Как да решават уравнения с фракции. Индикативно решение на уравненията с фракции

В тази статия ще ви покажа алгоритми за решението на седем вида рационални уравнениякоито чрез замяна на променливи се намаляват до квадрат. В повечето случаи трансформациите, които водят до заместване, са много нетривиални и е доста трудно да се отгатне за тях.

За всеки тип уравнения ще обясня как да направя заместваща променлива в нея, а след това на подходящия видео език ще покажа подробно решение.

Имате възможност да продължите решението на уравненията сами и след това да проверите решението си с видео урок.

Така че, нека започнем.

1 . (x - 1) (x-7) (x-4) (x + 2) \u003d 40

Имайте предвид, че от лявата страна на уравнението има продукт от четири скоби и в десния.

1. Ние групирахме скоби в две, така че количеството свободни членове е същото.

2. Преместете ги.

3. Въвеменяваме подмяната на променливата.

В нашето уравнение групира първата скоба с третата, а втората с четвъртата, тъй като (-1) + (- 4) \u003d (- 7) +2:

На това място промяната на променливата става очевидна:

Получаваме уравнението

Отговор:

2 .

Уравнението на този тип е подобно на предишното с една разлика: в дясната част на уравнението има продукт от номера. И то се решава съвсем различно:

1. Групиране на скоби за двама, така че продуктът на свободните членове е същият.

2. Преместване на всяка двойка скоби.

3. От всеки фактор издържат на скобата x.

4. Разделяме двете части на уравнението.

5. Въведете подмяната на променливата.

В това уравнение се групира първата скоба с четвъртата, а втората с третата, тъй като:

Имайте предвид, че във всяка скоба коефициентът със същия член е същият. Ще донеса мултипликатор от всяка скоба:

Тъй като X \u003d 0 не е коренът на първоначалното уравнение, ние разделяме двете части на уравнението. Получаваме:

Получаваме уравнението:

Отговор:

3 .

Имайте предвид, че в знаменателите на двата фракции има квадратни три метра, които имат старши коефициент и свободен член са еднакви. Ще донеса, както в уравнението на втория тип x на скоба. Получаваме:

Разделяме числителя и знаменателя на всяка фракция на x:

Сега можем да заменим променливата:

Получаваме уравнението по отношение на променливата t:

4 .

Имайте предвид, че коефициентите на уравнението са симетрични спрямо централната. Това уравнение се нарича се завръща .

Да го решите,

1. Разделяме двете части на уравнението на (можем да го направим, тъй като x \u003d 0 не е коренът на уравнението.) Ще получим:

2. Оградете условията по този начин:

3. Във всяка група ще донесе общ мултипликатор за скобата:

4. Въведем заместител:

5. Изразявайте израза:

Оттук

Получаваме уравнението спрямо Т:

Отговор:

5. Единни уравнения.

Уравненията, които имат хомогенна структура, могат да се срещнат при решаване на индикативни, логаритмични и тригонометрични уравнения, така че трябва да можете да разпознаете.

Единната уравнения имат такава структура:

В това равенство a, b и c - числа, и квадратът и кръгът показва същите изрази. Това означава, от лявата страна на хомогенно уравнение, количеството единично крило, имащо същата степен (в този случай, степента на еднокрила е 2) и няма свободен елемент.

За решаване на хомогенно уравнение, ние разделяме двете части

Внимание! Когато разделяте дясната и лявата част на уравнението към израз, съдържащ неизвестен, корените могат да бъдат загубени. Ето защо е необходимо да се провери дали корените са израз, които разделяме двете части на уравнението, корените на уравнението на източника.

Да отидем първо. Получаваме уравнението:

Сега въвеждаме подмяната на променливата:

Опростяваме изразяването и получаваме бикетно уравнение за Т:

Отговор: или

7 .

Това уравнение има такава структура:

За да го разрешите, трябва да изберете пълен квадрат в лявата част на уравнението.

За да маркирате пълния kddarat, трябва да добавите или извадите задоволителната работа. След това получаваме квадрата на размера на разликата. За успешна замяна на променливата, това има определяща стойност.

Да започнем с намирането на двойна работа. Това ще бъде ключът за замяна на променливата. В нашето уравнение двойната работа е равна

Сега оценявам, че сме по-удобни да имаме - площад на количеството или разликата. Помислете, за да започнете с сумата на изразите:

Отличен! Този израз е точно двойната работа. След това в скоби получават квадратна сума, трябва да добавите и приспадате двоен продукт:

На първо място, да се научите как да работите с рационални фракции без грешки, е необходимо да научите формулата на съкратеното умножение. И не само за да научите - те трябва да бъдат признати дори когато сините, логаритмите и корените са в ролята на термините.

Основният инструмент обаче остава разлагането на числителя и знаменателя на рационалната фракция върху мултипликатори. Това може да бъде постигнато по три различни начина:

Всъщност, според формулата на съкратеното умножение: те ви позволяват да минимизирате полином към един или повече фактори;
Използване на разлагането на квадратна тройна до множителите чрез дискриминацията. Същият метод ви позволява да се уверите, че всеки триплейно на множителите изобщо не се разширява;
Методът за групиране е най-трудният инструмент, но това е единственият начин, по който работи, ако двете предишни са работили.

Когато вече сте предположили от името на това видео, ние отново ще говорим за рационални фракции. Преди няколко минути, завърших с един десети клас и там разбрахме тези изрази. Затова този урок ще бъде предназначен за ученици от гимназията.

Със сигурност много ще имат въпрос: "Защо учениците трябва да изучават такива прости неща като рационални фракции, защото преминават в 8 клас?" Но проблемът е, че повечето хора са "преминаващи". В 10-ти клас 10-11, те вече не помнят как се прави умножение, разделяне, изваждане и добавяне на рационални фракции от 8-ми клас и в края на краищата, това е на тези прости познания, че се изграждат по-сложни структури, \\ t Като решение на логаритмични, тригонометрични уравнения и много други сложни изрази, следователно, без рационални фракции, няма нищо друго в гимназията.

Формули за решаване на задачи

Нека продължим напред. На първо място, ще се нуждаем от две факти - два комплекта формули. На първо място, трябва да знаете формулите на съкратеното умножение:

$ ((а) ^ (2)) - (((б) ^ (2)) \u003d оставено (A-B дясно), ляво (A + B) $ - разликата в квадратите;
$ ((а) ^ (2)) pm 2ab + ((b) ^ (2)) \u003d (ляво (pm b])) ^ (2)) $ - квадратна сума или разлика;
$ ((а) ^ (3)) + (((b) ^ (3)) \u003d оставено (A + B), ляво (((а) ^ (2)) - AB + ((b) ^ (2)) дясно) $ - количеството на кубчета;
$ ((а) ^ (3)) - ((б) ^ (3)) \u003d ляво (AB), ляво (((а) ^ (2)) + AB + ((b) ^ ( 2)) Вдясно) $ - разликата в кубчетата.

