Тази статия е събрала и структурирала информацията, необходима за решаване на почти всеки пример по темата за числови редове, от намирането на сбора на редица до изследването му за сближаване.

Преглед на статията.

Нека започнем с дефинициите на знак-положителна, променяща знака серия и концепцията за конвергенция. След това ще разгледаме стандартни серии, като хармоничен ред, обобщен хармоничен ред, припомним формулата за намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. След това се обръщаме към свойствата на сближаващите се редове, спираме се на необходимото условие за сближаване на редицата и озвучваме достатъчните критерии за сходимост на редицата. Ще разредим теорията с решението на типични примери с подробни обяснения.

Навигация в страницата.

Основни дефиниции и понятия.

Да предположим, че имаме числова последователност, където .

Нека дадем пример за числова последователност: .

Цифрови серииЕ сумата от членовете на числова последователност на формата .

Като пример за числови редове можем да дадем сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател q = -0,5: .

Са наречени общ член на числовия редили k-тия член от поредицата.

За предишния пример общият член на числовия ред е.

Частичен сбор от числови редовеТова е сбор от формата, където n е някакво естествено число. наричан още n-та частична сума на числов ред.

Например четвъртата частична сума от поредицата има .

Частични суми образуват безкрайна последователност от частични суми от числови ред.

За нашата серия n -та частична сума се намира по формулата на сумата от първите n члена на геометрична прогресия , тоест ще имаме следната последователност от частични суми: .

Числовият ред се нарича сближаващи сеако има краен предел на последователността от частични суми. Ако границата на последователността от частични суми на числов ред не съществува или е безкраен, тогава редът се нарича дивергентен.

Сборът от сближаващ се числов редсе нарича граница на последователността от нейните частични суми, т.е. .

Следователно в нашия пример серия се сближава и сумата му е равна на шестнадесет трети: .

Пример за разминаваща се серия е сумата от геометрична прогресия със знаменател, по-голям от един: ... n-та частична сума се определя от израза , а границата на частичните суми е безкрайна: .

Друг пример за разминаващ се числов ред е сумата от формата ... В този случай n-тата частична сума може да се изчисли като. Пределът на частичните суми е безкраен .

Сума от формата Наречен серия от хармонични числа.

Сума от формата , където s е някакво реално число, се нарича обобщена серия от хармонични числа.

Горните дефиниции са достатъчни, за да обосноват следните много често използвани твърдения, препоръчваме ви да ги запомните.

ХАРМОНИЧНИТЕ СЕРИИ СЕ РАЗПОРЯВАТ.

Нека докажем дивергенцията на хармоничния ред.

Да предположим, че редът се сближава. Тогава има краен предел на неговите частични суми. В този случай можем да запишем и, което ни води до равенството .

От друга страна,


Следните неравенства са извън съмнение. Поради това, . Полученото неравенство ни показва, че равенството не може да се постигне, което противоречи на нашето предположение за сближаването на хармоничния ред.

Заключение: хармоничният ред се разминава.

СУМАТА ОТ ГЕОМЕТРИЧНАТА ПРОГРЕСИЯ НА ИЗГЛЕДА СЪС ЗНАМЕНАТЕЛЯ q Е СБИРАЩ СЕ РЕД ОТ ЧИСЛА, IF И ДЕЛЯЩ РЕД AT.

Нека го докажем.

Знаем, че сумата от първите n члена на геометрична прогресия се намира по формулата .

Когато е истина


което показва сближаването на числовия ред.

За q = 1 имаме серия от числа ... Неговите частични суми се намират като, а границата на частичните суми е безкраен , което показва разминаването на редицата в този случай.

Ако q = -1, тогава числовият ред ще приеме формата ... Частичните суми приемат стойности за нечетно n и четно n. От това можем да заключим, че границата на частичните суми не съществува и редът се разминава.

Когато е истина


което показва разминаването на числовите редове.

ОБОБЩЕН, ХАРМОНИЧНИЯТ РЕД СЕ СБИРА ЗА s> 1 И РАЗБИРА ЗА.

Доказателство.

За s = 1 получаваме хармоничен ред и по-горе установихме неговата дивергенция.

В s неравенството важи за всички естествени k. Поради дивергенцията на хармоничния ред може да се твърди, че последователността от частичните му суми е неограничена (тъй като няма краен лимит). Тогава последователността от частични суми на числовия ред е още по-неограничена (всеки член от тази серия е по-голям от съответния член на хармоничния ред), следователно обобщената хармонична серия се разминава при s.

Остава да се докаже сходимостта на редицата за s> 1.

Нека напишем разликата:



Очевидно тогава


Нека запишем полученото неравенство за n = 2, 4, 8, 16, ...



Използвайки тези резултати, можете да направите следното с оригиналната числова серия:



Изразяване е сумата от геометрична прогресия, чийто знаменател е. Тъй като разглеждаме случая за s> 1, тогава. Ето защо
... По този начин последователността от частични суми на обобщения хармоничен ред за s> 1 се увеличава и в същото време е ограничена отгоре от стойността, следователно има граница, което показва сближаването на реда. Доказателството е пълно.

Числовият ред се нарича положителенако всички негови членове са положителни, т.е. .

Числовият ред се нарича редуващи сеако признаците на съседните му членове са различни. Редуваща се серия от числа може да се запише като или , където .

