Systémy, jejichž vstupní a výstupní sekvence a jsou spojeny lineární diferenční rovnicí s konstantními koeficienty, tvoří podmnožinu třídy lineárních systémů s konstantními parametry. Popis LPP systémů pomocí diferenčních rovnic je velmi důležitý, protože často umožňuje najít efektivní způsoby, jak takové systémy konstruovat. Kromě toho lze z diferenční rovnice určit mnoho charakteristik uvažovaného systému, včetně vlastních frekvencí a jejich násobnosti, uspořádání systému, frekvencí odpovídajících nulovému zisku atd.

V nejobecnějším případě má lineární diferenční rovnice t. řádu s konstantními koeficienty vztaženými k fyzikálně realizovatelné soustavě tvar

(2.18)

kde koeficienty a popisují konkrétní systém a . Jak přesně pořadí soustavy charakterizuje matematické vlastnosti diferenční rovnice, si ukážeme níže. Rovnice (2.18) je napsána ve formě vhodné pro řešení metodou přímé substituce. Mít sadu počátečních podmínek [například , for ] a vstupní sekvenci , podle vzorce (2.18) lze přímo vypočítat výstupní sekvenci pro . Například diferenční rovnice

(2.19)

s počáteční podmínkou a lze ji vyřešit substitucí, která dává

I když je řešení diferenčních rovnic přímou substitucí v některých případech užitečné, mnohem užitečnější je získat řešení rovnice v explicitní podobě. Metody hledání takových řešení jsou podrobně popsány v literatuře o diferenčních rovnicích a zde bude uveden pouze stručný přehled. Hlavní myšlenkou je získat dvě řešení diferenční rovnice: homogenní a parciální. Homogenní řešení se získá dosazením nul za všechny členy obsahující prvky vstupní posloupnosti a určením odezvy, když je vstupní posloupnost nulová. Právě tato třída řešení popisuje hlavní vlastnosti daného systému. Konkrétní řešení se získá výběrem typu výstupní sekvence pro danou vstupní sekvenci. Počáteční podmínky se používají k určení libovolných konstant homogenního roztoku. Jako příklad řešíme rovnici (2.19) touto metodou. Homogenní rovnice má tvar

(2.20)

Je známo, že charakteristická řešení homogenních rovnic odpovídající lineárním diferenčním rovnicím s konstantními koeficienty jsou řešení ve tvaru , takže dosazením do rovnice (2.20) místo do dostaneme

(2.21)

Pokusíme se najít konkrétní řešení odpovídající vstupní sekvenci ve formuláři

(2.22)

Z rovnice (2.19) dostaneme

Protože koeficienty při stejných mocninách se musí shodovat, musí být B, C a D stejné

(2.24)

Tím pádem, společné rozhodnutí má formu

(2.25)

Koeficient se určuje z výchozí stav, odkud a

(2.26)

Selektivní kontrola řešení (2.26) pro ukazuje jeho úplnou shodu s výše uvedeným přímým řešením. Zjevná výhoda řešení (2.26) je v tom, že je velmi snadné určit pro jakýkoli konkrétní .

Obr. 2.7. Schéma realizace jednoduché diferenční rovnice prvního řádu.

Význam diferenčních rovnic je v tom, že přímo určují způsob sestrojování digitální systém. Tedy diferenční rovnice prvního řádu nejobecnějšího tvaru

lze realizovat pomocí obvodu znázorněného na obr. 2.7. Blok "delay" zpožďuje o jeden vzorek. Uvažovaná forma konstrukce systému, ve které jsou použity samostatné zpožďovací prvky pro vstupní a výstupní sekvence, se nazývá přímá forma 1. Níže probereme různé metody pro konstrukci tohoto a dalších digitálních systémů.