В чистата си форма те не се срещат във никакви примери и в реални сериозни изрази. Ето защо, нашата задача е да се научим да виждаме под буквите $ a $ и $ b $ има много по-сложни дизайни, например логаритми, корени, синуси и др. Можете да научите как да го видите само с постоянна практика. Ето защо е абсолютно необходимо да се решават рационални фракции.

Втората, абсолютно очевидна формула е разлагането на квадратно три разграждане на множителите:

$ (x) _ (1)) $; $ (x) _ (2)) $ - корените.

Ние се занимавахме с теоретичната част. Но как да се решат реални рационални фракции, които се разглеждат в 8 клас? Сега практикуваме.

Номер 1.

[FRAC (27 ((а) ^ (3)) - 64 (((b) ^ (3)) (((b) ^ (3)) - 4): FRAC (9 ((а) \\ t ^ (2)) + 12AB + 16 ((b) ^ (2))) (((b) ^ (2)) + 4B + 4) \\ t

Нека се опитаме да приложим гореописаните формули за решаване на рационални фракции. Преди всичко искам да обясня защо се нуждаете от разлагане на мултипликатори. Факт е, че на пръв поглед, в първата част на задачата, искам да отрежа куба с квадрат, но е категорично невъзможно да се направи това, защото те са термините в числителя и в знаменателя, но в Никакви случаи не са мултипликатори.

Като цяло, какво е намаляването? Намаляването е използването на основните правила за работа с такива изрази. Основното свойство на Fraci е, че можем дадро и знаменател може да се размножават на същия брой, различни от "нула". В този случай, когато отрежем, тогава, напротив, ние се разделяме на същия брой, различни от "нула". Въпреки това, ние трябва всички термини да стоят в знаменателя, да се разделят на същия брой. Невъзможно е да се направи това. И ние имаме право да изрежем числителя с знаменателя само когато и двамата са изложени за множители. Хайде да го направим.

Сега е необходимо да се види колко компонентите са в определен елемент, според това, разберете каква формула трябва да се използва.

Ние превръщаме всеки израз на точния куб:

Позоваване на число:

[(((3))) ^ (3)) - ((ляво (4b)) ^ (3)) \u003d ляво (3A-4B вдясно), ляво ((ляво) \\ t (3A])) ^ (2)) + 3a cdot 4b + ((ляво (4b)) ^ (2)) \\ t

Нека погледнем на знаменателя. Обичай по формулата на квадрата на квадратите:

[(б) ^ (2)) - 4 \u003d ((b) ^ (2)) - ((2) ^ (2)) \u003d оставено (B-2 дясно), ляво (B + 2 \\ t Право)

Сега нека погледнем втората част на израза:

Числиране:

Остава да се справи с знаменателя:

[(Б) ^ (2)) + 2 ccot 2b + ((2) ^ (2)) \u003d ((ляво (b + 2])) ^ (2)) \\ t

Нека пренапишем целия дизайн, като вземем предвид горните факти:

[Frac (ляво), ляво (((ляво)) ^ (2)) + 3a cdot 4b + ((ляво (4b)) ^ (2)) \\ t ) (ляво) (b-2] дясно) ляво (b + 2 вдясно)) cdot frac (((ляво))) ^ (2)) ((())) ((()) 3A вдясно)) ^ (2)) + 3A cdot 4b + ((ляво (4b])) ^ (2))) \u003d \\ t

[\u003d Отляво (ляво) (3A-4B), ляво (b + 2 вдясно)) (ляво (b-2] дясно))

Нюанси на умножаване на рационални фракции

Ключовото оттегляне от тези конструкции е както следва:

Не всеки полином се отхвърля към множителите.
Дори и да откаже, е необходимо да гледате внимателно каква формула на съкратеното умножение.

За това, първо, трябва да оцените колко термини (ако има две от тях, тогава всичко, което можем да направим, е да ги разлагаме или по размер на разликата в квадратите, или от количеството или разликата на кубчетата; и ако Има три, после, недвусмислено, или квадрата на количеството, или квадрата на разликата). Често се случва, че или числителят, или знаменателят не изисква разлагане на мултипликатори, може да бъде линейно, или дискриминацията му ще бъде отрицателна.

Номер 2.

[Frac (3-6x) (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 8) cdot frac (2x + 1) (((x) ^ (2)) + 4-4x) \\ t CCOT FRAC (8 - ((x) ^ (3)) (4 ((x) ^ (2)) - 1) \\ t

Като цяло, схемата за решаване на тази задача не се различава от предишната - просто действие ще бъде повече, и те ще станат по-разнообразни.

Да започнем с първата фракция: Да разгледаме числатора си и да направим възможни трансформации:

Сега нека погледнем знаменателя:

С втората фракция: в числитетор нищо не може да се направи изобщо, защото това е линеен израз и е невъзможно да се издържи от него. Нека погледнем на знаменателя:

[((x) ^ (2)) - 4x + 4 \u003d ((x) ^ (2)) - 2 ccot 2x + (((2) ^ (2)) \u003d ((ляво (x-2) ^ (2)) \\ t

Отиваме на третата фракция. Числиране:

Ще се справим с знаменателя на последната фракция:

Пренаписвам израза с факта, че описаните по-горе факти:

[FRAC (3) (1-2x)) (2 оста ляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 вдясно)) cdot frac (2x + 1) ((((()) ляво (x-2])) ^ (2))) ccot frac (ляв (2-x дясно), ляво (((2) ^ (2)) + 2x + ((x) ^ (2)) право)) (ляво (2x-1 дясно) наляво (2x + 1 дясно)) \u003d \\ t

[\u003d) (-3) (2 ляво (2-x дясно)) \u003d - frac (3) (2 ляво (2-x дясно)) \u003d frac (3) (2, ляво) \\ t (X-2 вдясно))

Решения за нюанси

Както можете да видите, не всички и не винаги почивате във формулата на съкратеното умножение - понякога е достатъчно, за да направите постоянна или променлива за скоби. Въпреки това, има и обратна ситуация, когато компонентите са толкова много или са изградени, че формулите на съкратеното умножение към тях обикновено са невъзможни. В този случай универсален инструмент идва на спасяването, а именно групата на групиране. Това е, което сега прилагаме в следващата задача.

Номер 3.

