Дефиниция на увеличаване. Лекционен курс

1. увеличаване на аргумента и увеличаването на функцията.

Нека функцията да бъде дадена. Вземете два стойности на аргумента: начален и се промени, което е обичайно
където - стойността, която аргументът се променя по време на прехода от първата стойност към втората, тя се нарича увеличаване на аргумента.

Стойностите на аргумента и съответстват на определени стойности на функцията: първоначално и се промени
, количество на която стойността на функцията се променя, когато аргументът се променя от стойността се нарича функция за увеличаване.

2. Концепцията за границата на функцията в точката.

Номер наречена граница на функцията
с търсенето Ако за всеки номер
има такъв номер
това изобщо
удовлетворяване на неравенството
ще се извърши неравенство
.

Второ определение: номерът се нарича граница на функцията, когато се стреми да бъде за всеки номер има такъв квартал на точката, която е за всеки от тези съседство. Обозначение
.

3. Безкрайно големи и безкрайно малки функции в точката. Безкрайно малката функция в точката е функция, чиято лимит, когато се стреми към тази точка, е нула. Безкрайно голямата функция в точката е функцията на лимита, чиято тегло, когато тя има склонност към тази точка, е равна на безкрайността.

4. основните теореми за границите и разследването им (без доказателство).

следствие: Може да се постигне постоянен множител от лимита:

Ако последователността I. конвергенцията и границата на последователността е различна от нула, тогава

следствие: Постоянен множител може да бъде постигнат до границата.

11. Ако съществуват границите на функциите
и
и границата на функцията е различна от нула,

тогава има и граница на връзката им, равна връзка Граници на функции и:

.

12. ако
T.
, Справедливо и обратно.

13. Теорема на границата на междинната последователност. Ако последователността
окръг, I.
и
че

5. Гранична функция при безкрайност.

Номерът А се нарича границата на функцията при безкрайност (при X търся безкрайност), ако за всяка последователност, търсеща безкрайност
съответства на последователността на стойностите на тези на тези, които са ангажирани с номера но.

6. Diatensses. цифрова последователност.

Номер но наречена граница на цифровата последователност, ако за всяко положително число намерен естествено число N, така че изобщо н.> Н. Извършва се неравенство
.

Символично се определя:
справедлив.

Факта, че номерът но Това е границата на последователността, е показана, както следва:

.

7. "Е". Естествени логаритми.

Номер "Е" представлява границата на числената последователност н.- член на който
, т.е.

.

Естествен логаритъм - логаритъм д. посочват се естествени логаритми
без да уточнявате основата.

Номер
позволява ви да се преместите от десетичния логаритм до естествено и обратно.

, той се нарича преходен модул от естествен логаритов До десетична.

8. Чудесни граници
,

.

Първо прекрасно лимит:

Така, както

От теоремата на терминалната последователност

втората прекрасна граница:

.

Да докаже съществуването на лимита
Използвана лема: за всеки действителен брой
и
Доста неравенство
(2) (когато
или
неравенството се обръща към равенството.)

Последователността (1) може да бъде написана, както следва:

.

Сега разгледайте спомагателната последователност с общ член.
Ние сме сигурни, че това намалява и е ограничено до по-долу:
ако
Последователността намалява. Ако
Последователността е ограничена до по-долу. Покажи го:

благодарение на равенството (2)

i.e.
или
. Това означава, че последователността намалява и така нататък. Последователността е ограничена до по-долу. Ако последователността намалее и е ограничена до по-долу, тя има ограничение. Тогава

той има границата и последователността (1), тъй като.

и
.

L. euler нарече този лимит .

9. Еднопосочни граници, функционират.

Номерът и левия лимит, ако следното е следното за всяка последователност :.

Броят и правилната граница, ако следното е следното :. \\ T

Ако в точката но Функцията за определяне на функцията или нейната гранична принадлежност, състоянието на непрекъснатостта на функцията е нарушено, а след това но наречена точка на прекъсване или разкъсване на функцията. Ако точката е

12. сумата на членовете на безкрайното намаляване геометрична прогресия. Геометричната прогресия е последователност, в която връзката между следващите и предишните членове остава непроменена, тази връзка се нарича знаменател на прогресията. Размера на първото количество н. Членовете на геометричната прогресия се изразяват по формулата
тази формула е удобна за намаляване на геометричната прогресия - прогресията, чиято абсолютна стойност на нейния знаменател е по-малка от нула. - първи семестър; - знаменател на прогресията; - броя на събрания член на последователността. Сумата от безкрайното намаляване на прогресията е броят, до който сумата на първите членове на намаляващото развитие на броя на намаляващото развитие се пренебрегва с неограничено увеличение на броя.
да се. Сумата на членовете на безкрайно намаляващата геометрична прогресия е равна на .

Нека X е произволна точка, която лети в някои околности на фиксираната точка x 0. Разликата x - x 0 се приема за повикване на увеличаването чрез независима променлива (или увеличаване на аргумента) в точка x 0 и означава Δx. По този начин,

ΔX \u003d x -x 0,

откъдето следва това

Функция за защита -разликата между двете стойности на функцията.

Нека да посочите функцията w. = f (x)дефинирани с стойност на аргумента х. 0. Нека дадем нарастване на аргумента D х., ᴛ.ᴇ. Разгледайте стойността на аргумента х. 0 + D. х.. Да предположим, че тази стойност на аргумента е включена и в областта на дефиницията на тази функция. Тогава разликата D. y. = f (x. 0 + D. х) – f (x 0) Обичайно е да се нарече увеличаване на функцията. Защитна функция е.(х.) В точка х. - функцията обикновено е посочена δ X F. От новата променлива Δ х. определени като

Δ X F.(Δ х.) = е.(х. + Δ х.) − е.(х.).

Намерете инча на аргумента и увеличаването на функцията в точка X 0, ако

Пример 2. Намерете увеличаването на функцията F (x) \u003d x 2, ако x \u003d 1, ΔH \u003d 0.1

Решение: F (x) \u003d x 2, f (x + ΔH) \u003d (x + ΔH) 2

Намерете увеличаването на функцията ΔF \u003d F (x + Δx) - F (x) \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2x * ΔX + ΔX 2 - x 2 \u003d 2x * ΔX + ΔX 2 /

Ние заменим стойностите x \u003d 1 и ΔH \u003d 0.1, получаваме ΔF \u003d 2 * 1 * 0.1 + (0,1) 2 \u003d 0.2 + 0.01 \u003d 0.21

Намерете инча на аргумента и увеличете функцията в точки x 0

2.f (x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. F (x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0.8

4. F (x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3.8

Дефиниция: Дериват Функции в момента е обичайно да се обадите на лимита (ако съществува и ограничи) съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента, при условие че последният има тенденция да има нула.

Следните наименования на дериват са най-често:

По този начин,

Намиране на дериватив, наречен разговор диференциация . . \\ T дефиниция на диференцируема функция: Функция F, която има производно във всяка точка на някаква разлика, се нарича диференцируема в даден интервал.

Да предположим, че в някои съседни депали функцията на функцията за изпълнение се нарича такъв номер, който функцията в околността Улавяне(х. 0) може да бъде представено като

е.(х. 0 + х.) = е.(х. 0) + Ах. + о.(х.)

ако има.

Определение на деривативната функция в точката.

Нека функцията f (x) Дефинирани на интервала (a; b)и - точки на тази празнина.

Дефиниция. Функция f (x) В момента е обичайно да се обадите границата на връзката на функцията на функцията за увеличаване на аргумента. Обозначава.

Когато последното ограничение поема конкретна крайна стойност, тогава има да говори за съществуване крайно производно в точка. В случай, че лимитът е безкраен, те казват това дериватив безкраен в този момент. В случай, че ако лимитът не съществува, тогава деривативната функция в този момент не съществува.

Функция f (x) Наречен е диференциращ в точката, когато има крайно производно в него.

В случай, че функцията f (x) диференцирани във всяка точка на някой интервал (a; b)Функцията се нарича диференцируема на този интервал. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, всяка точка х. От празнината (a; b) Можете да поставите в съответствие със стойността на деривативната функция в този момент, т.е. ние имаме способността да определяме новата функция, наречена произведена функция f (x) На интервала (a; b).

Работата на намирането на деривация е обичайна, за да се нарече диференциация.

медицинска и биологична физика

Лекция №1.

Дериват и диференциална функция.

Частни деривати.

1. Концепцията за производното, нейното механично и геометрично значение.

но ) Увеличаването на аргумента и функцията.

Нека функцията y \u003d f (x) да бъде дадена, когато стойността на аргумента от функцията за определяне на функцията. Ако изберете две стойности на аргумента X O и X от определен интервал от зоната на дефиниране на функцията, разликата между двете стойности на аргумента се нарича увеличаване на аргумента: x - x o \u003d Δh.

Стойността на аргумента X може да бъде определена чрез X 0 и нейното увеличение: X \u003d X O + ΔH.

Разликата между двете стойности на функцията се нарича увеличаване на функцията: ΔY \u003d ΔF \u003d F (x 0 + \u003d \u003d) - F (x 0).

Увеличаването на аргументите на функцията може да бъде представено графично (фиг. 1). Увеличаването на аргумента и увеличаването на функцията могат да бъдат както положителни, така и отрицателни. Както следва от фиг. 1, геометрично увеличаването на аргументационния аргумент ΔH е изобразено чрез увеличаването на абсцисата, а увеличаването на функцията ΔU е увеличаването на ордината. Изчисляването на функцията за нарастване следва да се извършва в следния ред:

даваме аргумента на нарастването δХ и получаваме стойността - X + ΔX;

2) Ние намираме стойността на функцията за стойността на аргумента (X + ΔH) - F (x + ΔH);

3) Ние намираме увеличаването на функцията ΔF \u003d F (x + ΔH) - F (x).

Пример:Определете увеличаването на функцията y \u003d x 2, ако аргументът се е променил от x o \u003d 1 до x \u003d 3. За точката x за стойността на функцията f (x o) \u003d x² за; За точка (x o + ΔH), стойността на функцията F (x 0 + \u003d ΔH) \u003d (x 0 ΔH) 2 \u003d x² около + 2x o ΔH + ΔH2, от където ΔF \u003d f (x 0 + ΔH) -f (XO) \u003d (xo + ΔH) 2 -х² o \u003d x² около + 2x ΔH + ΔH2-x² o \u003d 2x о δх + δх 2; ΔF \u003d 2x o ΔH + ΔH2; ΔH \u003d 3-1 \u003d 2; ΔF \u003d 2 · 1 · 2 + 4 \u003d 8.

б)Задачи, водещи до концепцията за дериват. Определяне на производно, физическото му значение.

Концепцията за увеличаване на аргумента и функцията е необходима за въвеждането на понятието за производно, което исторически произхожда от необходимостта от определяне на скоростта на определени процеси.

Помислете как е възможно да се определи скоростта на праволинейно движение. Нека тялото се движи точно според закона: Δѕ \u003d  Δt. За движение на оценителя:  \u003d Δ / Δt.

За променливо движение стойността Δ / ΔTodetes стойност на CP. , т.е.  вж. \u003d Δѕ / Δt. Но средната скорост не дава възможност да се отразят характеристиките на движението на тялото и да даде представа за истинската скорост в момент t. С намаление в периода от време, т.е. Когато ΔT → 0, средната ще се преобърне бързо до нейната граница - незабавна скорост:

 MGN. \u003d.
 Сряда \u003d.
ΔT / Δt.

По същия начин се определя моментната скорост на химическата реакция:

 MGN. \u003d.
 Сряда \u003d.
ΔH / Δt,

където X е количеството вещество, образувано по време на химична реакция по време на Т. Такива проблеми при определянето на скоростта на различните процеси доведоха до въвеждането в математиката понятието за дериватна функция.

Позволете непрекъснатата функция F (x), определена на интервала] А, в [EI, нарастване ΔF \u003d F (x + \u003d ΔH) -f (x).
това е функция ΔХ и изразява средната скорост на смяна на функцията.

Ограничение на връзката Когато ΔK → 0, при условие, че този лимит съществува, се нарича получена функция :

y "x \u003d

.

Производно е посочено:
- (остриери на баркода на x); f " (x) - (EF баркод на x) ; y "- (баркод на акула); dy / dx – (Gregrea for de x); - (играйте с точка).

Въз основа на дефиницията на производа може да се каже, че мигновената скорост на правилното движение е получена от времето на времето:

 MGN. \u003d S "t \u003d f " (T).

Така може да се заключи, че производителят на аргумента X е мигновена скорост на промяна в функцията F (x):

u "x \u003d f " (x) \u003d  mgn.

Това е физическото значение на производното. Процесът на намиране на производно се нарича диференциация, поради което изразът "Индекст функция" е еквивалентен на израза "Намерете дериватна функция".

в)Геометрично значение производно.

Пс
работната функция y \u003d F (x) има просто геометрично значение, свързано с концепцията за крива на линиите в някакъв момент. В същото време, допирателна, т.е. Директната линия се аналитично се изразява под формата на Y \u003d KH \u003d Tg · X, където – ъгълът на наклона на тангенциално (права) към ос от х ще представлява непрекъсната крива като функция y \u003d F (x), да вземе точката на m 1 близо до нея на кривата и да даде точка на закрепване. Неговия ъглов коефициент до sec \u003d tg β \u003d , Ако донесете точката m 1 на m, тогава увеличаването на аргумента ΔH тя ще се стреми към нула и последовател при β \u003d α ще вземе позицията на допирателната. Фигура 2 следва: tgα \u003d
tgβ \u003d.
\u003d y "x. но tgαins ъгловия коефициент допирателната към графиката на функцията:

k \u003d tgα \u003d
\u003d y "x \u003d f " (х). Така че ъгловият коефициент на тангенциална към графиката на функцията в този момент е равен на производно в точката на докосване. Това е геометричното значение на деривата.

д)Общото правило за намиране на дериват.

Въз основа на деривативното определяне процесът на диференциация на функцията може да бъде представен, както следва:

f (x + ΔH) \u003d f (x) + ΔF;

намерете увеличаването на функцията: ΔF \u003d F (x + ΔH) - F (x);

съотношението на увеличаването на функцията към увеличаването на аргумента е:

;

Пример:f (x) \u003d x 2; Е. " (x) \u003d?.

Въпреки това, както може да се види дори от този прост пример, използването на определената последователност при приема на деривати е време за отнемане и комплекс. Следователно, за различни функции се въвеждат общи формули Диференциация, която е представена под формата на таблица "Основна формула Диференциация на функциите".

Не винаги в живота, ние се интересуваме от точни стойности на всякакви ценности. Понякога е интересно да се знае промяната в тази стойност, например средната скорост на автобуса, съотношението на величината на движението към интервала време и др. За да се сравнят стойностите на функцията в някакъв момент с стойностите на същата функция в други точки, удобно е да се използват такива концепции като "увеличаване на функцията" и "recument recentration".

Понятията за "увеличаване на функцията" и "увеличаване на аргумента"

Да предположим, че X е някаква произволна точка, която се крие във всеки квартал на точката x0. Увеличаването на аргумента в точка X0 е разликата x-x0. Нарастването се нарича следното: ΔХ.

• Δх \u003d x-x0.

Понякога тази величина се нарича също увеличаване на независима променлива в точка X0. От формулата следва: x \u003d x0 + Δh. В такива случаи се казва, че първоначалната стойност на независима променлива x0, получена на разстояние до δх.

Ако променим аргумента, стойността на функцията също ще се промени.

• f (x) - F (x0) \u003d F (x0 + ΔH) - F (x0).

Увеличаване на функцията f в точка x0, Съответното увеличение е ΔH, наречено разликата f (x0 + ΔH) - f (x0). Прирахването на функцията се посочва, както следва ΔF. Така получаваме по дефиниция:

• ΔF \u003d F (x0 + ΔX) - F (x0).

Понякога, ΔF се нарича също увеличаване на зависимата променлива и използва ΔU, за да обозначи, ако функцията е, например, y \u003d f (x).

Геометричен смисъл на увеличаване

Погледнете следващия чертеж.

Както можете да видите, увеличението показва промяната в ординатата и абсцисата на точката. И съотношението на увеличаването на функцията за увеличаване на аргумента определя ъгъла на наклона на последователното преминаване през първоначалното и крайното положение на точката.

Разгледайте примери за увеличаване на функцията и аргумента

Пример 1. Намерете инча на аргумента ΔH и увеличаването на функцията ΔF в точката x0, ако f (x) \u003d x 2, x0 \u003d 2 а) x \u003d 1.9 b) x \u003d 2.1

Използваме формулите, показани по-горе:

а) ΔH \u003d x-x0 \u003d 1.9 - 2 \u003d -0.1;

• ΔF \u003d F (1.9) - F (2) \u003d 1.9 2 - 2 2 \u003d -0.39;

b) Δx \u003d x - x0 \u003d 2.1-2 \u003d 0.1;

• ΔF \u003d F (2.1) - F (2) \u003d 2.1 2 - 2 2 \u003d 0.41.

Пример 2. Изчислете увеличението ΔF за функцията F (x) \u003d 1 / x в точката x0, ако аргументът е Δx.

Отново използваме формулите, получени по-горе.

• ΔF \u003d F (x0 + Δx) - F (x0) \u003d 1 / (x0-Δx) - 1 / x0 \u003d (x0 - (x0 + \u003d)) / (x0 * (x0 + ΔX)) \u003d - Δx / ( (x0 * (x0 + ΔX)).

Определение 1.

Ако за всяка двойка $ (x, y) от стойностите на две независими променливи от определена област се поставят в съответствие с определена стойност от $ z $, тогава се казва, че $ z $ е функцията на две променливи $ (x, y) $. Означаване: $ Z \u003d F (x, y) $.

По отношение на функцията $ Z \u003d F (x, y) $ Обмислим концепцията за обща (пълна) и частни увеличения на функцията.

Нека функцията $ z \u003d f (x, y) $ две независими променливи $ (x, y) $.

Забележка 1.

Тъй като променливите $ (x, y) $ са независими, тогава един от тях може да бъде променен, а другият да поддържа постоянна стойност.

Нека дадем променлива $ x $ recromme $ delta x $, докато записвате стойността на променливата $ y $ непроменена.

След това функцията $ z \u003d f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще бъде наричано частно увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ за променлива $ x $. Обозначаване:

По същия начин, ние даваме променлива $ y $ incremate $ delta y $, докато запазвате стойността на $ x $ променлива е непроменена.

След това функцията $ z \u003d f (x, y) $ ще получи увеличение, което ще се нарече частно увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ по $ я $ променлива. Обозначаване:

Ако $ x $ Argument е увеличаване на $ delta x $, а аргументът от $ y $ е увеличаването на $ delta y $, след това пълното увеличение на зададената функция е $ z \u003d f (x, y) $ . Обозначаване:

Така имаме:

$ Delta _ (x) z \u003d f (x + deelta x, y) -f (x, y) $ - частното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ за $ x $;

$ Delta _ (y) z \u003d f (x, y + deelta y) -f (x, y) $ - частното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ за $ y $;

$ DELTA Z \u003d F (x + deelta x, y + deelta y) -f (x, y) $ е пълното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $.

Пример 1.

Решение:

$ Delta _ (x) z \u003d x + deelta x + y $ - частното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ за $ x $;

$ Delta _ (y) z \u003d x + y + delta y $ е частното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ за $ y $.

$ DELTA Z \u003d X + DELTA X + Y + DELTA Y $ - пълното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $.

Пример 2.

Изчислете частното и пълно увеличаване на функцията $ z \u003d xy $ в точка $ (1; 2) $ с $ deelta x \u003d 0.1;, deelta y \u003d 0,1 $.

Решение:

По дефиниция на частното увеличение откриваме:

$ Delta _ (x) z \u003d (x + deelta x) cdot y $ - частно увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ за $ x $

$ Delta _ (Y) z \u003d x ccot (Y + deelta y) $ - частното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ за $ y $;

По дефиниране на пълно увеличение, ние намираме:

$ Z \u003d (x + delta x) ccot (Y + delta y) $ - пълното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $.

Следователно,

[DELTA _ (x) z \u003d (1 + 0.1) cdot 2 \u003d 2.2] [delta _ (y) z \u003d 1 ccot (2 + 0.1) \u003d 2.1] \\ t (1 + 0.1) ccot (2 + 0.1) \u003d 1.1 cdot 2,1 \u003d 2.31. \\ T

Бележка 2.

Пълното увеличаване на зададената функция $ Z \u003d F (x, y) $ не е равна на сумата от частните му стъпки от $ delta _ (x) z $ и $ delta _ (y) z $. Математически запис: $ delta z \\ _ delta _ (x) z + deelta _ (y) z $.

Пример 3.

Проверете коментарите за одобрение за функцията

Решение:

$ Delta _ (x) z \u003d x + deelta x + y $; $ Delta _ (y) z \u003d x + y + delta y $; $ Delta z \u003d x + deelta x + y + delta y $ (получен в пример 1)

Ще намерим количеството частни увеличения на посочената функция $ z \u003d f (x, y) $

[Delta _ (x) z + deelta _ (y) z \u003d x + deelta x + y + (x + y + deelta y) \u003d 2 ccot (x + y) + delta x + \\ t Delta y. \\ T

[DELTA _ (x) z + delta _ (y) z \\ s ne delta z. \\ T

Определение 2.

Ако за всеки три $ (x, y, z) $ от стойностите на три независими променливи от определена област, поставени в съответствие с определена стойност от $ w $, тогава се казва, че $ w $ е функция на Три променливи $ (x, y, z) $ в тази област.

Означаване: $ w \u003d F (x, y, z) $.

Определение 3.

Ако за всяка съвкупност от $ (x, y, z, ..., t) $, стойностите на независимите променливи от определен регион се поставят в съответствие с определена стойност от $ w $, тогава се казва това $ W $ е функцията на променливите $ (x, y, z, ..., t) $ в тази област.

Означаване: $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $.

За функция от три и повече променливи, подобно на това как функцията на две променливи се определя от частни стъпки за всяка от променливите:

$ Delta _ (z) w \u003d f (x, y, z + deelta z) -f (x, y, z) $ - частното увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z,. .., t) $ за $ z $;

$ Delta _ (t) w \u003d f (x, y, z, ..., t + deelta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - частно увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $ за $ t $.

Пример 4.

Напишете частно и пълно увеличаване на функцията

Решение:

По дефиниция на частното увеличение откриваме:

$ Delta _ (x) w \u003d ((x + deelta x) + y) cdot z $ - частно увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z) $ на $ x $

$ Delta _ (Y) w \u003d (x + (y + deelta y)) cdot z $ - частното увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z) $ за $ y $;

$ Delta _ (z) w \u003d (x + y) ccot (z + delta z) $ - частното увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z) $ за $ z $;

По дефиниране на пълно увеличение, ние намираме:

$ Delta w \u003d ((x + delta x) + (y + delta y)) cdot (z + delta z) $ - пълното увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z) $.

Пример 5.

Изчислете частното и пълно увеличаване на функцията $ w \u003d xyz $ в точка $ (1; 2; 1) $ с $ deelta x \u003d 0.1;, \\ t, delta z \u003d 0.1 $.

Решение:

По дефиниция на частното увеличение откриваме:

$ Delta _ (x) w \u003d (x + deelta x) cdot y cdot z $ - частно увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z) $ на $ x $

$ Deelta _ (Y) w \u003d x ccot (Y + deelta y) cdot z $ - частното увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z) $ за $ y $;

$ Delta _ (z) w \u003d x cdot y cdot (z + delta z) $ - частното увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z) $ за $ z $;

По дефиниране на пълно увеличение, ние намираме:

$ Delta w \u003d (x + delta x) ccot (y + delta y) cdot (z + delta z) $ - пълното увеличение на функцията $ w \u003d f (x, y, z) $ .

Следователно,

[DELTA _ (x) w \u003d (1 + 0.1) ccot 2 cdot 1 \u003d 2.2] [delta _ (Y) w \u003d 1 ccot (2 + 0,1) cdot 1 \u003d 2.1 [Delta _ (Y) w \u003d 1 ccot 2 ccot (1 + 0.1) \u003d 2.2] [delta z \u003d (1 + 0,1) ccot (2 + 0.1) ccot ( 1 + 0.1) \u003d 1.1 cdot 2.1 cdot 1.1 \u003d 2.541. \\ T

От геометрична гледна точка, пълното увеличение на функцията $ z \u003d f (x, y) $ (по дефиниция $ deelta z \u003d f (x + deelta x, y + deelta y) -f (x, \\ t y) $) е равно на увеличаване на приложението на графиката функциите $ z \u003d f (x, y) $ в прехода от точка $ m (x, y) $ до точка $ m_ (1) (x + Delta x, y + delta y) $ (фиг. 1).

Снимка 1.