Logaritmus je 1 když. Logaritmus

1.1. Určení stupně pro celočíselný exponent

Xi = X
X2 = X * X
X3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N krát

1.2. Nulový stupeň.

Podle definice je obvyklé předpokládat, že nulová mocnina libovolného čísla je rovna 1:

1.3. negativní stupeň.

X-N = 1/XN

1.4. Zlomkový exponent, kořen.

X1/N = N-tá odmocnina z X.

Například: X 1/2 = √X.

1.5. Vzorec pro sčítání mocnin.

X (N+M) = X N * X M

1.6 Vzorec pro odečítání stupňů.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Vzorec pro násobení moci.

XN*M = (XN)M

1.8. Vzorec pro zvýšení zlomku na mocninu.

(X/Y)N = XN/YN

2. Číslo e.

Hodnota čísla e se rovná následující limitě:

E = lim(1+1/N), jako N → ∞.

S přesností na 17 číslic je číslo e 2,71828182845904512.

3. Eulerova rovnost.

Tato rovnost spojuje pět čísel, která hrají v matematice zvláštní roli: 0, 1, číslo e, číslo pí, imaginární jednotka.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Exponenciální funkce exp (x)

exp(x) = e x

5. Derivace exponenciální funkce

Exponenciální funkce má pozoruhodnou vlastnost: derivace funkce se rovná samotné exponenciální funkci:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritmus.

6.1. Definice logaritmické funkce

Jestliže x = b y , pak logaritmus je funkce

Y = Logb(x).

Logaritmus ukazuje, do jaké míry je nutné zvýšit číslo - základ logaritmu (b), abychom dostali dané číslo (X). Logaritmická funkce je definována pro X větší než nula.

Například: Log 10 (100) = 2.

6.2. Desetinný logaritmus

Toto je logaritmus se základnou 10:

Y = Log 10 (x) .

Označené Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Příkladem použití dekadického logaritmu je decibel.

6.3. Decibel

Položka je zvýrazněna na samostatné stránce Decibel

6.4. binární logaritmus

Toto je základní 2 logaritmus:

Y = Log2(x).

Označeno Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. přirozený logaritmus

Toto je logaritmus se základem e:

Y = loge(x) .

Označeno Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Přirozený logaritmus - inverzní funkce na exponenciální funkci exp(X).

6.6. charakteristické body

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. Vzorec pro logaritmus součinu

Log a (x*y) = Log a (x) + Log a (y)

6.8. Vzorec pro logaritmus podílu

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Vzorec mocninného logaritmu

Log a (x y) = y* Log a (x)

6.10. Vzorec pro převod na logaritmus s jiným základem

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Příklad:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Vzorce užitečné v životě

Často existují problémy s převodem objemu na plochu nebo délku a opačným problémem je převod plochy na objem. Například desky se prodávají v krychlích (metrech krychlových) a my potřebujeme spočítat, jakou plochu stěny lze opláštit deskami obsaženými v určitém objemu, viz výpočet desek, kolik desek je v krychli. Nebo, rozměry stěny jsou známé, je nutné spočítat počet cihel, viz výpočet cihel.

Je povoleno používat materiály webu za předpokladu, že je nastaven aktivní odkaz na zdroj.

Co je to logaritmus?

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

Co je to logaritmus? Jak řešit logaritmy? Tyto otázky mnohé absolventy matou. Tradičně je téma logaritmů považováno za složité, nepochopitelné a děsivé. Zejména - rovnice s logaritmy.

To absolutně není pravda. Absolutně! nevěříš? Dobrý. Nyní po dobu 10–20 minut:

1. Pochopit co je logaritmus.

2. Naučte se řešit celou třídu exponenciální rovnice. I když jste o nich neslyšeli.

3. Naučte se počítat jednoduché logaritmy.

Navíc k tomu budete potřebovat pouze znát násobící tabulku a jak se číslo zvyšuje na mocninu ...

Cítím, že pochybuješ... Dobře, měj čas! Jít!

Nejprve si v duchu vyřešte následující rovnici:

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

\(a^(b)=c\) \(\Šipka doleva\) \(\log_(a)(c)=b\)

Pojďme si to vysvětlit jednodušeji. Například \(\log_(2)(8)\) se rovná mocnině, kterou je třeba zvýšit, aby \(2\) získal \(8\). Z toho je zřejmé, že \(\log_(2)(8)=3\).

Příklady:		\(\log_(5)(25)=2\)		protože \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		protože \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		protože \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument a základ logaritmu

Každý logaritmus má následující „anatomii“:

Argument logaritmu se obvykle zapisuje na jeho úrovni a základ se zapisuje v dolním indexu blíže znaménku logaritmu. A tento záznam se čte takto: "logaritmus dvaceti pěti na základ pět."

