Jak odečíst dvě zlomky různými. Sčítání a odčítání algebraických zlomků: pravidla, příklady

Chcete -li pochopit, jak přidat zlomky pomocí různých jmenovatelů Nejprve si prostudujeme pravidlo a poté se podíváme na konkrétní příklady.

Chcete -li přidat nebo odečíst zlomky s různými jmenovateli, potřebujete:

1) Najděte (NOZ) dané zlomky.

2) Najděte pro každou frakci další faktor. K tomu musí být nový jmenovatel vydělen starým.

3) Vynásobte čitatele a jmenovatele každého zlomku dalším faktorem a sečtěte nebo odečtěte zlomky se stejnými jmenovateli.

4) Zkontrolujte, zda je výsledná frakce správná a neredukovatelná.

V následujících příkladech je třeba přidat nebo odečíst zlomky s různými jmenovateli:

1) Pro odečtení zlomků s různými jmenovateli nejprve hledáme nejnižšího společného jmenovatele těchto zlomků. Vyberte větší z čísel a zkontrolujte, zda je dělitelné menšími. 25 není dělitelné 20. Násobte 25 krát 2,50 x 20 není dělitelné. Násobte 25 krát 3. 75 x 20 není dělitelné. Vynásobte 25 x 4,100 děleno 20. Nejnižší společný jmenovatel je tedy 100.

2) Chcete -li pro každý zlomek najít další faktor, musí být nový jmenovatel vydělen starým. 100: 25 = 4, 100: 20 = 5. V souladu s tím je k první frakci další faktor 4, ke druhé - 5.

3) Vynásobte čitatele a jmenovatele každého zlomku dalším faktorem a odečtěte zlomky podle pravidla pro odečítání zlomků se stejnými jmenovateli.

4) Výsledná frakce je pravidelná a neredukovatelná. Takže toto je odpověď.

1) Abychom přidali zlomky s různými jmenovateli, nejprve hledáme nejnižšího společného jmenovatele. 16 není dělitelné 12. 16 ∙ 2 = 32 není dělitelné 12. 16 ∙ 3 = 48 děleno 12. Takže 48 je NOZ.

2) 48: 16 = 3, 48: 12 = 4. Toto jsou další faktory pro každou frakci.

3) vynásobte čitatele a jmenovatele každého zlomku dalším faktorem a sečtěte nové zlomky.

4) Výsledná frakce je pravidelná a neredukovatelná.

1) 30 není dělitelné 20. 30 ∙ 2 = 60 děleno 20. Takže 60 je nejnižší společný jmenovatel těchto zlomků.

2) pro nalezení dalšího faktoru pro každý zlomek musí být nový jmenovatel vydělen starým: 60: 20 = 3, 60: 30 = 2.

3) vynásobte čitatele a jmenovatele každého zlomku dalším faktorem a odečtěte nové zlomky.

4) výsledný zlomek o 5.

1) 8 na 6 není dělitelné. 8 ∙ 2 = 16 není dělitelné 6. 8 ∙ 3 = 24 je dělitelné oběma 4 a 6. Takže 24 je NOZ.

2) Chcete -li najít další faktor pro každou frakci, musíte vydělit nového jmenovatele starým. 24: 8 = 3, 24: 4 = 6, 24: 6 = 4. To znamená, že 3, 6 a 4 jsou další faktory k první, druhé a třetí frakci.

3) vynásobte čitatele a jmenovatele každého dolby dalším faktorem. Sčítat a odčítat. Výsledný zlomek je nesprávný, proto je nutné vybrat celý díl.

Tento článek začíná studiem akcí s algebraickými zlomky: takové akce budeme podrobně zvažovat jako sčítání a odčítání. algebraické zlomky... Pojďme analyzovat schéma sčítání a odčítání algebraických zlomků se stejnými i různými jmenovateli. Pojďme se naučit, jak přidat algebraický zlomek s polynomem a jak je odečíst. Vysvětleme si každý krok hledání řešení problémů na konkrétních příkladech.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Akce sčítání a odčítání se stejnými jmenovateli

Schéma přidávání obyčejných zlomků je použitelné také pro algebraické. Víme, že při sčítání nebo odčítání obyčejných zlomků se stejnými jmenovateli musíte sčítat nebo odečítat jejich čitatele a jmenovatel zůstává původní.

