Решаване на линейни уравнения с примери. Линейни уравнения

Уравнение е равенство, в което има неизвестен член - x. Трябва да се намери значението му.

Неизвестната величина се нарича корен на уравнението. Решаването на уравнение означава намиране на неговия корен и за това трябва да знаете свойствата на уравненията. Уравненията за 5 клас са прости, но ако се научите да ги решавате правилно, няма да имате проблеми с тях в бъдеще.

Основното свойство на уравненията

Когато промените двете страни на уравнението с една и съща сума, то продължава да бъде същото уравнение със същия корен. Нека решим няколко примера, за да разберем по-добре това правило.

Как да решаваме уравнения: Добавяне или изваждане

Да предположим, че имаме уравнение от вида:

• a + x = b - тук a и b са числа, а x е неизвестен член в уравнението.

Ако добавим (или извадим от) стойността c към двете страни на уравнението, тя няма да се промени:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

Пример 1

Нека използваме това свойство, за да решим уравнението:

• 37 + x = 51

Извадете 37 от двете части:

• 37 + х-37 = 51-37

получаваме:

• х = 51-37.

Коренът на уравнението е x = 14.

Ако погледнем отблизо последното уравнение, можем да видим, че то е същото като първото. Просто преместихме член 37 от едната страна на уравнението в другата, заменяйки плюс с минус.

Оказва се, че всяко число може да се прехвърли от едната страна на уравнението в друга с противоположен знак.

Пример 2

• 37 + х = 37 + 22

Нека извършим същото действие, прехвърлим числото 37 от лявата страна на уравнението надясно:

• х = 37 - 37 + 22

Тъй като 37-37 = 0, ние просто намаляваме това и получаваме:

• х = 22.

Еднаквите членове на уравнението с един и същи знак, които са в различни части на уравнението, могат да бъдат отменени (изтрити).

Умножение и деление на уравнения

И двете страни на равенството могат да бъдат умножени или разделени на едно и също число:

Ако равенството a = b се раздели или умножи по c, то няма да се промени:

• a / c = b / c,
• ac = bc.

Пример 3

• 5x = 20

Разделете двете страни на уравнението на 5:

• 5x / 5 = 20/5.

Тъй като 5/5 = 1, тогава премахваме този фактор и делителя от лявата страна на уравнението и получаваме:

• x = 20/5, x = 4

Пример 4

• 5x = 5a

Ако и двете страни на уравнението се разделят на 5, получаваме:

• 5x / 5 = 5a / 5.

5 в числителя и знаменателя на лявата и дясната страна се отменят, оказва се, че x = a. Това означава, че едни и същи фактори от лявата и дясната страна на уравненията се компенсират.

Нека решим още един пример:

• 13 + 2x = 21

Преместете член 13 от лявата страна на уравнението надясно с обратен знак:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

Разделяме двете страни на уравнението на 2, получаваме:

• х = 4.

Макарова Т.П., ГБОУ СОУ № 618 Обучение "Уравнения" 5 клас

Обучение за 5 клас на тема "Уравнения" в 2 варианта

Макарова Татяна Павловна,

Учител GBOU Средно училище № 618, Москва

Контингент: 5 клас

Обучението е насочено към проверка на знанията и уменията на учениците по темата „Уравнения”. Обучението е предназначено за ученици от 5 клас по учебника Н. Я. Виленкин, В. И. Жохова и др. Учебник за 5 клас. - М .: Мнемозина, 2013 .-- 288с. Тестът съдържа два паралелни варианта с еднаква трудност, по девет задачи (4 задачи с избор на отговор, 3 задачи с кратък отговор, 2 задачи с подробно решение).

Това обучение напълно отговаря на федералния държавен образователен стандарт (второ поколение), може да се използва при провеждане на контрол в класната стая и може да се използва и от ученици от 5 клас за самостоятелна работа по темата.

За да завършите теста, се разпределят 15 до 25 минути време за урок. Включени са ключове.

Обучение за 5 клас на тема "Уравнения". Опция 1.

№п / стр

Упражнение

Отговор

Решете уравнението

574

1124

1114

1024

Намерете корена на уравнението

(156-х )+43=170.