Числовият ред се нарича редуващи сеако съдържа безкраен набор както от положителни, така и от отрицателни членове.

Редуващият се номерен ред е специален случай на редуващ се ред.

Редиците

са съответно знакоположителни, знакоредуващи се и знакоредуващи се.

За редуващи се серии има концепцията за абсолютна и условна конвергенция.

абсолютно конвергентен, ако серия от абсолютни стойности на нейните членове се сближава, тоест се сближава знаково-положителен числов ред.

Например числови серии и се сближават абсолютно, тъй като серията , което е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Редуващият се ред се нарича условно сближаващи сеако редът се разминава и редът се сближава.

Като пример за конвенционално сближаващ се числов ред можем да дадем редицата ... Цифрови серии , съставен от абсолютните стойности на членовете на оригиналния ред, разнопосочни, тъй като е хармоничен. В същото време оригиналната серия е конвергентна, което лесно се установява с помощта. По този начин числовата редуваща се серия условно конвергентен.

Свойства на сходящите числови редове.

Пример.

Докажете сходимостта на числов ред.

Решение.

Нека напишем поредицата в друга форма ... Численият ред се сближава, тъй като обобщеният хармоничен ред е сходен за s> 1, а по силата на второто свойство на сближаване на числови ред, ред с числен коефициент също ще се сближи.

Пример.

Дали числовият ред се сближава.

Решение.

Нека трансформираме оригиналния ред: ... По този начин получаваме сбора от два числови серии и всеки от тях се сближава (вижте предишния пример). Следователно, по силата на третото свойство на сближаване на числови редове, оригиналният ред също се сближава.

Пример.

Докажете сходимостта на числов ред и изчислете сумата му.

Решение.

Тази числова серия може да бъде представена като разлика между две серии:

Всяка от тези серии е сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, следователно е конвергентна. Третото свойство на сходящия се ред ни позволява да твърдим, че оригиналният числов ред се сближава. Нека изчислим нейната сума.

Първият член на серията е един, а знаменателят на съответната геометрична прогресия е 0,5, следователно, .

Първият член на серията е 3, а знаменателят на съответната безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 1/3, следователно .

Нека използваме получените резултати, за да намерим сумата от оригиналния числов ред:

Необходимо условие за сближаване на редицата.

Ако числовият ред се сближава, тогава границата на неговия k-ти член е нула:.

Когато се изследва всеки числов ред за сходимост, първо трябва да се провери изпълнението на необходимото условие за сближаване. Неизпълнението на това условие показва разминаването на числовия ред, тоест ако, тогава серията се разминава.

От друга страна, трябва да разберете, че това условие не е достатъчно. Тоест, изпълнението на равенството не означава сближаване на числовия ред. Например, за хармоничен ред, необходимото условие за сближаване е изпълнено и редът се разминава.

Пример.

Изследвайте серия от числа за сближаване.

Решение.

Нека проверим необходимото условие за сходимост на числов ред:

Лимит n-тият член на числовия ред не е равен на нула, следователно редът се разминава.

Достатъчни признаци за сближаване на положителен ред.

Когато използвате достатъчно функции за изучаване на числови редове за сближаване, постоянно трябва да се справяте, така че ви препоръчваме да се обърнете към този раздел, ако имате някакви затруднения.

Необходимо и достатъчно условие за сходимост на положителен числов ред.

За сближаване на положителен числов ред необходимо и достатъчно е последователността на частичните му суми да бъде ограничена.

Нека започнем със знаците за сравнение на сериите. Тяхната същност се състои в сравняването на изследваните числови редове с редица, чиято конвергенция или разминаване е известна.

Първи, втори и трети признаци за сравнение.

Първият знак за сравняване на редовете.

Нека u са два знакоположителни числови серии и неравенството важи за всички k = 1, 2, 3, ... Тогава сближаването на редицата предполага сближаване, а дивергенцията на редицата предполага дивергенция.

Първият критерий за сравнение се използва много често и е много мощен инструмент за изследване на числови редове за сближаване. Основният проблем е изборът на подходяща серия за сравнение. Редът за сравнение обикновено (но не винаги) се избира така, че степента на нейния k-ти член да е равна на разликата между степените на числителя и знаменателя на k-ия член от изследвания числов ред. Например, да предположим, че разликата между експонентите на числителя и знаменателя е 2 - 3 = -1, следователно за сравнение избираме серия с k-ия член, тоест хармонична серия. Нека разгледаме няколко примера.

Пример.

Установете конвергенцията или дивергенцията на серията.

Решение.

Тъй като границата на общия член на редицата е нула, необходимото условие за сходимост на реда е изпълнено.

Лесно е да се види, че неравенството важи за всички естествени числа k. Знаем, че хармоничният ред се разминава, следователно, според първия знак за сравнение, оригиналният ред също е различен.

Пример.

Проверете числовите редове за сближаване.

Решение.

Необходимото условие за сходимост на числов ред е изпълнено, тъй като ... Очевидно неравенството за произволна естествена стойност k. Редът се сближава, тъй като обобщеният хармоничен ред е конвергентен за s> 1. По този начин първият знак за сравняване на редицата ни позволява да посочим сближаването на оригиналния числов ред.

Пример.

Определете сближаването или дивергенцията на числовите редове.

Решение.