[FRAC (((а) ^ (2)) + аб) (5а - ((а) ^ (2)) + ((b) ^ (2)) - 5b) cdot frac (((()) \\ t ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10а) (((а) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \\ t

Ще анализираме първата част:

[((а) ^ (2)) + ab \u003d a, ляво (a + b вдясно)

[\u003d 5, ляво (AB е вдясно) - оставено (AB е надясно) ляво (A + B) \u003d ляво (AB дясно) наляво (5-1 ляво (A + B] ) Право) \u003d \\ t

[\u003d] ляво (A-B), ляво (5-A-B)

Нека пренапишем оригиналния израз:

[FRAC) (A + B)) (ляво (AB), ляво (5-ab дясно)) ccot frac ((())) - ()) - ()) (b) ^ (2)) + 25-10а) (((а) ^ (2)) - ((b) ^ (2))) \\ t

Сега ще го разберем с втората скоба:

[((а) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) + 25-10a \u003d ((а) ^ (2)) - 10А + 25 - ((b) ^ (2)) \u003d ляво ((а) ^ (2)) - 2 ccot 5a + ((5) ^ (2)) дясно) - ((b) ^ (2)) \u003d \\ t

[\u003d ((лява (A-5 вдясно)) ^ (2)) - (((b) ^ (2)) \u003d ляво (A-5-B), ляво (A-5 +) \\ t b

Тъй като двата елемента не могат да бъдат групирани, тогава ние групирахме три. Остава да се разбере само с знаменателя на последната фракция:

[(а) ^ (2)) - ((б) ^ (2)) \u003d ляво (a-b дясно) ляво (a + b дясно) \\ t

Сега пренапишете целия нашия дизайн:

[FRAC (лява (A + B)) (ляво (AB е вдясно) вляво (5-ab] cdot frac (лява (A-5-B) \\ t наляво (A-5 + B вдясно)) (ляво (AB дясно) ляво (A + B)) \u003d Frac (ляво (BA + 5]) ((()) AB право)) ^ (2)))

Задачата е решена и нищо повече да се опрости тук.

Решения за нюанси

Ние се занимават с групирането и имаме друг много мощен инструмент, който разширява възможностите за разлагане на множителите. Но проблемът е това реалния живот Никой няма да ни даде такива изискани примери, където има няколко фракции, които само трябва да се разложи числителя и знаменателя на множителя, и след това е възможно да ги намали. Истинските изрази ще бъдат много по-сложни.

Най-вероятно, в допълнение към умножаване и разделения, изваждане и допълнение, всички видове скоби ще присъстват там - като цяло ще трябва да вземем предвид процедурата. Но най-лошото е, че при изваждане и добавяне на фракции с различен знаменател Те ще трябва да доведат до едно общо. За това всеки от тях ще трябва да бъде поставен върху множителите и след това да конвертира тези фракции: донесе подобно и повече. Как да го направите правилно, бързо и в същото време да получите недвусмислен отговор? Става дума за това, че сега ще говорим за примера на следващия дизайн.

Номер 4.

[вляво (((x) ^ (2)) + frac (27) (x) дясно) ccot лява (FRAC (1) (x + 3) + \\ t x) ^ (2)) - 3x + 9) дясно)

Да пием първата фракция и да се опитаме да се справим с нея отделно:

[((x) ^ (2)) + frac (27) (x) \u003d frac (((x) ^ (2))) (1) + frac (27) (x) \u003d frac () \u003d \\ t ((x) ^ (3))) (x) + frac (27) (x) \u003d frac (((x) ^ (3)) + 27) (x) \u003d frac (((x) ^ (3)) + (((3) ^ (3))) (x) \u003d \\ t

[\u003d) FRAC (ляво (x + 3) наляво ((x) ^ (2)) - 3x + 9 дясно)) (x) \\ t

Отидете на втория. Незабавно разгледайте дискриминацията на знаменателя:

Той не се разгръща на мултипликатори, затова пишем следното:

[FRAC (1) (x + 3) + frac (1) (((x) ^ (2)) - 3x + 9) \u003d frac (((x) ^ (2)) - 3x + 9 + x + 3) (ляво (x + 3 дясно) ляво ((x) ^ (2)) - 3x + 9 дясно)) \u003d \\ t

[\u003d Frac (((x) ^ (2)) - 2x + 12) (ляво (x + 3 дясно) наляво ((x) ^ (2)) - 3x + 9 вдясно))) \\]

Числателят пие отделно:

[((x) ^ (2)) - 2x + 12 \u003d 0]

Следователно, този полином към множителите не е изложен.

Максимум, който можем да направим и да се разложим, вече сме го направили.

Общо пренапишете нашия оригинален дизайн и получите:

[FRAC (ляво (x + 3) ляво (((x) ^ (2)) - 3x + 9 вдясно)) (x) cdot frac (((x) ^ (2) \\ t ) -2x + 12) (вляво (x + 3] отляво (((x) ^ (2)) - 3x + 9 вдясно)) \u003d frac (((((x) ^ (2)) - 2x + 12) (x) \\ t

Всички, задачата е решена.

За да бъда честен, не беше такава трудна задача: там всичко беше лесно изложено на факторите, те бързо предизвикаха подобни термини и всичко беше красиво намалено. Затова сега нека се опитаме да решим предизвикателството да се опитаме.

Номер 5.

[вляво (frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) \\ t ) -8) - FRAC (1) (x-2) вдясно) ccot лява (FRAC (((x) ^ (2)) (((x) ^ (2)) - 4) - Frac (2) (2-x) дясно)]

Първо, нека да се справим с първата скоба. От самото начало ще разцепвам втория знаменател на фракциите за фактори отделно:

[((x) ^ (3)) - 8 \u003d ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) \u003d ляво (x-2 дясно) \\ t наляво (((x) \\ t ^ (2)) + 2x + 4 вдясно) \\ t

[FRAC (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + frac ((((x) ^ (2) + 8) (((x) ^ (3)) - 8) - FRAC (1) ((x) ^ (2))) \u003d \\ t

[\u003d Frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + frac (((x) ^ (2)) + 8) (ляво (x-2] \\ t наляво ((x) ^ (2)) + 2x + 4 вдясно)) - frac (1) (x-2) \u003d \\ t

[\u003d FRAC (x] ляво (x-2] (1) + ((x) ^ (2)) + 8- \\ t наляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 вдясно) ( Ляво (x-2] вдясно) наляво ((x) ^ (2)) + 2x + 4 вдясно)) \u003d \\ t

[\u003d Frac (((x) ^ (2)) - 2x + (((x) ^ (2)) + 8 - (x) ^ (2)) - 2x-4) (ляво (x -2 дясно) наляво ((x) ^ (2)) + 2x + 4 вдясно)) \u003d \\ t

[\u003d Frac ((x) ^ (2)) - 4x + 4) (ляво (x-2] вдясно) наляво ((x) ^ (2)) + 2x + 4 дясно)) \u003d Frac ((ляво (x-2])) ^ (2)) (ляво (x-2] дясно) наляво (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \\ t Дясно)) \u003d frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \\ t