1) Коренът на уравнението е значението на буквата.

2) Коренът на уравнението (23 - NS) - 21 = 2 не е естествено число.

3) За да намерите неизвестното извадено, е необходимо да извадите разликата от намаленото.

4) Уравнение х - х= 0 има точно един корен.

Петя замисли номер. Ако добавим 43 към това число и добавим 77 към общото, получаваме 258. Какво число планира Петя?

1) (NS + 43) – 77 = 258

2) (NS + 43) + 77 = 258

3) (NS – 43) + 77 = 258

4) (NS – 43) – 77 = 258

Решете уравнението: (5 с – 8) : 2 = 121: 11.

Решете уравнението: 821 - ( м + 268) = 349.

Намерете значението на числото аако 8 а + 9NS= 60 и NS=4.

Решете задачата с помощта на уравнение. Библиотеката разполагаше със 125 книги по математика. След като учениците взеха няколко книги, а след това върнаха 3 книги, те бяха 116. Колко книги взеха учениците?

Решете уравнението:

456 + (NS – 367) – 225 =898

Обучение за 5 клас на тема "Уравнения". Вариант 2.

№п / стр

Упражнение

Отговор

Част 1. Задача с множество отговори

Решете уравнението

525

1081

535

1071

Намерете корена на уравнението

942 – (г + 142) = 419.

391

481

1219

381

Посочете числата на правилните твърдения:

1) Уравнение е равенство, съдържащо буква, чиято стойност трябва да се намери.

2) Всяко естествено число е корен на уравнението

3) Коренът на уравнението е стойността на буквата, при която от уравнението се получава правилният числов израз.

4) За да намерите неизвестен дивидент, трябва да добавите делител към частното.

Даша замисли номер. Ако добавим 43 към това число и извадим 77 от получената сума, получаваме 258. Какво число има предвид Даша?

1) (NS + 43) – 77 = 258

2) (NS + 43) + 77 = 258

3) (NS – 43) + 77 = 258

4) (NS – 43) – 77 = 258

Част 2. Задача с кратък отговор

Решете уравнението: 63: (2 NS – 1) = 21: 3.

Решете уравнението: 748 - ( б +248) = 300.

Намерете значението на числото аако 7 а – 3NS= 41 и NS=5.

Част 3. Задачи с подробно решение

Решете задачата с помощта на уравнение. В склада имаше 197 машини. След като някои бяха продадени и бяха докарани още 86, в склада останаха още 115 машини. Колко машини сте продали общо?

Линейни уравнения. Решение, примери.

Внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които са "много равномерни ...")

Линейни уравнения.

Линейните уравнения не са най-трудната тема в училищната математика. Но има някои трикове, които могат да озадачават дори обучен ученик. Ще разберем ли?)

Обикновено линейното уравнение се дефинира като уравнение от вида:

брадва + б = 0 където а и б- всякакви числа.

2x + 7 = 0. Ето а = 2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Тук а = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Тук а = 12, b = 1/2

Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите, но небрежно мислите?) В края на краищата, ако а = 0, b = 0(възможни са някакви числа?), тогава получавате забавен израз:

Но това не е всичко! ако кажи, а = 0,а b = 5,се оказва нещо съвсем необичайно:

Което напряга и подкопава доверието в математиката, да...) Особено на изпитите. Но от тези странни изрази е необходимо да се намери и X! Което изобщо го няма. И изненадващо, този X е много лесен за намиране. Ще се научим как да направим това. В този урок.

Как разпознавате линейно уравнение по външния му вид? Зависи какъв външен вид.) Номерът е, че линейните уравнения се наричат ​​не само уравнения от вида брадва + б = 0 , но и всички уравнения, които се свеждат до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали може да се намали или не?)

В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да кажем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни от първа степен и числа. И в уравнението няма фракции, разделени на неизвестен , важно е! И разделяне на номер,или числова дроб - моля! Например:

Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, в куба и т.н., и няма х в знаменателите, т.е. Не деление на х... И ето го уравнението

не може да се нарече линейна. Тук всички x са в първа степен, но има деление по израз с х... След опростявания и трансформации можете да получите и линейно уравнение, и квадратно, и всичко, което искате.

