на диференцируемата функция zв точката М 0функция z 0 (y)също е диференцируем в точката y = y 0.Следователно в този момент в самолета х = х 0към кривата z 0 (y)може да се начертае допирателна л 1.

Провеждане на подобни разсъждения за раздела в = в 0,построете допирателна л 2към кривата z 0 (х)в точката NS = x 0 -Директен 1 1 и 1 2 дефинирайте равнина, наречена допирателна равнинана повърхността Св точката М 0.

Нека направим нейното уравнение. Тъй като равнината минава през точката Пн (х 0;y 0;z 0),тогава нейното уравнение може да се запише във формата

A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0,

който може да се пренапише така:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(разделяне на уравнението на -C и означаване ).

намирам А 1и Б 1.

Тангенсни уравнения 1 1 и 1 2 имат формата

съответно.

Тангента л 1лежи в равнината а , следователно, координатите на всички точки л 1удовлетворяват уравнение (1). Този факт може да се запише като система

Решавайки тази система по отношение на B 1, получаваме, че Провеждайки подобни разсъждения за допирателната л 3, лесно е да се установи това.

Заместване на стойностите А 1и B 1 в уравнение (1), получаваме необходимото уравнение на допирателната равнина:

Линия през точка М 0и перпендикулярна на допирателната равнина, построена в тази точка на повърхността, се нарича нейно нормално.

Използвайки условието за перпендикулярност на права линия и равнина, е лесно да се получат каноничните уравнения на нормата:

Коментирайте.Формулите за допирателната равнина и нормалата към повърхността се получават за обикновени, тоест неединични точки от повърхността. Точка М 0повърхност се нарича специален,ако в този момент всички частни производни са равни на нула или поне една от тях не съществува. Ние не разглеждаме такива точки.

Пример. Напишете уравненията на допирателната равнина и нормалата към повърхността в нейната точка М (2; -1; 1).

Решение. Нека намерим частните производни на тази функция и техните стойности в точка M

Следователно, прилагайки формули (2) и (3), ще имаме: z-1 = 2 (x-2) +2 (y + 1)или 2x + 2y-z-1 = 0- уравнението на допирателната равнина и - нормални уравнения.

2 °. Уравнения на допирателната равнина и нормалата за случай на имплицитно дефиниране на повърхността.

Ако повърхността Сдадено от уравнението F (х; y;z)= 0, то уравнения (2) и (3), като се вземе предвид фактът, че частните производни могат да се намерят като производни на имплицитна функция.

Нормална равнина уравнение

1.

4.

Допирателна равнина и повърхност нормални

Нека е дадена някаква повърхност, A е фиксирана точка на повърхността и B е променлива точка на повърхността,

(Фиг. 1).

Ненулев вектор

→

н

Наречен нормален векторна повърхността в точка А, ако

lim Б → А j = π 2 .

Точка от повърхността F (x, y, z) = 0 се нарича обикновена, ако е в тази точка

1. частичните производни F "x, F" y, F "z са непрекъснати;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 ≠ 0.

Ако поне едно от тези условия е нарушено, се извиква точка на повърхността единична точка на повърхността .

Теорема 1.Ако M (x 0, y 0, z 0) е обикновена точка от повърхността F (x, y, z) = 0, тогава векторът

→ н = степен F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → и + F "y (x 0, y 0, z 0) → j + F "z (x 0, y 0, z 0) → к

(1)

е нормален към тази повърхност в точката M (x 0, y 0, z 0).

Доказателстводадено в книгата на И.М. Петрушко, Л.А. Кузнецов, V.I. Прохоренко, В.Ф. Сафонова `` Курсът по висша математика: Интегрално смятане. Функции на няколко променливи. Диференциални уравнения. Москва: Издателство MPEI, 2002 (стр. 128).

Нормално към повърхносттав даден момент се нарича права линия, чийто вектор на посоката е нормален към повърхността в тази точка и която минава през тази точка.

Каноничен нормални уравненияможе да се представи като

х - х 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y - y 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Тангентна равнинакъм повърхност в някаква точка се нарича равнина, която минава през тази точка перпендикулярно на нормалата към повърхността в тази точка.

От това определение следва, че уравнение на допирателната равнинаизглежда като:

(3)

Ако една точка на повърхността е единична, тогава в тази точка векторът, нормален към повърхността, може да не съществува и следователно повърхността може да няма нормална и допирателна равнина.