Сега ще работим с втората фракция:

[(FRAC (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - frac (2) (2-x) \u003d frac (((x) ^ (2) \\ t ))) (ляво (x-2 дясно) наляво (x + 2] дясно)) - frac (2) (2-x) \u003d frac (((x) ^ (2)) + 2 \\ t Наляво (x-2 вдясно)) (ляво (x-2] дясно) наляво (x + 2] дясно)) \u003d \\ t

[\u003d Frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (ляво (x-2] е ляво (x + 2] дясно))

Върнете се в нашия оригинален дизайн и напишете:

[FRAC (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) cdot frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (ляво (x-2) Вдясно) наляво (x + 2])) \u003d frac (1) (x + 2) \\ t

Ключови точки

Още веднъж ключови факти на днешния видеоурок:

Трябва да знаете формулата "Насубок" за съкратено умножение - и не просто знам, но да можете да видите в тези изрази, в които ще се срещнете реални задачи. За да ни помогне в това може да бъде чудесно правило: ако има два термина, това е или разликата на квадратите, или разликата или количеството на кубчета; Ако три могат да бъдат само квадрат от количеството или разликата.
Ако някой дизайн не се разширява, използвайки формулите на съкратеното умножение, тогава ние ще помогнем или стандартната формула за разширяване на трихот върху мултипликатори или метода на групиране.
Ако нещо не работи, внимателно погледнете оригиналния израз - и дали има някои трансформации с нея изобщо. Може би ще бъде достатъчно просто да понесем множителя за скобата и това много често е просто постоянно.
В сложни изрази, където трябва да извършите няколко действия подред, не забравяйте да доведе до общ знаменатели едва след това, когато всички фракции са дадени, не забравяйте да дадете подобен в новия числител и след това да раздадете новия числител отново на множителите - възможно е нещо да намалее.

Това е всичко, което исках да ви кажа днес за рационалните фракции. Ако нещо е непонятно - все още има куп видео часовници на сайта, както и група задачи самостоятелност. Така че останете с нас!

Решаване на уравнения с фракции Помислете за примерите. Примерите са прости и индикативни. С тяхната помощ ще можете да зададете най-разбираемия начин ,.
Например, е необходимо да се реши простото уравнение x / b + c \u003d d.

Уравнения на този тип, наречени линейни, защото В знаменателя има само числа.

Разтворът се извършва чрез умножаване на двете части на уравнението на В, след това уравнението приема форма X \u003d B * (D - C), т.е. Деноминарът на Denomoter в лявата страна е намален.

Например как да се реши фракционно уравнение:
X / 5 + 4 \u003d 9
Ние умножаваме двете части на 5. Получаваме:
x + 20 \u003d 45
x \u003d 45-20 \u003d 25

Друг пример, когато неизвестното е в знаменателя:

Уравненията от този тип се наричат \u200b\u200bфракционни или просто частични.

Възможно е да се решава фракционното уравнение, като се отървете от фракциите, след което това уравнение най-често се превръща в линеен или квадрат, който е решен по обичайния начин. Трябва да се вземат предвид само следните точки:

стойността на променливата в 0 договора не може да бъде root;
не можете да разделяте или умножите уравнението на експресията \u003d 0.

Тук тази концепция влиза в сила, тъй като областта на допустимите стойности (OTZ) - това са стойностите на корените на уравнението, в което уравнението има смисъл.

Така, решаването на уравнението е необходимо да се намерят корените, след което ги проверява за съответствие с OTZ. Тези корени, които не съответстват на нашия OWZ, са изключени от отговора.

Например, трябва да се решава фракционното уравнение:

Въз основа на горните правила X не може да бъде \u003d 0, т.е. Otz В този случай: x - всяка стойност, различна от нула.

Отървете се от знаменателя чрез умножаване на всички членове на уравнението на x

И решаване на обичайното уравнение

5x - 2x \u003d 1
3x \u003d 1.
x \u003d 1/3.

Отговор: x \u003d 1/3

Разрешаването на уравнението по-сложно:

Това също е налице ... Otz: X -2.

Като решавате това уравнение, ние няма да носим всичко в една посока и да доведем фракцията на общия знаменател. Ние веднага ще умножим двете части на уравнението на израза, които веднага ще намалят всички знаменатели.

За да се намалят знаменателите, лявата страна е необходима за размножаване на X + 2 и надясно - с 2. Това означава, че двете части на уравнението трябва да се умножат по 2 (X + 2):

Това е най-често срещаното умножаване на фракциите, които вече сме разглеждали по-горе.

Пишем същото уравнение, но малко по-различно

Лявата страна се намалява с (X + 2) и десния ръкав 2. След редукция получаваме конвенционално линейно уравнение:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, което съответства на нашия ODZ

Отговор: x \u003d 2.

Решаване на уравнения с фракции Не толкова трудно, колкото изглежда. В тази статия показахме това в примерите. Ако имате някакви трудности как да решават уравнения с фракции, след това се отпишете в коментарите.

Целочистът е математически израз, съставен от номера и азбучни променливи чрез действията на добавянето, изваждането и умножаването. Също така тя включва и изрази, които са в състава им подразделение във всеки номер, различен от нула.

Концепцията за фракционния рационален израз

Фракционният израз е математически израз, който в допълнение към действието на добавяне, изваждане и умножение, направено с номера и променливи на букви, както и подразделения на число, а не равно на нула, също съдържа разделение на изразите с променливи на букви.

Рационалните изрази са всички цели и частични изрази. Рационалните уравнения са уравнения, чиито леви и десни части са рационални изрази. Ако в рационалното уравнение левите и десните части ще бъдат цели изрази, тогава такова рационално уравнение се нарича цели.

Ако в рационалното уравнение лявата или дясната част ще бъдат фракционни изрази, тогава такова рационално уравнение се нарича частично.

Примери за фракционни рационални изрази

1. x-3 / x \u003d -6 * x + 19

2. (x - 4) / (2 * x + 5) \u003d (x + 7) / (x-2)

3. (x - 3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5))

Схема за решаване на частично рационално уравнение

1. Намерете общ знаменател на всички фракции, които са включени в уравнението.

2. Умножете двете части на уравнението на цялостния знаменател.

3. Решаване на полученото пълно уравнение.

4. Проверете корените и изключете тези от тях, които се превръщат в нула общ знаменател.

Тъй като решаваме фракционните рационални уравнения, ще има променливи в знаменателите. Така те ще бъдат в общ знаменател. И във втория параграф на алгоритъма, ние се размножаваме на общ знаменател, след това може да се появи външни корени. В който общият знаменател ще бъде нула и следователно умножаването му ще бъде безсмислено. Следователно, в края, не забравяйте да проверите получените корени.

