Изчисление на производните - една от най-важните операции в диференциалното смятане. По-долу е дадена таблица за намиране на деривати на прости функции. По-сложни правила за диференциация, виж други уроци:

• Таблица на деривати на експоненциални и логаритмични функции

Ограничените формули използват като референтни стойности. Те ще помогнат за решаване на диференциални уравнения и задачи. На снимката, в таблицата на производни на прости функции, "измама" на основните случаи на производно на производното във формата за употреба, има обяснения за всеки случай до него.

Деривати на прости функции

1. Деривата на броя е нула
c '\u003d 0.
Пример:
5 '\u003d 0.

Обяснение:
Деривата показва скоростта на промяна на стойността на функцията, когато аргументът се променя. Тъй като броят не се променя при никакви обстоятелства - скоростта на нейната промяна винаги е нула.

2. Производно на променливата равно на единство
x '\u003d 1.

Обяснение:
При всяко увеличение на аргумента (x) на единица стойността на функцията (резултатът от изчисленията) се увеличава със същия размер. По този начин скоростта на промяна на стойността на функцията y \u003d x е точно равна на скоростта на промяна на стойността на аргумента.

3. Дериват на променливата и мултипликатът е равен на този фактор
cX '\u003d S.
Пример:
(3x) '\u003d 3
(2x) '\u003d 2
Обяснение:
В този случай с всяка промяна на функционалния аргумент ( х.) Неговата стойност (Y) нараства от време. По този начин, степента на промяна на функцията по отношение на скоростта на промяна на аргумента е точно равен от.

Откъдето следва това
(CX + B) "\u003d c
това означава, че диференциалът на линейната функция Y \u003d KX + B е равен на ъгловия коефициент на наклона (k).

4. Модул производно равен на частната променлива към своя модул
| x |\u003d x / | x | при условие, че X ≠ 0
Обяснение:
Тъй като променливото производно (вж. Формула 2) е равно на блока, производителят на модула се отличава само с факта, че стойността на функцията на функционалните промени се променя към обратното, когато точката на произход на произхода се пресича (опитайте да рисувате функция на y \u003d | x | и се уверете, че сами. Стойност и връщане на израз X / | x |. Когато x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - единство. Това е, с отрицателните стойности на променливата x всеки път, когато се промени аргументът, стойността на функцията се намалява до една и съща стойност и с положително - напротив, тя се увеличава, но точно същото значение.

5. Дериват на степен равен на продукта от броя на тази степен и променлива до степен, намалена с една
(x в) "\u003d cx c-1, при условие, че са дефинирани X C и CX C-1 и C ≠ 0
Пример:
(x 2) "\u003d 2x
(x 3) "\u003d 3x 2
Да запомнят формулата:
Направете степента на променлива "надолу" като множител и след това да се намали степента на степен на единица. Например, за x 2 - две се оказаха пред ICA и след това намалена степен (2-1 \u003d 1) просто ни даде 2x. Същото се случи едно и също нещо за X 3 - Топ тримата "спускане надолу", ние го намаляваме на единица и вместо куба имаме квадрат, т.е. 3x 2. Малко "не научно", но много лесно да се запомни.

6. Извлечение 1 / X.
(1 / x) "\u003d - 1 / x 2
Пример:
Тъй като фракцията може да бъде представена като изграждане на отрицателна степен
(1 / x) "\u003d (x -1)", след което можете да приложите формулата от правилото 5 на деривативната таблица
(x -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2

7. Извлечение с променлива степен в знаменател
(1 / x в) "\u003d - C / X C + 1
Пример:
(1 / x 2) "\u003d - 2 / x 3

8. Кореновото производно (променливо производно под квадратен корен)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) или 1/2 x -1/2
Пример:
(√x) "\u003d (x 1/2)", така че можете да приложите формулата от правило 5
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Производна променлива по случайност
(n √x) "\u003d 1 / (n n √x n-1)

Работата на намирането на дериват се нарича диференциация.

В резултат на решаването на проблеми при намирането на деривати от най-простите (и не много прости) функции за определяне на производа като граница на отношението към аргумента, се появиха таблица на дериватите и точно определени правила за диференциация. Isaac Newton (1643-1727) и Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) са първи за сферата на констатациите на дериватите.

Ето защо, в наше време, да се намери производно на всяка функция, не е необходимо да се изчислява горната граница на съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента и трябва да използвате таблицата на дериватите и правилата за диференциация . За да намерите производа, е подходящ следният алгоритъм.

За да намерите дериватае необходимо за изразяване под знака на инсулта разглобете компонентите на простите функции и определете какви действия (Работа, сума, частна) Тези функции са свързани. След това дериватите на елементарни функции се намират в таблицата на дериватите и формулите на деривати, суми и частни - в правилата за диференциация. Таблица на дериватите и правилата за диференциация се дават след първите два примера.

Пример 1. Намерете деривативна функция

Решение. От правилата на диференциацията разбрахме, че производителят на функциите на функциите е количеството деривати, т.е.

От таблицата на дериватите откриваме, че производителят на "ICCA" е равен на един, а синусовото производно е косинус. Ние заместваме тези стойности в количеството деривати и откриваме необходимото условие на дериват на задачите:

Пример 2. Намерете деривативна функция

Решение. Разграничаване като дериватна сума, в която може да се постигне втория термин с постоянен фактор с дериватен знак:

Ако все още има въпроси, откъдето е взето, те обикновено се изясняват след запознаване с дериватите на таблицата и най-простите правила за диференциация. Сега отиваме при тях.

Таблица на извлечените прости функции

1. Производителна константа (номера). Всеки номер (1, 2, 5, 200 ...), който е в експресията на функцията. Винаги равен на нула. Много е важно да се помни, тъй като е необходимо много често
2. производно на независима променлива. Най-често "iksa". Винаги равен на един. Също така е важно за дълго време.
3. Получена степен. Степента в решаването на задачи, от които се нуждаете, за да конвертирате некуражените корени.
4. Променливо производно до степен -1
5. Квадратно дериват на корен
6. Синусово производно
7. Косинусно производно
8. Деривативна допирателна
9. Дериват на котяните
10. Дериват на Arksinus.
11. Дериват на Arckosinus.
12. Арктанген производно
13. Арккотангенно производно
14. Дериват на естествен логаритъм
15. Деривативна логаритмична функция
16. Изложба на дериват
17. Деривативна индикативна функция

Правила за диференциация

1. Деривативна сума или разлика
2. Деривативна работа
2а. Производно на израза, умножено по постоянен мултипликатор
3. Частна деривация
4. Деривативна сложна функция

Правило 1. Ако функции

различно в някакъв момент, след това в една и съща точка диференцират и функции

и

тези. Производството на алгебричното количество функции е равно на алгебричното количество производни на тези функции.

Следствие. Ако две диференцирани функции се различават по постоянен срок, техните деривати са равни.

Правило 2.Ако функции

различно в някакъв момент, след това в същата точка по различен начин и тяхната работа

и

тези. Производството на двете функции е равно на количеството на произведенията на всяка от тези функции върху различното производно.

Следствие 1. Постоянен множител може да бъде направен за производна оценка:

Следствие 2. Производството на работата на няколко диференцирани функции е равно на количеството на продуктите на производителя на всеки от факторите на всички други.

Например, за трима мултипликатори:

Правило 3.Ако функции

разлика в някакъв момент и , след това в този момент по различен начин и тяхното личноu / v, и

тези. Производството на частните две функции е равно на фракцията, чиято числителят е разликата в продуктите на знаменателя върху производителя на числителя и числителя на производно на знаменател, а знаменателят е квадратът на предишния числатор .

Където какво да търсите на други страници

При намирането на производно на работата и частните в реални задачи винаги могат да се прилагат няколко правила за диференциация, така че повече примери за тези деривати - в статията"Деривативна работа и частни функции".

Коментар.Не трябва да се бърка от постоянна (т.е. броя) като термин в сумата и като постоянен мултипликатор! В случай на основата, производно е нула, а в случай на постоянен мултипликатор, той се представя за признаците на деривати. Това е типична грешка, която отговаря на начална фаза проучване на производни, но като няколко примера за един обем вече са решени среден ученик Тази грешка вече не го прави.

И ако, с диференциацията на работата или частното, се появи термин улавяне"в. , в който улавяне - номер, например, 2 или 5, т.е. постоянно, производно на този брой ще бъде нула и следователно целият термин ще бъде нула (такъв случай се разглобява в пример 10).

Друга честота е механично решение на деривативна сложна функция като производно на проста функция. Следователно деривативна сложна функция Специална отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

В курса не се правят без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ползите в новите прозорци. Действия с градуси и корени и Действия с фракции .

Ако търсите решения на деривати с градуси и корени, т.е. когато функцията е като вид , Следвайте професията "производно на фракции с градуси и корени".

Ако имате задача , след това сте на "деривати на прости тригонометрични функции".

Стъпка по стъпка примери - как да се намери производно

Пример 3. Намерете деривативна функция

Решение. Определяме частта от изразяването на функцията: цялото изразяване представлява работата и факторите са суми, през които един от термините съдържа постоянен мултипликатор. Използваме извличане на продукта: производно на работата на две функции е равно на размера на произведенията на всяка от тези функции върху различното производно: \\ t

След това прилагайте размера на размера на диференциацията: производно на алгебричното количество функции е равно на алгебричното количество производни на тези функции. В нашия случай всяка сума е вторият термин с минус знак. Във всяка сума виждаме и независима променлива, чието производно е равно на едно, и константата (номер), производно е нула. Така че "X" се превръщаме в едно и минус 5 - в нула. Във втория израз "X" се умножава по 2, така че двете се умножават по едно и също тяло като производно на "IKSA". Получаваме следните стойности на дериватите:

Ние заменяме установените производни в количеството произведения и получаваме необходимото условие за проблема с производителя на цялата функция:

Пример 4. Намерете деривативна функция

Решение. Трябва да намерим частна деривация. Използване на формулата за диференциация на частното: производителят на частните две функции е равен на фракцията, чиято число е разликата на продуктите на знаменателя върху производителя на числителя и числителя на деривата на знаменателя и на деноминатора Знаменателят е квадрата на предишния числатор. Получаваме:

Вече намерихме производно на факторите в Numertel в примера 2. Дори няма да забравя, че работата, която е втората фабрика в цифровия номер в текущия пример, се приема с минус знак:

Ако търсите решения на такива задачи, в които е необходимо да се намери деривативна функция, където твърдите раси на корените и степените, като например, , след това добре дошли в професията "Дериват на фракции с градуси и корени" .

Ако трябва да научите повече за деривати на синусите, косинус, допирателни и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда тогава сте на урока "Деривати на прости тригонометрични функции" .

Пример 5. Намерете деривативна функция

Решение. В тази функция виждаме работата, един от факторите - корен квадратен От независима променлива, с производно, за което се запознахме в таблицата на дериватите. Според деривацията на продукта и таблицата на производството на квадратния корен, получаваме:

Пример 6. Намерете деривативна функция

Решение. В тази функция виждаме частни, което е квадратен корен от независима променлива. Според правилото на диференциацията на частното, което повторихме и прилагахме в пример 4, получаваме таблета на площадката на производното на корен:

За да се отървете от фракцията в числителя, умножете цифровия и знаменател.

Първо ниво

Произведена функция. Изчерпателен справочник (2019)

Представете си прав път, минаващ през хълмист район. Това означава, че става нагоре, а след това надолу, но дясно или ляво не се обръща. Ако оста се насочва по пътя хоризонтално, и - вертикално, тогава линията на пътя ще бъде много подобна на график на някаква непрекъсната функция:

Ос е определено ниво на нулева височина, ние използваме нивото на морето.

Преместване напред по такъв път, ние също се движим нагоре или надолу. Можем също така да кажем: когато аргументът се променя (напреднал по оста на абсциса) стойността на функцията се променя (движение по ордена оси). И сега нека помислим как да определим "стръмността" на нашия път? Какво може да бъде за величината? Много просто: колко ще се промени височината, когато се движи напред за определено разстояние. В края на краищата, в различни части на пътя, движещи се напред (по ос абсциса) за един километър, ще се издигнем или ще попаднем на различен брой метри спрямо морското равнище (по ордена оси).

Промоция напред, за да бъде обозначена (прочетете "delta x").

Гръцката буква (делта) в математиката обикновено се използва като префикс, който означава "промяна". Това е - това е промяна в стойността - промяна; Тогава какво е? Това е правилно, променете стойността.

Важно: Изразът е едно цяло число, една променлива. Никога не можеш да откъснеш "делта" от "Iksa" или всяко друго писмо! Това е например.

Така че, напреднахме напред, хоризонтално. Ако линията на пътя сравним функцията с графика, тогава как да определим повишаването? Сигурен, . Това е, когато се движите напред, нарастваме нагоре.

Лесно е да се изчисли сумата: ако в началото бяхме на височина и след това бяха на височина. Ако крайната точка се оказа по-ниска от първоначалната, тя ще бъде отрицателна - това означава, че ние не се изкачваме, но се разочароваме.

Да се \u200b\u200bвърнем към "стръмността": това е стойността, която показва колко силно (хладно) увеличава височината при движение напред на единица разстояние:

Да предположим, че на място на пътя, когато се движите на километър, пътят се издига нагоре на км. Тогава стръмността на това място е равна. И ако пътят, когато се популяризира на m потъна на километър? След това стръмността е равна на.

Сега разгледайте върха на някой хълм. Ако вземете началото на сайта на половин километър до върха, и края - след половин километър след него, може да се види, че височината е почти еднаква.

Това означава, че в нашата логика се оказва, че стръмността тук е почти равна на нула, което очевидно не е вярно. Само на разстояние в километра може да се промени много. Необходимо е да се вземат предвид по-малките участъци за по-адекватна и точна оценка на стръмността. Например, ако измервате промяната в височината, когато се придвижвате към един метър, резултатът ще бъде много по-точен. Но тази точност може да не е достатъчна за нас - защото ако в средата на пътя има стълб, можем просто да го измъкнем. Какво разстояние след това изберете? Сантиметър? Милиметър? По-малко е по-добре!

В реалния живот Измерете разстоянието с точност на милиметъра - повече от достатъчно. Но математиците винаги се стремят към съвършенство. Следователно концепцията е измислена безкрайно малкиТова означава, че величината на модула е по-малка от всеки номер, който може да бъде извикан. Например, казвате: един трилион! Къде е по-малко? И сте подали този номер - и той ще бъде още по-малко. И т.н. Ако искаме да напишем, че величината е безкрайно малка, пишем така: (прочетох "X се стреми към нула"). Много е важно да се разбере че този номер не е нула! Но много близо до него. Това означава, че може да бъде разделено на него.

Концепцията, противоположна, е безкрайно малка - безкрайно голяма (). Вероятно вече сте се стегнали с него, когато бях ангажиран с неравенствата: това е броят на модула повече от всеки номер, който може да бъде измислен. Ако сте стигнали до най-големия от възможните номера, просто го умножете на две, и ще се окаже още повече. И безкрайност дори повече от това, което се случва. Всъщност, безкрайно голямото и безкрайно малко се обърнаха един друг, т.е. кога, и напротив: кога.

Сега обратно към нашия път. Перфектно преброената стръмност е Bengeon, изчислен за безкрайно малък сегмент на пътя, който е:

Отбелязвам, че с безкрайно малко движение промяната на височината също ще бъде безкрайно малка. Но аз ви напомня, безкрайно малко - не означава равно на нула. Ако споделяте безкрайно малки числа, може да е доста общ брой, например. Това означава, че една ниска стойност може да бъде точно повече от още веднъж.

Какво е всичко това? Пътят, стръмността ... Няма да отидем на ралито и научаваме математика. И в математиката всичко е същото, наричано само по различен начин.

Концепцията за дериват

Дериват на функцията е съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента.

Увеличение В промяна на математиката. Колко се е променил аргументът (), когато се движи по оста, се нарича увеличаване на аргумента и се отнасят до това колко функция се променя (височина), когато се движи напред по оста се извиква, наречен увеличаване на функцията и е обозначен.

Така че, използваната функция е отношение към кога. Ние показваме производа на една и съща буква като функцията, само с инсулт вдясно: или просто. Така че, ние ще напишем деривативната формула, използвайки тези нотация:

Както по аналогия със скъпо тук, с увеличаване на функцията, производно е положително и при намаляване е отрицателно.

Дали производно се случва на нула? Сигурен. Например, ако вървим плосък хоризонтален път, стръмен е нула. И истината е, височината не се променя изцяло. Така с производно: производно на постоянната функция (постоянно) е нула:

тъй като увеличаването на такава функция е нула във всеки.

Нека си спомним примера от хълма. Оказа се, че е възможно да можете да позиционирате краищата на сегмента по различни посоки от върха, че височината в краищата се оказва една и съща, т.е. сегментът е разположен в паралелна ос:

Но големите сегменти са знак за неточно измерване. Ще издигнем нашия съкращения успоредно със себе си, след което дължината му ще намалее.

В крайна сметка, когато сме безкрайно близо до върха, дължината на сегмента ще стане безкрайно малка. Но в същото време тя остава успоредно на оста, т.е. разликата във височината в краищата му е нула (не търси, а именно равно на). Това производно

Възможно е да се разбере това: когато стоим на върха на върха, малкото изместване на лявата или правилната промяна на нашата височина е незначителна.

Има чисто алгебрично обяснение: лявата част на върха е функцията, която се увеличава и надясно - намалява. Както вече сме разбрали по-рано, с увеличаване на функцията, производно е положително и като низходящо, е отрицателно. Но това се променя гладко, без скокове (защото пътят не променя наклона навсякъде). Следователно между отрицателни и положителни стойности трябва да бъдат. Той ще бъде там, където функцията не се увеличава, нито намалява - в точката на върха.

Същото важи и за депресията (зоната, в която функцията на лявото намалява, и отдясно - увеличения):

Малко повече за стъпките.

Така че променяме аргумента по величина. Промяна от каква стойност? Какво е той (аргумент) сега? Можем да изберем всяка точка и сега ще танцуваме от него.

Помислете за точка с координата. Стойността на функцията в нея е еднаква. След това направете нещо увеличение: увеличете координатите. Какво е аргументът сега? Много лесно: . И каква е стойността на функцията сега? Където аргументът, там и функцията :. А какво ще кажете за увеличаването на функцията? Нищо ново: Все още е величината, на която функцията е променила:

Практика за намиране на стъпки:

1. Намерете увеличаването на функцията в точката, когато аргументът се увеличава.
2. Същото за функцията в точката.

Решения:

В различни точки в едно и също увеличение на аргумента, увеличението на функцията ще бъде различно. Това означава, че производителят във всяка точка е негов (обсъждахме в самото начало - стръмността на пътя в различни точки е различна). Следователно, когато пишем дериват, трябва да посочите в каква точка:

Функция за захранване.

Силата се нарича функция, в която аргументът е до известна степен (логически, да?).

Освен това или :.

Най-простият случай е, когато индикаторът за степен:

Намираме производно в точката. Спомняме си дефиницията на деривата:

Така че аргументът се променя преди. Какво е увеличаването на функцията?

Увеличението е. Но функцията във всяка точка е равна на нейния аргумент. Следователно:

Деривата е равна на:

Получени от равни:

б) сега разгледайте квадратична функция (): .

И сега си спомням това. Това означава, че стойността на увеличението може да бъде пренебрегвана, тъй като тя е безкрайно малка и следователно незначително на фона на друг срок:

Така че, ние бяхме родени след това:

в) Продължаваме логическия обхват :.

Този израз може да бъде опростен по различни начини: да се разкрие първата скоба с формулата на съкратеното умножение на кубчето, или да се разложи целия израз върху факторите чрез формулата за разлика в куб. Опитайте се да го направите сам по някоя от предложените начини.

Така че имам следното:

И отново помнете това. Това означава, че можете да пренебрегвате всички термини, съдържащи:

Получаваме :.

г) Подобни правила могат да бъдат получени за големи степени:

д) се оказва, че това правило може да бъде обобщено за функция на захранването С произволен индикатор, дори и:

(2)

Можете да формулирате правилото с думи: "Степента се извършва като коефициент и след това намалява с".

Нека докажем това правило по-късно (почти в самия край). И сега разгледайте няколко примера. Намерете изпълнени функции:

1. (по два начина: по формулата и използване на деривативното определяне - като се има предвид увеличаването на функцията);

1. . Вие няма да повярвате, но това е силна функция. Ако имате някакви въпроси като "Как е това? И къде е степента? ", Запомни темата" "!
   Да, коренът също е степента, само частично :.
   Така че нашият квадратен корен е само степен с индикатор:
   .
   Търсим наскоро научена формула:

   Ако на това място отново стана непонятно, повторете темата "" !!! (за степента с отрицателен индикатор)

2. . Сега индикаторът за степента:

   И сега чрез дефиницията (още не съм забравил?):
   ;
   .
   Сега, както обикновено, пренебрегвайте термините, съдържащи:
   .

3. . Комбинация от предишни случаи :.

Тригонометрични функции.

Тук ще използваме един факт на най-високата математика:

При изразяване.

Доказателство ще знаете през първата година от Института (и да бъдете там, трябва да го предадете добре). Сега просто го покажете графично:

Виждаме, че когато функцията не съществува - точката на графиката на населението. Но по-близо до стойността, колкото по-близо е функцията. Това е най-стремежът.

Можете допълнително да проверите това правило, като използвате калкулатора. Да, да, не бъдете срамежливи, вземете калкулатор, ние все още не сме на изпита.

Така че опитайте:;

Не забравяйте да прехвърлите калкулатора в режим "Радиан"!

и т.н. Виждаме, че по-малкият, колкото по-близо е стойността на връзката.

а) Разгледайте функцията. Както обикновено, ще намерим нейното увеличение:

Превърнете разликата в сините в работата. За да направите това, използваме формулата (запомним темата "") :.

Сега дериват:

Ще заменим :. След това, с безкрайно малък, също е безкрайно малък :. Изразът за поема формата:

И сега си спомняш това при изразяване. И също така, ако безкрайно ниската стойност може да бъде пренебрегната в количеството (т.е. кога).

Така получаваме следното правило: Синусовото производно равно на косинус:

Това са основни ("таблични") производни. Тук те са един списък:

По-късно добавяме към тях още няколко, но това са най-важните, тъй като най-често се използват.

Практика:

1. Намиране на получена функция в точка;
2. Намерете функцията за получаване.

Решения:

1. Първоначално ще намерим производна форма, и след това да заменим вместо неговата стойност:
   ;
   .
2. Тук имаме нещо подобно на функцията за захранване. Нека се опитаме да го донесем
   Нормална форма:
   .
   Отличен, сега можете да използвате формулата:
   .
   .
3. . Eeeeee ... .. какво е ????

Добре, ти си прав, все още не знаем как да намерим такива деривати. Тук имаме комбинация от няколко вида функции. За да работите с тях, трябва да научите още няколко правила:

Изложител и естествен логаритъм.

Има такава функция в математиката, производителя, за която с всякаква еднаква стойност на самата функция по същия начин. Той се нарича "Изложител" и е индикативна функция

Основата на тази функция е константа - това е безкрайно десетичнаТова означава, че броят е ирационален (като). Следователно тя се нарича "броя на сумата" и обозначава писмото.

Така че, правилото:

Не забравяйте много лесно.

Е, нека да не стигнем далеч, незабавно да помислим обратна функция. Каква функция е обратното за индикативна функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е номерът:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с база) се нарича "естествен", а за него използваме специално наименование: вместо да пишем.

Какво е равно на? Разбира се, .

Производството на естествения логаритъм също е много просто:

Примери:

1. Намерете функцията за получаване.
2. Какво е равна на получената функция?

Отговори: Изложител I. естествен логаритъм - Функциите са уникално прости от гледна точка на деривата. Обменните и логаритмичните функции с всяка друга база ще имат друго производно, което ще анализираме по-късно с вас, след като приемем правилата за диференциация.

Правила за диференциация

Правила какво? Отново новия термин отново?! ...

Диференциация - Това е процесът на намиране на дериват.

Само и всичко. И как иначе да назовем този процес в една дума? Не е производство на ... Диференциалът на математиката се нарича най-увеличаване на функцията. Този термин се случва от латински разлика - разлика. Тук.

Когато показвате всички тези правила, ние ще използваме две функции, например и. Ще се нуждаем и от формули за техните стъпки:

Общо има 5 правила.

Константата е направена от знака на деривата.

Ако - тогава някакъв постоянен номер (постоянен).

Очевидно това правило работи за разлика :.

Доказваме се. Нека или по-лесно.

Примери.

Намерете изпълнени функции:

1. в точката;
2. в точката;
3. в точката;
4. в точка.

Решения:

1. (производно е същото във всички точки, както е линейна функция, помня?);

Получена работа

Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:

Дериватив:

Примери:

1. Намерете деривати на функции и;
2. Намерете функционалното производно в точката.

Решения:

Деривативна индикативна функция

Сега вашите знания са достатъчни, за да научите как да намерите производно на всяка индикативна функция, а не само изложители (не забравяйте какво е това?).

Така че, къде е някакъв брой.

Вече знаем деривативната функция, така че нека се опитаме да върнем нашата функция в нова база:

За да направите това, ние използваме просто правило :. Тогава:

Е, се оказа. Сега се опитайте да намерите дериват и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Тук проверете себе си:

Формулата се оказа много подобна на производна експозиция: както беше, оставаше, само мултипликатор се появи, което е само число, но не и променлива.

Примери:
Намерете изпълнени функции:

Отговори:

Това е само номер, който не може да бъде преброен без калкулатор, т.е. да не се записва в по-проста форма. Следователно в отговор в тази форма и отпуск.

Деривативна логаритмична функция

Ето подобно: вече знаете производа от естествения логаритъм:

Ето защо, да се намери произволно от логаритъм с друга причина, например:

Трябва да донесете този логаритъм в основата. И как да промените основата на логаритъма? Надявам се да помните тази формула:

Само сега ще пишем:

В знаменателя той се оказа само постоянен (постоянен номер, без променлива). Деривата е много проста:

Деривати Индикативни I. \\ t логаритмични функции Почти не е намерен в изпита, но това няма да бъде излишно да ги познаваме.

Деривативна сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм, а не Arcthangence. Тези функции могат да бъдат сложни за разбиране (въпреки че ако логаритъмът ви е трудно, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще мине), но от гледна точка на математиката думата "комплекс" не означава "труден".

Представете си малък конвейер: двама души седят и имат някакви действия с някои обекти. Например, първото обвиване на шоколад в обвивката и вторият го подсказва с лента. Оказва се такъв интегрален обект: шоколад, увит и облицован с лента. Да ям шоколад, трябва да направите обратно действие в обратен ред.

Да създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинус на номера и след това получения номер, който ще бъде издигнат на квадрат. Така че, ние даваме номер (шоколад), намеря косинуса му (обвивка), и след това ще бъдете издигнат от това, което направих, на квадрат (вратовръзка към лентата). Какво стана? Функция. Това е пример за сложна функция: кога да се намерят нейните значения, ние правим първото действие директно с променливата, а след това друго действие с случилото се в резултат на първата.

Ние можем напълно да направим същите действия и в обратен ред: първо ще бъдете издигнат в квадрат, а след това търся косинус на получения номер :. Лесно е да се отгатне, че резултатът ще бъде почти винаги различен. Важна характеристика Комплексни функции: Когато процедурата се променя, функцията се променя.

С други думи, комплексната функция е функция, аргументът, който е друга характеристика.: .

За първия пример.

Вторият пример: (същото). .

Действие, което правим последното, ще се обади "Външна" функцияи действието се извършва първо - съответно "Вътрешна" функция (Това са неформални имена, аз ги използвам само за обяснение на материала на прост език).

Опитайте се да определите каква функция е външна и която е вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешните и външните функции е много подобно на подмяната на променливи: например, във функция

1. Първо ще извършим какви действия? Първо, помислете синус, но само след това се издига в куба. Така че, вътрешната функция и външната.
   И първоначалната функция е техният състав :.
2. Атрешна:; Външен :.
   Проверете :.
3. Атрешна:; Външен :.
   Проверете :.
4. Атрешна:; Външен :.
   Проверете :.
5. Атрешна:; Външен :.
   Проверете :.

ние произвеждаме подмяна на променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашия шоколадов шоколад - търсене на дериват. Процедурата винаги е обратна: първо търсим външно функционално производно, след това умножаваме резултата на производно на вътрешната функция. Що се отнася до първоначалния пример, той изглежда така:

Друг пример:

Така че най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на деривативна сложна функция:

Изглежда просто, да?

Проверете примерите:

Решения:

1) вътрешен:;

Външен:;

2) вътрешно:;

(Само не мислете сега, за да намалите! От Косинус нищо не се прави, не забравяйте?)

3) вътрешно:;

Външен:;

Веднага се вижда, че тук е сложна функция от три нива: в края на краищата, това е вече сложна функция, и тя все още изважда корена от нея, т.е. ние изпълняваме третото действие (шоколад в обвивката и с в портфейла). Но няма причина да се страхувате: все пак "разопаковайте" тази функция ще бъде в същия ред както обикновено: от края.

Това е, първо използвайте корена, след това косинус и само след това изразяване в скоби. И тогава всичките тези променливи.

В такива случаи тя е удобна за номерирани действия. Това е, представете си, че сме известни. Какъв ред ще изпълняваме действия за изчисляване на стойността на този израз? Ще разгледаме примера:

Колкото по-късно се извършва действието, толкова повече "външното" ще бъде съответната функция. Последователност на действията - както преди:

Тук гнездването обикновено е 4-ниво. Да определим процедурата.

1. принудително изразяване. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. квадрат. .

5. Събираме всичко в група:

Производно. Накратко за най-важното нещо

Функция - съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни деривати:

Правила за диференциация:

Константата е направена за знака на деривата:

Получена сума:

Производствена работа:

Частна деривация:

Деривативна сложна функция:

Алгоритъм за намиране на дериват на сложна функция:

1. Ние определяме "вътрешната" функция, намираме производителя си.
2. Ние определяме "външната" функция, намираме деривата му.
3. Умножете резултатите от първия и втория елемент.

Този видеоклип започвам дълга поредица от уроци, посветени на деривата. Този урок се състои от няколко части.

Преди всичко ще ви кажа, че като цяло такива деривати и как да ги преброите, но не и академичен език на мъдрост, но както аз разбирам и аз обяснявам на учениците си. Второ, ние ще разгледаме най-простото правило за решаване на проблеми, в които ще търсим деривативни суми, деривативни разлики и деривати на функцията за захранване.

Ще разгледаме по-сложни комбинирани примери, от които вие, по-специално, научете, че такива проблеми, съдържащи корените и дори фракциите, могат да бъдат решени с формулата на производа на функцията на захранването. Освен това, разбира се, ще има много задачи и примери за решения на най-различното ниво на сложност.

Като цяло, първоначално щях да напиша кратък 5-минутен валяк, но виждам какво се е случило от него. Следователно текстовете са достатъчни - продължете с бизнеса.

Какво е дериват?

Така че нека започнем отдалеч. Преди много години, когато дърветата бяха сирени, и животът беше по-забавен, помисли си математиката за това какво: помислете за проста функция, посочена от вашия график, ние го наричаме $ y \u003d f Разбира се, графикът съществува само по себе си, така че трябва да прекарате оста от $ x $, както и ос $ y $. И сега нека да изберем всяка точка на тази диаграма, абсолютно всеки. Asccissa се нарича $ (x) _ (1)) $, ординиране, тъй като не е трудно да се отгатне, ще има $ f ляво ((x) _ (1)) вдясно) $.

Помислете за една и съща точка друга точка. Няма значение какво, най-важното, то се различава от първоначалното. В нея, отново, има абсциса, ние го наричаме $ (x) _ (2)) $, както и ордината - $ f, ляво ((x) _ (2)) вдясно) $.

Така че получихме две точки: те имат различна абсциса и следователно, различни стойности Функции, въпреки че последното не е задължително. Но това, което е наистина важно, така че от хода на планината знаем: можете да похарчите директно в две точки и и само един. Тук нека го харчим и да харчим.

И сега ще прекарам през първия от тях директна, успоредна ос на абсцисата. Получаване право триъгълник. Нека да му дадем $ abc $, директен ъгъл от $ c $. Този триъгълник има един много интересен имот: фактът е, че ъгълът $ alpha $ всъщност е равен на ъгъла, под който Direct $ ab $ се пресича с продължаването на оста на абсциса. Съдия за себе си:

1. direct $ AC $ успоредно на оста на $ OX $ по строителство,
2. direct $ ab $ crosses $ AC $ под $ alpha $ $
3. следователно, $ ab $ crosses $ OX $ под същите $ alpha $.

Това, което можем да кажем за $ text ()! \\ T- \\ t Нищо конкретно, с изключение на това, че в $ abc $ триъгълник съотношението $ bc $ rattu до $ AC $ Castelet е равно на допирателната част на този сам ъгъл. Така пишете:

Разбира се, $ AC $ в този случай лесно се разглежда:

По същия начин, $ bc $:

С други думи, можем да запишем следното:

[ОПЕРАТОВКА (tg) текст (), alpha! \\ T \\ _ \\ _ \\ _8) \\ t (x) _ (1)) \\ t ((x) _ (2)) - (x) _ (1)) \\ t

Сега, когато всички разбрахме, нека се върнем към нашия график и да разгледаме нова точка $ b $. Разтегнете старите стойности и вземете и вземете $ b $ някъде по-близо до $ (x) _ (1)) $. Отново го обозначаваме с Abscissue за $ (x) _ (2)) $, а ординатата е $ f, ляво ((x) _ (2)) вдясно) $.

Ние ще разгледаме нашия малък триъгълник $ abc $ и $ text (), alpha! \\ T Ще бъде съвсем очевидно, че той ще бъде напълно различен ъгъл, допирателната ще бъде различна, защото дължините на дивизиите от $ AC $ и $ BC $ се промениха значително и формулата за допирателната на ъгъла не се промени изобщо - това все още е съотношението между промяната на функцията и промяната на аргумента.

И накрая, ние продължаваме да преместваме $ b $ се приближавам до първоначалната точка $ a $, в резултат на това, триъгълникът все още ще намалее, а директният, съдържащ сегмента от $ ab, ще бъде все по-често като функция допирателна.

В резултат на това, ако продължите сближаването на точките, т.е. да намалите разстоянието до нула, тогава direct $ ab $, наистина, ще се превърне в допирателна към графика в този момент, и $: \\ t !, Alpha! \\ TКак () $ ще се превърне от обичайния елемент на триъгълника в ъгъла между допирателната към графиката и положителната посока на A $ OX $ AXIS.

И тук плавно отиваме на дефиницията на $ f $, а именно, деривативната функция на $ ((x) _ (1)) $ се нарича $ alpha $ допирателна между допирателната към графиката при $ (x ) _ ((x) _ (1)) $ и положителната посока на оста на $ OX $:

[(е) "ляво ((x) _ (1)) вдясно) \u003d амортисьор (tg) текст ()! \\ t

Връщайки се в нашия график, трябва да се отбележи, че като $ (x) _ (1)) $ Можете да изберете всяка точка на графиката. Например със същия успех можем да премахнем лентата в точката, показана на снимката.

Ъгълът между допирателната и позитивната посока на оста ще повика $ бета. Съответно, $ f $ per $ ((x) _ (2)) $ ще бъде равен на допирателната на този ъгъл от $ бета $.

[(е) ляво ((x) _ (2)) вдясно) \u003d tg текст ()! \\ t

Във всяка точка на графиката ще има своя собствена допирателна и следователно нейната стойност на функцията. Във всеки от тези случаи, в допълнение към точката, в която търсим диференциално производно или количество, или производно на силна функция, трябва да вземете друга точка, която е на известно разстояние от нея, и след това бързайте тази точка На оригинала и, разбира се, за да разберете как в процеса това движение ще промени допирателния ъгъл на наклона.

Производно на силната функция

За съжаление, това определение не ни подхожда. Всички тези формули, снимки, ъглите не ни дават най-малка представа за това как да разгледаме реално производно в реални задачи. Ето защо нека да вземем малко от формалното определение и да обмислим по-ефективни формули и техники, с които тези задачи вече могат да бъдат решени.

Да започнем с най-простите структури, а именно функциите на формуляра $ y \u003d ((x) ^ (n)) $, т.е. функции на захранването. В този случай можем да напишем следното: $ (y) "\u003d n cdot ((x) ^ (n-1)) $. С други думи, степента, която стои в индикатора, е показана в множителя отпред и самият индикатор намалява единицата. Например:

[Започнете (подравнете) и y \u003d ((x) ^ (2))) \\ t (y) "\u003d 2 ccot ((x) ^ (2-1)) \u003d 2x в края (подравняване) \\]

Но друга опция:

[започнете (подравнете) и y \u003d ((x) ^ (1))) \\ t & (y) "\u003d ((ляво (x])) ^ (първичен)) \u003d 1 ccot ((x ) ^ (0)) \u003d 1 cdot 1 \u003d 1 ((ляво (x])) ^ (премиер)) \u003d 1 край (подравняване) \\ t

Използвайки тези прости правила, нека се опитаме да премахнем баркода от следните примери:

Така получаваме:

[((ляво (((x) ^ (6)) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d 6 ccot ((x) ^ (5)) \u003d 6 ((x) ^ (5)) \\]

Сега решаваме втория израз:

[Започнете (подравнете) & f оставете (x дясно) \u003d ((x) ^ (100))) \\ t ((ляво (((x) ^ (100))) ^ (\\ t Prime)) \u003d 100 ccot ((x) ^ (99)) \u003d 100 ((x) ^ (99)) \\ t

Разбира се, беше много прости задачи. но реални задачи По-сложни и те не се ограничават до единствената степен на функцията.

Така че, правило № 1 - ако функцията е представена като друга две, производителят на тази сума е равен на сумата на дериватите: \\ t

[((ляво))) ^ (първичен)) \u003d (f) "+ (g)" \\ t

По същия начин производителят на разликата в две функции е равен на разликата в дериватите:

[(((ляво))) ^ (първичен)) \u003d (f) "- (g)" \\ t

[((ляво (((x) ^ (2)) + x вдясно)) ^ (първичен)) \u003d ((ляво ((((x) ^ (2))) ^ (\\ t Prime) + ((ляво))) ^ (първичен)) \u003d 2x + 1]

Освен това има друго важно правило: ако има константа от $ c $ преди някои $ f $, към която тази функция е умножена, тогава $ f $ Всичко това проектиране се счита за:

[((ляво)) ^ (първичен)) \u003d c cdot (f) "\\ t

[((ляво ((3 ((x) ^ (3)) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d 3 ((ляво (((x) ^ (3))) ^ (\\ t Prime)) \u003d 3 ccot 3 (((x) ^ (2) \u003d 9 ((x) ^ (2)) \\ t

И накрая, друго много важно правило: по задачи често се открива отделен термин, който не съдържа $ x $. Например, можем да го наблюдаваме в настоящите ни изрази. Производната константа, т.е. числата, по никакъв начин зависи от $ x $, винаги е равна на нула, и е напълно без значение какво е константата на $ c, която е равна на:

[((ляво))) ^ (премиер)) \u003d 0]

Примерно решение:

[(((1001))) ^ (премиер)) \u003d ((ляво (ляво (1) (1000)) ^ (първичен)) \u003d 0]

Още веднъж ключови точки:

1. Производството на двете функции винаги е равно на сумата на дериватите: $ ((ляво))) ^ (премиер)) \u003d (f) "+ (g)" $;
2. По подобни причини производителят на разликата в две функции е равен на разликата в две деривати: $ ((ляво))) ^ (премиер)) \u003d (f) "- (g)" $;
3. Ако функцията има постоянен множител, тогава тази константа може да бъде направена за дериватен знак: $ (ляво))) ^ (първичен)) \u003d c cdot (f) "$;
4. Ако цялата функция е постоянна, тогава нейното производно е винаги нула: $ ((ляво)) ^ (премиер)) \u003d 0 $.

Нека да видим как всичко работи на реални примери. Така:

Ние пишем:

[започнете (подравнете) и ((ляво (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 вдясно)) ^ (първичен)) \u003d ((() (((x) ^ (5)) вдясно)) ^ (първичен)) - ((ляво (3 ((x) ^ (2)))) ^ (първичен)) + (7) \\ t ((X) ^ (4)) - 3 ((ляво (((x) ^ (2)) вдясно)) ^ (първичен)) + 0 \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\ t

В този пример виждаме деривативната сума и разликата производна. Общо, деривата е $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

Отидете на втората функция:

Ние записваме решението:

[започнете (подравнете) и ((ляво (3 (x) ^ (2)) - 2x + 2] дясно)) ^ (първичен)) \u003d ((()) (()) 2)) ^ (първичен)) - (ляво (2x])) ^ (първичен)) + (2) "\u003d / · 3 (((ляво ((ляво (((()) \\ t ^ (2)) Вдясно)) ^ (първичен)) - 2 (x) "+ 0 \u003d 3 ccot 2x-2 cdot 1 \u003d 6x-2 \\ t

Така че намерихме отговора.

Отидете на третата функция - тя вече се опитва:

[Започнете (подравнете) и ((ляво ((((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2) + \\ t (1) (2) х-5 \\ t ) ^ (Първичен)) \u003d (((ляво (((((x) ^ (3))) ^ (първичен)) - ((ляво (3 (x) ^ (2)) \\ t Вдясно)) ^ (премиер) + ((ляво)))) ^ (първичен)) - (5) "\u003d \\ t (x) ^ (3)) отдясно)) ^ (първичен)) - 3 ((((((((x) ^ (2)) вдясно)) ^ (първичен)) + frac (1 \\ t (2) ccot (x) "\u003d 2 cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 cdot 2x + frac (1) (2) cdot 1 \u003d 6 ((x) ^ (2 )) -6X + FRAC (1) (2) край (подравняване) \\ t

Открихме отговора.

Отидете до последния израз - най-сложното и най-дълго:

Така че, ние вярваме:

[започнете (подравнете) и ((ляво (((((x) ^ (7)) - 14 (((x) ^ (3)) + 4x + 5] дясно)) ^ (първичен)) \u003d ((ляво (6 ((x) ^ (7)) вдясно)) ^ (премиер)) - ((ляво (14 (x) ^ (3))) ^ (първичен)) ) + ((вляво (4x])) ^ (първичен)) + (5) "\u003d \\ t \u003d 6 cdot ((x) ^ (6)) - 14 cdot 3 ((()) \\ t x) ^ (2)) + 4 ccot 1 + 0 \u003d 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\ t край (подравняване) \\ t

Но това решение не свършва, защото ние сме помолени да не премахваме докосването, а да изчислим стойността си в определена точка, така че заместваме в израза -1 вместо $ x $:

[(y) "ляво (-1 дясно) \u003d 42 cdot 1-42 cdot 1 + 4 \u003d 4]

Следваме и отиваме на още по-сложни и интересни примери. Факт е, че формулата за решаване на захранващо производно $ ((ляво ((((x) ^ (n)))) ^ (първичен)) \u003d n ccot ((x) ^ (n-1) ) $ Има още по-широка област на приложение, отколкото обикновено обичайно. С него е възможно да се решат примери с фракции, корени и т.н. Това е, че сега ще отидем.

За да започнете, запишете още веднъж, което ще ни помогне да намерим производно на функцията за захранване:

И сега вниманието: досега сме разглеждали само $ n $ целВъпреки това, не пречи на разглеждането на фракциите и дори отрицателните числа. Например, можем да запишем следното:

[Започнете (подравнете) SQRT (x) \u003d (x) ^ (frac (1) (2)))) \\ t ((left (sqrt (x) вдясно) ^ (първичен) )) \u003d ((((((((x) ^ (frac (1) (2))) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d frac (1) (2) cdot ((x) ^ (- FRAC (1) (2))) \u003d FRAC (1) (2) CDOT FRAC (1) (sqrt (x)) \u003d frac (1) (2 sqrt (x)) \\ t Край (подравняване) \\ t

Нищо сложно, така че нека видим как тази формула ще ни помогне при решаването на по-сложни задачи. Така пример:

Ние записваме решението:

[започнете (подравнете) вляво (sqrt (x) + sqrt (x) + sqrt (x) вдясно) \u003d ((left (sqrt (x) вдясно)) ^ (първичен)) ) + (((left (sqrt (x) вдясно)) ^ (първичен)) + ((left (sqrt (x) вдясно)) ^ (първичен)) \\ t (Sqrt (x) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d frac (1) (2 sqrt (x)) \\ t ((ляво (sqrt (x))) ^ (\\ t Prime)) \u003d ((ляво (((x) ^ (frac (1) (3))) вдясно) ^ (първичен)) \u003d frac (1) (3) cdot ((x) \\ t ^ (- FRAC (2) (3))) \u003d FRAC (1) (3) CDOT FRAC (1) (sqrt (((x) ^ (2)))) \\ t наляво (sqrt (x) вдясно)) ^ (премиер)) \u003d ((ляво (((((x) ^ (frac (1) (4))) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d Frac (1) (4) ((x) ^ (- frac (3) (4))) \u003d frac (1) (4) cdot frac (1) (sqrt (((x)) \\ t ^ (3))))) \\ T

Връщайки се към нашия пример и напишете:

[(y) "\u003d frac (1) (2 sqrt (x)) + frac (1) (3 sqrt (((x) ^ (2))) + \\ tЧрак (1) (4) \\ t Sqrt (((x) ^ (3)))))

Ето трудно решение.

Отидете на втория пример, има само два термина тук, но всеки от тях съдържа както класическа степен, така и корените.

Сега научаваме как да намерим производно на силната функция, която освен това съдържа и корена:

[започнете (подравнете) и ((ляво (((x) ^ (3)) sqrt (((x) ^ (2)) + ((x) ^ (7)) sqrt (x ) Вдясно)) ^ (първичен)) \u003d (((ляво ((((x) ^ (3)) ccot sqrt (((x) ^ (2))))} ^ (премиер) ) \u003d ((ляво (((x) ^ (3)) ccot ((x) ^ (frac (2) (3)))}) ^ (първичен)) \u003d \\ t (ляво (((x) ^ (3+ frac (2) (3)))) вдясно)) ^ (премиер)) \u003d ((()) (()) (1) 3))) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d frac (11) (3) ccot ((x) ^ (frac (8) (3))) \u003d frac (11) (3) CCOT ((x) ^ (2 frac (2) (3))) \u003d frac (11) (3) cdot ((x) ^ (2)) ccot sqrt ((((x) ^ (2))) ((ляво (((x) ^ (7)) ccot sqrt (x) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d ((ляво ((((x) ^ (7)) ccot ((x) ^ (frac (1) (3))) вдясно) ^ (първичен)) \u003d ((ляво ((((x) ^ (7 frac (7)) \\ t (3))) Вдясно)) ^ (първичен)) \u003d 7 frac (1) (3) ccot ((x) ^ (6 frac (1) (3)) \u003d frac (22) ( 3) ccot ((x) ^ (6)) cdot sqrt (x) край (подравняване) \\ t

И двете твърдения се считат за запишете окончателния отговор:

[(y) "\u003d frac (11) (3) ccot ((x) ^ (2)) ccot sqrt (((x) ^ (2)) + \\ t (22) (3) \\ t CDOT ((x) ^ (6)) cdot (x) \\ t

Открихме отговора.

Производство на фракция чрез функция на захранването

Но върху тази възможност за разтваряне на производното на захранващата функция не свършва. Факт е, че с нейната помощ могат да се вземат под внимание не само примери с корени, но и с фракции. Това е само рядка възможност, която значително опростява решаването на такива примери, но в същото време често се пренебрегват не само от ученици, но и от учители.

Така че, сега ще се опитаме да комбинираме две формули наведнъж. От една страна, класическото производно на функцията за захранване

[((ляво (((x) ^ (n))) вдясно)) ^ (премиер)) \u003d n ccot ((x) ^ (n-1)) \\ t

От друга страна, ние знаем, че изразяването на типа $ \\ t (1) ((x) ^ (n)) $ е представен като $ (x) ^ (- n)) $. Следователно,

[ляво (frac (1) (((x) ^ (n)))) "\u003d ((ляво (((x) ^ (- n)))) ^ (първичен) ) \u003d - n ccot ((x) ^ (- n - 1)) \u003d - frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \\ t

[((left) (1) (x) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d лява (((x) ^ (- 1)) дясно) \u003d - 1 ccot ((x ) ^ (- 2)) \u003d - frac (1) (((x) ^ (2))) \\ t

По този начин, производни на прости фракции, където има постоянна влягането, и в знаменателя - степента също се счита за използване на класическата формула. Нека да видим как работи на практика.

Така че първата функция:

[((ляво) ((1) ((x) ^ (2))) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d (((((((((x) ^ (- 2)) \\ t Дясно)) ^ (първичен)) \u003d - 2 ccot ((x) ^ (- 3)) \u003d - frac (2) (((x) ^ (3))) \\ t

Първият пример е разрешен, отидете на втория:

[Започнете (подравнете) и ((ляво) (4) (4 ((x) ^ (4))) - frac (2) (3 ((x) ^ (3)) + \\ t FRAC (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 (((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) дясно)) ^ (първичен)) \u003d & \u003d ((лява (FRAC (7) (4 ((x) ^ (4)))) вдясно)) ^ (първичен)) - ((()) (()) (()) (x) ^ (3))) отдясно)) ^ (първичен)) + (((ляво (2 (x) ^ (3))) ^ (първичен)) - ((ляво)) (3 ((x) ^ (4)) вдясно)) ^ (първичен))) \\ t ((lem)) \\ t (4) (ляво (от ляво (4) (4 ((x) ^ (4))) \\ t ^ (PRIME)) \u003d FRAC (7) (4) ((ляво (FRAC (1) (((x) ^ (4))))}) ^ (първичен)) \u003d \\ t 7) (4) ccot ((ляво (((x) ^ (- 4))) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d frac (7) (4) cdot лява (-4 дясно) \\ t ) CCOT ((x) ^ (- 5)) \u003d frac (-7) (((x) ^ (5)))) \\ t ((() (1) (3) (3 ((x) ^ (3))) вдясно)) ^ (премиер)) \u003d frac (2) (3) ccot ((left (frac (1) ((x) ^ (3))) )) ^ (Първичен)) \u003d frac (2) (3) ccot ((ляво (((x) ^ (- 3)) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d frac (2) \\ t (3) ccot лява (-3 дясно) ccot ((x) ^ (- 4)) \u003d frac (-2) ((x) ^ (4))) \\ t (FRAC (5) (2) (x) ^ (2)) дясно)) ^ (първичен)) \u003d frac (5) (2) cdot 2x \u003d 5x \\ t ≤ (ляво (2) (x) ^ (3)) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d 2 ccot 3 ((x) ^ (2)) \u003d 6 ((x) ^ (2)) \\ t ((\\ t Наляво (3 ((x) ^ (4)) вдясно)) ^ (премиер)) \u003d 3 ccot 4 ((x) ^ (3)) \u003d 12 ((x) ^ (3)) край (подравняване) ... \\ t

Сега събираме всички тези компоненти в една формула:

[(y) "\u003d - frac (7) ((x) ^ (5))) + frac (2) ((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \\ t

Получихме отговора.

Въпреки това, преди да се движат, бих искал да насоча вниманието ви към формата на записи на оригиналните изрази: в първия израз, записахме $ f, ляво (x] \u003d ... $, във втория: $ y \u003d ... $ Много ученици губят, когато виждат различни формуляри за запис. Каква е разликата между $ f лява (x] $ и $ y $? Всъщност нищо. Това са просто различни записи със същото значение. Точно когато говорим $ f, ляво (x вдясно) $ тогава говорим сиНа първо място, за функцията, и когато става въпрос за $ y $, най-често се има предвид функционален график. В противен случай това е същото, т.е. производно и в двата случая се счита за същото.

Трудни задачи с деривати

В заключение бих искал да разгледам чифт сложни комбинирани задачи, които се използват веднага, които сме разглеждали днес. Те чакат както корените, така и фракциите и сумите. Тези примери обаче ще бъдат сложни само в рамките на днешния видеоурок, защото наистина сложните функции на дериватите ще ви очакват напред.

Така че, последната част от днешния видеоурок, състоящ се от две комбинирани задачи. Да започнем с първия:

[започнете (подравнете) и ((ляво ((((x) ^ (3)) - frac (1) ((x) ^ (3)) + sqrt (x) вдясно)) ^ (Prime)) \u003d ((ляво ((((x) ^ (3)) вдясно)) ^ (първичен)) - (((ляво)))) - ((())) \\ t (1)) )))) ^ (Първичен)) + наляво (sqrt (x) вдясно) \\ t ((ляво (((x) ^ (3)) вдясно)) ^ (премиер) \\ t )) \u003d 3 ((x) ^ (2))) \\ t (ляво (((((x) ^ (3))) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d (ляво)) (((x) ^ (- 3)) вдясно)) ^ (премиер)) \u003d - 3 ccot ((x) ^ (- 4)) \u003d - frac (3) (((x) ^ ((x) 4))) ((left (sqrt (x) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d ((ляво (((x) ^ (frac (1) (3))) \\ t Дясно)) ^ (премиер)) \u003d frac (1) (3) cdot frac (1) (((x) ^ (frac (2) (3))) \u003d frac (1) ( 3 SQRT (((x) ^ (2))))) \\ T

Деривативната функция е:

[(y) "\u003d 3 ((x) ^ (2)) - FRAC (3) ((x) ^ (4))) + frac (1) (3 sqrt (((x) ^ (2)))) \\ T

Първият пример е разрешен. Помислете за втората задача:

Във втория пример действат по същия начин:

[((ляво (- frac (2) ((x) ^ (4)) + sqrt (x) + frac (4) (x sqrt (((x) ^ (3)) )) Вдясно)) ^ (първичен)) \u003d ((ляво (- frac (2) ((x) ^ (4))) вдясно) ^ (първичен)) + ((ляво) (Sqrt (x) вдясно)) ^ (първичен)) + ((ляво (отляво) (x cdot sqrt (((x) ^ (3))))) ^) (Първичен))

Изчислете всеки термин поотделно:

[Започнете (подравнете) и ((лява (- FRAC (2) (((x) ^ (4))))) ^ (първичен)) \u003d - 2 ccot ((ляво) ((x) ^ (- 4)) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d - 2 ccot лява (-4 дясно) ccot ((x) ^ (- 5)) \u003d frac (8) \\ t (((x) ^ (5))) \\ t (()))) ^ (премиер)) \u003d ((())) \u003d ((())) \u003d ((())) \\ t 1) (4))) Вдясно)) ^ (първичен)) \u003d frac (1) (4) ccot ((x) ^ (- frac (3) (4))) \u003d frac (1) ) (4 cdot ((x) ^ (frac (3) (4)))) \u003d frac (1) (4 sqrt (((x) ^ (3)))) \\ t Наляво (frac (4) (x ccot sqrt (((x) ^ (3))))) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d ((ляво (отляво (FRAC (4) (x] \\ t ((x) ^ (frac (3) (4))))) вдясно)) ^ (първичен)) \u003d (((ляво)))) \u003d ((()))) \\ t (1)) \\ t ) (4)))) Вдясно)) ^ (първичен)) \u003d 4 ccot ((ляво (((x) ^ (- 1)) ^ ()) Prime)) \u003d \\ t-1 \\ _ \\ _1 \\ t ((x) ^ (- 2 (x) ^ (- 2 frac (3) (4)) \u003d 4 \\ t Cdot лява (- frac (7) (4) дясно) ccot frac (1) (((x) ^ (2 frac (3) (4))) \u003d frac (-7)) \u003d \\ t ((x) ^ (2)) ccot ((x) ^ (frac (3) (4)))) \u003d - frac (7) (((x) ^ (2)) cdot ()) \\ t (x) ^ (3)))) \\ t

Всички термини се броят. Сега се връщаме в първоначалната формула и сгънете заедно всичките три термина. Получаваме, че последният отговор ще бъде такъв:

[(y) "\u003d frac (8) (((x) ^ (5))) + frac (1) (4 sqrt ((((x) ^ (3))) - \\ t 7) (((x) ^ (2)) cdot ((((x) ^ (3)))) \\ t

И това е всичко. Това беше първият ни урок. В следващите уроци ще разгледаме по-сложни дизайни, както и да разберем защо обикновено се нуждаят производните.

На които разглобяваме най-простите деривати, и също се запознахме с правилата за диференциация и някои технически техники намиране на деривати. Така, ако не сте много ясни с деривати на функции, няма да сте напълно ясни, след това първо прочетете горния урок. Моля, задайте на сериозен начин - материалът не е прост, но аз все още се опитвам да го изключите просто и достъпно.

На практика дериват на сложна функция трябва да се изправи много често, дори бих казал, почти винаги, когато задачите да намерите деривати.

Разглеждаме таблицата за правило (№ 5) на диференциация на сложна функция:

Разбираме. На първо място, обърнете внимание на записа. Тук имаме две функции - и освен това функцията, образно казаното, се инвестира във функцията. Функцията от този тип (когато една функция е вградена в друга) и се нарича сложна функция.

Ще се обадя на функцията външна функцияи функция - Вътрешна (или вложена) функция.

! Тези дефиниции не са теоретични и не трябва да се появяват в буталото на задачите. Използвам неформални изрази "външна функция", "вътрешна" функция само за да ви улеснят да разберете материала.

За да се изясни ситуацията, помислете:

Пример 1.

Намерете деривативна функция

Под синуса не сме само буквата "X", но цяло число, така че няма да е възможно да се намери дериват веднага на масата. Също така забелязваме, че тук е невъзможно да се прилагат първите четири правила, изглежда, че има значение, но фактът е, че синусът не е "разделен на части":

В този пример, от моите обяснения, е интуитивно, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (приспособление) и е външна функция.

Първа стъпкада изпълнявате, когато намирането на деривативна комплексна функция е разберете каква функция е вътрешна и каква е външната.

В случай на прости примери, изглежда изглежда, че полиномът се инвестира под синус. Но какво, ако всичко не е очевидно? Как да определим точно каква функция е външна и какво е вътрешното? За да направите това, предлагам да използвам следващото приемане, което може да се извърши психически или върху проекта.

Представете си, че трябва да изчислим стойността на стойността на експресията на калкулатора (вместо единица може да има някакъв номер).

Какво изчисляваме първо? Преди всичко Ще трябва да извършите следното:, следователно, полиномът и ще бъде вътрешна функция:

Второ Ще бъде необходимо да се намери, така синус - това ще бъде външна функция:

След We Са разбрали С вътрешни и външни функции е време да приложите правилото за диференциация на сложна функция .

Започваме да решаваме. От урока Как да намерим дериват? Спомням си, че декорацията на решението на всяко производно винаги започва така - сключваме израз в скобите и поставени вдясно в горната част на баркода:

Първо Ние намираме външната функционална деривация (синус), ние разглеждаме таблицата на деривативните елементарни функции и забелязваме това. Всички таблични формули са приложими и в случая, ако "X" се заменя със сложен израз, в такъв случай:

Обърнете внимание, че вътрешната функция не се промени, ние не я докосваме.

Е, съвсем очевидно е

Резултата от прилагането на формула В дизайна на буталото изглежда така:

Постоянен мултипликатор обикновено издържа на изрази:

Ако остава никакво недоразумение, пренапишете решението за хартия и отново прочетете обясненията.

Пример 2.

Намерете деривативна функция

Пример 3.

Намерете деривативна функция

Както винаги, пишете:

Разбираме къде имаме външна функция и къде е вътрешното. За да направите това, опитайте (умствено или в проект), за да изчислите стойността на израза. Какво трябва да се извърши първо? Преди всичко е необходимо да се брои това, което е равно на базата:, това означава, че полиномът е вътрешна функция:

И едва тогава упражнението се извършва в степента, следователно, функцията на захранването е външна функция:

Според формулата Първо трябва да намерите производа от външната функция, в този случай, в степента. Искахме необходимата формула в таблицата :. Повторете отново: всяка таблична формула е валидна не само за "X", но и за сложна експресия. По този начин, резултатът от прилагането на обхвата на диференциация на сложна функция след:

Отново подчертавам, че когато вземем производно на външна функция, вътрешната функция не се променя с нас:

Сега остава да се намери напълно просто производно от вътрешната функция и малко "разресване" в резултата:

Пример 4.

Намерете деривативна функция

Това е пример за самостоятелност (отговор в края на урока).

За да се осигури разбиране на деривативната сложна функция, ще дам пример без коментар, опитвам се да го разбера, боя, където външната и къде е вътрешната функция, защо задачите са решени по този начин?

Пример 5.

а) Намерете дериватна функция

б) Намерете дериватна функция

Пример 6.

Намерете деривативна функция

Тук имаме корен, и за да информираме корена, тя трябва да бъде представена под формата на степен. По този начин първо дайте функцията на правилната форма:

Анализ на функцията, заключаваме, че сумата от трите термина е вътрешна функция, а външната функция е външната функция. Прилага правилото за диференциация на сложна функция :

Степента отново представлява под формата на радикал (root) и за производно на вътрешната функция, използвайте просто правило на размера на диференциацията:

Готов. Можете също да доведете изразяването на общ знаменател И запишете всичко с една фракция. Красива, разбира се, но когато се получават обемисти дълго деривати - по-добре е да не се прави това (лесно е да се обърка, за да позволи ненужна грешка, а учителят ще се провери неудобно).

Пример 7.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо процедурата за диференциация на сложна функция можете да използвате правилото за диференциране на съотношение Но това решение ще изглежда като извращение необичайно. Ето един характерен пример:

Пример 8.

Намерете деривативна функция

Тук можете да използвате правилото за диференциране на съотношение Но е много по-изгодно да се намери дериват чрез правило за диференциране на сложна функция:

Ние подготвяме функцията за диференциация - вземаме минус на знак на производно, а косинусът в числатора:

Косинусът е вътрешна функция, външната функция е външна функция.
Ние използваме нашето правило :

Ние намираме дериват на вътрешната функция, косинусът изхвърля обратно:

Готов. В изследвания пример е важно да не се бърка в знаци. Между другото, опитайте се да го решите да използвате правилото. Отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9.

Намерете деривативна функция

Това е пример за независимо решение (отговор в края на урока).

Досега сме разгледали случаи, когато в нашата сложна функция са били само една инвестиция. В практическите задачи често е възможно да се изпълнят производни, където, както MatRyoshki, един към друг, са вградени на веднъж 3, или дори 4-5 функции.

Пример 10.

Намерете деривативна функция

Ние разбираме в инвестициите на тази функция. Опитваме се да изчислим израза, използвайки експерименталната стойност. Как ще вярваме на калкулатора?

Първо трябва да намерите, това означава, че Arksinus е най-дълбоката инвестиция:

Тогава този арксинус трябва да бъде вграден в квадрата:

И накрая, седемте се издигат в степен:

Това е, в този пример, имаме три различни функции и две приставки, докато вътрешната функция е арксинус, а самата външна функция е индикативна функция.

Започваме да решаваме

Според правилото Първо трябва да вземете дериват от външната функция. Разглеждаме таблицата на дериватите и намират производно на индикативната функция: единствената разлика е вместо "X" имаме труден израз, който не отменя валидността на тази формула. Така че, резултатът от прилагането на диференциационната функция на сложна функция следване.