Pythagorova věta přímá a inverzní s důkazem. Lekce "teorém - inverze k Pythagorově větě"

Cíle lekce:

obecné vzdělání:

• prověřit teoretické znalosti studentů (vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku, Pythagorova věta), schopnost je využít při řešení úloh;
• vytváření problémová situace, přivést studenty k „objevu“ inverzní Pythagorovy věty.

rozvíjející se:

• rozvoj dovedností aplikovat teoretické znalosti v praxi;
• rozvoj schopnosti formulovat závěry během pozorování;
• rozvoj paměti, pozornosti, pozorování:
• rozvoj motivace k učení prostřednictvím emočního uspokojení z objevů, prostřednictvím zavádění prvků historie vývoje matematických pojmů.

vzdělávací:

• pěstovat stálý zájem o toto téma studiem Pythagorova života;
• podpora vzájemné pomoci a objektivního hodnocení znalostí spolužáků prostřednictvím vzájemného hodnocení.

Forma lekce: třídní lekce.

Plán lekce:

• Organizace času.
• Zkouška domácí práce. Aktualizace znalostí.
• Řešení praktických úloh pomocí Pythagorovy věty.
• Nové téma.
• Primární upevňování znalostí.
• Domácí práce.
• Výsledky lekce.
• Samostatná práce (dle jednotlivých karet s hádáním aforismů Pythagora).

Během vyučování.

Organizace času.

Kontrola domácích úkolů. Aktualizace znalostí.

Učitel: Jaký úkol jste dělali doma?

studenti: Vzhledem ke dvěma stranám pravoúhlého trojúhelníku najděte třetí stranu a uspořádejte odpovědi do tabulky. Zopakujte vlastnosti kosočtverce a obdélníku. Zopakujte si, co se nazývá podmínka a jaký je závěr věty. Připravte zprávy o životě a díle Pythagora. Přineste si lano s uvázanými 12 uzly.

Učitel: Zkontrolujte odpovědi na domácí úkol podle tabulky

(data jsou černě, odpovědi červeně).

Učitel: Výroky jsou napsány na tabuli. Pokud s nimi souhlasíte na listech papíru naproti příslušnému číslu otázky, uveďte „+“, pokud nesouhlasíte, uveďte „-“.

Výroky jsou napsány na tabuli.

1. Přepona je větší než noha.
2. Součet ostré rohy pravoúhlý trojúhelník je 180 0 .
3. Oblast pravoúhlého trojúhelníku s nohami A A PROTI vypočítané podle vzorce S=ab/2.
4. Pythagorova věta platí pro všechny rovnoramenné trojúhelníky.
5. V pravoúhlém trojúhelníku se noha protilehlá úhlu 30 0 rovná polovině přepony.
6. Součet druhých mocnin nohou se rovná druhé mocnině přepony.
7. Druhá mocnina větve se rovná rozdílu čtverců přepony a druhé větve.
8. Strana trojúhelníku je rovna součtu ostatních dvou stran.

Práce jsou kontrolovány peer review. Diskutují se kontroverzní výroky.

Klíč k teoretickým otázkám.

Studenti se navzájem hodnotí podle následujícího systému:

8 správných odpovědí „5“;
6-7 správných odpovědí „4“;
4-5 správných odpovědí „3“;
méně než 4 správné odpovědi „2“.

Učitel: O čem jsme mluvili v minulé lekci?

Student: O Pythagorovi a jeho větě.

Učitel: Formulujte Pythagorovu větu. (Několik studentů čte znění, v tuto chvíli to dokazují 2-3 studenti u tabule, 6 studentů v prvních lavicích na listech).

Na magnetické tabuli na kartách jsou napsány matematické vzorce. Vyberte ty, které odrážejí význam Pythagorovy věty, kde A A PROTI -katétry, S - přepona.

1) c 2 \u003d a 2 + b 2	2) c \u003d a + b	3) a 2 \u003d od 2 - do 2
4) c 2 \u003d a 2 - ve 2	5) ve 2 \u003d c 2 - a 2	6) a 2 \u003d c 2 + ve 2

Zatímco studenti dokazující větu u tabule a v terénu nejsou připraveni, slovo dostávají ti, kteří připravovali zprávy o životě a díle Pythagora.

Školáci pracující v terénu předávají letáky a poslouchají výpovědi těch, kteří pracovali u tabule.

Řešení praktických úloh pomocí Pythagorovy věty.

Učitel: Nabízím vám praktické úlohy s využitím nastudované věty. Nejdříve zavítáme do lesa, po bouřce, pak do přírody.