Помислете за пример:

Решаване на частично рационално уравнение: (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5)).

Ще се придържаме към обща схема: Открийте първоначално общия знаменател на всички фракции. Получаваме x * (x-5).

Умножете всяка фракция на общия знаменател и напишете полученото пълно уравнение.

(x-3) / (x-5) * (x * (x-5)) \u003d x * (x + 3);
1 / x * (x * (x-5)) \u003d (x-5);
(x + 5) / (x * (x-5)) * (x * (x-5)) \u003d (x + 5);
x * (x + 3) + (x-5) \u003d (x + 5);

Опростяваме полученото уравнение. Получаваме:

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 \u003d 0;
x ^ 2 + 3 * x-10 \u003d 0;

Получиха просто квадратно уравнение. Ние го решаваме чрез някой от известните методи, получаваме корените x \u003d -2 и x \u003d 5.

Сега провеждаме проверката на получените решения:

Ние заменяме номера -2 и 5 към общия знаменател. При X \u003d -2 общият знаменател X * (X-5) не се прилага за нула, -2 * (- 2-5) \u003d 14. Така че броят -2 ще бъде коренът на първоначалното фракционно рационално уравнение.

При X \u003d 5 общият знаменател X * (X-5) става нула. Следователно, този брой не е коренът на първоначалното фракционно рационално уравнение, тъй като ще има подразделение до нула.

Нека се запознаем с рационални и частични рационални уравнения, ще им дадем дефиниция, даваме примери и ще анализираме най-често срещаните видове задачи.

Yandex.rtb r-a-339285-1

Рационално уравнение: определение и примери

Запознатването с рационални изрази започва в 8-ми клас на училище. По това време уроците по алгебра, студентите все повече започват да отговарят на задачите с уравнения, които съдържат рационални изрази в техните записи. Нека опресняваме в паметта какво е тя.

Определение 1.

Рационално уравнение - Това е такова уравнение в двете части на които се съдържат рационални изрази.

В различни квоти можете да се срещнете с друга формулировка.

Определение 2.

Рационално уравнение - Това е такова уравнение, записа на лявата част на който съдържа рационален израз и едната - нула.

Дефинициите, които водехме за рационални уравнения, са еквивалентни, както казват едно и също нещо. Потвърждава коректността на нашите думи факта, че за всякакви рационални изрази Пс. и Q. уравнения P \u003d Q. и P - Q \u003d 0 ще бъдат еквивалентни изрази.

Сега нека се обърнем към примерите.

Пример 1.

Рационални уравнения:

x \u003d 1, 2 · x - 12 · x 2 · y · z 3 \u003d 0, xx2 + 3 · x - 1 \u003d 2 + 2 7 · x - a · (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 \u003d 3.

Рационалните уравнения по същия начин, както уравненията на други видове могат да съдържат произволен брой променливи от 1 до няколко. За да започнем, разглеждаме прости примери, в които уравненията ще съдържат само една променлива. И тогава да започнем постепенно да усложним задачата.

Рационалните уравнения са разделени на две големи групи: цели и частични. Да видим кои уравнения ще се свържат с всяка от групите.

Определение 3.

Рационалното уравнение ще бъде цяло число, ако има цялостни рационални изрази в записа на лявата и дясната част.

Определение 4.

Рационалното уравнение ще бъде фракция в случай, че една или и двете части съдържат фракция.

Фракционните рационални уравнения са задължителни, съдържащи разделение в променлива или променливата е налична в знаменателя. Няма такова разделение в записи на цялото разделение.

Пример 2.

3 · x + 2 \u003d 0 и (x + y) · (3 · x 2 - 1) + x \u003d - y + 0, 5 - цели рационални уравнения. Тук двете части на уравнението са представени от цели изрази.

1 x - 1 \u003d x 3 и x: (5 · x 3 + y 2) \u003d 3: (x - 1): 5 - Това са частични рационални уравнения.

Линейни и квадратни уравнения могат да се дължат на броя на цели рационални уравнения.

Решаване на цели уравнения

Разтворът на такива уравнения обикновено се намалява, за да ги превърне в еквивалентни алгебрични уравнения. Възможно е да се постигне това чрез провеждане на еквивалентни трансформации на уравнения в съответствие със следния алгоритъм: \\ t

първо, ние получаваме нула в дясната част на уравнението, за това е необходимо да се прехвърли изразът, който е в дясната част на уравнението, в лявата му част и да промени знака;
след това превръщаме изразяването на лявата част на уравнението в полином от стандартните видове.

Трябва да получим алгебрично уравнение. Това уравнение ще бъде еквивалентно на уравнението на източника. Лесни случаи ни позволяват да решим проблема за намаляване на цялото уравнение с линеен или квадрат. Като цяло решаваме алгебричното уравнение на степента Н..

Пример 3.

Необходимо е да се намерят корените на цялото уравнение. 3 · (x + 1) · (x - 3) \u003d x · (2 \u200b\u200b· x - 1) - 3.

Решение

Извършваме трансформацията на първоначалния израз, за \u200b\u200bда получим еквивалентно алгебрично уравнение. За да направите това, ние ще прехвърлим израза, съдържащ се в дясната част на уравнението, вляво и ще замени знака до обратното. В резултат на това получаваме: 3 · (X + 1) · (x - 3) - x · (2 \u200b\u200b· x - 1) + 3 \u003d 0.

Сега ще проведем израз на изразяване, която се намира от лявата страна в стандартния тип полином и ние ще произвеждаме необходимите действия с този полином:

3 · (X + 1) · (X - 3) - X · (2 \u200b\u200b· X - 1) + 3 \u003d (3 · X + 3) · (x - 3) - 2 · x 2 + x + 3 \u003d \u003d 3 · x 2 - 9 · x + 3 · x - 9 - 2 · x 2 + x + 3 \u003d x 2 - 5 · x - 6

Успяхме да намалим решаването на първоначалното уравнение на решението квадратно уравнение Изглед x 2 - 5 · x - 6 \u003d 0. Дискриминацията на това уравнение е положителна: D \u003d (- 5) 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 25 + 24 \u003d 49. Това означава, че действителните корени ще бъдат две. Ще ги намерим, използвайки корена на квадратното уравнение:

x \u003d - - 5 ± 49 2 · 1, \\ t

x 1 \u003d 5 + 7 2 или x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 \u003d 6 или x 2 \u003d - 1

Ще проверим лоялността на корените на уравнението, които открихме по време на решението. За това полученият номер ще замени в първоначалното уравнение: 3 · (6 + 1) · (6 - 3) \u003d 6 · (2,6 - 1) - 3и 3 · (- 1 + 1) · (- 1 - 3) \u003d (- 1) · (2 \u200b\u200b· (- 1) - 1) - 3. В първия случай 63 = 63 Втори 0 = 0 . Корени x \u003d 6. и x \u003d - 1 Всъщност корените на уравнението, дадени в състоянието на примера.