Diferenční rovnice 2. řádu nejobecnějšího tvaru

Obr. 2.8. Schéma implementace diferenční rovnice druhého řádu.

lze realizovat pomocí obvodu znázorněného na obr. 2.8. Toto schéma také používá samostatné prvky zpoždění pro vstupní a výstupní sekvence.

Z následné prezentace materiálu v této kapitole bude zřejmé, že systémy prvního a druhého řádu mohou být použity při implementaci systémů vyššího řádu, protože ty mohou být reprezentovány jako systémy prvního a druhého řádu spojené sériově nebo paralelně.

Řešení obyčejných lineárních diferenčních rovnic

s konstantními koeficienty

Vztah mezi výstupem a vstupem lineárního diskrétního systému lze popsat obyčejnou lineární diferenční rovnicí s konstantními koeficienty

,

Kde y[n]- aktuálně výstupní signál n,

X[n]- aktuální vstupní signál n,

a já,b k jsou konstantní koeficienty.

K řešení takových rovnic lze použít dvě metody.

• přímá metoda,
• Metoda Z - transformace.

Uvažujme nejprve řešení lineární diferenční rovnice přímou metodou.

Obecné řešení nehomogenní (s nenulovou pravou stranou) lineární diferenční rovnice se rovná součtu o obecné řešení lineární homogenní diferenční rovnice a soukromé rozhodnutí nehomogenní rovnice

Obecné řešení homogenní diferenční rovnice ( nula-vstupOdezva) y h [n]

definováno jako

.

Dosazením tohoto řešení do homogenní rovnice získáme

Takový polynom se nazývá charakteristický polynom systémy. On má N kořeny . Kořeny mohou být skutečné nebo složité a některé kořeny mohou být shodné (vícenásobné).

Pokud kořeny jsou reálné a různé, pak řešení homogenní rovnice má tvar

kde koeficienty

Pokud nějaký kořen, např. λ1 má mnohonásobnost m, pak má odpovídající člen řešení tvar

Pokud jsou všechny koeficienty homogenní rovnice, respektive charakteristického polynomu reálné, pak dva členy řešení odpovídající jednoduchým komplexním sdruženým kořenům mohou být reprezentovány (psány) ve tvaru , zatímco koeficienty A,B určeno výchozími podmínkami.

Typ soukromého rozhodnutí y p [n] rovnice závisí na pravé straně (vstupní signál) a je určena podle níže uvedené tabulky

Tabulka 1. Typ konkrétního řešení pro odlišný charakter pravé strany

Vstupní signálx[n]	Soukromé rozhodnutíyp[n]
A(konstantní)

Řešení lineární diferenční rovnice metodou Z-transformace spočívá v aplikaci Z– transformace do rovnice pomocí vlastností linearity a časového posunu. Výsledkem je lineární algebraická rovnice vzhledem k Z- obrázky požadované funkce. Zvrátit Z– transformace dává požadované řešení v časové oblasti. K získání inverzní Z-transformace se nejčastěji používá rozklad racionálního výrazu na jednoduché (elementární) zlomky, neboť inverzní transformace ze samostatného elementárního zlomku má jednoduchý tvar.

Všimněte si, že pro přesun do časové oblasti lze použít i jiné metody pro výpočet inverzní Z-transformace.

Příklad. Stanovme odezvu (výstupní signál) systému popsaného lineární diferenční rovnicí na vstupní signál

Řešení.

1. Přímá metoda řešení rovnice.

Homogenní rovnice. Jeho charakteristický polynom je .

Polynomiální kořeny .

Řešení homogenní rovnice.

Od té doby definujeme konkrétní řešení ve formuláři .

Dosaďte to do rovnice

Chcete-li najít konstantu NA akceptovat n=2. Pak

Nebo, K = 2,33

Proto konkrétní řešení a obecné řešení diferenční rovnice (1)

Pojďme najít konstanty Od 1 A Od 2. K tomu jsme se nastavili n=0, pak z původní diferenční rovnice získáme . Pro tuto rovnici

Proto . Z výrazu (1)

Proto,

.