, следователно е изпълнено необходимото условие за сходимост на числовия ред. Кой ред да изберете за сравнение? Числовият ред се подсказва сам и за да определим s, ние внимателно изследваме числовата последователност. Членовете на числовата последователност се увеличават до безкрайност. По този начин, започвайки от някакво число N (а именно с N = 1619), членовете на тази последователност ще бъдат по-големи от 2. Като се започне от това число N, неравенството е в сила. Численият ред се сближава по силата на първото свойство на сходящия ред, тъй като се получава от сходящия ред чрез отхвърляне на първите N - 1 члена. По този начин, според първия критерий за сравнение, редът е сходен и поради първото свойство на сходящия числов ред, редът също ще се сближи.

Втори знак за сравнение.

Позволявам и е положителен числов ред. Ако, тогава конвергенцията следва от сближаването на редицата. Ако, тогава дивергенцията следва от дивергенцията на числовия ред.

Последствие.

Ако и, тогава от сходимостта на една серия следва сближаването на другата, а от разминаването следва дивергенцията.

Нека да изследваме редицата за сходимост, използвайки втория критерий за сравнение. Вземете сближаваща се поредица като серия. Нека намерим границата на съотношението на k-тите членове от числовия ред:

По този начин, според втория критерий за сравнение, сближаването на оригиналния ред следва от сближаването на числовия ред.

Пример.

Изследване на сходимостта на числови ред.

Решение.

Нека проверим необходимото условие за сходимост на редицата ... Условието е изпълнено. За да приложим втория критерий за сравнение, вземаме хармоничен ред. Нека намерим границата на съотношението на k-тите членове:

Следователно от разминаването на хармоничния ред следва дивергенцията на оригиналния ред според втория критерий за сравнение.

За информация ще дадем третия знак за сравнение на серията.

Третият знак за сравнение.

Позволявам и е положителен числов ред. Ако условието е изпълнено от някакво число N, тогава сходимостта следва от сходимостта на редицата, а дивергенцията следва от дивергенцията на реда.

Знак на Д'Аламбер.

Коментирайте.

Тестът на д'Аламбер е валиден, ако границата е безкрайна, тоест ако , тогава редът се сближава, ако , тогава поредицата се разминава.

Ако, тогава тестът на д'Аламбер не предоставя информация за сближаването или разминаването на редовете и е необходимо допълнително изследване.

Пример.

Разгледайте числовия ред за сближаване на д'Аламбер.

Решение.

Нека проверим изпълнението на необходимото условие за сближаване на числов ред, границата се изчислява по:

Условието е изпълнено.

Нека използваме теста на д'Аламбер:

Така поредицата се сближава.

Радикален знак на Коши.

Нека е положителна серия от числа. Ако, тогава числовият ред се сближава, ако, тогава редът се разминава.

Коментирайте.

Радикалният критерий на Коши е валиден, ако границата е безкрайна, тоест ако , тогава редът се сближава, ако , тогава поредицата се разминава.

Ако, тогава радикалният тест на Коши не предоставя информация за сближаването или дивергенцията на серията и е необходимо допълнително изследване.

Обикновено е достатъчно лесно да се разграничат случаите, когато е най-добре да се използва радикалния критерий на Коши. Типичен случай е, когато общият член на числов ред е експоненциален експоненциален израз. Нека разгледаме няколко примера.

Пример.

Изследвайте редица положителни числа за сближаване, като използвате радикалния тест на Коши.

Решение.

... По радикалния критерий на Коши получаваме .

Следователно поредицата се сближава.

Пример.

Сближава ли се численият ред .

Решение.

Използваме радикалния критерий на Коши , следователно, числовият ред се сближава.

Интегрален тест на Коши.

Нека е положителна серия от числа. Нека съставим функция от непрекъснат аргумент y = f (x), подобна на функцията. Нека функцията y = f (x) е положителна, непрекъсната и намаляваща на интервала, където). След това, в случай на конвергенция неправилен интегрализследваният числов ред се сближава. Ако неправилният интеграл се разминава, тогава оригиналната серия също се разминава.

Когато проверявате намаляването на функцията y = f (x) на интервал, теорията от раздела може да ви бъде полезна.

Пример.

Разгледайте серия от числа с положителни термини за сближаване.

Решение.

Необходимото условие за сближаване на редицата е изпълнено, тъй като ... Нека разгледаме функция. Той е положителен, непрекъснат и намаляващ през интервала. Непрекъснатостта и позитивността на тази функция е извън съмнение и ще се спрем на намаляването малко по-подробно. Намерете производната:
... Той е отрицателен в интервала, следователно функцията намалява в този интервал.

Критерий за сближаване на Д'Аламбер Радикален критерий за конвергенция на Коши Интегрален критерий за сближаване на Коши

Един от често срещаните признаци за сравнение, който се намира в практическите примери, е знакът на д'Аламбер. Знаците на Коши са по-рядко срещани, но също така много популярни. Както винаги ще се опитам да представя материала по прост, достъпен и разбираем начин. Темата не е най-трудната и всички задачи са до известна степен шаблонни.

Жан Лерон Д'Аламбер е известен френски математик от 18 век. Като цяло Д'Аламбер се специализира в диференциални уравнения и на базата на своите изследвания се занимава с балистика, за да може Негово Величество да лети по-добри гюлла. В същото време не забравих за числените редици, не напразно редиците на войските на Наполеон се сближиха и се разминаваха толкова ясно.

