»Lekce 12. Hodnost matice. Výpočet hodnosti matice. Maticová norma

Lekce číslo 12. Hodnost matice. Výpočet hodnosti matice. Norma matic.

Pokud všechny nezletilé matrikyAobjednatkjsou rovny nule, pak všechny minority řádu k + 1, pokud takové existují, jsou rovny také nule.
Podle hodnosti matice A je největší z řádů nezletilých matice A nenulová.
Maximální hodnost se může rovnat minimálnímu počtu počtu řádků nebo sloupců matice, tzn. pokud je matice 4x5, pak maximální hodnocení bude 4.
Minimální hodnost matice je 1, pokud nemáte co do činění s nulovou maticí, kde je hodnost vždy nulová.

Hodnost nedegenerované čtvercové matice řádu n se rovná n, protože její determinant je menší než řád n a nedegenerovaná matice je nenulová.
Když je matice transponována, její pozice se nemění.

Nechť je hodnost matice. Poté je volána jakákoli vedlejší objednávka jiná než nula základní moll.
Příklad. Daná matice A.

Determinant matice je nula.
Minor druhého řádu ... Proto r (A) = 2 a základní moll.
Základní moll je také moll .
Méně důležitý od té doby = 0, takže to nebude základní.
Cvičení: nezávisle zkontrolovat, kteří další nezletilí druhého řádu budou základní a kteří ne.

Nalezení hodnosti matice pomocí výpočtu všech jejích podřadných položek vyžaduje příliš mnoho výpočetní práce. (Čtenář si může ověřit, že ve čtvercové matici čtvrtého řádu je 36 nezletilých 2. řádu.) Proto se k nalezení pořadí používá jiný algoritmus. K jeho popisu je zapotřebí řada dalších informací.

Nazvěme následující akce na maticích elementární transformace matic:
1) permutace řádků nebo sloupců;
2) násobení řádku nebo sloupce číslem jiným než nula;
3) přidání do jednoho z řádků dalšího řádku vynásobeného číslem nebo přidání do jednoho ze sloupců jiného sloupce vynásobeného číslem.

Elementární transformace nemění hodnost matice.
Algoritmus pro výpočet hodnosti matice je podobný algoritmu pro výpočet determinantu a spočívá v tom, že pomocí elementárních transformací je matice redukována do jednoduché formy, u které není těžké najít pořadí. Protože se hodnost při každé transformaci neměnila, pak výpočtem hodnosti transformované matice zjistíme hodnost původní matice.

Nechť je požadováno vypočítat hodnost matice velikostí mXn.

V důsledku výpočtů má matice A1 tvar

Pokud jsou všechny řádky začínající od třetí nuly, pak od nezletilosti ... Jinak přeskupením řádků a sloupců s čísly většími než dva dosáhneme toho, že třetí prvek třetího řádku je nenulový. Dále, přidáním třetího řádku, vynásobeného odpovídajícími čísly, k řádkům s velkými čísly, dostaneme nuly ve třetím sloupci, počínaje čtvrtým prvkem a tak dále.
V určité fázi se dostáváme k matici, ve které jsou všechny řádky počínaje (r + 1)-tým rovny nule (nebo chybí) a vedlejší v prvních řádcích a prvních sloupcích je determinantem a trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále ... Hodnost takové matice je. Proto Rang (A) = r.

V navrhovaném algoritmu pro nalezení pořadí matice by všechny výpočty měly být prováděny bez zaokrouhlování. Libovolně malá změna alespoň jednoho z prvků mezimatice může vést k tomu, že získaná odpověď se bude lišit od hodnosti původní matice o několik jednotek.
Pokud byly prvky v původní matici celá čísla, pak je vhodné provádět výpočty bez použití zlomků. Proto je v každé fázi vhodné násobit řetězce čísly tak, aby se ve výpočtech neobjevovaly zlomky.

V praktické laboratorní práci zvažte příklad zjištění hodnosti matice.

