Може ли аритметичната прогресия да бъде отрицателна. Аритметична и геометрична прогресия
Задавани въпроси аритметична прогресия Вече имаше дълбока древност. Те се появиха и поискаха решение, защото имаха практическа необходимост.
Така че, в един от папируса Древен ЕгипетКато математическо съдържание - Rinda Papyrus (XIX век пр. Хр.) - съдържа такава задача: ние разделяме десет ястия за десет души, при условие че разликата между всеки от тях е една осма мерца. "
И в математическите произведения на древните гърци има елегантни теореми, свързани с аритметична прогресия. Така че, Hypsum Alexandrian (II век, което е много интересни задачи и добави четиринадесетата книга до "началото на" Евклид, формулира мисълта: "В аритметична прогресия, която има дори брой членове, количеството Членове на втората половина повече от 1-ви членове 1/2 номера на членовете. "
Обозначава последователността AN. Номерата на последователността се наричат \u200b\u200bнейните членове и обикновено се обозначават с букви с индекси, които показват номера на последователността на този член (А1, А2, А3 ... прочетете: "a 1-o", "2-р", "3- ПИН "и така нататък).
Последователността може да бъде безкрайна или крайна.
И какво е аритметична прогресия? Под него те разбират добавянето на предишния член (n), получен със същия номер D, което е разликата в прогресията.
Ако D.<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, тази прогресия се счита за увеличаване.
Аритметичната прогресия се нарича най-доброто, ако се вземат под внимание само няколко от първите му членове. С много голям брой членове, това е безкрайна прогресия.
Всяка аритметична прогресия се определя по следната формула:
aN \u003d kN + b, докато b и k са някои числа.
Абсолютно вярно е изявление, което е обратна: ако последователността се дава с подобна формула, тогава това е точно аритметична прогресия, която има свойства:
- Всеки член на прогресията е средноаритметичната средна стойност на предишния член и следващ.
- Обратно: ако, започвайки от втория, всеки член е средноаритметичната средна на предишния член и следващ, т.е. Ако условието е изпълнено, тази последователност е аритметична прогресия. Това равенство е едновременно знак за прогресия, така че обикновено се нарича характерно свойство на прогресия.
По същия начин, теоремата, която отразява това свойство, е: последователност - аритметична прогресия само ако това равенство е вярно за някой от членовете на последователността, започвайки от втората.
Характерното имущество за четирима всеки брой аритметична прогресия може да бъде изразена с формулата AN + AM \u003d AK + AL, ако N + M \u003d K + L (m, N, K е броят на прогресията).
При аритметична прогресия, всеки необходим (n-th) член може да бъде намерен чрез прилагане на следната формула:
Например: първият термин (А1) в аритметична прогресия е настроен и равен на три, а разликата (D) е равна на четири. Намирането ви се нуждае от четиридесет пети член на тази прогресия. A45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177
AK \u003d AK + D формула (N - K) ви позволява да определите n-ти член Аритметична прогресия чрез всеки от нейния K-платен член, при условие че е известен.
Сумата на членовете на аритметичната прогресия (предполага 1-ви N член на окончателната прогресия) се изчислява, както следва: \\ t
SN \u003d (A1 + AN) N / 2.
Ако 1-ва е известен и друга формула е удобна за изчисление:
Sn \u003d ((2A1 + d (n - 1)) / 2) * n.
Количеството аритметична прогресия, която съдържа n членове, се изчислява по този начин:
Изборът на формули за изчисления зависи от условията на задачите и изходните данни.
Естествена серия от всякакви числа, като 1,2,3, ..., n, ...- най-простият пример за аритметична прогресия.
В допълнение към аритметичната прогресия, има и геометрична, която притежава своите свойства и характеристики.
Ако всеки естествен номер н. Поставете валиден н. , тогава те казват какво е настроено цифрова последователност :
а. 1 , а. 2 , а. 3 , . . . , н. , . . . .
Така че цифровата последователност е функцията на естествения аргумент.
Номер а. 1 Обади се първият член на последователността , Номер а. 2 — вторият член на последователността , Номер а. 3 — трети и т.н. Номер н. Обади се n-m пишка последователности и естественото число н. — неговото число .
От двама съседни членове н. и н. +1 Членски последователности н. +1 Обади се проследяване (към н. ), но н. — предишен (към н. +1 ).
За да зададете последователност, трябва да зададете метод, който ви позволява да намерите член на последователност с произволен номер.
Често последователността е посочена с помощта на formulas n-the член Това е формулата, която ви позволява да определите член на последователността по неговия номер.
Например,
последователността на положителните нечетни числа може да бъде зададена по формулата
н.= 2н -1,
и променливостта на последователността 1 и -1 - формула
б. Н. = (-1) Н. +1 . ◄
Последователност може да бъде дефинирана повтаряща се формула, Това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предишните (един или повече) членове.
Например,
ако а. 1 = 1 , но н. +1 = н. + 5
а. 1 = 1,
а. 2 = а. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
а. 3 = а. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
а. 4 = а. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
а. 5 = а. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ако а 1.= 1, а2. = 1, н. +2 = н. + н. +1 , След това първите седем члена цифрова последователност Инсталирайте както следва:
а 1. = 1,
а2. = 1,
а 3. = а 1. + а2. = 1 + 1 = 2,
а 4. = а2. + а 3. = 1 + 2 = 3,
а 5. = а 3. + а 4. = 2 + 3 = 5,
а. 6 = а. 4 + а. 5 = 3 + 5 = 8,
а. 7 = а. 5 + а. 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Последователностите могат да бъдат край и безкраен .
Последователността се нарича краен Ако има ограничен брой членове. Последователността се нарича безкраен Ако има безкрайно много членове.
Например,
последователността е двуцифрена естествени числа:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
ограничени.
Последователност на основните числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
безкраен. ◄
Последователността се нарича повишаване на Ако всеки от неговия член започва от втория, повече от предишния.
Последователността се нарича низходящ Ако всеки член е от втория, по-малък от предишния.
Например,
2, 4, 6, 8, . . . , 2н., . . . - увеличаване на последователността;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / Н., . . . - намаляване на последователността. ◄
Последователността, елементите на които, с нарастващ брой, не намаляват, или, напротив, не се увеличават, се наричат монотонна последователност .
Монотонните последователности, по-специално, са увеличаващи се последователности и намаляващи последователности.
Аритметична прогресия
Аритметична прогресия последователността се нарича, всеки член, който започва от втория, е предишният, към който се добавя същия номер.
а. 1 , а. 2 , а. 3 , . . . , н., . . .
е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н. Условието е изпълнено:
н. +1 = н. + д.,
където д. - някакъв брой.
Така разликата между следващите и предишните членове на тази аритметична прогресия винаги е постоянна:
а2. - а. 1 = и 3. - а. 2 = . . . = н. +1 - н. = д..
Номер д. Обади се разликата между аритметичната прогресия.
За да се определи аритметична прогресия, е достатъчно да се посочи първият му термин и разлика.
Например,
ако а. 1 = 3, д. = 4 , първите пет последователности на последователността намират, както следва:
а 1. =3,
а2. = а 1. + д. = 3 + 4 = 7,
а 3. = а2. + д.= 7 + 4 = 11,
а 4. = а 3. + д.= 11 + 4 = 15,
а. 5 = а. 4 + д.= 15 + 4 = 19. ◄
За аритметична прогресия с първия член а. 1 и разлика д. неяс н.
н. = а 1. + (н.- 1)д.
Например,
намери тридерет член на аритметична прогресия
1, 4, 7, 10, . . .
а 1. =1, д. = 3,
а 30. = а 1. + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = а 1. + (н.- 2)д,
н.= а 1. + (н.- 1)д,
н. +1 = а. 1 + nd.,
тогава очевидно
| н.=
| n-1 + N + 1
|
| 2
|
всеки член на аритметичната прогресия, считано от втория, е равен на средния аритметични предходни и последващи членове.
числата А, Б и С са последователни членове на някаква аритметична прогресия, ако и само ако някой от тях е равен на средната аритметика две други.
Например,
н. = 2н.- 7 е аритметична прогресия.
Използваме горното изявление. Ние имаме:
н. = 2н.- 7,
n-1 = 2(н -1) - 7 = 2н.- 9,
n + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2н.- 5.
Следователно,
| n + 1 + N-1
| =
| 2н.- 5 + 2н.- 9
| = 2н.- 7 = н.,
|
| 2
| 2
|
◄
Забележи, че н. Член на аритметична прогресия може да бъде намерен не само а. 1 но също и предишни а К.
н. = а К. + (н.- к.)д..
Например,
за а. 5 може да бъде записан
а 5. = а 1. + 4д.,
а 5. = а2. + 3д.,
а 5. = а 3. + 2д.,
а 5. = а 4. + д.. ◄
н. = n-K + kD.,
н. = n + K - kD.,
тогава очевидно
| н.=
| а. N-k.
+ A. N + K.
|
| 2
|
всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, равен на половината от членовете на тази аритметична прогресия, равна на нея.
Освен това равенството е вярно за всяка аритметична прогресия:
m + a n \u003d a k + a l,
m + n \u003d k + l.
Например,
в аритметична прогресия
1) а. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а. 9 + а. 11 )/2;
2) 28 = 10. = а 3. + 7д.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;
3) 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + А 13)/2;
4) 2 + A 12 \u003d 5 + А 9, като
2 + А 12= 4 + 34 = 38,
5 + А 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S N.= 1 + A 2 + A 3 +. . .+ н.,
първо н. Членовете на аритметичната прогресия са равни на работата на крайните алтернативни условия за броя на условията:
От тук, по-специално, следва, че ако членството трябва да бъде обобщено
а К., а К. +1 , . . . , н.,
предишната формула запазва структурата си:
Например,
в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
С. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С. 10 - С. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ако аритметичната прогресия е дадена, тогава стойностите а. 1 , н., д., н. иС. н. ограничени от две формули:
Следователно, ако трей ценности Тези стойности са дадени, след това съответните стойности на двете останали стойности се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
Аритметичната прогресия е монотонна последователност. Където:
- ако д. > 0 , след това се увеличава;
- ако д. < 0 тя се спуска;
- ако д. = 0 Последователността ще бъде неподвижна.
Геометрична прогресия
Геометрична прогресия последователността се нарича, всеки член, който започва от втория, е предишният, умножен по същия брой.
б. 1 , б. 2 , б. 3 , . . . , б., . . .
е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н. Условието е изпълнено:
б. +1 = б. · q.,
където q. ≠ 0 - някакъв брой.
По този начин съотношението на следващия член на тази геометрична прогресия към предишния е броят постоянен:
б. 2 / б. 1 = б. 3 / б. 2 = . . . = б. +1 / б. = q..
Номер q. Обади се геометрична прогресия на знаменател.
За да зададете геометрична прогресия, е достатъчно да се уточни първият и знаменател.
Например,
ако б. 1 = 1, q. = -3 , първите пет последователности на последователността намират, както следва:
b 1. = 1,
b 2. = b 1. · q. = 1 · (-3) = -3,
b 3. = b 2. · q.= -3 · (-3) = 9,
б 4. = b 3. · q.= 9 · (-3) = -27,
б. 5 = б. 4 · q.= -27 · (-3) = 81. ◄
б. 1 и знаменател q. неяс н. - Мога да бъда намерен по формулата:
б. = б. 1 · q N. -1 .
Например,
намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .
б. 1 = 1, q. = 2,
б. 7 = б. 1 · q. 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄
b n-1 = b 1. · q N. -2 ,
б. = b 1. · q N. -1 ,
б. +1 = б. 1 · q N.,
тогава очевидно
б. 2 = б. -1 · б. +1 ,
всеки член на геометричната прогресия, считано от втория, е равен на средната геометрична (пропорционална) предходни и последващи членове.
Тъй като обратното изявление е вярно и след това се извършва следното изявление:
числата А, Б и С са последователни членове на някаква геометрична прогресия, ако и само ако квадратът на един от тях е равен на работата на другите две, т.е. една от числата е средна геометрична.
Например,
доказваме, че последователността, която е посочена по формулата б. \u003d -3 · 2 Н. е геометрична прогресия. Използваме горното изявление. Ние имаме:
б. \u003d -3 · 2 Н.,
б. -1 \u003d -3 · 2 Н. -1 ,
б. +1 \u003d -3 · 2 Н. +1 .
Следователно,
б. 2 \u003d (-3 · 2 Н.) 2 \u003d (-3 · 2 Н. -1 ) (-3 · 2 Н. +1 ) = б. -1 · б. +1 ,
което доказва необходимото изявление. ◄
Забележи, че н. Член на геометрична прогресия може да бъде намерен не само чрез б. 1 , но също и всеки предишен член б. Защо е достатъчно да се използва формулата
б. = б. · q N. - К..
Например,
за б. 5 може да бъде записан
b 5. = b 1. · q. 4 ,
b 5. = b 2. · q 3.,
b 5. = b 3. · въпрос 2.,
b 5. = б 4. · q.. ◄
б. = б. · q N. - К.,
б. = б. - К. · q К.,
тогава очевидно
б. 2 = б. - К.· б. + К.
площад на всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, равен на работата на членовете на тази прогресия, уравнена от нея.
Освен това равенството е вярно за всяка геометрична прогресия:
б.· б.= б.· б.,
м.+ н.= к.+ л..
Например,
в геометрична прогресия
1) б. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б. 5 · б. 7 ;
2) 1024 = б. 11 = б. 6 · q. 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) б. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б. 4 · б. 8 ;
4) б. 2 · б. 7 = б. 4 · б. 5 , като
б. 2 · б. 7 = 2 · 64 = 128,
б. 4 · б. 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S N.= б. 1 + б. 2 + б. 3 + . . . + б.
първо н. Членове на геометрична прогресия с знаменател q. ≠ 0 Изчислени по формулата:
И за q. = 1 - според формулата
S N.= nB. 1
Обърнете внимание, че ако трябва да обобщите членове
б., б. +1 , . . . , б.,
използва се формулата:
| S N.- S K. -1 = б. + б. +1 + . . . + б. = б. · | 1 - q N. -
К. +1
| . |
| 1 - q.
|
Например,
в геометрична прогресия 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
С. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = С. 10 - С. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ако е дадена геометрична прогресия, тогава стойностите б. 1 , б., q., н. и S N. ограничени от две формули:
Следователно, ако са дадени стойностите на всяка три от тези стойности, тогава съответните стойности на двете останали стойности се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
За геометрична прогресия с първия член б. 1 и знаменател q. Има следните свойства на монотонността :
- прогресията се увеличава, ако се извърши едно от следните условия:
б. 1 > 0 и q.> 1;
б. 1 < 0 и 0 < q.< 1;
- прогресията се спуска, ако се извърши едно от следните условия:
б. 1 > 0 и 0 < q.< 1;
б. 1 < 0 и q.> 1.
Ако q.< 0 , тогава геометричната прогресия е знак): членовете му с нечетни числа имат същия знак като първия си член, а членовете с четни номера - обратния знак. Ясно е, че алтернативната геометрична прогресия не е монотонна.
Работата на първата н. Членовете на геометричната прогресия могат да бъдат изчислени по формулата:
Р н.= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · Б. = (b 1. · б.) н. / 2 .
Например,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Безкрайно намаляване на геометричната прогресия
Безкрайно намаляване на геометричния напредък Обадете се на безкрайна геометрична прогресия, чийто модул за знаменател е по-малък 1 , т.е.
|q.| < 1 .
Имайте предвид, че безкрайно намаляването на геометричното развитие не може да бъде намаляваща последователност. Това съответства на случая
1 < q.< 0 .
С този знаменател последователността се редува. Например,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Сумата на безкрайно намаляване на геометричната прогресия обадете се на номера, на който е неограничена сумата от първия н. Членове на прогресията с неограничено увеличение на броя н. . Този номер винаги е, разбира се и изразен с формулата
| С.= б. 1 + б. 2 + б. 3 + . . . = | б. 1
| . |
| 1 - q.
|
Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Съобщение на аритметични и геометрични прогресии
Аритметика I. геометрична прогресия Тясно свързани помежду си. Обмислете само два примера.
а. 1 , а. 2 , а. 3 , . . . д. T.
б. 1 , б. 2 , б. 3 , . . . б. .
Например,
1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2 и
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - Геометрична прогресия с знаменател 7 2 . ◄
б. 1 , б. 2 , б. 3 , . . . - Геометрична прогресия с знаменател q. T.
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - аритметична прогресия с разлика log A.q. .
Например,
2, 12, 72, . . . - Геометрична прогресия с знаменател 6 и
lG. 2, lG. 12, lG. 72, . . . - аритметична прогресия с разлика lG. 6 . ◄
Сумата на аритметичната прогресия.
Количеството аритметична прогресия е просто. И по значение, и по формулата. Но задачите по тази тема са всякакви видове. От елементарно до доста твърдо вещество.
Първо ще се справим със значението и обобщената формула. И след това се бръснат. В моето удоволствие.) Значението на количеството е просто като сапун. За да намерите количеството аритметична прогресия, просто трябва да сгънете внимателно всичките му членове. Ако тези членове са малки, можете да поставите без никакви формули. Но ако много, или много ... допълнителни щамове.) В този случай формулата спасява.
Сумата от сумата изглежда проста:
Нека да разпознаем, че човките са включени във формулата. Това ще изясни много.
S N. - Размер на аритметичната прогресия. Резултат от добавянето всичко Членове, S. първо до последно. Важно е. Това е точно всичко Членове подред, без прескачане и скокове. И е, започвайки с първо. В задачи, като например намиране на сумата на третия и осмия членове или размера на членовете от петата на двадесетия. директно приложение Формулите ще разочароват.)
а 1. - първо Член на прогресията. Тук всичко е ясно, това е просто първо брой редове.
н. - последно Член на прогресията. Последния брой редове. Не е много познато име, но, приложено към сумата, тя е много добра. Освен това ще видите.
н. - броя на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата този номер съвпада с броя на сгънатата членове.
Защита с концепцията последно Член н.. Архивен въпрос: Какъв ще бъде член последно Ако Дана безкраен Аритметична прогресия?)
За сигурен отговор трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и ... внимателно прочетете задачата!)
В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия винаги се появява (пряко или непряко) последният член които трябва да бъдат ограничени до. В противен случай крайната, конкретна сума просто не съществува. За да разрешите, е важно прогресията да бъде настроена: крайната или безкрайна. Важно е да се попита: близо до номерата или формулата на N-тия член.
Най-важното е да се разбере, че формулата работи с първия член на прогресията към член с номера н. Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата на първите членове на аритметичната прогресия. Броя на тези първи членове, т.е. н.се определя единствено от задачата. В задачата, цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... но нищо, в примерите по-долу, ние премахваме тези тайни.)
Примери за задачи за количеството аритметична прогресия.
Преди всичко, полезна информация:
Основната сложност в задачите за количеството аритметична прогресия е правилно да се определят елементите на формулата.
Тези много елементи на компилаторите на задачите са криптирани с безкрайна фантазия.) Основното нещо не е да се страхуваме. Разбиране на същността на елементите, достатъчно е да ги дешифрирате. Ние анализираме подробно няколко примера. Нека започнем със задача, основана на Real GIA.
1. Аритметичната прогресия се дава чрез условие: N \u003d 2N-3.5. Намерете размера на първите 10 на своите членове.
Добра задача. Светлината.) За да определим сумата по формулата на това, което трябва да знаете? Първи член а 1., последен пик н.да броя на последния член н.
Къде да получите номера на последния член н.? Да, там, в състоянието! Той казва: Намерете сумата първите 10 членове. Е, с какъв номер ще бъде последно, Десети член?) Няма да повярваш на номера му - десетата!) Тя стана вместо н. Във формулата ще заменим 10.и вместо н. - дузина. Повтарям, броят на последния член съвпада с броя на членовете.
Остава да се определи а 1. и 10.. Това лесно се разглежда с формулата на N-тия член, която е дадена в състоянието на проблема. Не знаете как да го направите? Посетете предишния урок, без това - по никакъв начин.
а 1.\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5
10.\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16.5
S N. = S 10..
Открихме стойността на всички елементи на формулата на сумата на аритметичната прогресия. Остава да ги замени, но граф:
Това са всичко. Отговор: 75.
Друга задача, основана на GIA. Малко по-сложно:
2. се дава аритметичната прогресия (N), разликата от която е 3.7; А 1 \u003d 2.3. Намерете размера на първите 15 от членовете си.
Незабавно напишете обобщената формула:
Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по своя номер. Търсим просто заместване:
а 15 \u003d 2.3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54.1
Остава да се замени всички елементи във формулата на аритметичната прогресия и да се изчисли отговорът:
Отговор: 423.
Между другото, ако в сумата на сумата вместо това н. Просто замени формулата на N-тия член, получаваме:
Даваме други подобни, получаваме нова формула на сумата на членовете на аритметичната прогресия:
 |
Както можете да видите, той не изисква N-ти член н.. В някои задачи тази формула помага на страхотно, да ... можете да си спомните тази формула. И можете просто да го получите в подходящия момент, както тук. В края на краищата, формулата на сумата и формулата на N-тия член трябва да бъдат запомнени.)
Сега задача под формата на кратко криптиране):
3. Намерете сумата от всички положителни двуцифрени числа, множествени три.
В това как! Нито първият ви член, нито последната, нито прогресия като цяло ... как да живеем!?
Трябва да мислите главата си и да извадите всички елементи на сумата от аритметична прогресия от състоянието. Какви са двуцифрените числа - знаем. На двата Циферок се състоят.) Какво ще бъде двуцифрено първо? 10, необходимо е да се вярва.) И последно нещо Двуцифрено число? 99, разбира се! Зад него вече трицифрени ...
Натиснете три ... хм ... това са числата, които са разделени на три насочени, тук! Десетина не е разделена на три, 11 не е разделена ... 12 ... разделени! Така че нещо се изпарява. Вече можете да запишете редица състояние на задача:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Ще постигнат ли този диапазон от аритметичен напредък? Сигурен! Всеки член се различава от предишния строго на първите три. Ако добавите 2 или 4 към член, да речем, резултатът, т.е. Нов номер, вече не е насочен към 3. преди купчината, можете веднага и разликата в аритметичната прогресия да определите: d \u003d 3. Сбъдвам!)
Така че можете безопасно да напишете някои параметри на прогресиране:
И какъв ще бъде номерът н. последния член? Този, който мисли, е, че 99 - Фатално погрешно ... Стаите - те винаги отиват подред и имаме членове - скочи над първите три. Те не съвпадат.
Има два начина за решаване. Един от начините - за ремонт. Можете да рисувате прогресията, цялата гама от числа и да изчислите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислено. Необходимо е да се припомни формулата на N-тия член. Ако формулата се прилага за нашата задача, ние получаваме, че 99 е тридесети член на прогресията. Тези. n \u003d 30.
Разглеждаме формулата сума на аритметична прогресия:
Ние гледаме и се радваме.) Извадихме задачата от условията на задачата всичко, от което се нуждаете, за да изчислите сумата:
а 1.= 12.
а 30.= 99.
S N. = S 30..
Елементарни аритметични останки. Заместваме номера във формулата и вярваме:
Отговор: 1665.
Друг вид популярна задача:
4. Аритметична прогресия на Дана:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Намерете размера на членовете от двадесетия до трийсет четвърти.
Разглеждаме сумата на сумата и ... са разстроени.) Формула, напомням, счита, че сумата от първия Член. И задачата трябва да бъде разгледана с двадесети ... Формулата не работи.
Можете, разбира се, да рисувате цялата прогресия в един ред, но да публикувате членовете от 20 до 34. Но ... някак си глупав и дълго се оказва, нали?)
Има по-елегантно решение. Ние разбиваме нашия ред на две части. Първата част ще бъде от първия член на деветнадесетия. Втората част на - от двадесетия до тридесет използвани. Ясно е, че ако разгледаме размера на членовете първо S 1-19., да, да се събере с сумата на членовете на втората част S 20-34., Ще получа размера на прогресията от първия член на тридесетте четвърти S 1-34.. Като този:
S 1-19. + S 20-34. = S 1-34.
Оттук може да се види, че намирането на сумата S 20-34. Можете лесно да извадите
S 20-34. = S 1-34. - S 1-19.
Разглеждат се и двете суми в дясната част от първия Член, т.е. Тя е доста приложима към стандартната обобщена формула. Започнете?
Издърпайте проблема с проблема за прогресирането на проблема:
d \u003d 1.5.
а 1.= -21,5.
За да изчислим сумите от първите 19 и първите 34 членове, ще се нуждаем от 19-ти и 34-и членове. Считаме ги според формулата на N-тия член, както в задачата 2:
а 19.\u003d -21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5.5
а 34.\u003d -21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28
Няма нищо. От сумата от 34 членове да извадят сумата от 19 члена: \\ t
S 20-34 \u003d s 1-34 - s 1-19 \u003d 110.5 - (-152) \u003d 262.5
Отговор: 262.5.
Една важна забележка! При решаването на тази задача има много полезен чип. Вместо директно изчисление какво е необходимо (S 20-34), Преброихме какво изглежда е необходимо - s 1-19. И след това се определя и S 20-34., отпадане от. пълен резултат ненужно. Такива "уши за зъби често спестяват в зли задачи.)
В този урок преразгледахме задачите, за които е достатъчно, за да разберем смисъла на сумата на аритметичната прогресия. Е, няколко формули трябва да знаят.)
Когато решавате всяка задача за количеството аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да се освободи от двете основни формули от тази тема.
Формулата на N-тия член:
Тези формули незабавно ще започнат да търсите, в каква посока да мислите за решаване на задачата. Помага.
И сега задачи за решения за саморешения.
5. Намерете сумата от всички две цифри, които не са разделени на три.
Cool?) Съветът е скрит в коментар към задачата 4. Е, задачата 3 ще помогне.
6. Аритметичната прогресия се определя чрез състояние: a 1 \u003d -5.5; N + 1 \u003d N +0.5. Намерете размера на първите 24 на членовете му.
Необичайно?) Това е повтаряща се формула. За това може да бъде прочетено в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, често се срещат такива задачи в GIA.
7. Вася се натрупа за празника на парите. Цели 4550 рубли! И реших да дам любимия си човек (себе си) за няколко дни щастие). Да живееш красиво, без да отказваш. Прекарайте 500 рубли на първия ден, а във всеки следващ ден прекарвате 50 рубли повече, отколкото в предишния! Докато запасът от пари приключи. Колко дни на щастието идва Васи?
Трудно?) Допълнителна формула ще помогне от задачата 2.
Отговори (в разстройство): 7, 3240, 6.
Ако ви харесва този сайт ...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и деривати.
Или аритметиката е форма на поръчана цифрова последователност, чиито свойства са проучени в учебната година на алгебра. Тази статия описва подробно въпроса как да се намери количеството аритметична прогресия.
Каква е тази прогресия?
Преди да се преместим по отношение на разглеждането на въпроса (как да намерите количество аритметична прогресия), заслужава да се разбере за какво говорим.
Всяка последователност от валидни номера, която се получава чрез добавяне (изваждане) на определена стойност от всеки предишен номер, се нарича алгебричен (аритметичен) напредък. Това определение на езика на математиката е формуляр:
Тук аз съм последователността на елемента от серията a i. Така, знаейки само един първоначален номер, можете лесно да възстановите цялата гама. Параметърът D във формулата се нарича разлика в прогресията.
Може лесно да се покаже, че за броя на разглежданите номера се извършва следното равенство:
n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Това е, за да се намери стойността на n-th по ред на елемента, n-1 времето трябва да добавите разликата d към първия елемент А 1.
Какво е количеството аритметична прогресия: формула
Преди да доведете формулата за определената сума, си заслужава да се обмисли просто частен случай. Прогресията на естествените числа от 1 до 10 е необходимо да се намери тяхната сума. Тъй като членовете в прогресията са малко (10), можете да решите задачата в челото, т.е. да обобщите всички елементи в ред.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Струва си да се обмисли едно интересно нещо: тъй като всеки член се различава от последващата и същата стойност на d \u003d 1, след това двойката сумиране на първата с десетата, втората с деветата и така нататък ще даде същия резултат. Наистина ли:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Както може да се види, тези суми са само 5, т.е. точно два пъти по-малък от броя на елементите на серията. След това умножете броя на сумите (5) в резултат на всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.
Ако обобщавате тези аргументи, можете да запишете следния израз:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се обобщават всички елементи, достатъчно е да се знае стойността на първата А 1 и последната обща сума термини n.
Смята се, че за първи път преди това равенство Гаус мислеше, когато търсеше решение за дадено учител по училище Задача: Обобщете 100 първи числа.
Количество на елементи от m до n: формула
Формулата, дадена в предишния параграф, дава отговор на въпроса как да се намери количеството аритметична прогресия (първите елементи), но често в задачи е необходимо да се обобщи редица числа в средата на прогресията. Как да го направим?
Отговор Този въпрос е най-лесният начин, като се има предвид следния пример: нека е необходимо да се намери размера на членовете от г-н до n-th. За да се реши проблемът, трябва да има даден сегмент от m до n прогресия под формата на нова цифрова серия. По такъв представителство m-th Терминът m е първият и n ще бъде под номер n- (m-1). В този случай, прилагане на стандартната формула за сумата, ще бъде получено следният израз:
S m n \u003d (n - m + 1) * (m + a n) / 2.
Пример за използване на формули
Знаейки как да се намери количество аритметична прогресия, си струва да се обмисли прост пример за използване на горните формули.
Следната е числената последователност, трябва да намерите размера на нейните членове, започвайки от 5-та и завършваща 12-ти:
Тези цифри показват, че разликата d е равна на 3. Използване на експресията за N-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ти и 12-ти членове на прогресията. Оказва се:
а 5 \u003d A 1 + D * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Познаване на стойностите на номерата, които стоят в краищата на разглеждания алгебрична прогресияСъщо така знаете кои номера в реда заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Оказва се:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Заслужава да се отбележи, че тази стойност може да бъде получена по различен начин: първо ще намерите количеството на първите 12 елементи съгласно стандартната формула, след това изчислете количеството на първите 4 елемента със същата формула, след което извадете второто количество.
Концепцията за цифрова последователност предполага кореспонденция на всеки естествен брой на някаква валидна стойност. Такъв брой числа могат да бъдат и произволни и да притежават определени свойства - прогресия. В последен случай Всеки следващ елемент (член) на последователността може да бъде изчислен с предишния.
Аритметичната прогресия е поредица от числени стойности, в които съседните му членове се различават един от друг на същия брой (всички елементи на серия, започващи от 2-ри) притежават имота. Този номер е разликата между предишния и последващия член - постоянно и се нарича разлика в прогресията.
Разлика на прогресията: определение
Помислете за последователност, състояща се от J стойности A \u003d A (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към набор от естествени числа n. аритметична прогресия , съгласно нейната дефиниция - последователност, в която А (3) - А (2) \u003d А (4) - А (3) \u003d А (5) - A (4) \u003d ... \u003d A (J) - a ( J-1) \u003d d. Стойността на D е желаната разлика в тази прогресия.
d \u003d A (J) - A (J-1).
Разпределяйте:
- Увеличаване на прогресията, в този случай d\u003e 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Намаляване на прогресията, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Разликата в прогресията и нейните произволни елементи
Ако има 2 произволен член на прогресията (I-Th, Kh), тогава разликата за тази последователност може да се основава на връзката:
a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, означава d \u003d (a (i) - a (k)) / (i - к).
Разликата в прогресията и първия си член
Този израз ще спомогне за определяне на неизвестната стойност само в случаите, когато е известен номерът на елемента на последователността.
Разликата в прогресията и нейната сума
Размерът на прогресията е сумата на нейните членове. За да се изчисли общата стойност на първите й елементи, използвайте подходящата формула:
S (J) \u003d ((a (1) + a, j)) / 2) * j, но защото a (j) \u003d a (1) + d (J - 1), след това s (j) \u003d (((a (1) + a (1) + d (J - 1)) / 2) * j \u003d ((((((). \\ t 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.