Преди да формулирате самата характеристика, помислете за един важен въпрос:
Кога трябва да се приложи критерият за конвергенция на д'Аламбер?

Да започнем с повторението. Нека си припомним случаите, когато трябва да използвате най-популярните пределен критерий за сравнение... Ограничаващият критерий за сравнение се прилага, когато в общия член на серията:
1) Знаменателят съдържа полином.
2) Полиномите са както в числителя, така и в знаменателя.
3) Един или и двата полинома могат да бъдат в корена.

Основните предпоставки за използването на функцията d'Alembert са както следва:

1) Общият термин на поредицата ("пълнеж" на серията) включва някакво число в степента, например, и т.н. Освен това изобщо няма значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важно е то да присъства там.

2) Факториалът е включен в общия член на редицата. По време на урока кръстосвахме мечове с факториали Числова последователност и нейната граница... Въпреки това не пречи да разстилате отново самостоятелно сглобената покривка:





…


…

! Когато използваме теста на д'Аламбер, ние просто трябва да опишем в детайли факториала. Както в предишния параграф, факториалът може да бъде разположен в горната или долната част на дроба.

3) Ако има „верига от фактори“ в общия термин на поредицата, например. Този случай е рядък, но! При разглеждане на такава серия често се допускат грешки - вижте пример 6.

Заедно със степените и (и) факториалите, полиноми често се срещат в попълването на серията, това не променя въпроса - трябва да използвате знака на д'Аламбер.

Освен това, в общия член на редицата, както степента, така и факториела могат да бъдат намерени едновременно; може да има два факториала, две степени, важно е да има поне нещо отот разглежданите точки - а това е само предпоставка за използване на знака на д'Аламбер.

Знак на Д'Аламбер: Обмисли редица положителни числа... Ако има ограничение за връзката на следващия член с предишния:, тогава:
а) За серия сближава... По-специално, поредицата се сближава за.
б) За серия се разминава... По-специално, поредицата се разминава при.
в) Кога знакът не дава отговор... Трябва да се използва друг знак. Най-често единицата се получава, когато тестът на д'Аламбер се опитва да се приложи, когато е необходимо да се използва ограничаващата характеристика за сравнение.

Всеки, който все още има проблеми с ограниченията или неправилно разбиране на ограниченията, вижте урока Ограничения. Примери за решения... За съжаление, без разбиране на границата и способността за разкриване на несигурността, човек не може да напредне по-нататък.

И сега дългоочакваните примери.

Пример 1

Виждаме, че имаме в общия член на поредицата и това е правилно условие за използване на знака на д'Аламбер. Първо, цялостно решение и примерен дизайн, коментари по-долу.

Използваме знака на д'Аламбер:

сближава.

(1) Ние съставяме съотношението на следващия член от поредицата към предишния:. От условието виждаме, че общият член на поредицата. За да получите следващия член на поредицата, е необходимо вместо заместване: .
(2) Да се ​​отървем от четириетажната фракция. С известен опит с решението тази стъпка може да бъде пропусната.
(3) Разгънете скобите в числителя. В знаменателя изваждаме четирите от степента.
(4) Намалете с. Константата се изважда от граничния знак. Даваме подобни термини в числителя в скоби.
(5) Неопределеността се елиминира по стандартния начин - разделяне на числителя и знаменателя на "en" в най-голяма степен.
(6) Разделяме числителите по знаменатели член по член и посочваме членовете, които клонят към нула.
(7) Опростяваме отговора и отбелязваме, че със заключението, че според теста на д'Аламбер изследваният ред се сближава.

В разглеждания пример, в общия член на редицата, срещнахме полином от 2-ра степен. Ами ако има полином от 3-та, 4-та или по-висока степен? Факт е, че ако е даден полином от по-висока степен, тогава ще има трудности с отварянето на скобите. В този случай можете да използвате "турбо" решението.

Пример 2

Вземете подобна серия и я проучете за сближаване

Първо цялостното решение, след това коментарите:

Използваме знака на д'Аламбер:

По този начин серия, която се изследва сближава.

(1) Съставяне на релацията.
(2) Да се ​​отървем от четириетажната фракция.
(3) Помислете за израз в числителя и израз в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да отворите скоби и да увеличите на четвърта степен: което абсолютно не искате да правите. Освен това, за тези, които не са запознати с бинома на Нютон, тази задача може изобщо да не е изпълнима. Нека анализираме най-високите степени: ако отворим скобите в горната част, получаваме най-високата степен. По-долу имаме същата висша степен:. По аналогия с предишния пример е очевидно, че когато числителят и знаменателят се разделят на член на, получаваме едно в границата. Или, както казват математиците, полиноми и - същия ред на растеж... По този начин е напълно възможно да заобиколите съотношението с обикновен молив и веднага да посочите, че това нещо клони към едно. Ние се справяме с втората двойка полиноми по подобен начин: и те също са същия ред на растеж, а съотношението им клони към единица.

Всъщност такъв "хак" можеше да бъде направен в Пример #1, но за полином от 2-ра степен подобно решение все още изглежда някак недостойно. Лично аз правя това: ако има полином (или полиноми) от първа или втора степен, използвам "дългия" начин за решаване на Пример 1. Ако попадна на полином от трета или по-висока степен, използвам "турбо" - метод, подобен на пример 2.