ALGORITHM LOKALITY MATRIXOVÉ STANDARDY .
Existují pouze tři maticové normy.
První norma matice= maximum čísel získaných sečtením všech prvků každého sloupce, bráno modulo.
Příklad: nechť je dána matice A 3x2 (obr. 10). První sloupec obsahuje prvky: 8, 3, 8. Všechny prvky jsou kladné. Najděte jejich součet: 8 + 3 + 8 = 19. Druhý sloupec obsahuje prvky: 8, -2, -8. Dva prvky jsou záporné, proto je při sčítání těchto čísel nutné dosadit modul těchto čísel (tedy bez znaménka "mínus"). Najděte jejich součet: 8 + 2 + 8 = 18. Maximum těchto dvou čísel je 19. První norma matice je tedy 19.

Obrázek 10.

Druhá norma matice je druhá odmocnina součtu druhých mocnin všech prvků matice. A to znamená, že odmocníme všechny prvky matice, pak přidáme výsledné hodnoty a extrahujeme druhou odmocninu z výsledku.
V našem případě je norma 2 matice rovna druhé odmocnině z 269. V diagramu jsem zhruba extrahoval druhou odmocninu z 269 a ve výsledku jsem dostal asi 16,401. I když správnější je nevytahovat kořen.

Třetí norma matice je maximum z čísel získaných sečtením všech prvků každého řádku, bráno modulo.
V našem příkladu: první řádek obsahuje prvky: 8, 8. Všechny prvky jsou kladné. Najdeme jejich součet: 8 + 8 = 16. Druhý řádek obsahuje prvky: 3, -2. Jeden z prvků je záporný, proto při sčítání těchto čísel je nutné dosadit modul tohoto čísla. Pojďme najít jejich součet: 3 + 2 = 5. Třetí řádek obsahuje prvky 8 a -8. Jeden z prvků je záporný, proto při sčítání těchto čísel je nutné dosadit modul tohoto čísla. Najdeme jejich součet: 8 + 8 = 16. Maximum těchto tří čísel je 16. Třetí norma matice je tedy 16.

Sestavil: Saliy N.A.

Kolegiální YouTube

1 / 1

✪ Vektorová norma. Část 4.

titulky

Definice

Nechť K je základní pole (obvykle K = R nebo K = C ) a je lineárním prostorem všech matic s m řádky a n sloupci, které se skládají z prvků K. Na prostoru matic je norma dána, pokud je každá matice spojena s nezáporným reálným číslem ‖ A ‖ (\ styl zobrazení \ | A \ |), nazval svou normu, takže

V případě čtvercových matic (tj. m = n), matice lze násobit bez opuštění prostoru, a proto normy v těchto prostorech obvykle také splňují vlastnost submultiplikativnost :

Submultiplikativitu lze také provádět pro normy nečtvercových matic, ale definované pro několik požadovaných velikostí najednou. Konkrétně, pokud A je matice ℓ  ×  m a B je matice m ×  n, pak A B- matice ℓ  ×  n .

Operátorské normy

Důležitou třídou maticových norem jsou operátorské normy, také označovaný jako podřízených nebo indukovaný ... Operátorová norma je jednoznačně konstruována podle dvou norem definovaných v a vychází ze skutečnosti, že jakákoli matice m ×  n je reprezentován lineárním operátorem z K n (\ styl zobrazení K ^ (n)) proti K m (\ styl zobrazení K ^ (m))... konkrétně

‖ A ‖ = sup (‖ A x ‖: x ∈ K n, ‖ x ‖ = 1) = sup (‖ A x ‖ ‖ x ‖: x ∈ K n, x ≠ 0). (\ displaystyle (\ begin (zarovnáno) \ | A \ | & = \ sup \ (\ | Ax \ |: x \ v K ^ (n), \ \ | x \ | = 1 \) \\ & = \ sup \ vlevo \ ((\ frac (\ | Ax \ |) (\ | x \ |)): x \ v K ^ (n), \ x \ neq 0 \ vpravo \). \ konec (zarovnáno)))

Za podmínky důsledné specifikace norem na vektorové prostory je taková norma submultiplikativní (viz).

Příklady operátorských norem

Vlastnosti spektrální normy:

1. Spektrální norma operátoru je rovna maximálnímu jednotnému číslu tohoto operátoru.
2. Spektrální norma normálního operátoru je rovna absolutní hodnotě maximální vlastní hodnoty tohoto operátoru v absolutní hodnotě.
3. Spektrální norma se nemění, když je matice vynásobena ortogonální (unitární) maticí.

Normy matice bez operátora

Existují maticové normy, které nejsou normami operátorů. Koncept neoperátorových norem matic zavedl Yu.I. Lyubich a prozkoumal G.R.Belitskii.

Příklad neoperátorské normy

Zvažte například dvě různé normy pro operátory ‖ A ‖ 1 (\ styl zobrazení \ | A \ | _ (1)) a ‖ A ‖ 2 (\ styl zobrazení \ | A \ | _ (2)), jako jsou řádkové a sloupcové normy. Formování nové normy ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1, ‖ A ‖ 2) (\ styl zobrazení \ | A \ | = max. (\ | A \ | _ (1), \ | A \ | _ (2)))... Nová norma má vlastnost prstenu ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\ styl zobrazení \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |), zachovává jednotu ‖ I ‖ = 1 (\ styl zobrazení \ | I \ | = 1) a není provozovatelem.

Příklady norem

Vektor p (\ styl zobrazení p)-norma

Lze považovat m × n (\ styl zobrazení m \ krát n) matice jako vektor velikosti m n (\ styl zobrazení mn) a použijte standardní vektorové normy:

‖ A ‖ p = ‖ vec (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | aij | p) 1 / p (\ styl zobrazení \ | A \ | _ (p) = \ | \ mathrm ( vec) (A) \ | _ (p) = \ vlevo (\ součet _ (i = 1) ^ (m) \ součet _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (p) \ vpravo) ^ (1 / p))

Frobeniova norma

Frobeniova norma, nebo Euklidovská norma je speciální případ p-normy pro p = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 naij 2 (\ styl zobrazení \ | A \ | _ (F) = (\ sqrt (\ součet _ (i = 1) ^ (m) \ součet _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) ^ (2)))).

Frobeniova norma se snadno počítá (ve srovnání např. se spektrální normou). Má následující vlastnosti:

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2. (\ displaystyle \ | Sekera \ | _ (2) ^ (2) = \ suma _ (i = 1) ^ (m) \ vlevo | \ suma _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) x_ ( j) \ vpravo | ^ (2) \ leq \ součet _ (i = 1) ^ (m) \ vlevo (\ součet _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (2) \ součet _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ vpravo) = \ součet _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | x \ | _ (2) ^ (2).)

• Sub-multiplikativita: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\ styl zobrazení \ | AB \ | _ (F) \ leq \ | A \ | _ (F) \ | B \ | _ (F)), protože ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i, j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i, k | a i k | 2 ∑ k, j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\ styl zobrazení \ | AB \ | _ (F) ^ (2) = \ součet _ (i, j) \ vlevo | \ součet _ (k) a_ (ik) b_ (kj) \ vpravo | ^ (2) \ leq \ suma _ (i, j) \ vlevo (\ suma _ (k) | a_ (ik) || b_ (kj) | \ vpravo) ^ (2) \ leq \ suma _ (i, j) \ vlevo (\ suma _ (k) | a_ (ik) | ^ (2) \ suma _ (k) | b_ (kj) | ^ (2) \ vpravo) = \ suma _ (i, k) | a_ (ik) | ^ (2) \ součet _ (k, j) | b_ (kj) | ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | B \ | _ (F) ^ (2)).
• ‖ A ‖ F 2 = tr ⁡ A ∗ A = tr ⁡ AA ∗ (\ styl zobrazení \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ mathop (\ rm (tr)) A ^ (*) A = \ mathop (\ rm (tr)) AA ^ (*)), kde t r ⁡ A (\ displaystyle \ mathop (\ rm (tr)) A)- matricová stopa A (\ styl zobrazení A), A ∗ (\ styl zobrazení A ^ (*)) je hermitovská konjugovaná matrice.
• ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\ styl zobrazení \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ rho _ (1) ^ (2) + \ rho _ (2) ^ (2) + \ tečky + \ rho _ (n) ^ (2)), kde ρ 1, ρ 2,…, ρ n (\ styl zobrazení \ rho _ (1), \ rho _ (2), \ tečky, \ rho _ (n))- singulární hodnoty matice A (\ styl zobrazení A).
• ‖ A ‖ F (\ styl zobrazení \ | A \ | _ (F)) se při násobení matice nemění A (\ styl zobrazení A) vlevo nebo vpravo do ortogonálních (unitárních) matic.