Z výrazu (1) pro n=1 my máme .
Dostaneme následující dvě rovnice pro C 1 a C 2

.

Řešení této soustavy dává následující hodnoty: C 1 =0,486 a C 2 = -0,816.

Proto je obecné řešení této rovnice

2. Řešení metodou Z-transformace.

Vezměte Z - transformaci z původní diferenční rovnice s přihlédnutím k vlastnosti (větě) časového posunu . Dostaneme

Kontrolní otázky:

1. Jaká je funkce mřížky?

2. Která rovnice se nazývá diferenční rovnice?

3. Jaké rovnice se nazývají diferenční rovnice 1. řádu?

4. Jak se zjistí obecné řešení nehomogenní diferenční rovnice 1. řádu?

5. Jaké řešení diferenční rovnice se nazývá fundamentální?

6. Proč obecné řešení homogenní rovnice s konstantními koeficienty vypadá jako geometrická posloupnost?

Úkoly.

1. Napište postup řešení diferenční rovnice prvního řádu s počáteční podmínkou .

2. Analyticky najděte obecné a partikulární řešení pro danou rovnici.

3. Porovnejte výsledky výpočtů pomocí rekurzivního vzorce s analytickým řešením.

4. Zjistěte, jak porucha počáteční podmínky, koeficienty rovnice, pravá strana ovlivňuje výsledek.

				Pokyny

Najdeme obecné řešení diferenční rovnice 1. řádu

. (1)

Získáme konkrétní řešení homogenní rovnice pro použití rekurzivního vzorce: . Vzhledem k tomu, že hodnota Y v každém dalším uzlu mřížky je zdvojnásobena, ukazuje se geometrická progrese se jmenovatelem q=2:

Konkrétní řešení nehomogenní rovnice najdeme ve tvaru: , kde A je neurčitý koeficient. Potom , , a, když získanou hodnotu přirovnáme k dané pravé straně, najdeme neurčitý koeficient A=. Nakonec obecné řešení: .

Pomocí počáteční podmínky , najdeme konstantu: . Nakonec konkrétní řešení pro danou počáteční podmínku:

.

Chcete-li studovat stabilitu řešení vůči poruchám samotného řešení a počáteční podmínky, zvažte následující rovnici:

s narušeným výchozím stavem

(zde je velikost poruchy). Odečtením původní rovnice (1) získáme diferenční rovnici pro poruchu:

s počáteční podmínkou. Řešení této rovnice je: , tj. i malá perturbace v jakémkoliv uzlu roste exponenciálně s rostoucím počtem uzlu.

Student potřebuje ilustrovat výše uvedené: prozkoumat vliv poruch počáteční podmínky, pravých stran a koeficientů rovnice změnou rekurzivního vzorce.

Volba podle čísla studenta na seznamu v časopise musí být řešena v programovacím jazyce C++ (je povoleno použití prostředí Builder) nebo Pascal (je povoleno použití prostředí Delphi) .

1. Rekurzivní vzorec pro získání numerického řešení.
2. Analytické řešení diferenční rovnice. Obecné řešení a konkrétní řešení, které splňuje dané počáteční podmínky.
3. Analyticky prozkoumejte stabilitu roztoku vůči narušení počátečních podmínek a roztoku.

b) když jsou koeficienty rovnice narušeny;

c) když je pravá strana narušena.

