Odmocniny vzorce dělení odčítání násobení sčítání. Akce s odmocninami: sčítání a odčítání

Druhá odmocnina z čísla x je číslo a, které po vynásobení samo sebou dostane číslo x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Stejně jako u jiných čísel je povoleno provádět aritmetické operace sčítání a odčítání přes odmocniny.

Návod

1. Nejprve při přidávání odmocniny zkuste tyto kořeny extrahovat. To bude platné, pokud čísla pod kořenovým znakem jsou dokonalé čtverce. Řekněme, že je dán výraz?4 +?9. První číslo 4 je druhou mocninou čísla 2. Druhé číslo 9 je druhou mocninou čísla 3. Ukazuje se tedy, že: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Pokud pod kořenovým znaménkem nejsou žádné plné čtverce, zkuste přenést násobitel čísla zpod kořenového znaménka. Řekněme, nechť je uveden výraz?24 +?54. Rozložte čísla: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. V čísle 24 je faktor 4, ten, který lze přesunout pod znak odmocnina. Číslo 54 má faktor 9. Ukazuje se tedy, že: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) +? (9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . V tomto příkladu se v důsledku odstranění faktoru z kořenového znaménka ukázalo, že došlo ke zjednodušení daného výrazu.

3. Nechť součet 2 odmocnin je jmenovatelem zlomku, řekněme A / (?a + ?b). A to i když stojíte před úkolem „zbavit se iracionality ve jmenovateli“. Pak můžete použít další metodu. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomku výrazem ?a - ?b. Ve jmenovateli tedy dostanete vzorec pro zkrácené násobení: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Analogicky, pokud je rozdíl kořenů dán ve jmenovateli: ?a - ?b, pak čitatel a jmenovatel zlomku musí být vynásoben výrazem?a + ?b. Řekněme například 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2* (A5 - A3).

4. Zvažte obtížnější příklad, jak se zbavit iracionality ve jmenovateli. Nechť je dán zlomek 12 / (?2 +?3 +?5). Je třeba vynásobit čitatele a jmenovatele zlomku výrazem? 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * ( A2 + A3 - A5) / (2 * A6) = A6 * (A2 + A3 - A5) = 2 * A3 + 3 * A2 - A30.

5. A nakonec, pokud potřebujete pouze přibližnou hodnotu, můžete na kalkulačce vypočítat odmocniny. Vypočítejte hodnoty samostatně pro celé číslo a zapište je s požadovanou přesností (řekněme na dvě desetinná místa). A pak proveďte požadované aritmetické operace, jako u běžná čísla. Řekněme, že potřebujete zjistit přibližnou hodnotu výrazu?7 +?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Související videa

Poznámka!
V žádném případě nelze sčítat odmocniny jako primitivní čísla, tzn. ?3 + ?2? ?5!!!

Užitečná rada
Pokud faktorizujete číslo, abyste posunuli čtverec mimo kořenové znaménko, pak to udělejte zpětná kontrola- vynásobte všechny výsledné faktory a dostanete původní číslo.

Druhá odmocnina čísla X zavolal na číslo A, který se v procesu množení sám od sebe ( A*A) může dát číslo X.
Tito. A * A = A2 = X, A √X = A.

Přes odmocniny ( √x), stejně jako u jiných čísel, můžete provádět aritmetické operace, jako je odčítání a sčítání. Chcete-li odečíst a přidat kořeny, musí být spojeny pomocí znaků odpovídajících těmto akcím (např √x- √y ).
A pak přiveďte kořeny do jejich nejjednodušší podoby - pokud jsou mezi nimi podobné, musíte udělat odlitek. Spočívá v tom, že koeficienty podobných členů jsou brány se znaménky odpovídajících členů, pak jsou uzavřeny v závorkách a výstup společný kořen mimo závorky multiplikátoru. Koeficient, který jsme získali, je zjednodušen podle obvyklých pravidel.