Maximum modulu

Norma maximálního modulu je dalším speciálním případem p-normy pro p = ∞ .

‖ A ‖ max = max (| a i j |). (\ styl zobrazení \ | A \ | _ (\ text (max)) = \ max \ (| a_ (ij) | \).)

Schattenova norma

Konzistence maticových a vektorových norem

Maticová norma ‖ ⋅ ‖ a b (\ styl zobrazení \ | \ cdot \ | _ (ab)) na K m × n (\ styl zobrazení K ^ (m \ krát n)) volala souhlasil s normami ‖ ⋅ ‖ a (\ styl zobrazení \ | \ cdot \ | _ (a)) na K n (\ styl zobrazení K ^ (n)) a ‖ ⋅ ‖ b (\ styl zobrazení \ | \ cdot \ | _ (b)) na K m (\ styl zobrazení K ^ (m)), pokud:

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\ styl zobrazení \ | Ax \ | _ (b) \ leq \ | A \ | _ (ab) \ | x \ | _ (a))

pro jakékoli A ∈ K m × n, x ∈ K n (\ styl zobrazení A \ v K ^ (m \ krát n), x \ v K ^ (n))... Operátorská norma podle konstrukce je konzistentní s původní vektorovou normou.

Příklady dohodnutých, ale ne podřízených maticových norem:

Ekvivalence norem

Všechny normy ve vesmíru K m × n (\ styl zobrazení K ^ (m \ krát n)) jsou ekvivalentní, to znamená pro jakékoli dvě normy “. ‖ Α (\ styl zobrazení \ |. \ | _ (\ Alpha)) a “. ‖ Β (\ styl zobrazení \ |. \ | _ (\ Beta)) a pro jakoukoli matrici A ∈ K m × n (\ styl zobrazení A \ v K ^ (m \ krát n)) dvojitá nerovnost je pravdivá.

Maticová norma budeme nazývat reálné číslo přiřazené této matici || A || takové, které je jako reálné číslo přiřazeno každé matici z n-rozměrného prostoru a splňuje 4 axiomy:

1. || A || ³0 a || A || = 0 pouze v případě, že A je nulová matice;

2. || αA || = | α | · || A ||, kde a R;

3. || A + B || £ || A || + || B ||;

4. || A · ​​​​B || £ || A || · || B ||. (multiplikativní vlastnost)

Normu matrik lze zadávat různými způsoby. Na matici A lze nahlížet jako n 2 - rozměrový vektor.

Tato norma se nazývá euklidovská norma matice.

Jestliže pro jakoukoli čtvercovou matici A a libovolný vektor x, jehož rozměr je roven řádu matice, nerovnost || Ax || £ || A || · || x ||

pak se říká, že norma matice A je v souladu s normou vektoru. Všimněte si, že nalevo od poslední podmínky je norma vektoru (Ax je vektor).

S danou vektorovou normou jsou koordinovány různé maticové normy. Vyberme z nich ten nejmenší. Tohle bude

Tato maticová norma je podřízena dané vektorové normě. Existence maxima v tomto výrazu vyplývá z kontinuity normy, protože vždy existuje vektor x -> || x || = 1 a || Ax || = || A ||.

Ukažme, že norma N (A) nepodléhá žádné vektorové normě. Normy matice, podléhající dříve zavedeným vektorovým normám, jsou vyjádřeny takto:

1. || A || ¥ = | a ij | (norma-maximum)

2. || A || 1 = | a ij | (norma-součet)

3. || A || 2 =, (spektrální norma)

kde s 1 je největší vlastní hodnota symetrické matice A ¢ A, která je součinem transponované a původní matice. T k je matice A ¢ A symetrická, pak jsou všechny její vlastní hodnoty reálné a kladné. Počet l -vlastností je hodnota a nenulový vektor x je vlastní vektor matice A (pokud spolu souvisí vztahem Ax = lx). Pokud je samotná matice A symetrická, A ¢ = A, pak A ¢ A = A 2 a pak s 1 =, kde je největší vlastní hodnota modulu matice A. V tomto případě tedy máme =.

Vlastní čísla matice nepřekračují žádnou z jejích dohodnutých norem. Normalizací vztahu definujícího vlastní hodnoty získáme || λx || = || Ax ||, | λ | · || x || = || Ax || £ || A || · || x ||, | λ | £ || A ||

Od || A || 2 £ || A || e, kde je snadné vypočítat euklidovskou normu, lze v odhadech místo spektrální normy použít euklidovskou normu matice.

30. Podmíněnost soustav rovnic. Faktor stavu .

Podmíněnost- vliv rozhodnutí na výchozí údaje. Sekera = b: vektor b odpovídá rozhodnutí X... Nech být b se bude měnit podle hodnoty. Potom vektor b + nové řešení bude odpovídat x + : A (x + ) = b +... Protože systém je lineární, pak Sekera + A = b +, pak A = ; = ; = ; b = Ax; = pak; *, kde je relativní chyba poruchy řešení, - faktor stavupodmínka (A) (kolikrát se chyba řešení může zvýšit), je relativní porucha vektoru b. podmínka (A) = ; podmínka (A) * Vlastnosti koeficientu: závisí na volbě normy matice; podmínka ( = podmínka (A); vynásobení matice číslem neovlivní faktor podmínky. Čím větší koeficient, tím více chyba v počátečních datech ovlivňuje řešení SLAE. Číslo podmínky nesmí být menší než 1.

31. Metoda rozmítání pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic.

Často je nutné řešit systémy, jejichž matice jsou slabě vyplněné, tzn. obsahující mnoho nenulových prvků. Matice takových systémů mají většinou určitou strukturu, mezi nimiž jsou soustavy s maticemi páskové struktury, tzn. v nich jsou nenulové prvky umístěny na hlavní diagonále a na několika bočních diagonálách. Pro řešení systémů s pásovými maticemi lze Gaussovu metodu převést na efektivnější metody. Uvažujme nejjednodušší případ pásových systémů, na který se, jak uvidíme později, redukuje řešení diskretizačních úloh pro okrajové úlohy pro diferenciální rovnice metodami konečných diferencí, konečných prvků atd. sousedí s tím:

Tři diagonální matice mají pouze (3n-2) nenulové položky.

Přejmenujme koeficienty matice:

Potom v zápisu komponent může být systém reprezentován jako:

A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i + 1 = d i , i = 1, 2, ..., n; (7)

a 1 = 0, c n = 0. (osm)

Struktura systému předpokládá vztah pouze mezi sousedními neznámými:

x i = x i * x i +1 + h i (9)

x i -1 = x i -1 * x i + h i -1 a dosaďte do (7):

A i (x i-1 * x i + h i-1) + b i * x i + c i * x i + 1 = d i

(a i * x i-1 + b i) x i = –c i * x i + 1 + d i –a i * h i-1

Porovnáním výsledného výrazu s reprezentací (7) dostaneme:

Vzorce (10) představují rekurentní vztahy pro výpočet koeficientů rozmítání. Vyžadují nastavení počátečních hodnot. V souladu s první podmínkou (8) pro i = 1 máme a 1 = 0, a tedy

Dále jsou zbývající koeficienty rozmítání vypočteny a uloženy podle vzorců (10) pro i = 2,3, ..., n a pro i = n, s přihlédnutím k druhé podmínce (8), získáme xn = 0 . Proto v souladu se vzorcem (9) x n = h n.

Poté jsou podle vzorce (9) postupně nalezeny neznámé x n -1, x n -2, ..., x 1. Tento krok výpočtu se nazývá zpětný chod, zatímco výpočet faktorů rozmítání se nazývá rozmítání vpřed.

Pro úspěšnou aplikaci metody sweep je nutné, aby v procesu výpočtů nedocházelo k situacím s dělením nulou a při velkém rozměru soustav nedocházelo k rychlému nárůstu zaokrouhlovacích chyb. Zavoláme běh opravit pokud jmenovatel koeficientů rozmítání (10) nezmizí a udržitelný pokud ½ x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.

Teorém. Nechť koeficienty a i a c i rovnice (7) pro i = 2,3, ..., n-1 se liší od nuly a nechť

½b i ½> ½a i ½ + ½c i ½ pro i = 1, 2, ..., n. (jedenáct)

Pak je rozmítání definované vzorci (10), (9) správné a stabilní.