Diferenciální rovnice se zpožděním. Modelování dynamických systémů obyčejnými diferenciálními rovnicemi se zpožděním

Systémy se zpožděním se od dříve uvažovaných systémů liší tím, že v jednom nebo více svých spojích mají zpoždění v době začátku změny výstupní hodnoty (po začátku změny na vstupu) o hodnotu t, nazývaná doba zpoždění, a tato doba zpoždění zůstává konstantní ve všech následujících průběhu procesu.

Například pokud je odkaz popsán rovnicí

(aperiodický spoj 1. řádu), pak bude mít rovnice příslušného spoje se zpožděním tvar

(aperiodický spoj prvního řádu se zpožděním). Tento typ rovnice se nazývá rovnice s retardovaným argumentem,

Potom rovnici (6.31) zapíšeme obyčejně

se náhle změní z nuly na jedničku (obr. 6.20,

stojící na pravé straně rovnice odkazu,

). V obecném případě, jako pro (6.31), rovnici dynamiky libovolného spoje se zpožděním lze rozdělit na dvě:

což odpovídá podmíněnému rozpadu spoje se zpožděním (obr. 6.21, a) na dva: obyčejný spoj stejného řádu a se stejnými koeficienty a jemu předcházejícím prvkem zpoždění (obr. 6.21.6).

znamená dobu pohybu kovu z válců na tloušťkoměr. Ve dvě nedávné příklady veličina m se nazývá dopravní zpoždění.

V první aproximaci mohou být potrubí nebo dlouhá elektrická vedení obsažená ve spojích systému charakterizována určitou hodnotou zpoždění t.

znázorněno na Obr. 6.22, b, pak lze tento spoj přibližně popsat jako aperiodický spoj 1. řádu se zpožděním (6.31), přebírající hodnoty m, r a k z experimentální křivky (obr. 6.22, b).

Všimněte si také, že stejná experimentální křivka podle grafu na Obr. 6.22, c lze také interpretovat jako časovou charakteristiku obyčejné aperiodické vazby druhého řádu s rovnicí

ak lze vypočítat ze vztahů napsaných v § 4.5 pro daný spoj, z některých měření na experimentální křivce nebo jinými prostředky.

funkce (6.36) se jen málo liší od přenosové funkce spoje se zpožděním (6.35).

Rovnice libovolného lineárního spoje se zpožděním (6.33) bude nyní zapsána ve tvaru

Přenosová funkce lineárního spoje se zpožděním bude

je indikována přenosová funkce odpovídajícího běžného spoje bez zpoždění.

- modul a fáze frekvenční přenosové funkce spoje bez zpoždění.

Dostáváme tedy následující pravidlo.

Chcete-li vytvořit amplitudově fázovou charakteristiku jakéhokoli spoje se zpožděním, musíte vzít charakteristiku odpovídajícího běžného spoje a posunout každý z jeho bodů podél kruhu ve směru hodinových ručiček o úhel, kde w je hodnota frekvence oscilací při daný bod charakteristiky (obr. 6.23, a).

počáteční bod zůstává nezměněn a konec charakteristiky se vine asymptoticky kolem počátku (pokud je stupeň operátorového polynomu B menší než stupeň polynomu C).

Výše bylo řečeno, že skutečné přechodné jevy(časové charakteristiky) formuláře Obr. 6.22b lze často popsat se stejným stupněm aproximace jak rovnicí (6.31), tak (6.34). Amplitudo-fázové charakteristiky pro rovnice (6.31) a (6.34) jsou uvedeny na Obr. 6,23, a a b, v tomto pořadí. Zásadní rozdíl prvního z nich je v tom, že má bod D průsečíku s osou (/. Při porovnávání obou charakteristik mezi sebou a s experimentální amplitudově-fázovou charakteristikou reálného spoje je třeba vzít v úvahu nejen tvar křivky, ale také charakter rozložení frekvenčních značek ω podél ní.

Přenos funkce otevřeného systému bez zpoždění.

Charakteristická rovnice uzavřeného systému, jak je znázorněna v kap. 5 má tvar

Rovnice může mít nekonečný počet kořenů.

Výrazně se mění tvar amplitudově-fázové charakteristiky otevřeného obvodu, konstruovaného, ​​ale funkce přenosu frekvence

navíc se otevírání systému provádí podle určitého pravidla, které je uvedeno níže.

V důsledku toho se pro stabilitu lineárních systémů prvního a druhého řádu se zpožděním ukazuje, že již nestačí pouze kladnost koeficientů a pro systémy třetího a vyššího řádu se zpožděním jsou kritéria stability Vyshnegradsky, Routh a Hurwitz jsou nepoužitelní.

Níže budeme zvažovat definici stability pouze podle Nyquistova kritéria, protože jeho použití pro tento sing se ukazuje jako nejjednodušší.

1 Konstrukce amplitudově-fázové charakteristiky a studium stability podle Nyquistova kritéria se nejlépe provede, pokud je přenosová funkce systému s otevřenou smyčkou uvedena ve formě (6.38). K tomu je nutné správně otevřít systém.

Pro případ znázorněný na Obr. 6.24, a, otevření může být provedeno kdekoli v hlavním obvodu, například jak je znázorněno. Potom bude přenosová funkce otevřeného systému, která se shoduje ve formě s (6.41).