Jak vypočítat logaritmus?

Chcete-li vypočítat logaritmus, musíte odpovědět na otázku: do jaké míry by měl být základ zvýšen, aby se získal argument?

Například, vypočítejte logaritmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na jakou mocninu je třeba zvýšit \(4\), abychom dostali \(16\)? Pochopitelně to druhé. Proto:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na jakou mocninu se musí zvýšit \(\sqrt(5)\), aby se dostalo \(1\)? A jaký stupeň dělá z libovolného čísla jednotku? Nula, samozřejmě!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na jakou mocninu musí být \(\sqrt(7)\) zvýšeno, aby se dostalo \(\sqrt(7)\)? V prvním - jakékoli číslo v prvním stupni je rovno samo sobě.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na jakou mocninu se musí zvýšit \(3\), aby se dostalo \(\sqrt(3)\)? Z toho víme, že jde o zlomkovou mocninu, což znamená Odmocnina je stupeň \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Příklad : Vypočítejte logaritmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Řešení :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Musíme najít hodnotu logaritmu, označme ji jako x. Nyní použijeme definici logaritmu: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Šipka doleva\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Jaké odkazy \(4\sqrt(2)\) a \(8\)? Dvě, protože obě čísla mohou být reprezentována dvojkami: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vlevo používáme vlastnosti stupně: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) a \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Základy se rovnají, přistupujeme k rovnosti ukazatelů
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Vynásobte obě strany rovnice \(\frac(2)(5)\)
		Výsledná odmocnina je hodnota logaritmu

Odpovědět : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Proč byl logaritmus vynalezen?

Abychom to pochopili, vyřešme rovnici: \(3^(x)=9\). Stačí spárovat \(x\), aby rovnost fungovala. Samozřejmě, \(x=2\).

Nyní vyřešte rovnici: \(3^(x)=8\) Čemu se rovná x? To je přesně ono.

Ti nejdůmyslnější řekne: "X je o něco méně než dva." A jak přesně toto číslo napsat? Aby odpověděli na tuto otázku, přišli s logaritmem. Díky němu zde může být odpověď zapsána jako \(x=\log_(3)(8)\).

Chci zdůraznit, že \(\log_(3)(8)\), stejně jako každý logaritmus je jen číslo. Ano, vypadá to nezvykle, ale je to krátké. Protože kdybychom to chtěli napsat do formuláře desetinný zlomek, pak by to vypadalo takto: \(1.892789260714.....\)

Příklad : Vyřešte rovnici \(4^(5x-4)=10\)

Řešení :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) a \(10\) nelze redukovat na stejný základ. Zde se tedy bez logaritmu neobejdete. Použijme definici logaritmu: \(a^(b)=c\) \(\Šipka doleva\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Otočte rovnici tak, aby x bylo vlevo
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Před námi. Přesuňte \(4\) doprava. A nebojte se logaritmu, zacházejte s ním jako s běžným číslem.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Vydělte rovnici 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Zde je náš kořen. Ano, vypadá to nezvykle, ale odpověď není zvolena.

Odpovědět : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desetinné a přirozené logaritmy

Jak je uvedeno v definici logaritmu, jeho základem může být libovolné kladné číslo kromě jedné \((a>0, a\neq1)\). A mezi všemi možnými bázemi jsou dva, které se vyskytují tak často, že pro logaritmy s nimi byl vynalezen speciální krátký zápis:

Přirozený logaritmus: logaritmus, jehož základem je Eulerovo číslo \(e\) (rovné přibližně \(2,7182818…\)) a logaritmus je zapsán jako \(\ln(a)\).

to znamená, \(\ln(a)\) je totéž jako \(\log_(e)(a)\)

Desetinný logaritmus: Logaritmus, jehož základ je 10, se zapisuje \(\lg(a)\).

to znamená, \(\lg(a)\) je totéž jako \(\log_(10)(a)\), kde \(a\) je nějaké číslo.

Základní logaritmická identita

Logaritmy mají mnoho vlastností. Jeden z nich se nazývá „Základní logaritmická identita“ a vypadá takto:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tato vlastnost vyplývá přímo z definice. Pojďme se podívat, jak tento vzorec vznikl.

Připomeňme si krátkou definici logaritmu:

jestliže \(a^(b)=c\), pak \(\log_(a)(c)=b\)

To znamená, že \(b\) je totéž jako \(\log_(a)(c)\). Potom můžeme ve vzorci \(a^(b)=c\) místo \(b\) napsat \(\log_(a)(c)\) . Ukázalo se, že \(a^(\log_(a)(c))=c\) - hlavní logaritmická identita.

Můžete najít zbytek vlastností logaritmů. S jejich pomocí můžete zjednodušit a vypočítat hodnoty výrazů s logaritmy, které je obtížné vypočítat přímo.

Příklad : Najděte hodnotu výrazu \(36^(\log_(6)(5))\)

Řešení :

Odpovědět : \(25\)

Jak zapsat číslo jako logaritmus?

Jak bylo uvedeno výše, každý logaritmus je pouze číslo. Platí to i naopak: libovolné číslo lze zapsat jako logaritmus. Například víme, že \(\log_(2)(4)\) se rovná dvěma. Potom můžete místo dvou napsat \(\log_(2)(4)\).

Ale \(\log_(3)(9)\) se také rovná \(2\), takže můžete také napsat \(2=\log_(3)(9)\) . Podobně s \(\log_(5)(25)\) as \(\log_(9)(81)\) atd. To znamená, že se ukazuje

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Pokud tedy potřebujeme, můžeme dvojku zapsat jako logaritmus s libovolným základem kdekoli (i v rovnici, dokonce i ve výrazu, dokonce i v nerovnosti) - prostě zapíšeme druhou mocninu základu jako argument.

Stejné je to s trojkou – lze ji zapsat jako \(\log_(2)(8)\), nebo jako \(\log_(3)(27)\), nebo jako \(\log_(4)( 64) \) ... Zde zapíšeme základ v krychli jako argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

A se čtyřmi:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

A s mínus jedna:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

A s jednou třetinou:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jakékoli číslo \(a\) může být reprezentováno jako logaritmus se základem \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Příklad : Najděte hodnotu výrazu \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Řešení :

Odpovědět : \(1\)

Těžiště tohoto článku je logaritmus. Zde uvedeme definici logaritmu, ukážeme přijatý zápis, uvedeme příklady logaritmů a budeme hovořit o přirozených a desítkových logaritmech. Poté zvažte základní logaritmickou identitu.

Navigace na stránce.

Definice logaritmu

Koncept logaritmu vzniká při řešení problému v určitém smyslu inverzním, kdy potřebujete najít exponent ze známé hodnoty stupně a známého základu.

Ale dost preambule, je čas odpovědět na otázku „co je to logaritmus“? Uveďme vhodnou definici.

Definice.

Logaritmus b na základnu a, kde a>0 , a≠1 ab>0 je exponent, na který musíte zvýšit číslo a, abyste získali b.

V této fázi si všimneme, že mluvené slovo „logaritmus“ by mělo okamžitě vyvolat dvě následující otázky: „jaké číslo“ a „na jakém základě“. Jinými slovy, prostě neexistuje žádný logaritmus, ale existuje pouze logaritmus čísla v nějakém základu.

Hned představíme logaritmický zápis: logaritmus čísla b k základu a se obvykle označuje jako log a b . Logaritmus čísla b k základu e a logaritmus k základu 10 mají svá vlastní speciální označení lnb a lgb, to znamená, že nepíší log e b , ale lnb a ne log 10 b , ale lgb .

Nyní můžete přinést: .
A záznamy nedávají smysl, protože v prvním z nich je záporné číslo pod znaménkem logaritmu, ve druhém - záporné číslo v základu a ve třetím - jak záporné číslo pod znaménkem logaritmu, tak jednotka v základně.

Nyní si promluvme o pravidla pro čtení logaritmů. Záznam ab se čte jako "logaritmus b k základně a". Například log 2 3 je logaritmus tří k základu 2 a je logaritmus dvou celých dvou třetin k základu druhé odmocniny z pěti. Logaritmus k základu e se nazývá přirozený logaritmus a zápis lnb se čte jako "přirozený logaritmus b". Například ln7 je přirozený logaritmus sedmi a budeme jej číst jako přirozený logaritmus pí. Logaritmus se základnou 10 má také speciální jméno - dekadický logaritmus a zápis lgb se čte jako "desetinný logaritmus b". Například lg1 je dekadický logaritmus jedné a lg2,75 je dekadický logaritmus dvou teček sedmdesát pět setin.

Stojí za to se samostatně pozastavit nad podmínkami a>0, a≠1 a b>0, za kterých je uvedena definice logaritmu. Pojďme si vysvětlit, odkud tato omezení pocházejí. K tomu nám pomůže rovnost tvaru nazvaná , která přímo vyplývá z výše uvedené definice logaritmu.

Začněme s a≠1 . Protože jedna se rovná jedné jakékoli mocnině, rovnost může platit pouze pro b=1, ale log 1 1 může být libovolné reálné číslo. Aby se předešlo této nejednoznačnosti, akceptuje se a≠1.

Doložme účelnost podmínky a>0 . S a=0 bychom podle definice logaritmu měli rovnost , což je možné pouze s b=0 . Ale pak log 0 0 může být libovolné nenulové reálné číslo, protože nula až jakákoli nenulová mocnina je nula. Této nejednoznačnosti se lze vyhnout podmínkou a≠0 . A pro a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Nakonec podmínka b>0 vyplývá z nerovnosti a>0 , protože , a hodnota stupně s kladnou bází a je vždy kladná.

Na závěr tohoto odstavce říkáme, že znějící definice logaritmu vám umožňuje okamžitě uvést hodnotu logaritmu, když číslo pod logaritmem je určitý stupeň základu. Definice logaritmu nám totiž umožňuje tvrdit, že pokud b=a p , pak se logaritmus čísla b k základu a rovná p . To znamená, že log rovnosti a a p =p je pravdivý. Například víme, že 2 3 =8 , pak log 2 8=3 . Více si o tom povíme v článku.

(z řeckého λόγος - "slovo", "vztah" a ἀριθμός - "číslo") b podle rozumu A(log α b) se nazývá takové číslo C, a b= a c, tedy log α b=C a b=aC jsou ekvivalentní. Logaritmus má smysl, pokud a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Jinými slovy logaritmusčísla b podle rozumu A formulován jako exponent, na který musí být číslo zvýšeno A získat číslo b(logaritmus existuje pouze pro kladná čísla).

Z této formulace vyplývá, že výpočet x= log α b, je ekvivalentní řešení rovnice a x =b.

Například:

log 2 8 = 3 protože 8=2 3 .

Upozorňujeme, že uvedená formulace logaritmu umožňuje okamžitě určit logaritmickou hodnotu když číslo pod znaménkem logaritmu je určitá mocnina základu. Formulace logaritmu skutečně umožňuje ospravedlnit, že pokud b=a c, pak logaritmus čísla b podle rozumu A rovná se S. Je také zřejmé, že téma logaritmu s tématem úzce souvisí stupněm počtu.

Odkazuje se na výpočet logaritmu logaritmus. Logaritmus je matematická operace logaritmu. Při logaritmování se součiny faktorů převádějí na součty členů.

Zesilování je matematická operace inverzní k logaritmu. Při potenciaci je daný základ povýšen na sílu výrazu, na kterém se potenciace provádí. V tomto případě se součty členů transformují na součin faktorů.

Poměrně často se používají reálné logaritmy se základy 2 (binární), e Eulerovým číslem e ≈ 2,718 (přirozený logaritmus) a 10 (desítkový).

V této fázi to stojí za zvážení ukázky logaritmů log 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

A položky lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nedávají smysl, protože v prvním z nich je pod znaménkem logaritmu umístěno záporné číslo, ve druhém - záporné číslo v základ, a ve třetím - a záporné číslo pod znaménkem logaritmu a jednotky v základu.

Podmínky pro určení logaritmu.

Samostatně stojí za zvážení podmínek a > 0, a ≠ 1, b > 0. definice logaritmu. Podívejme se, proč jsou tato omezení přijata. To nám pomůže s rovností tvaru x = log α b, nazývaná základní logaritmická identita, která přímo vyplývá z výše uvedené definice logaritmu.

Vezměte podmínku a≠1. Protože jedna se rovná jedné jakékoli mocnině, pak rovnost x=log α b může existovat pouze tehdy b=1, ale log 1 1 bude libovolné reálné číslo. Abychom tuto nejednoznačnost odstranili, bereme a≠1.

Dokažme nezbytnost podmínky a>0. V a=0 podle formulace logaritmu může existovat pouze tehdy, když b=0. A pak podle toho log 0 0 může být libovolné nenulové reálné číslo, protože nula až jakákoli nenulová mocnina je nula. K odstranění této dvojznačnosti podmínka a≠0. A kdy A<0 museli bychom odmítnout analýzu racionálních a iracionálních hodnot logaritmu, protože exponent s racionálním a iracionálním exponentem je definován pouze pro nezáporné základy. Právě z tohoto důvodu je podmínka a>0.

A poslední podmínka b>0 vyplývá z nerovnosti a>0, protože x=log α b, a hodnotu stupně s kladným základem A vždy pozitivní.

Vlastnosti logaritmů.

Logaritmy vyznačující se výrazným funkce, což vedlo k jejich širokému použití k výraznému usnadnění pečlivých výpočtů. Při přechodu „do světa logaritmů“ se násobení mění v mnohem snazší sčítání, dělení na odčítání a umocňování a odmocňování na násobení a dělení exponentem.

Formulaci logaritmů a tabulku jejich hodnot (pro goniometrické funkce) poprvé publikoval v roce 1614 skotský matematik John Napier. Logaritmické tabulky, zvětšené a podrobné jinými vědci, byly široce používány ve vědeckých a inženýrské výpočty a zůstal relevantní, dokud se nezačaly používat elektronické kalkulačky a počítače.