Геометричното значение на общия диференциал на функция от две променливи

Нека функцията z = f (x, y) е диференцируема в точка a (x 0, y 0). Неговата графика е повърхността

f (x, y) - z = 0.

Поставяме z 0 = f (x 0, y 0). Тогава точката A (x 0, y 0, z 0) принадлежи на повърхността.

Частичните производни на функцията F (x, y, z) = f (x, y) - z са

F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1

и в точка A (x 0, y 0, z 0)

1. те са непрекъснати;
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Следователно A е обикновена точка от повърхността F (x, y, z) и в тази точка има допирателна равнина към повърхността. Съгласно (3) уравнението на допирателната равнина има вида:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

Вертикалното преместване на точка от допирателната равнина при преминаване от точка a (x 0, y 0) до произволна точка p (x, y) е B Q (фиг. 2). Съответното увеличение е

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Тук от дясната страна има диференциал д z на функцията z = f (x, y) в точката a (x 0, x 0). следователно,
д f (x 0, y 0). е нарастването на приложението на точка от равнината, допирателна към графиката на функцията f (x, y) в точката (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

От дефиницията на диференциала следва, че разстоянието между точката P на графиката на функцията и точката Q на допирателната равнина е безкрайно малко от по-висок порядък от разстоянието от точка p до точка a.

Определение.Точка, лежаща на повърхност от втори ред, дадена по отношение на GDSK от общото уравнение (1), се нарича неособена, ако сред трите числа: има поне едно, което не е равно на нула.

По този начин, точка, лежаща върху повърхност от втори ред, не е особена, ако и само ако е нейният център, в противен случай, когато повърхността е конична и точката е връх на тази повърхност.

Определение.Допирателна към повърхнина от втори порядък в дадена неединична точка върху нея е права линия, минаваща през тази точка, пресичаща повърхността от втори порядък в двойна точка или е праволинейна образуваща на повърхността.

Теорема 3.Допирателните към повърхността от втори ред в дадена неособена точка върху нея лежат в една равнина, наречена допирателна равнина към повърхността във въпросната точка. Уравнението на допирателната равнина има

Доказателство. Нека,, са параметричните уравнения на правата линия, минаваща през неособена точка на повърхността от втори ред, дадени от уравнение (1). Замествайки в уравнение (1), вместо,,, получаваме:

Тъй като точката лежи на повърхността (1), намираме и от уравнение (3) (тази стойност съответства на точката). За да бъде точката на пресичане на правата с повърхността (1) двойна или правата да лежи изцяло върху повърхността, е необходимо и достатъчно да е налице равенството:

Ако в същото време:

Точката на пресичане на правата линия с повърхността (1) е двойна. Какво ако:

Тогава цялата линия лежи на повърхността (1).

От съотношенията (4) и, следва, че координатите,, на всяка точка, лежаща върху произволна допирателна към повърхността (1), удовлетворяват уравнението:

Обратно, ако координатите на която и да е точка, различна от удовлетворяването на това уравнение, тогава координатите,, векторите, удовлетворяват съотношение (4), което означава, че правата е допирателна към разглежданата повърхност.

Тъй като точката е неособена точка от повърхността (1), то сред числата има поне едно, което не е равно на нула; тогава уравнение (5) е уравнение от първа степен по отношение на. Това е уравнението на равнината, допирателна към повърхността (1) в дадена неособена точка от нея.

Въз основа на каноничните уравнения на повърхности от втори ред е лесно да се съставят уравненията на допирателните равнини към елипсоид, хиперболоид и др. в дадена точка от тях.

1). Допирателна равнина към елипсоид:

2). Допирателната равнина към хиперболоиди с един и два листа:

3). Допирателна равнина към елиптични и хиперболични параболоиди:

§ 161. Пресичане на допирателна равнина с повърхност от втори ред.

Ще вземем неособена точка от повърхността от втори ред за начало на координатите на ODSK, оста и ще я поставим в равнината, допирателна към повърхността в точката. Тогава в общото уравнение на повърхността (1) свободният член е равен на нула:, а уравнението на равнината, докосваща повърхността в началото на координатите, трябва да има вида:.

Но уравнението на равнината, минаваща през началото, има формата:.

И тъй като това уравнение трябва да е еквивалентно на уравнението, тогава,,.

Така че в избраната координатна система уравнението на повърхността (1) трябва да има вида:

Обратно, ако, тогава уравнение (6) е уравнението на повърхността, минаваща през началото, а равнината е допирателната равнина към тази повърхност в точка. Уравнението на линията, по която допирателната равнина към повърхността в точка пресича повърхността (6), има вида:

Ако . Това е инвариант в теорията на инвариантите за редове от втори ред. Уравнение (7)

Това е линия от втори ред. По формата на този ред той е инвариантен, следователно:

Когато, ето две въображаеми пресичащи се прави линии.

At - две реални пресичащи се прави линии.

Ако, но поне един от коефициентите, не е равен на нула, тогава пресечната линия (7) е две съвпадащи прави линии.

И накрая, ако, тогава самолетът

е част от тази повърхност и следователно самата повърхност се разделя на двойка равнини

§ 162. Елиптични, хиперболични или параболични точки на повърхност от втори ред.

1. Нека допирателната равнина към повърхността от втори ред в точка я пресича по две въображаеми пресичащи се прави линии. В този случай точката се нарича елипсовидна точка на повърхността.

2. Нека допирателната равнина към повърхността от втори ред в точка я пресича по две реални прави, пресичащи се в точката на допир. В този случай точката се нарича хиперболична точка на повърхността.

3. Нека допирателната равнина към повърхността от втори ред в точка я пресича по две съвпадащи прави линии. В този случай точката се нарича параболична точка на повърхността.

Теорема 4.Нека повърхността от втори ред по отношение на ODSK е дадена от уравнението (1) и даденото уравнение (1) е уравнението на реалната неразпадаща се повърхност от втори ред. Тогава, ако; тогава всички точки от повърхността са елиптични.

Доказателство. Нека въведем нова координатна система, като изберем за начало на координатите всяка неособена точка от дадената повърхност и поставим осите и в равнината, допираща се към повърхността в точката. Уравнение (1) в новата координатна система се трансформира във вида:

Където . Нека изчислим инварианта за това уравнение.

Тъй като по време на прехода от един ODSK към друг ODSK знакът не се променя, тогава знаците са противоположни, следователно, ако, тогава; и, както следва от класификацията (виж § 161), допирателната равнина към повърхността в точка пресича повърхността по две въображаеми пресичащи се прави, т.е. - елипсовидна точка.

2) Хиперболоид от един лист и хиперболичен параболоид се състоят от хиперболични точки.

3) Реален конус от втори ред (върхът е изключен), елиптичен (реален), хиперболичен и параболичен цилиндри се състоят от параболични точки.

Параболичен цилиндър.

За да определите местоположението на параболичния цилиндър, достатъчно е да знаете:

1) равнина на симетрия, успоредна на образуващата на цилиндъра;

2) допирателната равнина към цилиндъра, перпендикулярна на тази равнина на симетрия;

3) вектор, перпендикулярен на тази допирателна равнина и насочен към вдлъбнатината на цилиндъра.

Ако общото уравнение дефинира параболичен цилиндър, то може да се пренапише като:

Ние ще изберем мтака че самолетът

ще бъдат взаимно перпендикулярни:

С тази стойност мсамолет

ще бъде равнината на симетрия, успоредна на образуващата на цилиндъра.

Самолет

ще бъде допирателната равнина към цилиндъра, перпендикулярна на определената равнина на симетрия, и векторът

ще бъде перпендикулярна на намерената допирателна равнина и насочена към вдлъбнатината на цилиндъра.

Тангентните равнини играят голяма роля в геометрията. Изграждането на допирателни равнини в практическо отношение е важно, тъй като тяхното присъствие ви позволява да определите посоката на нормалата към повърхността в точката на допиране. Този проблем се използва широко в инженерната практика. Допирателните равнини се използват и за изграждане на контури на геометрични форми, ограничени от затворени повърхности. В теоретично отношение равнините, допирателни към повърхност, се използват в диференциалната геометрия за изследване на свойствата на повърхността в близост до точка на допир.

Основни понятия и дефиниции

Равнината, допирателна към повърхността, трябва да се разглежда като гранично положение на секачната равнина (по аналогия с правата линия, допирателна към кривата, която също се определя като гранична позиция на секачната равнина).