Pro případ znázorněný na Obr. 6.24, b, otevření hlavního obvodu dává výraz

funkce otevřené smyčky, nevhodné pro další výzkum:

Konečně v případě znázorněném na Obr. 6.24, c, když je systém otevřen na uvedeném místě, získáme výraz, který se také shoduje s (6.41):

Funkce přenosu frekvence (6.41) může být reprezentována jako

Proto uvádění výrazu (6.41) ve tvaru

Lineární systémy se zpožděním se nazývají takové automatické systémy, které mají obecně stejnou strukturu jako běžné lineární systémy (sekce II) a liší se od nich tím, že v jednom nebo více svých spojích mají zpoždění v čase začátku. změny výstupní veličiny (po začátku změny vstupu) o hodnotu zvanou doba zpoždění a tato doba zpoždění zůstává konstantní po celý další průběh procesu.

Pokud je například rovnice popsána obyčejná lineární vazba

(aperiodická vazba prvního řádu), pak bude mít rovnice příslušné lineární vazby se zpožděním tvar

(aperiodický spoj prvního řádu se zpožděním). Rovnice tohoto typu se nazývají rovnice s retardovaným argumentem nebo diferenciálně-diferenční rovnice.

Označte Potom rovnici (14.2) zapíšeme v běžném tvaru:

Pokud se tedy vstupní hodnota náhle změní z nuly na jednu (obr. 14.1, a), pak bude změna hodnoty stojící na pravé straně rovnice spoje znázorněna grafem na obr. 14.1b (skok o sekundu později). Nyní pomocí přechodové odezvy obyčejného aperiodického spoje, jak je aplikována na rovnici (14.3), získáme změnu výstupní hodnoty ve formě grafu na Obr. 14,1, c. To bude přechodová odezva aperiodického spoje prvního řádu se zpožděním (jeho aperiodická "inerciální" vlastnost je určena časovou konstantou T a zpoždění je určeno hodnotou

Lineární spojení se zpožděním. V obecném případě, jako pro (14.2), rovnice dynamiky libovolné lineární vazby se zpožděním může být

rozdělit na dva:

což odpovídá podmíněnému rozdělení lineárního spoje se zpožděním (obr. 14.2, a) na dva: obyčejný lineární spoj stejného řádu a se stejnými koeficienty a před ním zpožděným prvkem (obr. 14.2, b).

Časová charakteristika jakéhokoli spoje se zpožděním bude proto stejná jako u odpovídajícího běžného spoje, ale bude pouze posunuta podél časové osy doprava o .

Příkladem „čisté“ zpožďovací linky je akustická komunikační linka – doba přenosu zvuku). Dalšími příklady jsou systém automatického dávkování látky pohybující se pásovým dopravníkem - doba pohybu pásu v určité oblasti), dále systém regulace tloušťky válcovaného kovu, kde se rozumí doba pohybu kovu z rolí na tloušťkoměr

V posledních dvou příkladech se množství nazývá dopravní zpoždění.

V první aproximaci mohou být potrubí nebo dlouhá elektrická vedení obsažená ve spojích systému charakterizována určitým zpožděním (podrobněji o nich viz § 14.2).

Hodnotu zpoždění ve spoji lze určit experimentálně odstraněním časové charakteristiky. Pokud je například na vstup spoje aplikována určitá hodnota, brána jako jednota, na výstupu se získá experimentální křivka znázorněná na obr. 2. Obr. 14.3, b, pak lze tento spoj přibližně popsat jako aperiodický spoj 1. řádu se zpožděním (14.2), přebírající hodnoty z experimentální křivky (obr. 14.3, b).

Všimněte si také, že stejná experimentální křivka podle grafu na Obr. 14.3, c lze také interpretovat jako časovou charakteristiku obyčejné aperiodické vazby druhého řádu s rovnicí

navíc a k lze vypočítat ze vztahů napsaných v § 4.5 pro daný odkaz, podle některých měření na experimentální křivce, nebo jiným způsobem.

Takže z hlediska časové charakteristiky lze reálnou vazbu, přibližně popsanou rovnicí prvního řádu s retardovaným argumentem (14.2), často popsat se stejným stupněm aproximace obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu. (14,5). Chcete-li rozhodnout, která z těchto rovnic nejlépe odpovídá danému

reálného spoje, lze také porovnat jejich amplitudově-fázové charakteristiky s experimentálně zjištěnou amplitudově-fázovou charakteristikou spoje, která vyjadřuje jeho dynamické vlastnosti při vynucených vibracích. Konstrukce amplitudově-fázové charakteristiky spojů se zpožděním bude zvažována níže.

Pro jednotu v psaní rovnic uvádíme druhý ze vztahů (14.4) pro zpožďovací prvek ve tvaru operátora. Rozšiřujeme jeho pravou stranu v Taylorově řadě, dostáváme

nebo v dříve akceptované notaci symbolického operátoru,

Tento výraz se shoduje se vzorcem věty o zpoždění pro funkční obrazy (tab. 7.2). Pro čistě zpožďovací spoj tedy získáme přenosovou funkci ve tvaru

Všimněte si, že v některých případech lze přítomnost velkého počtu malých časových konstant v řídicím systému vzít v úvahu ve formě konstantního zpoždění rovného součtu těchto časových konstant. Nechť systém skutečně obsahuje sériově zapojené aperiodické spoje prvního řádu s koeficientem přenosu rovným jednotce a hodnotou každé časové konstanty. Pak bude výsledná přenosová funkce

Pokud pak v limitu dostaneme . Již u přenosové funkce (14.8) se málo liší od přenosové funkce spoje se zpožděním (14.6).