Téma: Diferenční rovnice 2. řádu

Kontrolní otázky:

1. Jaké rovnice se nazývají diferenční rovnice 2. řádu?

2. Co je to charakteristická rovnice?

3. Jak vypadá partikulární řešení homogenní diferenční rovnice 2. řádu s reálnými kořeny charakteristické rovnice?

4. Jak vypadá partikulární řešení homogenní diferenční rovnice 2. řádu se složitými kořeny charakteristické rovnice?

5. Jak se najde obecné řešení nehomogenní diferenční rovnice 2. řádu?

6. Jaké je numerické a analytické řešení diferenční rovnice 2. řádu?

7. Jaké úkoly se nazývají dobře podmíněné?

Úkoly

1. Napište postup řešení diferenční okrajové úlohy pro rovnici druhého řádu s okrajovými podmínkami , .

2. Pro danou rovnici analyticky najděte obecné a konkrétní řešení a zkontrolujte kritérium podmíněnosti.

3. Porovnejte výsledky výpočtů pomocí rekurzivního vzorce s analytickým řešením.

4. Zjistěte, jak porucha okrajových podmínek a pravé strany ovlivňuje výsledek.

						Pojďme najít obecné řešení diferenční rovnice 2. řádu, kterou lze nalézt výběrem libovolných konstant . Spolu s Cauchyho problémy jsou dvoubodové okrajové problémy uvažovány také pro rovnice druhého řádu, ve kterých jsou hodnoty mřížkové funkce uvedeny ve dvou uzlech umístěných ne v řadě, ale na koncích některých konečných segment: (hraniční podmínky ). Analytické řešení takového problému lze získat vhodnou volbou libovolných konstant v obecném řešení. Na rozdíl od problému s počátečními podmínkami však okrajový problém nebude nutně jednoznačně řešitelný. Proto velká důležitost má objasnění třídy okrajových úloh, které mají jedinečnou řešitelnost a slabou citlivost na poruchy (v důsledku zaokrouhlovacích chyb) na pravé straně a okrajové podmínky. Takové úkoly budeme nazývat dobře upravená Vezměme si příklad špatně podmíněného okrajového problému Formulace problému. Počáteční diferenční rovnice a okrajové podmínky. Postup pro získání numerického řešení. Analytické řešení diferenčního okrajového problému. Obecné řešení a partikulární řešení, které splňuje dané okrajové podmínky. Kontrola kritéria podmíněnosti. Grafy numerického řešení a analytického řešení (ve stejných osách). Graf rozdílu mezi numerickým a analytickým řešením. Grafy jsou rozrušené numerická řešení a rozdíl mezi narušeným a nerušeným řešením: a) když je narušen počáteční stav; b) když je narušena pravá strana. Závěr o podmíněnosti okrajového problému.

Úvod

V posledních desetiletích matematické metody stále naléhavěji pronikat do humanitních věd a zejména ekonomika. Prostřednictvím matematiky a efektivní aplikace lze doufat v ekonomický růst a prosperitu státu. efektivní, optimální vývoj nemožné bez použití matematiky.

Cílem této práce je studium aplikace diferenčních rovnic v ekonomické sféře společnosti.

Před touto prací jsou stanoveny následující úkoly: definice pojmu diferenční rovnice; úvahy o lineárních diferenčních rovnicích prvního a druhého řádu a jejich aplikace v ekonomii.

Při práci na projektu kurzu byly použity materiály dostupné ke studiu učební pomůcky o ekonomii, matematická analýza, práce předních ekonomů a matematiků, referenční publikace, vědecké a analytické články publikované v internetových publikacích.

Diferenční rovnice

§1. Základní pojmy a příklady diferenčních rovnic

Diferenční rovnice hrají důležitou roli ekonomická teorie. Mnoho ekonomických zákonů je dokázáno právě pomocí těchto rovnic. Pojďme analyzovat základní pojmy diferenčních rovnic.

Nechť čas t je nezávislá proměnná a závislá proměnná je definována pro čas t, t-1, t-2 atd.

Označme hodnotou v čase t; přes - aktuální hodnota funkce posunutá o jednu zpět (např. v předchozí hodině, v předchozím týdnu atd.); přes - hodnota funkce y v daném okamžiku posunutá o dvě jednotky zpět atd.

Rovnice

kde jsou konstanty, se nazývá rozdíl n-tého řádu nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty.