Úkol 1. Po vichřici se smrk zlomil. Výška zbývající části je 4,2 m. Vzdálenost od základny k spadlému vrcholu je 5,6 m. Zjistěte výšku smrku před bouří.

Úkol 2. Výška domu je 4,4 m. Šířka trávníku kolem domu je 1,4 m. Jak dlouhý by měl být žebřík vyroben, aby nešlapal na trávník a dosáhl na střechu domu?

Nové téma.

Učitel:(hudba hraje) Zavřete oči, na pár minut se ponoříme do historie. Jsme s vámi uvnitř Starověký Egypt. Zde v loděnicích Egypťané staví své slavné lodě. Ale zeměměřiči, ti vyměřují pozemky, jejichž hranice byly smyty po povodni Nilu. Stavitelé staví grandiózní pyramidy, které nás stále udivují svou velkolepostí. Při všech těchto činnostech potřebovali Egypťané používat pravé úhly. Věděli, jak je postavit pomocí lana s 12 uzly uvázanými ve stejné vzdálenosti od sebe. Pokuste se, hádat se jako staří Egypťané, pomocí svých provazů postavit pravoúhlé trojúhelníky. (Při řešení tohoto problému pracují kluci ve skupinách po 4 lidech. Po chvíli někdo ukazuje konstrukci trojúhelníku na tabletu u tabule).

Strany výsledného trojúhelníku jsou 3, 4 a 5. Pokud mezi těmito uzly uvážete ještě jeden uzel, budou jeho strany 6, 8 a 10. Pokud každý po dvou - 9, 12 a 15. Všechny tyto trojúhelníky jsou obdélníkové, protože .

5 2 \u003d 3 2 + 4 2, 10 2 \u003d 6 2 + 8 2, 15 2 \u003d 9 2 + 12 2 atd.

Jakou vlastnost musí mít trojúhelník, aby byl pravoúhlým trojúhelníkem? (Studenti se snaží inverzní Pythagorovu větu formulovat sami, konečně se to někomu podaří).

Jak se tato věta liší od Pythagorovy věty?

Student: Podmínka a závěr jsou obrácené.

Učitel: Doma jste si zopakovali, jak se takovým teorémům říká. Tak co teď děláme?

Student: S inverzní Pythagorovou větou.

Učitel: Zapište si téma lekce do sešitu. Otevřete si učebnice na straně 127, přečtěte si toto tvrzení znovu, zapište si ho do sešitu a analyzujte důkaz.

(Po několika minutách samostatné práce s učebnicí, je-li to žádoucí, jeden člověk u tabule podá důkaz teorému).

1. Jak se jmenuje trojúhelník se stranami 3, 4 a 5? Proč?
2. Jaké trojúhelníky se nazývají pythagorejské trojúhelníky?
3. S jakými trojúhelníky jste pracovali v domácích úkolech? A v problémech s borovicí a žebříkem?

Primární upevňování znalostí

.

Tato věta pomáhá řešit problémy, ve kterých je nutné zjistit, zda jsou trojúhelníky pravoúhlé.

úkoly:

1) Zjistěte, zda je trojúhelník pravoúhlý, pokud jsou jeho strany stejné:

a) 12,37 a 35; b) 21, 29 a 24.

2) Vypočítejte výšky trojúhelníku o stranách 6, 8 a 10 cm.

Domácí práce

.

Strana 127: Inverzní Pythagorova věta. č. 498 (a, b, c) č. 497.

Výsledky lekce.

Co nového jste se v lekci naučili?

Jak Egypťané používali inverzní Pythagorovu větu?

K jakým úkolům se používá?

Jaké trojúhelníky jste potkali?

Na co vzpomínáte a co máte nejraději?

Samostatná práce (prováděná na jednotlivých kartách).

Učitel: Doma jste si zopakovali vlastnosti kosočtverce a obdélníku. Vyjmenujte je (probíhá konverzace se třídou). V minulé lekci jsme mluvili o tom, že Pythagoras byl všestranný člověk. Zabýval se medicínou, hudbou a astronomií a byl také sportovec a účastnil se olympijské hry. Pythagoras byl také filozof. Mnohé z jeho aforismů jsou pro nás stále aktuální. Nyní budete vystupovat samostatná práce. U každého úkolu je uvedeno několik odpovědí, vedle kterých jsou napsány fragmenty pythagorejských aforismů. Vaším úkolem je vyřešit všechny úkoly, z obdržených útržků udělat výpis a zapsat ho.

Podle van der Waerdena je velmi pravděpodobné, že poměr v obecný pohled byl v Babylóně znám již kolem 18. století před naším letopočtem. E.