Пример 3

Разгледайте редицата за сближаване

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока с последователности от числа.
(4) Намаляване на всичко, което може да бъде намалено.
(5) Константата се изважда от граничния знак. Разширете скобите в числителя.
(6) Неопределеността се елиминира по стандартния начин - чрез разделяне на числителя и знаменателя на "en" в най-голяма степен.

Пример 5

Разгледайте редицата за сближаване

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока

Пример 6

Разгледайте редицата за сближаване

Понякога има редове, които съдържат "верига" от фактори в тяхното запълване; все още не сме разглеждали този тип ред. Как да изследваме поредица с "верига" от фактори? Използвайте знака на д'Аламбер. Но първо, за да разберем какво се случва, ще опишем поредицата подробно:

От разширението виждаме, че за всеки следващ член в поредицата се добавя допълнителен фактор в знаменателя, следователно, ако общият член в серията, тогава следващият член в серията:
... Тук те често правят грешка автоматично, като официално записват според алгоритъма това

Приблизителен пример за решение може да изглежда така:

Използваме знака на д'Аламбер:

По този начин серия, която се изследва сближава.

Преди да започнете да работите с тази тема, ви съветвам да разгледате раздела за терминология за числови редове. Особено си струва да се обърне внимание на концепцията за общ член на серия. Ако имате съмнения относно правилността на избора на критерия за сходимост, съветвам ви да разгледате темата "Избор на знак за сближаване на числови редове".

Тестът на Аламбер (или тестът на д'Аламбер) се използва за изследване на сближаването на редове, чийто общ член е строго по-голям от нула, тоест $ u_n> 0 $. Такива редове се наричат строго положителен... В стандартните примери атрибутът на Alamber D се използва в неговата ограничаваща форма.

Знак D "Alamber" (в екстремна форма)

Ако редът $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) u_n $ е строго положителен и $$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = L , $ $ след това за $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (и за $ L = \ infty $) редът се разминава.

Формулировката е доста проста, но остава отворен следният въпрос: какво ще се случи, ако $ L = 1 $? Знакът на Аламберт D не може да даде отговор на този въпрос Ако $ L = 1 $, тогава редът може както да се сближава, така и да се разминава.

Най-често в стандартните примери знакът Alamber D се използва, ако изразът за общия член на редицата съдържа полином от $ n $ (полиномът може да е под корена) и степен от вида $ a ^ n $ или $ n! $. Например, $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ (вижте пример # 1) или $ u_n = \ frac (\ sqrt ( 4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Какво означава изразът "n!"? Покажи скрий

Записът "n!" (чете се "en factorial") обозначава произведението на всички естествени числа от 1 до n, т.е.

$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$

По дефиниция се приема, че $ 0! = 1! = 1 $. Например, нека намерим 5 !:

$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

В допълнение, характеристиката на Аламберт често се използва за определяне на сближаването на серия, чийто общ член съдържа произведението на следната структура: $ u_n = \ frac (3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot \ ldots \ cdot (2n + 1)) (2 \ cdot 5 \ cdot 8 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-1)) $.

Пример №1

Изследвайте поредицата $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ за сближаване.

Тъй като долната граница на сумиране е 1, общият член на редицата се записва под знака за сума: $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $. Тъй като за $ n≥ 1 $ имаме $ 3n + 7> 0 $, $ 5 ^ n> 0 $ и $ 2n ^ 3-1> 0 $, то $ u_n> 0 $. Следователно нашата поредица е строго положителна.

$$ 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac ((3n + 10) \ left (2n ^ 3-1 \ right)) (\ left (2 (n + 1) ^ 3-1 \ right) ) (3n + 7)) = \ left | \ frac (\ infty) (\ infty) \ вдясно | = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac ((3n + 10) \ left (2n ^ 3-1 \ вдясно)) (n ^ 4)) (\ frac (\ вляво (2 (n + 1) ^ 3-1 \ надясно) (3n + 7)) (n ^ 4)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (3n + 10) (n) \ cdot \ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\ frac (\ left (2 ( n + 1) ^ 3-1 \ вдясно)) (n ^ 3) \ cdot \ frac (3n + 7) (n)) = \\ = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ ляв (\ frac (3n) (n) + \ frac (10) (n) \ надясно) \ cdot \ left (\ frac (2n ^ 3) (n ^ 3) - \ frac (1) (n ^ 3) \ вдясно)) (\ ляво (2 \ наляво (\ frac (n) (n) + \ frac (1) (n) \ надясно) ^ 3- \ frac (1) (n ^ 3) \ вдясно) \ cdot \ left (\ frac (3n) (n) + \ frac (7) (n) \ right)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ left (3+ \ frac (10)) (n) \ вдясно) \ cdot \ наляво (2- \ frac (1) (n ^ 3) \ вдясно)) (\ left (2 \ left (1+ \ frac (1) (n) \ right) ^ 3 - \ frac (1) (n ^ 3) \ вдясно) \ cdot \ left (3+ \ frac (7) (n) \ right)) = 5 \ cdot \ frac (3 \ cdot 2) (2 \ cdot 3 ) = 5. $$

Тъй като $ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 5> 1 $, то според дадената серия се разминава.