Отговор: 6 , − 1 .

Нека се чудим каква е "степента на цялото уравнение". С този термин често ще се срещаме в случаите, когато ще трябва да представим цялото уравнение под формата на алгебрично. Нека дефинираме концепцията.

Определение 5.

Степента на цялото уравнение- Това е степента на алгебрично уравнение, еквивалентно на първоначалното цялото уравнение.

Ако погледнете уравненията от горния пример, можете да инсталирате: степента на цялото това уравнение е второто.

Ако нашият курс е ограничен до решаването на уравненията на втората степен, тогава може да бъде завършено разглеждането на темата върху това. Но всичко не е толкова просто. Решението на уравненията на третата степен е свързано с трудностите. И за уравнения над четвъртата степен и изобщо не съществува общи формули корени. В това отношение решаването на цели уравнения на третата, четвъртата и другата степен изисква от нас да прилагаме редица други техники и методи.

По-често подходът се използва за решаване на всички рационални уравнения, което се основава на метода на разширяване на мултипликатори. Алгоритъмът на действията в този случай е както следва:

изразът се прехвърля от дясната страна наляво, така че нула остава в дясната част;
представяме изразяването от лявата страна като продукт на множителите и след това се преместваме в съвкупността от няколко по-прости уравнения.

Пример 4.

Намерете разтвора на уравнение (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) \u003d 2 · х · (x 2 - 10 · х + 13).

Решение

Прехвърляне на експресията от дясната страна на записа наляво с противоположния знак: (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) \u003d 0. Превръщането на лявата страна в полином от стандартните видове е непрактично поради факта, че това ще ни даде алгебричното уравнение на четвъртата степен: x 4 - 12 · x 3 + 32 · x 2 - 16 · x - 13 \u003d 0. Лекотата на трансформация не оправдава всички трудности при решаването на такова уравнение.

Много по-лесно е да отидете по друг начин: ще донеса общ мултипликатор за скоби x 2 - 10 · x + 13.Така ще стигнем до уравнението на типа (x 2 - 10 · x + 13) · (x 2 - 2 · x - 1) \u003d 0. Сега сменете полученото уравнение с набор от две квадратни уравнения x 2 - 10 · x + 13 \u003d 0 и x 2 - 2 · x - 1 \u003d 0 И ние откриваме техните корени чрез дискриминантно: 5 + 2 · 3, 5 - 2,3, 1 + 2, 1 - 2.

Отговор: 5 + 2,3, 5 - 2,3, 1 + 2, 1 - 2.

По същия начин можем да използваме метода за въвеждане на нова променлива. Този метод ни позволява да преминем към еквивалентни уравнения с градуси по-ниски, отколкото в оригиналното уравнение.

Пример 5.

Има ли корекции в уравнението (x 2 + 3 · x + 1) 2 + 10 \u003d - 2 · (x 2 + 3 · x - 4)?

Решение

Ако сега се опитаме да намалим цялото рационално уравнение за алгебрично, тогава получаваме уравнение 4 градуса, които нямат рационални корени. Затова за нас ще бъде по-лесно да отидем на друго: въведете нова променлива Y, която ще замени изразяването в уравнението x 2 + 3 · x.

Сега ще работим с целочислено уравнение (Y + 1) 2 + 10 \u003d - 2 · (Y - 4). Ние прехвърляме дясната част на уравнението вляво с обратния знак и извършваме необходимите трансформации. Получаваме: Y 2 + 4 · Y + 3 \u003d 0. Намерете корените на квадратното уравнение: y \u003d - 1и y \u003d - 3.

Сега прекарайте обратната замяна. Получаваме две уравнения x 2 + 3 · x \u003d - 1 и x 2 + 3 · x \u003d - 3.Препишете ги като x 2 + 3 · x + 1 \u003d 0 и x 2 + 3 · x + 3 \u003d 0. Използване на коренната формула на квадратното уравнение, за да се намерят корените на първото уравнение от получения: - 3 ± 5 2. Дискриминацията на второто уравнение е отрицателна. Това означава, че във второто уравнение няма валидни корени.

Отговор: - 3 ± 5 2

Цяло уравнения високи степени Често се вписват в задачите. Те не трябва да се страхуват. Трябва да сте готови да приложите нестандартен метод за тяхното решение, включително редица изкуствени трансформации.

Решение на частични рационални уравнения

Да започнем разглеждането на тази подтец с алгоритъма за решаване на частично рационални уравнения на формата P (x) Q (x) \u003d 0, където P (x) и Q (x) - цели рационални изрази. Разтворът на останалите фракционни рационални уравнения винаги може да бъде намален до решаване на уравненията на посочените видове.

Най-използваният метод за решаване на уравненията p (x) q (x) \u003d 0 се основава на следното твърдение: цифровата фракция U V.където В. - Това е число, което е различно от нула, е нула само в случаите, когато броячът на фракцията е нула. Следвайки логиката на даденото изявление, можем да твърдим, че разтворът на уравнението p (x) q (x) \u003d 0 може да бъде намален до изпълнението на две условия: P (x) \u003d 0 и Q (x) ≠ 0. Този изграден алгоритъм за решаване на частични рационални уравнения на формуляра P (x) Q (x) \u003d 0:

намерете решение на цялото рационално уравнение P (x) \u003d 0;
проверете дали се извършват корените, намерени по време на разтвора, състояние Q (x) ≠ 0.

Ако това условие е изпълнено, тогава коренът е намерен, ако не, коренът не е решение на проблема.

Пример 6.

Намерете корените на уравнението 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 \u003d 0.

Решение

Ние се занимаваме с частично рационално уравнение на формата p (x) q (x) \u003d 0, в която р (x) \u003d 3 · x - 2, q (x) \u003d 5 · x 2 - 2 \u003d 0. Ще продължим да решаваме линейното уравнение 3 · x - 2 \u003d 0. Коренът на това уравнение ще бъде x \u003d 2 3.

Ще проверим устата, независимо дали отговарят на състоянието 5 · x 2 - 2 ≠ 0. За да направите това, ние ще заменим цифрова стойност в израза. Получаваме: 5 · 2 3 2 - 2 \u003d 5,4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Състоянието се извършва. Означава, че x \u003d 2 3 Това е коренът на уравнението на източника.

Отговор: 2 3 .