Rovnice

Ve které =0, se nazývá diferenční homogenní rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešit diferenční rovnici n-tého řádu znamená najít funkci, která tuto rovnici promění ve skutečnou identitu.

Řešení, ve kterém není libovolná konstanta, se nazývá partikulárním řešením diferenční rovnice; jestliže řešení obsahuje libovolnou konstantu, pak se nazývá obecné řešení. Následující věty lze dokázat.

Věta 1. Pokud má homogenní diferenční rovnice (2) řešení a, pak řešením bude také funkce

kde a jsou libovolné konstanty.

Věta 2. Je-li partikulárním řešením nehomogenní diferenční rovnice (1) a obecným řešením homogenní rovnice (2), pak obecným řešením nehomogenní rovnice (1) bude funkce

Libovolné konstanty. Tyto teorémy jsou podobné teorémům pro diferenciální rovnice. Systém lineárních diferenčních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty je soustavou tvaru

kde je vektor neznámých funkcí, je vektor známých funkcí.

Existuje matice velikosti nn.

Tento systém lze vyřešit redukcí na diferenční rovnici n-tého řádu analogicky s řešením systému diferenciálních rovnic.

§ 2. Řešení diferenčních rovnic

Řešení diferenční rovnice 1. řádu. Uvažujme nehomogenní diferenční rovnici

Odpovídající homogenní rovnice je

Zkontrolujeme, zda funkce

řešení rovnice (3).

Dosazením do rovnice (4) získáme

Proto existuje řešení rovnice (4).

Obecným řešením rovnice (4) je funkce

kde C je libovolná konstanta.

Nechť je partikulární řešení nehomogenní rovnice (3). Potom obecným řešením diferenční rovnice (3) je funkce

Nalezněme konkrétní řešení diferenční rovnice (3), jestliže f(t)=c, kde c je nějaká proměnná.

Budeme hledat řešení ve tvaru konstanty m. My máme

Dosazením těchto konstant do rovnice

dostaneme

Proto obecné řešení diferenční rovnice

Příklad1. Pomocí diferenční rovnice najděte vzorec pro zvýšení peněžního vkladu A ve spořitelně na p% ročně.

Řešení. Pokud je určitá částka uložena v bance za složený úrok p, pak do konce roku t bude její výše

Jedná se o homogenní diferenční rovnici prvního řádu. Jeho rozhodnutí

kde C je nějaká konstanta, kterou lze vypočítat z počátečních podmínek.

Pokud je přijato, pak C=A, odkud

Jde o známý vzorec pro výpočet růstu hotovostního vkladu uloženého ve spořitelně za složený úrok.

Řešení diferenční rovnice 2. řádu. Uvažujme nehomogenní diferenční rovnici druhého řádu

a odpovídající homogenní rovnici

Jestliže k je kořen rovnice

je řešením homogenní rovnice (6).

Dosazením do levé strany rovnice (6) a zohledněním (7) skutečně získáme

Je-li tedy k kořenem rovnice (7), pak je řešením rovnice (6). Rovnice (7) se nazývá charakteristická rovnice pro rovnici (6). Pokud je diskriminační charakteristická rovnice (7) větší než nula, pak rovnice (7) má dva různé reálné kořeny a obecné řešení homogenní rovnice (6) má následující tvar.

Často pouhá zmínka o diferenciálních rovnicích vyvolává u studentů nepříjemné pocity. Proč se tohle děje? Nejčastěji proto, že při studiu základů materiálu vzniká mezera ve znalostech, díky níž se další studium diffur stává pouhým mučením. Nic není jasné, co dělat, jak se rozhodnout, kde začít?

My se vám však pokusíme ukázat, že difuze nejsou tak těžké, jak se zdá.

Základní pojmy z teorie diferenciálních rovnic

Ze školy známe nejjednodušší rovnice, ve kterých potřebujeme najít neznámou x. Ve skutečnosti diferenciální rovnice jen mírně odlišné od nich - místo proměnné X potřebují najít funkci y(x) , což změní rovnici na identitu.

