Най-простите свойства на интегралите. Основни свойства на неопределения интеграл Изучаваме понятието "интеграл"

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интеграли, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл ... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво са определени и неопределени интеграли?

Ако единствената употреба на интеграла, която познавате, е да изплетете нещо полезно от труднодостъпни места с плетене на една кука под формата на интегрална икона, тогава сте добре дошли! Научете как да решавате елементарни и други интеграли и защо не можете без това в математиката.

Изследване на концепцията « интегрална »

Интеграцията е известна още от древен Египет. Разбира се, не в съвременната си форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон и Лайбниц но същността на нещата не се е променила.

Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все още се нуждаете от основни познания за основите на смятането. Вече имаме информация за, необходима за разбиране на интеграли, в нашия блог.

Неопределен интеграл

Да предположим, че имаме някаква функция f (x) .

Неопределен интеграл от функция f (x) такава функция се извиква F (x) чиято производна е равна на функцията f (x) .

С други думи, интегралът е обратната производна или антипроизводната. Между другото, прочетете за това в нашата статия.

Първоначалната производна съществува за всички непрекъснати функции. Също така, знакът на константа често се добавя към антипроизводната, тъй като производните на функциите, които се различават с константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводните на елементарните функции, е удобно да ги сведете до таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигура, масата на нехомогенно тяло, пътят, изминат с неравномерно движение, и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример, нека си представим графика на някаква функция.

Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция? Използване на интеграла! Разделяме криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сборът от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:

Точки a и b се наричат граници на интегриране.

« Интегрална »

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка

Интегрални изчислителни правила за манекени

Неопределени интегрални свойства

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще са полезни при решаването на примери.

Производната на интеграла е равна на интеграла:

Константата може да бъде извадена под знака на интеграла:

Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Вярно е и за разликата:

Свойства на определения интеграл

Линейност:

Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се обърнат:

В всякаквиточки а, би с:

Вече разбрахме, че определеният интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност, когато решавате пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за интегрални решения

По-долу ще разгледаме неопределен интеграл и примери с решение. Предлагаме ви самостоятелно да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задайте въпроси в коментарите.

За да консолидирате материала, гледайте видеоклипа за това как се решават интегралите на практика. Не се обезкуражавайте, ако интегралът не бъде даден веднага. Свържете се с професионалната студентска служба и можете да се справите с всеки троен или криволинейно интеграл върху затворена повърхност.

Тази статия подробно описва основните свойства на определен интеграл. Те се доказват с помощта на концепцията за интеграла на Риман и Дарбу. Изчисляването на определения интеграл става благодарение на 5 свойства. Останалите от тях се използват за оценка на различни изрази.

Преди да преминем към основните свойства на определен интеграл, е необходимо да се уверим, че a не надвишава b.

Основни свойства на определен интеграл

Определение 1

Функцията y = f (x), дефинирана при x = a, е подобна на валидното равенство ∫ a a f (x) d x = 0.

Доказателство 1

Оттук виждаме, че стойността на интеграла със съвпадащи граници е равна на нула. Това е следствие от интеграла на Риман, тъй като всяка интегрална сума σ за всяко дял от интервала [a; a] и всеки избор на точки ζ i е равен на нула, тъй като x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. ... ... , n, следователно получаваме, че границата на интегралните функции е нула.

Определение 2

За функция, която е интегрируема на сегмента [a; b], условието ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x е изпълнено.

Доказателство 2

С други думи, ако горната и долната граница на интегриране се променят на места, тогава стойността на интеграла ще промени стойността си на обратното. Това свойство е взето от интеграла на Риман. Но номерацията на разделянето на отсечката идва от точката x = b.

Определение 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x се използва за интегрируеми функции от типа y = f (x) и y = g (x), дефинирани на интервала [a; б].

Доказателство 3

Запишете интегралната сума на функцията y = f (x) ± g (x) за разделяне на сегменти с дадения избор на точки ζ i: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

където σ f и σ g са интегралните суми на функциите y = f (x) и y = g (x) за разделянето на отсечката. След преминаване до границата при λ = m a x i = 1, 2,. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 получаваме, че lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

От определението на Риман този израз е еквивалентен.

Определение 4

Извършване на постоянен фактор извън знака на определен интеграл. Интегрируема функция от интервала [a; b] с произволна стойност на k има валидно неравенство от вида ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x.

Доказателство 4

Доказателството за свойството на определения интеграл е подобно на предишното:

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

Определение 5

Ако функция от вида y = f (x) е интегрируема на интервал x с a ∈ x, b ∈ x, получаваме, че ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d х.

Доказателство 5

Свойството се счита за вярно за c ∈ a; b, за c ≤ a и c ≥ b. Доказателството е подобно на предишните свойства.

Определение 6

Когато функцията има способността да бъде интегрируема от сегмента [a; b], тогава е изпълнимо за всеки вътрешен сегмент c; d ∈ a; б.

Доказателство 6

Доказателството се основава на свойството на Дарбу: ако добавим точки към съществуващото разделяне на сегмента, тогава долната сума на Дарбу няма да намалее, а горната няма да се увеличи.

Определение 7

Когато функцията е интегрируема на [a; b] от f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 за всяка стойност на x ∈ a; b, тогава получаваме, че ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Свойството може да се докаже с помощта на дефиницията на интеграла на Риман: всяка интегрална сума за произволен избор на точки на разделяне на отсечката и точки ζ i с условието, че f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0, получаваме не- отрицателен.

Доказателство 7

Ако функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрируеми на отсечката [a; b], тогава следните неравенства се считат за верни:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, ако и f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, ако и f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; б

Благодарение на изявлението знаем, че интеграцията е допустима. Това следствие ще се използва за доказване на други свойства.

Определение 8

С интегрируема функция y = f (x) от отсечката [a; b] имаме валидно неравенство от вида ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Доказателство 8

Имаме, че - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). От предишното свойство получихме, че неравенството може да се интегрира член по член и то съответства на неравенство от вида - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x. Това двойно неравенство може да се запише в друга форма: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Определение 9

Когато функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрирани от отсечката [a; b] за g (x) ≥ 0 за всяко x ∈ a; b, получаваме неравенство от вида m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, където m = m i n x ∈ a; b f (x) и M = m a x x ∈ a; b f (x).

Доказателство 9

Доказателството се извършва по подобен начин. M и m се считат за най-голямата и най-малката стойност на функцията y = f (x), определени от отсечката [a; b], тогава m ≤ f (x) ≤ M. Необходимо е двойното неравенство да се умножи по функцията y = g (x), което ще даде стойността на двойното неравенство от вида m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Необходимо е да се интегрира в сегмента [a; b], тогава получаваме твърдението за доказване.

Извод: За g (x) = 1 неравенството приема формата m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a).

Първа формула за средна стойност

Определение 10

За y = f (x), интегрируема на отсечката [a; b] с m = m i n x ∈ a; b f (x) и M = m a x x ∈ a; b f (x) има число μ ∈ m; M, което отговаря на ∫ a b f (x) d x = μ b - a.

Извод: Когато функцията y = f (x) е непрекъсната от отсечката [a; b], тогава има число c ∈ a; b, което удовлетворява равенството ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Първа формула за средна стойност в обобщен вид

Определение 11

Когато функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрируеми от отсечката [a; b] с m = m i n x ∈ a; b f (x) и M = m a x x ∈ a; b f (x) и g (x)> 0 за всяка стойност на x ∈ a; б. Оттук имаме, че има число μ ∈ m; M, което удовлетворява равенството ∫ a b f (x) g (x) d x = μ ∫ a b g (x) d x.

Втора формула за средна стойност

Определение 12

Когато функцията y = f (x) е интегрируема от отсечката [a; b] и y = g (x) е монотонно, тогава има число, което c ∈ a; b, където получаваме валидно равенство от вида ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Тези свойства се използват за извършване на трансформации на интеграла с цел свеждането му до един от елементарните интеграли и по-нататъшно изчисление.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интеграла:

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на подинтеграла:

3. Неопределеният интеграл от диференциала на някаква функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:

4. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Освен това a ≠ 0

5. Интегралът от сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) от интегралите:

6. Имотът е комбинация от свойства 4 и 5:

Освен това a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство на инвариантност на неопределения интеграл:

Ако, тогава

8. Имот:

Ако, тогава

Всъщност това свойство е специален случай на интегриране с помощта на метода за промяна на променливата, който е разгледан по-подробно в следващия раздел.

Нека разгледаме пример:

Първо приложихме свойство 5, след това свойство 4, след това използвахме таблицата с анти-производни и получихме резултата.

Алгоритъмът на нашия онлайн интегрален калкулатор поддържа всички изброени по-горе свойства и може лесно да намери подробно решение за вашия интеграл.

В тази статия ще изброим основните свойства на определения интеграл. Повечето от тези свойства са доказани въз основа на концепциите за определения интеграл на Риман и Дарбу.

Дефинирането на определен интеграл много често се прави с помощта на първите пет свойства, така че ще се позоваваме на тях, когато е необходимо. Останалите свойства на определен интеграл се използват главно за оценка на различни изрази.

Преди да преминете към основните свойства на определения интеграл, нека се съгласим, че a не надвишава b.

За функцията y = f (x), дефинирана при x = a, равенството е вярно.

Тоест стойността на определен интеграл със съвпадащи граници на интегриране е нула. Това свойство е следствие от дефиницията на интеграла на Риман, тъй като в този случай всяка интегрална сума за всяко деление на интервала и всеки избор на точки е равна на нула, тъй като следователно границата на интегралните суми е нула.

За функция, интегрируема в сегмент, .

С други думи, при промяна на горната и долната граница на интегриране на места, стойността на определения интеграл се променя на обратното. Това свойство на определен интеграл произтича и от концепцията за интеграла на Риман, само номерирането на разделянето на отсечка трябва да започне от точката x = b.

за функции y = f (x) и y = g (x), интегрируеми на интервал.

Доказателство.

Записваме интегралната сума на функцията за дадено деление на сегмент и даден избор на точки:

където и са интегралните суми на функциите y = f (x) и y = g (x) за даденото разделяне на отсечката, съответно.

Преминаване до предела при получаваме, че по дефиницията на интеграла на Риман той е еквивалентен на твърдението за доказваното свойство.

Постоянният коефициент може да бъде изведен извън знака на определен интеграл. Тоест, за функция y = f (x), интегрируема на интервал и произволно число k, равенството .

Доказателството за това свойство на определен интеграл е абсолютно подобно на предишното:

Нека функцията y = f (x) е интегрируема на интервала X, и и тогава .

Това свойство е вярно и за двете, и за или.

Доказателството може да се извърши с помощта на предишните свойства на определения интеграл.

Ако функцията е интегрируема на сегмент, тогава тя е интегрируема и във всеки вътрешен сегмент.

Доказателството се основава на свойството на сумите на Дарбу: ако добавите нови точки към съществуващото разделяне на сегмента, тогава долната сума на Дарбу няма да намалее, а горната няма да се увеличи.

Ако функцията y = f (x) е интегрируема на интервал и за произволна стойност на аргумента, тогава .

Това свойство се доказва чрез дефиницията на интеграла на Риман: всяка интегрална сума за произволен избор на точки на разделяне на сегмент и точки в ще бъде неотрицателна (не положителна).

Последствие.

За функции y = f (x) и y = g (x), интегрируеми на интервал, са валидни следните неравенства:

Това твърдение означава, че интегрирането на неравенствата е допустимо. Ще използваме това следствие, за да докажем следните свойства.

Нека функцията y = f (x) е интегрируема на интервал, тогава неравенството .

Доказателство.

Очевидно е, че ... В предишното свойство открихме, че неравенството може да се интегрира член по член, следователно е вярно ... Това двойно неравенство може да се запише като .

Нека функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрируеми на интервал и за всяка стойност на аргумента, тогава , където и .

Доказателството е подобно. Тъй като m и M са най-малките и най-големите стойности на функцията y = f (x) на сегмента, тогава ... Умножаването на двойното неравенство по неотрицателната функция y = g (x) ни води до следното двойно неравенство. Интегрирайки го на сегмент, стигаме до доказано твърдение.

Последствие.

Ако вземем g (x) = 1, тогава неравенството приема формата .

Първа формула за средна стойност.

Нека функцията y = f (x) е интегрируема на интервал, и тогава има число, такова, че .

Последствие.

Ако функцията y = f (x) е непрекъсната на интервал, тогава има число, такова, че .

Първата формула за средната стойност в обобщен вид.

Нека функциите y = f (x) и y = g (x) са интегрируеми на интервал, и, и g (x)> 0 за всяка стойност на аргумента. Тогава има число такова, че .

Втора формула за средната стойност.

Ако функцията y = f (x) е интегрируема на интервал и y = g (x) е монотонна, тогава съществува число, такова че равенството .