Rovnice libovolného lineárního spoje se zpožděním (14.4) bude nyní zapsána ve tvaru

Přenosová funkce lineárního spoje se zpožděním bude

kde označuje přenosovou funkci odpovídajícího běžného lineárního spoje bez zpoždění.

Frekvenční přenosovou funkci získáme z (14.10) dosazením

kde jsou moduly a fáze frekvenční přenosové funkce spoje bez zpoždění. Dostáváme tedy následující pravidlo.

Chcete-li sestavit amplitudově-fázovou charakteristiku jakéhokoli lineárního spoje se zpožděním, musíte vzít charakteristiku odpovídajícího běžného lineárního spoje a posunout každý z jeho bodů podél kruhu ve směru hodinových ručiček o úhel , kde je hodnota frekvence oscilací při daný bod charakteristiky (obr. 14.4, a).

Protože na začátku amplitudově-fázové charakteristiky a na konci zůstává počáteční bod nezměněn a konec charakteristiky se asymptoticky vine kolem počátku (pokud je stupeň operátorového polynomu menší než polynom

Výše bylo řečeno, že reálné přechodové procesy (časové charakteristiky) formy na Obr. 14.3, b lze často popsat se stejným stupněm aproximace jak rovnicí (14.2), tak (14.5). Amplitudo-fázové charakteristiky pro rovnice (14.2) a (14.5) jsou uvedeny na Obr. 14.4, a resp. Zásadní rozdíl prvního je v tom, že má bod D průsečíku s osou

Při porovnávání obou charakteristik mezi sebou a s experimentální amplitudově-fázovou charakteristikou reálného spoje je nutné vzít v úvahu nejen tvar křivky, ale také charakter rozložení frekvenčních značek o podél ní.

Lineární systém se zpožděním.

Nechte jednookruhové nebo víceokruhové automatický systém mezi svými odkazy má jeden odkaz se zpožděním. Pak rovnice této vazby má tvar (14.9). Pokud existuje několik takových spojů, mohou mít různé hodnoty zpoždění. Vše odvozeno v kapitole 5 obecné vzorce pro rovnice a přenosové funkce automatických řídicích systémů zůstávají platné pro libovolné lineární systémy se zpožděním, pokud se do těchto vzorců dosadí pouze hodnoty přenosových funkcí ve tvaru (14.10).

Například pro otevřený okruh sériově zapojených spojů, mezi nimiž jsou dva spoje se zpožděním, bude mít přenosová funkce otevřeného systému tvar

kde je přenosová funkce otevřeného obvodu bez zohlednění zpoždění rovná součinu přenosových funkcí spojů zapojených v sérii.

Při studiu dynamiky otevřeného obvodu sériově zapojených spojů je tedy nepodstatné, zda bude celé zpoždění soustředěno do jednoho spoje nebo rozloženo do různých spojů. Pro vícesmyčkové obvody budou získány složitější vztahy.

Pokud existuje vazba s negativní zpětnou vazbou, která má zpoždění, pak bude popsána rovnicemi;

ÚVOD

Ministerstvo školství Ruské federace

Mezinárodní vzdělávací konsorcium "Otevřené vzdělávání"

Moskva Státní univerzita ekonomika, statistika a informatika

ANO "Eurasian Open Institute"

E.A. Gevorkyan

Diferenciální rovnice zpoždění

Učebnice Průvodce studiem oboru

Sbírka úloh k disciplíně Učivo k disciplíně

Moskva 2004

Gevorkyan E.A. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE SE ZPOŽDĚNÝM ARGUMENTEM: Učebnice, průvodce studiem oboru, sbírka úkolů k oboru, tréninkový program obor / Moskevská státní univerzita ekonomie, statistiky a informatiky - M.: 2004. - 79 s.

Gevorkyan E.A., 2004

Moskevská státní univerzita ekonomie, statistiky a informatiky, 2004

Tutorial
Úvod ................................................. ................................................. .. .............................
1.1 Klasifikace diferenciálních rovnic s
deviantní argument. inscenování počáteční úkol................................................
1.2 Diferenciální rovnice s retardovaným argumentem. Kroková metoda. ........
1.3 Diferenciální rovnice se separovatelným
proměnné a se zpožděným argumentem ................................................ .............................................................
1.4 Lineární diferenciální rovnice s retardovaným argumentem..................................
1.5 Bernoulliho diferenciální rovnice s retardovaným argumentem. ...............
1.6 Diferenciální rovnice v totálních diferenciálech
se zpožděnou hádkou ................................................ ................................................................... ......................
KAPITOLA II. Periodické řešení lineárních diferenciálních rovnic
se zpožděnou hádkou ................................................ ................................................................... ......................
2.1. Periodické řešení lineárních homogenních diferenciálních rovnic
s konstantními koeficienty a se zpožděným argumentem ................................................. ....
2.2. Periodická řešení lineárního nehomogenního diferenciálu
..................
2.3. Komplexní forma Fourierovy řady ................................................. ............................................................ ...
2.4. Nalezení konkrétního periodického řešení lineárních nehomogenních
diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a retardované
argument rozšířením pravé strany rovnice ve Fourierově řadě ...................................... ............................. .
KAPITOLA III. Přibližné metody řešení diferenciálních rovnic
se zpožděnou hádkou ................................................ ................................................................... ......................
3.1. Přibližná expanzní metoda pro neznámou funkci
se zpožděným argumentem o stupně zpoždění................................................ ...........................
3.2. Přibližná Poincarého metoda. ................................................. ...................................
KAPITOLA IV. diferenciální rovnice zpoždění,
objevující se při řešení některých ekonomické úkoly
s přihlédnutím k časové prodlevě ................................................ ................................................................... .............................................

4.1. Hospodářský cyklus Koletského. Diferenciální rovnice

S koncový argument popisující změnu

zásoba peněžního kapitálu ................................................................. ...................................................... ........................
4.2. Charakteristická rovnice. Případ skutečného
kořeny charakteristické rovnice ................................................. ................................................................... ....
4.3. Případ komplexních kořenů charakteristické rovnice................................................ .........
4.4. diferenciální rovnice zpoždění,
(spotřeba v poměru k národnímu důchodu) ................................................. ...........
4.5. diferenciální rovnice zpoždění,
popisující dynamiku národního důchodu v modelech se zpožděním
(spotřeba roste exponenciálně s tempem růstu)................................................. ........................................
Literatura................................................. ................................................. ......................

Průvodce studiem disciplíny
2. Seznam hlavních témat ................................................ ...................................................... ........
2.1. Téma 1. Základní pojmy a definice. Klasifikace
diferenciální rovnice s odchylným argumentem.
Diferenciální rovnice zpoždění. ............................................
2.2. Téma 2. Vyjádření výchozího problému. Metoda kroku řešení
diferenciální rovnice s retardovaným argumentem. Příklady.................................
2.3. Téma 3. Diferenciální rovnice se separovatelným
proměnné a se zpožděnými argumenty. Příklady. ................................................. .
2.4. Téma 4. Lineární diferenciální rovnice
2.5. Téma 5. Bernoulliho diferenciální rovnice
se zpožděným argumentem. Příklady. ................................................. ...............................
2.6. Téma 6. Diferenciální rovnice v totálních diferenciálech
se zpožděným argumentem. Nezbytné a postačující podmínky. Příklady............
2.7. Téma 7. Periodické řešení lineárního homogenního diferenciálu
rovnice s konstantními koeficienty a s retardovaným argumentem.
2.8. Téma 8. Periodická řešení lineárního nehomogenního diferenciálu
rovnice s konstantními koeficienty a s retardovaným argumentem.
Příklady. ................................................. ................................................. .. ...................................
2.9. Téma 9. Komplexní forma Fourierovy řady. Nalezení soukromého periodika
řešení lineárních nehomogenních rovnic s konstantními koeficienty as
retardovaný argument rozšířením pravé strany rovnice do Fourierovy řady.
Příklady. ................................................. ................................................. .. ...................................
2.10. Téma 10. Přibližné řešení diferenciálních rovnic s
zpožděný argument metoda rozkladu funkce ze zpoždění
podle stupňů zpoždění. Příklady ................................................. ......................................
2.11. Téma 11. Přibližná Poincareho metoda pro nalezení periodika
řešení kvazilineárních diferenciálních rovnic s malým parametrem a
se zpožděným argumentem. Příklady. ................................................. ...............................

2.12. Téma 12. Ekonomický cyklus Koletského. Diferenciální rovnice

S zpožděný argument pro funkci K(t), ukazující stav hotovosti

fixní kapitál v čase t ............................................. .................................................. ...
2.13. Téma 13. Analýza charakteristické rovnice odpovídající
diferenciální rovnice pro funkci K(t). ................................................. ............
2.14. Téma 14. Případ komplexních řešení charakteristické rovnice
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Téma 15. Diferenciální rovnice pro funkci y(t), zobrazení
spotřební funkce má tvar c(t -τ ) = (1 - α ) y (t -τ ), kde α je konstantní rychlost
akumulace výroby ................................................ ............................................................. ............
2.16. Téma 16. Diferenciální rovnice pro funkci y(t), zobrazení
národní důchod v modelech se zpožděním kapitálových investic za předpokladu, že
spotřebitelská funkce má tvar c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ........................... ....................................
Sbírka úkolů pro disciplínu ................................................ ..................................................
Učební plán podle oborů ................................................ ................................................................... ....

Tutorial

ÚVOD

Úvod

Přítomnost tutorial věnovaný prezentaci metod pro integraci diferenciálních rovnic s retardovaným argumentem vyskytujícím se v některých technických a ekonomických problémech.

Výše uvedené rovnice obvykle popisují jakékoli procesy s následným efektem (procesy se zpožděním, s časovým zpožděním). Například, když ve zkoumaném procesu hodnota veličiny, která nás zajímá, v čase t závisí na hodnotě x v čase t-τ, kde τ je časové zpoždění (y(t)=f). Nebo, když hodnota veličiny y v čase t závisí na hodnotě stejné veličiny v čase

méně t-τ (y(t)=f).

Popsané procesy diferenciální rovnice s retardovaným argumentem se vyskytují jak v přirozeném, tak v ekonomické vědy. V druhém případě je to způsobeno jednak existencí časové prodlevy ve většině vazeb společenského výrobního cyklu, jednak přítomností investičních prodlev (období od začátku projektování objektů do uvedení do provozu na plnou kapacitu), demografických zpoždění ( období od narození do vstupu do produktivního věku a nástup do zaměstnání po ukončení studia).

Zohlednění časové prodlevy při řešení technických a ekonomických problémů je důležité, neboť přítomnost prodlevy může výrazně ovlivnit charakter získaných řešení (např. za určitých podmínek může vést k nestabilitě řešení).

S ZAPOUŠTĚJÍCÍ ARGUMENT

KAPITOLA I. Metoda kroků pro řešení diferenciálních rovnic

S koncový argument

1.1. Klasifikace diferenciálních rovnic s odchylným argumentem. Vyjádření počátečního problému

Definice 1. Diferenciální rovnice s odchylným argumentem se nazývají diferenciální rovnice, ve kterých neznámá funkce X(t) vstupuje pro různé hodnoty argumentu.

X(t) = f ( t, x (t), x),

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ
X(t) = ft, x(t), x(t), x(t/2), x(t/2).

(t)]

Definice 2. Diferenciální rovnice s retardovaným argumentem je diferenciální rovnice s odchylným argumentem, ve které se derivace neznámé funkce nejvyššího řádu objevuje na stejných hodnotách argumentu a tento argument není menší než všechny argumenty neznámá funkce a její derivace zahrnuté v rovnici.

Všimněte si, že podle Definice 2 budou rovnice (1) a (3) za podmínek τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 rovnicemi s retardovaným argumentem, rovnice (2) bude rovnicí

se zpožděným argumentem, pokud τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, rovnice (4) je rovnice se zpožděným argumentem, protože t ≥ 0.

Definice 3. Diferenciální rovnice s vedoucím argumentem je diferenciální rovnice s odchylným argumentem, ve které se derivace nejvyššího řádu neznámé funkce vyskytuje při stejných hodnotách argumentu a tento argument není větší než zbytek argumenty neznámé funkce a její derivace zahrnuté v rovnici.

Příklady diferenciálních rovnic s vedoucím argumentem:

X(t)=

X(t)=

X(t)=

f ( t, x(t), x[t + τ (t)]),

f [ t , x (t ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )] ,

ft, x (t), x. (t), x [t + τ (t)], x. [ t + τ

(t)].

já KROKOVANÁ METODA ŘEŠENÍ ROVNICE DIFERENCIÁLŮ

S ZAPOUŠTĚJÍCÍ ARGUMENT

Definice 4. Diferenciální rovnice s odchylným argumentem, které nejsou rovnicemi s retardovaným nebo vedoucím argumentem, se nazývají diferenciální rovnice neutrálního typu.

Příklady diferenciálních rovnic s odchylným argumentem neutrálního typu:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ), x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Všimněte si, že podobná klasifikace se také používá pro systémy diferenciálních rovnic s odchylným argumentem nahrazením slova "funkce" slovem "vektorová funkce".

Zvažte nejjednodušší diferenciální rovnici s odchylným argumentem:

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ) ] ,

kde τ ≥ 0 a t − τ ≥ 0 (ve skutečnosti uvažujeme diferenciální rovnici s retardovaným argumentem). Hlavní počáteční úkol při řešení rovnice (10) je následující: určit spojité řešení X (t) rovnice (10) pro t > t 0 (t 0 -

pevný čas) za předpokladu, že X (t ) = ϕ 0 (t ), když t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 , kde ϕ 0 (t ) je daná spojitá počáteční funkce. Úsek [ t 0 − τ , t 0 ] se nazývá počáteční množina, t 0 se nazývá počáteční bod. Předpokládá se, že X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (obr. 1).

X (t) \u003d ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t0 + τ		0 + τ
Pokud zpoždění τ		v rovnici (10) závisí na čase t		(τ = τ (t )) , pak počáteční

Úloha je formulována následovně: najděte řešení rovnice (10) pro t > t 0, pokud je známa počáteční funkce X (t ) = ϕ 0 t pro t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

Příklad. Najděte řešení rovnice.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
pro t > t 0 = 0, jestliže počáteční funkce X (t ) = ϕ 0 (t ) pro (t 0 − cos2 t 0 ) |	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

já KROKOVANÁ METODA ŘEŠENÍ ROVNICE DIFERENCIÁLŮ

S ZAPOUŠTĚJÍCÍ ARGUMENT

Příklad. Najděte řešení rovnice

	X (t) = f [ t, x(t) , x(t/2)]			v (t	−t	/ 2) |
	t > t 0 = 1, pokud počáteční funkce X (t ) = ϕ t						≤ t ≤ t
						t = 1			t = 1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Všimněte si, že počáteční funkce je obvykle specifikována nebo nalezena experimentálně (hlavně v technických problémech).

1.2. Diferenciální rovnice zpoždění. Kroková metoda

Uvažujme diferenciální rovnici s retardovaným argumentem.

Je potřeba najít řešení rovnice (13) pro t ≥ t 0 .

K nalezení řešení rovnice (13) pro t ≥ t 0 použijeme krokovou metodu (metoda postupné integrace).

Podstata krokové metody spočívá v tom, že nejprve najdeme řešení rovnice (13) pro t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , poté pro t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ atd. Zároveň si například všimneme, že protože v oblasti t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ se argument t − τ mění v rámci t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 , pak v rovnici

(13) v této oblasti můžeme místo x (t − τ ) vzít počáteční funkci ϕ 0 (t − τ ) . Pak

získáme to, abychom našli řešení rovnice (13) v oblasti t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ je třeba znovu-
sešít obyčejnou diferenciální rovnici bez prodlení ve tvaru:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ) ] ,
X(t) = f
pro to ≤ t ≤ t0 + τ	s počáteční podmínkou X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (viz obr. 1).
	nalezení řešení tohoto počátečního problému ve tvaru X (t) = ϕ 1 (t) ,	můžeme zveřejnit-

vyřešit problém hledání řešení na segmentu t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ atd.

Takže máme:

			0 (t − τ ) ] ,
	X(t) = f [t, x(t), ϕ
v t 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
pro t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ ,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1 (t 0 + τ ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
pro t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ ,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ),
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
pro t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ),
	ϕ i (t) je	řešení uvažované iniciály		úkoly na segmentu
t 0 + (i −1 ) ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

já KROKOVANÁ METODA ŘEŠENÍ ROVNICE DIFERENCIÁLŮ

S ZAPOUŠTĚJÍCÍ ARGUMENT

Tato metoda kroků pro řešení diferenciální rovnice s retardovaným argumentem (13) nám umožňuje určit řešení X (t) na určitém konečném intervalu změny t.

Příklad 1. Pomocí metody kroků najděte řešení diferenciální rovnice prvního řádu s retardovaným argumentem

	(t) = 6 X (t − 1 )
v oblasti 1 ≤ t ≤ 3, pokud má počáteční funkce pro 0 ≤ t ≤ 1 tvar X (t) = ϕ 0 (t) = t .
Řešení. Nejprve najdeme řešení rovnice (19) v oblasti 1 ≤ t ≤ 2 . Pro toto v
(19) nahradíme X (t − 1) ϕ 0 (t − 1), tj.
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
a vzít v úvahu X (1) = ϕ 0 (1) = t |
Takže v oblasti 1 ≤ t ≤ 2 dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici tvaru
	(t )= 6 (t − 1 )
nebo dx(t)	6 (t-1).
Řešením s přihlédnutím k (20) získáme řešení rovnice (19) pro 1 ≤ t ≤ 2 ve tvaru
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 ( t − 1 ) 2 + 1.
Abychom našli řešení v oblasti 2 ≤ t ≤ 3 v rovnici (19), nahradíme X (t − 1)
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Pak dostaneme obyčejný		rozdíl
rovnice:
	(t ) = 6[ 3 (t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
jehož řešení má tvar (obr. 2)
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Logistickou rovnici časového zpoždění lze aplikovat na studium interakcí predátor-kořist. limitní cykly podle logistické rovnice.
Existence časového zpoždění umožňuje uplatnit další způsob modelování jednoduchého systému vztahů predátor-kořist.

Tato metoda je založena na logistické rovnici (část 6.9):

Tabulka 10.1. Zásadní podobnost populační dynamiky získaná v modelu Lotka-Volterra (a obecně na modelech typu dravec-kořist) na jedné straně a v logistickém modelu s časovým zpožděním na straně druhé. V obou případech existuje čtyřfázový cyklus s maximy (a minimy) početnosti predátorů po maximech (a minimech) početnosti kořisti.

Rychlost růstu populace predátorů v této rovnici závisí na počáteční abundanci (C) a specifické rychlosti růstu, r-(K-C) I Kf, kde K je mez nasycení populace predátorů. Relativní rychlost je zase závislá na míře nedostatečného využití prostředí (C-C), kterou lze v případě populace predátora považovat za míru, o kterou potřeby predátora převyšují dostupnost kořisti. Dostupnost kořisti, a tedy relativní rychlost růstu populace predátorů, však často odráží hustotu populace predátorů v určitém předchozím časovém období (oddíl 6.8.4). Jinými slovy, může dojít k časové prodlevě v reakci populace predátorů na její vlastní hustotu:
dC`l (Know-Iag\
- - G. Gnow j.
Pokud je toto zpoždění malé nebo se predátor reprodukuje příliš pomalu (tj. hodnota r je malá), pak se dynamika takové populace nebude výrazně lišit od dynamiky popsané jednoduchou logistickou rovnicí (viz květen 1981a). Při středních nebo vysokých hodnotách doby zpoždění a rychlosti reprodukce populace osciluje se stabilními limitními cykly. Kromě toho, pokud tyto stabilní limitní cykly nastanou podle logistické rovnice s časovým zpožděním, pak je jejich trvání (nebo „období“) přibližně čtyřikrát delší než trvání

obětí, abychom pochopili mechanismus kolísání jejich počtu.
Existuje řada příkladů získaných z přirozených populací, ve kterých lze nalézt pravidelné kolísání počtu predátorů a kořisti. Jsou projednány v odd. 15,4; zde bude užitečný pouze jeden příklad (viz Keith, 1983). Kolísáním populace zajíců se ekologové zabývali již od dvacátých let našeho století a myslivci je objevili o 100 let dříve. Například zajíc americký (Lepus americanus) v boreálních lesích Severní Amerika má „10letý populační cyklus“ (ačkoli ve skutečnosti se jeho délka pohybuje od 8 do 11 let; obr. B). Mezi býložravými zvířaty této oblasti převládá bílý zajíc; živí se špičkami výhonků četných keřů a malých stromů. Kolísání jeho početnosti odpovídá kolísání početnosti řady predátorů včetně rysa (Lynx canadensis). 10leté cykly abundance jsou charakteristické i pro některá další býložravá zvířata, jmenovitě tetřev obojkový a tetřev americký. V populacích zajíců často dochází k 10-30násobným změnám početnosti a za příznivých podmínek lze pozorovat i 100násobné změny. Tyto výkyvy jsou obzvláště působivé, když k nim dochází téměř současně na rozsáhlém území od Aljašky po Newfoundland.
Úbytek zajíce polního je doprovázen nízkou plodností, nízkým přežíváním mláďat, úbytkem hmotnosti a nízkou rychlostí růstu; všechny tyto jevy mohou být reprodukovány v experimentu, čímž se zhorší podmínky výživy. Navíc přímá pozorování skutečně potvrzují pokles dostupnosti potravy v obdobích maximální abundance zajíců. I když, možná důležitější je, rostliny reagují na silné pojídání tvorbou výhonků s vysokým obsahem toxických látek, díky čemuž jsou pro zajíce nepoživatelné. A je obzvláště důležité, aby rostliny zůstaly takto chráněny 2-3 roky po silném okusování. To vede ke zpoždění mezi začátkem poklesu početnosti zajíce a obnovením jeho potravních zásob, které se rovná přibližně 2,5 roku. Dva a půl roku – a tam je právě to zpoždění v čase, které je čtvrtinou doby trvání jednoho cyklu, což přesně odpovídá předpovědím na jednoduchých modelech. Zdá se tedy, že mezi populací zajíců a populacemi rostlin existuje interakce, která snižuje počet zajíců a vyskytuje se s časovým zpožděním, což způsobuje cyklické výkyvy.
Dravci naopak kolísání početnosti zajíce s největší pravděpodobností sledují a nezpůsobují je. Kolísání je však patrně výraznější vzhledem k vysokému poměru počtu predátorů k počtu kořisti v období poklesu početnosti zajíce a také kvůli jejich nízkému poměru v období po minimální početnosti. zajíci, když před predátorem obnoví své počty (obr. 10.5). Navíc s vysokým poměrem počtu rysů k počtu zajíců sežere dravec velké množství horské zvěře a při nízkém poměru - malé množství. To zřejmě způsobuje kolísání počtu těchto drobných býložravců (obr. 10.5). Interakce zajíc-rostlina tedy způsobuje výkyvy v početnosti zajíce, dravci opakují výkyvy v početnosti a populační cykly u býložravých ptáků jsou způsobeny změnami tlaku predátorů. Jednoduché modely jsou samozřejmě užitečné pro pochopení mechanismů populačních fluktuací přírodní podmínky Tyto modely však plně nevysvětlují výskyt těchto oscilací.

Problémy pro rovnice se zpožděním. Uvažujme variační problém, ve kterém řízení určuje fázovou trajektorii systému pomocí Cauchyho problému pro rovnici se zpožděním

V literatuře se takové systémy často nazývají systémy simultánních rovnic, to znamená, že zde se závislá proměnná jedné rovnice může objevit současně jako proměnná (ale již jako nezávislá) v jedné nebo více dalších rovnicích. Tradiční rozlišování mezi závislými a nezávislými proměnnými v tomto případě ztrácí smysl. Místo toho se rozlišují dva druhy proměnných. Jedná se za prvé o společně závislé proměnné (endogenní), jejichž vzájemný vliv je třeba zkoumat (matice A v členu Ay t) výše uvedené soustavy rovnic). Za druhé, předdefinované proměnné, které mají ovlivňovat ty první, ale nejsou jimi ovlivněny, jsou lag proměnné, tzn. zpoždění (druhý člen) a exogenní proměnné definované mimo daný systém rovnic.

Pro rovnice s obecnými typy zpoždění a více či méně dalekosáhlou specifikací zbytku však stále neexistují dostatečně spolehlivé výsledky týkající se vlastností odhadů. Odhady pro regresní rovnici s obecnou polynomickou formou zpoždění mají tedy pouze vlastnost konzistence a odhady pro rovnice se zpožděnými exogenními a endogenními proměnnými získané tříkrokovou metodou nejmenších čtverců (za přítomnosti Markovovy reziduální autokorelace prvního řádu ) tuto vlastnost ani nemají (viz obr. rozbor známek v ).

Při syntéze vysokorychlostních systémů s maximální mírou stability je tedy nejprve nutné určit optimální hodnoty bj, které zajistí splnění podmínky (4), ng a ω, (1=1, n), pak najděte c/, při kterém (10) a nakonec z podmínky (12) pro danou hodnotu C zvolte dj. Komentář. Z uvažovaných případů vyplývá, že struktury optimálních řešení, tj. počet reálných a komplexně sdružených párů krajně pravých kořenů, jejich kombinace, multiplicity a v důsledku toho i typy hodografů optimálních řešení v rovině X , závisí na rozměru kontroly m (1.2) a pro dostatečně vyšší řády n (1.1) nezávisí na samotné hodnotě n. Jinými slovy, každé dané m odpovídá svému vlastnímu přesně definovanému počtu struktur optimální řešení nová optimální řešení. Proto pro n - > QO zůstává možnost syntetizovat systémy maximálního stupně stability, struktury optimálních řešení jsou určeny pouze m, což znamená, že pro libovolné m jsou struktury optimálních řešení známy i pro objekty s zpoždění.

Vyvstává otázka, jak určit hodnotu časového zpoždění u jednotlivých indikátorů, pro určení vhodných časových zpoždění používáme korelační analýzu časových řad dat. Hlavním kritériem pro stanovení časového zpoždění je největší hodnota koeficientu vzájemné korelace pro časovou řadu ukazatelů s různou dobou zpoždění jejich vlivu na míru inflace. V důsledku toho bude mít rovnice následující tvar

Metoda S. d. navíc umožňuje propojit v rámci jednoho modelu četné toky (fyz. kontrola a informace) a úrovně kapitálových investic a nakládání s prostředky kumulujícími tyto toky s úrovní zákl. kapitálu, porodnosti a úmrtnosti v různých věkových skupinách s věkovou strukturou populace atd. -rykh se hodí k celkem jednoduché experimentální studii stability v závislosti na parametrech a struktuře samotného modelu.

Pravidla lze také seskupit podle jiných kritérií. Například pro nástroj měnové politiky (směnný kurz, úroková sazba nebo peněžní agregát) pro přítomnost zahraničních ekonomických vztahů (otevřená nebo uzavřená ekonomika) pro zahrnutí prognózy ekonomických proměnných do rovnice pravidla (forwardová a adaptivní pravidla) pro velikost zpoždění (se zpožděním nebo bez něj) atd.

Model s přihlédnutím k době letu střely a zpoždění přenosu palby umožňuje zohlednit zpoždění v systému včasného varování před útokem nepřátelské rakety a systému vesmírného sledování jeho jaderné střely. síly. Tento model je definován rovnicemi

Blok konstantního zpoždění BPZ-2M je navržen pro reprodukci funkcí s argumentem zpoždění v analogových výpočetních zařízeních a lze jej použít při elektrickém modelování procesů spojených s transportem hmoty nebo přenosem energie, při aproximaci rovnic komplexních vícekapacitních objektů. rovnicemi prvního a druhého řádu se zpožděním.

Rozhodovací funkce jsou formulací linie chování, která určuje, jak dostupné informace o hladinách vedou k volbě rozhodnutí souvisejících s hodnotami aktuálních průtoků. Rozhodovací funkce může mít podobu jednoduché rovnice, která určuje nejjednodušší reakci materiálového toku na stavy jedné nebo dvou úrovní (např. výkon dopravního systému lze často adekvátně vyjádřit počtem zboží v tranzitu). , což je úroveň a konstanta - průměrné zpoždění za dobu přepravy) . Na druhé straně rozhodovací funkce může být dlouhý a propracovaný řetězec výpočtů prováděných s přihlédnutím ke změnám řady dalších podmínek.

V současnosti není zcela jasné, jaký faktor je hlavním důvodem absence rozsivek na Bajkalu v chladných obdobích. V [Grachev et al., 1997] je za rozhodující považováno zvýšené zakalení vody způsobené prací horských ledovců, v [Gavshin et al., 1998] je hlavním poklesem koncentrace křemíku v důsledku k vyblednutí eroze v povodí Bajkalu. Modifikace modelu (2.6.7), kde první rovnice popisuje dynamiku koncentrace křemíku a druhá - dynamika sedimentace suspendovaných látek, nám umožňuje navrhnout přístup k identifikaci, který z těchto dvou faktorů je hlavní . Je jasné, že vzhledem k obrovskému vodní hmota Biota Bajkalu bude reagovat na změnu klimatu s určitým zpožděním ve srovnání s reakcí rostlinných společenstev v povodí jezera. Proto musí signál rozsivky za palynologickým signálem zaostávat. Pokud je hlavním důvodem mizení rozsivek v chladných obdobích pokles koncentrace křemíku, pak by taková zpoždění v reakcích na oteplení měla být větší než zpoždění ochlazení. Pokud je hlavním faktorem potlačení rozsivek zákal v důsledku ledovců, pak by zpoždění reakcí na ochlazení mělo být přibližně stejné nebo dokonce větší než na oteplení.

Poslední rovnice, jak si čtenář mohl všimnout, popisuje chování nejjednoduššího samonastavovacího mechanismu s proporcionálním zpožděním. Příloha A poskytuje blokové schéma ukazující

Procedura PERRON97 v tomto případě určuje datum přerušení jako 1999 07, pokud je výběr data přerušení proveden podle minima - statistika jednotkového kořenového kritéria ta=i, převzaté všechny možné body zlomu. Zároveň ta= = - 3,341, což je nad 5 % kritické úrovně - 5,59, a hypotéza jednotkového kořene není zamítnuta. Největší zpoždění rozdílů obsažených v pravé straně rovnic je zvoleno 12 v rámci aplikace GS procedury pro redukci modelu s 10% hladinou významnosti.