Оказва се, че е невъзможно да се намери линейно уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е смущаващо. Но задачите обикновено не питат за вида на уравнението, нали? В задачите се командват уравнения реши.Това ме радва.)

Решаване на линейни уравнения. Примери.

Цялото решение на линейните уравнения се състои от идентични трансформации на уравненията. Между другото, тези трансформации (до две!) лежат в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиуравнението започва точно с тези трансформации. В случай на линейни уравнения, то (решението) се основава на тези трансформации и завършва с пълноценен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това има и примери за решаване на линейни уравнения.

Нека започнем с най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да предположим, че трябва да решим това уравнение.

x - 3 = 2 - 4x

Това е линейно уравнение. X е всичко в първа степен, няма деление на X. Но всъщност не ни интересува какво е уравнението. Трябва да го решим. Тук схемата е проста. Съберете всичко с x от лявата страна на равенството, всичко без x (число) от дясната.

За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, но - 3 - надясно. Между другото, това е първо идентично преобразуване на уравнения.Изненадан ли си? И така, не последвахме връзката, но напразно ...) Получаваме:

x + 4x = 2 + 3

Ние даваме подобни, вярваме:

Какво ни липсва за пълно щастие? Да, така че вляво имаше чисто X! Петимата са на пътя. Да се ​​отървем от първите пет с второ идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете страни на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:

Елементарен пример, разбира се. Това е за загряване.) Не е много ясно защо си припомних идентични трансформации тук? ДОБРЕ. Хващаме бика за рогата.) Да решим нещо по-впечатляващо.

Например, ето уравнението:

Откъде да започнем? С x - наляво, без x - вдясно? Може и така. На малки крачки по дългия път. Или можете веднага, по универсален и мощен начин. Ако, разбира се, във вашия арсенал има идентични трансформации на уравнения.

Задавам ви един ключов въпрос: какво най-много не ви харесва в това уравнение?

95 души от 100 ще отговорят: фракции ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Затова започваме веднага с втора трансформация на идентичността... Какво ви е необходимо, за да умножите дроба отляво, за да може знаменателят да бъде намален напълно? Вдясно, на 3. А отдясно? По 4. Но математиката ни позволява да умножим и двете страни по същия номер... Как да се измъкнем? И нека умножим двете страни по 12! Тези. по общ знаменател. Тогава и трите, и четирите ще бъдат намалени. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част. изцяло... Ето как изглежда първата стъпка:

Разширяване на скобите:

Забележка! Числител (x + 2)Слагам го в скоби! Това е така, защото когато умножавате дроби, числителят се умножава изцяло, изцяло! И сега дробите могат да бъдат намалени:

Разгънете останалите скоби:

Не пример, а чисто удоволствие!) Сега си припомняме заклинанието от началните класове: с х - вляво, без х - вдясно!И приложете тази трансформация:

Ето подобни:

И двете части разделяме на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:

Това е всичко. Отговор: NS=0,16

Обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркано уравнение в приятна форма, използвахме две (само две!) идентични трансформации- прехвърляне наляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнението на същото число. Това е универсален начин! Ще работим по този начин с всякакви уравнения! Абсолютно всякакви. Ето защо повтарям тези идентични трансформации през цялото време.)

Както можете да видите, принципът на решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме с помощта на идентични трансформации, докато получим отговора. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.

Но... В процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения има такива изненади, че могат да ви вкарат в силен ступор...) За щастие може да има само две такива изненади. Да ги наречем специални случаи.

Специални случаи при решаване на линейни уравнения.

Първа изненада.

Да предположим, че срещнете елементарно уравнение, нещо като:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

Леко отегчени, ние го прехвърляме с х наляво, без х вдясно ... С промяна на знака всичко е chin-chinar ...

2x-5x + 3x = 5-2-3

Ние мислим и ... о, мамка му !!! Получаваме:

Това равенство само по себе си не е оспорено. Нулата наистина е нула. Но X го няма! И ние сме длъжни да напишем в отговора, което е равно на х.В противен случай решението не се брои, да ...) Безизходица?

Спокоен! В такива съмнителни случаи спасяват най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да се реши уравнение? Това означава, намерете всички стойности на x, които, когато бъдат заместени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.

Но ние имаме истинско равенство вечесе случи! 0 = 0, колко по-точно?! Остава да разберем при какво xx се оказва. С какви стойности на x могат да бъдат заместени началенуравнение, ако тези x така или иначе ще се свие до нула?Хайде?)

Да!!! Xs могат да бъдат заменени всякакви!Какво искаш. Най-малко 5, поне 0,05, поне -220. Те така или иначе ще се свият. Ако не ми вярвате, можете да проверите.) Заменете всички стойности на x в началенуравнение и броене. През цялото време ще се получава чистата истина: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 и т.н.

Ето отговора: x - произволно число.

Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е абсолютно правилен и пълен отговор.

Втора изненада.

Да вземем същото елементарно линейно уравнение и да променим само едно число в него. Ето какво ще решим:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:

Като този. Реших линейно уравнение, получих странно равенство. Математически казано, получихме фалшиво равенство.И с прости думи, това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е много добра причина за правилното решаване на уравнението.)

Отново мислим въз основа на общите правила. Какво ще ни даде x, когато бъде заменен в оригиналното уравнение вярноравенство? Да, никаква! Няма такива х. Каквото и да замените, всичко ще намалее, делириумът ще остане.)

Ето отговора: никакви решения.

Това също е доста пълноценен отговор. В математиката такива отговори често се срещат.

Като този. Сега, надявам се, загубата на x в процеса на решаване на което и да е (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви обърка. Въпросът вече е познат.)

Сега, след като разбрахме всички клопки в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Едно от най-важните умения в прием в 5 класе способността да се решават най-простите уравнения. Тъй като 5 клас все още не е толкова далеч от началното училище, няма толкова много видове уравнения, които ученикът може да реши. Ще ви запознаем с всички основни видове уравнения, които трябва да можете да решавате, ако искате запишете се във физико-математическо училище.

Тип 1: "булбона"
Това са уравнения, които е почти вероятно да ви хрумнат, когато прием във всяко училищеили кръг от клас 5 като отделна задача. Те са лесни за разграничаване от другите: променливата присъства само веднъж в тях. Например, или.
Решават се много просто: просто трябва да "стигнете" до неизвестното, като постепенно "отстранявате" всичко ненужно, което го заобикаля - сякаш обелвате лук - оттук и името. За да го разрешите, достатъчно е да запомните няколко правила от втория клас. Нека ги изброим всички:

Добавяне

1. член1 + член2 = сума
2. член1 = сума - член2
3. член2 = сума - член1

Изваждане

1. изваден - изваден = разлика
2. извадено = извадено + разлика
3. извадено = извадено - разлика

Умножение

1. фактор1 * фактор2 = продукт
2. фактор1 = продукт: фактор2
3. фактор2 = продукт: фактор1

дивизия

1. дивидент: делител = частно
2. дивидент = делител * частно
3. делител = дивидент: частно

Нека вземем пример как да приложим тези правила.

Забележете, че се разделяме и получаваме. В тази ситуация знаем делителя и частното. За да намерите дивидента, трябва да умножите делителя по частното:

Приближихме се малко до себе си. Сега виждаме това добавен и получен. И така, за да намерите един от термините, трябва да извадите известния член от сумата:

И още един "пласт" се отстранява от неизвестното! Сега виждаме ситуация с известна стойност на продукта () и един известен фактор ().

Сега ситуацията "намалено - извадено = разлика"

И последната стъпка е известният продукт () и един от факторите ()

Тип 2: уравнения със скоби
Уравнения от този тип най-често се срещат в задачи - 90% от всички задачи за прием в 5 клас... За разлика от "лукови уравнения"променливата може да се появи тук няколко пъти, така че е невъзможно да се реши с методите от предишния параграф. Типични уравнения: или
Основната трудност е правилното отваряне на скобите. След като успеем да направим това правилно, трябва да приведем подобни термини (числа към числа, променливи към променливи) и след това да получим най-простото "луковидно уравнение"които знаем как да решим. Но първо нещата.

Разширяващи се скоби... Ще дадем няколко правила, които трябва да се използват в този случай. Но, както показва практиката, ученикът започва правилно да отваря скобите само след 70-80 решени задачи. Основното правило е следното: всеки фактор извън скобите трябва да се умножи по всеки член в скобите. А минусът пред скобите променя знака на всички изрази вътре. И така, основните правила за разкриване:

Донасяне на подобни... Тук всичко е много по-лесно: трябва, като прехвърлите термините през знака за равенство, да гарантирате, че от едната страна има само термини с неизвестно, а от другата - само числа. Основното правило е следното: всеки пренесен член сменя знака си – ако е бил с, той ще стане c и обратно. След успешно прехвърляне е необходимо да се преброят общия брой неизвестни, като крайното число стои от другата страна на равенството, а не променливите, и да се реши простото число "луковидно уравнение".

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават по същия алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

За начало нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое е най-простото от тях?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само в първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Разгънете скоби, ако има такива;
2. Преместете термините, съдържащи променлива, от едната страна на знака за равенство, а термините без променлива към другата;
3. Доведете подобни термини отляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $ x $.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези манипулации коефициентът при променливата $ x $ се оказва нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $ 0 \ cdot x = 8 $, т.е. има нула отляво и ненулево число отдясно. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини наведнъж, поради които подобна ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно - уравнението е сведено до конструкцията $ 0 \ cdot x = 0 $. Съвсем логично е, че независимо какви $ x $ заместим, пак ще се окаже "нула равна на нула", т.е. правилно числово равенство.

Сега нека видим как работи всичко на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, съдържащо точно една променлива и то стига само до първа степен.

Такива конструкции се решават по приблизително същия начин:

1. На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това донесете подобни
3. Накрая вземете променливата, т.е. всичко, което е свързано с променлива - термините, в които се съдържа - трябва да се прехвърли в една посока, а всичко, което е останало без нея, трябва да се прехвърли в другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да разделите на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено грешки се правят или при разширяване на скоби, или при изчисляване на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва едно линейно уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова права, т.е. произволно число. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ние ще започнем, както вече разбрахте, с най-простите задачи.

Схема за решаване на най-простите линейни уравнения

Като начало, нека още веднъж напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разширете скобите, ако има такива.
2. Ние секретираме променливите, т.е. всичко, което съдържа "x", се прехвърля на едната страна, а без "x" - на другата.
3. Представяме подобни термини.
4. Разделяме всичко на коефициента при "x".

Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има определени тънкости и трикове и сега ще ги опознаем.

Решаване на реални примери за прости линейни уравнения

Проблем номер 1

В първата стъпка от нас се изисква да разширим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме този етап. Във втората стъпка трябва да вземем променливите. Моля, обърнете внимание: говорим само за отделни термини. Нека напишем:

Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено. Следователно преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициент:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Така че получихме отговора.

Проблем номер 2

В този проблем можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека продължим по алгоритъма, т.е. ние секретираме променливите:

Ето подобни:

На какви корени се изпълнява. Отговор: за всякакви. Следователно можем да запишем, че $ x $ е произволно число.

Проблем номер 3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\ [\ ляво (6-x \ дясно) + \ ляво (12 + x \ дясно) - \ ляво (3-2x \ дясно) = 15 \]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто имат различни знаци пред тях. Нека ги отворим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Да преброим:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента при "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Освен твърде прости задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори и да има корени, може да има нула сред тях - няма нищо лошо в това.

Нулата е същото число като останалите, не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга характеристика е свързана с разширяването на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има "минус" пред тях, тогава го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположно... И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: получаваме това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирането на този прост факт ще ви позволи да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато подобни действия се приемат за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Въпреки това, не бива да се страхувате от това, защото ако според намерението на автора решаваме линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, непременно ще бъдат отменени.

Пример №1

Очевидно първата стъпка е разширяването на скобите. Нека го направим много внимателно:

Сега за поверителност:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Ето подобни:

Очевидно това уравнение няма решения, така че ще запишем в отговора, както следва:

\ [\ varnothing \]

или без корени.

Пример №2

Следваме същите стъпки. Първа стъпка:

Преместете всичко с променливата наляво и без нея надясно:

Ето подобни:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:

\ [\ varnothing \],

или няма корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние за пореден път се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един корен, или никакъв, или безкрайно много. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да насоча вниманието ви към друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да разкриете, трябва да умножите всичко по "X". Забележка: умножава се всеки отделен термин... Вътре има два члена - съответно два члена и умножено.

И едва след като бъдат извършени тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации, можете да разширите скобите от гледна точка на факта, че след него има знак минус. Да, да: само сега, когато трансформациите са завършени, си спомняме, че пред скобите има знак минус, което означава, че всичко, което слиза надолу, просто сменя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният "минус" също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Защото решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че гимназистите идват при мен и отново се научават да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден и ще усъвършенствате тези умения до автоматизма. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще напишете всичко на един ред. Но докато само учите, трябва да напишете всяко действие поотделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, вече е трудно да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Проблем номер 1

\ [\ ляво (7x + 1 \ дясно) \ ляво (3x-1 \ дясно) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Нека умножим всички елементи в първата част:

Нека направим усамотението:

Ето подобни:

Извършваме последната стъпка:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване на коефициентите с квадратична функция те взаимно се анихилират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Проблем номер 2

\ [\ ляво (1-4x \ дясно) \ ляво (1-3x \ дясно) = 6x \ ляво (2x-1 \ дясно) \]

Нека направим първата стъпка спретнато: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо трябва да има четири нови термина след трансформациите:

Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:

Нека преместим термините с "x" наляво, а без - надясно:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Ето подобни термини:

За пореден път получихме окончателния отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скобите, в които има повече, отколкото е член, тогава това се прави според следното правило: вземаме първия член от първия и умножете с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по същия начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат получаваме четири термина.

Алгебрична сума

С последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7 $ имаме предвид проста конструкция: извадете седем от едно. В алгебрата имаме предвид следното: към числото "едно" добавяме друго число, а именно "минус седем". По това алгебричната сума се различава от обичайната аритметична.

След като извършвате всички трансформации, всяко събиране и умножение, започвате да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата при работа с полиноми и уравнения.

В заключение, нека разгледаме още няколко примера, които ще бъдат дори по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За да решим подобни проблеми, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

1. Разширете скоби.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете по фактор.

Уви, този отличен алгоритъм, при цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато сме изправени пред дроби. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да се работи в този случай? Всичко е много просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. По този начин алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дроби.
2. Разширете скоби.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете по фактор.

Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде в знаменателя е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дробите.

Пример №1

\ [\ frac (\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\ [\ frac (\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ надясно) \ cdot 4\]

Обърнете внимание: всичко се умножава по "четири" веднъж, т.е. само защото имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по четири. Нека запишем:

\ [\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно) = \ ляво (((x) ^ (2)) - 1 \ дясно) \ cdot 4 \]

Сега да отворим:

Правим изолирането на променливата:

Извършваме редукция на подобни термини:

\ [- 4x = -1 \ вляво | : \ ляво (-4 \ дясно) \ дясно. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Получихме окончателното решение, преминете към второто уравнение.

Пример №2

\ [\ frac (\ ляво (1-x \ дясно) \ ляво (1 + 5x \ дясно)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Тук извършваме всички същите действия:

\ [\ frac (\ ляво (1-x \ дясно) \ ляво (1 + 5x \ дясно) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Проблемът е решен.

Всъщност това е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са както следва:

• Познайте алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно те ще се свият в процеса на по-нататъшни трансформации.
• Корените в линейните уравнения, дори най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова права е корен и изобщо няма корени.

Надявам се този урок да ви помогне да овладеете една проста, но много важна тема за по-нататъшното разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете примерите, представени там. Очаквайте ви още много интересни неща!