Omezte posloupnost příkladů řešení. Limita posloupnosti - základní věty a vlastnosti

Xn prvků nebo členů posloupnosti, n - členů posloupnosti. Je-li funkce f (n) dána analyticky, tedy vzorcem, pak xn = f (n) nazýváme vzorcem člena posloupnosti.

Číslo a se nazývá limita posloupnosti (xn), jestliže pro libovolné ε> 0 existuje číslo n = n (ε), od kterého vychází nerovnost |xn-a |

Příklad 2. Dokažte, že za podmínek příkladu 1 číslo a = 1 není limitou posloupnosti předchozího příkladu. Řešení. Znovu zjednodušte běžný termín. Vezměte ε = 1 (libovolné číslo>

Úlohy přímého výpočtu limity posloupnosti jsou poměrně monotónní. Všechny obsahují poměry polynomů vzhledem k n nebo iracionální výrazy vzhledem k těmto polynomům. Při zahájení řešení umístěte součást v nejvyšším stupni mimo závorku (znaménko radikálu). Nechť to v čitateli původního výrazu povede k výskytu faktoru a ^ p a ve jmenovateli b ^ q. Je zřejmé, že všechny zbývající členy mají tvar С / (n-k) a mají tendenci k nule pro n>

První způsob, jak vypočítat limitu posloupnosti, je založen na její definici. Pravda, je třeba připomenout, že neuvádí způsoby přímého hledání limity, ale umožňuje pouze dokázat, že nějaké číslo a je (nebo není) limita Příklad 1. Dokažte, že posloupnost (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)) má limitu a = 3. Řešení. Proveďte důkaz použitím definice v opačném pořadí. Tedy zprava doleva. Nejprve zkontrolujte, zda neexistuje způsob, jak zjednodušit vzorec pro xn.хn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) Uvažujme nerovnost | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 můžete najít libovolné přirozené číslo nε větší než -2+ 5 / ε.

Naznačme netradiční způsob hledání limity posloupnosti a nekonečných součtů. Použijeme funkční posloupnosti (jejich členy funkce jsou definovány na určitém intervalu (a, b)) Příklad 3. Najděte součet tvaru 1 + 1/2! +1/3! +… + 1 / n! +… = S. Řešení. Jakékoli číslo a ^ 0 = 1. Dejte 1 = exp (0) a zvažte posloupnost funkcí (1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! +… + X ^ / n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Jsou uvedeny formulace hlavních vět a vlastnosti číselných posloupností s limitou. Obsahuje definici posloupnosti a její limitu. Jsou uvažovány aritmetické operace s posloupnostmi, vlastnosti související s nerovnicemi, kritéria pro konvergenci, vlastnosti nekonečně malých a nekonečně velkých posloupností.

Obsah

Konečné limitní vlastnosti sekvencí

Základní vlastnosti

Bod a je limit posloupnosti právě tehdy, když je mimo jakékoli okolí tohoto bodu konečný počet prvků sekvence nebo prázdná množina.

Pokud číslo a není limitou posloupnosti, pak existuje okolí bodu a, mimo nějž je nekonečný počet prvků v sekvenci.

Věta o jednoznačnosti pro limitu číselné posloupnosti... Pokud má posloupnost limitu, pak je jediná.

Pokud má posloupnost konečnou limitu, pak ano omezený.

Pokud každý prvek posloupnosti se rovná stejnému číslu C: pak tato posloupnost má limit rovný číslu C.

Pokud sekvence přidat, vyřadit nebo změnit prvních m prvků, pak to neovlivní jeho konvergenci.

Důkazy hlavních vlastností jsou uvedeny na stránce
Základní vlastnosti konečných limit posloupností >>>.

Aritmetické operace s limitami

Nechť existují konečné limity a posloupnosti a. A nechť C je konstanta, tedy dané číslo. Pak
;
;
;
, pokud .
V případě kvocientu se předpokládá, že pro všechna n.

Pokud, tak.

Důkazy aritmetických vlastností jsou uvedeny na stránce
Aritmetické vlastnosti konečných limit posloupností >>>.

Vlastnosti nerovnosti

Jestliže prvky posloupnosti, počínaje nějakým číslem, vyhoví nerovnosti, pak i limita a této posloupnosti vyhoví nerovnosti.

Pokud prvky posloupnosti počínaje nějakým číslem patří do uzavřeného intervalu (segmentu), pak do tohoto intervalu patří i limita a:.

Jestliže a a prvky posloupností, počínaje nějakým číslem, vyhoví nerovnosti, pak.

Pokud a, počínaje nějakým číslem, pak.
Zejména pokud, počínaje nějakým číslem, pak
jestliže, pak;
pokud, tak.

Pokud a pak.

Nechte a. Pokud < b , pak existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N nerovnost platí.

Důkazy vlastností souvisejících s nerovnostmi jsou uvedeny na stránce
Vlastnosti limitu sekvence související s nerovnostmi >>>.

Nekonečně velké a nekonečně malé sekvence

Nekonečně malá sekvence

Infinitezimální posloupnost je posloupnost, jejíž limita je nula:
.

Součet a rozdíl z konečného počtu infinitezimálních posloupností je nekonečně malá posloupnost.

Produkt s omezenou sekvencí infinitezimálním je nekonečně malá posloupnost.

Konečný produkt infinitezimální posloupnost je nekonečně malá posloupnost.

Aby posloupnost měla limitu a, je nutné a postačující, že kde je nekonečně malá posloupnost.

Důkazy vlastností infinitezimálních posloupností jsou uvedeny na stránce
Infinitezimální posloupnosti - definice a vlastnosti >>>.

Nekonečně velká sekvence

Nekonečně velká posloupnost je posloupnost, která má nekonečně velkou limitu. To znamená, že pokud pro nějaké kladné číslo existuje přirozené číslo N závislé na takovém, že pro všechna přirozená čísla je nerovnost
.
V tomto případě napište
.
Nebo v.
Říká se, že to směřuje do nekonečna.

Pokud od nějakého čísla N, pak
.
Pokud, tak
.

Pokud jsou posloupnosti nekonečně velké, pak od nějakého čísla N je definována posloupnost, která je nekonečně malá. Pokud se jedná o nekonečně malou posloupnost s nenulovými prvky, pak je posloupnost nekonečně velká.

Pokud je posloupnost nekonečně velká a posloupnost je omezená, pak
.

Pokud jsou absolutní hodnoty prvků sekvence zespodu ohraničeny kladným číslem () a jsou nekonečně malé s prvky, které se nerovnají nule, pak
.

V detailech definice nekonečně velké posloupnosti s příklady je uveden na stránce
Definice nekonečně velké posloupnosti >>>.
Důkazy vlastností nekonečně velkých posloupností jsou uvedeny na stránce
Vlastnosti nekonečně velkých posloupností >>>.

Kritéria konvergence pro posloupnosti

Monotónní sekvence

Striktně rostoucí posloupnost je posloupnost pro všechny prvky, u kterých platí následující nerovnosti:
.

Ostatní monotónní sekvence jsou definovány podobnými nerovnostmi.

Přísně sestupná sekvence:
.
Neklesající sekvence:
.
Nerostoucí sekvence:
.

Z toho vyplývá, že přísně rostoucí posloupnost je také neklesající. Striktně klesající sekvence je také nerostoucí.

Monotónní sekvence je neklesající nebo nerostoucí sekvence.

Monotónní sekvence je omezena alespoň na jedné straně hodnotou. Neklesající posloupnost je ohraničena zdola:. Nerostoucí posloupnost je shora ohraničena:.

Weierstrassova věta... Aby neklesající (nerostoucí) posloupnost měla konečnou limitu, je nutné a postačující, aby byla ohraničena shora (zdola). Tady M je nějaké číslo.

Protože jakákoli neklesající (nerostoucí) posloupnost je ohraničena zdola (shora), lze Weierstrassovu větu přeformulovat takto:

Aby monotónní posloupnost měla konečnou limitu, je nutné a postačující, aby byla omezena:.

Monotónní neomezená sekvence má nekonečnou mez, stejnou pro neklesající i nerostoucí posloupnost.

Důkaz Weierstrassovy věty uvedeno na stránce
Weierstrassova věta o limitě monotónní posloupnosti >>>.

Cauchyho kritérium pro konvergenci posloupnosti

Cauchy stav
Sekvence vyhovuje Cauchyho stav jestliže pro kterékoli existuje přirozené číslo takové, že pro všechna přirozená čísla n a m splňující podmínku, nerovnost
.

Základní posloupnost je posloupnost, která vyhovuje Cauchyho stav.

Cauchyho kritérium pro konvergenci posloupnosti... Aby posloupnost měla konečnou limitu, je nutné a postačující, aby splňovala Cauchyho podmínku.

Důkaz Cauchyho konvergenčního kritéria uvedeno na stránce
Cauchyho kritérium pro konvergenci posloupnosti >>>.

Následky

Bolzanova - Weierstrassova věta... Konvergentní podsekvenci lze vybrat z libovolné ohraničené posloupnosti. A z libovolné neomezené posloupnosti – nekonečně velké podsekvence konvergující k nebo k.

Důkaz Bolzanovy - Weierstrassovy věty uvedeno na stránce
Bolzanova - Weierstrassova věta >>>.

Definice, věty a vlastnosti podposloupností a dílčích limit viz str
Dílčí posloupnosti a dílčí limity posloupností >>>.

Reference:
CM. Nikolského. Kurz matematické analýzy. Svazek 1.Moskva, 1983.
L. D. Kudrjavcev. Kurz matematické analýzy. Svazek 1.Moskva, 2003.
V.A. Zorich. Matematická analýza. Část 1. Moskva, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznjak. Základy matematické analýzy. Část 1. Moskva, 2005.

Viz také:

Limit posloupnosti čísel- hranice posloupnosti prvků číselného prostoru. Číselný prostor je metrický prostor, jehož vzdálenost je definována jako modul rozdílu mezi prvky. Proto se číslo volá limit sekvence pokud pro nějaké existuje číslo závislé na takovém, že pro jakékoli platí nerovnost.

Pojem limity posloupnosti reálných čísel je poměrně jednoduchý a v případě komplexních čísel je existence limity posloupnosti ekvivalentní existenci limity odpovídajících posloupností reálných a imaginárních částí komplexních čísel. .

Limita (číselná posloupnost) je jedním ze základních pojmů matematické analýzy. Každé reálné číslo může být reprezentováno jako limit posloupnosti aproximací k požadované hodnotě. Tuto posloupnost kvalifikací poskytuje číselný systém. Iracionální celá čísla jsou popsána periodickými posloupnostmi aproximací, zatímco iracionální čísla jsou popsána neperiodickými posloupnostmi aproximací.

V numerických metodách, kde se používá reprezentace čísel s konečným počtem znamének, hraje zvláštní roli volba aproximačního systému. Kritériem kvality systému aproximací je míra konvergence. V tomto ohledu jsou účinné pokračovací frakce.

Definice

Číslo se volá limitu číselné posloupnosti je-li posloupnost nekonečně malá, to znamená, že všechny její prvky, počínaje některými, jsou v absolutní hodnotě menší než jakékoli kladné číslo zadané předem.

Pokud má číselná posloupnost limitu ve tvaru reálného čísla, je volána konvergující na toto číslo. V opačném případě se zavolá sekvence rozcházející se ... Pokud je navíc neomezená, předpokládá se, že její limita je rovna nekonečnu.

Kromě toho, pokud všechny prvky neomezené posloupnosti, počínaje nějakým číslem, mají kladné znaménko, pak se říká, že limita takové posloupnosti je plus nekonečno .

Pokud mají prvky neomezené posloupnosti, počínaje určitým číslem, záporné znaménko, pak říkají, že limita takové posloupnosti je mínus nekonečno .

Tato definice má fatální chybu: vysvětluje, co je to limita, ale neposkytuje způsob, jak ji vypočítat, ani informace o její existenci. To vše je odvozeno z níže dokázaných vlastností limitu.

Dnes v lekci budeme analyzovat přísné řazení a přísná definice limity funkce a také se naučit řešit odpovídající problémy teoretického charakteru. Článek je určen především studentům 1. ročníku přírodovědných a inženýrských a technických oborů, kteří se začali zabývat teorií matematické analýzy a potýkali se s obtížemi s porozuměním této části vyšší matematiky. Materiál je navíc pro středoškoláky vcelku dostupný.

Za léta existence stránek jsem dostal tucet dopisů přibližně s následujícím obsahem: „Nerozumím matematické analýze, co mám dělat?“, „Vůbec nerozumím mataně, myslím, že budu ukončit studium“ atd. Ve skutečnosti je to matan, kdo často prořídne skupinu studentů hned po prvním sezení. proč tomu tak je? Protože je předmět neuvěřitelně těžký? Vůbec ne! Teorie matematické analýzy není tak obtížná, jako je zvláštní... A musíte ji přijmout a milovat takovou, jaká je =)

Začněme tím nejhorším případem. V první řadě není potřeba opouštět školu. Rozumějte správně, přestat, to bude vždy včas ;-) Samozřejmě, pokud se vám po roce nebo dvou udělá špatně z vybrané speciality, tak ano - měli byste na to myslet (a ne bičovat horečku!) o změně činnosti. Ale zatím stojí za to pokračovat. A prosím, zapomeňte na frázi „ničemu nerozumím“ – nestane se, že byste vůbec ničemu nerozuměli.

Co když je teorie špatná? To se mimochodem netýká pouze matematické analýzy. Pokud je teorie špatná, musíte nejprve VÁŽNĚ zavést praxi. Současně se řeší dva strategické úkoly najednou:

- Za prvé, značná část teoretických znalostí pocházela z praxe. A proto mnoho lidí rozumí teorii prostřednictvím... - to je pravda! Ne, ne, na to jsi nemyslel =)

- A za druhé, praktické dovednosti vás u zkoušky pravděpodobně "protáhnou", i když ..., ale nelaďme se tak! Všechno je skutečné a vše je reálné "navýšit" v poměrně krátkém čase. Matematická analýza je mým oblíbeným odvětvím vyšší matematiky, a proto jsem vám prostě nemohl pomoct:

Na začátku 1. semestru se obvykle předávají meze posloupnosti a meze funkcí. Nechápete, co to je a nevíte, jak je vyřešit? Začněte článkem Funkční limity, ve kterém se „na prstech“ zvažuje samotný koncept a rozebírají se nejjednodušší příklady. Poté projděte další lekce na dané téma, včetně lekce na toto téma v rámci sekvencí na které jsem ve skutečnosti již formuloval striktní definici.

Jaké ikony kromě nerovností a modulu znáte?

- dlouhá vertikální tyč zní takto: "Taková ta", "taková ta", "taková ta" nebo "taková ta", v našem případě zjevně mluvíme o čísle - tedy "takové že";

- pro všechna "en", větší než;

– znaménko modulu znamená vzdálenost, tj. tento záznam nám říká, že vzdálenost mezi hodnotami je menší než epsilon.

Je to smrtelně těžké? =)

Po zvládnutí praxe na vás čekám v dalším odstavci:

A vlastně se trochu zamysleme – jak formulovat striktní definici posloupnosti? ... První, co mě na světě napadne praktický trénink: "Limita posloupnosti je číslo, ke kterému jsou členy posloupnosti nekonečně blízko."

Dobře, podepišme se subsekvence :

Není těžké to pochopit subsekvence jsou nekonečně blízké -1 a členy se sudými čísly - do jednoho".

Nebo možná existují dva limity? Ale proč by pak nějaká sekvence nemohla mít deset nebo dvacet? Tohle může zajít daleko. V tomto ohledu je logické předpokládat, že pokud má posloupnost limitu, pak je jediná.

Poznámka : posloupnost nemá limitu, ale lze z ní odlišit dvě podposloupnosti (viz výše), z nichž každá má svou limitu.

Výše uvedená definice se tedy ukazuje jako neudržitelná. Ano, funguje to pro případy jako (což jsem ne zcela správně použil ve zjednodušených vysvětleních praktických příkladů), ale nyní musíme najít přesnou definici.

Pokus druhý: „limita posloupnosti je číslo, ke kterému se přiblíží VŠECHNY členy posloupnosti, snad kromě jejich finále Množství ". To je blíže pravdě, ale stále ne zcela přesné. Tedy například posloupnost polovina členů se k nule vůbec neblíží - prostě se jí rovnají =) Mimochodem "blikačka" obecně nabývá dvou pevných hodnot.

Formulaci není těžké objasnit, ale pak vyvstává další otázka: jak napsat definici v matematických znacích? Vědecký svět o tento problém dlouho bojoval, dokud se situace nevyřešila slavný maestro, který v podstatě formalizoval klasický kalkul v celé jeho přísnosti. Cauchy nabídl operaci okolí , než výrazně posunul teorii.

Zvažte určitý bod a jeho libovolný-sousedství:

Význam „epsilon“ je vždy pozitivní a navíc máme právo si to sami vybrat... Předpokládejme, že v dané čtvrti existuje soubor pojmů (ne nutně všechny) nějakou sekvenci. Jak zapsat fakt, že se do sousedství dostal například desátý člen? Ať je to na pravé straně. Potom by vzdálenost mezi body měla být menší než "epsilon":. Pokud se však "x desetina" nachází vlevo od bodu "a", pak bude rozdíl záporný, a proto k němu musíte přidat znaménko modul: .

Definice: číslo se nazývá limit posloupnosti if pro jakékoli jeho okolí (předem vybrané) existuje přirozené číslo - TAKOVÉ VŠECHNOčlenové posloupnosti s vyššími čísly budou uvnitř sousedství:

Nebo stručně: kdyby

Jinými slovy, bez ohledu na to, jak malou hodnotu „epsilon“ vezmeme, dříve nebo později bude „nekonečný chvost“ sekvence ZCELA v tomto sousedství.

Tedy například „nekonečný ohon“ sekvence PLNĚ jde do libovolného libovolně malého sousedství bodu. Tato hodnota je tedy podle definice limitem posloupnosti. Připomínám, že se volá posloupnost, jejíž limita je nula infinitezimální.

Je třeba poznamenat, že pro sekvenci již není možné říci „nekonečný ohon přijde"- členy s lichými čísly se ve skutečnosti rovnají nule a" nikam nejdou "=) Proto se v definici objeví sloveso ". A samozřejmě členové takové posloupnosti, jako jsou také „nikam nejdou“. Mimochodem, zkontrolujte, zda je číslo limitní.

Nyní ukážeme, že posloupnost nemá žádné omezení. Uvažujme například okolí bodu. Je zcela jasné, že neexistuje takové číslo, po kterém budou VŠICHNI členové v dané čtvrti – lichí členové vždy „vyskočí“ na „mínus jedna“. Z podobného důvodu v bodě neexistuje žádný limit.

Opravme látku praxí:

Příklad 1

Dokažte, že limita posloupnosti je nulová. Zadejte číslo, po jehož překročení je zaručeno, že všechny členy posloupnosti budou v libovolném malém sousedství bodu.

Poznámka : u mnoha posloupností závisí požadované přirozené číslo na hodnotě – odtud zápis.

Řešení: zvážit libovolný je tadyčíslo - takové, že VŠICHNI členové s vyššími čísly budou uvnitř této čtvrti:

Abychom ukázali existenci požadovaného čísla, vyjadřujeme prostřednictvím.

Protože pro jakoukoli hodnotu "en" lze znaménko modulu odstranit:

Používáme „školní“ akce s nerovnostmi, které jsem opakoval v hodinách Lineární nerovnosti a Rozsah funkcí... V tomto případě je důležitou okolností, že „epsilon“ a „en“ jsou kladné:

Protože vlevo mluvíme o přirozených číslech a pravá strana je obecně zlomková, je třeba ji zaokrouhlit:

Poznámka : někdy je jednotka přidána na pravou stranu, aby byla na bezpečné straně, ale ve skutečnosti je to přehnané. Relativně řečeno, pokud výsledek také zeslabíme zaokrouhlením dolů, pak nejbližší vhodné číslo („tři“) stále vyhoví původní nerovnosti.

Nyní se podíváme na nerovnost a pamatujeme si, že jsme původně uvažovali libovolný- sousedství, tzn. Epsilon se může rovnat žádný kladné číslo.

Výstup: pro libovolné libovolně malé -okolí bodu hodnota ... Číslo je tedy podle definice limitem posloupnosti. Q.E.D.

Mimochodem, ze získaného výsledku je jasně viditelná přirozená pravidelnost: čím menší okolí, tím větší číslo, po kterém budou VŠECHNY členové posloupnosti v daném okolí. Ale bez ohledu na to, jak malý je "epsilon", vždy bude uvnitř i venku "nekonečný ocas" - i když je velký finále počet členů.

jaké jsou vaše dojmy? =) Souhlasím, že je to zvláštní. Ale přísně! Prosím, přečtěte si znovu a pochopte vše znovu.

Podívejme se na podobný příklad a prozkoumáme další techniky:

Příklad 2

Řešení: definicí posloupnosti je třeba to dokázat (říkáme to nahlas!!!).

Zvážit libovolný-okolí bodu a zkontrolujte, zda existuje? přirozené číslo - takové, že pro všechna velká čísla je splněna následující nerovnost:

Chcete-li ukázat existenci takových, musíte vyjádřit „en“ prostřednictvím „epsilon“. Zjednodušme výraz pod znakem modulu:

Modul zničí znaménko mínus:

Jmenovatel je kladný pro jakékoli „en“, proto lze tyčinky odstranit:

Zamíchat:

Nyní potřebujeme extrahovat druhou odmocninu, ale háček je v tom, že pro některé epsilony bude pravá strana záporná. Aby se předešlo těmto potížím posílí modulová nerovnost:

Proč to lze udělat? Pokud se to podmíněně prokáže, pak bude podmínka splněna ještě více. Modul může pouze zvýšit hledané číslo, a to se nám bude také hodit! Zhruba řečeno, pokud je vhodná stotina, postačí i dvoustovka! Podle definice je třeba ukázat samotný fakt existence čísla(alespoň někteří), po kterém budou všichni členové sekvence v -neighborhood. Mimochodem, proto se nebojíme finálního zaoblení pravé strany nahoru.

Extrahujte kořen:

A zaokrouhlit výsledek:

Výstup: od té doby hodnota "epsilon" byla zvolena libovolně, pak pro jakékoli libovolně malé okolí bodu byla nalezena hodnota , takže pro všechna velká čísla je nerovnost ... Tím pádem, a-priorita. Q.E.D.

radit, podat zprávu zvláště pochopit posilování a zeslabování nerovností - to jsou typické a velmi běžné metody matematické analýzy. Jediné, co musíte sledovat, je správnost toho či onoho jednání. Tedy například ta nerovnost za žádných okolností uvolnit odečtením, řekněme, jednoho:

Opět podmínečně: pokud číslo přesně sedí, pak předchozí již nemusí sedět.

Následující příklad je pro řešení „udělej si sám“:

Příklad 3

Pomocí definice posloupnosti to dokažte

Krátké řešení a odpověď na konci tutoriálu.

Pokud sekvence nekonečně skvělé, pak je definice limity formulována podobným způsobem: bod se nazývá limita posloupnosti, pokud existuje, tak velký, jak chcetečíslo, existuje číslo takové, že pro všechna větší čísla bude nerovnost platit. Číslo se volá okolí bodu "plus nekonečno":

Jinými slovy, bez ohledu na to, jak velkou hodnotu vezmeme, "nekonečný konec" posloupnosti bude nutně směřovat do -okolí bodu, přičemž vlevo zůstane pouze konečný počet členů.

Příklad povinnosti:

A zkratka: kdyby

Pro příležitost si zapište definici sami. Správná verze je na konci lekce.

Poté, co získáte praktické příklady a přijdete na to, jak definovat limitu posloupnosti, můžete se obrátit na literaturu o matematické analýze a/nebo do své učebnice. Doporučuji stáhnout 1. díl Bohana (jednodušší - pro přidružené studenty) a Fichtengolts (podrobněji a podrobněji)... Mezi další autory radím Piskunov, jehož kurz je zaměřen na technické univerzity.

Pokuste se svědomitě studovat věty, které se týkají limity posloupnosti, jejich důkaz, důsledek. Teorie se může na první pohled zdát „zamlžená“, ale to je v pořádku – chce to jen trochu zvyku. A mnozí dostanou i chuť!

Přísná definice limity funkce

Začněme tímtéž – jak tento pojem formulovat? Slovní definice limity funkce je formulována mnohem jednodušeji: „číslo je limita funkce, pokud „x“ směřuje k (vlevo i vpravo), odpovídající hodnoty funkce mají tendenci " (viz nákres)... Všechno se zdá být normální, ale slova jsou slova, význam je význam, ikona je ikona a neexistuje dostatek přesných matematických zápisů. A ve druhém odstavci se seznámíme se dvěma přístupy k řešení této problematiky.

Nechť je funkce definována na nějakém intervalu, možná kromě bodu. V naučné literatuře se obecně uznává, že funkce existuje ne definovaný:

Tato volba zdůrazňuje mezní funkce podstata: "X" nekonečně blízko přístupy k a odpovídající funkční hodnoty jsou - nekonečně blízko do . Jinými slovy, pojem limit neznamená „přesný přístup“ k bodům, jmenovitě nekonečně blízké přiblížení, nezáleží na tom, zda je funkce definována v bodě nebo ne.

První definice limity funkce je nepřekvapivě formulována pomocí dvou posloupností. Za prvé, pojmy spolu souvisí a za druhé se limity funkcí obvykle studují za limitami posloupností.

Zvažte pořadí body (nezobrazeno na výkresu) patřící do intervalu a jiný než který konverguje do . Odpovídající hodnoty funkce pak také tvoří číselnou posloupnost, jejíž členy jsou umístěny na souřadnicové ose.

Heineova mez funkce pro jakékoli bodové sekvence (patřící a jiné než) který konverguje k bodu, odpovídající posloupnost hodnot funkce konverguje.

Eduard Heine je německý matematik. ... A na nic takového nemusíte myslet, v Evropě je jen jeden gay - to je Gay Lussac =)

Druhá definice limitu byla postavena ... ano, máte pravdu. Nejprve se ale podívejme na jeho design. Zvažte svévolné sousedství bodu ("černá" čtvrť)... Na základě předchozího odstavce to znamená zápis nějaký význam funkce je uvnitř sousedství epsilon.

Nyní najdeme -sousedství, které odpovídá danému -sousedství (mentálně nakreslete černé tečkované čáry zleva doprava a poté shora dolů)... Všimněte si, že se hodnota načítá po délce menšího segmentu, v tomto případě - po délce kratšího levého segmentu. Kromě toho lze „karmínové“ okolí bodu dokonce snížit, protože v následující definici samotný fakt existence je důležitý toto sousedství. A podobně, zápis znamená, že nějaká hodnota je uvnitř sousedství "delta".

Cauchyova limita funkce: číslo se nazývá limita funkce v bodě, jestliže pro jakékoli předem vybrané sousedství (jakkoli malý), existuje- okolí bodu, TAKOVÝže: JAKO POUZE hodnoty (ve vlastnictví) zahrnuto v této čtvrti: (červené šipky)- TAK OKAMŽITĚ je zaručeno, že odpovídající hodnoty funkce přejdou do sousedství: (modré šipky).

Musím vás upozornit, že jsem pro větší přehlednost trochu improvizoval, tak nepřehánějte =)

Krátký záznam: pokud

Co je podstatou definice? Obrazně řečeno, nekonečně snižujeme sousedství, „doprovázíme“ hodnoty funkce k jejímu limitu a neponecháváme jim žádnou alternativu, jak se přiblížit někam jinam. Docela nezvyklé, ale zase přísné! Chcete-li získat správnou myšlenku, znovu si přečtěte znění.

! Pozornost: pokud potřebujete pouze formulovat Heine definice nebo pouze Cauchyho definice prosím nezapomeňte nezbytný předběžný komentář: "Uvažujme funkci, která je definována v určitém intervalu, s možnou výjimkou bodu."... Naznačil jsem to jednou na samém začátku a neopakoval jsem to pokaždé.

Podle odpovídajícího teorému matematické analýzy jsou definice podle Heineho a podle Cauchyho ekvivalentní, ale nejznámější je druhá verze (stále by!), který se také nazývá „limit jazyka“:

Příklad 4

Pomocí definice limity to dokažte

Řešení: funkce je definována na celé číselné ose kromě bodu. Pomocí definice dokazujeme existenci limity v daném bodě.

Poznámka : hodnota "delta" -neighborhood závisí na "epsilon", proto zápis

Zvážit libovolný-sousedství. Úkolem je zkontrolovat podle této hodnoty, existuje?-sousedství, TAKOVÝ, která z nerovnosti následuje nerovnost .

Za předpokladu, že transformujeme poslední nerovnost:
(rozložil čtvercový trojčlen)

Matematika je věda, která buduje svět. Vědec i obyčejný člověk – nikdo se bez ní neobejde. Nejprve malé děti učí počítat, pak sčítat, odčítat, násobit a dělit, písmenková označení přicházejí na řadu na střední škole a na té starší se bez nich neobejdete.

Dnes si ale povíme, na čem celá známá matematika stojí. O komunitě čísel zvané „limity sekvence“.

Co jsou posloupnosti a kde je jejich limit?

Význam slova „sekvence“ není těžké interpretovat. To je taková konstrukce věcí, kdy je někdo nebo něco uspořádáno v určitém pořadí nebo frontě. Například fronta na vstupenky do zoo je sekvence. Navíc může být jen jeden! Pokud se například podíváte na frontu v obchodě, jedná se o jednu sekvenci. A pokud jedna osoba náhle opustí tuto frontu, pak je to jiná fronta, jiné pořadí.

Slovo „limit“ se také snadno vykládá – je to konec něčeho. V matematice jsou však limity posloupností ty hodnoty na číselné ose, ke kterým má posloupnost čísel tendenci. Proč se snažit a neskončit? Je to jednoduché, číselná řada nemá konec a většina sekvencí, stejně jako paprsky, má pouze začátek a vypadá takto:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Definice posloupnosti je tedy funkcí přirozeného argumentu. Jednodušeji řečeno, je to řada členů množiny.

Jak se vytváří číselná řada?

Nejjednodušší příklad číselné posloupnosti může vypadat takto: 1, 2, 3, 4, ... n ...

Ve většině případů se pro praktické účely sestavují posloupnosti z čísel a každý další člen řady, označme ho X, má své jméno. Například:

x 1 - první člen sekvence;

x 2 - druhý člen sekvence;

x 3 - třetí termín;

x n je n-tý člen.

V praktických metodách je posloupnost dána obecným vzorcem, ve kterém je nějaká proměnná. Například:

X n = 3n, pak samotná řada čísel bude vypadat takto:

Stojí za to nezapomenout, že v obecném záznamu sekvencí můžete použít jakákoli latinská písmena, nejen X. Například: y, z, k atd.

Aritmetická progrese jako součást sekvencí

Před hledáním limitů sekvencí je vhodné ponořit se hlouběji do samotného konceptu podobné číselné řady, se kterou se každý setkal ve středních vrstvách. Aritmetická progrese je řada čísel, ve kterých je rozdíl mezi sousedními členy konstantní.

Problém: „Nechť a 1 = 15 a krok postupu číselné řady d = 4. Sestavte první 4 členy této řady "

Řešení: a 1 = 15 (podle podmínky) - první člen posloupnosti (číselné řady).

a 2 = 15 + 4 = 19 je druhý termín progrese.

a 3 = 19 + 4 = 23 je třetí termín.

a 4 = 23 + 4 = 27 je čtvrtý člen.

Při použití této metody je však obtížné se dostat k velkým hodnotám, například k 125.. Zejména pro takové případy byl odvozen vhodný vzorec: a n = a 1 + d (n-1). V tomto případě a 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

Typy sekvencí

Většina sekvencí je nekonečná a stojí za to si je pamatovat na celý život. Existují dva zajímavé typy číselných řad. První je dán vzorcem а n = (- 1) n. Matematici často označují tuto sekvenci jako blikající světlo. Proč? Zkontrolujeme jeho číselnou řadu.

1, 1, -1, 1, -1, 1 atd. S tímto příkladem je jasné, že čísla v sekvencích se mohou snadno opakovat.

Faktorová sekvence. Je snadné uhodnout – ve vzorci je faktoriál, který definuje posloupnost. Například: a n = (n + 1)!

Potom bude sekvence vypadat takto:

a 2 = 1x2x3 = 6;

a 3 = 1x2x3x4 = 24 atd.

Posloupnost daná aritmetickou progresí se nazývá nekonečně klesající, pokud je nerovnost -1

a 3 = - 1/8 atd.

Existuje dokonce sekvence stejného čísla. Takže, a n = 6 se skládá z nekonečné množiny šesti.

Stanovení limity posloupnosti

Limity sekvencí byly v matematice již dlouhou dobu. Samozřejmě si zaslouží svůj vlastní chytrý design. Je tedy čas zjistit definici limitů sekvence. Nejprve zvažte podrobně limit pro lineární funkci:

Všechny limity jsou zkráceny jako lim.
Zápis limity se skládá ze zkratky lim, libovolné proměnné směřující k určitému číslu, nule nebo nekonečnu, jakož i funkce samotné.

Je snadné pochopit, že definici limity posloupnosti lze formulovat takto: je to určité číslo, ke kterému se nekonečně blíží všechny členy posloupnosti. Jednoduchý příklad: a x = 4x + 1. Potom bude samotná sekvence vypadat takto.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Tato posloupnost se tedy bude nekonečně zvětšovat, a proto se její limita rovná nekonečnu jako x → ∞, a to by mělo být zapsáno následovně:

Pokud vezmeme podobnou posloupnost, ale x má tendenci k 1, dostaneme:

A řada čísel bude taková: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 atd. Pokaždé je potřeba dosadit číslo blíže k jedné (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Z této řady je vidět, že limit funkce je pět.

Z této části je vhodné si připomenout, co je limita číselné posloupnosti, definice a způsob řešení jednoduchých problémů.

Obecný zápis limitních posloupností

Po rozebrání limity číselné posloupnosti, její definice a příkladů můžete přejít ke složitějšímu tématu. Absolutně všechny limity sekvencí lze formulovat jedním vzorcem, který se obvykle rozebírá v prvním semestru.

Co tedy znamená tato sada písmen, modulů a znaků nerovnosti?

∀ je univerzální kvantifikátor, který nahrazuje fráze „pro všechny“, „pro všechno“ atd.

∃ je existenční kvantifikátor, v tomto případě to znamená, že existuje nějaká hodnota N patřící do množiny přirozených čísel.

Dlouhá svislá tyč za N znamená, že daná množina N je „taková, že“. V praxi to může znamenat „takový ten“, „takový že“ atd.

Chcete-li látku upevnit, přečtěte si vzorec nahlas.

Nejistota a jistota limitu

Metoda pro nalezení limity posloupností, která byla zvažována výše, je jednoduchá na použití, ale v praxi není tak racionální. Zkuste najít limit pro funkci, jako je tato:

Pokud dosadíme různé hodnoty "x" (při každém zvýšení: 10, 100, 1000 atd.), dostaneme ∞ v čitateli, ale také ∞ ve jmenovateli. Ukáže se poněkud zvláštní zlomek:

Ale je tomu skutečně tak? Výpočet limity číselné posloupnosti se v tomto případě zdá být dostatečně snadný. Dalo by se nechat vše tak, jak je, protože odpověď je připravena a byla přijata za rozumných podmínek, ale speciálně pro takové případy existuje jiný způsob.

Nejprve najdeme nejvyšší stupeň v čitateli zlomku - to je 1, protože x lze reprezentovat jako x 1.

Nyní najdeme nejvyšší stupeň ve jmenovateli. Také 1.

Čitatele i jmenovatele vydělte proměnnou na nejvyšší stupeň. V tomto případě zlomek vydělíme x 1.

Dále najdeme hodnotu, ke které směřuje každý člen obsahující proměnnou. V tomto případě se berou v úvahu zlomky. Jako x → ∞ má hodnota každého ze zlomků tendenci k nule. Při písemné registraci díla stojí za to udělat si následující poznámky pod čarou:

Získá se následující výraz:

Samozřejmě, že zlomky obsahující x se nestávají nulami! Ale jejich hodnota je tak malá, že je zcela dovoleno ji ve výpočtech nezohlednit. Ve skutečnosti se x v tomto případě nikdy nebude rovnat 0, protože nelze dělit nulou.

co je sousedství?

Předpokládejme, že profesor má k dispozici složitou posloupnost, danou, samozřejmě, stejně složitým vzorcem. Profesor našel odpověď, ale je to správné? Koneckonců, všichni lidé se mýlí.

Auguste Cauchy kdysi přišel na skvělý způsob, jak dokázat limity sekvencí. Jeho metoda se nazývala ovládání okolí.

Předpokládejme, že existuje nějaký bod a, jehož okolí v obou směrech na číselné ose je ε ("epsilon"). Protože poslední proměnnou je vzdálenost, její hodnota je vždy kladná.

Nyní definujme nějakou posloupnost x n a předpokládejme, že desátý člen posloupnosti (x 10) vstupuje do okolí a. Jak tuto skutečnost zapsat matematickým jazykem?

Řekněme, že x 10 je napravo od bodu a, pak vzdálenost x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Nyní je čas vysvětlit v praxi výše zmíněný vzorec. Je spravedlivé nazvat nějaké číslo a koncovým bodem posloupnosti, pokud pro kteroukoli její limitu platí nerovnost ε> 0 a celé okolí má své přirozené číslo N takové, že všechny členy posloupnosti s významnějšími čísly budou uvnitř. posloupnost | xn - a |< ε.

S takovou znalostí je snadné realizovat řešení limit posloupnosti, dokázat nebo vyvrátit připravenou odpověď.

Věty

Sekvenční limitní věty jsou důležitou součástí teorie, bez které je praxe nemožná. Existují pouze čtyři hlavní věty, jejichž zapamatováním můžete výrazně usnadnit průběh řešení nebo důkazu:

Jedinečnost limitu posloupnosti. Jakákoli sekvence může mít pouze jeden limit nebo vůbec. Stejný příklad s frontou, která může mít pouze jeden konec.
Pokud má rozsah čísel limit, pak je posloupnost těchto čísel omezená.
Limita součtu (rozdílu, součinu) posloupností je rovna součtu (rozdílu, součinu) jejich limit.
Podílová limita dělení dvou posloupností je rovna podílu limit právě tehdy, když jmenovatel nezanikne.

Důkaz sekvencí

Někdy je potřeba vyřešit inverzní problém, dokázat danou limitu číselné posloupnosti. Podívejme se na příklad.

Dokažte, že limita posloupnosti daná vzorcem je rovna nule.

Podle výše uvedeného pravidla platí pro jakoukoli posloupnost nerovnost | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Vyjádřeme n pomocí epsilon, abychom ukázali existenci čísla a dokázali, že posloupnost má limitu.

V této fázi je důležité si uvědomit, že „epsilon“ a „en“ jsou kladná čísla a nerovnají se nule. V transformaci lze nyní pokračovat s využitím znalostí o nerovnostech získaných na střední škole.

Odtud se ukazuje, že n> -3 + 1 / ε. Protože stojí za to připomenout, že mluvíme o přirozených číslech, lze výsledek zaokrouhlit vložením do hranatých závorek. Bylo tedy prokázáno, že pro jakoukoli hodnotu okolí "epsilon" bodu a = 0 existuje hodnota taková, že platí počáteční nerovnost. Můžeme tedy bezpečně tvrdit, že číslo a je limitou dané posloupnosti. Q.E.D.

Takovou pohodlnou metodou dokážete limitu číselné posloupnosti, ať už je na první pohled jakkoli komplikovaná. Hlavní je nepanikařit při pohledu na zadání.

Nebo možná není?

Existence limitu sekvence není v praxi nutná. Je snadné najít takové řady čísel, které opravdu nemají konec. Například stejné "blikání" x n = (-1) n. je zřejmé, že posloupnost tvořená pouze dvěma číslicemi, která se cyklicky opakuje, nemůže mít limitu.

Stejný příběh se opakuje se sekvencemi skládajícími se z jednoho čísla, zlomkovými, které mají v průběhu výpočtů nejistotu libovolného řádu (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0 atd.). Je však třeba mít na paměti, že také dochází k nesprávnému výpočtu. Někdy vám pomůže najít limit sekvencí překontrolováním vlastního řešení.

Monotónní sekvence

Výše jsme uvažovali o několika příkladech posloupností, metodách jejich řešení a nyní se pokusíme vzít konkrétnější případ a nazvat jej „monotónní posloupnost“.

Definice: je spravedlivé nazývat jakoukoli posloupnost monotónně rostoucí, je-li přísná nerovnost x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Spolu s těmito dvěma podmínkami existují také podobné slabé nerovnosti. V souladu s tím x n ≤ x n +1 (neklesající sekvence) a x n ≥ x n +1 (nerostoucí sekvence).

Ale snáze to pochopíte na příkladech.

Posloupnost daná vzorcem x n = 2 + n tvoří následující řadu čísel: 4, 5, 6 atd. Jedná se o monotónně rostoucí posloupnost.

A pokud vezmeme x n = 1 / n, pak dostaneme řadu: 1/3, ¼, 1/5 atd. Toto je monotónně klesající posloupnost.

Limita konvergentní a omezené posloupnosti

Omezená posloupnost je posloupnost, která má limit. Konvergentní posloupnost je řada čísel s infinitezimální limitou.

Limitou omezené posloupnosti je tedy jakékoli reálné nebo komplexní číslo. Pamatujte, že limit může být pouze jeden.

Limita konvergující posloupnosti je nekonečně malá hodnota (reálná nebo komplexní). Pokud nakreslíte sekvenční diagram, pak v určitém bodě bude jakoby konvergovat, snažit se přeměnit na určitou hodnotu. Odtud název - konvergentní posloupnost.

Limit monotónní sekvence

Taková sekvence může, ale nemusí mít limit. Nejprve je užitečné pochopit, kdy to je, odtud můžete začít při prokazování absence limitu.

Mezi monotónními sekvencemi se rozlišují konvergující a divergující. Konvergentní je posloupnost, která je tvořena množinou x a má v této množině reálnou nebo komplexní limitu. Divergentní – posloupnost, která nemá ve své množině limitu (ani reálnou, ani komplexní).

Navíc posloupnost konverguje, pokud se v geometrickém obraze sbíhají její horní a dolní meze.

Limita konvergující posloupnosti může být v mnoha případech nulová, protože každá infinitezimální posloupnost má známou limitu (nulu).

Ať už zvolíte jakoukoli konvergující sekvenci, všechny jsou omezené, ale ne všechny omezené sekvence konvergují.

Součet, rozdíl, součin dvou konvergujících posloupností je také konvergující posloupnost. Kvocient však může být i konvergentní, pokud je definován!

Různé akce s limity

Limity sekvencí jsou stejnou podstatnou (ve většině případů) veličinou, stejně jako čísla a čísla: 1, 2, 15, 24, 362 atd. Ukazuje se, že některé operace lze provádět s limity.

Za prvé, stejně jako čísla a čísla, limity libovolné sekvence lze sčítat a odečítat. Na základě třetí věty o limitách posloupností platí následující rovnost: limita součtu posloupností je rovna součtu jejich limit.

Za druhé, na základě čtvrté věty o limitách posloupností platí následující rovnost: limita součinu n-tého počtu posloupností je rovna součinu jejich limit. Totéž platí pro dělení: kvocientová limita dvou posloupností je rovna kvocientu jejich limit za předpokladu, že limita není nulová. Pokud je totiž limita sekvencí rovna nule, vznikne dělení nulou, což je nemožné.

Vlastnosti množství sekvence

Zdálo by se, že limita číselné posloupnosti již byla podrobně rozebrána, ale fráze jako „nekonečně malá“ a „nekonečně velká“ čísla jsou zmíněna více než jednou. Je zřejmé, že pokud existuje posloupnost 1 / x, kde x → ∞, pak je takový zlomek nekonečně malý, a pokud je stejná posloupnost, ale limita má tendenci k nule (x → 0), pak se zlomek stane nekonečně velkým. A tato množství mají své vlastní charakteristiky. Vlastnosti limitu sekvence s malými nebo velkými hodnotami jsou následující:

Součet libovolného počtu libovolně malých množství bude také malými množstvími.
Součet libovolného počtu velkých množství bude nekonečně velký.
Součin libovolně malých množství je nekonečně malý.
Součin libovolného počtu velkých čísel je nekonečně velký.
Pokud má původní posloupnost tendenci k nekonečně velkému číslu, pak hodnota opačná k ní bude nekonečně malá a bude mít tendenci k nule.

Ve skutečnosti není výpočet limity posloupnosti tak obtížný úkol, pokud znáte jednoduchý algoritmus. Ale limity sekvencí jsou tématem, které vyžaduje maximální pozornost a vytrvalost. Samozřejmě, že stačí jen uchopit podstatu řešení takových výrazů. Když začnete v malém, můžete časem dosáhnout velkých vrcholů.