Има друга възможност за решаване на частични рационални уравнения P (x) Q (x) \u003d 0. Припомнете си, че това уравнение е еквивалентно на цялото уравнение P (x) \u003d 0 Относно областта на допустимите стойности на променливата x от уравнението на източника. Това ни позволява да използваме следния алгоритъм в решаването на уравненията p (x) q (x) \u003d 0:

ние решаваме уравнението P (x) \u003d 0;
ние намираме областта на допустимите стойности на променливата x;
ние приемаме корените, които лежат в областта на допустимите стойности на променливата x, като желаните корени на първоначалното фракционно рационално уравнение.

Пример 7.

Решете уравнението x 2 - 2 · x - 11 x 2 + 3 · x \u003d 0.

Решение

Да започнем с квадратното уравнение x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0. За да изчислите корените си, ние използваме основната формула за дори втори коефициент. Получаване D 1 \u003d (- 1) 2 - 1 · (- 11) \u003d 12и x \u003d 1 ± 23.

Сега можем да намерим променлива на OTZ за уравнението на източника. Това са всички числа, за които x 2 + 3 · x ≠ 0. Това е същото като x · (x + 3) ≠ 0Където x ≠ 0, x ≠ - 3.

Сега проверете дали корените, получени на първия етап на корена, решават x \u003d 1 ± 2 3 в стойностите на допустимите стойности на променливата x. Виждаме това влизане. Това означава, че първоначалното фракционно рационално уравнение има два корена x \u003d 1 ± 23.

Отговор: x \u003d 1 ± 2 3

Вторият метод на разтвора е по-лесен за първия в случаите, когато е лесно разположена площта на допустимите стойности на променливата X и корените на уравнението P (x) \u003d 0 ирационално. Например, 7 ± 4 · 26 9. Корените могат да бъдат рационални, но с голям цифров или знаменател. Например, 127 1101 и − 31 59 . Това ви позволява да спестите време за проверка на условията Q (x) ≠ 0 : Много по-лесно е да се изключат корените, които не са подходящи, според ...

В тези случаи, когато корените на уравнението P (x) \u003d 0 Цялото, по-целесъобразно е да се използва първата от описаните алгоритми за решаване на уравненията на формуляра P (x) Q (x) \u003d 0. По-бързо, за да намерите корените на цялото уравнение P (x) \u003d 0след което се проверява дали за тях се извършва състояние Q (x) ≠ 0и да не се намери отзад, след това решава уравнение P (x) \u003d 0 На това странно. Това се дължи на факта, че в такива случаи обикновено е инспекция по-лесна от намирането на OTZ.

Пример 8.

Намерете корените на уравнението (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (X + 1) x 5 - 15 · х 4 + 57 · х 3 - 13 · X 2 + 26 · x + 112 \u003d 0.

Решение

Да започнем с разглеждането на цялото уравнение (2 · x - 1) · (x - 6) · (x 2 - 5 · x + 14) · (x + 1) \u003d 0 И намиране на корените си. За да направите това, ние ще приложим метода за решаване на уравненията чрез разлагане на множителите. Оказва се, че първоначалното уравнение е еквивалентно на съвкупността от четири уравнения 2 · x - 1 \u003d 0, x - 6 \u003d 0, x 2 - 5 · x + 14 \u003d 0, x + 1 \u003d 0, от които три линейна и един квадрат. Намерете корените: от първото уравнение x \u003d 1 2от втория - x \u003d 6.от третия - x \u003d 7, x \u003d - 2, от четвъртия - x \u003d - 1.

Ще проверим получените корени. Трудно е да се определи OTZ в този случай, тъй като това ще трябва да реши алгебрично пето уравнение. Ще бъде по-лесно да се провери състоянието, при което знаменателят на фракцията, който е в лявата част на уравнението, не трябва да се свързва с нула.

На свой ред корените на мястото на променливата x в израза X 5 - 15 · x 4 + 57 · x 3 - 13 · x 2 + 26 · x + 112и изчисляване на стойността му:

1 2 5 - 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 - 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 \u003d 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 \u003d 122 + 1 32 ≠ 0;

6 5 - 15 · 6 4 + 57 · 6 3 - 13,6 2 + 26 · 6 + 112 \u003d 448 ≠ 0;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13,7 2 + 26 · 7 + 112 \u003d 0;

(- 2) 5 - 15 · (- 2) 4 + 57 · (- 2) 3 - 13 · (- 2) 2 + 26 · (- 2) + 112 \u003d - 720 ≠ 0;

(- 1) 5 - 15 · (- 1) 4 + 57 · (- 1) 3 - 13 · (- 1) 2 + 26 · (- 1) + 112 \u003d 0.

Тестът ни позволява да установим, че корените на първоначалното фракционно расови уравнение са 1 2, 6 и − 2 .

Отговор: 1 2 , 6 , - 2

Пример 9.

Намерете корените на фракционното рационално уравнение 5 · x 2 - 7 · x - 1 · x - 2 x 2 + 5 · x - 14 \u003d 0.

Решение

Да започнем да работим с уравнението (5 · x 2 - 7 · x - 1) · (x - 2) \u003d 0. Намерете корените му. За нас е по-лесно да представим това уравнение като комбинация от квадратни и линейни уравнения. 5 · x 2 - 7 · x - 1 \u003d 0 и X - 2 \u003d 0.

Използвайте формулата на коренната форма на уравнението на квадрата, за да търсите корени. Получаваме от първото уравнение два корени x \u003d 7 ± 69 10 и от втория x \u003d 2..

Да се \u200b\u200bзамени стойността на корените в първоначалното уравнение, за да се провери условията, които ще бъде доста трудно. Ще бъде по-лесно да се определи променливата на OTZ X. В този случай променливата на OTZ е всички числа, с изключение на тези, за които е изпълнено условието. x 2 + 5 · x - 14 \u003d 0. Получаваме: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Сега проверете дали корените, намерени от нас, принадлежат към областта на допустимите стойности на променливата x.

Следователно корените X \u003d 7 ± 69 10 принадлежат, те са корени на първоначалното уравнение и x \u003d 2. - Следователно това не принадлежи, това е външен корен.

Отговор: x \u003d 7 ± 69 10.

Ще анализираме отделно, когато в числатора на фракционно рационално уравнение на формата P (x) Q (x) \u003d 0 е номерът. В такива случаи, ако има число, различно от нула в числителя, уравнението няма да има корени. Ако този номер ще бъде нула, тогава коренът на уравнението ще бъде произволен брой от otz.

Пример 10.

Решете фракционното рационално уравнение - 3, 2 x 3 + 27 \u003d 0.

Решение

Това уравнение няма да има корени, тъй като в числа на фракцията от лявата страна на уравнението е различно от нула. Това означава, че по без значение какви стойности x стойността на troby задачата не е равна на нула.

Отговор: Няма корени.

Пример 11.

Решете уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 \u003d 0.

Решение

Тъй като фракцията е нула в числа, разтворът на уравнението ще бъде всяка стойност на X от променливата на OTZ X.

Сега определяме otz. Тя ще включва всички стойности на x, в които x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Уравнение на решенията x 4 + 5 · x 3 \u003d 0. \\ t 0 и − 5 Тъй като това уравнение е еквивалентно на уравнение x 3 · (x + 5) \u003d 0и на свой ред е еквивалентно на комбинацията от две уравнения x 3 \u003d 0 и x + 5 \u003d 0Където са видими тези корени. Ние стигаме до факта, че желаната област на допустимите стойности е всеки x, с изключение на x \u003d 0. и x \u003d - 5.

Оказва се, че фракционното рационално уравнение 0 x 4 + 5 · x 3 \u003d 0 има безкраен набор от разтвори, които са всички номера освен нула и - 5.

Отговор: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Сега нека поговорим за фракционните рационални уравнения на произволни видове и методи за тяхното решение. Те могат да бъдат написани като R (x) \u003d s (x)където R (x) и S (x) - Рационални изрази и поне един частичен. Разтворът на такива уравнения се намалява до решаване на уравненията на формата P (x) Q (x) \u003d 0.

Вече знаем, че можем да получим еквивалентно уравнение при прехвърляне на експресия от дясната страна на уравнението наляво с противоположния знак. Това означава, че уравнението R (x) \u003d s (x) Еквивалентно уравнение R (x) - s (x) \u003d 0. Ние също така разглобени начини за превръщане на рационалния израз в рационална фракция. Благодарение на това можем лесно да конвертирате уравнението R (x) - s (x) \u003d 0 Към идентичната рационална фракция на формата p (x) q (x).

Така че преместваме от първоначалното фракционно рационално уравнение R (x) \u003d s (x) Към уравнението на формуляра P (x) Q (x) \u003d 0, за да решите кои вече сме научили.

Трябва да се има предвид, че при извършване на преходи от R (x) - s (x) \u003d 0 до P (x) q (x) \u003d 0, и след това към P (x) \u003d 0 Може да не вземем предвид разширяването на допустимите стойности на променливата x.

Ситуацията е доста реална, когато първоначалното уравнение R (x) \u003d s (x) и уравнение P (x) \u003d 0в резултат на това трансформациите ще престанат да бъдат еквивалентни. След това решението на уравнението P (x) \u003d 0 може да ни даде корените, които ще бъдат неразрешени R (x) \u003d s (x). Във връзка с това във всеки случай е необходимо да се провери някой от описаните по-горе методи.

За да ви улеснят да изучавате темата, ние обобщихме цялата информация в Алградските, решаването на частично рационално уравнение на вида R (x) \u003d s (x):

ние носим израза от дясната страна с противоположния знак и получаваме право на нула;
ние трансформираме първоначалния израз в рационална фракция p (x) q (x), последователно извършване на действия с фракции и полиноми;
ние решаваме уравнението P (x) \u003d 0;
разкриват чужди корени чрез проверка на техните аксесоари OTZ или метод за заместване към първоначалното уравнение.

Визуално веригата на действие ще изглежда така:

r (x) \u003d s (x) → r (x) - s (x) \u003d 0 → p (x) q (x) \u003d 0 → p (x) \u003d 0 → o t s e и в n и e p o s t o r o n n и x k 0 rn e

Пример 12.

Решете фракционното рационално уравнение x х + 1 \u003d 1 x + 1.

Решение

Обръщаме се към уравнението x x + 1 - 1 x + 1 \u003d 0. Ние превръщаме фракционен рационален израз в лявата страна на уравнението към формата P (x) Q (x).

За да направите това, ще трябва да донесем рационални фракции на общия знаменател и да опростим изразяването:

xX + 1 - 1 x - 1 \u003d x · x - 1 · (x + 1) - 1 · х · (x + 1) x · (x + 1) \u003d x 2 - x - 1 - x 2 - xx · (X + 1) \u003d - 2 · x - 1 x · (x + 1)

За да намерите корените на уравнението - 2 · x - 1 x · (x + 1) \u003d 0, трябва да решим уравнението - 2 · x - 1 \u003d 0. Получаваме един корен x \u003d - 1 2.

Оставихме да проверим някой от методите. Разгледайте ги и двете.

Ние заменяме стойността, получена в първоначалното уравнение. Получаваме - 1 2 - 1 2 + 1 \u003d 1 - 1 2 + 1. Стигнахме до вярно цифрово равенство − 1 = − 1 . Означава, че x \u003d - 1 2 Това е коренът на уравнението на източника.

Сега харчите проверки през otz. Ние определяме областта на допустимите стойности на променливата x. Това ще бъдат всички зададени числа, с изключение на - 1 и 0 (с x \u003d - 1 и x \u003d 0, знаменателите на фракциите се прилагат към нула). Отивате на корен x \u003d - 1 2 принадлежи Otz. Това означава, че това е коренът на уравнението на източника.

Отговор: − 1 2 .

Пример 13.

Намерете корените на уравнението x 1 x + 3 - 1 x \u003d - 2 3 · x.

Решение

Ние се занимаваме с частично рационално уравнение. Следователно ще действаме според алгоритъма.

Ние прехвърляме израза от дясната страна наляво с противоположния знак: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x \u003d 0

Ние извършваме необходимите трансформации: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x \u003d x 3 + 2 · x 3 \u003d 3 · x 3 \u003d x.

Пристигаме в уравнението x \u003d 0.. Коренът на това уравнение е нула.

Проверете дали този корен е непознати за първоначалното уравнение. Ние заменяме стойността в оригиналното уравнение: 0 1 0 + 3 - 1 0 \u003d - 2 3 · 0. Както виждате, полученото уравнение няма смисъл. Това означава, че 0 е външен корен, а първоначалното фракционно рационално уравнение няма корен.

Отговор: Няма корени.

Ако не сме включили други еквивалентни трансформации в алгоритъма, той изобщо не означава, че те не могат да бъдат използвани. Алгоритъмът е универсален, но е предназначен да помогне и не ограничава.

Пример 14.

Решете уравнение 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 7 24

Решение

Най-лесният начин за решаване на намаленото фракционно рационално уравнение според алгоритъма. Но има и друг начин. Помисли за това.

Ние отнемаме от дясната и лявата част 7, получаваме: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

От тук можете да заключите, че изразът в знаменателя на лявата част трябва да бъде равен на броя, обратно от дясната страна, т.е. 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 24 7.

Отпускане от двете части 3: 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 3 7. По аналогия 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, от където 1 5 - x 2 \u003d 1 3 и още 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Ще проверим, за да установим дали намерените корени са корените на уравнението на източника.

Отговор: x \u003d ± 2

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter