Метод на булеви ограничения в качествения анализ на двоични динамични системи. Качествен анализ на динамични системи

КИНЕТИКА НА БИОЛОГИЧНИТЕ ПРОЦЕСИ

Как може да се опише динамиката на биологичните системи? Във всеки момент от времето една биологична система има набор от определени характеристики. Например, като се наблюдава популация на даден вид, човек може да запише нейния размер, площта на заеманата територия, количеството налична храна, температурата на околната среда и т.н. Ходът на химическата реакция може да се характеризира с концентрациите на участващите вещества, налягане, температура и ниво на киселинност на околната среда. Наборът от стойности на всички характеристики, които изследователят е избрал, за да опише системата, е състоянието на системата във всеки момент от време. При създаване на модел се избират променливи и параметри в посочения набор. Променливите са тези величини, чиито промени са от интерес предимно за изследователя, параметрите са условията на „външната среда“. За избраните променливи се съставят уравнения, които отразяват моделите на промяна в системата във времето. Например, когато се създава модел за растеж на микробна култура, нейният брой обикновено се използва като променлива, а скоростта на възпроизвеждане като параметър. Възможно е температурата, при която настъпва растеж, да се окаже значителна, тогава този индикатор също е включен в модела като параметър. И ако, например, нивото на аерация винаги е достатъчно и не оказва никакво влияние върху процесите на растеж, тогава то изобщо не е включено в модела. Като правило параметрите остават непроменени по време на експеримента, но си струва да се отбележи, че това не винаги е така.

Възможно е да се опише динамиката на биологична система (т.е. промяната в нейното състояние във времето), като се използват както дискретни, така и непрекъснати модели. Дискретните модели предполагат, че времето е дискретно количество. Това съответства на записване на стойностите на променливите на определени фиксирани интервали (например веднъж на час или веднъж годишно). В непрекъснатите модели биологичната променлива е непрекъсната функция на времето, означена напр. х(т).

Често от голямо значение начални условиямодели - състоянието на изследваната характеристика в началния момент на времето, т.е. в т = 0.

При изучаване на непрекъснатата промяна на някои характеристики х(т) може да знаем информация за скоростта на нейната промяна. Тази информация обикновено може да бъде записана като диференциално уравнение:

Такава формална нотация означава, че скоростта на промяна на дадена характеристика, която се изследва, е функция на времето и величината на тази характеристика.

Ако дясната страна на диференциално уравнение на формата не зависи изрично от времето, т.е. справедливо:

тогава това уравнение се нарича автономен(системата, описана от такова уравнение, се нарича автономен). Състоянието на автономните системи във всеки момент от време се характеризира с една единствена стойност - стойността на променливата хв момента т.

Нека си зададем един въпрос: нека се даде диференциално уравнение за х(т), възможно ли е да се намерят всички функции х(т) удовлетворяване на това уравнение? Или: ако е известна първоначалната стойност на определена променлива (например първоначалният размер на популацията, концентрацията на вещество, електропроводимостта на средата и т.н.) и има информация за естеството на промяната в тази променлива, възможно ли е да се предвиди каква ще бъде нейната стойност във всички следващи моменти от времето? Отговорът на поставения въпрос е следният: ако са дадени началните условия за и условията на теоремата на Коши са изпълнени за уравнението (функцията, дадена в определен регион и нейната частична производна са непрекъснати в тази област), тогава има е уникално решение на уравнението, което удовлетворява зададените начални условия. (Припомнете си, че всяка непрекъсната функция, която удовлетворява диференциално уравнение, се нарича решение на това уравнение.) Това означава, че можем еднозначно да предвидим поведението на биологичната система, ако характеристиките на нейното първоначално състояние са известни и моделното уравнение удовлетворява условията на Теорема на Коши.

Стационарно състояние. устойчивост

Ще разгледаме автономното диференциално уравнение

В стационарно състояние стойностите на променливите в системата не се променят с времето, тоест скоростта на промяна в стойностите на променливите е 0: . Ако лявата страна на уравнение (1.2) е равна на нула, тогава дясната също е равна на нула: . Корените на това алгебрично уравнение са стационарни състояниядиференциално уравнение (1.2).

Пример 1.1:Намерете стационарните състояния на уравнението.

Решение: Нека преместим члена, който не съдържа производната, в дясната страна на равенството: . По дефиниция в стационарно състояние важи следното равенство: . Така че равенството трябва да е в сила . Решаваме уравнението:

,

И така, уравнението има 3 стационарни състояния: , .

Биологичните системи постоянно изпитват различни външни влияния и многобройни колебания. В същото време те (биологичните системи) имат хомеостаза, т.е. устойчиви. На математически език това означава, че променливите с малки отклонения се връщат към стационарните си стойности. Ще бъде ли отразено това поведение на биологичната система в нейния математически модел? Стабилни ли са стационарните състояния на модела?

Стационарното състояние е устойчиви, ако при достатъчно малко отклонение от положението на равновесие, системата никога няма да се отдалечи от особената точка. Стабилното състояние съответства на стабилния режим на работа на системата.

Едно равновесно състояние на едно уравнение е стабилно по Ляпунов, ако за всеки винаги може да се намери такова, че ако , тогава за всички .

Съществува аналитичен метод за изследване на устойчивостта на стационарно състояние - методът на Ляпунов. За да го докажем, припомняме Формула на Тейлър.

Говорейки свободно, формулата на Тейлър показва поведението на функция в близост до определена точка. Нека функция има производни в точка от всички порядки до н-та включително. Тогава формулата на Тейлър е валидна за:

Отхвърляйки остатъка, който представлява безкрайно малък от по-висок порядък от , получаваме приблизителната формула на Тейлър:

Извиква се дясната страна на приблизителната формула Полином на Тейлърфункции, той се обозначава като .

Пример 1.2:Разширете функцията в серия на Тейлър в съседство на точка до 4-ти ред.

Решение:Записваме серията на Тейлър до 4-ти ред в общ вид:

Намерете производните на дадената функция в точката:

,

Заменете получените стойности в оригиналната формула:

Аналитичен метод за изследване на стабилността на стационарно състояние ( Метод на Ляпунов) е както следва. Нека е стационарното състояние на уравнението. Нека зададем малко отклонение на променливата хот неговата стационарна стойност: , където . Заменете израза за точката хв оригиналното уравнение: . Лявата страна на уравнението ще приеме формата: , тъй като в стационарно състояние скоростта на промяна на стойността на променливата е равна на нула: . Разширяваме дясната страна в серия на Тейлър в близост до стационарното състояние, като се има предвид, че , оставяме само линейния член от дясната страна на уравнението:

Получено линеаризирано уравнениеили уравнение за първо приближение. Стойността е някаква постоянна стойност, означете я а: . Общото решение на линеаризираното уравнение има вида: . Този израз описва закона, според който даденото от нас отклонение от стационарното състояние ще се промени с времето. Отклонението ще изчезне с времето, т.е. при , ако степента в степента е отрицателна, т.е. . По дефиниция стационарното състояние ще бъде устойчиви. Ако , тогава с увеличаване на времето отклонението само ще се увеличава, стационарното състояние е нестабилен. В случай, когато уравнението на първото приближение не може да даде отговор на въпроса за стабилността на стационарното състояние. Необходимо е да се вземат предвид термините от по-висок порядък в разширението на серията Тейлър.

Освен аналитичния метод за изследване на стабилността на стационарно състояние има и графичен.

Пример 1.3.Позволявам . Намерете стационарните състояния на уравнението и определете вида им на стабилност, като използвате графиката на функцията .

Решение:Нека намерим специални точки:

,

,

Изграждаме графика на функцията (фиг. 1.1).

Ориз. 1.1. Графика на функциите (пример 1.3).

Нека определим от графиката дали всяко от намерените стационарни състояния е стабилно. Нека зададем малко отклонение на представителната точка от сингулярната точка наляво: . В точка с координата функцията приема положителна стойност: или . Последното неравенство означава, че с течение на времето координатата трябва да се увеличи, тоест представителната точка трябва да се върне в точката . Сега нека зададем малко отклонение на представителната точка от сингулярната точка вдясно: . В този регион функцията запазва положителна стойност, следователно с течение на времето координатата хсъщо се увеличава, тоест представителната точка ще се отдалечи от точката. По този начин, малко отклонение извежда системата от стационарно състояние, следователно, по дефиниция, сингулярната точка е нестабилна. Подобни разсъждения водят до факта, че всяко отклонение от сингулярната точка намалява с времето, стационарното състояние е стабилно. Отклонението на представящата точка във всяка посока от стационарното състояние води до отстраняването й от точката, това е нестабилно стационарно състояние.

Решаване на система от линейни диференциални уравнения

Нека се обърнем към изследването на системите от уравнения, първо линейни. Най-общо системата от линейни диференциални уравнения може да бъде представена като:

Анализът на системата от уравнения започва с намиране на стационарните състояния. За системи от вида (1.3) особената точка е единствена, нейните координати са (0,0). Изключението е изроденият случай, когато уравненията могат да бъдат представени като:

(1.3*)

В този случай всички двойки, удовлетворяващи съотношението, са стационарни точки от системата (1.3*). По-специално, точката (0,0) също е неподвижна за системата (1.3*). На фазовата равнина в този случай имаме права линия с коефициент на наклон, минаваща през началото, всяка точка на която е особена точка на системата (1.3 *) (виж Таблица 1.1, т. 6).

Основният въпрос, на който трябва да се отговори от резултата от изследването на система от уравнения, е дали стационарното състояние на системата е стабилно и какъв характер има това решение (монотонно или немонотонно).

Общо решениесистема от две линейни уравнения има формата:

характерни числаможе да се изрази чрез коефициентите на линейните уравнения, както следва:

Характеристичните числа могат да бъдат 1) реални от различни знаци, 2) реални от един и същи знак, 3) комплексно спрегнати, а също и, в изродени случаи, 4) чисто въображаеми, 5) реални съвпадащи, 6) реални, едно от които (или и двете) е равно на нула. Тези случаи определят типа поведение на решението на система от обикновени диференциални уравнения. Съответните фазови портрети са представени в Таблица 1.1.

Таблица 1.1. Видове стационарни състояния на система от две линейни диференциални уравнения и съответните фазови портрети. Стрелките показват посоката на движение на представителната точка

Построяване на фазови и кинетични портрети на система от две линейни диференциални уравнения

фазова равнинанаречена равнина с координатни оси, върху която са нанесени стойностите на променливите хи г, всяка точка от равнината съответства на определено състояние на системата. Множеството точки във фазовата равнина, чието положение съответства на състоянията на системата в процеса на промяна на променливите във времето, съгласно дадените уравнения на изследваната система, се нарича фазова траектория. Наборът от фазови траектории за различни начални стойности на променливите дава портрет на системата. Сграда фазов портретви позволява да правите заключения за естеството на промените в променливите хи гбез да познава аналитичните решения на оригиналната система от уравнения.

Помислете за система от линейни диференциални уравнения:

Изграждането на фазовия портрет започва с изграждането главни изоклини(изоклина е линия, през която наклонът на фазовата крива (траекторията), определен от уравнението, остава постоянен). За система от две линейни диференциални уравнения това винаги са прави, минаващи през началото. Уравнението изоклини на хоризонтални допирателни: . Уравнение на изоклина на вертикалните допирателни: . За по-нататъшно изграждане на фазовия портрет е полезно да се построи изоклина от допирателни, преминаващи под ъгъл. За да се намери съответното уравнение на изоклина, е необходимо да се реши уравнението . Можете също да намерите изоклините на тангентите на други ъгли, като използвате приблизителните стойности на тангентите на ъглите. При конструирането на фазовия портрет може да помогне и отговорът на въпроса под какъв ъгъл трябва да пресичат фазовите траектории с координатните оси. За да направите това, в уравнението на изоклина заместваме съответните равенства (за да определим ъгъла на пресичане с оста OY) и (за да определим ъгъла на пресичане с оста OX).

Пример 1.4.Определете вида на сингулярната точка на системата от линейни уравнения:

Изградете фазов и кинетичен портрет на системата.

Решение:Координатите на особената точка са (0,0). Коефициентите на линейните уравнения са: , , , . Нека дефинираме вида на стационарното състояние (вижте раздела за характерните числа):

По този начин характерните корени са въображаеми: следователно особената точка на разглежданата линейна система има тип център (фиг. 1.2а).

Уравнение на изоклина на хоризонтални допирателни: , Уравнение на изоклина на вертикални допирателни: . Под ъгъл от 45° траекториите на системата пресичат права линия .

След построяването на фазовия портрет е необходимо да се определи посоката на движение по намерените траектории. Това може да стане по следния начин. Вземете произволна точка на произволна траектория. Например върху изоклина на хоризонтални допирателни (1,1). Нека заместим координатите на тази точка в системата от уравнения. Получаваме изрази за скоростите на промяна на променливите х,гв този момент:

Получените стойности показват, че скоростта на промяна на променливата х- отрицателен, тоест стойността му трябва да намалее, а променливата гне се променя. Маркираме получената посока със стрелка. Така в разглеждания пример движението по фазовите траектории е насочено обратно на часовниковата стрелка. Замествайки координатите на различни точки в системата, можете да получите "карта" на посоките на скоростите, т.нар. векторно поле.

Фигура 1.2. Фазов (а) и кинетичен (б) портрет на системата, пример 1.4

Забележете, че на изоклина на хоризонталните допирателни променливата гдостига своята максимална или минимална стойност по дадена траектория. Напротив, на изоклина на вертикалните допирателни, променливата х.

Да се ​​изгради кинетичен портрет на системата означава да се начертае зависимостта на стойностите на променливите х,гот време. Фазов портрет може да се използва за изграждане на кинетичен и обратно. Една фазова траектория съответства на една двойка кинетични криви. Нека изберем произволна точка от фазовия портрет на произволна фазова траектория. Това е началната точка, съответстваща на времето. В зависимост от посоката на движение в разглежданата система, стойностите на променливите х,гили намаляване или увеличаване. Нека координатите на началната точка са (1,1). Според изградения фазов портрет, като се започне от тази точка, трябва да се движим обратно на часовниковата стрелка, координатите хи гдокато те ще намалеят. С течение на времето координатата хпреминава през 0, стойност гкато остават положителни. Допълнителни координати хи гпродължават да намаляват, координатата гпреминава през 0 (стойност хдокато е отрицателен). Стойност хдостига минималната си стойност на изоклина на вертикалните допирателни, след което започва да нараства. Стойност гдостига минималната си стойност на изоклина на хоризонталните допирателни (стойност хв този момент е отрицателен). След това и стойността х, и стойността гсе увеличава, връщайки се към първоначалните стойности (фиг. 1.2b).

Изследване на устойчивостта на стационарни състояния на нелинейни системи от втори ред

Нека една биологична система се описва от система от две автономни диференциални уравнения от втори ред с общ вид:

Стационарните стойности на системните променливи се определят от алгебричните уравнения:

В съседство на всяко стационарно състояние може да се разгледа система за първо приближение(линеаризирана система), чието изследване може да даде възможност да се отговори на въпроса за стабилността на сингулярната точка и естеството на фазовите траектории в нейната малка околност.

навън

Ние имаме , , особената точка е груба. Характеристичните корени на системата от първо приближение са равни на , и двете са реални и отрицателни, следователно, в близост до нулевата сингулярна точка, поведението на фазовите траектории на системата ще съответства на типа на стабилен възел.

Автоматика и телемеханика, Л-1, 2007г

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Ю.С. ПОПКОВ, д-р техн. Наука (Институт за системен анализ РАН, Москва)

КАЧЕСТВЕН АНАЛИЗ НА ДИНАМИЧНИ СИСТЕМИ С Vd-ЕНТРОПИЯ ОПЕРАТОР

Предложен е метод за изследване на съществуването, уникалността и локализацията на особени точки от разглеждания клас DSEE. Получават се условия за стабилност "в малкото" и "в голямото". Дадени са примери за прилагане на получените условия.

1. Въведение

Много проблеми на математическото моделиране на динамични процеси могат да бъдат решени на базата на концепцията за динамични системи с ентропен оператор (DEOS). DSEE е динамична система, в която нелинейността се описва от параметричния проблем за максимизиране на ентропията. Feio-moyologically, DSEO е модел на макросистема с "бавно" самовъзпроизвеждане и "бързо" разпределение на ресурсите. Някои свойства на DSEO са проучени в. Тази работа продължава цикъла на изследване на качествените свойства на DSEO.

Разглеждаме динамична система с Vd-ентропен оператор:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

В тези изрази:

C(x, y), u(x) са непрекъснато диференцируеми векторни функции;

Ентропия

(1.2) Hv (y) = uz 1n като > 0, s = T~m;

T - (r x w)-матрица с елементи ^ 0 има общ ранг, равен на r;

Приема се, че векторната функция u(x) е непрекъснато диференцируема, множеството

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

където a- и a + са вектори от E+, където a- е вектор с малки компоненти.

Използване на добре познатото представяне на ентропийния оператор по отношение на множителите на Лагранж. преобразуваме системата (1.1) до следния вид:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

където rk = exp(-Ak) > 0 са експоненциалните множители на Лагранж.

Заедно с DSEE от общ вид (1.1), ще разгледаме, следвайки класификацията, дадена в .

DSEE с разделим поток:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

където B (n x m)-матрица;

DSEO с мултипликативен поток:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

където W е (n x m)-матрица с неотрицателни елементи, a е вектор с положителни компоненти, ® е знакът за координатно умножение.

Целта на тази статия е да проучи съществуването, уникалността и локализацията на единични точки на DSEE и тяхната стабилност.

2. Сингулярни точки

2.1. Съществуване

Да разгледаме системата (1.4). Сингулярните точки на тази динамична система се определят от следните уравнения:

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^като r^ = dk(x), k = 1,r.

Помислете първо за спомагателната система от уравнения:

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

където множеството R е дефинирано от равенство (1.3) и C(q, r) е векторна функция с компоненти

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

Уравнение (2.4) има уникално решение r* за всеки фиксиран вектор q, което следва от свойствата на Vg-ентропийния оператор (виж ).

От дефиницията на компонентите на векторната функция С(g, z) се получава очевидната оценка:

(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Нека означим решението на първото уравнение с r+, а на второто - с r-. Да дефинираме

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

и r-мерни вектори

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin, zmin).

Лема 2.1. За всички q G Q (1 . 3) решения z*(q) на уравнение (2.4) принадлежат на вектора 1 на отсечката

zmin< z*(q) < zmax,

където векторите zmin и zmax са определени от изрази (2.7)-(2.9).

Доказателството на теоремата е дадено в приложението. Qq

qk(x) (1.3) за x G Rn, тогава имаме

Следствие 2.1. Нека условията на лема 2.1 са изпълнени и функциите qk(x) удовлетворяват условия (1.3) за всички ex x G Rn. Тогава за всички x G Rm решенията z* на уравнение (2.3) принадлежат на векторния сегмент

zmin< z* < zmax

Нека сега се върнем към уравнения (2.2). които определят компонентите на векторната функция y(z). Елементите на нейния якобиан имат формата

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

за всички z G R+ с изключение на 0 и g. Следователно векторната функция y(z) е строго монотонно нарастваща. Съгласно лема 2.1 той е ограничен отдолу и отгоре, т.е. за всички z G Rr (следователно за всички x G Rn) неговите стойности принадлежат на множеството

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

където компонентите на векторите yk, y+ се определят от изразите:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Разгледайте първото уравнение в (2.1) и го пренапишете като:

(2.14) L(x, y) = 0 за всички y e Y ⊂ E^.

Това уравнение определя зависимостта на променливата x от променливата y, принадлежаща на Y

ние (1.4) се свежда до съществуването на имплицитна функция x(y), дефинирана от уравнение (2.14).

Лема 2.2. Нека са изпълнени следните условия:

а) векторната функция L(x, y) е непрекъсната в множеството от променливи;

б) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

в) det J (x, y) = 0 за всички ex x e En за всяко фиксирано y e Y.

Тогава има уникална имплицитна функция x*(y), дефинирана на Y. В тази лема J(x, y) е якобианът с елементи

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Доказателството е дадено в Приложението. От горните леми следва

Теорема 2.1. Нека са изпълнени условията на леми 2.1 и 2.2. Тогава съществува единствена особена точка на DSEE (1.4) и съответно (1.1).

2.2. Локализация

Изучаването на локализацията на единична точка се разбира като възможността за установяване на интервала, в който тя се намира. Тази задача не е много проста, но за някакъв клас DSEE може да се установи такъв интервал.

Нека се обърнем към първата група уравнения в (2.1) и да ги представим във формата

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

където y- и y+ са определени от равенства (2.12), (2.13).

Теорема 2.2. Нека векторната функция L(x,y) е непрекъснато диференцируема и монотонно нарастваща и в двете променливи, т.е.

--> 0, --> 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Тогава решението на системата (2.16) по отношение на променливата x принадлежи на интервала (2.17) xmin x x x xmax,

а) векторите xmin, xmax имат формата

Мин \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^;

6) x- и x+ - компоненти на решението на следните уравнения

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

с oo m разбира се.

Доказателството на теоремата е дадено в приложението.

3. Устойчивост на DSEA "в малкото"

3.1. DSEE с разделим поток Нека се обърнем към уравненията на DSEE с разделим поток, като ги представим във формата:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Тук стойностите на компонентите на векторната функция q(x) принадлежат на множеството Q (1.3), (n × w)-матрицата B има общ ранг, равен на n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Нека разглежданата система има особена точка x. За да проучим стабилността на тази особена точка "в малкото" ние изграждаме линеаризирана система

където A е (n x n)-матрица, чиито елементи се изчисляват в точката x, а векторът t = x - x. Съгласно първото уравнение в (3.1), матрицата на линеаризираната система има

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x = g (x),

| 3 = 1, w, k = 1,

I k = 1, g, I = 1, стр

От (3.1) се определят елементите на матрицата Yr: dy.

"bkz P" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

За да определим елементите на матрицата Zx, се обръщаме към последната група уравнения в (3.1). B показва, че тези уравнения дефинират неявна векторна функция r(x), която е непрекъснато диференцируема, ако векторната функция g(x) е непрекъснато диференцируема. Якобианът Zx на векторната функция z(x) се дефинира от уравнението

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

От това уравнение имаме (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Заместване на този резултат в равенство (3.3). получаваме:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) = VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Така уравнението на линеаризираната система приема формата

(c.i) | = (j+p)e

Тук елементите на матриците J, P се изчисляват в особена точка. Достатъчните условия за стабилност "в малкия" DSEE (3.1) се определят от следното

Теорема 3.1. DSEE (3.1) има особена точка x, която е стабилна "в малкото", ако са изпълнени следните условия:

а) матриците J, P (3.10) на линеаризираната система (3.11) имат реални и различни собствени стойности, а матрицата J има максимална собствена стойност

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

От тази теорема и равенство (3.10) следва, че за единични точки, за които Qx(x) = 0 и (или) за X, = 0 и tkj ^ 1 за всички ex k,j, достатъчните условия на теоремата не са удовлетворен.

3.2. DSEE с мултипликативен поток Помислете за уравнения (1.6). представяйки ги във формата:

X® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

системи. Ще има:

(3.13)

В този израз, diag C] е диагонална матрица с положителни елементи a1,..., an, Yr, Zx са матрици, определени от равенства (3.4)-(3.7).

Представяме матрицата A във формата

(3.14) A = diag + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Означаваме: maxi ai = nmax и wmax е максималната собствена стойност на матрицата P(x) (3.15). Тогава теорема 3.1 е валидна и за DSEE (1.6). (3.12).

4. Устойчивост на DSEA "в голямото"

Нека се обърнем към DESO уравненията (1.4), в които стойностите на компонентите на векторната функция q(x) принадлежат на множеството Q (1.3). В разглежданата система има особена точка Z, към която векторите z(x) = z ^ z-> 0 и

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Нека въведем векторите на отклонение £, C, П от особената точка: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ЖЕЖЕРУН А.А., ПОКРОВСКИЙ А.В. - 2009 г

Въведение

Тъй като концепцията за нелинейна динамична система е достатъчно богата, за да покрие изключително широк спектър от процеси, при които бъдещото поведение на системата се определя от миналото, методите за анализ, разработени в тази област, са полезни в огромно разнообразие от контексти.

Нелинейната динамика навлиза в литературата поне по три начина. Първо, има случаи, при които експериментални данни за промяната във времето на една или повече величини се събират и анализират с помощта на техники, базирани на нелинейна динамична теория, с минимални предположения за основните уравнения, които управляват процеса, който произвежда данните. Тоест, това е случай, в който човек се стреми да намери корелации в данните, които могат да ръководят разработването на математически модел, вместо първо да отгатват модела и след това да го сравняват с данните.

На второ място, има случаи, когато нелинейната динамична теория може да се използва, за да се заяви, че някакъв опростен модел трябва да демонстрира важни характеристики на дадена система, което предполага, че описващият модел може да бъде построен и изследван в широк диапазон от параметри. Това често води до модели, които се държат качествено различно при различни параметри и демонстрират, че един регион проявява поведение, което е много подобно на поведението, наблюдавано в реалната система. В много случаи поведението на модела е доста чувствително към промените в параметрите, така че ако параметрите на модела могат да бъдат измерени в реална система, моделът проявява реалистично поведение при тези стойности и може да сме сигурни, че моделът улавя основните характеристики на системата.

На трето място, има случаи, когато моделните уравнения се изграждат на базата на подробни описания на известна физика. След това числените експерименти могат да предоставят информация за променливи, които не са достъпни за физически експерименти.

Въз основа на втория път, тази работа е продължение на предишната ми работа „Нелинеен динамичен модел на взаимозависимите индустрии“, както и друга работа (Дмитриев, 2015)

Всички необходими определения и друга теоретична информация, необходима в работата, ще се появят в първата глава, ако е необходимо. Тук ще бъдат дадени две дефиниции, които са необходими за разкриването на самата изследователска тема.

Първо, нека дефинираме системната динамика. Според една от дефинициите системната динамика е подход за симулационно моделиране, който благодарение на своите методи и инструменти помага да се оцени структурата на сложните системи и тяхната динамика (Щерман). Струва си да добавим, че системната динамика също е техника за моделиране, която се използва за пресъздаване на правилни (по отношение на точност) компютърни модели за сложни системи за тяхното бъдещо използване с цел създаване на по-ефективна компания/организация, както и подобряване на методите за взаимодействие с тази система. По-голямата част от нуждата от системна динамика възниква, когато се сблъскате с дългосрочни, стратегически модели и също така си струва да се отбележи, че тя е доста абстрактна.

Говорейки за нелинейна диференциална динамика, ще разгледаме нелинейна система, която по дефиниция е система, в която промяната в резултата не е пропорционална на промяната във входните параметри и в която функцията описва зависимост на промяната във времето и позицията на точка в пространството (Boeing, 2016).

Въз основа на горните дефиниции става ясно, че тази работа ще разгледа различни нелинейни диференциални системи, които описват взаимодействието на компаниите, както и симулационни модели, изградени на тяхна основа. Въз основа на това ще се определи целта на работата.

По този начин, целта на тази работа е да се извърши качествен анализ на динамични системи, които описват взаимодействието на компаниите в първо приближение и да се изгради симулационен модел въз основа на тях.

За постигането на тази цел бяха определени следните задачи:

Определяне на стабилността на системата.

Изграждане на фазови портрети.

Намиране на интегрални траектории на системите.

Изграждане на симулационни модели.

Всяка от тези задачи ще бъде посветена на един от разделите на всяка от главите на работата.

Въз основа на практика, изграждането на фундаментални математически структури, които ефективно моделират динамиката в различни физически системи и процеси, показва, че съответният математически модел до известна степен отразява близостта до изследвания оригинал, когато неговите характерни черти могат да бъдат извлечени от свойствата и структури от типа движение, което формира динамиката на системата. Към днешна дата икономическата наука е на етап от своето развитие, в който особено ефективно се използват нови, а в много случаи и нестандартни методи и методи за физико-математическо моделиране на икономическите процеси. От тук следва изводът за необходимостта от създаване, проучване и изграждане на модели, които по някакъв начин да опишат икономическата ситуация.

Що се отнася до причината за избора на качествен, а не на количествен анализ, заслужава да се отбележи, че в по-голямата част от случаите резултатите и заключенията от качествен анализ на динамични системи се оказват по-значими от резултатите от техния количествен анализ. При такава ситуация е уместно да се посочи изявленията на В.П. Милованов, в който заявява, че традиционно смятат, че очакваните резултати при прилагането на математически методи за анализ на реални обекти трябва да се сведат до числен резултат. В този смисъл качествените методи имат малко по-различна задача. Той се фокусира върху постигането на резултат, който описва качеството на системата, върху търсенето на характерни черти на всички явления като цяло, върху прогнозирането. Разбира се, важно е да се разбере как ще се промени търсенето, когато цените за определен вид стоки се променят, но не забравяйте, че е много по-важно да разберете дали при такива условия ще има недостиг или излишък на тези стоки (Дмитриев , 2016).

Обект на това изследване е нелинейна диференциална и системна динамика.

В случая предмет на изследване е описанието на процеса на взаимодействие между фирмите чрез нелинейна диференциална и системна динамика.

Говорейки за практическото приложение на изследването, си струва незабавно да го разделите на две части. А именно теоретичен, тоест качествен анализ на системите, и практически, в който ще се разглежда изграждането на симулационни модели.

Теоретичната част на това изследване предоставя основни понятия и явления. Той разглежда прости диференциални системи, както в трудовете на много други автори (Teschl, 2012; Nolte, 2015), но в същото време позволява да се опише взаимодействието между компаниите. Въз основа на това в бъдеще ще бъде възможно да се провеждат по-задълбочени проучвания или да започнете да се запознавате с това, което представлява качествен анализ на системите.

Практическата част от работата може да се използва за създаване на система за подкрепа на вземане на решения. Система за подкрепа на вземане на решения – автоматизирана информационна система, насочена към подпомагане на бизнеса или вземането на решения в една организация, позволяваща ви да избирате между много различни алтернативи (Keen, 1980). Дори и моделите да не са много точни в момента, но като ги смените за конкретна фирма, можете да постигнете по-точни резултати. По този начин, когато променяте в тях различни параметри и условия, които могат да възникнат на пазара, можете да получите прогноза за бъдещето и предварително да вземете по-изгодно решение.

1. Взаимодействие на компаниите в условията на мутуализъм

Документът ще представи двуизмерни системи, които са доста прости в сравнение със системи от по-висок порядък, но в същото време ни позволяват да демонстрираме връзките между организациите, от които се нуждаем.

Струва си да започнете работа с избора на типа взаимодействие, което ще бъде описано в бъдеще, тъй като за всеки от видовете системите, които ги описват, са, макар и леко, различни. Фигура 1.1 показва класификацията на Юджим Одум за взаимодействие на населението, модифицирана за икономическо взаимодействие (Одум, 1968), въз основа на която по-нататък ще разгледаме взаимодействието на компаниите.

Фигура 1.1. Видове взаимодействие между предприятията

Въз основа на фигура 1.1, ние отделяме 4 типа взаимодействие и представяме за всеки от тях система от уравнения, описваща ги на базата на модела на Малтус (Malthus, 1798). Според него темпът на растеж е пропорционален на текущото изобилие на вида, с други думи, може да се опише със следното диференциално уравнение:

където a е параметър, който зависи от естествения прираст на населението. Също така си струва да се добави, че в системите, разгледани по-долу, всички параметри, както и променливите, приемат неотрицателни стойности.

Производството на суровини е производството на продукти, което е подобно на модела хищник-плячка. Моделът хищник-плячка, известен също като моделът на Лотка-Волтера, е двойка нелинейни диференциални уравнения от първи ред, описващи динамиката на биологична система с два вида, единият от които е хищник, а другият е плячка (Llibre , 2007). Промяната в изобилието на тези видове се описва със следната система от уравнения:

(1.2)

където - характеризира нарастването на производството на първото предприятие без влиянието на второто (при модела хищник-плячка, нарастването на популацията плячка без хищници),

Характеризира растежа на производството на второто предприятие без влиянието на първото (нарастване на популацията на хищници без плячка),

Той характеризира растежа на производството на първото предприятие, като се отчита влиянието на второто предприятие върху него (увеличаване на броя на плячката при взаимодействие с хищници),

Той характеризира растежа на производството на второто предприятие, като се отчита влиянието на първото предприятие върху него (увеличаване на броя на хищниците по време на взаимодействието им с жертвите).

От една страна, хищникът, както се вижда от системата, както и от класификацията на Одум, тяхното взаимодействие налага благоприятен ефект. От друга неблагоприятна. Ако се разглежда в икономическите реалности, тогава, както се вижда на фигурата, най-простият аналог е производителят и неговият доставчик на ресурси, които съответстват съответно на хищника и плячката. По този начин, при липса на суровини, производството намалява експоненциално.

Конкуренцията е съперничество между два или повече (в нашия случай разглеждаме двуизмерни системи, така че вземаме точно конкуренция от два вида) вида, икономически групи за територии, ограничени ресурси или други ценности (Elton, 1968). Промените в броя на видовете или броя на продуктите в нашия случай се описват от системата по-долу:

(1.3)

В този случай видовете или компаниите, които произвеждат един продукт, си влияят неблагоприятно. Тоест при липса на конкурент растежът на продукта ще се увеличи експоненциално.

Сега нека преминем към симбиотично взаимодействие, при което и двете предприятия имат положително влияние едно върху друго. Да започнем с взаимността. Мутуализмът е вид взаимоотношения между различни видове, при които всеки от тях се възползва от действията на другия и си струва да се отбележи, че присъствието на партньор е необходимо условие за съществуване (Томпсън, 2005). Този тип връзка се описва от системата:

(1.4)

Тъй като взаимодействието между компаниите е необходимо за тяхното съществуване, при липса на продукт на една компания, продукцията на стоките на друга намалява експоненциално. Това е възможно, когато компаниите просто нямат други алтернативи за доставка.

Помислете за друг тип симбиотично взаимодействие, протокооперация. Прото-кооперирането е подобно на мутуализма, с единственото изключение, че няма нужда от съществуване на партньор, тъй като например има други алтернативи. Тъй като са сходни, техните системи изглеждат почти идентични една с друга:

(1.5)

По този начин липсата на продукт на една компания не пречи на растежа на продукта на друга компания.

Разбира се, освен изброените в параграфи 3 и 4, могат да се отбележат и други видове симбиотични взаимоотношения: коменсализъм и аменсализъм (Хански, 1999). Но те няма да бъдат споменавани по-нататък, тъй като в коменсализма единият от партньорите е безразличен към взаимодействието му с другия, но ние все пак разглеждаме случаи, когато има влияние. И аменсализмът не се разглежда, защото от икономическа гледна точка такива отношения, когато тяхното взаимодействие вреди на единия, а другият е безразличен, просто не могат да съществуват.

Въз основа на влиянието на компаниите една върху друга, а именно факта, че симбиотичните взаимоотношения водят до устойчиво съвместно съществуване на компаниите, в тази статия ще разгледаме само случаите на взаимност и прото-коопериране, тъй като и в двата случая взаимодействието е от полза за всички.

Тази глава е посветена на взаимодействието на компаниите в условията на мутуализъм. Той ще разгледа две системи, които са по-нататъшно развитие на системи, базирани на модела на Малтус, а именно системи с наложени ограничения за увеличаване на производството.

Динамиката на двойка, свързана с взаимовръзки, както бе споменато по-горе, може да бъде описана в първо приближение от системата:

(1.6)

Вижда се, че при голямо първоначално количество продукция системата нараства неограничено, а при малко производство спада. Тук се крие неправилността на билинейното описание на ефекта, произтичащ от мутуализма. За да се опитаме да коригираме картината, въвеждаме фактор, наподобяващ насищането на хищник, тоест фактор, който ще намали темпа на растеж на производството, ако е в излишък. В този случай стигаме до следната система:

(1.7)

където е ръстът в производството на продукта на първата фирма при взаимодействието й с втората, като се вземе предвид насищането,

Ръст в производството на продукта на втората компания при взаимодействието й с първата, като се вземе предвид насищането,

Коефициенти на насищане.

Така получаваме две системи: Малтузианският модел на растеж със и без насищане.

1.1 Стабилност на системите в първо приближение

Стабилността на системите в първо приближение се разглежда в много чуждестранни (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 и др.) и рускоезични трудове (Ahromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich; 1967; Красовски, 1959 и др.), а дефинирането му е основна стъпка за анализиране на процесите, протичащи в системата. За да направите това, изпълнете следните необходими стъпки:

Нека намерим точките на равновесие.

Нека намерим матрицата на Якоби на системата.

Намерете собствените стойности на матрицата на Якоби.

Ние класифицираме точките на равновесие според теоремата на Ляпунов.

След като разгледахме стъпките, си струва да се спрем на тяхното обяснение по-подробно, така че ще дам определения и ще опиша методите, които ще използваме във всяка от тези стъпки.

Първата стъпка, търсенето на точки на равновесие. За да ги намерим, приравняваме всяка функция на нула. Тоест решаваме системата:

където a и b означават всички параметри на уравнението.

Следващата стъпка е намирането на матрицата на Якоби. В нашия случай това ще бъде матрица 2 по 2 с първи производни в даден момент, както е показано по-долу:

След завършване на първите две стъпки преминаваме към намиране на корените на следното характеристично уравнение:

Където точката съответства на точките на равновесие, намерени в първата стъпка.

След като намерихме и , преминаваме към четвъртата стъпка и използваме следните теореми на Ляпунов (Parks, 1992):

Теорема 1: Ако всички корени на характеристичното уравнение имат отрицателна реална част, тогава равновесната точка, съответстваща на оригиналната и линеаризираната системи, е асимптотично стабилна.

Теорема 2: Ако поне един от корените на характеристичното уравнение има положителна реална част, тогава равновесната точка, съответстваща на оригиналната и линеаризираната системи, е асимптотично нестабилна.

Също така, като се погледне и е възможно да се определи по-точно вида стабилност, въз основа на разделението, показано на фигури 1.2 (Университет Ламар).

Фигура 1.2. Видове стабилност на точките на равновесие

След като разгледахме необходимата теоретична информация, се обръщаме към анализа на системите.

Помислете за система без насищане:

Той е много прост и не е подходящ за практическа употреба, тъй като няма ограничения. Но като първи пример за системен анализ е подходящ за разглеждане.

Първо, нека намерим точките на равновесие, като приравним дясната страна на уравненията на нула. По този начин намираме две точки на равновесие, нека ги наречем A и B: .

Нека комбинираме стъпката с търсенето на матрицата на Якоби, корените на характеристичното уравнение и определянето на вида на стабилност. Тъй като те са елементарни, веднага получаваме отговора:

1. В точката , , има стабилен възел.

в точката: ... седло.

Както вече писах, тази система е твърде тривиална, така че не се изискваше обяснение.

Сега нека анализираме системата от насищане:

(1.9)

Появата на ограничение за взаимното насищане на продукти от предприятията ни приближава до реалната картина на случващото се, а също така леко усложнява системата.

Както и преди, ние приравняваме правилните части на системата към нула и решаваме получената система. Точката остава непроменена, но другата точка в този случай съдържа повече параметри от преди: .

В този случай матрицата на Якоби приема следната форма:

Извадете от него идентичната матрица, умножена по , и приравнете детерминантата на получената матрица в точки A и B на нула.

В точката на подобна ранна снимка:

стабилен възел.

Но в момента всичко е малко по-сложно и въпреки че математиката все още е доста проста, сложността причинява неудобството при работа с дълги буквални изрази. Тъй като стойностите се оказват доста дълги и неудобно записани, те не са дадени, достатъчно е да се каже, че в този случай, както и при предишната система, полученият тип стабилност е седло.

2 Фазови портрети на системи

По-голямата част от нелинейните динамични модели са сложни диференциални уравнения, които или не могат да бъдат решени, или това е някаква сложност. Пример е системата от предишния раздел. Въпреки очевидната простота, намирането на вида на стабилност във втората точка на равновесие не беше лесна задача (макар и не от математическа гледна точка) и с увеличаване на параметрите, ограниченията и уравненията за увеличаване на броя на взаимодействащите предприятия, сложността само ще се увеличава. Разбира се, ако параметрите са числови изрази, тогава всичко ще стане невероятно просто, но тогава анализът по някакъв начин ще загуби всякакъв смисъл, защото в крайна сметка ще можем да намерим точки на равновесие и да открием техните типове стабилност само за определен случай, а не общ.

В такива случаи си струва да запомните фазовата равнина и фазовите портрети. В приложната математика, по-специално в контекста на анализа на нелинейните системи, фазовата равнина е визуално представяне на определени характеристики на определени видове диференциални уравнения (Nolte, 2015). Координатната равнина с оси на стойности на всяка двойка променливи, характеризиращи състоянието на системата, е двумерен случай на общо n-мерно фазово пространство.

Благодарение на фазовата равнина е възможно графично да се определи съществуването на гранични цикли в решенията на диференциално уравнение.

Решенията на диференциално уравнение са семейство от функции. Графично това може да бъде начертано във фазовата равнина като двумерно векторно поле. На равнината са начертани вектори, представляващи производни в характерни точки по отношение на някакъв параметър, в нашия случай по отношение на времето, тоест (). С достатъчно от тези стрелки в една област, поведението на системата може да се визуализира и пределните цикли могат лесно да бъдат идентифицирани (Boeing, 2016).

Векторното поле е фазов портрет, определен път по протежение на линията на потока (тоест път, който винаги се допира до векторите) е фазов път. Потоците във векторно поле показват промяната в системата във времето, описана с диференциално уравнение (Jordan, 2007).

Струва си да се отбележи, че фазов портрет може да бъде изграден дори без решаване на диференциалното уравнение и в същото време добрата визуализация може да предостави много полезна информация. Освен това в момента има много програми, които могат да помогнат при изграждането на фазови диаграми.

По този начин фазовите равнини са полезни за визуализиране на поведението на физическите системи. По-специално, осцилаторни системи, като вече споменатия по-горе модел хищник-плячка. В тези модели фазовите траектории могат да се „завиват“ към нула, да „излизат от спирала“ до безкрайност или да достигнат до неутрална стабилна ситуация, наречена центрове. Това е полезно при определяне дали динамиката е стабилна или не (Jordan, 2007).

Фазовите портрети, представени в този раздел, ще бъдат изградени с помощта на инструменти WolframAlpha или ще бъдат предоставени от други източници. Малтузиански модел на растеж без насищане.

Нека изградим фазов портрет на първата система с три набора от параметри, за да сравним тяхното поведение. Набор A ((1,1), (1,1)), който ще бъде наричан единичен набор, набор B ((10,0.1), (2,2)), когато е избран, системата изпитва рязко спад в производството и множеството C ((1,10), (1,10)), за което, напротив, настъпва рязък и неограничен растеж. Трябва да се отбележи, че стойностите по осите във всички случаи ще бъдат в едни и същи интервали от -10 до 10, за удобство при сравняване на фазовите диаграми една с друга. Разбира се, това не се отнася за качествен портрет на системата, чиито оси са безразмерни.

Фигура 1.3 Фазов портрет с параметри A

диференциално гранично уравнение на взаимността

Фигура 1.3 по-горе показва фазовите портрети на системата за трите определени набора от параметри, както и фазовия портрет, описващ качественото поведение на системата. Не забравяйте, че най-важното от практическа гледна точка е първото тримесечие, тъй като количеството производство, което може да бъде само неотрицателно, е нашите оси.

На всяка от фигурите ясно се вижда стабилността в точката на равновесие (0,0). И на първата фигура „седловата точка“ също се забелязва в точката (1,1), с други думи, ако заменим стойностите на набора от параметри в системата, тогава в точката на равновесие B. Когато границите на сградата на модела се променят, седловината се намира и на други фазови портрети.

Малтузиански модел на растеж от насищане.

Нека построим фазови диаграми за втората система, в която има насищане, с три нови набора от стойности на параметрите. Набор A, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), набор B ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) и набор C ((20,1,100), (20,1,100 )).

Фигура 1.4. Фазов портрет с параметри А

Както можете да видите, за всеки набор от параметри точката (0,0) е равновесна, а също и стабилна. Също така на някои фигури можете да видите седловина.

В този случай бяха разгледани различни скали, за да се демонстрира по-ясно, че дори когато към системата се добави фактор на насищане, качествената картина не се променя, тоест само насищането не е достатъчно. Трябва да се има предвид, че на практика компаниите се нуждаят от стабилност, тоест ако разглеждаме нелинейни диференциални уравнения, тогава ние се интересуваме най-много от точките на стабилно равновесие, а в тези системи само нулевите точки са такива точки, което означава че подобни математически модели очевидно не са подходящи за предприятия. В крайна сметка това означава, че само при нулево производство компаниите са в стабилност, което явно се различава от реалната картина на света.

В математиката интегралната крива е параметрична крива, която представлява конкретно решение на обикновено диференциално уравнение или система от уравнения (Lang, 1972). Ако диференциалното уравнение е представено като векторно поле, тогава съответните интегрални криви са допирателни към полето във всяка точка.

Интегралните криви са известни и с други имена, в зависимост от естеството и интерпретацията на диференциалното уравнение или векторното поле. Във физиката интегралните криви за електрическо поле или магнитно поле са известни като силови линии, а интегралните криви за поле на скоростта на флуида са известни като линии на тока. В динамичните системи интегралните криви за диференциално уравнение се наричат ​​траектории.

Фигура 1.5. Интегрални криви

Решенията на която и да е от системите също могат да се разглеждат като уравнения на интегрални криви. Очевидно всяка фазова траектория е проекция на някаква интегрална крива в пространството x,y,t върху фазовата равнина.

Има няколко начина за изграждане на интегрални криви.

Един от тях е методът на изоклина. Изоклина е крива, преминаваща през точки, в които наклонът на разглежданата функция винаги ще бъде един и същ, независимо от началните условия (Хански, 1999).

Често се използва като графичен метод за решаване на обикновени диференциални уравнения. Например, в уравнение от вида y "= f (x, y), изоклините са линии в равнината (x, y), получени чрез приравняване на f (x, y) към константа. Това дава поредица от линии ( за различни константи), по които решенията на кривите имат един и същ градиент. Чрез изчисляване на този градиент за всяка изоклина, полето на наклона може да се визуализира, което прави сравнително лесно да се начертаят приблизителни криви на решение. Фигурата по-долу показва пример за използване на метода на изоклина .

Фигура 1.6. Изоклин метод

Този метод не изисква компютърни изчисления и беше много популярен в миналото. Сега има софтуерни решения, които ще изградят интегрални криви на компютрите изключително точно и бързо. Въпреки това, методът на изоклина се е показал добре като инструмент за изследване на поведението на решенията, тъй като позволява да се покажат областите на типично поведение на интегралните криви.

Малтузиански модел на растеж без насищане.

Нека започнем с факта, че въпреки съществуването на различни методи на конструиране, не е толкова лесно да се покажат интегралните криви на система от уравнения. Методът на изоклина, споменат по-рано, не е подходящ, тъй като работи за диференциални уравнения от първи ред. А софтуерните инструменти, които имат способността да начертават такива криви, не са публично достояние. Например Wolfram Mathematica, който е способен на това, е платен. Затова ще се опитаме да използваме възможно най-много възможностите на Wolfram Alpha, работата с които е описана в различни статии и произведения (Orca, 2009). Дори въпреки факта, че картината очевидно няма да бъде напълно надеждна, но поне ще ви позволи да покажете зависимостта в равнините (x, t), (y, t). Първо, нека решим всяко от уравненията за t. Тоест ние извеждаме зависимостта на всяка от променливите по отношение на времето. За тази система получаваме:

(1.10)

(1.11)

Уравненията са симетрични, така че разглеждаме само едно от тях, а именно x(t). Нека константата е равна на 1. В този случай ще използваме функцията за изобразяване.

Фигура 1.7. Триизмерен модел за уравнение (1.10)

Малтузиански модел на растеж от насищане.

Нека направим същото с другия модел. В крайна сметка получаваме две уравнения, които демонстрират зависимостта на променливите от времето.

(1.12)

(1.13)

Нека отново изградим триизмерен модел и нивелирни линии.

Фигура 1.8. Триизмерен модел за уравнение (1.12)

Тъй като стойностите на променливите са неотрицателни, тогава във дроба с експонента получаваме отрицателно число. По този начин интегралната крива намалява с времето.

По-рано беше дадена дефиниция на системната динамика, за да се разбере същността на работата, но сега нека се спрем на това по-подробно.

Системната динамика е методология и метод за математическо моделиране за формиране, разбиране и обсъждане на сложни проблеми, първоначално разработена през 50-те години на миналия век от Джей Форестър и описана в неговата работа (Forrester, 1961).

Системната динамика е един от аспектите на теорията на системите като метод за разбиране на динамичното поведение на сложни системи. Основата на метода е признаването, че структурата на всяка система се състои от множество връзки между нейните компоненти, които често са също толкова важни при определянето на нейното поведение, колкото и самите отделни компоненти. Примери са теорията на хаоса и социалната динамика, описани в трудовете на различни автори (Гребоги, 1987; Зонтаг, 1998; Кузнецов, 2001; Табор, 2001). Също така се твърди, че тъй като свойствата на цялото цяло често не могат да бъдат намерени в свойствата на елемента, в някои случаи поведението на цялото не може да бъде обяснено от гледна точка на поведението на частите.

Симулацията може наистина да покаже пълното практическо значение на динамичната система. Въпреки че е възможно в електронни таблици, има много софтуерни пакети, които са оптимизирани специално за тази цел.

Самото моделиране е процесът на създаване и анализиране на прототип на физически модел, за да се предскаже неговото представяне в реалния свят. Симулационното моделиране се използва, за да помогне на дизайнерите и инженерите да разберат при какви условия и в какви случаи даден процес може да се провали и какви натоварвания може да издържи (Khemdy, 2007). Моделирането може също да помогне за прогнозиране на поведението на флуидни потоци и други физически явления. Моделът анализира приблизителните работни условия, дължащи се на приложения софтуер за симулация (Строгалев, 2008).

Ограниченията на възможностите на симулационното моделиране имат обща причина. Построяването и численото изчисление на точен модел гарантира успех само в онези области, където има точна количествена теория, т.е. когато са известни уравненията, описващи определени явления, и задачата е само тези уравнения да се решат с необходимата точност. В области, където няма количествена теория, изграждането на точен модел е с ограничена стойност (Базыкин, 2003).

Възможностите за моделиране обаче не са неограничени. На първо място, това се дължи на факта, че е трудно да се оцени обхватът на приложимост на симулационния модел, по-специално периодът от време, за който прогнозата може да бъде изградена с необходимата точност (Закон, 2006). Освен това, по своята същност симулационният модел е обвързан с конкретен обект и когато се опитва да го приложи към друг, дори подобен обект, той изисква радикална корекция или поне значителна модификация.

Има обща причина за съществуването на ограничения върху симулацията. Построяването и численото изчисление на „точен” модел е успешно само ако съществува количествена теория, тоест само ако всички уравнения са известни и проблемът се свежда само до решаването на тези уравнения с определена точност (Базыкин, 2003).

Но въпреки това симулационното моделиране е отличен инструмент за визуализиране на динамични процеси, което позволява с повече или по-малко правилен модел да се вземат решения въз основа на неговите резултати.

В тази работа системните модели ще бъдат изградени с помощта на инструментите за системна динамика, предлагани от програмата AnyLogic.

Малтузиански модел на растеж без насищане/

Преди изграждането на модел е необходимо да разгледаме елементите на системната динамика, които ще използваме и да ги свържем с нашата система. Следните дефиниции са взети от помощната информация на програмата AnyLogic.

Задвижването е основният елемент на диаграмите на системната динамика. Използват се за представяне на обекти от реалния свят, в които се натрупват определени ресурси: пари, вещества, множество групи хора, някои материални обекти и др. Акумулаторите отразяват статичното състояние на симулираната система и техните стойности се променят с течение на времето в съответствие с потоците, съществуващи в системата. От това следва, че динамиката на системата се определя от потоците. Потоците, влизащи и излизащи от акумулатора, увеличават или намаляват стойностите на акумулатора.

Потокът, както и гореспоменатото задвижване, е основният елемент на системно-динамичните диаграми.

Докато контейнерите определят статичната част на системата, потоците определят скоростта на промяна на кошчетата, тоест как запасите се променят във времето и по този начин определят динамиката на системата.

Агентът може да съдържа променливи. Променливите обикновено се използват за моделиране на променящите се характеристики на агент или за съхраняване на резултатите от модела. Обикновено динамичните променливи се състоят от акумулаторни функции.

Агентът може да има параметри. Параметрите често се използват за представяне на някои от характеристиките на моделирания обект. Те са полезни, когато екземпляри на обект имат същото поведение, както е описано в класа, но се различават по стойности на някои параметри. Има ясна разлика между променливи и параметри. Променливата представлява състоянието на модела и може да се промени по време на симулация. Параметърът обикновено се използва за статично описание на обекти. По време на едно "провеждане" на модела, параметърът обикновено е константа и се променя само когато поведението на модела трябва да бъде преконфигурирано.

Връзката е елемент от системната динамика, който се използва за определяне на връзката между елементите на блок диаграмата и акумулаторите. Тя не създава автоматично връзки, а принуждава потребителя изрично да ги начертае в графичния редактор (все пак си струва да се отбележи че AnyLogic също поддържа механизъм за бързо задаване на липсващи връзки). Като пример, ако някой елемент от A е споменат в уравнението или първоначалната стойност на елемент B, тогава първо трябва да свържете тези елементи с връзка, минаваща от A към B, и едва след това да въведете израза в свойствата на B .

Има някои други елементи от системната динамика, но те няма да бъдат включени в хода на работата, така че ще ги пропуснем.

Като начало нека разгледаме от какво ще се състои моделът на системата (1.4).

Първо, веднага маркираме две устройства, които ще съдържат стойностите на количеството продукция на всяко от предприятията.

Второ, тъй като във всяко уравнение имаме два члена, получаваме два потока към всяко от устройствата, единият входящ, другият изходящи.

Трето, преминаваме към променливи и параметри. Има само две променливи. X и Y, отговорни за растежа на производството. Имаме и четири варианта.

Четвърто, по отношение на връзките, всеки от потоците трябва да бъде свързан с променливите и параметрите, включени в уравнението на потока, и двете променливи трябва да бъдат свързани с акумулатори, за да променят стойността във времето.

Ще оставим подробно описание на изграждането на модел, като пример за работа в средата за моделиране на AnyLogic, за следващата система, тъй като тя е малко по-сложна и използва повече параметри, и веднага ще продължим да разглеждаме готовата версия на система.

Фигура 1.9 по-долу показва конструирания модел:

Фигура 1.9. Модел на системната динамика за система (1.4)

Всички елементи на системната динамика съответстват на описаните по-горе, т.е. две устройства, четири потока (два входящи, два изходящи), четири параметъра, две динамични променливи и необходимите връзки.

Фигурата показва, че колкото повече продукти, толкова по-силен е растежът му, което води до рязко увеличаване на броя на стоките, което съответства на нашата система. Но както беше споменато по-рано, липсата на ограничения за този растеж не позволява прилагането на този модел на практика.

Малтузиански модел на растеж от насищане/

Имайки предвид тази система, нека се спрем на конструкцията на модела по-подробно.

Първата стъпка е да добавите две устройства, нека ги наречем X_stock и Y_stock. Нека зададем на всеки от тях начална стойност, равна на 1. Забележете, че при липса на потоци няма нищо в класическо даденото уравнение за съхранение.

Фигура 1.10. Изграждане на системен модел (1.9)

Следващата стъпка е добавяне на нишки. Нека изградим входящ и изходящ поток за всяко устройство с помощта на графичен редактор. Не трябва да забравяме, че един от ръбовете на потока трябва да е в устройството, в противен случай те няма да бъдат свързани.

Можете да видите, че уравнението за устройството е зададено автоматично, разбира се, потребителят може да го напише сам, като избере режим на „произволно“ уравнение, но най-лесният начин е да оставите това действие на програмата.

Нашата трета стъпка е да добавим шест параметъра и две динамични променливи. Нека да дадем на всеки елемент име в съответствие с неговия буквален израз в системата и също така да зададем началните стойности на параметрите, както следва: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.

Всички елементи на уравненията са налице, остава само да напишете уравненията за потоците, но за това първо трябва да добавите връзки между елементите. Например, изходящият поток, отговорен за термина, трябва да бъде свързан с e1 и x. И всяка динамична променлива трябва да бъде свързана със съответния й запас (X_stock x, Y_stock y). Създаването на връзки е подобно на добавянето на нишки.

След като създадете необходимите връзки, можете да пристъпите към писане на уравнения за потоците, което е показано на дясната фигура. Разбира се, можете да отидете в обратен ред, но ако има връзки, при писане на уравнения се появяват подсказки за заместване на необходимите параметри / променливи, което улеснява задачата в сложни модели.

След като завършите всички стъпки, можете да стартирате симулационния модел и да разгледате неговия резултат.

След като разгледахме системите от нелинейни диференциални уравнения за взаимодействието на компаниите в условията на мутуализъм, можем да направим няколко извода.

Има две състояния на системата: рязък неограничен растеж или тенденция на количеството на продукцията към нула. Кое от двете състояния ще приеме системата зависи от параметрите.

Нито един от предложените модели, включително моделът, отчитащ насищането, не е подходящ за практическа употреба, поради липсата на ненулева стабилна позиция, както и поради причините, описани в параграф 1.

В случай на опит за по-нататъшно изследване на този тип симбиотично взаимодействие, за да се създаде модел, приложим от компаниите на практика, е необходимо допълнително усложняване на системата и въвеждане на нови параметри. Например Базикин в книгата си дава пример за динамиката на две мутуалистични популации с въвеждането на допълнителен фактор на вътрешновидовата конкуренция. Поради което системата приема формата:

(1.15)

И в този случай се появява ненулева стабилна позиция на системата, отделена от нулата със „седло“, което я доближава до реалната картина на случващото се.

2. Взаимодействие на фирмите в условията на протокоопериране

Цялата основна теоретична информация беше представена в предишната глава, така че при анализа на моделите, разглеждани в тази глава, в по-голямата си част теорията ще бъде пропусната, с изключение на няколко точки, които не срещнахме в предишната глава. глава и може да има и намаляване на изчисленията. Моделът на взаимодействие между организациите, разгледан в тази глава при условия на протоколно сътрудничество, който се състои от системи от две уравнения, базирани на модела на Малтуз, изглежда като система (1.5). Анализираните в предходната глава системи показаха, че за максималното им приближаване към съществуващите модели е необходимо да се усложнят системите. Въз основа на тези констатации веднага ще добавим ограничение за растеж към модела. За разлика от предишния тип взаимодействие, когато растежът, който не зависи от друга компания, е отрицателен, в този случай всички признаци са положителни, което означава, че имаме постоянен растеж. Избягвайки недостатъците, описани по-рано, ще се опитаме да го ограничим до логистичното уравнение, известно още като уравнението на Верхулст (Gershenfeld, 1999), което има следната форма:

, (2.1)

където P е размерът на популацията, r е параметърът, показващ скоростта на растеж, K е параметърът, отговорен за максимално възможния размер на популацията. Тоест с течение на времето размерът на популацията (в нашия случай производството) ще клони към определен параметър K.

Това уравнение ще помогне за ограничаване на бурния растеж на производството, който наблюдавахме досега. Така системата приема следната форма:

(2.2)

Не забравяйте, че обемът на стоките, съхранявани в склада за всяка компания, е различен, така че параметрите, които ограничават растежа, са различни. Нека наречем тази система "", и в бъдеще ще използваме това име, когато го разглеждаме.

Втората система, която ще разгледаме, е по-нататъшното развитие на модела с ограничението Верхулст. Както в предишната глава, ние въвеждаме ограничение за насищане, след което системата ще приеме формата:

(2.3)

Сега всеки от термините има свой лимит, така че без по-нататъшен анализ може да се види, че няма да има неограничен растеж, както в моделите от предишната глава. И тъй като всеки от термините демонстрира положителен растеж, то количеството на продукцията няма да падне до нула. Нека наречем този модел „модел на протооперация с две ограничения“.

Тези два модела се обсъждат в различни източници за биологични популации. Сега ще се опитаме да разширим донякъде системите. За да направите това, помислете за следната фигура.

Фигурата показва пример за процесите на две компании: стоманодобивната и въгледобивната промишленост. И в двете предприятия се наблюдава нарастване на производството, което е независимо от другото, а също така има увеличение на производството, което се получава поради тяхното взаимодействие. Това вече сме взели предвид при по-ранните модели. Сега си струва да се обърне внимание на факта, че компаниите не само произвеждат продукти, но и ги продават, например, на пазара или на компания, която взаимодейства с него. Тези. Въз основа на логически заключения има нужда от отрицателен растеж на компаниите поради продажба на продукти (на фигурата параметрите β1 и β2 са отговорни за това), както и поради прехвърляне на част от продуктите на друго предприятие . Преди това взехме предвид само с положителен знак за друга компания, но не взехме предвид факта, че броят на продуктите намалява за първото предприятие при прехвърляне на продукти. В този случай получаваме системата:

(2.4)

И ако за термина може да се каже, че ако в предишните модели беше посочено, че характеризират естествения прираст и параметърът може да бъде отрицателен, тогава на практика няма разлика, тогава за термина това не може да се каже. Освен това, в бъдеще, когато се разглежда такава система с наложено ограничение, е по-правилно да се използват термините за положителен и отрицателен растеж, тъй като в този случай могат да бъдат наложени различни ограничения върху тях, което е невъзможно за естествените растеж. Нека го наречем "разширен модел на прото-сътрудничество".

И накрая, четвъртият модел, който се разглежда, е разширеният модел на прото-сътрудничество с по-горе споменатото ограничение за логистичен растеж. И системата за този модел е както следва:

, (2.5)

където е увеличението на производството на първото предприятие, независимо от второто, като се вземе предвид логистичното ограничение, - увеличаването на производството на първото предприятие, в зависимост от второто, като се вземе предвид логистичното ограничение, - увеличаването на производството на второто предприятие, независимо от първото, като се вземе предвид логистичното ограничение, - увеличение на производството на второто дружество, в зависимост от първото, като се вземе предвид логистичното ограничение, - потребление на стоките на първото дружество, несвързано с друго, - потребление на стоки на второто дружество, несвързано с друго , - потребление на стоки от първата индустрия от втората индустрия, - потребление на стоки от втората индустрия първа индустрия.

В бъдеще този модел ще бъде наричан „разширен протооперационен модел с логистично ограничение“.

1 Устойчивост на системите в първо приближение

Протооперационен модел с ограничение Verhulst

Методите за анализ на стабилността на системата бяха посочени в подобен раздел на предишната глава. На първо място намираме точки на равновесие. Едно от тях, както винаги, е нула. Другият е точка с координати.

За нулевата точка λ1 = , λ2 = , тъй като и двата параметъра са неотрицателни, получаваме нестабилен възел.

Тъй като не е много удобно да се работи с втората точка, поради липсата на възможност за съкращаване на израза, ще оставим определението на типа стабилност на фазовите диаграми, тъй като те ясно показват дали точката на равновесие е стабилна или не.

Анализът на тази система е по-сложен от предишния поради факта, че се добавя коефициентът на насищане, като по този начин се появяват нови параметри и при намиране на точки на равновесие ще е необходимо да се реши не линейно, а билинейно уравнение поради променливата в знаменателя. Следователно, както и в предишния случай, оставяме дефиницията на типа стабилност на фазовите диаграми.

Въпреки появата на нови параметри, Якобианът в нулевата точка, както и корените на характеристичното уравнение, изглеждат подобно на предишния модел. По този начин, в нулевата точка, нестабилен възел.

Нека да преминем към напреднали модели. Първият от тях не съдържа никакви ограничения и е под формата на система (2.4)

Нека направим промяна на променливите, , и . Нова система:

(2.6)

В този случай получаваме две точки на равновесие, точка A(0,0), B(). Точка Б се намира в първото тримесечие, тъй като променливите имат неотрицателна стойност.

За точката на равновесие А получаваме:

. - нестабилен възел

. - седло,

. - седло,

. - стабилен възел

В точка B корените на характеристичното уравнение са комплексни числа: λ1 = , λ2 = . Не можем да определим вида на стабилността, разчитайки на теоремите на Ляпунов, затова ще проведем числени симулации, които няма да покажат всички възможни състояния, но ще ни позволят да открием поне някои от тях.

Фигура 2.2. Числена симулация на търсене на типа стабилност

Имайки предвид този модел, човек ще трябва да се сблъска с изчислителни трудности, тъй като той има голям брой различни параметри, както и две ограничения.

Без да навлизаме в подробности за изчисленията, стигаме до следните точки на равновесие. Точка A(0,0) и точка B със следните координати:

(), където a =

За точка А определянето на вида на стабилност е тривиална задача. Корените на характеристичното уравнение са λ1 = , λ2 = . Така получаваме четири опции:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - нестабилен възел.

2.λ1< 0, λ2 >0 - седло.

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Говорейки за точка Б, струва си да се съгласим, че заместването на съкращения в израза за него ще усложни работата с якобиана и намирането на корените на характеристичното уравнение. Например, след като се опита да ги намери с помощта на изчислителни инструменти WolframAlpha, изходът на корените отне около пет реда, което не позволява работа с тях в буквален смисъл. Разбира се, ако вече има съществуващи параметри, изглежда възможно бързо да се намери точка на равновесие, но това е специален случай, тъй като ще намерим състоянието на равновесие, ако има такова, само за тези параметри, което не е подходящо за решението поддържаща система, за която се планира да бъде създаден моделът.

Поради сложността на работата с корените на характеристичното уравнение, ние изграждаме взаимното подреждане на нулевите изоклини по аналогия със системата, анализирана в работата на Базикин (Bazykin, 2003). Това ще ни позволи да разгледаме възможните състояния на системата и в бъдеще при конструирането на фазови портрети да намерим точки на равновесие и видове тяхната стабилност.

След някои изчисления, нулевите изоклинни уравнения приемат следната форма:

(2.7)

По този начин изоклините имат формата на параболи.

Фигура 2.3. Възможно нулево изоклинично местоположение

Общо има четири възможни случая на тяхното взаимно подреждане според броя на общите точки между параболите. Всеки от тях има свои собствени набори от параметри, а оттам и фазовите портрети на системата.

2 Фазови портрети на системи

Нека построим фазов портрет на системата, при условие че а останалите параметри са равни на 1. В този случай е достатъчен един набор от променливи, тъй като качеството няма да се промени.

Както се вижда от фигурите по-долу, нулевата точка е нестабилен възел, а втората точка, ако заменим числените стойности на параметрите, получаваме (-1,5, -1,5) - седло.

Фигура 2.4. Фазов портрет на системата (2.2)

По този начин, тъй като не трябва да настъпват промени, тогава за тази система има само нестабилни състояния, което най-вероятно се дължи на възможността за неограничен растеж.

Протооперационен модел с две ограничения.

В тази система има допълнителен ограничаващ фактор, така че фазовите диаграми трябва да се различават от предишния случай, както може да се види на фигурата. Нулевата точка също е нестабилен възел, но в тази система се появява стабилна позиция, а именно стабилен възел. С тези параметри, неговите координати (5.5,5.5), той е показан на фигурата.

Фигура 2.5. Фазов портрет на системата (2.3)

По този начин ограничението за всеки член направи възможно получаването на стабилна позиция на системата.

Разширен протооперационен модел.

Нека изградим фазови портрети за разширения модел, но веднага използвайки неговата модифицирана форма:

Нека разгледаме четири набора от параметри, като например да разгледаме всички случаи с нулева равновесна точка, както и да демонстрираме фазовите диаграми на числената симулация, използвана за ненулева точка на равновесие: множеството A(1,0.5,0.5) съответства на състоянието , набор B(1,0.5,-0.5) съответства на задайте C(-1.0.5,0.5) и задайте D(-1.0.5,-0.5) , тоест стабилен възел в нулевата точка. Първите два комплекта ще демонстрират фазовите портрети за параметрите, които разгледахме при числената симулация.

Фигура 2.6. Фазов портрет за система (2.4) с параметри А-D.

На фигурите е необходимо да се обърне внимание на точките (-1,2) и (1,-2), съответно в тях се появява „седло“. За по-подробно представяне фигурата показва различен мащаб на фигурата със седална точка (1,-2). На фигурата в точки (1,2) и (-1,-2) се вижда стабилен център. Що се отнася до нулевата точка, като се започне от фигура до фигура на фазовите диаграми, можем ясно да различим нестабилен възел, седло, седло и стабилен възел.

Разширен модел на прото-сътрудничество с логистично ограничение.

Както и в предишния модел, ние ще демонстрираме фазови портрети за четири случая на нулева точка, а също така ще се опитаме да отбележим ненулеви решения в тези диаграми. За да направите това, вземете следните набори от параметри с параметрите, посочени в следния ред (): A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2 ,1) и D (1,2,1,2). Останалите параметри за всички набори ще бъдат както следва: , .

На фигурите, представени по-долу, могат да се наблюдават четирите равновесни състояния на нулевата точка, описани в предишния раздел за тази динамична система. А също и на фигурите, стабилното положение на точка с една ненулева координата.

Фигура 2.7. Фазов портрет за система (2.5) с параметри A-B

3 Интегрални траектории на системите

Протооперационен модел с ограничение Verhulst

Както в предишната глава, ние решаваме всяко от диференциалните уравнения поотделно и изрично изразяваме зависимостта на променливите от времевия параметър.

(2.8)

(2.9)

От получените уравнения се вижда, че стойността на всяка от променливите нараства, което е демонстрирано в триизмерния модел по-долу.

Фигура 2.8. Триизмерен модел за уравнение (2.8)

Този тип графики първоначално приличат на ненаситения 3D малтузиански модел, обсъждан в глава 1, тъй като има подобен бърз растеж, но по-късно можете да видите намаляване на темпа на растеж при достигане на границата на продукцията. Така крайният вид на интегралните криви е подобен на графика на логистичното уравнение, което е използвано за ограничаване на един от термините.

Протооперационен модел с две ограничения.

Ние решаваме всяко от уравненията с помощта на инструменти Wolfram Alpha. По този начин зависимостта на функцията x(t) се свежда до следния вид:

(2.10)

За втората функция ситуацията е подобна, така че пропускаме нейното решение. Числовите стойности се появяват поради замяната на параметрите с определени подходящи стойности, което не се отразява на качественото поведение на интегралните криви. Графиките по-долу показват използването на ограничения за растеж, тъй като експоненциалният растеж става логаритмичен с течение на времето.

Фигура 2.9. Триизмерен модел за уравнение (2.10)

Разширен протооперационен модел

Почти подобно на моделите с мутуализъм. Единствената разлика е в по-бързия растеж спрямо тези модели, което може да се види от уравненията по-долу (ако погледнете степента на експонента) и графиките. Интегралната крива трябва да има формата на експонента.

(2.11)

(2.12)

Разширен модел на прото-сътрудничество с логистично ограничение

Зависимостта x(t) изглежда така:

Без графика е трудно да се оцени поведението на функцията, така че използвайки вече познатите ни инструменти, ще я изградим.

Фигура 2.10 3D модел за уравнение

Стойността на функцията намалява за немалки стойности на друга променлива, което се дължи на липсата на ограничения върху отрицателния билинеен член и е очевиден резултат

4 Системна динамика на взаимодействащите фирми

Протооперационен модел с ограничение Verhulst.

Нека построим система (2.2). Използвайки вече познатите ни инструменти, изграждаме симулационен модел. Този път, за разлика от мутуалистичните модели, моделът ще има логистично ограничение.

Фигура 2.11. Модел на системната динамика за система (2.2)

Нека стартираме модела. В този модел си струва да се отбележи фактът, че растежът от връзката не е ограничен от нищо, а растежът на продукцията без влиянието на другия има специфично ограничение. Ако погледнете израза на самата логистична функция, можете да видите, че в случай, че променливата (брой стоки) надвишава максималния възможен обем на съхранение, терминът става отрицателен. В случай, че има само логистична функция, това е невъзможно, но с допълнителен винаги положителен растежен фактор това е възможно. И сега е важно да се разбере, че логистичната функция ще се справи със ситуацията на не твърде бърз растеж на броя на продуктите, например линейни. Нека да разгледаме снимките по-долу.

Фигура 2.12. Пример за работа на модела на системната динамика за система (2.2)

Лявата фигура показва 5-та стъпка от програмата, съответстваща на предложения модел. Но в момента си струва да се обърне внимание на правилната фигура.

Първо, за един от входящите потоци за Y_stock, връзката към x, изразена чрез , е премахната. Това се прави, за да се покаже разликата в производителността на модела с линеен винаги положителен поток и билинеен растеж, който е представен за X_stock. При линейни неограничени потоци, след превишаване на параметъра K, системата в даден момент достига до равновесие (в този модел състоянието на равновесие е 200 хиляди единици стоки). Но много по-рано билинейният растеж води до рязко увеличаване на количеството на стоките, преминаващо в безкрайност. Ако оставим и дясното, и лявото постоянно положителни потоци билинейни, тогава вече на около 20-30 стъпки стойността на акумулатора идва до разликата от две безкрайности.

Въз основа на горното е безопасно да се каже, че в случай на по-нататъшно използване на такива модели е необходимо да се ограничи всеки положителен растеж.

Протооперационен модел с две ограничения.

След като установихме недостатъците на предишния модел и въведем ограничение за втория член от фактора на насищане, ще изградим и стартираме нов модел.

Фигура 2.13. Модел на системната динамика и пример за нейното функциониране за система (2.3)

Този модел в крайна сметка носи дългоочакваните резултати. Оказа се, че ограничава растежа на акумулаторните стойности. Както се вижда от дясната фигура, и за двете предприятия равновесието се постига с лек излишък на обема на съхранение.

Разширен протооперационен модел.

При разглеждане на системната динамика на този модел ще бъдат демонстрирани възможностите на софтуерната среда AnyLogic за цветна визуализация на модели. Всички предишни модели са построени само с елементи на системната динамика. Поради това самите модели изглеждаха ненатрапчиви, не позволяваха проследяване на динамиката на промените в количеството на производството във времето и промяна на параметрите, докато програмата работи. Когато работим с този и следващите модели, ще се опитаме да използваме по-широк набор от възможности на програмата, за да променим трите горепосочени недостатъка.

Първо, в допълнение към раздела „динамика на системата“, програмата съдържа и разделите „картинки“, „3D-обекти“, които позволяват разнообразяване на модела, което е полезно за по-нататъшното му представяне, тъй като прави модела изглеждат „по-приятни“.

Второ, за да проследите динамиката на промените в стойностите на модела, има раздел „статистически данни“, който ви позволява да добавяте диаграми и различни инструменти за събиране на данни, като ги свързвате с модела.

На трето място, за промяна на параметри и други обекти по време на изпълнение на модела, има раздел "контроли". Обектите в този раздел ви позволяват да променяте параметрите, докато моделът работи (например „плъзгач“), да избирате различни състояния на обекта (например „превключете“) и да извършвате други действия, които променят първоначално посочените данни по време на работа .

Моделът е подходящ за преподаване на запознаване с динамиката на промените в производството на предприятията, но липсата на ограничения за растеж не позволява използването му на практика.

Разширен модел на прото-сътрудничество с логистично ограничение.

Използвайки вече подготвения предишен модел, ще добавим параметри от логистичното уравнение, за да ограничим растежа.

Пропускаме изграждането на модела, тъй като предишните пет модела, представени в работата, вече демонстрираха всички необходими инструменти и принципи за работа с тях. Струва си да се отбележи, че поведението му е подобно на модела на прото-кооперация с ограничението Verhulst. Тези. липсата на насищане пречи на практическото му приложение.

След като анализираме моделите по отношение на прото-кооперацията, ние дефинираме няколко основни точки:

Разгледаните в тази глава модели на практика са по-подходящи от мутуалистичните, тъй като имат ненулеви стабилни позиции на равновесие дори и с два члена. Нека ви напомня, че в моделите на мутуализъм успяхме да постигнем това само чрез добавяне на трети член.

Подходящите модели трябва да имат ограничения за всеки от термините, тъй като в противен случай рязкото увеличение на билинейните фактори „разрушава“ целия симулационен модел.

Изхождайки от параграф 2, при добавяне на протооперация с ограничението на Verhulst на фактора на насищане към разширения модел, както и добавяне на по-ниско критично количество продукция, моделът трябва да стане възможно най-близък до реалното състояние на нещата. Но не забравяйте, че подобни манипулации на системата ще усложнят нейния анализ.

Заключение

В резултат на изследването беше направен анализ на шест системи, които описват динамиката на производството от предприятия, които си влияят взаимно. В резултат на това точките на равновесие и видовете на тяхната устойчивост бяха определени по един от следните начини: аналитично или благодарение на изградените фазови портрети в случаите, когато по някаква причина не е възможно аналитично решение. За всяка от системите са изградени фазови диаграми, както и триизмерни модели, върху които при проектиране е възможно да се получат интегрални криви в равнините (x, t), (y, t). След това, използвайки средата за моделиране на AnyLogic, всички модели бяха изградени и техните опции за поведение бяха разгледани при определени параметри.

След анализиране на системите и изграждане на техните симулационни модели става очевидно, че тези модели могат да се разглеждат само като обучение или за описание на макроскопични системи, но не и като система за подпомагане на вземането на решения за отделни компании, поради ниската им точност и на някои места. не съвсем надеждно представяне на протичащите процеси. Но също така не забравяйте, че колкото и вярна да е динамичната система, описваща модела, всяка компания/организация/индустрия има свои собствени процеси и ограничения, така че не е възможно да се създаде и опише общ модел. Във всеки конкретен случай той ще бъде модифициран: за да стане по-сложен или, напротив, да бъде опростен за по-нататъшна работа.

Правейки заключение от заключенията за всяка глава, си струва да се съсредоточите върху разкрития факт, че въвеждането на ограничения върху всеки от членовете на уравнението, въпреки че усложнява системата, но също така ви позволява да откриете стабилни позиции на системата, както и да го доближим до случващото се в действителност. И си струва да се отбележи, че моделите на прото-коопериране са по-подходящи за изследване, тъй като имат ненулеви стабилни позиции, за разлика от двата мутуалистични модела, които разгледахме.

Така целта на това изследване беше постигната и задачите бяха изпълнени. В бъдеще, като продължение на тази работа, ще бъде разгледан разширен модел на взаимодействие на типа протооперация с три въведени за него ограничения: логистика, коефициент на насищане, по-ниско критично число, което трябва да позволи създаването на по-точен модел за система за подпомагане на вземането на решения, както и модел с три компании. Като продължение на работата можем да разгледаме два други типа взаимодействие освен симбиозата, които бяха споменати в работата.

литература

1. Бхатия Нам Паршад; Сег Джорджо П. (2002). Теория за устойчивост на динамични системи. Springer.

2. Бланшар П.; Devaney, R.L.; Хол, Г. Р. (2006). Диференциални уравнения. Лондон: Томпсън. стр. 96-111.

Боинг, Г. (2016). Визуален анализ на нелинейни динамични системи: хаос, фрактали, самоподобие и граници на прогнозиране. системи. 4(4):37.

4. Кембъл, Дейвид К. (2004). Нелинейна физика: свеж дъх. природата. 432 (7016): 455-456.

Елтън C.S. (1968) препечатка. екология на животните. Великобритания: William Clowes and Sons Ltd.

7. Форестър Джей У. (1961). Индустриална динамика. MIT Press.

8. Гандолфо, Джанкарло (1996). Икономическа динамика (трето изд.). Берлин: Springer. стр. 407-428.

9. Гершенфелд Нийл А. (1999). Същността на математическото моделиране. Кеймбридж, Великобритания: Cambridge University Press.

10 Гудман М. (1989). Учебни бележки по системна динамика. Пегас.

Grebogi C, Ott E, and Yorke J. (1987). Хаос, странни атрактори и фрактални граници на басейна в нелинейната динамика. Наука 238 (4827), стр. 632-638.

12 Косъм Ернст; Ньорсет Сивърт Пол; Wanner, Gerhard (1993), Решаване на обикновени диференциални уравнения I: Нетвърди проблеми, Берлин, Ню Йорк

Хански И. (1999) Екология на метапопулацията. Oxford University Press, Оксфорд, стр. 43-46.

Хюз-Халет Дебора; Маккалъм, Уилям Г.; Глийсън, Андрю М. (2013). Изчисление: единично и многопроменливо (6 изд.). Джон Уайли.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Глобални аналитични първи интеграли за реалната планарна система Лотка-Волтера, J. ​​Math. физ.

16. Джордан Д.В.; Смит П. (2007). Нелинейни обикновени диференциални уравнения: Въведение за учени и инженери (4-то издание). Oxford University Press.

Халил Хасан К. (2001). нелинейни системи. Прентис Хол.

Университет Ламар, Онлайн математически бележки - Фазова равнина, П. Докинс.

Университет Ламар, Онлайн математически бележки – системи от диференциални уравнения, П. Докинс.

Ланг Серж (1972). Диференциални колектори. Рединг, Масачузетс-Лондон-Дон Милс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Law Averill M. (2006). Симулационно моделиране и анализ със софтуер Expertfit. McGraw-Hill Science.

Лазард Д. (2009). Тридесет години решаване на полиномни системи, а сега? Списание за символни изчисления. 44(3):222-231.

24 Луис Марк Д. (2000). Обещанието за динамични системни подходи за интегриран отчет за човешкото развитие. развитие на детето. 71(1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798 г.). Есе за принципа на населението, в препечатка на Oxford World's Classics, стр. 61, край на глава VII

26. Моркрофт Джон (2007). Стратегическо моделиране и бизнес динамика: подход на системите за обратна връзка. Джон Уайли и синове.

27. Нолте Д.Д. (2015), Въведение в съвременната динамика: хаос, мрежи, пространство и време, Oxford University Press.

Въведение 4

Априорен анализ на динамични системи 5

Преминаване на случаен сигнал през линейна система 5

Еволюция на фазовия вектор на системата 7

Еволюция на ковариационната матрица на фазовия вектор на системата 8

Статистическа линеаризация 8

Първи начин 9

Втори начин 10

Изчисляване на коефициенти на линеаризация 10

Неяснота в нелинейните връзки 14

Нелинейна връзка, обхваната от обратна връзка 15

Симулация на произволни процеси 16

Оформящ филтър 16

Моделиране на бял шум 17

Оценка на статистическите характеристики на динамични системи по метода на Монте Карло 18

Оценка на точност 18

Нестационарни динамични системи 20

Стационарни динамични системи 21

Апостериорен анализ на динамични системи 22

Калман филтър 22

Модел на движение 22

Модел на измерване 23

Корекция 23

Прогноза 23

23 клас

Използване на филтриране на Калман в нелинейни задачи 25

Най-малки квадрати 27

Сграда 27 клас

Прогноза 29

Използване на метода на най-малките квадрати в нелинейни задачи 29

Построяване на матрицата на Коши 30

Моделиране на измерване 30

Числени методи 31

Специални функции 31

Симулация на случайни променливи 31

Равномерно разпределени случайни променливи 31

Гаусови случайни променливи 32

Случайни вектори 33

Интеграл на вероятностите 34

Полиноми на Чебишев 36

Интегриране на обикновени диференциални уравнения 36

Методи на Рунге-Кута 36

Точност на резултатите от численото интегриране 37

Вложен Дорман-Принц 5(4) ред 37

Многоетапни методи 39

Методи на Адамс 39

Интегриране на забавени уравнения 40

Сравнение на изчислителните качества на методите 40

Проблем на Аренсторф 40

Елиптични функции на Якоби 41

Проблем с две тела 41

Уравнение на Ван дер Пол 42

Брюксел 42

Висящ низ, уравнение на Лагранж 42

Плеяди 42

Изготвяне на обяснителна бележка 43

Заглавна страница 43

Раздел "Въведение" 44

Раздел "Теория" 44

Раздел "Алгоритъм" 44

Раздел "Програма" 45

Раздел „Резултати“ 45

Раздел "Заключения" 45

Раздел „Списък на използваните източници“ 45

Приложения 45

Литература 47

Въведение

Настоящото ръководство съдържа указания за изпълнение на задачи за курсови проекти и за провеждане на практически упражнения по курса "Основи на статистическата динамика".

Целта на курсовото проектиране и практическите упражнения е да се усвои технологията на априорния и апостериорния анализ на нелинейни динамични системи под въздействието на случайни смущения.

Априорен анализ на динамични системи

Статистическа линеаризация

Статистическата линеаризация ви позволява да трансформирате оригиналната нелинейна динамична система по такъв начин, че за нейния анализ е възможно да се използват методи, алгоритми и връзки, които са валидни за линейни системи.

Този раздел е посветен на представянето на метода за статистическа линеаризация, базиран на най-простия приблизителен подход, предложен от проф. I.E. Казаков, което обаче дава възможност да се конструират оценки за точността на система, съдържаща дори значителни нелинейности с прекъснати характеристики.

Статистическата линеаризация се състои в замяна на оригиналната безинерционна нелинейна зависимост между входните и изходните процеси с такава приблизителна зависимост, линейна по отношение на центрирания произволен процес на входа, която е статистически еквивалентна по отношение на оригиналния:

Връзка, която има такава приблизителна връзка между входния и изходния сигнал, се нарича еквивалентна на разглежданата нелинейна връзка.

Стойността се избира въз основа на условието за равенство на математическите очаквания на нелинейния и линеаризирания сигнал и се нарича средна статистическа характеристика на еквивалентната връзка:

,

където е плътността на разпределение на входния сигнал.

За нелинейни връзки с нечетни характеристики, т.е. в , удобно е статистическата характеристика да се представи във вида:

е математическото очакване на входния сигнал;
е статистическата печалба на еквивалентната връзка по отношение на средния компонент.

Че. еквивалентната зависимост в този случай приема формата:

Характеристиката се нарича статистическа печалба на еквивалентната връзка за случайния компонент (флуктуации) и се определя по два начина.

Първи начин

В съответствие с първия метод на статистическа линеаризация, коефициентът се избира въз основа на условието за равенство на дисперсиите на оригиналния и еквивалентния сигнал. Че. за изчисление получаваме следната зависимост:

,

където е дисперсията на входното произволно действие.

Знакът в израза за се определя от естеството на зависимостта в близост до стойността на аргумента. Ако се увеличава, тогава , и ако намалява, тогава .

Втори начин

Стойността съгласно втория метод се избира от условието за минимизиране на средноквадратичната грешка на линеаризацията:

Крайното съотношение за изчисляване на коефициента по втория метод е:

.

В заключение отбелязваме, че нито един от двата метода на линеаризация, разгледани по-горе, не осигурява равенството на корелационните функции на изходните сигнали на нелинейните и еквивалентните връзки. Изчисленията показват, че за корелационната функция на нелинеен сигнал първият метод на избор дава горна оценка, а вторият метод дава по-ниска оценка, т.е. грешките при определяне на корелационната функция на нелинейния изходен сигнал имат различни знаци. Проф. I.E. Казаков, авторът на описания тук метод, препоръчва като получен коефициент на линеаризация да се избере полусумата от коефициентите, получени от първия и втория метод.

Оформящ филтър

Обикновено параметрите се определят чрез приравняване на коефициентите на полиномите числител и знаменател в уравнението

със същите степени.

След определяне на трансферната функция на оформящия филтър, получената схема за моделиране на произволен процес изглежда както е показано на фигурата.

Например, спектралната плътност на процеса, който трябва да бъде моделиран, има формата:

,

математическо очакване и бял шум с интензитет се използва за моделиране, следователно той има единична спектрална плътност.

Очевидно числителят и знаменателят на желаната трансферна функция трябва да имат порядки от 1 и 2 (всъщност, като е на квадрат по модул, трансферната функция образува частно от полиноми от 2-ра и 4-та степен)

Че. Преносната функция на оформящия филтър в най-общата му форма е както следва:

,

и квадратът на неговия модул:

Нека изравним получените съотношения:

Нека извадим скобите и от дясната страна на равенството, като по този начин изравним коефициентите на нула градуса:

,

откъдето ясно следват следните равенства:

; ; ; .

Че. блоковата диаграма на образуването на случаен процес с дадени статистически характеристики от бял шум с единична спектрална плътност изглежда както е показано на фигурата, като се вземат предвид изчислените стойности на параметрите на оформящия филтър.

Моделиране на бял шум

За да се симулира произволен процес с дадени статистически характеристики, бял шум се използва като входен произволен процес във филтъра за оформяне. Точното моделиране на белия шум обаче не е осъществимо поради безкрайната вариация на този случаен процес.

Поради тази причина процесът на произволна стъпка се използва като заместител на белия шум, действащ върху динамичната система. Интервалът, през който изпълнението на произволен процес запазва стойността си непроменена (ширина на стъпката, интервал на корелация) е постоянна стойност. Самите стойности на изпълнение (височини на стъпката) са случайни променливи, разпределени според нормалния закон с нулево математическо очакване и ограничена дисперсия. Стойностите на параметрите на процеса - интервал на корелация и дисперсия - се определят от характеристиките на динамичната система, която се влияе от бял шум.

Идеята на метода се основава на ограничената честотна лента на всяка реална динамична система. Тези. усилването на реална динамична система намалява с увеличаване на честотата на входния сигнал и следователно има честота (по-малка от безкрайна), за която усилването на системата е толкова малко, че може да бъде настроено на нула. А това от своя страна означава, че входният сигнал с постоянна, но ограничена от тази честота, спектрална плътност, за такава система ще бъде еквивалентен на бял шум (с постоянна и безкрайна спектрална плътност).

Параметрите на еквивалентния случаен процес - интервалът на корелация и дисперсията се изчисляват, както следва:

където е емпирично определената граница на честотната лента на динамичната система.

Точност на оценката

Очаквани оценки

и дисперсия

произволна променлива, конструирана на базата на обработка на ограничена извадка от нейните реализации, сами по себе си са случайни променливи.

Очевидно, колкото по-голям е размерът на извадката от реализациите, толкова по-точна е безпристрастната оценка, толкова по-близо е тя до истинската стойност на изчисления параметър. По-долу са дадени приблизителни формули, базирани на предположението за тяхното нормално разпределение. Симетричният относителен доверителен интервал за оценката, съответстваща на доверителната вероятност, се определя от стойността, за която връзката е вярна:

,

където
е истинската стойност на математическото очакване на случайната променлива,
е стандартното отклонение на случайната променлива,
е интегралът на вероятността.

Въз основа на горната зависимост количеството може да се определи, както следва:

,

където е функцията, обратна по отношение на интеграла на вероятността.

Тъй като не знаем точно характеристиката на разсейване на оценката, ще използваме нейната приблизителна стойност, изчислена с помощта на оценката:

Че. крайната връзка, свързваща точността на оценката на математическото очакване и размера на извадката, върху която се прави оценката, изглежда така:

.

Това означава, че стойността на доверителния интервал (при постоянна стойност на доверителната вероятност), разположена симетрично около , изразена във фракции от оценката на стандартното отклонение, е обратно пропорционална на квадратния корен от размера на извадката.

Доверителният интервал за оценка на дисперсията се дефинира по подобен начин:

до стойността , която при липса на по-точна информация може да се определи приблизително от съотношението:

Че. стойността на доверителния интервал (при постоянна стойност на доверителната вероятност ), разположена симетрично по отношение на , изразена в неговите дялове, е обратно пропорционална на корен квадратен от стойността , където е размерът на извадката.

По-точни формули за конструиране на доверителни интервали на оценките могат да бъдат получени с помощта на точна информация за закона за разпределение на произволна величина.

Например, за закона за разпределението на Гаус, случайната променлива

се подчинява на закона за разпределението на Студент със степен на свобода и случайната променлива

разпределени според закона също със степен на свобода.

Калман филтър

Модел на движение

Както знаете, филтърът на Калман е предназначен да оцени вектора на състоянието на линейна динамична система, чийто еволюционен модел може да бъде записан като:

където
е матрицата на Коши, която определя промяната във вектора на състоянието на системата при собствено движение (без контрол и шумови действия) от момента на времето до момента на времето;
е векторът на неслучайните принудителни действия върху системата (например управляващи действия) в момента на времето ;
е матрицата на влиянието на принудителните действия в момента върху вектора на състоянието на системата към момента на времето ;
е векторът на произволни независими центрирани действия върху системата в момента на времето;
е матрицата на влиянието на произволни влияния в момента на времето върху вектора на състоянието на системата в момента .

Модел на измерване

Оценката се извършва на базата на статистическа обработка на резултатите от измерването, линейно свързани с вектора на състоянието и изкривени от адитивна безпристрастна грешка:

където е матрица, свързваща едновременно векторите на състоянието и измерването.

Корекция

В основата на филтъра на Калман са корекционните съотношения, които са резултат от минимизиране на следата на ковариационната матрица на постериорната плътност на разпределение на линейните (по протежение на измервателния вектор) оценки на вектора на състоянието на системата:

Прогноза

Допълване на корекционните отношения с прогнозни отношения, базирани на линейните свойства на модела за развитие на системата:

където е ковариационната матрица на вектора , получаваме формули за рекуррентния байесов алгоритъм за оценка на вектора на състоянието на системата и неговата ковариационна матрица на базата на статистическа обработка на резултатите от измерването .

Оценка

Очевидно е, че за реализиране на горните отношения е необходимо да може да се изграждат матрици, от еволюционния модел, матрица от измервателния модел, както и ковариационни матрици и за всеки ти момент от време.

Освен това, за да се инициализира изчислителният процес, е необходимо по някакъв начин да се определят апостериорни или априорни оценки на вектора на състоянието и неговата ковариационна матрица. Терминът "a priori" или "a posteriori" в този случай означава само качеството, в което векторът на състоянието и неговата ковариационна матрица ще бъдат използвани в изчислителния алгоритъм и не казва нищо за това как са получени.

По този начин изборът на съотношението, от което трябва да започнат изчисленията, се определя от точките от време, към които са присвоени началните условия на филтриране и първия необработен вектор на измерване. Ако времевите точки съвпадат, тогава първо трябва да се приложат корекционните съотношения, за да се прецизират първоначалните условия; ако не, тогава първоначалните условия трябва първо да бъдат предвидени от времето на свързване на първия необработен измервателен вектор.

Нека обясним алгоритъма за филтриране на Калман с помощта на фигура.

На фигурата в координатните оси (в канала на движение) са показани няколко възможни траектории на фазовия вектор:

е истинската траектория на еволюция на фазовия вектор;
е еволюцията на фазовия вектор, предвидена въз основа на използването на модела на движение и априорна оценка на фазовия вектор, отнесен към времето;
е еволюцията на фазовия вектор, предвидена въз основа на използването на модела на движение и апостериорна (по-точна) оценка на фазовия вектор, отнесена към времето

Координатните оси , (в канала за измерване) в моментите от време и показват резултатите от измерванията и :

,

където
е истинската стойност на измервателния вектор в даден момент;
е векторът на грешките в измерването, реализирани в момента.

За да се конструира корекция на априорния фазов вектор на системата, се използва разликата между резултата от измерването и стойността, която би била измерена според измервателния модел на проблема, ако фазовият вектор всъщност е поел стойността . В резултат на прилагането на корекционни отношения към априорните оценки, оценката на фазовия вектор на системата ще бъде малко по-точна и ще придобие стойност

В момента резултатът от прогнозата се използва като априорна оценка на траекторията, преминаваща през фазовия вектор, отново се конструира разликата в измерването, според която се изчислява апостериорна, още по-точна стойност и т.н. стига да има измервателни вектори за обработка или да е необходимо да се предвиди поведението на фазовия вектор.

Метод на най-малкия квадрат

Този раздел представя метода на най-малките квадрати, адаптиран за апостериорен анализ на динамични системи.

Резултати за изграждане

За случая на линеен модел с равни измервания:

имаме следния алгоритъм за оценка на фазов вектор:

.

В случай на неравномерни измервания въвеждаме матрицата, съдържаща тегловни коефициенти на диагонала. Като се вземат предвид тегловните коефициенти, предишното съотношение ще приеме формата:

.

Ако използваме матрицата, обратна на ковариационната матрица на грешките в измерването като матрица на теглото, тогава, като вземем предвид факта, че получаваме:

.

Както следва от горните отношения, основата на метода е матрицата, която свързва оценения фазов вектор, отнесен към определен момент от време, и измервателния вектор. По правило векторът има блокова структура, в която всеки от блоковете е присвоен на определен момент от време, което като цяло не съвпада с .

Фигурата показва някакво възможно взаимно подреждане на точките във времето, към които се отнасят измерванията, и точката във времето, към която се отнася векторът на оценените параметри.

За всеки вектор е валидна следната връзка:

, при .

По този начин, в получената връзка с най-малките квадрати, векторът и матрицата имат следната структура:

; .

където
– определя неслучаен принудителен ефект върху системата;
– определя случайното въздействие върху системата.

могат да се използват прогнозни релации, които се срещнаха по-горе в описанието на алгоритъма за филтриране на Калман:

където е ковариационната матрица на вектора.

Построяване на матрицата на Коши

При проблемите за конструиране на оценки чрез методи за статистическа обработка на измерванията често се среща проблемът с конструирането на матрицата на Коши. Тази матрица свързва фазовите вектори на системата, отнесени към различни моменти от време, в тяхното собствено движение.

В този раздел ние се ограничаваме до разглеждането на въпроси, свързани с изграждането на матрицата на Коши за модел на еволюция, написан като система от обикновени диференциални уравнения (линейни или нелинейни).

където следната нотация се използва за матриците на пропорционалност, изградени в близост до референтната траектория, :

; .

Моделиране на размери

Проблемът възниква, когато например, когато оценявате потенциално постижимата точност на метод в някакъв проблем, нямате никакви резултати от измерването. В този случай резултатите от измерването трябва да бъдат симулирани. Особеността на моделирането на резултатите от измерването е, че използваните за тази цел модели на движение и измерване може да не съвпадат с моделите, които ще използвате в хода на конструирането на оценки, използвайки един или друг метод на филтриране.

Като начални условия за моделиране на еволюцията на фазовия вектор на динамична система трябва да се използват истинските стойности на координатите на този вектор. В допълнение към това място, истинските стойности на координатите на фазовия вектор на системата не трябва да се използват никъде другаде.

Числени методи

Специални функции

Случайни вектори

Проблемът, чието решение е описано в този подраздел, е да се моделира вектор от корелирани гаусови случайни променливи.

Нека произволният вектор, който ще бъде моделиран, се формира на базата на трансформацията на вектора на стандартните некорелирани случайни променливи със съответната размерност, както следва: с точност до 4 цифри, въз основа на разширяването в серии по степени на аргумента за трите си интервала.

При , сумата от асимптотичния ред става почти равна на 1.