Честно казано, знакът Alambert D "не е единствената опция в тази ситуация. Можете да използвате например радикалния тест на Коши. Използването на радикалния тест на Коши обаче ще изисква познаване (или доказателство) на допълнителни формули. Следователно, използването на функцията Alamber D" в тази ситуация е по-удобно.

Отговор: редът се разминава.

Пример №2

Разгледайте диапазона $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ на сходимость.!}

Тъй като долната граница на сумиране е 1, общият член на серията се записва под знака за сума: $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Общият член на редицата съдържа полинома в корена, т.е. $ \ sqrt (4n + 5) $ и факториал $ (3n-2)! $. Наличието на факториал в стандартен пример е почти сто процента гаранция за използването на характеристиката на Alamber D.

За да приложим тази функция, трябва да намерим границата на съотношението $ \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $. За да напишете $ u_ (n + 1) $, имате нужда от $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Тъй като $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $, формулата за $ u_ (n + 1) $ може да бъде написана като друг:

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4n + 9)) ((3n + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Тази нотация е удобна за по-нататъшно решение, когато трябва да премахнем дроба под ограничението. Ако равенството с факториалите изисква пояснение, моля, разширете бележката по-долу.

Как получихме равенството $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $? Покажи скрий

Означението $ (3n + 1)!$ Означава произведението на всички естествени числа от 1 до $ 3n + 1 $. Тези. този израз може да се запише така:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n + 1). $$

Непосредствено преди числото $ 3n + 1 $ има число с едно по-малко, т.е. число $ 3n + 1-1 = 3n $. И непосредствено преди числото $ 3n $ има числото $ 3n-1 $. Е, непосредствено преди числото $ 3n-1 $ имаме числото $ 3n-1-1 = 3n-2 $. Нека пренапишем формулата за $ (3n + 1)! $:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Какъв е продуктът $ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $? Този продукт е равен на $ (3n-2)! $. Следователно изразът за $ (3n + 1)! $ може да бъде пренаписан, както следва:

$$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Тази нотация е удобна за по-нататъшно решение, когато трябва да премахнем дроба под ограничението.

Нека изчислим стойността на $ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $:

$$ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (\ sqrt (4n + 9)) (( 3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1))) (\ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Тъй като $ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 0<1$, то согласно

Критерии за сближаване на сериите.
Знак на Д'Аламбер. Знаци на Коши

Работа, работа - и разбирането ще дойде по-късно
J.L. Д'Аламбер

Честито на всички за началото на учебната година! Днес е 1 септември и в чест на празника реших да запозная читателите с факта, че отдавна очаквате и копнеете да знаете - критерии за конвергенция за положителни числови редове... Празникът 1-ви септември и моите поздравления винаги са актуални, нищо че навън е лято, сега за трети път се явявате на изпита, ако отидете на тази страница!

За тези, които тепърва започват да изучават поредицата, препоръчвам първо да прочетете статията Цифрови серии за манекени... Всъщност тази количка е продължение на банкета. И така, днес в урока ще разгледаме примери и решения по теми:

Един от често срещаните признаци за сравнение, който се намира в практическите примери, е знакът на д'Аламбер. Знаците на Коши са по-рядко срещани, но също така много популярни. Както винаги ще се опитам да представя материала по прост, достъпен и разбираем начин. Темата не е най-трудната и всички задачи са до известна степен шаблонни.

Тестът за конвергенция на д'Аламбер

Жан Лерон Д'Аламбер е известен френски математик от 18 век. Като цяло Д'Аламбер се специализира в диференциални уравнения и на базата на своите изследвания се занимава с балистика, за да може Негово Величество да лети по-добри гюлла. В същото време не забравих за числените редици, не напразно редиците на войските на Наполеон се сближиха и се разминаваха толкова ясно.

Преди да формулирате самата характеристика, помислете за един важен въпрос:
Кога трябва да се приложи критерият за конвергенция на д'Аламбер?

Да започнем с повторението. Нека си припомним случаите, когато трябва да използвате най-популярните пределен критерий за сравнение... Ограничаващият критерий за сравнение се прилага, когато в общия член на серията:

1) Знаменателят съдържа полином.
2) Полиномите са както в числителя, така и в знаменателя.
3) Един или и двата полинома могат да бъдат в корена.
4) Разбира се, може да има повече полиноми и корени.

Основните предпоставки за използването на функцията d'Alembert са както следва:

1) Общият термин на серията ("пълнеж" на серията) включва някакво число в степента, например, и т.н. Освен това изобщо няма значение къде се намира това нещо, в числителя или в знаменателя - важно е то да присъства там.

2) Факториалът е включен в общия член на редицата. Кръстосахме мечове с факториали в урока Числова последователност и нейната граница. Въпреки това не пречи да разстилате отново самостоятелно сглобената покривка:





…


…

! Когато използваме теста на д'Аламбер, ние просто трябва да опишем в детайли факториала. Както в предишния параграф, факториалът може да бъде разположен в горната или долната част на дроба.

3) Ако в общия термин на поредицата има "верига от фактори", напр. ... Този случай е рядък, но! При разглеждане на такава серия често се допускат грешки - вижте пример 6.

Заедно със степените и (и) факториалите, полиноми често се срещат в попълването на серията, това не променя въпроса - трябва да използвате знака на д'Аламбер.

Освен това, в общия член на редицата, както степента, така и факториела могат да бъдат намерени едновременно; може да има два факториала, две степени, важно е да има поне нещоот разглежданите точки - а това е само предпоставка за използване на знака на д'Аламбер.

Знак на Д'Аламбер: Обмисли редица положителни числа... Ако има ограничение за връзката на следващия член с предишния:, тогава:
а) За серия сближава
б) За серия се разминава
в) Кога знакът не дава отговор... Трябва да се използва друг знак. Най-често единицата се получава, когато тестът на д'Аламбер се опитва да се приложи, когато е необходимо да се използва ограничаващата характеристика за сравнение.

Всеки, който все още има проблеми с ограниченията или неправилно разбиране на ограниченията, вижте урока Ограничения. Примери за решения... За съжаление, без разбиране на границата и способността за разкриване на несигурността, човек не може да напредне по-нататък.

И сега дългоочакваните примери.

Пример 1

Виждаме, че имаме в общия член на поредицата и това е правилно условие за използване на знака на д'Аламбер. Първо, цялостно решение и примерен дизайн, коментари по-долу.

Използваме знака на д'Аламбер:


сближава.
(1) Ние съставяме съотношението на следващия член от поредицата към предишния:. От условието виждаме, че общият член на поредицата. За да получите следващия член на поредицата, трябва ВМЕСТО заменете: .
(2) Да се ​​отървем от четириетажната фракция. С известен опит с решението тази стъпка може да бъде пропусната.
(3) Разгънете скобите в числителя. В знаменателя изваждаме четирите от степента.
(4) Намалете с. Константата се изважда от граничния знак. Даваме подобни термини в числителя в скоби.
(5) Неопределеността се елиминира по стандартния начин - разделяне на числителя и знаменателя на "en" в най-голяма степен.
(6) Разделяме числителите по знаменатели член по член и посочваме членовете, които клонят към нула.
(7) Опростяваме отговора и отбелязваме, че със заключението, че според теста на д'Аламбер изследваният ред се сближава.

В разглеждания пример, в общия член на редицата, срещнахме полином от 2-ра степен. Ами ако има полином от 3-та, 4-та или по-висока степен? Факт е, че ако е даден полином от по-висока степен, тогава ще има трудности с отварянето на скобите. В този случай можете да използвате "турбо" решението.

Пример 2

Вземете подобна серия и я проучете за сближаване

Първо цялостното решение, след това коментарите:

Използваме знака на д'Аламбер:


По този начин серия, която се изследва сближава.

(1) Съставяне на релацията.

(3) Помислете за израза в числителя и израза в знаменателя. Виждаме, че в числителя трябва да отворите скоби и да увеличите на четвърта степен: което абсолютно не искате да правите. А за тези, които не са запознати с бинома на Нютон, тази задача ще бъде още по-трудна. Нека анализираме по-високите степени: ако разширим скобите в горната част , тогава получаваме най-високата степен. По-долу имаме същата висша степен:. По аналогия с предишния пример е очевидно, че когато числителят и знаменателят се разделят на член на, получаваме едно в границата. Или, както казват математиците, полиноми и - същия ред на растеж... По този начин е напълно възможно да се заобиколи връзката с обикновен молив и веднага посочете, че това нещо клони към едно. Ние се справяме с втората двойка полиноми по подобен начин: и те също са същия ред на растеж, а съотношението им клони към единица.

Всъщност такъв "хак" можеше да бъде направен в Пример № 1, но за полином от 2-ра степен подобно решение все още изглежда някак недостойно. Лично аз правя това: ако има полином (или полиноми) от първа или втора степен, използвам "дългия" начин за решаване на Пример 1. Ако попадна на полином от трета степен или по-висока, използвам "турбо" - метод, подобен на пример 2.

Пример 3

Разгледайте редицата за сближаване

Нека разгледаме типични примери с факториали:

Пример 4

Разгледайте редицата за сближаване

Общият термин на поредицата включва както степента, така и факториала. Ясно е като бял ден, че тук трябва да се използва знакът на д'Аламбер. Ние решаваме.

По този начин серия, която се изследва се разминава.
(1) Съставяне на релацията. Повтаряме още веднъж. По условие общият термин на серията: ... За да получите следващия термин от поредицата, вместо това трябва да замените, поради това: .
(2) Да се ​​отървем от четириетажната фракция.
(3) Отщипваме седемте от степента. Рисуваме факториали в детайли... Как да направите това - вижте началото на урока или статията за числовите поредици.
(4) Намаляване на всичко, което може да бъде намалено.
(5) Константата се изважда от граничния знак. Разширете скобите в числителя.
(6) Неопределеността се елиминира по стандартния начин - чрез разделяне на числителя и знаменателя на "en" в най-голяма степен.

Пример 5

Разгледайте редицата за сближаване

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока

Пример 6

Разгледайте редицата за сближаване

Понякога има редове, които съдържат "верига" от фактори в тяхното запълване; все още не сме разглеждали този тип ред. Как да изследваме поредица с "верига" от фактори? Използвайте знака на д'Аламбер. Но първо, за да разберем какво се случва, ще опишем поредицата подробно:

От разширението виждаме, че за всеки следващ член от редицата се добавя допълнителен фактор в знаменателя, следователно, ако общият член на редицата , след това следващият член от поредицата:
... Тук те често правят грешка автоматично, като официално записват според алгоритъма това

Приблизителен пример за решение може да изглежда така:

Използваме знака на д'Аламбер:

По този начин серия, която се изследва сближава.

Радикален знак на Коши

Огюстен Луи Коши е още по-известен френски математик. Всеки студент по техника може да ви разкаже за биографията на Коши. В най-живописните цветове. Неслучайно това име е издълбано на първия етаж на Айфеловата кула.

Тестът за конвергенция на Коши за положителни серии е донякъде подобен на току-що разглеждания тест на д'Аламбер.

Радикален знак на Коши:Обмисли редица положителни числа... Ако има ограничение:, тогава:
а) За серия сближава... По-специално, поредицата се сближава за.
б) За серия се разминава... По-специално, поредицата се разминава при.
в) Кога знакът не дава отговор... Трябва да се използва друг знак. Интересно е да се отбележи, че ако тестът на Коши не ни дава отговор на въпроса за сходимостта на редицата, то тестът на д'Аламбер също не дава отговор. Но ако знакът на д'Аламбер не дава отговор, тогава знакът на Коши може да "работи". Тоест знакът Коши в този смисъл е по-силен знак.

Кога трябва да използвате радикалния знак на Коши?Радикалният критерий на Коши обикновено се използва в случаите, когато коренът "добър" е извлечен от общ член на поредицата. Обикновено този пипер е в степен което зависи от... Има и екзотични случаи, но няма да се занимаваме с тях.

Пример 7

Разгледайте редицата за сближаване

Виждаме, че фракцията е напълно под степента в зависимост от "en", което означава, че трябва да използвате радикалния критерий на Коши:


По този начин серия, която се изследва се разминава.

(1) Образуваме общия член на редицата като корен.

(2) Пренаписваме същото нещо, само без корен, използвайки свойството power.
(3) В степенната степен разделете числителя на знаменателя, член по член, като посочите, че
(4) Резултатът е несигурност. Тук човек може да извърви дълъг път: изграждане на куб, изграждане на куб, след това разделяне на числителя и знаменателя на "en" в куба. Но в този случай има по-ефективно решение: тази техника може да се използва точно под градусната константа. За да премахнете несигурността, разделете числителя и знаменателя на (най-високата степен на полиномите).

(5) Извършваме деление член по член и посочваме членовете, които клонят към нула.
(6) Напомняме отговора, отбелязваме го и заключаваме, че поредицата се разминава.

И ето по-прост пример за решение „направи си сам“:

Пример 8

Разгледайте редицата за сближаване

И още няколко типични примера.

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока

Пример 9

Разгледайте редицата за сближаване
Използваме радикалния знак на Коши:


По този начин серия, която се изследва сближава.

(1) Поставяме общия член на редицата под корена.

(2) Пренаписваме същото, но без корен, като разширяваме скобите, използвайки формулата за съкратено умножение: .
(3) В индикатора разделете числителя на знаменателя, член по член и посочете това.
(4) Получава се неопределеността на формата и тук също можете да извършите деление директно под степента. Но с едно условие:коефициентите при най-високите степени на полиномите трябва да са различни. Имаме ги различни (5 и 6) и затова е възможно (и необходимо) да разделим и двата етажа. Ако тези коефициенти са същите, например (1 и 1): тогава този трик не работи и трябва да го използвате второ прекрасно ограничение... Ако си спомняте, тези тънкости бяха разгледани в последния параграф на статията. Ограничете методи за решаване.

(5) Всъщност ние извършваме деление по член и показваме кои членове клонят към нула.
(6) Несигурността е премахната, имаме най-простата граница:. Защо в безкрайно голямстепен клони към нула? Тъй като основата на степента удовлетворява неравенството. Ако някой има съмнения относно справедливостта на лимита , тогава няма да бъда мързелив, ще взема калкулатор:
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
Ако, тогава
… и т.н. до безкрайност - тоест в границата:

Същото безкрайно намаляваща геометрична прогресияна пръсти =)
! Никога не използвайте този трик като доказателство! Защото ако нещо е очевидно, това не означава, че е правилно.

(7) Посочваме, че заключаваме, че редът се сближава.

Пример 10

Разгледайте редицата за сближаване

Това е пример за решение "направи си сам".

Понякога за решение се предлага провокативен пример, например:. Тук в експонента без "en", само константа. Тук трябва да квадратирате числителя и знаменателя (получавате полиноми) и след това да се придържате към алгоритъма от статията Редове за манекени... В такъв пример трябва да работи или необходимият критерий за сближаване на редицата, или ограничителният критерий за сравнение.

Интегрален тест на Коши

Или просто неразделна характеристика. Ще разочаровам тези, които са усвоили лошо материала от първия курс. За да приложите интегралния критерий на Коши, е необходимо повече или по-малко уверено да можете да намирате производни, интеграли, както и да имате умението да изчислявате неправилен интегралот първия вид.

В учебниците по смятане интегрален тест на Кошидаден математически строго, но твърде изкривен, така че ще формулирам критерия не твърде строго, но разбираемо:

Обмисли редица положителни числа... Ако има неправилен интеграл, тогава редът се сближава или отклонява заедно с този интеграл.

И веднага примери за пояснение:

Пример 11

Разгледайте редицата за сближаване

Почти класика. Естествен логаритъм и някаква бяка.

Основната предпоставка за използване на интегралния критерий на Кошие фактът, че общият член на редицата съдържа фактори, подобни на някаква функция и нейната производна. От темата