Například: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 a 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Pravidlo sčítání a odčítání algebraických zlomků se stejnými jmenovateli je tedy napsáno podobným způsobem:

Definice 1

Chcete -li přidat nebo odečíst algebraické zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat nebo odečíst čitatele původních zlomků a zapsat jmenovatele beze změny.

Toto pravidlo umožňuje dospět k závěru, že výsledkem sčítání nebo odčítání algebraických zlomků je nová algebraická frakce (v konkrétním případě: polynom, monomie nebo číslo).

Uveďme příklad aplikace formulovaného pravidla.

Příklad 1

Jsou uvedeny algebraické zlomky: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 a 3 - x y x 2 y - 2. Je nutné je přidat.

Řešení

Původní zlomky obsahují stejné jmenovatele. Podle pravidla sečteme čitatele daných zlomků a jmenovatele ponecháme beze změny.

Sečtením polynomů, které jsou čitateli původních zlomků, získáme: x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y = x 2 + (2 x y - x y) - 5 + 3 = x 2 + x y - 2.

Poté bude požadovaný součet zapsán jako: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

V praxi, jako v mnoha případech, je řešení dáno řetězcem rovností, který jasně ukazuje všechny fáze řešení:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Odpovědět: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2.

Výsledkem sčítání nebo odčítání může být zrušitelný zlomek, v tomto případě je optimální jej zmenšit.

Příklad 2

Z algebraického zlomku x x 2 - 4 · y 2 je nutné odečíst zlomek 2 · y x 2 - 4 · y 2.

Řešení

Jmenovatelé původních zlomků jsou si rovni. Proveďme akce s čitateli, a to: odečtěte čitatele druhého od čitatele prvního zlomku a poté zapište výsledek, ponecháme jmenovatele beze změny:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Vidíme, že výsledný zlomek je zrušitelný. Proveďme jeho redukci transformací jmenovatele pomocí vzorce pro rozdíl čtverců:

x - 2 y x 2-4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Odpovědět: x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = 1 x + 2 y.

Podle stejného principu se sčítají nebo odečítají tři nebo více algebraických zlomků se stejnými jmenovateli. Například:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Akce sčítání a odčítání pro různé jmenovatele

Vraťme se znovu k schématu akcí s obyčejnými zlomky: k provedení sčítání nebo odčítání obyčejných zlomků s různými jmenovateli je nutné přenést je do Společným jmenovatelem, a poté přidejte výsledné zlomky se stejnými jmenovateli.

Například 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 nebo 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Podobně budeme formulovat pravidlo pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli:

Definice 2

Chcete -li provést sčítání nebo odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli, musíte:

přiveďte původní zlomky ke společnému jmenovateli;
provádět sčítání nebo odčítání výsledných zlomků se stejnými jmenovateli.

Očividně zde bude klíčem dovednost přinášet algebraické zlomky ke společnému jmenovateli. Podívejme se blíže.

Společný jmenovatel algebraických zlomků

Aby bylo možné přenést algebraické zlomky na společného jmenovatele, je nutné provést transformace identity dané zlomky, v důsledku čehož se jmenovatelé původních zlomků stanou stejnými. Zde je optimální postupovat podle následujícího algoritmu pro přivedení algebraických zlomků ke společnému jmenovateli:

nejprve určíme společného jmenovatele algebraických zlomků;
poté najdeme další faktory pro každou ze zlomků vydělením společného jmenovatele jmenovateli původních zlomků;
poslední akcí se čitatelé a jmenovatelé daných algebraických zlomků vynásobí odpovídajícími dalšími faktory.

Příklad 3

Jsou uvedeny algebraické zlomky: a + 2 2 a 3 - 4 a 2, a + 3 3 a 2 - 6 a a + 1 4 a 5 - 16 a 3. Je nutné je přivést ke společnému jmenovateli.

Řešení

Chováme se podle výše uvedeného algoritmu. Určete společného jmenovatele původních zlomků. Za tímto účelem vyloučíme jmenovatele daných zlomků: 2 a 3 - 4 a 2 = 2 a 2 (a - 2), 3 a 2 - 6 a = 3 a (a - 2) a 4 a 5 - 16 a 3 = 4 a 3 (a - 2) (a + 2)... Odtud můžeme zapsat společného jmenovatele: 12 a 3 (a - 2) (a + 2).

Nyní musíme najít další faktory. Rozdělme podle algoritmu nalezeného společného jmenovatele na jmenovatele původních zlomků:

pro první zlomek: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (2 a 2 (a - 2)) = 6 a (a + 2);
pro druhou frakci: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (3 a (a - 2)) = 4 a 2 (a + 2);
pro třetí zlomek: 12 a 3 (a - 2) (a + 2): (4 a 3 (a - 2) (a + 2)) = 3 .

Dalším krokem je vynásobení čitatelů a jmenovatelů daných zlomků dalšími nalezenými faktory:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2-6 a = (a + 3) 4 a 2 (a + 2) 3 a 2-6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (A + 2) a + 1 4 a 5 - 16 a 3 = (a + 1) 3 (4 a 5 - 16 a 3 ) 3 = 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2)

Odpovědět: a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 3 3 a 2 - 6 a = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) (a + 2); a + 1 4 a 5 - 16 a 3 = 3 (a + 1) 12 a 3 (a - 2) (a + 2).

Přivedli jsme tedy původní zlomky ke společnému jmenovateli. V případě potřeby můžete výsledek dále transformovat do podoby algebraických zlomků vynásobením polynomů a monomiálů v čitateli a jmenovateli.

Ujasněme si také následující bod: nalezený společný jmenovatel je optimální ponechat ve formě produktu pro případ, že je nutné konečný zlomek zrušit.

Podrobně jsme prozkoumali schéma redukce původních algebraických zlomků na společného jmenovatele, nyní můžeme přistoupit k analýze příkladů pro sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli.

Příklad 4

Jsou uvedeny algebraické zlomky: 1 - 2 x x 2 + x a 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Je nutné provést akci jejich přidání.

Řešení

Původní zlomky mají různé jmenovatele, takže prvním krokem je přivést je ke společnému jmenovateli. Faktory jmenovatele: x 2 + x = x (x + 1), a x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2), od té doby kořeny čtvercový trojčlen x 2 + 3 x + 2 toto jsou čísla: - 1 a - 2. Určete společného jmenovatele: x (x + 1) (x + 2), pak budou dalšími faktory: x + 2 a - X pro první a druhou frakci.

Tedy: 1 - 2 xx 2 + x = 1 - 2 xx (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) a 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 X 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2)

Nyní přidejme zlomky, které jsme přinesli společnému jmenovateli:

2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) = 2 2 xx (x + 1) (x + 2)

Výslednou frakci lze snížit společným faktorem x + 1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

A nakonec napíšeme výsledek získaný ve formě algebraického zlomku a nahradíme produkt ve jmenovateli polynomem:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Zapišme si stručně průběh řešení ve formě řetězce rovností:

1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = = 1 - 2 x (x + 2) xx + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Odpovědět: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Věnujte pozornost následujícímu detailu: před přidáním nebo odečtením algebraických zlomků je, pokud je to možné, žádoucí je transformovat, aby se zjednodušily.

Příklad 5

Je nutné odečíst zlomky: 2 1 1 3 · x - 2 21 a 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Řešení

Transformujeme původní algebraické zlomky, abychom zjednodušili další řešení. Vyjměte číselné koeficienty proměnných ve jmenovateli mimo závorky:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 a 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Tato transformace nám rozhodně přinesla užitek: jasně vidíme přítomnost společného faktoru.

Zbavme se číselných koeficientů ve jmenovatelích úplně. K tomu použijeme hlavní vlastnost algebraických zlomků: vynásobíme čitatele a jmenovatele prvního zlomku o 3 4 a druhého o - 1 2, pak dostaneme:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 a 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 x - 1 14 = - 3 2 x + 1 2 x - 1 14.

Pojďme provést akci, která nám umožní zbavit se zlomkových koeficientů: vynásobte výsledné zlomky číslem 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 a - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 x + 7 14 x - 1.

Nakonec provedeme akci požadovanou v prohlášení o problému - odčítání:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 = 21 x + 14 14 x - 1

Odpovědět: 2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 x + 14 14 x - 1.

Sčítání a odčítání algebraické frakce a polynomu

Tato akce je také redukována na sčítání nebo odčítání algebraických zlomků: je nutné reprezentovat původní polynom jako zlomek se jmenovatelem 1.

Příklad 6

Je nutné přidat polynom x 2 - 3 s algebraickým zlomkem 3 x x + 2.

Řešení

Polynom zapíšeme jako algebraický zlomek se jmenovatelem 1: x 2 - 3 1

Nyní můžeme provést sčítání podle pravidla sčítání zlomků s různými jmenovateli:

x 2 - 3 + 3 xx + 2 = x 2 - 3 1 + 3 xx + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 xx + 2 = = x 3 + 2 X 2-3 - 6 x + 2 + 3 xx + 2 = x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 xx + 2 = = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2

Odpovědět: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2-6 x + 2.

Pokud si v textu všimnete chyby, vyberte ji a stiskněte Ctrl + Enter

Poznámka! Než napíšete svou konečnou odpověď, zkontrolujte, zda můžete snížit zlomek, který jste obdrželi.

Odečtení zlomků se stejným jmenovatelem, příklady:

Odečtením správného zlomku od jednoho.

Pokud je nutné od jednotky odečíst zlomek, který je správný, jednotka se přenese do podoby nesprávného zlomku, jeho jmenovatel se rovná jmenovateli zlomku, který se má odečíst.

Příklad odečtení správného zlomku od jednoho:

Jmenovatel odečteného zlomku = 7 tj. jednotku reprezentujeme jako nepravidelný zlomek 7/7 a odečítáme podle pravidla odčítání zlomků se stejnými jmenovateli.

Odečtení správného zlomku od celého čísla.

Pravidla odčítání zlomků - správné z celého čísla (přirozené číslo):

Dané zlomky, které obsahují celočíselnou část, přeložíme na nesprávné. Dostaneme normální výrazy (je jedno, jestli mají různé jmenovatele), které počítáme podle výše uvedených pravidel;
Dále vypočítáme rozdíl zlomků, které jsme obdrželi. Díky tomu téměř najdeme odpověď;
Provádíme inverzní transformaci, to znamená, že se zbavíme nesprávného zlomku - ve zlomku vybereme celou část.

Odečtěte správný zlomek od celého čísla: reprezentujte přirozené číslo jako smíšené číslo. Tito. obsadíme jednotku přirozeným číslem a převedeme ji na formu nepravidelného zlomku, jmenovatel je stejný jako zlomek, který se má odečíst.

Příklad odečtení zlomků:

V příkladu jsme nahradili jednotku nevhodným zlomkem 7/7 a místo 3 jsme zapsali smíšené číslo a odečetli zlomek od zlomkové části.

Odčítání zlomků s různými jmenovateli.

Nebo jinými slovy, odčítání různých zlomků.

Pravidlo pro odčítání zlomků s různými jmenovateli. Aby bylo možné odečíst zlomky s různými jmenovateli, je nutné nejprve přivést tyto zlomky k nejnižšímu společnému jmenovateli (LCN), a až poté odečíst jako u zlomků se stejnými jmenovateli.

Společným jmenovatelem více zlomků je LCM (nejmenší společný násobek) přirozená čísla, která jsou jmenovateli těchto zlomků.

Pozornost! Pokud mají čitatel a jmenovatel společné faktory v konečném zlomku, pak musí být zlomek zrušen. Špatný zlomek je nejlépe reprezentován jako smíšený zlomek. Ponechání výsledku odčítání bez rušení zlomku, kde je to možné, je nedokončeným řešením příkladu!

Postup pro odčítání zlomků s různými jmenovateli.

najděte LCM pro všechny jmenovatele;
uveďte další faktory pro všechny zlomky;
vynásobte všechny čitatele dalším faktorem;
výsledné produkty zapíšeme do čitatele a pod všechny zlomky podepíšeme společného jmenovatele;
odečtěte čitatele zlomků a pod rozdíl podepište společného jmenovatele.

Stejným způsobem se provádí sčítání a odčítání zlomků, pokud jsou v čitateli písmena.

Odčítání zlomků, příklady:

Odčítání smíšených frakcí.

Na odčítání smíšených zlomků (čísla) odděleně od celé části, odečtěte celou část a odečtěte zlomkovou část od zlomkové části.

První možností je odečíst smíšené zlomky.

Pokud zlomkové části stejný jmenovatelé a čitatel zlomkové části odečtené (odečíst od ní) ≥ čitatel zlomkové části odečtené (odečíst).

Například:

Druhá možnost je odečíst smíšené zlomky.

Když zlomkové části rozličný jmenovatelé. Nejprve přivedeme zlomkové části ke společnému jmenovateli a poté odečteme celou část od celku a zlomkovou část od zlomkové části.

Například:

Třetí možnost odečtení smíšených zlomků.

Zlomková část redukovaného je menší než zlomková část odečteného.

Příklad:

Protože zlomkové části mají různé jmenovatele, což znamená, že stejně jako ve druhé možnosti nejprve přineseme obyčejné zlomky ke společnému jmenovateli.

Čitatel zlomkové části odečtených je menší než čitatel zlomkové části odečtených.3 < 14. Vezmeme tedy jednotku z celé části a přivedeme ji na formu nepravidelného zlomku se stejným jmenovatelem a čitatelem = 18.

Do čitatele z pravé strany zapíšeme součet čitatelů, poté otevřeme závorky v čitateli z pravé strany, to znamená, že vše vynásobíme a dáme podobné. Ve jmenovateli neotevíráme závorky. Je obvyklé nechat práci ve jmenovateli. Dostaneme:

Zlomkové výrazy jsou pro dítě těžko pochopitelné. Většina má potíže spojené s. Při studiu tématu „sčítání zlomků s celými čísly“ dítě upadne do strnulosti a obtížně řeší úkol. V mnoha příkladech je třeba před provedením akce provést řadu výpočtů. Například převádějte zlomky nebo překládejte nepravý zlomek do té správné.

Vysvětlíme dítěti jasně. Vezmeme tři jablka, z nichž dvě budou celá, a třetí nakrájíme na 4 části. Jeden plátek oddělíme od nakrájeného jablka a další tři položíme ke dvěma celému ovoci. Na jedné straně dostaneme ¼ jablek a na druhé 2 ¾. Pokud je spojíme, získáme tři celá jablka. Zkusme zredukovat 2 ¾ jablek o ¼, to znamená odstranit ještě jeden plátek, dostaneme 2 2/4 jablka.

Podívejme se blíže na akce se zlomky, které obsahují celá čísla:

Pro začátek si připomeňme pravidlo výpočtu pro zlomkové výrazy se společným jmenovatelem:

Na první pohled je vše snadné a jednoduché. To však platí pouze pro výrazy, které nevyžadují převod.

Jak najít význam výrazu, kde jsou jmenovatelé odlišní

V některých úkolech je nutné najít význam výrazu, kde jsou jmenovatelé odlišní. Zvažme konkrétní případ:
3 2/7+6 1/3

Zjistíme hodnotu tohoto výrazu, proto najdeme společného jmenovatele pro dvě zlomky.

Pro čísla 7 a 3 - to je 21. Necháme celé části stejné a zlomkové části se zmenší na 21, proto vynásobíme první zlomek 3, druhý - 7, dostaneme:
6/21 + 7/21, nezapomeňte, že celé části nelze převést. V důsledku toho dostaneme dvě zlomky s jedním jmenovatelem a vypočítáme jejich součet:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Co když má za následek nesprávný zlomek, který již má celočíselnou část:
2 1/3+3 2/3
PROTI tento případ sečteme celé části a zlomkové části, dostaneme:
5 3/3, jak víte, 3/3 je jednotka, takže 2 1/3 + 3 2/3 = 5 3/3 = 5 + 1 = 6

Po zjištění součtu je vše jasné, analyzujme odčítání:

Ze všeho, co bylo řečeno, vyplývá pravidlo akcí se smíšenými čísly, které zní takto:

Pokud je nutné odečíst celé číslo od zlomkového výrazu, nemusíte druhé číslo reprezentovat jako zlomek, stačí provést akci pouze na celých částech.

Zkusme si hodnotu výrazů vypočítat sami:

Podívejme se blíže na příklad pod písmenem „m“:

4 5 / 11-2 8/11, čitatel prvního zlomku je menší než druhý. K tomu vezmeme jedno celé číslo z prvního zlomku, dostaneme,
3 5/11 + 11/11 = 3 celé 16/11, druhé odečtěte od prvního zlomku:
3 16/11-2 8/11 = 1 celé číslo 8/11

Při plnění úkolu buďte opatrní, nezapomeňte převést nepravidelné zlomky na smíšené se zvýrazněním celé části. K tomu musí být hodnota čitatele vydělena hodnotou jmenovatele, pak co se stalo, zaujme místo celé části, zbytek bude čitatel, například:

19/4 = 4 ¾, kontrola: 4 * 4 + 3 = 19, ve jmenovateli 4 zůstává beze změny.

Shrnout:

Než budeme pokračovat v úkolu týkajícím se zlomků, je nutné analyzovat, o jaký výraz se jedná, jaké transformace je třeba na zlomku provést, aby bylo řešení správné. Hledejte racionálnější řešení. Nechoďte obtížnými cestami. Naplánujte si všechny akce, rozhodněte se nejprve v konceptu a poté si jej přeneste do školního sešitu.

Abyste se vyhnuli nejasnostem při řešení zlomkových výrazů, musíte dodržovat pravidlo posloupnosti. Rozhodněte vše pečlivě, aniž byste spěchali.

Jak víte z matematiky, zlomkové číslo se skládá z čitatele a jmenovatele. Čitatel je nahoře a jmenovatel dole.

Je docela snadné provádět matematické operace sčítání nebo odčítání zlomkových veličin se stejným jmenovatelem. Stačí umět mezi sebou sčítat nebo odčítat čísla v čitateli (nahoře) a stejné spodní číslo zůstává beze změny.

Vezměme si například zlomkové číslo 7/9, zde:

číslo „sedm“ výše je čitatel;
číslo „devět“ níže je jmenovatelem.

Zlomková čísla a akce s nimi

Příklad 1... Přidání:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Příklad 2... Odčítání:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Odečtení jednoduchých zlomkových hodnot s různými jmenovateli

Chcete -li provést matematickou operaci odečtení veličin, které mají různé jmenovatele, musíte je nejprve přenést na jednoho jmenovatele. Při plnění tohoto úkolu je nutné dodržovat pravidlo, že tento společný jmenovatel by měl být nižší ze všech možných možností.

Příklad 3

Existují dvě jednoduché hodnoty s různými jmenovateli (nižší čísla): 7/8 a 2/9.

Je nutné odečíst druhé od první hodnoty.

Řešení se skládá z několika kroků:

1. Najděte celkový spodní počet, tj. co je dělitelné nižší hodnotou prvního zlomku a druhého. Bude to číslo 72, protože jde o násobek čísel „osm“ a „devět“.

2. Spodní číslice každé frakce se zvětšila:

číslo „osm“ ve zlomku 7/8 se zvýšilo devětkrát - 8 * 9 = 72;
číslo „devět“ ve zlomku 2/9 vzrostlo osmkrát - 9 * 8 = 72.

3. Pokud se jmenovatel (nižší číslo) změnil, pak se musí změnit také čitatel (horní číslo). Podle stávajícího matematického pravidla musí být horní hodnota zvýšena přesně o stejnou částku jako spodní. To je:

čitatel „sedm“ v prvním zlomku (7/8) se vynásobí číslem „devět“ - 7 * 9 = 63;
čitatel „dva“ ve druhém zlomku (2/9) se vynásobí číslem „osm“ - 2 * 8 = 16.

4. V důsledku našeho jednání jsme získali dvě nové hodnoty, které jsou však totožné s původními.

první: 7/8 = 7 * 9/8 * 9 = 63/72;
sekunda: 2/9 = 2 * 8/9 * 8 = 16/72.

5. Nyní je povoleno odečíst jedno zlomkové číslo od druhého:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Provedením této akce se vrátíme k tématu odčítání zlomků se stejnými nižšími číslicemi (jmenovateli). A to znamená, že akce odčítání bude provedena nahoře, v čitateli a spodní číslice bude přenesena beze změny.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Příklad 4

Zkomplikujme úkol tím, že pro řešení vezmeme několik zlomků s různými, ale více čísly níže.

Jsou uvedeny hodnoty: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

V tomto pořadí je musíme od sebe odnést.

1. Přinášíme zlomky výše uvedeným způsobem ke společnému jmenovateli, kterým bude číslo „24“:

5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - tuto poslední hodnotu ponecháme beze změny, protože jmenovatel je celkový počet„24“.

2. Provádíme odčítání všech hodnot:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Protože čitatel a jmenovatel výsledného zlomku jsou dělitelné jedním číslem, lze je snížit dělením číslem „tři“:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Odpověď napíšeme následovně:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Příklad 5

Jsou uvedeny tři zlomky s více jmenovateli: 3/4; 2/7; 1/13.

Najdi rozdíl.

1. Přinášíme první dvě čísla ke společnému jmenovateli, bude to číslo „28“:

¾ = 3 * 7/4 * 7 = 21/28;
2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Odečtěte od sebe první dvě zlomky:

¾ - 2/7 = 21/28−8/28 = (21−8)/28 = 13/28.

3. Od výsledné hodnoty odečtěte třetí daný zlomek:

4. Přiveďte čísla ke společnému jmenovateli. Pokud není možné najít stejného jmenovatele více než snadným způsobem, pak stačí provést akce, postupně vynásobit všechny jmenovatele navzájem, nezapomenout zvýšit hodnotu čitatele o stejnou číslici. V tomto příkladu provedeme toto:

13/28 = 13 * 13/28 * 13 = 169/364, kde 13 je spodní číslice 5/13;
5/13 = 5 * 28/13 * 28 = 140/364, kde 28 je spodní číslice 13/28.

5. Odečtěte výsledné zlomky:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Odpověď: ¾ - 2/7−5/13 = 29/364.

Smíšená zlomková čísla

Ve výše uvedených příkladech byly použity pouze správné zlomky.

Jako příklad:

8/9 je pravidelný zlomek;
9/8 je špatně.

Je nemožné převést špatný zlomek na správný, ale je možné jej změnit smíšený... Pro které je horní číslo (čitatel) děleno dolním (jmenovatelem) a získá se číslice se zbytkem. Celé číslo vyplývající z dělení je zapsáno tímto způsobem, zbytek je zapsán do čitatele nahoře a jmenovatel, který je dole, zůstává stejný. Aby to bylo jasnější, zvažte konkrétní příklad:

Příklad 6

Převeďte špatný zlomek 9/8 na správný.

Chcete -li to provést, rozdělte číslo „devět“ na „osm“, získáme smíšený zlomek s celým číslem a zbytkem:

9: 8 = 1 a 1/8 (jiným způsobem lze zapsat jako 1 + 1/8), kde:

číslice 1 - celé číslo vyplývající z dělení;
další číslo 1 je zbytek;
číslice 8 je jmenovatelem, který zůstává beze změny.

Celé číslo se také nazývá přirozené.

Zbytek a jmenovatel jsou novým, ale správným zlomkem.

Při psaní čísla 1 se zapisuje před správný zlomek 1/8.

Odečtením smíšených čísel s různými jmenovateli

Z výše uvedeného uvádíme definici smíšeného zlomkového čísla: „Smíšené číslo je hodnota, která se rovná součtu celého čísla a správného společný zlomek... V tomto případě se nazývá celá část přirozené číslo , a číslo, které je ve zbytku, jeho zlomková část».

Příklad 7

Zadáno: dvě smíšené zlomkové hodnoty, skládající se z celého čísla a pravidelného zlomku:

první hodnota je 9 a 4/7, tj. (9 + 4/7);
druhá hodnota je 3 a 5/21, tj. (3 + 5/21).

Je nutné najít rozdíl mezi těmito hodnotami.

1. Chcete -li odečíst 3 + 5/21 od 9 + 4/7, musíte nejprve od sebe odečíst celé hodnoty:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Výsledný výsledek rozdílu dvou smíšených čísel se bude skládat z přirozeného (celočíselného) čísla 6 a pravidelného zlomku 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matematici všech zemí se shodli, že znak „+“ při psaní smíšených hodnot lze vynechat a ponechat pouze celé číslo před zlomkem bez jakéhokoli znaménka.

To je vše.

Video

Toto video vám pomůže zjistit, jak odečíst zlomky s různými jmenovateli sami.