Krok 1. Extrakce druhých odmocnin

Za prvé, chcete-li přidat druhé odmocniny, musíte tyto kořeny nejprve extrahovat. To lze provést, pokud čísla pod kořenovým znakem jsou dokonalé čtverce. Například vezměte daný výraz √4 + √9 . První číslo 4 je druhá mocnina čísla 2 . Druhé číslo 9 je druhá mocnina čísla 3 . Lze tedy získat následující rovnost: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Vše, příklad je vyřešen. Ale ne vždy se to tak děje.

Krok 2. Vyjmutí násobitele čísla zpod odmocniny

Pokud pod kořenovým znakem nejsou žádné plné čtverce, můžete zkusit vyjmout násobitel čísla pod kořenovým znakem. Vezměte si například výraz √24 + √54 .

Rozložme čísla na faktor:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Mezi 24 máme násobitel 4 , lze jej vyjmout zpod znaménka druhé odmocniny. Mezi 54 máme násobitel 9 .

Dostaneme rovnost:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

S ohledem na uvedený příklad, dostaneme násobitel vyjmutý zpod kořenového znaménka, čímž daný výraz zjednodušíme.

Krok 3. Snížení jmenovatele

Zvažte následující situaci: součet dvou odmocnin je jmenovatelem zlomku, např. A / (√a + √b).
Nyní stojíme před úkolem „zbavit se iracionality ve jmenovateli“.
Použijme následující metodu: vynásobíme čitatel a jmenovatel zlomku výrazem √a - √b.

Nyní dostáváme zkrácený vzorec pro násobení ve jmenovateli:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Podobně, pokud jmenovatel obsahuje rozdíl kořenů: √a - √b, čitatel a jmenovatel zlomku se násobí výrazem √a + √b.

Vezměme si jako příklad zlomek:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Příklad redukce komplexního jmenovatele

Nyní se podíváme na poměrně komplikovaný příklad, jak se zbavit iracionality ve jmenovateli.

Vezměme si jako příklad zlomek: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Musíte vzít jeho čitatel a jmenovatel a vynásobit výrazem √2 + √3 - √5 .

Dostaneme:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Krok 4. Vypočítejte přibližnou hodnotu na kalkulačce

Pokud potřebujete pouze přibližnou hodnotu, lze to provést na kalkulačce výpočtem hodnoty odmocnin. Samostatně se pro každé číslo vypočítá a zaznamená hodnota s požadovanou přesností, která je určena počtem desetinných míst. Dále jsou provedeny všechny požadované operace jako u běžných čísel.

Příklad odhadovaného výpočtu

Je nutné vypočítat přibližnou hodnotu tohoto výrazu √7 + √5 .

V důsledku toho získáme:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Upozornění: za žádných okolností by neměly být přidávány odmocniny jako prvočísla, to je zcela nepřijatelné. To znamená, že když sečtete druhou odmocninu z pěti a tří, nemůžeme dostat druhou odmocninu z osmi.

Užitečná rada: pokud se rozhodnete faktorizovat číslo, abyste odvodili druhou mocninu zpod kořenového znaménka, musíte provést zpětnou kontrolu, to znamená vynásobit všechny faktory, které vyplynuly z výpočtů, a v konečný výsledek Výsledkem tohoto matematického výpočtu by mělo být číslo, které nám bylo původně zadáno.

V matematice má každá akce svůj vlastní párový protiklad – v podstatě jde o jeden z projevů Hegelova zákona dialektiky: „jednota a boj protikladů“. Jedna z akcí v takovém „páru“ je zaměřena na zvýšení počtu a druhá, jeho opak, se snižuje. Například akce opačná k sčítání je odčítání a dělení odpovídá násobení. Povýšení k moci má také svůj vlastní dialektický pár - opak. Jde o extrakci kořenů.

Vyjmout z čísla odmocninu takového a takového stupně znamená vypočítat, které číslo je třeba zvýšit na odpovídající mocninu, aby skončilo s tímto číslem. Dva stupně mají svá vlastní samostatná jména: druhý stupeň se nazývá "čtverec" a třetí - "krychle". Podle toho je příjemné nazývat kořeny těchto mocnin odmocninou a krychlovou odmocninou. Akce s krychlovými odmocninami jsou tématem na samostatnou diskuzi, ale nyní si povíme něco o přidávání odmocnin.

Začněme tím, že v některých případech je snazší nejprve extrahovat odmocniny a poté výsledky přidat. Předpokládejme, že potřebujeme najít hodnotu takového výrazu:

Ostatně není vůbec těžké spočítat, že druhá odmocnina z 16 je 4 a ze 121 - 11.

√16+√121=4+11=15

To je však ten nejjednodušší případ – zde mluvíme o plných čtvercích, tzn. o číslech, která se získají umocněním celých čísel. Ale není tomu tak vždy. Například číslo 24 není dokonalý čtverec (nemůžete najít celé číslo, které by po zvýšení na druhou mocninu vedlo k 24). Totéž platí pro číslo jako 54... Co když potřebujeme sečíst odmocniny těchto čísel?

V tomto případě dostaneme v odpovědi nikoli číslo, ale jiný výraz. Maximum, co zde můžeme udělat, je co nejvíce zjednodušit původní výraz. K tomu budete muset vyjmout faktory zpod odmocniny. Podívejme se, jak se to dělá pomocí uvedených čísel jako příklad:

Pro začátek rozložme 24 na faktorizace – tak, že jednu z nich lze snadno vzít jako druhou odmocninu (tj. aby byla dokonalá). Existuje takové číslo - toto je 4:

Nyní udělejme totéž s 54. V jeho složení bude toto číslo 9:

Získáme tedy následující:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Nyní vyjmeme kořeny z toho, z čeho je můžeme extrahovat: 2*√6+3*√6

Je zde společný faktor, který můžeme vyjmout ze závorek:

(2+3)* √6=5*√6

To bude výsledek sčítání - nic jiného zde nelze extrahovat.

Je pravda, že se můžete uchýlit k pomoci kalkulačky - výsledek však bude přibližný a s velkým počtem desetinných míst:

√6=2,449489742783178

Postupným zaokrouhlením nahoru dostaneme přibližně 2,5. Pokud bychom přesto chtěli řešení předchozího příkladu dovést k logickému závěru, můžeme tento výsledek vynásobit 5 – a dostaneme 12,5. Více přesný výsledek s takovými počátečními údaji nelze získat.

Fakt 1.
\(\bullet\) Vezměte nějaké nezáporné číslo \(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina z čísla \(a\) se nazývá takové nezáporné číslo \(b\), při jeho umocnění dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(stejné jako )\quad a=b^2\] Z definice vyplývá, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tato omezení jsou důležitou podmínkou existence odmocniny a je třeba si je pamatovat!
Připomeňme si, že každé číslo při druhé mocnině dává nezáporný výsledek. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Co je \(\sqrt(25)\) ? Víme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Protože podle definice musíme najít nezáporné číslo, \(-5\) není vhodné, proto \(\sqrt(25)=5\) (protože \(25=5^2\) ).
Nalezení hodnoty \(\sqrt a\) se nazývá převzetí druhé odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) se nazývá kořenový výraz.
\(\bullet\) Na základě definice jsou výrazy \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) atd. nedávají smysl.

Fakt 2.
Pro rychlé výpočty bude užitečné naučit se tabulku čtverců přirozená čísla od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]

Fakt 3.
Co lze dělat s odmocninami?
\(\kulka\) Součet nebo rozdíl odmocnin NENÍ ROVNOUT druhé odmocnině součtu nebo rozdílu, tzn. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Pokud tedy potřebujete vypočítat například \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , pak nejprve musíte najít hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\sqrt (49)\ ) a poté je sečtěte. Proto, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Pokud při přidávání \(\sqrt a+\sqrt b\) nelze najít hodnoty \(\sqrt a\) nebo \(\sqrt b\), pak se takový výraz dále nepřevádí a zůstane tak, jak je. Například v součtu \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) můžeme najít \(\sqrt(49)\) - to je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nemůže být přeměněn jakýmkoli způsobem, proto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Dále tento výraz bohužel nelze nijak zjednodušit.\(\bullet\) Součin/podíl odmocnin je roven druhé odmocnině součinu/podílu, tzn. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za předpokladu, že obě části rovnosti dávají smysl)
Příklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocí těchto vlastností je vhodné najít druhé odmocniny velkých čísel jejich rozkladem.
Zvažte příklad. Najděte \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , pak \(44100=100\cdot 441\) . Podle kritéria dělitelnosti je číslo \(441\) dělitelné \(9\) (protože součet jeho číslic je 9 a je dělitelný 9), proto \(441:9=49\) , tedy \(441=9\ cdot 49\) .
Tak jsme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Podívejme se na další příklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ukažme si, jak zadávat čísla pod odmocninu na příkladu výrazu \(5\sqrt2\) (zkratka pro výraz \(5\cdot \sqrt2\) ). Protože \(5=\sqrt(25)\) , tak \ Všimněte si také, že např.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

proč tomu tak je? Vysvětlíme na příkladu 1). Jak jste již pochopili, nemůžeme nějak převést číslo \(\sqrt2\) . Představte si, že \(\sqrt2\) je nějaké číslo \(a\) . V souladu s tím výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) není nic jiného než \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tři další stejná čísla \(a\) ). A víme, že se to rovná čtyřem takovým číslům \(a\) , tedy \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Často se říká „nelze extrahovat kořen“, když při hledání hodnoty nějakého čísla není možné se zbavit znaménka \(\sqrt () \ \) kořene (radikálu). Například můžete odmocnit číslo \(16\), protože \(16=4^2\) , takže \(\sqrt(16)=4\) . Ale extrahovat odmocninu z čísla \(3\) , tedy najít \(\sqrt3\) , je nemožné, protože neexistuje žádné takové číslo, které by na druhou dalo \(3\) .
Taková čísla (nebo výrazy s takovými čísly) jsou iracionální. Například čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) a tak dále. jsou iracionální.
Iracionální jsou také čísla \(\pi\) (číslo „pi“, přibližně rovné \(3,14\) ), \(e\) (toto číslo se nazývá Eulerovo číslo, přibližně rovné \(2) ,7\) ) atd.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že jakékoli číslo bude buď racionální, nebo iracionální. A dohromady všechna racionální a všechna iracionální čísla tvoří množinu tzv množina reálných (reálných) čísel. Tato množina je označena písmenem \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všechna čísla, která jsou tento moment víme, že se nazývají reálná čísla.

Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálného čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdálenosti od bodu \(a\) do \(0\) na reálném čára. Například \(|3|\) a \(|-3|\) se rovnají 3, protože vzdálenosti od bodů \(3\) a \(-3\) do \(0\) jsou stejné a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Jestliže \(a\) je nezáporné číslo, pak \(|a|=a\) .
Příklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jestliže \(a\) je záporné číslo, pak \(|a|=-a\) .
Příklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Říkají, že pro záporná čísla modul „sežere“ mínus a kladná čísla, stejně jako číslo \(0\) , modul ponechá beze změny.
ALE toto pravidlo platí pouze pro čísla. Pokud máte pod znakem modulu neznámou \(x\) (nebo jinou neznámou), například \(|x|\) , o které nevíme, zda je kladná, rovna nule nebo záporná, pak zbavit se modulu nemůžeme. V tomto případě tento výraz zůstane takto: \(|x|\) . \(\bullet\) Platí následující vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytováno) a\geqslant 0\]Často se dělá následující chyba: říkají, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) jsou totéž. To platí pouze v případě, že \(a\) je kladné číslo nebo nula. Ale pokud je \(a\) záporné číslo, pak to není pravda. Stačí vzít v úvahu takový příklad. Vezměme číslo \(-1\) místo \(a\). Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vůbec neexistuje (protože je není možné pod kořenové znaménko vkládat záporná čísla!).
Proto upozorňujeme na skutečnost, že \(\sqrt(a^2)\) se nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Příklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), protože \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Protože \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pak \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje sudé číslo)
To znamená, že při extrakci odmocniny z čísla, které je v určitém stupni, je tento stupeň poloviční.
Příklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimněte si, že pokud modul není nastaven, pak se ukáže, že kořen čísla je roven \(-25 \) ; ale pamatujeme si , což podle definice kořene nemůže být: při extrakci kořene bychom měli vždy dostat kladné číslo nebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (protože jakékoli číslo na sudou mocninu není záporné)

Fakt 6.
Jak porovnat dvě odmocniny?
\(\bullet\) Platí pro odmocniny: pokud \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPříklad:
1) porovnejte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Nejprve transformujeme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tedy od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mezi jakými celými čísly je \(\sqrt(50)\) ?
Protože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porovnejte \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Předpokládejme \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(zarovnáno) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((přidejte jednu na obě strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((oba části čtverec)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnáno)\] Vidíme, že jsme dostali nesprávnou nerovnost. Náš předpoklad byl proto chybný a \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Všimněte si, že přidání určitého čísla na obě strany nerovnosti neovlivní její znaménko. Vynásobení/dělení obou částí nerovnosti kladným číslem také neovlivní její znaménko, ale vynásobení/dělení záporným číslem znaménko nerovnosti obrátí!
Obě strany rovnice/nerovnice lze odmocnit POUZE POKUD jsou obě strany nezáporné. Například v nerovnosti z předchozího příkladu můžete odmocnit obě strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Všimněte si toho \[\začátek(zarovnáno) &\sqrt 2\přibližně 1,4\\ &\sqrt 3\přibližně 1,7 \konec (zarovnáno)\] Znalost přibližného významu těchto čísel vám pomůže při porovnávání čísel! \(\bullet\) Abyste mohli extrahovat odmocninu (pokud je extrahována) z nějakého velkého čísla, které není v tabulce čtverců, musíte nejprve určit, mezi kterými „stovkami“ to je, pak mezi kterými „desítky“, a pak určit poslední číslici tohoto čísla. Ukažme si, jak to funguje na příkladu.
Vezměte \(\sqrt(28224)\) . Víme, že \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) a tak dále. Všimněte si, že \(28224\) je mezi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Proto je \(\sqrt(28224)\) mezi \(100\) a \(200\) .
Nyní určíme, mezi kterými „desítkami“ je naše číslo (tedy například mezi \(120\) a \(130\) ). Z tabulky čtverců také víme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atd., pak \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme tedy, že \(28224\) je mezi \(160^2\) a \(170^2\) . Proto je číslo \(\sqrt(28224)\) mezi \(160\) a \(170\) .
Zkusme určit poslední číslici. Připomeňme si, jaká jednociferná čísla při umocnění dávají na konci \ (4 \) ? Jsou to \(2^2\) a \(8^2\) . Proto \(\sqrt(28224)\) skončí buď 2, nebo 8. Pojďme to zkontrolovat. Najděte \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Proto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

K adekvátnímu vyřešení zkoušky z matematiky je v první řadě nutné nastudovat teoretický materiál, který zavádí četné věty, vzorce, algoritmy atd. Na první pohled se může zdát, že je to docela jednoduché. Najít zdroj, ve kterém by byla teorie pro Jednotnou státní zkoušku z matematiky prezentována snadno a srozumitelně pro studenty jakékoli úrovně vzdělání, je však ve skutečnosti poměrně obtížný úkol. Školní učebnice nelze mít vždy po ruce. A najít základní vzorce ke zkoušce z matematiky může být obtížné i na internetu.

Proč je tak důležité studovat teorii v matematice nejen pro ty, kdo skládají zkoušku?

Protože vám to rozšíří obzory. Studium teoretického materiálu v matematice je užitečné pro každého, kdo chce získat odpovědi na širokou škálu otázek souvisejících s poznáním světa. Vše v přírodě je uspořádané a má jasnou logiku. Právě to se odráží ve vědě, jejímž prostřednictvím je možné porozumět světu.
Protože rozvíjí intelekt. Studiem referenčních materiálů ke zkoušce z matematiky a řešením různých problémů se člověk učí myslet a logicky uvažovat, správně a jasně formulovat myšlenky. Rozvíjí schopnost analyzovat, zobecňovat, vyvozovat závěry.

Zveme vás k osobnímu posouzení všech výhod našeho přístupu k systematizaci a prezentaci vzdělávacích materiálů.

Znovu jsem se podíval na talíř... A jdeme na to!

Začněme jednoduchým:

Počkej chvíli. to znamená, že to můžeme napsat takto:

Mám to? Zde je další pro vás:

Kořeny výsledných čísel nejsou přesně extrahovány? Nebojte se, zde je několik příkladů:

Co když ale nejsou dva násobitele, ale více? Stejný! Vzorec pro násobení kořenů funguje s libovolným počtem faktorů:

Nyní zcela nezávisle:

Odpovědi: Výborně! Souhlasíte, vše je velmi snadné, hlavní věcí je znát násobilku!

Oddělení kořenů

Přišli jsme na násobení kořenů, nyní přistoupíme k vlastnosti dělení.

Dovolte mi připomenout, že vzorec obecně vypadá takto:

A to znamená kořen podílu se rovná podílu kořenů.

No, podívejme se na příklady:

To je celá věda. A tady je příklad:

Vše není tak hladké jako v prvním příkladu, ale jak vidíte, není to nic složitého.

Co když výraz vypadá takto:

Stačí použít vzorec obráceně:

A tady je příklad:

Můžete také vidět tento výraz:

Všechno je stejné, pouze si zde musíte pamatovat, jak překládat zlomky (pokud si nepamatujete, podívejte se na téma a vraťte se!). Pamatováno? Teď se rozhodneme!

Jsem si jistý, že jste se vyrovnali se vším, se vším, nyní zkusme do určité míry zakořenit.

Umocňování

Co se stane, když je druhá odmocnina na druhou? Je to jednoduché, zapamatujte si význam druhé odmocniny čísla – to je číslo, jehož druhá odmocnina se rovná.

Pokud tedy odmocníme číslo, jehož druhá odmocnina je rovna, co pak dostaneme?

No samozřejmě,!

Podívejme se na příklady:

Všechno je jednoduché, že? A pokud je kořen v jiném stupni? To je v pořádku!

Držte se stejné logiky a pamatujte si vlastnosti a možné akce se schopnostmi.

Přečtěte si teorii na téma "" a vše vám bude velmi jasné.

Zde je například výraz:

V tomto příkladu je stupeň sudý, ale co když je lichý? Znovu použijte vlastnosti výkonu a zohledněte vše:

S tím se zdá být vše jasné, ale jak extrahovat kořen z čísla ve stupních? Zde je například toto:

Docela jednoduché, že? Co když je stupeň větší než dva? Postupujeme podle stejné logiky pomocí vlastností stupňů:

No, je vše jasné? Poté vyřešte vlastní příklady:

A zde jsou odpovědi:

Úvod ve znamení kořene

Co jsme se jen nenaučili dělat s kořeny! Zbývá pouze procvičit zadávání čísla pod kořenovým znakem!

Je to docela snadné!

Řekněme, že máme číslo

Co s tím můžeme dělat? No, samozřejmě, schovejte trojku pod odmocninu a pamatujte, že trojka je odmocnina z!

Proč to potřebujeme? Ano, jen pro rozšíření našich možností při řešení příkladů:

Jak se vám líbí tato vlastnost kořenů? Dělá život mnohem jednodušší? Pro mě je to tak! Pouze musíme si pamatovat, že pod znaménko druhé odmocniny můžeme zadávat pouze kladná čísla.

Zkuste si tento příklad sami:
Zvládli jste to? Podívejme se, co byste měli získat:

Výborně! Podařilo se vám zadat číslo pod kořenový znak! Přejděme k neméně důležitému – zvažte, jak porovnat čísla obsahující odmocninu!

Porovnání kořenů

Proč bychom se měli naučit porovnávat čísla obsahující odmocninu?

Velmi jednoduché. Často ve velkých a dlouhých výrazech, se kterými se setkáváme při zkoušce, dostáváme iracionální odpověď (pamatujete si, co to je? Už jsme o tom dnes mluvili!)

Přijaté odpovědi potřebujeme umístit na souřadnicovou čáru, abychom například určili, který interval je vhodný pro řešení rovnice. A právě zde nastává zádrhel: na zkoušce není kalkulačka a jak si bez ní představit, které číslo je větší a které menší? A je to!

Určete například, co je větší: nebo?

Neřekneš to hned. Dobře, použijeme vlastnost parsed přidání čísla pod kořenový znak?

Pak vpřed:

Je zřejmé, že čím větší číslo pod znaménkem kořene, tím větší je samotný kořen!

Tito. pokud znamená .

Z toho pevně usuzujeme A nikdo nás nepřesvědčí o opaku!

Extrakce kořenů z velkého množství

Před tím jsme představili faktor pod znamením kořene, ale jak ho vyndat? Stačí to vyřadit a extrahovat to, co je extrahováno!

Bylo možné jít jinou cestou a rozložit se na další faktory:

Není to špatné, že? Každý z těchto přístupů je správný, rozhodněte se, jak se cítíte pohodlně.

Faktoring je velmi užitečný při řešení takových nestandardních úloh, jako je tento:

My se nebojíme, jednáme! Každý faktor pod kořenem rozložíme na samostatné faktory:

A teď si to zkuste sami (bez kalkulačky! Na zkoušce to nebude):

Je tohle konec? Nezastavujeme na půli cesty!

To je vše, není to tak děsivé, že?

Stalo? Výborně, máte pravdu!

Nyní zkuste tento příklad:

A příklad je tvrdý oříšek, takže nemůžete hned přijít na to, jak k němu přistupovat. Ale my jsme samozřejmě v zubech.

No, začněme faktoring, ano? Okamžitě si všimneme, že číslo můžete dělit (připomeňme si znaky dělitelnosti):

A teď si to zkuste sami (opět bez kalkulačky!):

No, povedlo se? Výborně, máte pravdu!

Shrnutí

Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) nezáporného čísla je nezáporné číslo, jehož druhá mocnina se rovná.
.
Pokud vezmeme jen druhou odmocninu něčeho, vždy dostaneme jeden nezáporný výsledek.
Vlastnosti aritmetického kořene:
Při porovnávání odmocnin je třeba pamatovat na to, že čím větší číslo pod znaménkem odmocniny, tím větší je samotný odmocninec.

Jak se vám líbí odmocnina? Vše jasné?

Snažili jsme se vám bez vody vysvětlit vše, co potřebujete u zkoušky o odmocnině vědět.

Jsi na řadě. Napište nám, zda je pro vás toto téma těžké nebo ne.

Naučili jste se něco nového nebo už bylo všechno tak jasné.

Pište do komentářů a hodně štěstí u zkoušek!