Diferenciální rovnice mají velký praktický význam. To není abstraktní matematika, která nemá nic společného se světem kolem nás. Pomocí diferenciálních rovnic je popsáno mnoho skutečných přírodních procesů. Například vibrace strun, pohyb harmonického oscilátoru, pomocí diferenciálních rovnic v úlohách mechaniky zjišťují rychlost a zrychlení tělesa. Taky DU jsou široce používány v biologii, chemii, ekonomii a mnoha dalších vědách.

Diferenciální rovnice (DU) je rovnice obsahující derivace funkce y(x), funkci samotnou, nezávislé proměnné a další parametry v různých kombinacích.

Existuje mnoho typů diferenciálních rovnic: obyčejné diferenciální rovnice, lineární a nelineární, homogenní a nehomogenní, diferenciální rovnice prvního a vyššího řádu, parciální diferenciální rovnice a tak dále.

Řešením diferenciální rovnice je funkce, která ji mění v identitu. Existují obecná a konkrétní řešení dálkového ovládání.

Obecné řešení diferenciální rovnice je obecná množina řešení, která mění rovnici na identitu. Konkrétní řešení diferenciální rovnice je řešení, které splňuje dodatečné podmínky specifikované na začátku.

Pořadí diferenciální rovnice je určeno nejvyšším řádem derivací v ní obsažených.

Obyčejné diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice jsou rovnice obsahující jednu nezávislou proměnnou.

Zvažte nejjednodušší obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu. Vypadá to, že:

Tuto rovnici lze vyřešit jednoduchou integrací její pravé strany.

Příklady takových rovnic:

Oddělitelné proměnné rovnice

V obecný pohled tento typ rovnice vypadá takto:

Zde je příklad:

Při řešení takové rovnice musíte oddělit proměnné a uvést je do tvaru:

Poté zbývá obě části integrovat a získat řešení.

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

Takové rovnice mají tvar:

Zde p(x) a q(x) jsou některé funkce nezávislé proměnné a y=y(x) je požadovaná funkce. Zde je příklad takové rovnice:

Při řešení takové rovnice nejčastěji používají metodu variace libovolné konstanty nebo reprezentují požadovanou funkci jako součin dvou dalších funkcí y(x)=u(x)v(x).

K vyřešení takových rovnic je nutná určitá příprava a bude docela obtížné je vzít „z rozmaru“.

Příklad řešení DE se separovatelnými proměnnými

Zvažovali jsme tedy nejjednodušší typy dálkového ovládání. Nyní se pojďme podívat na jeden z nich. Nechť je to rovnice s oddělitelnými proměnnými.

Nejprve přepíšeme derivaci do známější formy:

Poté oddělíme proměnné, to znamená, že v jedné části rovnice shromáždíme všechny „hry“ a ve druhé - „xes“:

Nyní zbývá spojit obě části:

Integrujeme a získáme obecné řešení této rovnice:

Řešení diferenciálních rovnic je samozřejmě druh umění. Musíte být schopni pochopit, k jakému typu rovnice patří, a také se naučit vidět, jaké transformace s ní musíte provést, abyste ji dostali do té či oné podoby, nemluvě jen o schopnosti rozlišovat a integrovat. A k úspěchu při řešení DE je potřeba cvik (jako u všeho). A pokud máte tento moment není čas se zabývat tím, jak se řeší diferenciální rovnice nebo se Cauchyho problém zvedl jako kost v krku nebo nevíte, jak správně formátovat prezentaci, kontaktujte naše autory. V krátké době vám poskytneme hotové a detailní řešení, jehož detailům můžete porozumět kdykoli vám vyhovuje. Mezitím doporučujeme zhlédnout video na téma „Jak řešit diferenciální rovnice“: