Přenosový operátor pro rovnici hyperbolického typu. Numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu (na příkladu transportní rovnice)
Zvažte Cauchyho problém pro rovnici tvaru
ve kterém je přenosová rychlost proti může být funkce X. Pro rovnici (6.1) lze navrhnout sadu diferenčních schémat, která se liší v pořadí aproximace, ve způsobu, jakým jsou derivace reprezentovány, a tak dále. Zastavme se nejprve u explicitních diferenčních schémat, ve kterých každá rovnice systému obsahuje pouze jednu neznámou veličinu)“, což umožňuje sekvenčně vypočítat hodnoty řešení na nové časové vrstvě.
Je známo, že nejdůležitější vlastností, kterou explicitní rozdílová schémata musí mít, je stabilita, schopnost schématu neakumulovat výpočetní poruchy. Stabilita schématu je nezbytným požadavkem pro zajištění konvergence diferenčního řešení k přesnému. U hyperbolické rovnice se stabilita obvykle analyzuje s ohledem na počáteční data na základě spektra vlastních hodnot operátoru přechodu do nové časové vrstvy, na základě kterého se vybírají diferenční schémata přijatelná pro výpočty. Tedy symetrické diferenční schéma
má velmi přísnou podmínku stability (t 2 vh) a nepoužívá se pro praktické algoritmy. Diferenční schémata
jsou podmíněně stabilní. Pro zajištění jejich stability je nutné nejprve splnit podmínku Courant Friedrichs-Levy (CFL):
a za druhé použití rozdílů proti proudu, tzn. použití schématu (6.3) pro PROTI> 0 a (6,4) pro v0.
Explicitní schéma s rozdíly proti proudu. Pokud selektivně aplikujeme dvě předchozí schémata, totiž s v >> 0 schéma (6.3) a pro proti
bude lhostejný ke směru rychlosti a stabilní za podmínek v/h^ 1. Je snadné vidět, že jednostranné rozdíly v tomto schématu jsou brány směrem k toku (říká se, že schéma má vlastnost mpanenopmuenoemu). Schémata)“ tohoto typu se nazývají proti větru nebo schéma s rozdíly proti proudu.
V případě rovnice s konstantní přenosovou rychlostí nejsou žádné problémy s konstrukcí protivětrného rozdílového schématu. Vybere se rozdíl odpovídající znaménku přenosové rychlosti, který se používá ve všech uzlech výpočetní oblasti. Podmínka (6.5) ukládá omezení na poměr kroků výpočetní mřížky. Obvykle pro daný prostorový krok vztah (6.5) určuje přípustný časový krok m h/v.
Pokud je však přenosová rychlost funkcí souřadnice (nebo času), pak je třeba volbu typu aproximace rozdílu provést na základě analýzy znaménka přenosové rychlosti, např. podmíněný operátor. Kromě goth, s proměnlivou přenosovou rychlostí v = v(x) podmínka stability musí být zkontrolována pro všechny uzly sítě az této sady hodnot časového kroku musí být zvoleno minimum: t min,; h/vj.
Courant a další (1952) navrhli zajímavou metodu pro konstrukci schématu proti větru, která nepoužívala podmíněný operátor. Je důležité poznamenat, že se nejedná pouze o formální techniku, ale o přístup obsahující hluboké myšlenky, na jejichž základě lze porovnávat a najít shodu mezi protivětrnými (asymetrickými) a symetrickými diferenčními schématy. Myšlenka rozdělení operátorů rozdílových schémat se tomu blíží.
Přenosovou rychlost představujeme jako součet jejích kladných a záporných složek:
To umožní, aby byl operátor přenosu reprezentován jako součet dvou operátorů:
Nyní má každý z operátorů koeficient konstantního znaménka, což umožňuje aplikovat na něj aproximaci rozdílu proti větru. Všimněte si, že schéma rozdílu protiproudu pro aproximaci konvektivních členů je široce používáno v různých problémech výpočetní dynamiky tekutin. Často se používá následující zápis výpočetního algoritmu podle schématu (6.6):
Pokud nyní provedeme elementární transformace na pravé straně (6.7) a vybereme symetrickou derivaci rozdílu, pak toto schéma lze znázornit jako
Lze uzavřít, že rozdílové schéma proti větru (6.7) je ekvivalentní symetrickému (6.2), které má disipativní sčítání, což zajišťuje podmíněnou stabilitu schématu.
Laxovo schéma. Toto schéma bylo zavedeno do praxe počítání na úsvitu rozvoje výpočetní dynamiky plynů. I když byl tento typ schématu zmíněn v dílech různých autorů, veřejné mínění jej spojuje se jménem amerického matematika Laxe (Lax, PD), který publikoval řadu článků o různých aspektech teorie diferenčních schémat v 50. léta 20. století. Jak je aplikováno na transportní rovnici (6.1), toto schéma má tvar
Charakteristickým rysem schématu je, že pro zajištění jeho stability v aproximaci časové derivace je hodnota funkce mřížky v uzlu (r, p) je nahrazen polovičním součtem hodnot v sousedních uzlech stejné časové vrstvy. Tato operace zajišťuje podmíněnou stabilitu diferenčního schématu při centrální aproximaci prostorové derivace (pokud je splněna podmínka Courant-Friedrichs-Levy v/h ^ 1).
I když zde derivát s ohledem na X je prezentován s druhým řádem aproximace, schéma má značnou disipaci díky specifickému znázornění časové derivace. To je jasně vidět z první diferenciální aproximace:
Koeficient na pravé straně před druhou derivací lze interpretovat jako viskozitní koeficient schématu. Po jednoduchých transformacích může být tato veličina reprezentována jako
kam skrz ale označený číslem Courant. Mnoho vlastností tohoto schématu lze určit z diferenciální aproximace:
- - schéma se stane nedisipativním, když se číslo Courant rovná jedné;
- - schéma není citlivé na směr proudění;
když je Courantovo číslo menší než jedna, má viskozita okruhu stabilizační účinek (kladný difúzní koeficient), když je Courantovo číslo větší než jedna, stává se koeficient viskozity okruhu záporným, což vede ke zhoršení difúzního procesu a v konečném důsledku , ke ztrátě výpočetní stability obvodu;
S klesajícím časovým krokem se zvyšují disipativní vlastnosti schématu.
Mezi těmito funkcemi jsou ty, které výrazně snižují výhody schématu. Jednoduchost algoritmu je však často základem pro jeho použití v počátečních (ladicích) krocích konstrukce výpočetních programů. Kromě toho je Laxovo schéma, jak uvidíme dále, nedílnou součástí efektivních vícekrokových algoritmů, ve kterých se s jeho pomocí provádí předběžný krok (krok predikce).
Schémata druhého řádu. Rozdílová schémata diskutovaná dříve byla schémata prvního řádu (s ohledem na prostorovou nebo časovou proměnnou). Při konstrukci schémat druhého řádu je nutné zajistit zvýšený řád aproximace jak z hlediska prostorových, tak i časových proměnných. Zvažte několik schémat tohoto typu.
Schéma skoku. Schéma druhého řádu, jak v prostorové proměnné, tak v čase, nejjednoduššího typu může být reprezentováno jako
Tento obvod se nazývá krokový obvod, ale je známější jako "skákání přes kozu"(schéma skok-žaba). Schéma je třívrstvé a staví řešení ze dvou předchozích časových vrstev. Proto při jeho použití vznikají problémy se zahájením výpočtů, které by měly být prováděny jinou metodou.
Lax-Wendroffovo schéma. Jedním z nejznámějších schémat tohoto typu je centrální schéma, nazývané jménem svých autorů, schéma Lax-Wendroff. Zaujal jistou niku v teorii diferenčních schémat pro hyperbolické rovnice, je s ním spojeno mnoho velmi produktivních myšlenek, ale jeho hlavní výhodou je, že jej lze snadno zobecnit a přenést na případ složitějších problémů - problémů stlačitelného plynu. tok popisovaný soustavami kvazilineárních rovnic, kde je již delší dobu jedním z hlavních výpočetních nástrojů.
Je užitečné prostudovat rysy tohoto schématu na příkladu jeho aplikace na transportní rovnici tvaru (6.1). Abychom sestavili schéma druhého řádu, napíšeme Taylorův vzorec:
kterou budeme uvažovat společně s původní rovnicí (6.1) Touto rovnicí nahradíme v expanzi časové derivace prostorovými. To je možné, protože první derivace času je vyjádřena přímo z (6.1): du/dt = -vdu/dx. Druhou derivaci lze také snadno najít z následujícího řetězce vztahů:
Všimněte si, že tato reprezentace je přesná pouze při konstantní přenosové rychlosti: v= konst. Jinak je to však přibližné, pokud je přenosová rychlost v(x) dost hladká funkce, lze jej použít pro transformace diferenčních vztahů, které jsou lokálního charakteru.
Dosazením výrazů pro derivace získané pomocí původní diferenciální rovnice do výše uvedeného Taylorova vzorce získáme vztah
a nahrazením prostorových derivací relacemi konečných rozdílů druhého řádu získáme (po několika jednoduchých transformacích) diferenční schéma
tzv. Lax Wendroff schéma. Toto schéma bylo zavedeno do praxe výpočetní techniky spolu s řadou dalších v sérii článků publikovaných Laksem a Vsndroffem v letech 1960-1964.
Dvoustupňová verze Lax-Wendroffova schématu. Později Richtmeier navrhl původní dvoukrokovou verzi schématu, která byla pro svou snadnou implementaci po dlouhou dobu jedním z hlavních výpočetních algoritmů v dynamice plynů. Vezměme si tuto možnost.
V prvním polovičním kroku vypočítáme mezihodnotu řešení pomocí jednoduchého Laxova schématu prvního řádu. Této mezihodnotě přiřadíme horní index n+ 1/2 a mějte na paměti, že se také používá krok poločasu. Použitím tohoto schématu získáme hodnoty řešení na mezičasové vrstvě: t = tn+l/2. Zároveň podotýkáme, že vzhledem k aplikaci Laxova schématu, ve kterém spodní vrstva není zde žádný centrální uzel, řešení je reprodukováno na mezivrstvě také v systému půlčíselných bodů.
Zapišme si diferenční vztahy pro dvě sousední mezery:
Druhým polovičním krokem je výpočet řešení na nové časové vrstvě P+ 1 na základě schématu s centrálními rozdíly v prostoru i čase - schéma "kříže". Pro výpočet prostorových derivací se použijí hodnoty řešení na mezivrstvě v systému půlčíselných bodů, samotné řešení se obnoví ve stejném systému bodů, ve kterém bylo určeno začátkem času krok:
Vztahy (6.12) a (6.13) společně určují dvoukrokové Lax-Weidroffovo schéma. V první fázi jsou splněny podmínky stability. Tato fáze se někdy nazývá prediktor. Druhý stupeň zajistí splnění požadované přesnosti a vyvolá se korektor.Často se používají metody prediktor-korektor výpočetní matematika, zatímco korekční fáze může zahrnovat iterační blok.
Lze snadno ukázat, že s vyloučením mezihodnot z (6.13) se pomocí vztahů (6.12) dostáváme k základní jednokrokové verzi schématu. Z hlediska řádu aproximace a stability jsou obě možnosti ekvivalentní, ale pro výpočty je výhodnější ta dvoukroková, proto je s ní obvykle spojen název tohoto rozdílového schématu. Dvoukrokovou verzi je vhodné použít zejména při konstrukci diferenčních schémat pro složitější problémy, zejména pro systémy kvazilineárních rovnic nestacionární dynamiky plynů.
Monotonie řešení ve schématech druhého řádu. Poslední člen na pravé straně (6.11) má tvar odlišný od tvaru disipativních členů schémat prvního řádu (6.8) a (6.10). V tento případ poskytuje potlačení chyby spojené s aproximací prvního řádu časové derivace. Toto schéma je tedy schématem druhého řádu v čase i prostoru. Jeho první diferenciální aproximace již nebude obsahovat disipativní člen, ale bude obsahovat disperzní složku s třetí derivací, která je příčinou fázových chyb v obvodu. Lze očekávat, že toto schéma roztok mírně rozmaže, ale v oblasti jeho prudké změny se mohou objevit nefyzikální oscilace způsobené disperzí.
Rozdílové schéma, které převádí řešení, které má tvar monotónní funkce podélné souřadnice na monotónní řešení, se nazývá monotónní rozdílové schéma. Podle této definice je Lax-Weidroffovo schéma nemonotónní.
S.K. Godunov založil teorém monotonie, který zaujímá jedno z ústředních míst v teorii diferenčních schémat. Podle této věty, pro lineární rovnice formuláře (6.1) nejsou monotónní schémata s řádem vyšším než první.
Ztráta monotonie diferenčního schématu je do jisté míry typická pro všechna schémata vyššího aproximačního řádu. K překonání nemonotonie numerického řešení schémat vysokého řádu, tzv hybridní rozdílová schémata. Patří do třídy nelineárních, ve kterých na základě analýzy chování řešení přecházejí v oblastech, kde jsou fázové chyby zvláště výrazné, na monotónní schémata prvního řádu a vracejí se k schématům vysokého řádu v oblasti hladké změny v řešení.
McCormackovo schéma. Je to také dvoukrokové schéma druhého řádu, lhostejné ke směru proudění. Je vhodnější demonstrovat to v konzervativní podobě transportní rovnice:
Schéma se skládá ze dvou po sobě jdoucích kroků:
V první fázi (6.15) najděte předběžnou hodnotu řešení SCH v uzlech sítě na základě jednostranného rozdílového schématu. Podle takto nalezeného řešení se vypočítají předběžné hodnoty průtoků / r. Dále na základě jednostranných schémat majících opačný směr(6.16), roztok se stanoví v další časové vrstvě.
Tento algoritmus umožňuje různé modifikace, dobře se přizpůsobuje řešení jak kvazilineárních systémů, tak vícerozměrných hyperbolických problémů. V 70. letech bylo toto schéma jedním z hlavních rozdílových schémat zahraničních (hlavně amerických) kalkulaček, v současnosti je však vytlačováno modernějšími založenými na myšlenkách hybridizace.
Podívejme se nyní na nejjednodušší diferenční schémata pro Hopfovu rovnici.
Zobecnění P. Laxova schématu na případ Hopfovy rovnice má tvar
Zde se samozřejmě používá divergentní forma rovnice (3.6).
Cvičení. Zvažte Lax-Wendroffovo schéma pro Hopfovu rovnici. Nechť jsou počáteční podmínky pro Cauchyho problém nastaveny takto: u(x, 0) = ch - 2 (x) . Pak má Hopfova rovnice první integrál: 
. Zkontrolujte, zda je výše uvedené schéma konzervativní, tj. v něm je automaticky splněn stejný zákon zachování na úrovni mřížky.
Sestavte podobný obvod pomocí charakteristická forma psaní Hopfovy rovnice (3.9). Bude konzervativní?
Schéma je podmíněně stabilní za podmínky Courant (přesněji zobecnění podmínky Courant)
Zde a níže, jako dříve v (3.7), f = 0,5u2. Předpokládá se, že proudění je dostatečně plynulé, okamžik gradientní katastrofy ještě nenastal a v řešení nejsou žádné rázové vlny ani jiné diskontinuity.
Schéma Courant-Isakson-Ries. Zobecnění IRC schémat na kvazilineární případ (při použití divergentní forma rovnice) je zřejmé.
Schéma je stabilní za podmínek Courant
Zobecnění Lax-Wendroffova schémata(schéma prediktor-korektor). Pro kvazilineární rovnice (stejně jako lineární rovnice s proměnnými koeficienty, nehomogenní rovnice atd.) se Laxovo-Wendroffovo schéma stává složitějším. K jeho sestrojení je nutné zavést tzv. poloviční celočíselné body (body se zlomkovými indexy). V první fázi (prediktor) se hodnoty v polovičních celočíselných bodech vypočítají podle výše uvedeného schématu - zobecnění Laxova schématu na kvazilineární případ:
ve druhé fázi (korektor) se používá schéma „skok“ (třívrstvé schéma na šabloně ve tvaru kříže, které není zahrnuto v rodině (3.8)):
Schéma Lax-Wendroff patří mezi tzv centrální schémata. Jeho vzor je symetrický. V první fázi se hodnoty mřížkové funkce vypočítají v polovičních celočíselných bodech šablony na mezivrstvě (tm - 1/2, xm - 1/2), (tn + 1/2, xm + 1/2) , ve druhé fázi se vypočítá řešení na horní vrstvě v bodě (tn + 1 , xm) . Schéma je stabilní za podmínek Courant.
Podobně jsou konstruována Lax-Wendroffova schémata pro lineární nehomogenní rovnice.
McCormackovo necentrální schéma(prediktor - korektor).
Stejně jako výše uvedené schéma Lax-Wendroff má schéma McCormack dvě fáze. Zvažte konstrukci McCormackova schématu pro homogenní rovnice(3.7). První stupeň (prediktor) má podobu
ty. používá se schéma "explicitní pravý roh". Druhá fáze je korektor:
To znamená, že výpočet v první fázi podle schématu "pravý roh", ve druhém - "levý roh".
Další McCormack schéma má formu
Taková diferenciální schémata se nazývají necentrální. Mezi jejich výhody patří absence indexů polovičních celých čísel, jednodušší nastavení okrajových podmínek. V lineárním případě se McCormackova schémata shodují s Lax-Wendroffovým schématem. Schémata mají v obou proměnných druhý řád aproximace, schémata jsou stabilní za podmínky Courant.
Rusanovovo schéma(centrální schéma třetího řádu přesnosti).
Pro konstrukci Rusanovova schématu jsou zavedeny nejen body s polovičním číslem, ale také dvě vrstvy mezilehlých bodů se zlomkovými indexy. První etapa schématu Rusanov (přechod na vrstvu 1/3) má podobu
jeho druhou fází je schéma „skok“.
a třetí etapa
V první fázi se výpočet provádí podle schématu Lax, ve druhé - podle schématu „kříž“ („skok“). Poslední člen třetí etapy je zaveden pro zajištění stability schématu (termín úměrný rozdílové aproximaci 4. derivace).
Schéma je podmíněně stabilní za podmínek Courant a podmínky .
necentrální schéma warming-cutler-lomax 3. řád přesnosti.
První krok:
Druhá fáze:
Třetí fáze:
Poslední člen je přidán pro stabilitu obvodu, který je podmíněně stabilní za Courantových podmínek.
Velikost: px
Začít zobrazení ze stránky:
přepis
2 MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ A VĚDY RUSKÉ FEDERACE STÁTNÍ UNIVERZITA NOVOSIBIRSK Fakulta mechaniky a matematiky Katedra matematického modelování G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny VÝPOČTOVÉ METODY Část 4. Numerické metody řešení úloh pro rovnice typu Novosi 04 hyperbol
3 LBC V.193 UDC X 16 Recenzent Ph.D. Fyzikální matematika vědy A. S. Lebeděv odborné vzdělání„Novosibirsk Státní univerzita» léta. X 16 Khakimzyanov, G. S. Výpočtové metody: Ve 4 hodiny: učebnice. příspěvek / G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny; Novosib. Stát un-t. Novosibirsk: RIC NGU, 014. Část 4: Numerické metody řešení úloh pro rovnice hyperbolického typu. 07 str. ISBN Učebnice odpovídá programu kurzu přednášek "Metody počítání", který se čte na Fakultě mechaniky a matematiky Novosibirské státní univerzity. Ve čtvrté části jsou nastíněny základy numerických metod řešení počátečních okrajových úloh pro rovnice hyperbolického typu, formulovány úlohy pro cvičení, uvedeny ukázky testů a úloh pro praktická cvičení na počítači. Příručka je určena studentům a učitelům matematických oborů vyšších vzdělávací instituce. ISBN BBC V.193 UDC c Novosibirsk State University, 014 c G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny, 014
4 OBSAH Předmluva Schémata pro lineární transportní rovnici Monotonie vlastnost diferenčních schémat Konstrukce monotónních schémat na základě diferenciální aproximační metody Schémata pro nelineární transportní rovnici Schémata na adaptivní mřížce pro transportní rovnici Diferenční schémata pro rovnici kmitání strun Diferenční schémata pro hyperbolický systém rovnic s konstantními koeficienty Diferenční schémata pro soustavy nelineárních rovnic mělké vody Diferenční schémata úloh dynamiky plynů Testová práce na téma "Zkoumání diferenčních schémat pro transportní rovnici" Úkoly pro laboratorní práce Odpovědi, návody, řešení Bibliografický seznam
5 Předmluva Ve čtvrté části příručky jsou nastíněny základy numerických metod pro řešení počátečních okrajových úloh pro rovnice hyperbolického typu, úkoly na toto téma jsou formulovány do seminářů, úkoly pro praktická cvičení na počítači a příklad kontrolní práce. Teoretické otázky jsou uvedeny spíše stručně. Pro hlubší studium zvažované problematiky doporučujeme nahlédnout do učebnice S. K. Godunova a V. S. Ryabenkyho a dále do knih G. I. Marchuka, A. A. Samarského, A. A. Samarského a A. V. Gulina, AA Samarského a ES Nikolaeva, BL Rožděstvenského a NN Yanenko a učebnice vydané na NSU. Přednášky se zabývají teoretickými otázkami spojenými se studiem pouze konečných diferenčních schémat. Jako příklady jsou uvažována schémata pro lineární transportní rovnici, nelineární skalární rovnice prvního řádu, rovnice druhého řádu popisující vibrace strun, lineární systém rovnic prvního řádu, systém nelineárních rovnic mělké vody a rovnice dynamiky plynů. . Každý odstavec je doplněn úkoly, které je potřeba na seminářích vyřešit. Mnoho problémů je opatřeno pokyny a podrobnými řešeními. Doplňkové materiály pro semináře lze nalézt v problémových knihách. Příručka poskytuje příklady úloh pro praktická cvičení v počítačových třídách, dává doporučení, jak úkoly plnit, a probírá problémy související s vývojem programů a prezentací výsledků. Další úkoly lze vzít z učební pomůcky. Čtvrtá část příručky má samostatné průběžné číslování odstavců a obrázků a samostatný bibliografický seznam. Uvnitř odstavců pro vzorce a výroky (lemmata a věty) se používá dvouindexové číslování, např. 4. 4.) z příručky "píšeme" podle vzorce (1.4.)", místo "podle věty 8.3 z manuál" "podle věty.8.3". Autoři vyjadřují své hluboké poděkování rozhodčímu Alexandru Stepanoviči Lebedevovi za cenné rady a kritiky což přispělo ke zlepšení tohoto studijní průvodce. 4
6 1. Schémata rovnice lineárního transportu 1.1. Některé informace z teorie hyperbolických systémů. Uvažujme Cauchyho problém pro lineární systém diferenciálních rovnic prvního řádu u t + A u = f(x, t),< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t >0) ve směru klesajícího času t protneme osu Ox v m různých bodech. Seřaďme vlastní hodnoty hyperbolického systému (1.1) (λ 1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5
7 segment. Pokud se tedy počáteční data mimo interval změní na jiná, pak se řešení v bodě (x, t) nezmění. Definice. Oblast vlivu bodu (x 0, 0) je množina bodů (x, t) horní poloroviny, ohraničená extrémními charakteristikami soustavy (1.1) vycházející z (x 0, 0). ), tj. charakteristiky odpovídající vlastním číslům λ 1 a λ m. Oblast vlivu bodu (x 0, 0) je znázorněna na obr. 1b. Pokud se počáteční data změní pouze v bodě (x 0, 0), pak se řešení hyperbolického systému změní pouze v bodech (x, t) patřících do oblasti vlivu bodu (x 0, 0). Předpokládejme nyní, že místo Cauchyho problému (1.1) potřebujeme vyřešit počáteční okrajový problém na segmentu . Poté je nutné kromě počátečních podmínek nastavit i okrajové podmínky. Počet okrajových podmínek na každé z hranic je určen počtem charakteristik zahrnutých uvnitř oblasti. Pokud například m 0 charakteristik vstupuje přes levou hranici x = 0, tj. m 0 vlastních hodnot λ k je kladných v x = 0, pak musí být na této hranici specifikovány m 0 okrajové podmínky. Pokud je na hranici x = l počet záporných vlastních hodnot roven m l a následně do domény přes pravou hranici vstupuje přesně m l charakteristik, pak musí být na této hranici specifikováno m l okrajových podmínek. Protože vlastní čísla závisí na čase, počet okrajových podmínek na každé z hranic se může s časem měnit. t dx dt = m λ m (x,t) dx dt = λ 1 t dx dt =λ 1 dx dt = m λ x l a x r x (x 0,0) b x 1. Charakteristika soustavy rovnic (1.1), omezující oblasti závislosti bodu (x, t) (a) a vlivu bodu (x 0, 0) (b) 6
8 Uvažujme nyní homogenní hyperbolický systém rovnic (1.1) s konstantními koeficienty. Pro konstantní matici A jsou její vlastní vektory a vlastní hodnoty konstantní, tj. nezávisí na x a t. Nechť l k je k-tý levý vlastní vektor matice A odpovídající jejímu vlastnímu číslu λ k: l k A = λ k l k (k = 1,..., m). Vynásobte soustavu (1.1) zleva vektorem lk: nebo kde lkut + l ka ux = 0. Tuto rovnici lze zapsat následovně: lkut + λ klkuxskt + λ skkx = 0, = 0, (1.3) sk = lku , k = 1,...m. (1.4) Řešení sk (x, t) rovnice (1.3) se přenese podél charakteristiky beze změny a proto se vypočítá pro t > 0 z počáteční hodnoty sk v bodě průsečíku k-té charakteristiky s osou Ox: sk (x, t) = sk ( xλkt, 0). (1.5) Funkce s k se nazývají Riemannovy invarianty. 1. Lineární model mělké vody. Nejjednodušším matematickým modelem, který dokáže popsat pohyb tekutiny s povrchovými vlnami, je lineární model mělké vody: η t + u 0 = 0, (1.6) xut + g η = 0, (1.7) x η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), (1,8) , η 0 (x) a u 0 (x) elevace a rychlost v počátečním čase t = 0, 0 = konstantní bazén hloubka, g = konstantní zrychlení volného pádu. 7
9 Soustavu rovnic (1.6), (1.7) lze zapsat jako homogenní systém (1.1) s maticí A a vektorem řešení u: A = (0 0 g 0) (η, u = u). (1.9) Matice A má dvě různá reálná vlastní čísla λ 1 = c 0, λ = c 0 = g 0, (1.10) proto je soustava rovnic (1.6), (1.7) hyperbolického typu. Charakteristické rovnice (1.) mají následující tvar: dx dt = c 0, dx dt = c 0, (1.11) proto jsou charakteristiky přímkové. Charakteristiky procházející bodem (x, t), t > 0, protínají osu Ox v bodech x l a x r, kde x l = x c 0 t, x r = x + c 0 t. (1.1) Levé vlastní vektory matice A odpovídající vlastním číslům (1.10) jsou dány vzorci l 1 = (c 0, 0), l = (c 0, 0). (1.13) y 0 η y= (x,t) lxy=- 0 počátečních závislých proměnných je dáno vzorci r = c 0 η 0 u, s = c 0 η + 0 u, (1.14) 8
10 odkud η = r + sc 0, u = sr 0. (1.15) Ze vzorce (1.5) při zohlednění rovnosti (1.14) získáme vzorce pro řešení Cauchyho úlohy v invariantech r(x, t) = r (x λ 1 t, 0) = r(x + c 0 t, 0) = c 0 η 0 (xr) 0 u 0 (xr), (1,16) s(x, t) = s(x λ t, 0) = s(xc 0 t, 0) = c 0 η 0 (xl) + 0 u 0 (xl). (1.17) Nakonec pomocí vztahů (1.15) získáme přesné řešení Cauchyho úlohy (1.6), (1.7), (1.8) η(x, t) = η 0(xl) + η 0 (xr) + 0 u0( xl) u 0 (xr), c 0 u(x, t) = u 0(xl) + u 0 (xr) + c 0 η0(xl) η 0 (xr). 0 (1.18) Při řešení uvažovaného počátečního okrajového problému je nutné nastavit jednu podmínku na každém konci segmentu . Předpokládejme například, že stěny bazénu jsou pro kapalinu nepropustné, což znamená, že rychlost kapaliny na těchto stěnách je rovna nule: u(0, t) = u(l, t) = 0 (1.19) o pohybu tekutiny s povrchovými vlnami v ohraničené pánvi: najděte řešení η(x, t), u(x, t) spojité v uzavřené oblasti D = následující počáteční okrajové úlohy η t + u 0 x = 0, ut + g η = 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9
11, rovnice pro Riemannovy invarianty na sobě nezávisí a každá z nich má tvar u t + au x = 0, a = konst. (1.1) Tato rovnice je nejjednodušší hyperbolickou rovnicí a nazývá se rovnice lineárního transportu. Tato rovnice může být použita ke studiu vlastností diferenčních schémat používaných k řešení hyperbolických soustav rovnic. Uvažujme pro rovnici lineárního transportu (1.1) Cauchyho problém u t + au x = 0,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a >0 a naopak). Pro transportní rovnici s konstantním koeficientem a je snadné napsat přesné řešení i pro počáteční okrajovou úlohu. Nechť například a = const > 0. Pak je následující problém s počátečními hodnotami u t + au x = 0, 0 dobře položený< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10
12 Začněme explicitním schématem s rozdíly proti proudu (schéma proti proudu) pro úlohu počátečních okrajových hodnot u t + au x = f(x, t), 0< x l, 0 < t T, a = const >0, u(0, t) = uo (t), 0 t T, u(x, 0) = uo (x), 0 x 1, uo (0) = uo (0). (1.7) Dále budeme uvažovat pouze jednotné mřížky pokrývající uzavřenou doménu D = . Sestrojme následující diferenční schéma un + a un un 1 = fn, = 1,..., N, un 0 = µ n 0, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x) , = 0 ,..., N, (1.8) aproximační úloha (1.7) s řádem O(+). Stejně jako dříve lze toto schéma zapsat ve tvaru operátoru L u = f. Název protivětrného schématu je dán tím, že pokud transportní rovnici považujeme za modelovou rovnici pro soustavu rovnic popisujících proudění kapaliny nebo plynu a ztotožníme součinitel a s rychlostí kapaliny, pak při kladné rychlost, tj. při a > 0, ve schématu levé derivace rozdílu se berou pomocí uzlu x 1 umístěného proti proudu od "proudu" (umístěného proti proudu). Zaveďme jednotné normy v prostoru mřížkových funkcí U a prostoru pravých stran F: kde f F (= max u U max nun C = max 0 N un, = max n un C, (1.9)) µn 0, (u 0) C, max fnn C, (1,30) fn C = max 1 N fn jednotné normy na vrstvě t = t n. Pomocí principu maxima můžeme dokázat následující tvrzení. Věta 1.1. Splnění podmínky a 1 (1,31) 11
13 postačuje pro stabilitu schématu proti větru (1.8) v jednotné normě. Důkaz. Nechť x je mřížkový uzel s číslem 1 N. Přepišme diferenční rovnici obvodu v tomto uzlu = (1 r)u n + ru n 1 + f n, kde r = a/. Z podmínky věty vyplývá, že platí 1 r 0, a tedy následující odhad (1 r) un +run 1 + fn (1 r) un C +run C + fn C un C + max mfm C. 0 = µ n+1 0 max m µm 0. Proto maximum levých stran těchto nerovností nemůže překročit maximum ze dvou čísel na pravých stranách těchto nerovností: (C max max m) µm 0 , un C + max fmm C, a to je maximální princip. Zjistili jsme, že za podmínky (1.31) splňuje schéma (1.8) princip maxima. Proto (viz věta 3.1.1) bude stabilní v jednotné normě s ohledem na výchozí data, okrajové podmínky a na pravé straně. Stejná podmínka (1.31) je také nezbytnou podmínkou stability schématu (1.8), která vyplývá z Neumannova spektrálního kritéria stability. Pojďme to dokázat. Vezměme harmonickou u n = λ n e iφ (1.3) a dosadíme ji do homogenní diferenční rovnice. V důsledku toho pro přechodový faktor získáme rovnici Proto λ = 1 r (1 e iφ) = 1 r(1 cos φ) ir sin φ. λ = 1 r(1 cos φ) + r (1 cos φ) + r sin φ = 1
14 = 1 r(1 cos φ) [ r(1 cos φ) r(1 + cos φ)] = 1 r(1 cos φ)(1 r). Nechť kroky a ve schématu (1.8) souvisí přechodem k limitě r = a = konst. (1.33) Potom vlastní čísla λ (φ) nezávisí na, takže nutná Neumannova podmínka stability se redukuje na požadavek nebo λ (φ) 1, φ R. (1.34) r(1 cos φ)(1 r) 0, φ R. (1.35) Je zřejmé, že tato nerovnost je ekvivalentní pro a > 0 podmínce (1.31). Podmínka (1.31) pro a > 0 je tedy nutnou a postačující podmínkou stability protivětrného schématu v jednotné normě. Všimněte si, že pro a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a >0 schéma (1.37) bude absolutně nestabilní (viz problém 1.). 13
15 Zkonstruovali jsme tedy dvě podmíněně stabilní explicitní schémata s předřazenými rozdíly pro transportní rovnici s konstantním koeficientem aunun + a un un 1 + a un +1 un Jsou stabilní pod nerovností = fn, pokud a > 0, = fn, Pokud< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) >0, a(l, t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14
16 Pomocí principu maxima lze dokázat (viz úloha 1.10), že pro stabilitu protivětrného schématu (1.41) s proměnným koeficientem a(x, t) stačí splnit podmínku max a(x, t) 1. (1,44) x, t 1,5. Laxovo schéma. Dále pro jednoduchost prezentace budeme uvažovat počáteční okrajovou úlohu (1.7) s homogenní transportní rovnicí ut + au x = 0. (1.45) V Laxově schématu je diferenční rovnice aproximující transportní rovnici (1.45) zapsáno jako 0,5 (un +1 + ) un 1 + a un +1 un 1 = 0, = 1,..., N 1. (1,46) Pro chybu lokální aproximace máme výraz ψ n, = u tt u xx +... tedy pro = O( ) Laxovo schéma nebude aproximovat transportní rovnici, ale podle zákona přechodu k limitě r = a = const (1.47) se bude aproximovat řádem O(+ ). Aproximace tedy probíhá pouze pro určité spojení mezi kroky a tedy Laxovo schéma patří do třídy podmíněně aproximačních schémat. Pro přechodový faktor získáme vzorec λ(φ) = cos φ ir sin φ. Nezbytnou podmínkou stability Laxova schématu je tedy podle zákona přechodu k limitu (1,47) splnění nerovnosti r 1, tj. a 1. (1,48) 15
17 1.6. Diagram Lax Wendroff. Diferenční rovnice tohoto schématu vypadají takto: u +1/ 0,5 (un +1 +) un + a un +1 un = 0, / un + au +1/ (1,49) u 1/ = 0. Lax Wendroffovo schéma odkazuje na rodinu dvoukrokových schémat. V tomto schématu se nejprve u půlcelých uzlů x +1/ = x +/ vypočítávají pomocné veličiny u +1/ vztažené k času t n + / podle Laxova schématu. Poté se ve druhém kroku vypočítají hodnoty požadované mřížkové funkce v (n + 1) časové vrstvě. Pro studium aproximace a stability dvoukrokových schémat jsou pomocné veličiny u ze schématu předběžně vyloučeny. V důsledku eliminace získáme jednokrokové schéma Lax Wendroff un + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1,50), které, jak je snadné zkontrolovat, aproximuje přepravu rovnice (1.45) s druhým řádem v u. Pro přechodový faktor máme následující výraz λ = 1 ir sin φ r sin φ. Nezbytná podmínka stability λ 1 tedy bude ekvivalentní splnění nerovnosti (1 r sin φ) + r sin φ 1, nebo 1 4r sin φ + 4r4 sin 4 φ + 4r sin φ (1 sin φ) 1. Posledně jmenovaná nerovnost je ekvivalentní podmínce r 1. Nezbytná podmínka stability Laxova Wendroffova schématu se tedy shoduje s nezbytnou podmínkou (1.48) stability Laxova schématu Disipace a disperze. Spolu s transportní rovnicí u t + au x = 0, a = const (1.51) 16
18 uvažujme ještě dvě rovnice u t + au x = µu xx, µ = konst > 0, (1.5) u t + au x + νu xxx = 0, ν = konst. (1.53) Nechť je počáteční funkce v Cauchyho úloze pro tyto rovnice reprezentována jako Fourierova řada u(x, 0) = m b m e imx. (1.54) Ke každé z těchto rovnic budeme hledat řešení metodou separace proměnných u(x, t) = bm λ te imx = bmum (x, t), (1,55) mm kde um (x, t ) je harmonická s vlnočtem mum (x , t) = λ te imx, (1.56) je třeba určit λ. Reálnou a imaginární částí harmonické jsou m-vlny, jejichž délka l souvisí s vlnovým číslem vzorcem l = π m. (1.57) Protože rovnice (1.51) (1.53) jsou lineární, lze chování každé z harmonických posuzovat nezávisle. Dosazením harmonické vlnočetem m do transportní rovnice (1.51) získáme buď ln(λ) + aim = 0 λ = e aim. Je-li tedy harmonická (1.56) řešením transportní rovnice, pak má tvar Označení ξ = x at, dostaneme um (x, t) = e im(x at). (1,58) u m (x, t) = e imξ = um (ξ, 0). (1,59) 17
19 V každém čase t > 0 se tedy harmonická u m získá posunutím počáteční harmonické o at. Proto transportní rovnice popisuje pohyb m-vlny, které se bez ohledu na svou délku šíří stálou rychlostí v m = a bez zkreslení jejich tvaru. Je snadné ověřit, že harmonická (1.56) je řešením druhé rovnice (1.5), jestliže ln(λ) + aim = µm nebo λ = e aim e µm, tj. harmonická má v tomto případě tvar um ( x, t) = e µmt e im(xat). V důsledku toho se pro všechny harmonické amplituda vlny snižuje (ztráta vlny). Protože m = π/l, krátké vlny se rozpadají rychleji než dlouhé. Rychlost v m šíření vlny nezávisí na vlnové délce a je stále rovna a. Člen µu xx s druhou derivací řešení je zodpovědný za rozptyl vlny. Nakonec dosazením harmonické do rovnice (1.53) dostaneme ln(λ) + cíl + ν(im) 3 = 0, neboli tedy dostaneme, že λ = e im(a νm), um (x, t) = e im( x (a vm)t). Třetí rovnice tedy popisuje pohyb vlny beze změny její amplitudy (bez disipace). Ale rychlost jeho šíření závisí na vlnové délce v m = a νm. (1.60) Tento vzorec ukazuje, že vlny různých délek se šíří různou rychlostí (vlny se rozptýlí). Výraznější změny doznává rychlost šíření krátkovlnných poruch (velké m). Člen νu xxx s třetí derivací řešení je zodpovědný za vlnovou disperzi. osmnáct
20 Po zvážení chování jednotlivých harmonických můžeme nyní pro tyto rovnice předpovědět kvalitativní chování řešení (1.55) Cauchyho úlohy. Nechť má např. počáteční funkce u(x, 0) tvar kroku ( 1, x 0, u(x, 0) = (1.61) 0, x > 0 a a > 0. Rozšíření např. funkce ve Fourierově řadě (1.54) bude obsahovat celou množinu harmonických. Řešení Cauchyho úlohy pro transportní rovnici (1.51) je reprezentováno následovně: u(x, t) = mbme im(x at) = mbme imξ = u(ξ, 0), (1.6) řešením úlohy je počáteční profil pohybující se rychlostí a. Řešení u(x, t) = mbme µmt e im(x at) = mbme µmt e imξ (1.63) Cauchyho úlohy pro rovnici (1.5) s disipativním členem, ve kterém se krátké vlny silně rozpadají, bude vypadat jako rozmazaný krok Nakonec řešení u(x, t) = mbme im(x (a νm)t) (1.64) Cauchyho úlohy pro rovnici (1.53), ve které se vlny různých délek pohybují různými rychlostmi, má nemonotonický, kmitavý charakter Podle vzorce (1.60) pro ν > 0 budou mít vlny malé délky rychlost nižší než vlny velká délka a pro ν< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν >0 a v souladu s tím postupovat vpřed jako ν< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x >x 0 19
21 a proveďte výpočet podle explicitního schématu proti větru un + a un un 1 = 0, a = const > 0. (1.66) Výsledkem je řešení ve formě rozmazaného kroku (obr. 3). , tj. řešení bude kvalitativně stejné jako a řešení rovnice (1.5) s disipativním členem. Co se děje? Koneckonců jsme chtěli vyřešit transportní rovnici, ve které není žádný disipativní člen. Jde o to, že jsme numericky nehledali řešení transportní rovnice, ale řešení diferenčního schématu. Vlastnosti řešení aproximované diferenciální rovnice a aproximující diferenční rovnice se tedy nemusí shodovat. Jak tedy předpovědět vlastnosti řešení diferenční rovnice? y x 30 Obr. Obr. 3. Grafy přesného řešení (přerušované čáry) a numerického řešení (plné čáry) získané pomocí schématu proti větru (1.66) v časových bodech t = 1 (1); t=8(); t = 15 (3). a = 1; x0 = 10; a/ = 0,5 To lze provést pomocí diferenciální aproximační metody, kterou si nyní krátce zopakujeme. Podstatou této metody je nahrazení původní diferenční rovnice speciální diferenciální rovnicí, která má všechny vlastnosti zkoumané diferenční rovnice. Proto se místo studia diferenční rovnice zkoumá tato diferenciální rovnice, což je v mnoha případech mnohem jednodušší. Získání diferenciální rovnice odpovídající diferenční rovnici začíná zápisem této diferenční rovnice ve formě tzv. teoretického diferenčního schématu, ve kterém diferenční operátory působí ve stejném funkčním prostoru jako diferenciální operátory, které aproximují. Například diferenční rovnice (1,66) se zapíše jako následující teoretický rozdíl 0
22 schémata u(x, t +) u(x, t) u(x, t) u(x, t) + a = 0. (1.67) Řešením takového schématu je funkce u(x, t) spojitých argumentů x a t, přičemž řešením rovnice (1.66) je mřížková funkce u, definovaná pouze v uzlech mřížky. Nechť dostatečně hladká funkce u(x, t) je řešením teoretického diferenčního schématu (1.67). Dosadíme ho do tohoto schématu a vyjádříme u(x, t +) a u(x, t) pomocí hodnot funkce a jejích derivací v bodě (x, t) pomocí Taylorova vzorce. Ve výsledku získáme diferenciální rovnici ekvivalentní diferenčnímu schématu (1.67) u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx +... = 0. (1.68) Definice. Diferenciální rovnice nekonečného řádu (1.68) získaná po rozšíření řešení u(x, t) teoretického diferenčního schématu (1.67) o Taylorův vzorec se nazývá diferenciální reprezentace diferenčního schématu (1.66). Některé vlastnosti diferenčního schématu lze již studovat pomocí této diferenciální reprezentace, ale pro naše účely bude vhodnější použít jinou formu diferenciální reprezentace, která vyplývá z eliminace všech časových derivací z (1.68) kromě pro ten, který vstupuje do aproximované rovnice (1.51), m t. j. kromě u t. Ukažme si například, jak odstranit časové derivace z hlediska řádu u. K tomu přepíšeme rovnici (1.68) s přihlédnutím k členům až do řádu O() a O() ut + au x + u tt + 6 u ttt au xx + a 6 u xxx = O() (1,69 ) a pomocí výsledné rovnice najděte derivaci ut: ut = au xu tt 6 u ttt + au xx a 6 u xxx + O() (1.70) Tuto derivaci dosadíme do členů rovnice (1.69) obsahující derivace (ut ) t a (ut) tt. Vezmeme-li v úvahu pořadí malosti koeficientů u druhé a třetí derivace v závislosti na čase, dostaneme, že v (u t) t 1
23 stačí dosadit derivaci (1,70) vypočítanou s přesností O(+): ut = au xu tt + au xx + O(+), (1,71) a in (ut) tt s přesností O(+): ut = au x + O (+). (1.7) V důsledku této substituce má rovnice (1.69) následující tvar: ut + au x + (au xu tt + a) u xx + t 6 (au x) tt = = au xx a 6 u xxx + O(), nebo ut + au xau tx 4 u ttt + a 4 u txx a 6 u ttx = = au xx a 6 u xxx + O(). (1.73) Po dosazení do rovnice (1.69) pak provedeme podobné akce s rovnicí (1.73). Nyní musíme dosadit derivaci ut, určenou z rovnice (1.73), do čtyř členů téže rovnice: ut + au xa (au x + au tx + au xx) x 4 (au x) tt + + a 4 (au x) xx a 6 (au x) tx = au xx a 6 u xxx + O(). Po zmenšení podobných dostaneme rovnici ut + au xa 1 u txx + a 4 u ttx = = a (a) (1 r) u xx + au xxx + O(), 6 (1,74) ve které naproti tomu na (1,69) , neexistují žádné druhé derivace. Smíšené derivace u txx a u ttx zbývající v (1.74) lze vypočítat na základě rovnosti (1.7): u txx = au xxx + O(+), u ttx = a u xxx + O(+). (1,75)
24 Proto má diferenciální zobrazení (1.74) tvar u t + au x = a (1 r)u xx a 6 (r 3r + 1)u xxx + O(). (1.76) Tím jsme se zbavili časových derivací s mocninami a. Ale derivace vzhledem k t zatím zůstaly na vyšších mocninách na pravé straně O(). Pokud budeme v popsaném postupu pokračovat dále, pak v zobrazení (1.68) můžeme odstraňovat časové derivace až do libovolně vysokého řádu. V důsledku toho získáme diferenciální zobrazení obvodu ve tvaru nebo ut + au x = a (1 r)u xx + a 6 (1 r)(r 1)u xxx +... (1,77) ut + au x = k= ckkux k . (1.78) Definice. Rovnice nekonečného řádu (1.78) se nazývá P-forma diferenciální reprezentace diferenčního schématu. Nechť má diferenční schéma řády aproximace γ 1 a γ v resp. Definice. Diferenciální rovnice získaná z P-formy diferenciální reprezentace vyřazením členů řádu O(γ1+1, γ+1) a vyšších se nazývá první diferenciální aproximace (p.d.p.) diferenčního schématu. Pro schéma proti větru (1.66) je pdp diferenciální rovnice druhého řádu ut + au x = µu xx, µ = a (1 r), (1.79), která, jak vidíme, se shoduje s rovnicí (1.5) s a disipativní termín. Pro r 1 tedy naše schéma implicitně zavádí viskozitu (disipaci) do aproximované transportní rovnice, která se nazývá přibližná nebo schématická viskozita. Přítomnost přibližné viskozity vede k rozmazání počátečního kroku. Definice. Vlastnost diferenčního schématu kvůli přítomnosti derivací sudého řádu v jeho pdp se nazývá numerická disipace. 3
25 P-forma diferenciální reprezentace Laxova Wendroffova diferenčního schématu má tvar + νu xxx = 0, ν = a 6 (1 r) (1.80) se shoduje s rovnicí (1.53) s disperzním členem. Následně při r 1 Lax Wendroffovo schéma implicitně zavádí disperzi do přibližné transportní rovnice, takže řešení diferenčního schématu může oscilovat (obr. 4). y Obr. Obr. 4. Grafy přesného řešení (přerušované čáry) a numerického řešení (plné čáry) získané pomocí Lax Wendroffova schématu v časových bodech t = 1 (1); t=8(); t = 15 (3). a = 1; x0 = 10; a/ = 0,5 Definice. Vlastnost diferenčního schématu, kvůli přítomnosti derivací lichého řádu v jeho pdp, se nazývá numerická disperze. Shrňme naše úvahy. U problémů s plynule se měnícím řešením, ve kterých je příspěvek vysokofrekvenčních harmonických malý, je přesnost schématu Lax Wendroff vyšší než přesnost schématu proti větru. Řešíme-li numericky problém, ve kterém má řešení ostře se měnící monotónní profil, pak použití schématu prvního řádu proti větru poskytne monotónní neoscilující profil, ale silně vyhlazený. To je výsledek numerické disipace. Lax Wendroffovo schéma, které má numerickou disperzi, může poskytnout nemonotonické profily numerického řešení v blízkosti diskontinuity nebo prudké změny v řešení, zkreslené nefyzikálními oscilacemi. x4
26 VÝZVY 1.1. Ukažte, že pro a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a >0 je absolutně nestabilní Neumannovou spektrální metodou odvoďte nezbytnou podmínku stability pro třívrstvé schéma „přeskočit“ (schéma s krokováním, schéma „přeskočit“) pro rovnici (1.1) un 1 + a un +1 un 1 = 0, n = 1, ..., M 1, = 0, ±1, ±,..., (1.8) je-li zákon přechodu k limitě uveden ve tvaru (1.33) Určete řád aproximace explicitního schématu s centrálním rozdílem un + a un +1 un 1 = 0 , (1.83) sestrojeného pro transportní rovnici (1.1). Neumannovou spektrální metodou prozkoumejte stabilitu tohoto schématu, je-li zákon přechodu k limitě dán ve tvaru a = konst. (1,84) 1,5. Určete řád aproximace majorantního schématu u n + a un +1 un 1 = a un +1 un + un 1, (1.85) sestrojeného pro transportní rovnici (1.1). Neumannovou spektrální metodou prozkoumejte stabilitu tohoto schématu, je-li přechod do limitního zákona uveden ve tvaru (1.84). Pět
27 1.6. Určete řád aproximace McCormackova schématu u un + a un +1 un = 0, 0, 5 (u +) un / + a u u 1 = 0, (1.86) sestrojeného pro transportní rovnici (1.1). Neumannovou spektrální metodou prozkoumejte stabilitu tohoto schématu, je-li přechod do limitního zákona dán ve tvaru (1.84) Určete řád aproximace protivětrného schématu s váhami un + σa un (1 σ)a un 1 = 0, (1.87) sestrojeno pro transportní rovnici ( 1.1) s koeficientem a > 0. Neumannovou spektrální metodou odvoďte nezbytnou podmínku stability schématu (1.87), je-li přechod na limitní zákon dán ve tvaru (1.84) Pomocí principu maxima vyšetřete stabilitu v jednotné normě implicitního schématu proti větru un + a un+1 1 = f n+1, = 1,..., N, un 0 = µ n 0, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N , (1.88) sestrojeno pro úlohu (1.7) Pomocí principu maxima najděte dostatečnou podmínku stability v uniformě norma protivětrného schématu s váhami un + σa un (1 σ)a un un 1 = f n+1/, un 0 = µ n 0 , n = 0,..., M, u 0 = u 0(x ), = 0,..., N, (1,89) sestrojeno pro problém (1.7). Zde 0 σ 1. 6
28 1.10. Pomocí principu maxima dokažte, že splnění podmínky (1.44) postačuje pro stabilitu protivětrného schématu (1.41) s proměnným koeficientem a(x, t) schéma un + a un+1 1 = 0, (1,90) sestrojeno pro transportní rovnici (1.1) s koeficientem a > 0. Uveďte kvalitativní vysvětlení chování řešení diferenčního schématu pro t > 0, jestliže v počátečním čase t = 0 je krok ( 1.61).. Vlastnost monotonie rozdílových schémat.1. Jedním z hlavních požadavků na diferenční schémata je, že řešení diferenční rovnice musí vyjadřovat vlastnosti chování řešení aproximované diferenciální rovnice. Uvažujme například Cauchyho problém pro lineární transportní rovnici u t + au x = 0, a = const > 0,< x <, t >0, (.1) u(x, 0) = u 0 (x). (.) Je-li u 0 (x) neklesající (nerostoucí) funkce proměnné x, pak pro libovolné pevné t > 0 bude řešení u(x, t) úlohy (.1), (.) také a neklesající (nerostoucí) funkce proměnné x. Vyplývá to z toho, že v každém okamžiku je řešení dáno vzorcem u(x, t) = u 0 (x at). (.3) Je přirozené vyžadovat, aby podobnou vlastnost mělo i řešení aproximačního problému diferenčního schématu (.1), (.). Ukazuje se ale, že mnoho diferenčních schémat porušuje monotónnost numerického řešení: místo očekávaných monotónních profilů se získávají řešení obsahující nefyzikální oscilace (obr. 4). Důvodem jejich výskytu je číselný rozptyl rozdílu 7
29 schémat diskutovaných v předchozím odstavci. V této části uvádíme podmínky, za kterých rozdílové schéma zachová monotónnost numerického řešení. Uvažujme libovolné explicitní diferenční schéma = α b α un + α, (.4) kde α je celé číslo, α = α 1, α 1 + 1,..., α, uzly x + α určují šablonu schéma. Definice. Diferenční schéma (.4) se nazývá schéma, které zachovává monotónnost numerického řešení (monotónní schéma), pokud transformuje libovolnou monotónní funkci un na monotónní funkci na (n + 1)-té časové vrstvě, navíc se stejným směrem. růstu. Příklad 1 Rovnici (.1) na jednotné mřížce aproximujeme protivětrným schématem u n + a un un 1 = 0. (.5) Toto schéma má první řád aproximace v u. Nechť je mřížková funkce u n na n-té časové vrstvě monotónní, například monotónně rostoucí funkce, tj. u n un 1 pro libovolnou. V tomto případě za podmínky stability obvodu ve tvaru aæ 1, kde æ = /, získáme 1 = (un aæ(unun 1)) (un 1 aæ(un 1 un)) = (1 aæ) (unun 1) + aæ(un 1 un) 0. Roztok tedy monotónně roste i na (n + 1)-té vrstvě. Tedy schéma proti větru (s rozptylem na aæ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8
30 Počáteční mřížková funkce ( u 0 1, pro 0, = u 0 (x) = 0, pro > 0 je tedy monotónně klesající. Uvažované schéma přepišme do podoby jednokrokového schématu (1.50) , a poté ve tvaru schématu (.4) s koeficienty b 1 = a æ + aæ, b 0 = 1 a æ, b 1 = a æ aæ (.6) Pak je snadné vidět, že rovnost 1 platí při první časová vrstva, pro 1, u 1 b = 1 + b 0, at = 0, b 1, at = 1, 0, at. At aæ< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 >1, tj. funkce mřížky ui neklesá monotónně. Monotónnost schémat pro rovnice s konstantními koeficienty lze zkoumat pomocí následující věty. Věta.1. Aby diferenční schéma (.4) s konstantními koeficienty b α zůstalo monotónní, je nutné a postačující, aby pro všechna α platily podmínky b α 0. (.7) Důkaz. Potřeba. Předpokládejme, že schéma (.4) zůstává monotónní, ale existuje záporný koeficient b α0< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α
31 tj. funkce není monotónně rostoucí a v důsledku toho schéma (.4) nezachovává monotónnost, což je v rozporu s původním předpokladem. Získaný rozpor dokazuje, že všechny koeficienty b α jsou nezáporné. Přiměřenost. Nechť b α 0 a u n je monotónní funkce, například monotónně rostoucí funkce. Pak 1 = α b α u n + α α b α u n 1+α = α b α (u n + α u n 1+α) 0, tedy také monotónně rostoucí funkce. Schéma (.4) tedy zůstává monotónní. Vraťme se znovu k příkladům 1 a ., a nyní nebudeme předpokládat, že a > 0. Schéma proti větru pro rovnici (.1) s libovolným znaménkem koeficientu a vypadá takto: kde un Přepište to do tvaru ( .4) + a + un un 1 a + = a + a + a un +1 un, a = a a. = 0, (.9) kde = b 1 u n 1 + b 0 u n + b 1 u n +1, (.10) b 1 = æa +, b 0 = 1 æ a, b 1 = æa. Pokud je splněna podmínka stability a æ 1 (.11), jsou všechny tyto koeficienty nezáporné. Navíc jsou konstantní, proto podle věty 1 protivětrné schéma (.9) zachovává monotónnost řešení za podmínky (.11). Schéma Lax Wendroff je stabilní za stejných podmínek (.11) jako schéma proti větru a lze jej zapsat ve tvaru (.10) s koeficienty (.6), z čehož lze vidět, že za podmínky a æ< 1 один из 30
32 koeficientů b 1 nebo b 1 je záporné. Podle věty 1 z toho vyplývá, že Laxovo Wendroffovo schéma, které má aproximaci druhého řádu vzhledem k u, nezachovává monotónnost numerického řešení. Možná však existují další schémata druhého řádu aproximace, která mají vlastnost monotónnosti. Ukazuje se, že žádné takové schémata neexistují. Článek ukazuje, že pro lineární transportní rovnici (.1) není možné sestrojit monotónní schéma s konstantními koeficienty druhého řádu aproximace... Uvažujme nyní schéma (.4) s proměnnými koeficienty b α. Bude pro taková schémata dostatečná podmínka (.7) nezápornosti koeficientů pro zachování monotónnosti numerického řešení? Ukázalo se, že ne. Uveďme odpovídající příklad. Příklad 3 Nechť je Cauchyho úloha vyřešena pro rovnici u t + a(x)u x = 0, (.1) kde a(x) je přísně rostoucí kladně ohraničená funkce: 0< a(x) < 1 и a >0. K vyřešení tohoto problému vezměme schéma s proměnnými koeficienty 0, 5 (un +1 +) un 1 + aun +1 un 1 = 0, (.13) kde a = a(x), x je a uzel jednotné mřížky. Výše uvedené schéma je analogické s Laxovým schématem (1.46), které zachovává monotónnost numerického řešení (viz Úloha 1). Budeme předpokládat, že podmínka æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31
33 jsou koeficienty b a opatřeny přídavným indexem, protože se jedná o proměnné koeficienty a mění se při pohybu z jednoho uzlu do druhého. Vzhledem k podmínce (.14) jsou oba koeficienty kladné, ale schéma (.13) nezachovává monotónnost numerického řešení. Opravdu, vezmeme-li monotónně rostoucí funkci ( u n 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 >b 1.0, takže funkce mřížky se zvyšuje. Výše uvedený příklad ukazuje, že pro schémata s proměnnými koeficienty by měla být použita jiná kritéria monotónnosti než kritérium (.7) uvedené ve větě 1. Věta.. Nechť koeficienty diferenčního schématu = b 1, un 1 + b 0, un + b 1, un +1 (.17) splňují podmínku v každém uzlu x Pak splnění pro všechny podmínky b 1, + b 0, + b 1 , = 1. (.18) b ±1, 0, b 1, + b 1, 1 1 (.19) je nutné a dostačující pro schéma (.17) s proměnnými koeficienty pro zachování monotonie numerické řešení. Důkaz. Schéma (.17) s proměnnými koeficienty splňující podmínku (.18) zapíšeme ve tvaru: = u n b 1, (u n u n 1) + b1, (u n +1 u n). (.0) 3
34 Potom +1 = un +1 b 1,+1 (u n +1 u n) + b1,+1 (u n + u n +1). Tedy +1 un+1 = (un +1 un) (1 b 1,+1 b 1,) + (+ b 1,+1 un + un (+1) + b 1, unun) (.1) 1. Nezbytnost. Nechť je schéma (.17) monotónní. Dokažme, že jeho koeficienty splňují nerovnosti (.19). Předpokládejme, že to není pravda a některá z podmínek (.19) není v některém uzlu x 0 splněna, například b 1,0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33
35 Důkaz. Schéma (.) lze přepsat do tvaru (.17), kde b 1, = æc 1/, b 1, = æc + +1/, b 0, = 1 æc 1/ æc+ +1/. Pak pro koeficienty b α platí rovnost (.18) a podmínky (.19) jsou ekvivalentní podmínkám (.3). Komentář. Dokazujeme, že splnění nerovností (.3) stačí k tomu, aby schéma (.) bylo TVD (Total Variation Diminising Sceme), tedy schéma, jehož řešení un pro libovolné n 0 splňuje nerostoucí podmínku pro celkovou variaci TV. () TV (un), (.4) kde celková variace funkce mřížky un je chápána jako TV (un) = un +1 u n. (.5) V současnosti se k řešení mnoha problémů s nespojitým řešením používají schémata TVD a jejich různé modifikace. Důvodem tak velké popularity těchto metod je to, že poskytují neoscilační profily roztoku, vysoké rozlišení v oblasti nespojitostí a zachovávají vysokou přesnost v oblastech hladkosti roztoku. Moderní schémata TVD vysokého řádu jsou založena na určitých metodách obnovy (rekonstrukce) hodnot funkcí na hranicích buněk z jejich hodnot ve středech sousedních buněk. V tomto případě je šablona obvodu variabilní a závisí na chování numerického řešení. Rekonstrukční algoritmy jsou založeny na použití speciálních omezovačů průtoku, které jsou postaveny tak, že obvod s omezovači má vlastnost TVD (.4)..3. Monotonizace schématu Laxe Wendroffa. Pokud je počáteční funkce v t = 0 dána ve tvaru kroku, pak na dalších časových vrstvách získáme podle Lax Wendroffova schématu krok zkreslený kmitáním (viz obr. 4). Ukazuje se ale, že schéma Laxe Wendroffa lze upravit tak, aby mělo 34
36 TVD-vlastnost (.4), a tudíž by se podle věty 3 stala schématem, které zachovává monotónnost numerického řešení. Koeficienty upraveného schématu však již nebudou konstantní, mohou záviset na řešení na n-tá vrstva, tj. upravený obvod bude nelineární. Uvažujme transportní rovnici (.1) v případě a = konst > 0. Lax Wendroffovo schéma (1.50) lze přepsat následovně: un +a un x,+1/ + un x, 1/ a () unx,+ 1/ un x, 1/ = 0, (.6) nebo un + au nx, 1/ + a (1 aæ) un x,+1/ un x, 1/ un = 0, (.7) + au nx , = a (1 aæ) un xx,. (.8) Pdp (1.79) protivětrného schématu obsahuje na pravé straně disipativní člen 0, 5a (1 aæ) u xx a v reprezentaci (.8) má stejný disipativní člen v rozdílovém tvaru opačné znamení. Schéma Lax Wendroff je tedy reprezentováno jako monotónní schéma s rozdílem proti proudu, doplněné o tzv. antidifúzní člen, který eliminuje disipativní člen v PDP schématu proti větru a mění jej na schéma Lax Wendroff. Snížením antidifúzního členu v místech, kde se mohou oscilace objevit, se lze pokusit jim zabránit. Antidifuzní člen v Laxově Wendroffově schématu (.7) regulujeme pomocí omezovací funkce Φ(ξ) nějakého argumentu ξ: un +au nx, 1/ + a (1 aæ) ((Φu nx) +1/ (Φu nx) 1/) = 0. (.9) Je-li Φ 0, pak máme monotónní protivětrné schéma prvního řádu aproximace. Je-li Φ 1, pak získáme Laxovo Wendroffovo schéma druhého řádu aproximace na hladkých řešeních, ale oscilujících na nespojitých řešeních. 35
37 V diferenčním schématu (.9) Φ +1/ = Φ(ξ +1/). Jako diskrétní argument ξ +1/ zvolíme unx, 1/ ξ +1/ = un pro unx,+1/ 0, x,+1/ (.30) 1 pro unx,+1/ = 0. Na oscil. řešením se poměr unx, 1/ /un x,+1/ stane záporným; proto pro ξ +1/< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ >0. Funkci limiteru volíme tak, aby schéma splňovalo podmínku TVD (.3) a na hladkých řešeních zachovalo druhý řád aproximace. K tomu transformujeme upravené Lax Wendroffovo schéma (.9) do tvaru (.): nebo un + au nx, 1/ + a (1 aæ) ((Φ ξ un [ + a aæ ((Φ) ξ ) +1/ + 1/ Φ 1/) unx, 1/ = 0, Φ 1/)] unx, 1/ = 0. Koeficienty schématu (.9) zapsaného jako (.) jsou tedy určeny vzorci [ C + +1 / = 0, C 1/ = a aæ ((Φ))] ξ Φ 1/. +1/ Podle věty 3 podmínka 0 C 1/ 1 æ (.31) zaručí, že Laxovo Wendroffovo schéma s do něj zavedenou funkcí limiteru zachová monotónnost numerického řešení. Dále předpokládáme, že podmínka stability pro schéma Lak-36
Wendroffova podmínka je splněna, tj., aæ 1. Pak, aby nerovnosti (.31) byly platné pro všechna aæ 1, je nutné a postačující, aby platily nerovnosti (Φ) ξ +1/ Φ 1/ a pro to stačí vyžadovat, aby pro všechny následující nerovnosti: (Φ) 0, 0 Φ +1/. ξ +1/ Oblast v rovině proměnných Φ a ξ, ve které tyto nerovnosti platí, je znázorněna na Obr. 5, a. Leží-li graf funkce Φ = Φ(ξ) v této oblasti, pak upravené schéma (.9) zachová monotónnost numerického řešení. Φ Φ= Φ Φ = Φ = ξ Φ = ξ Φ=ξ 1 1 Φ = a ξ b ξ 5. a ve stínované oblasti je upravené schéma Lax Wendroff (.9) schéma TVD; b v oblasti s dvojitým šrafováním je upravené schéma Laxe Wendroffa TVD schématem druhého řádu aproximace, dále tedy budeme předpokládat, že Φ(ξ) = 0 pro ξ 0, 0 Φ(ξ) min(, ξ) pro ξ > 0. ( .3) Nyní prozkoumáme řád aproximace upraveného schématu za předpokladu, že spojitá funkce Φ = Φ(ξ) splňuje 37
39 na následující další omezení: Φ(ξ 1) Φ(ξ) L ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) Φ(1) = 1, (.34) tj. požadujeme, aby funkce Φ = Φ (ξ) splňuje Lipschitzovu podmínku s nějakou konstantou L > 0 a graf této funkce prochází bodem (1, 1). Přepišme upravené schéma Lax Wendroff (.9) jako původní schéma Lax Wendroff (.7) s dodatečným členem, kde un + au nx, 1/ + a (1 aæ) (unx,+1/ un x, 1 /) + + a (1 aæ) Rn = 0, (.35) R n = (Φ +1/ 1) unx,+1/ (Φ 1/ 1) unx, 1/. (.36) Nechť u = u(x, t) je dostatečně hladké řešení Cauchyho úlohy (.1), (.). Toto řešení dosadíme do výrazu (.36), zachováme všechny předchozí zápisy, ale vezmeme v úvahu, že nyní u n x,+1/ = u(x +1, t n) u(x, t n). (.37) Je zřejmé, že pokud je na n-té časové vrstvě funkce u(x, tn) lineární, u(x, tn) = Bx + C, pak R n 0. Pomocí podmínek (.33), (. 34) , je snadné to ověřit kvadratická funkce u(x, tn) = Ax + Bx + C (A 0) rovnost R n = O() platí pro všechny uzly libovolného číselného intervalu (α, β), který neobsahuje bod extrému x = B/A . V obecném případě platí následující tvrzení. Lemma.1. Nechť jsou splněny podmínky (.33), (.34) a dostatečně hladké řešení Cauchyho úlohy (.1), (.) splňuje podmínku ux (x, tn) 0 x [α, β] na nějakém číselném intervalu [a, p]. (.38) Potom R n = O() x (α, β). (0,39) 38
Diferenční schémata pro nelineární problémy. Kvazilineární transportní rovnice. Pro numerické řešení nelineárních úloh v různých situacích se používají lineární i nelineární schémata. Udržitelnost relevantních
FEDERÁLNÍ AGENTURA PRO VZDĚLÁVÁNÍ STÁTNÍ UNIVERZITA V NOVOSIBIRSKÉM ŠTÁTU Fakulta mechaniky a matematiky G. S. Khakimzyanov, S. G. Cherny VÝPOČTOVÉ METODY Část 3. Numerické metody řešení problémů
Teorie stability diferenčních schémat 1 Stabilita řešení Cauchyho úlohy vzhledem k počátečním datům a pravé straně Nechť B je Banachův (tj. úplný normovaný) prostor funkcí definovaných v nějaké doméně
Základní pojmy teorie diferenčních schémat. Příklady konstrukce diferenčních schémat pro počáteční okrajové úlohy. Velké množství problémů ve fyzice a technologii vede k okrajovým nebo počátečním okrajovým problémům pro lineární
Diferenciální rovnice. 1999. V.35. 6. S.784-792. MDT 517,957 JEDINEČNÁ ŘEŠITELNOST OHRANIČNÍHO PROBLÉMU PRO ELIPTICKÉ ROVNICE S NONLINEARITAMI Yu.V. Zhernovyi 1. Úvod. Formulace problému. Většina
Diferenční aproximace počátečního okrajového problému pro oscilační rovnici. Explicitní ("křížové" schéma) a implicitní rozdílová schémata. Uvažujme několik variant diferenční aproximace rovnice lineárního kmitání:
Kapitola IV. První integrály systémů ODR 1. První integrály autonomních systémů obyčejných diferenciálních rovnic V této části budeme uvažovat autonomní systémy tvaru f x = f 1 x, f n x C 1
Diferenční aproximace počátečního okrajového problému pro rovnici tepla. Pojem explicitní a implicitní schéma. 1 Diferenční aproximace rovnice tepla
Teorie stability diferenčních schémat 1 Operátorsko-diferenční schémata 1.1 Úvod
Přenosové rovnice. Schémata "běžícího" výpočtu
Skalko Yury Ivanovič Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander Vlnová rovnice druhého řádu Vlnová rovnice ve tvaru rovnice druhého řádu se zapisuje jako 2 u t 2 = c2 2 u x 2 + f Doplňme rovnici
METODY VÝPOČTU Přednášející: prof. B. I. Kvasov, prof. G. S. Khakimzyanov 5 6 semestrů 1. Matematické modely a výpočetní experiment. Klasifikace rovnic matematické fyziky. Příklady správného
Diferenční schémata pro rovnici kmitů ve vícerozměrném případě Pro vícerozměrné rovnice kmitů je možné sestavit analogii schématu "kříže" a schématu implicitního. V tomto případě explicitní "křížové" schéma, stejně jako v jednorozměrném
Základní metody prostorové diskretizace Metoda konečných diferencí. Požadované hodnoty jsou hodnoty proměnných v některých bodech, uzlech mřížky konečných rozdílů. Chyba se snižuje jako N, kde je rozteč mřížky
Rovnice V algebře jsou uvažovány dva typy rovnosti - identity a rovnice. Identita je rovnost, která platí pro všechny platné) hodnoty písmen v ní obsažených. Pro identity se používají znaky
Nejjednodušší způsoby studia diferenčních schémat pro stabilitu Připomeňme, že diferenční schéma L h y h = ϕ h (x), x ω h, l h y h = χ h (x), x γ h, aproximující hraniční nebo počáteční okrajovou úlohu Lu
KAPITOLA STABILITA LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ V této kapitole je studována stabilita nejjednodušší třídy diferenciálních systémů lineárních systémů, zejména je zjištěno, že pro lineární systémy s konstantami
Siberian Mathematical Journal leden únor 2001. Ročník 42, 1
Kapitola 1 Diferenciální rovnice 1.1 Pojem diferenciální rovnice 1.1.1 Úlohy vedoucí k diferenciálním rovnicím. V klasické fyzice každý Fyzické množství je zarovnán
PŘEDNÁŠKY 8 9 Hille Yosidův teorém S 3. Definice a elementární vlastnosti maximálních monotónních operátorů V těchto dvou přednáškách symbol H označuje Hilbertův prostor se skalárem
Federální agentura pro vzdělávání Spolkový stát vzdělávací instituce vyšší odborné vzdělání JIŽNÍ FEDERÁLNÍ UNIVERZITA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodický
Moskevská státní univerzita Technická univerzita pojmenovaný po N.E. Bauman Fakulta základních věd Katedra matematického modelování А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryšenko
Modul Téma Funkční posloupnosti a řady Vlastnosti rovnoměrné konvergence posloupností a řad Mocninné řady Přednáška Definice funkčních posloupností a řad Jednotně
Diferenciální rovnice prvního řádu řešené s ohledem na derivaci Věta o existenci a jednoznačnosti pro řešení V obecném případě má diferenciální rovnice prvního řádu tvar F ()
KAPITOLA: Metoda konečných diferencí. Přednáška 5: Stabilita diferenčních schémat (10 snímků, 6 obrázků) Snímek 1: Klasifikace RS podle typů stability. Podle typů stability se rozlišují tyto RS: absolutně
MOSKVA STÁTNÍ TECHNICKÁ UNIVERZITA CIVILNÍHO LETECTVÍ V.M. Ljubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov kontrolní úkoly
Přednáška 9 Linearizace diferenciálních rovnic Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů Homogenní rovnice vlastnosti jejich řešení Vlastnosti řešení nehomogenních rovnic Definice 9 Lineární
FEDERÁLNÍ AGENTURA PRO VZDĚLÁVÁNÍ MOSKVA STÁTNÍ STAVEBNÍ UNIVERZITA Institut základního vzdělávání Fakulta všeobecně vzdělávacích Katedry - FOK Kmity nekonečné struny. d'Alembertova formule.
Přednáška 3 Věta o existenci a jednoznačnosti pro řešení skalární rovnice Sdělení problému Hlavní výsledek Uvažujme Cauchyho problém d f () d =, () =
Metody konstrukce diferenčních schémat Homogenní schémata pro rovnici druhého řádu s proměnnými koeficienty
VARIACE A EXTRÉM FUNKČNÍHO A. N. Měkké integrální rovnice a variační počet Přednáška Nechť je dán funkcionál V = V , y(x) M E. Stanovme funkci y (x) M. Potom libovolnou jinou funkci
Ekonomická diferenční schémata pro vícerozměrné problémy matematické fyziky. Schéma střídání směrů pro počáteční okrajovou úlohu pro rovnici tepla v obdélníku. Jak již bylo ukázáno
POJEM DERIVAČNÍ FUNKCE Nechť máme funkci definovanou na množině X a nechť bod X je vnitřní bod, bod, pro který existuje okolí X. Vezměte libovolný bod a označte jej jako
Rovnice hyperbolického typu. Vibrace nekonečné a polonekonečné struny. Fourierova metoda Fourierova metoda Stojaté vlny 4 Přednáška 4.1 Rovnice hyperbolického typu. Fluktuace nekonečna a polonekonečna
Úvodní informace k teorii diferenčních schémat 1 Sumační vzorce podle částí a Greenovy diferenční vzorce pro funkce mřížky
Přednáška 8 4 Problém Sturm-Liouville
II DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice prvního řádu Definice Vztahy, ve kterých jsou neznámé proměnné a jejich funkce pod derivačním nebo diferenciálním znaménkem, se nazývají
Přednáška 5 5 Věta o existenci a jednoznačnosti pro řešení Cauchyho úlohy pro normální systém ODR Sdělení úlohy Cauchyho úlohou pro normální systém ODR x = f (, x), () je najít řešení x =
Sestavil VPBelkin 1 Přednáška 1 Funkce více proměnných 1 Základní pojmy Závislost \u003d f (1, n) proměnné na proměnných 1, n se nazývá funkce n argumentů 1, n Dále se budeme zabývat
Kapitola 4. NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ OBYČEJNÝCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC A JEJICH SYSTÉMŮ
Metody řešení mřížkových rovnic 1 Přímé a iterační metody V důsledku rozdílové aproximace okrajových úloh matematické fyziky jsou získány SLAE, jejichž matice mají následující vlastnosti:
Popis výpočtových modelů equatio Capter Sectio.. Diferenční schémata pro rovnice parabolického typu Nejprve uvažujme nejjednodušší rovnici vedení tepla: u, t uxx náklady (.) Obr.. Zavádíme v oblasti
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ A VĚDY RUSKÉ FEDERACE Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání "NÁRODNÍ VÝZKUM TOMSKOVÁ POLYTECHNICKÁ UNIVERZITA"
Cauchyho úloha pro vlnovou rovnici. d'Alembertova formule 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 Nález společné rozhodnutí rovnice u tt a u xx..) Krok. Hledání změny proměnných Metoda přes
METODICKÉ POKYNY PRO VÝPOČTOVÉ ÚLOHY PRO KURZ VYŠŠÍ MATEMATIKY "ŘADY OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DVOJINTÉ INTEGRÁLY" ČÁST III TÉMATICKÁ ŘADA Obsah Řada Číselné řady Konvergence a divergence
Ústav matematiky a informatiky Základy vyšší matematiky Tréninkový a metodologický komplex pro studenty středního odborného vzdělávání studující s využitím distančních technologií Modul Diferenciální počet Sestavil:
KAPITOLA. STABILITA LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ 8 stupňů se znaménkem +, ze získaného vyplývá, že () π roste z na π. Tedy členy ϕ i() a k () +, tj. vektor (i) ϕ monotónně ϕ monotónně rostou jako
Moskevská státní technická univerzita pojmenovaná po N.E. Bauman Fakulta základních věd Katedra matematického modelování А.Н. Kanatnikov,
Kapitola 6 Základy teorie stability Přednáška Sdělení problému Základní pojmy Již dříve bylo ukázáno, že řešení Cauchyho úlohy pro normální systém ODR = f, () plynule závisí na počáteční podmínky v
Kapitola 9. Numerické metody. Přednáška 4. Eulerova diferenční metoda pro řešení Cauchyho úlohy pro diferenciální rovnice Eulerovy diferenciální a diferenční úlohy. Definice. Eulerův diferenciální problém
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Obecné pojmy Diferenciální rovnice mají četné a velmi různorodé aplikace v mechanice, fyzice, astronomii, technice a v dalších oblastech vyšší matematiky (např.
Lineární a nelineární rovnice fyziky Laplaceova rovnice v polárním souřadnicovém systému. Docent katedry VMMF Evgeniy Levchenko 518 Kapitola 5. Rovnice eliptického typu 25.2. Oddělení
Přednáška 3 Stabilita rovnováhy a pohybu soustavy Při uvažování ustálených pohybů zapisujeme rovnice narušeného pohybu ve tvaru d dt A Y kde sloupcový vektor je čtvercová matice konstantních koeficientů
Číselná řada Číselná řada Def Číselná posloupnost se nazývá numerická funkce definovaná na množině přirozená čísla x je společný člen posloupnosti x=, x=, x=, x=,
5 Mocninné řady 5 Mocninné řady: definice, obor konvergence Funkční řady tvaru (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) čísla se nazývají mocninné řady Čísla
Ministerstvo školství Ruská Federace MATI - RUSKÁ STÁTNÍ TECHNOLOGICKÁ UNIVERZITA pojmenovaná po K. E. TSIOLKOVSKIJ Katedra vyšší matematiky V. V. Gorbatsevich K. Yu Osipenko Parciální rovnice