Přibližně 400 let před naším letopočtem. e., podle Proclus, Plato dal metodu pro nalezení Pythagorean trojice, kombinovat algebru a geometrii. Kolem roku 300 př.n.l. E. v "Prvcích" Euklida se objevil nejstarší axiomatický důkaz Pythagorovy věty.

Formulace

Hlavní formulace je algebraické akce- v pravoúhlém trojúhelníku, jehož délky jsou stejné a (\displaystyle a) A b (\displaystyle b), a délka přepony je c (\displaystyle c), vztah je splněn:

.

Je také možná ekvivalentní geometrická formulace, která se uchýlí k pojmu plocha číslo: v pravoúhlém trojúhelníku se plocha čtverce postaveného na přeponě rovná součtu ploch čtverců postavených na nohách. V této podobě je věta formulována v Euklidově Principia.

Inverzní Pythagorova věta- tvrzení o pravoúhlosti libovolného trojúhelníku, jehož délky stran souvisí vztahem a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). V důsledku toho pro jakoukoli trojici kladných čísel a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) A c (\displaystyle c), takové, že a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), existuje pravoúhlý trojuhelník s nohama a (\displaystyle a) A b (\displaystyle b) a přepona c (\displaystyle c).

Důkaz

V vědecká literatura bylo zaznamenáno nejméně 400 důkazů Pythagorovy věty, což je vysvětleno jak její základní důležitostí pro geometrii, tak elementárností výsledku. Hlavní směry důkazů jsou: algebraické využití poměrů prvků trojúhelník (takový je např. oblíbená podobnostní metoda), plošná metoda, existují i ​​různé exotické důkazy (např. pomocí diferenciálních rovnic).

Prostřednictvím podobných trojúhelníků

Euklidův klasický důkaz si klade za cíl stanovit rovnost ploch mezi obdélníky vytvořenými disekcí čtverce přes přeponu o výšce pravý úhel se čtverci přes nohy.

Konstrukce použitá pro důkaz je následující: pro pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem C (\displaystyle C), čtverce nad nohama a a čtverce nad přeponou A B I K (\displaystyle ABIK) výška se staví CH (\displaystyle CH) a paprsek, který v něm pokračuje s (\displaystyle s), rozdělující čtverec nad přeponou na dva obdélníky a . Důkaz je zaměřen na stanovení rovnosti ploch obdélníku A H J K (\displaystyle AHJK) se čtvercem přes nohu A C (\displaystyle AC); obdobným způsobem se stanoví rovnost ploch druhého obdélníku, což je čtverec nad přeponou, a obdélníku nad druhým ramenem.

Rovnost ploch obdélníku A H J K (\displaystyle AHJK) A A C E D (\displaystyle ACED) vytvořený pomocí kongruence trojúhelníků △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK) A △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), přičemž plocha každého z nich se rovná polovině plochy čtverců A H J K (\displaystyle AHJK) A A C E D (\displaystyle ACED) respektive ve spojení s následující vlastností: plocha trojúhelníku se rovná polovině plochy obdélníku, pokud mají postavy společnou stranu, a výška trojúhelníku je rovna společná strana je druhá strana obdélníku. Kongruence trojúhelníků vyplývá z rovnosti dvou stran (stran čtverců) a úhlu mezi nimi (složeného z pravého úhlu a úhlu v A (\displaystyle A).

Důkaz tedy prokazuje, že plocha čtverce nad přeponou se skládá z obdélníků A H J K (\displaystyle AHJK) A B H J I (\displaystyle BHJI), se rovná součtu ploch čtverců nad nohama.

Důkaz Leonarda da Vinciho

Plošná metoda zahrnuje také důkaz nalezený Leonardem da Vincim. Nechť existuje pravoúhlý trojúhelník △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) pravý úhel C (\displaystyle C) a čtverce A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) A A B H J (\displaystyle ABHJ)(viz obrázek). V tomto důkazu na straně H J (\displaystyle HJ) posledně jmenovaný trojúhelník je konstruován směrem ven, shodný △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) se navíc odráží jak vzhledem k přeponě, tak vzhledem k výšce k ní (tj. J I = B C (\displaystyle JI=BC) A H I = AC (\displaystyle HI=AC)). Rovný C I (\displaystyle CI) rozdělí čtverec postavený na přeponě na dvě stejné části, protože trojúhelníky △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) A △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) ve stavebnictví jsou si rovni. Důkaz stanoví kongruenci čtyřúhelníků C A J I (\displaystyle CAJI) A D A B G (\displaystyle DABG), přičemž plocha každého z nich se na jedné straně rovná součtu poloviny ploch čtverců na nohách a plochy původního trojúhelníku, na druhé straně polovině plochy čtverec na přeponě plus plocha původního trojúhelníku. Celkově se polovina součtu ploch čtverců nad nohama rovná polovině plochy čtverce nad přeponou, což je ekvivalentní geometrické formulaci Pythagorovy věty.

Důkaz infinitezimální metodou

Existuje několik důkazů pomocí techniky diferenciálních rovnic. Zejména Hardy je připočítán s důkazem pomocí nekonečně malých přírůstků nohou a (\displaystyle a) A b (\displaystyle b) a přepona c (\displaystyle c), a zachování podobnosti s původním obdélníkem, tedy zajištění splnění následujících diferenciálních vztahů:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Metodou separace proměnných se z nich odvozuje diferenciální rovnice c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), jehož integrace dává vztah c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). aplikace počáteční podmínky a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definuje konstantu jako 0, což má za následek tvrzení věty.

Kvadratická závislost v konečném vzorci se objevuje v důsledku lineární úměrnosti mezi stranami trojúhelníku a přírůstky, zatímco součet je způsoben nezávislými příspěvky přírůstku různých větví.

Variace a zobecnění

Podobné geometrické tvary na třech stranách

Důležité geometrické zobecnění Pythagorovy věty podal Euklides v Živlech, přecházející z ploch čtverců na stranách do ploch libovolných podobných geometrické tvary: součet ploch takových postav postavených na nohách se bude rovnat ploše postavy jim podobné, postavené na přeponě.

Hlavní myšlenkou tohoto zobecnění je, že plocha takového geometrického útvaru je úměrná čtverci libovolného z jeho lineárních rozměrů a zejména druhé mocnině délky kterékoli strany. Proto u podobných čísel s plochami A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) A C (\displaystyle C) postavené na nohách s délkami a (\displaystyle a) A b (\displaystyle b) a přepona c (\displaystyle c) podle toho existuje vztah:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2))\,\Šipka doprava \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Jelikož podle Pythagorovy věty a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), pak je hotovo.

Pokud je navíc možné bez použití Pythagorovy věty dokázat, že pro plochy tří podobných geometrických útvarů na stranách pravoúhlého trojúhelníku platí vztah A + B = C (\displaystyle A+B=C), pak pomocí opaku důkazu Euklidova zobecnění můžeme odvodit důkaz Pythagorovy věty. Například když na přeponě sestrojíme pravoúhlý trojúhelník shodný s počáteční s plochou C (\displaystyle C), a na nohách - dva podobné pravoúhlé trojúhelníky s plochami A (\displaystyle A) A B (\displaystyle B), pak se ukáže, že trojúhelníky na nohách jsou vytvořeny v důsledku dělení počátečního trojúhelníku jeho výškou, to znamená, že součet dvou menších oblastí trojúhelníků se rovná ploše třetího, tedy A + B = C (\displaystyle A+B=C) a použitím vztahu pro podobná čísla je odvozena Pythagorova věta.

Kosinová věta

Pythagorova věta je speciálním případem obecnější kosinové věty, která dává do souvislosti délky stran v libovolném trojúhelníku:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

kde je úhel mezi stranami a (\displaystyle a) A b (\displaystyle b). Pokud je úhel 90°, pak cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0) a vzorec se zjednoduší na obvyklou Pythagorovu větu.

Libovolný trojúhelník

Existuje zobecnění Pythagorovy věty na libovolný trojúhelník, který funguje pouze na základě poměru délek stran a předpokládá se, že jej poprvé zavedl sabiánský astronom Sabit ibn Kurra. V něm, pro libovolný trojúhelník se stranami, rovnoramenný trojúhelník se základnou na straně c (\displaystyle c), vrchol se shoduje s vrcholem původního trojúhelníku, naproti straně c (\displaystyle c) a úhly na základně rovné úhlu θ (\displaystyle \theta ) opačná strana c (\displaystyle c). Výsledkem jsou dva trojúhelníky, podobné tomu původnímu: první se stranami a (\displaystyle a), boční strana vepsaného rovnoramenného trojúhelníku daleko od něj a r (\displaystyle r)- boční díly c (\displaystyle c); druhý je k němu ze strany symetrický b (\displaystyle b) s partou s (\displaystyle s)- příslušná část strany c (\displaystyle c). V důsledku toho je vztah splněn:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

který degeneruje do Pythagorovy věty at θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Poměr je důsledkem podobnosti vytvořených trojúhelníků:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Šipka doprava \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Pappusova oblastní věta

Neeuklidovská geometrie

Pythagorova věta je odvozena z axiomů euklidovské geometrie a pro neeuklidovskou geometrii je neplatná – naplnění Pythagorovy věty je ekvivalentní postulátu euklidovského paralelismu.

V neeuklidovské geometrii bude vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku nutně ve formě odlišné od Pythagorovy věty. Například ve sférické geometrii mají všechny tři strany pravoúhlého trojúhelníku, který váže oktant jednotkové koule, délku π / 2 (\displaystyle \pi /2), což je v rozporu s Pythagorovou větou.

Navíc Pythagorova věta platí v hyperbolické a eliptické geometrii, pokud je požadavek, aby trojúhelník byl pravoúhlý, nahrazen podmínkou, že součet dvou úhlů trojúhelníku se musí rovnat třetímu.

sférická geometrie

Pro libovolný pravoúhlý trojúhelník na kouli s poloměrem R (\displaystyle R)(například pokud je úhel v trojúhelníku pravý) se stranami a , b , c (\displaystyle a,b,c) vztah mezi stranami je:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Tuto rovnost lze odvodit jako zvláštní případ sférická kosinová věta, která platí pro všechny sférické trojúhelníky:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Kde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hyperbolický-kosin. Tento vzorec je speciálním případem hyperbolické kosinové věty, která platí pro všechny trojúhelníky:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Kde γ (\displaystyle \gamma )- úhel, jehož vrchol je opačný ke straně c (\displaystyle c).

Použití Taylorovy řady pro hyperbolický kosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\cca 1+x^(2)/2)) lze ukázat, že pokud se hyperbolický trojúhelník zmenšuje (tedy kdy a (\displaystyle a), b (\displaystyle b) A c (\displaystyle c) inklinují k nule), pak se hyperbolické vztahy v pravoúhlém trojúhelníku blíží vztahu klasické Pythagorovy věty.

aplikace

Vzdálenost ve dvourozměrných pravoúhlých systémech

Nejdůležitější aplikací Pythagorovy věty je určení vzdálenosti mezi dvěma body v pravoúhlých souřadnicích: vzdálenost s (\displaystyle s) mezi body se souřadnicemi (a , b) (\displaystyle (a,b)) A (c, d) (\displaystyle (c,d)) rovná se:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Pro komplexní čísla poskytuje Pythagorova věta přirozený vzorec pro nalezení modulového komplexního čísla – např. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) rovná se délce

Zvažování témat školní osnovy s pomocí video lekcí je pohodlný způsob, jak studovat a asimilovat materiál. Video pomáhá zaměřit pozornost studentů na hlavní teoretické body a nenechat si ujít důležité detaily. V případě potřeby si mohou studenti vždy poslechnout video lekci znovu nebo se vrátit o několik témat zpět.

Tato videolekce pro 8. třídu pomůže studentům učit se nové téma podle geometrie.

V předchozím tématu jsme studovali Pythagorovu větu a analyzovali její důkaz.

Existuje také věta, která je známá jako inverzní Pythagorova věta. Podívejme se na to podrobněji.

Teorém. Trojúhelník je pravoúhlý, pokud splňuje rovnost: hodnota jedné strany trojúhelníku na druhou je stejná jako součet ostatních dvou stran na druhou.

Důkaz. Předpokládejme, že máme trojúhelník ABC, ve kterém platí rovnost AB 2 = CA 2 + CB 2. Musíme dokázat, že úhel C je 90 stupňů. Uvažujme trojúhelník A 1 B 1 C 1, ve kterém úhel C 1 je 90 stupňů, strana C 1 A 1 je rovna CA a strana B 1 C 1 je rovna BC.

S použitím Pythagorovy věty zapíšeme poměr stran trojúhelníku A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Nahrazením výrazu za rovné strany, dostaneme A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

Z podmínek věty víme, že AB 2 = CA 2 + CB 2 . Pak můžeme napsat A 1 B 1 2 = AB 2 , což znamená, že A 1 B 1 = AB.

Zjistili jsme, že v trojúhelníku ABC a A 1 B 1 C 1 jsou tři strany stejné: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Tyto trojúhelníky jsou tedy shodné. Z rovnosti trojúhelníků vyplývá, že úhel C se rovná úhlu C 1 a je tedy roven 90 stupňům. Zjistili jsme, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a jeho úhel C je 90 stupňů. Tuto větu jsme dokázali.

Autor pak uvádí příklad. Předpokládejme, že je nám dán libovolný trojúhelník. Rozměry jeho stran jsou známé: 5, 4 a 3 jednotky. Zkontrolujme tvrzení z věty obráceně k Pythagorově větě: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Pokud je tvrzení správné, pak je daný trojúhelník pravoúhlý.

V následujících příkladech budou trojúhelníky také pravoúhlé, pokud jsou jejich strany stejné:

5, 12, 13 jednotek; rovnost 13 2 = 5 2 + 12 2 je pravdivá;

8, 15, 17 jednotek; rovnice 17 2 = 8 2 + 15 2 platí;

7, 24, 25 jednotek; rovnice 25 2 = 7 2 + 24 2 platí.

Koncept pythagorejského trojúhelníku je známý. Je to pravoúhlý trojúhelník, jehož boční hodnoty jsou celá čísla. Pokud jsou nohy pythagorejského trojúhelníku označeny a a c a přepona b, lze hodnoty stran tohoto trojúhelníku zapsat pomocí následujících vzorců:

b \u003d k x (m 2 - n 2)

c \u003d k x (m 2 + n 2)

kde m, n, k jsou libovolné celá čísla a hodnota m je větší než hodnota n.

Zajímavost: trojúhelník se stranami 5, 4 a 3 se také nazývá egyptský trojúhelník, takový trojúhelník znali již ve starém Egyptě.

V tomto videonávodu jsme se seznámili s teorémem, obrácením Pythagorovy věty. Zvažte důkaz podrobně. Studenti se také dozvěděli, které trojúhelníky se nazývají pythagorejské trojúhelníky.

Studenti se mohou snadno seznámit s tématem „Věta, obrácená věta Pythagoras“ nezávisle pomocí tohoto videonávodu.

Cíle lekce:

Vzdělávací: formulovat a dokázat Pythagorovu větu a obrácení Pythagorovy věty. Ukažte jejich historický a praktický význam.

Rozvíjet: rozvíjet pozornost, paměť, logické myšlení studenti, schopnost uvažovat, porovnávat, vyvozovat závěry.

Vzdělávací: pěstovat zájem a lásku k předmětu, přesnost, schopnost naslouchat soudruhům a učitelům.

Vybavení: Portrét Pythagora, plakáty s úkoly k upevnění, učebnice "Geometrie" ročníky 7-9 (I.F. Sharygin).

Plán lekce:

I. Organizační moment - 1 min.

II. Kontrola domácího úkolu - 7 min.

III. úvod učitelé, historické pozadí - 4-5 min.

IV. Formulace a důkaz Pythagorovy věty - 7 min.

V. Formulace a důkaz věty obráceně k Pythagorově větě - 5 min.

Oprava nového materiálu:

a) orální - 5-6 minut.
b) písemná - 7-10 min.

VII. Domácí úkol - 1 min.

VIII. Shrnutí lekce - 3 min.

Během vyučování

I. Organizační moment.

II. Kontrola domácích úkolů.

str.7.1, č. 3 (u desky dle hotového výkresu).

Stav: Výška pravoúhlého trojúhelníku rozděluje přeponu na úseky délky 1 a 2. Najděte ramena tohoto trojúhelníku.

BC = a; CA=b; BA=c; BD = ai; DA = bi; CD = hC

Doplňující otázka: zapište poměry do pravoúhlého trojúhelníku.

položka 7.1, č. 5. Pravoúhlý trojúhelník rozřízněte na tři navzájem podobné trojúhelníky.

Vysvětlit.

ASN ~ ABC ~ SVN

(upozornit žáky na správný zápis odpovídajících vrcholů podobných trojúhelníků)

III. Úvodní slovo učitele, historické pozadí.

Pravda zůstane věčná, jakmile ji slabý člověk pozná!

A nyní platí Pythagorova věta, stejně jako v jeho vzdáleném věku.

Není náhodou, že jsem svou lekci začal slovy německého romanopisce Chamissa. Naše dnešní lekce je o Pythagorově větě. Napíšeme téma lekce.

Před vámi je portrét velkého Pythagora. Narozen v roce 576 před naším letopočtem. Poté, co žil 80 let, zemřel v roce 496 př.nl. Známý jako starověký řecký filozof a učitel. Byl synem obchodníka Mnesarcha, který ho často brával na cesty, díky čemuž se u chlapce rozvinula zvědavost a touha poznávat nové věci. Pythagoras je přezdívka, kterou dostal pro svou výmluvnost („Pythagoras“ znamená „přesvědčivá řeč“). On sám nic nenapsal. Všechny jeho myšlenky zaznamenali jeho studenti. Výsledkem první přednášky, kterou Pythagoras přednesl, získal Pythagoras 2 000 studentů, kteří spolu se svými manželkami a dětmi vytvořili obrovskou školu a vytvořili stát zvaný „Velké Řecko“, který je založen na zákonech a pravidlech Pythagora, uctívaného jako boží přikázání. Své úvahy o smyslu života nazval jako první filozofií (filosofií). Měl sklony k mystifikaci a demonstrativnímu chování. Jednou se Pythagoras ukryl v podzemí a o všem, co se dělo, se dozvěděl od své matky. Pak, vyschlý jako kostra, prohlásil na veřejném shromáždění, že byl v Hádu, a ukázal úžasné povědomí o pozemských událostech. Za to ho dojatí obyvatelé poznali jako Boha. Pythagoras nikdy neplakal a byl obecně nepřístupný vášním a vzrušení. Věřil, že pochází ze semene, které je ve srovnání s lidským lepší. Celý život Pythagora je legenda, která se dostala až do naší doby a vyprávěla nám o nejtalentovanějším muži starověkého světa.

IV. Formulace a důkaz Pythagorovy věty.

Formulaci Pythagorovy věty znáte z kurzu algebry. Připomeňme si ji.

V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec přepony rovná součtu čtverců nohou.

Tato věta však byla známa již mnoho let před Pythagorem. Již 1500 let před Pythagorem věděli staří Egypťané, že trojúhelník se stranami 3, 4 a 5 je pravoúhlý a používali tuto vlastnost ke stavění pravých úhlů při plánování pozemků a stavbě budov. V nejstarší čínské matematické a astronomické práci, která se k nám dostala, „Zhiu-bi“, napsané 600 let před Pythagorem, je kromě jiných vět souvisejících s pravoúhlým trojúhelníkem obsažena také Pythagorova věta. Ještě dříve byla tato věta známá hinduistům. Pýthagoras tedy tuto vlastnost pravoúhlého trojúhelníku neobjevil, byl pravděpodobně první, kdo ji zobecnil a dokázal, přenesl z oblasti praxe do oblasti vědy.

Od starověku nacházeli matematici stále více důkazů Pythagorovy věty. Známých je přes sto padesát. Připomeňme si algebraický důkaz Pythagorovy věty, známý nám z kurzu algebry. („Matematika. Algebra. Funkce. Analýza dat“ G.V. Dorofeev, M., „Bubblehead“, 2000).

Vyzvěte studenty, aby si zapamatovali důkaz kresby a napsali jej na tabuli.

(a + b) 2 \u003d 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 \u003d 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Staří hinduisté, jimž tato úvaha patří, ji obvykle nezapsali, ale doprovázeli kresbu pouze jedním slovem: „Podívej se“.

Uvažujme v moderním podání o jednom z důkazů patřících Pythagorovi. Na začátku lekce jsme si vzpomněli na větu o poměrech v pravoúhlém trojúhelníku:

h 2 \u003d a 1 * b 1 a 2 \u003d a 1 * c b 2 \u003d b 1 * c

Přidáme poslední dvě rovnosti po členech:

b 2 + a 2 \u003d b 1 * c + a 1 * c \u003d (b 1 + a 1) * c 1 \u003d c * c \u003d c 2; a 2 + b 2 = c 2

Přes zdánlivou jednoduchost tohoto důkazu není zdaleka nejjednodušší. Koneckonců, k tomu bylo nutné nakreslit výšku v pravoúhlém trojúhelníku a zvážit podobné trojúhelníky. Zapište si tento důkaz do sešitu.

V. Tvrzení a důkaz věty konverzujte k Pythagorově větě.

Co je inverzní k této větě? (...pokud jsou podmínka a závěr obráceny.)

Pokusme se nyní formulovat větu, opak Pythagorovy věty.

Pokud v trojúhelníku se stranami a, b a c platí rovnost s 2 \u003d a 2 + b 2, pak je tento trojúhelník pravoúhlý a pravý úhel je opačný ke straně c.

(Důkaz inverzní věty na plakátu)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Dokázat:

ABC - obdélníkový,

Důkaz:

Uvažujme pravoúhlý trojúhelník A 1 B 1 C 1,

kde C 1 \u003d 90 °, A 1 C 1 \u003d a, A 1 C 1 \u003d b.

Pak podle Pythagorovy věty B 1 A 1 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d c 2.

To znamená, že B 1 A 1 \u003d c A 1 B 1 C 1 \u003d ABC na třech stranách ABC - obdélníkový

C = 90°, což bylo třeba dokázat.

VI. Upevňování probrané látky (ústně).

1. Podle plakátu s hotovými výkresy.

Obr.1: najděte AD, pokud BD = 8, BDA = 30°.

Obr. 2: najděte CD, pokud BE = 5, BAE = 45°.

Obr. 3: najděte BD, pokud BC = 17, AD = 16.

2. Je trojúhelník pravoúhlý, jsou-li jeho strany vyjádřeny čísly:

5 2 + 6 2 ? 7 2 (ne)	9 2 + 12 2 = 15 2 (ano)	15 2 + 20 2 = 25 2 (ano)

Jak se nazývají trojice čísel v posledních dvou případech? (pythagorejsky).

VI. Řešení problémů (písemně).

č. 9. Strana rovnostranného trojúhelníku je rovna a. Najděte výšku tohoto trojúhelníku, poloměr kružnice opsané, poloměr kružnice vepsané.

№ 14. Dokažte, že v pravoúhlém trojúhelníku je poloměr opsané kružnice roven střední odvěsně a roven polovině přepony.

VII. Domácí práce.

Položka 7.1, str. 175-177, analyzujte větu 7.4 (zobecněná Pythagorova věta), č. 1 (ústní), č. 2, č. 4.

VIII. Výsledky lekce.

Co nového jste se dnes na lekci naučili? …………

Pythagoras byl především filozof. Nyní vám chci přečíst několik jeho výroků, které jsou v naší době pro vás i pro mě aktuální.

• Nezvyšujte prach na cestě života.
• Dělejte jen to, co vás v budoucnu nebude rozčilovat a nebude vás nutit k pokání.
• Nikdy nedělej to, co neumíš, ale nauč se všechno, co potřebuješ vědět, a pak povedeš klidný život.
• Nezavírejte oči, když chcete spát, aniž byste porozuměli všem svým činům předchozího dne.
• Naučte se žít jednoduše a bez luxusu.

Předmět: Věta inverzní k Pythagorově větě.

Cíle lekce: 1) zvážit větu obrácenou k Pythagorově větě; jeho aplikace v procesu řešení problémů; upevnit Pythagorovu větu a zlepšit schopnosti řešení problémů pro její aplikaci;

2) rozvíjet logické myšlení, kreativní hledání, kognitivní zájem;

3) vychovávat studenty k odpovědnému přístupu k učení, kultuře matematické řeči.

Typ lekce. Lekce osvojování si nových znalostí.

Během vyučování

І. Organizace času

ІІ. Aktualizace znalost

Poučení pro měbychchtělzačít čtyřverším.

Ano, cesta poznání není hladká

Ale známe ze školních let

Více záhad než hádanek

A hledání není nijak omezeno!

Takže v minulé lekci jste se naučili Pythagorovu větu. otázky:

Pro který obrazec platí Pythagorova věta?

Který trojúhelník se nazývá pravoúhlý?

Formulujte Pythagorovu větu.

Jak se bude psát Pythagorova věta pro každý trojúhelník?

Jaké trojúhelníky se nazývají rovné?

Formulovat znaky rovnosti trojúhelníků?

A teď pojďme udělat malou samostatnou práci:

Řešení úloh podle výkresů.

№1

(1 b.) Najděte: AB.

№2

(1 b.) Nález: př. Kr.

№3

( 2 b.)Najít: AC

№4

(1 b.)Najít: AC

№5 Dáno: ABCDkosočtverec

(2 b.) AB \u003d 13 cm

AC = 10 cm

Nalézt vD

Vlastní kontrola #1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Studium Nový materiál.

Staří Egypťané stavěli na zemi pravé úhly tímto způsobem: lano rozdělili na 12 stejných částí pomocí uzlů, svázali jeho konce, načež se lano natáhlo na zem tak, aby vznikl trojúhelník o stranách 3, 4 a 5 divizí. Úhel trojúhelníku, který ležel naproti straně s 5 dílky, byl správný.

Můžete vysvětlit správnost tohoto rozsudku?

V důsledku hledání odpovědi na otázku by studenti měli pochopit, že z matematického hlediska je otázka: bude trojúhelník pravoúhlý.

Klademe si problém: jak bez měření určit, zda je trojúhelník s danými stranami pravoúhlý. Řešení tohoto problému je účelem lekce.

Zapište si téma lekce.

Teorém. Pokud se součet čtverců dvou stran trojúhelníku rovná čtverci třetí strany, pak je trojúhelník pravoúhlý.

Samostatně dokažte větu (sestavte důkazní plán podle učebnice).

Z této věty vyplývá, že trojúhelník o stranách 3, 4, 5 je pravoúhlý (egyptský).

Obecně čísla, pro která platí rovnost se nazývají pythagorejské trojice. A trojúhelníky, jejichž délky stran jsou vyjádřeny pythagorejskými trojicemi (6, 8, 10), jsou pythagorejské trojúhelníky.

Konsolidace.

Protože , pak trojúhelník o stranách 12, 13, 5 není pravoúhlý trojúhelník.

Protože , pak je trojúhelník o stranách 1, 5, 6 pravoúhlý.

№ 430 (a, b, c)

( - není)