Равнината, допирателна към повърхността в дадена точка от повърхността, е съвкупността от всички прави линии - допирателни, изтеглени към повърхността през дадена точка.

В диференциалната геометрия е доказано, че всички допирателни към повърхност, начертана в обикновена точка, са компланарни (принадлежат на една и съща равнина).

Нека разберем как е начертана линията, допирателна към повърхността. Допирателната t към повърхността β в точката M, посочена на повърхността (фиг. 203) представлява граничното положение на секущата lj, пресичаща повърхността в две точки (MM 1, MM 2, ..., MM n), когато пресечните точки съвпадат (M ≡ M n, ln ≡ l M). Очевидно (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, тъй като g ⊂ β. От горното следва следното определение: допирателна към повърхност е права линия, допирателна към всяка крива, принадлежаща на повърхността.

Тъй като равнината е дефинирана от две пресичащи се прави линии, тогава, за да посочите равнина, допирателна към повърхността в дадена точка, е достатъчно да прокарате през тази точка две произволни линии, принадлежащи на повърхността (за предпочитане проста по форма) и на всяка от тях конструират допирателни в точката на пресичане на тези прави ... Конструираните допирателни определят еднозначно допирателната равнина. Визуално представяне на чертежа на равнината α, допирателна към повърхността β в дадена точка M, е дадено на фиг. 204. Тази фигура показва и нормалата n към повърхността β.

Нормалът към повърхността в дадена точка е права линия, перпендикулярна на допирателната равнина и минаваща през точката на допиране.

Линията на пресичане на повърхността с равнина, минаваща през нормалата, се нарича нормално сечение на повърхността. В зависимост от вида на повърхността, допирателната равнина може да има една или много точки (линия) с повърхността. Допирателната може да бъде едновременно и линията на пресичане на повърхността с равнината.

Възможни са и случаи, когато на повърхността има точки, в които е невъзможно да се направи допирателна към повърхността; такива точки се наричат ​​специални. Пример за единични точки са точките, принадлежащи към ръба на връщането на повърхността на торса или точката на пресичане на меридиана на повърхността на въртене с неговата ос, ако меридианът и оста не се пресичат под прав ъгъл.

Видовете допирания зависят от естеството на кривината на повърхността.

Повърхностна кривина

Въпросите за кривината на повърхността са изследвани от френския математик Ф. Дюпен (1784-1873), който предлага визуален начин за изобразяване на промяната в кривината на нормалните участъци на повърхността.

За това в равнината, допирателна към разглежданата повърхност в точка M (фиг. 205, 206), се полагат сегменти, равни на корените квадратни от стойностите на съответните радиуси на кривина на тези участъци, върху допирателните към нормални участъци от двете страни на тази точка. Множеството от точки - краищата на отсечките определят крива, наречена индикатриса на Дюпен... Алгоритъмът за конструиране на индикатрисата на Дюпен (фиг. 205) може да се запише:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √ (R l 1), = √ (R l 2), ..., = √ (R l n)

където R е радиусът на кривината.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) е индикатрисата на Дюпен.

Ако индикатрисата на Дюпен на повърхността е елипса, тогава точката M се нарича елиптична, а повърхността се нарича повърхност с елиптични точки(фиг. 206). В този случай допирателната равнина има само една обща точка с повърхността и всички линии, принадлежащи на повърхността и пресичащи се в разглежданата точка, са разположени от едната страна на допирателната равнина. Примери за повърхности с елиптични точки са: параболоид на въртене, елипсоид на въртене, сфера (в този случай индикатрисата на Дюпен е кръг и т.н.).

При начертаване на допирателна равнина към повърхността на торса, равнината ще докосва тази повърхност по права образуваща. Точките от тази права се наричат параболична, а повърхността е повърхност с параболични точки... Индикатрисата на Дюпен в този случай е две успоредни прави линии (фиг. 207 *).

На фиг. 208 показва повърхност, състояща се от точки, в които

* Крива от втори ред - парабола - при определени условия може да се раздели на две реални успоредни прави, две въображаеми успоредни прави линии, две съвпадащи прави. На фиг. 207 имаме работа с две реални успоредни прави.

Допирателната равнина пресича повърхността. Такава повърхност се нарича хиперболична, и точките, принадлежащи към него - хиперболични точки. Индикатрисата на Дюпен в този случай е хипербола.

Повърхнина, всички точки на която са хиперболични, има формата на седло (наклонена равнина, еднолистов хиперболоид, вдлъбнати повърхности на въртене и др.).

Една повърхност може да има точки от различен тип, например на повърхността на торса (фиг. 209) точката M е елипсовидна; точка N - параболична; точка K е хиперболична.

В хода на диференциалната геометрия се доказва, че нормалните участъци, в които стойностите на кривината K j = 1 / R j (където R j е радиусът на кривината на разглеждания участък) имат екстремни стойности, са разположени в две взаимно перпендикулярни равнини.

Такива криви K 1 = 1 / R max. K 2 = 1 / R min се наричат ​​главни, а стойностите H = (K 1 + K 2) / 2 и K = K 1 K 2 са съответно средната кривина на повърхността и общата (гаусова) кривина на повърхността в разглежданата точка. За елиптични точки K> 0, хиперболични точки K

Задаване на равнина, допирателна към повърхност на графика на Монж

По-долу, използвайки конкретни примери, показваме изграждането на равна допирателна към повърхност с елиптични (пример 1), параболични (пример 2) и хиперболични (пример 3) точки.

ПРИМЕР 1. Построете равнината α, допирателна към повърхността на въртене β, с елипсовидни точки. Помислете за два варианта за решаване на този проблем, а) точка М ∈ β и б) точка М ∉ β

Вариант а (фиг. 210).

Допирателната равнина се определя от две допирателни t 1 и t 2, начертани в точка M към паралела и меридиана на повърхността β.

Проекциите на допирателната t 1 към паралела h на повърхността β ще бъдат t "1 ⊥ (S" M ") и t" 1 || оста x. Хоризонталната проекция на допирателната t "2 към меридиана d на повърхността β, преминаваща през точка M, съвпада с хоризонталната проекция на меридиана. За да се намери фронталната проекция на допирателната t" 2, меридианалната равнина γ (γ ∋ М) чрез завъртане около оста на повърхността β се превежда в положение γ 1, успоредно на равнината π 2. В този случай точка M → M 1 (M "1, M" 1) Дефинирана е проекцията на допирателната t "2 rarr; t" 2 1 (M "1 S"). Ако сега върнем равнината γ 1 в първоначалното й положение, тогава точката S "ще остане на мястото си (като принадлежаща на оста на въртене), а M" 1 → M "и фронталната проекция на допирателната t" 2 ще се определя (M "S")

Две допирателни t 1 и t 2, пресичащи се в точка М ∈ β, определят равнината α, допирателна към повърхността β.

Вариант b (фиг. 211)

За да се конструира равнина, допирателна към повърхност, минаваща през точка, която не принадлежи на повърхността, трябва да се изхожда от следните съображения: набор от равнини, допирателни към повърхността, може да бъде начертан през точка извън повърхността, състояща се от елипсовидни точки. Обвивката на тези повърхности ще бъде някаква конична повърхност. Следователно, ако няма допълнителни инструкции, тогава проблемът има много решения и в този случай се свежда до начертаване на конична повърхност γ, допирателна към тази повърхност β.

На фиг. 211 показва конструкцията на конична повърхност γ, допирателна към сферата β. Всяка равнина α, допирателна към коничната повърхност γ, ще бъде допирателна към повърхността β.

За да построите проекциите на повърхността γ от точките M "и M" начертайте допирателни към окръжностите h "и f" - проекциите на сферата. Маркирайте точките на докосване 1 (1 "и 1"), 2 (2 "и 2"), 3 (3 "и 3") и 4 (4 "и 4"). Хоризонтална проекция на окръжността - допирателната линия на коничната повърхност и сферата ще бъде проектирана в [1 "2"] За да намерите точките на елипсата, в която тази окръжност ще бъде проектирана върху равнината на фронталната проекция, използвайте паралелите на сферата.

На фиг. 211 по този начин се определят фронтални проекции на точки E и F (E "и F"). Имайки конична повърхност γ, ние построяваме допирателна равнина α към нея. Същността и последователността на графиката

Конструкциите, които трябва да бъдат изпълнени за това, са показани в следващия пример.

ПРИМЕР 2 Построете равнината α, допирателна към повърхността β с параболични точки

Както в пример 1, разгледайте два варианта на решението: а) точка N ∈ β; б) точка N ∉ β

Вариант а (Фигура 212).

Конична повърхност се отнася до повърхности с параболични точки (виж фиг. 207.) Равнина, допирателна към конична повърхност, я докосва по праволинейна образуваща.

1) начертайте генератор SN (S "N" и S "N") през тази точка N;

2) маркирайте точката на пресичане на образуващата (SN) с водача d: (SN) ∩ d = A;

3) навива допирателната t към d в точка A.

Генераторът (SA) и допирателната t, която го пресича, определят равнината α, допирателна към коничната повърхност β в дадена точка N *.

Да се ​​начертае равнината α, допирателна към коничната повърхност β и минаваща през точка N, не принадлежи

* Тъй като повърхността β се състои от параболични точки (с изключение на върха S), допирателната към нея равнина α ще има общо с нея не една точка N, а права линия (SN).

на дадена повърхност е необходимо:

1) начертайте права линия a (a "и a") през дадена точка N и връх S на коничната повърхност β;

2) определете хоризонталната следа на тази права линия H a;

3) през H a начертайте допирателните t "1 и t" 2 на кривата h 0β - хоризонталната следа на коничната повърхност;

4) свържете точките на допиране A (A "и A") и B (B "и B") към горната част на коничната повърхност S (S "и S").

Пресичащите се прави t 1, (AS) и t 2, (BS) определят търсените допирателни равнини α 1 и α 2

ПРИМЕР 3. Построете равнината α, допирателна към повърхността β с хиперболични точки.

Точка К (фиг. 214) се намира на повърхността на глобоида (вътрешната повърхност на пръстена).

За да се определи положението на допирателната равнина α, е необходимо:

1) начертайте през точка K a, успоредна на повърхността β h (h ", h");

2) през точката K "начертайте допирателна t" 1 (t "1 ≡ h");

3) за да се определят посоките на проекциите на допирателната към меридианното сечение, е необходимо да се начертае γ равнината през точката K и оста на повърхността, хоризонталната проекция t "2 съвпада с h 0γ; за да се построи фронталната проекция на допирателната t" 2, първо превеждаме γ равнината, като я завъртаме около оста на повърхността на въртене до позиция γ 1 || π 2. В този случай меридионалното сечение от γ равнината ще се комбинира с лявата очертателна дъга на фронталната проекция - полукръг g ".

Точка K (K ", K"), принадлежаща на кривата на меридионалния участък, ще се премести в позиция K 1 (K "1, K" 1). През K "1 правим фронтална проекция на допирателната t" 2 1, подравнена с равнината γ 1 || π 2 позиция и маркирайте точката на нейното пресичане с фронталната проекция на оста на въртене S "1. Върнете равнината γ 1 в първоначалното й положение, точка K" 1 → K "(точка S" 1 ≡ S "). Фронталната проекция на допирателната t" 2 се определя от точките K" и S".

Тангентите t 1 и t 2 определят желаната допирателна равнина α, която пресича повърхността β по кривата l.

ПРИМЕР 4. Построете равнината α, допирателна към повърхността β в точка K. Точка K се намира на повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене (фиг. 215).

Този проблем може да бъде решен чрез придържане към алгоритъма, използван в предишния пример, но като се вземе предвид, че повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене е линейка, която има две семейства праволинейни генератори и всеки от генераторите на един семейство пресича всички генератори на другото семейство (виж § 32, фиг. 138). През всяка точка от тази повърхност могат да се начертаят две пресичащи се прави линии - генератори, които ще бъдат едновременно допирателни към повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене.

Тези допирателни определят допирателната равнина, тоест равнината, допирателна към повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене, пресича тази повърхност по две прави линии g 1 и g 2. За да се построят проекциите на тези прави линии, е достатъчно да се пренесе хоризонталната проекция на точка K, за да се пренесат допирателните t "1 и t" 2 към хоризонта.

локалната проекция на окръжността d "2 - гърлото на повърхността на еднолистов хиперболоид на въртене; определете точки 1" и 2, в които t "1 и t" 2 пресичат една от водещите повърхности d 1. За 1 "и 2" намираме 1 "и 2", които заедно с К "определят челните проекции на търсените прави линии.