Řešení frakcí rovnic do stupně x. Jaká je orientační rovnice a jak to vyřešit
Řešení orientačních rovnic. Příklady.
Pozornost!
Toto téma má další
Materiály ve speciální části 555.
Pro ty, kteří jsou silně "ne příliš ..."
A pro ty, kteří jsou "velmi ...")
Co orientační rovnice? Tato rovnice, ve které nejsou neznámé (Xers) a výrazy s nimi, jsou v indikátory Některé stupně. A jen tam! To je důležité.
Tady jsi příklady konzumační rovnice :
3 x · 2 x \u003d 8 x + 3
Poznámka! V areálu stupňů (níže) pouze čísla. V indikátory Degnese (nahoře) - široká škála výrazů s XA. Pokud se najednou ex vypne v rovnici někde, s výjimkou ukazatele, například:
bude to již smíšený typová rovnice. Tyto rovnice nemají jasná pravidla pro řešení. Ještě neuvidíme. Zde se budeme zabývat Řešením exponenciálních rovnic v čisté formě.
Ve skutečnosti jsou i čisté orientační rovnice jasně vyřešeny daleko. Existují však určité typy orientačních rovnic, které lze vyřešit a potřebovat. Zde jsou tyto typy, na které se podíváme.
Řešení nejjednodušších indikativních rovnic.
Chcete-li začít, rozhoduji se něco zcela základního. Například:
I bez teorií je jasné, že jednoduchý výběr, že x \u003d 2. Více, vpravo, vpravo!? Žádná jiná hodnota rolí ICA. A teď se podíváme na záznam řešení tohoto mazaného orientační rovnice:
Co jsme udělali? Ve skutečnosti jsme prostě hodili stejné základy (tři). Zcela vyhozovali. A co se těší, dostal do bodu!
Skutečně, pokud v orientační rovnici vlevo a vpravo stejný Čísla v jakýchkoliv stupních, tato čísla mohou být odstraněna a srovnávána stupně. Matematika umožňuje. Zbývá být drahá mnohem jednodušší rovnice. Skvělé, že?)
Nicméně, pamatujte si železo: základy můžete odstranit pouze v případě, že vlevo a vpravo od země je v pyšné osamělosti! Bez sousedů a koeficientů. Řekněte, v rovnicích:
2 x +2 x + 1 \u003d 2 3, nebo
dvojitý nelze odstranit!
No, nejdůležitější věc, kterou jsme zvládli. Jak se přestěhovat ze zlých orientačních výrazů na jednodušší rovnice.
"To je časy!" - Řeknete. "Kdo dá takový primitiv na kontrolu a zkouškách!"
Nucen souhlasit. Nikdo nedá. Ale teď víte, kde se při řešení volných příkladů usilujete. Je nutné jej přivést do formuláře, když vlevo - stejné číslo je stejné číslo. Dále bude vše snazší. Vlastně je to klasika matematiky. Vezměte si původní příklad a převést jej na požadované nás Pohled. Podle pravidel matematiky samozřejmě.
Zvažte příklady, které vyžadují určité další úsilí o jejich nejjednodušší. Zavolejme je jednoduché orientační rovnice.
Řešení jednoduchých orientačních rovnic. Příklady.
Při řešení orientačních rovnic je hlavní pravidla - akce s tituly. Bez znalosti těchto akcí nic nebude fungovat.
K akcích s tituly je nutné přidat osobní pozorování a tavení. Potřebujeme stejné nadace? Zde je hledáme v příkladu v jasné nebo šifrované formě.
Podívejme se, jak se to dělá v praxi?
Dejte nám prosím příklad:
2 2x - 8 x + 1 \u003d 0
První rozzlobený pohled základ. Oni ... jsou jiní! Dva a osm. Ale spadat do zoufalství - brzy. Je čas si to pamatovat
Dva a osm - vzhledem k titulu.) Je možné psát:
8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1
Pokud si vzpomínáte na vzorec z akce s tituly:
(a n) m \u003d nm,
Že obecně se ukázalo:
8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1 \u003d 2 3 (x + 1)
Počáteční příklad začal vypadat takto:
2 2x - 2 3 (x + 1) \u003d 0
Převod 2 3 (x + 1) Vpravo (nikdo nezrušil základní akce matematiky!), Dostaneme:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Tady, téměř a to je. Odstraňujeme základy:
Vyřešit tento monstrum a dostat se
To je správná odpověď.
V tomto příkladu obnovíme znalosti o detekcích dvou. my identifikovaný V osmi z šifrovaných dvou. Tato technika (šifrování obecných základen v různých číslech) je velmi populární technika v nižších rovnicích! Ano, a v logaritmech. Je třeba se naučit v počtu dalších čísel. To je nesmírně důležité pro řešení orientačních rovnic.
Faktem je, že budování libovolného čísla do jakékoli míry není problém. Vynásobte, dokonce i na kus papíru, a to je to. Například stavět 3 až pátý stupeň bude schopen. 243 Ukazuje se, pokud znáte násobení tabulky.) Ale v dolních rovnicích je mnohem pravděpodobnější, že nebude postaven, ale naopak ... zjistit jaké číslo do jaké míry Skrývá se pro číslo 243, nebo, řekněme, 343 ... zde nepomůže žádnou kalkulačku.
Stupeň některých čísel by měl být znám v obličeji, ano ... Udělejte to?
Chcete-li zjistit, jaké stupně a jaká čísla jsou čísla:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Odpovědi (v nepořádku, přirozené!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Pokud se podíváte pozorně, můžete vidět podivnou skutečnost. Odpovědi jsou výrazně více než úkoly! No, to se stane ... například 2 6, 4 3, 8 2 je vše 64.
Předpokládejme, že jste si všimli informování o známosti s čísly.) Připomeňme, že k vyřešení orientačních rovnic všechno Zásoba matematických znalostí. Včetně středních tříd. Nebudete okamžitě jít do vyšších tříd, že?)
Například při řešení orientačních rovnic pomáhá celkový multiplikátor závorek velmi často (Ahoj Stupeň 7!). Sledujte následujícího člověka:
3 2x + 4 -11 · 9 x \u003d 210
A znovu, první pohled - na zemi! Základy ve stupních jsou různé ... Troika a devět. A chceme být stejní. V tomto případě je touha splněna!) Protože:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x
Podle stejných pravidel akcí s tituly:
3 2x + 4 \u003d 3 2x · 3 4
Tak skvělé, můžete psát:
3 2x · 3 4 - 11 · 3 2x \u003d 210
Došli jsme příklad ke stejným důvodům. Takže, co je další !? Troika nemůže hodit ... Deadlock?
Vůbec ne. Pamatujte si nejvíce univerzální a výkonné pravidlo řešení všechno Matematické úkoly:
Nevíte, co potřebujete - udělejte to, co můžete!
Vypadáš, všechno je tvořeno).
Co je v této orientační rovnici umět Udělej to? Ano, na levé straně, to přímo žádá o držák! Celkový násobitel 3 2x na něm jasně naznačuje. Zkusme, a pak to bude viditelné:
3 2x (3 4 - 11) \u003d 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Příklad je lepší a lepší!
Pamatujeme si, že abychom odstranili důvody, potřebujeme čistý stupeň bez jakýchkoliv koeficientů. US číslo 70 Interferes. Takže rozdělujeme obě části rovnice o 70, dostaneme:
OP-PA! Všechno a usadil!
To je konečná odpověď.
Stává se však, že se získá lámání stejných základen, ale jejich likvidace je jakýmkoliv způsobem. To se děje v orientačních rovnicích jiného typu. Tento typ zvládneme.
Výměna proměnné při řešení orientačních rovnic. Příklady.
Řešení rovnice:
4 x - 3 · 2 x +2 \u003d 0
První - jako obvykle. Jít na jednu základnu. Dvakrát.
4 x \u003d (2) x \u003d 2 2x
Dostaneme rovnici:
2 2x - 3 · 2 x +2 \u003d 0
A tady bude záviset. Předchozí techniky nebudou fungovat, bez ohledu na to, jak kropení. Od Arsenalu budeme muset získat další mocnou a univerzální cestu. Volal O. nahrazení proměnné.
Podstatou metody je snadné překvapení. Místo jedné složité ikony (v našem případě - 2 x) jsme napsali další, jednodušší (například - t). To by se zdálo, že nesmyslná náhrada vede k úžasným výsledkům!) Všechno se stává jasným a srozumitelným!
Tak ať
Pak 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Nahradíme v naší rovnici všechny stupně s dutinami na t:
No, Insens?) Čtvercové rovnice ještě nezapomněli? Rozhodneme se prostřednictvím diskriminace, dostaneme:
Zde, co je nejdůležitější, nezastavujte, jak se to stane ... to není odpověď, jsme potřební, a ne t. Vrátíme se k ICCAM, tj. Děláme náhradu. Nejprve pro t 1:
To znamená
Nalezený jeden kořen. Hledáme druhou, od T 2:
Um ... vlevo 2 x, vpravo 1 ... žádný problém? Ano ne! Dost na paměti (od akce s tituly, ano ...), že jeden je kdokoliv Číslo na nulový stupeň. Žádný. To, co potřebujete, a dejte to. Potřebujeme dva. Tak:
Teď je všechno. Dostal 2 kořeny:
To je odpověď.
Pro Řešení orientačních rovnic Nakonec někdy ukazuje určitý nepohodlný výraz. Typ:
Od sedmi deuce přes jednoduchý stupeň nefunguje. Ne příbuzní oni ... jak tu být? Někdo, možná zmatený ... a tady je osoba, která si přečetla téma na těchto stránkách "Co je logaritmus?" , pouze Skupo úsměv a učiní solidní správnou odpověď na pevnou ruku:
Může existovat žádná taková odpověď v úkolech "IN". Je zde požadováno určité číslo. Ale v úkolech "C" - snadno.
V této lekci jsou uvedeny příklady řešení nejběžnějších indikativních rovnic. Zvýrazňujeme hlavní.
1. První věc, na kterou se podíváme základ Stupně. Myslíme si, zda je nemožné stejný. Snažte se to udělat, aktivně používat akce s tituly. Nezapomeňte, že čísla bez ICS mohou být také změněna do stupně!
2. Snažíme se přinést orientační rovnici formátu, když jsou vlevo a vpravo stejný Čísla v jakýchkoliv stupních. Použitím akce s tituly a faktorizace.Co mohu zvážit v číslech - věřit.
3. Pokud druhá deska nefungovala, snažíme se použít výměnu proměnné. V důsledku toho se rovnice může ukázat, která je snadno vyřešena. Nejčastěji - náměstí. Nebo zlomkové, které také přichází na náměstí.
4. Pro úspěšné vyřešení orientačních rovnic je nutné znát stupeň některých čísel "v obličeji".
Jako obvykle, na konci lekce jsou nabídnuty, aby se vyčistil trochu.) Sám. Od jednoduchých - do složitého.
Rozhodnout orientační rovnice:
Více dodržován:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 · 3 x \u003d 9
2 x - 2 0,5x + 1 - 8 \u003d 0
Najděte produkt kořenů:
2 3 + 2 x \u003d 9
Stalo?
No, pak nejsložitější příklad (vyřešen, v mysli ...):
7 0.13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5 x + 1 \u003d -3
Co je zajímavější? Pak máte zlý příklad. Je to poměrně tahání zvýšené obtížnosti. Přezdívka, že v tomto příkladu úspor úspor a nejvíce univerzálním pravidlem řešení všech matematických úkolů.)
2 5x-1 · 3 3x-1 · 5 2x-1 \u003d 720 x
Příklad jednodušší, pro odpočinek):
9 · 2 x - 4 · 3 x \u003d 0
A jako dezert. Najděte počet kořenů rovnice:
x · 3 x - 9x + 7 · 3 x - 63 \u003d 0
Ano ano! Jedná se o směsný typ rovnice! Které jsme v této lekci nepovažovali. A co je třeba vzít v úvahu, je nutné vyřešit!) Tato lekce je dostačující k vyřešení rovnice. No, řezačka je potřeba ... a nechte vám pomoci s sedmou třídou (to je tip!).
Odpovědi (v nepořádku, přes čárku):
jeden; 2; 3; čtyři; žádná řešení; 2; -2; -Pět; čtyři; 0.
Všechny úspěšné? Vynikající.
Existuje problém? Žádný problém! Ve speciální části 555 jsou všechny tyto orientační rovnice řešeny s podrobnými vysvětlením. Co, proč a proč. A samozřejmě existují další cenné informace o práci se všemi druhy orientačních rovnic. Nejen s nimi.)
Poslední zábavná otázka pro zvážení. V této lekci jsme pracovali s přesnými rovnicemi. Proč jsem neřekl slovo o Otz? V rovnicích je to velmi důležitá věc, mimochodem ...
Pokud se vám líbí tato stránka ...
Mimochodem, mám pro vás další pár zajímavých míst.)
To lze přistupovat k řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitou kontrolou. Naučte se - se zájmem!)
Můžete se seznámit s vlastnostmi a deriváty.
Zařízení:
- počítač,
- multimediální projektor,
- obrazovka,
- Příloha 1.(Slide prezentace v aplikaci PowerPoint) "Metody pro řešení orientačních rovnic"
- Dodatek 2. (Řešení rovnice typu "Tři různé základny stupňů" v aplikaci Word)
- Dodatek 3. (Distribuční materiál v aplikaci Slovo pro praktickou práci).
- Dodatek 4. (Distribuční materiál ve slově pro domácí úkoly).
Během tříd
1. Organizační fáze
- lekce témat zprávy (zaznamenaná na tabuli),
- potřeba zobecnění lekce v třídách 10-11:
Stage vzdělávání studentů pro aktivní znalosti učení
Opakování
Definice.
Orientační rovnice se nazývá rovnice obsahující proměnnou v indikátoru stupně (student je zodpovězen).
Poznámka učitele. Orientační rovnice patří do třídy transcendentálních rovnic. Tento obtížný-herectví naznačuje, že takové rovnice obecně řečeno, nejsou řešeny jako vzorec.
Mohou být vyřešeny pouze číselnými metodami na počítačích. Ale co zkušební úkoly? Veškerý trik je, že zkoušející je tento úkol, že právě připouští analytické řešení. Jinými slovy, můžete (a měli byste!) identické transformacesnižuje tuto orientační rovnici nejjednodušší indikativní rovnici. Toto je nejjednodušší rovnice tzv. nejjednodušší indikativní rovnice. Je vyřešen logarithmívejte.
Situace s řešením indikativní rovnice se podobá cestě přes labyrint, který je speciálně vynalezen kompilátorem úkolu. Z těchto velmi běžných uvažování existují poměrně konkrétní doporučení.
Pro úspěšné vyřešení orientačních rovnic je nutné:
1. Nejen aktivně znát všechny demonstrační identity, ale také najít mnoho proměnných hodnot, na kterých jsou tyto identity určeny, že při používání těchto identit nezískávají další kořeny, a ještě více, neztrácejte řešení rovnice.
2. Aktivně znát všechny demonstrační identity.
3. Jasně, podrobně a bez chyb, aby matematické transformace rovnic (pro přenos složek z jedné části rovnice do druhé, aniž by zapomněl na posun znamení, vést k obecnému jmenovateli frakce a podobně) . To se nazývá matematická kultura. Současně by měly být samotné výpočty prováděny automaticky s rukama a hlava by měla přemýšlet o celkovém sledovacím závitu roztoku. Provedení konverzí by mělo být co nejblíže a další. Pouze to dá záruku správného nezaměnitelného řešení. A pamatujte: Malá aritmetická chyba může jednoduše vytvořit transcendentální rovnici, která v zásadě není vyřešena analyticky. Ukázalo se, že jsi vystoupil z cesty a odpočíval se do zdi labyrintu.
4. Znát metody řešení problémů (to znamená, že všechny způsoby projíždění labyrintu řešení). Pro správnou orientaci v každé fázi budete mít (vědomě nebo intuitivní!):
- určit typ rovnice;
- vzpomeňte si na odpovídající typ metoda rozhodnutí úkoly.
Stage zobecnění a systematizace studovaného materiálu.
Je vypracován učitel, spolu se studenty se zapojením počítače, je vypracován přehled o opakování všech typů orientačních rovnic a metod jejich řešení všeobecné schéma. (Vzdělání se používá počítačový program L.ya. Borevský "matematický kurz - 2000", Prezentace PowerPoint - tzv. Matsov.)
Obr. jeden.Obrázek ukazuje obecný diagram všech typů orientačních rovnic.
Jak je vidět z tohoto systému, strategie pro řešení orientačních rovnic je přinést tuto orientační rovnici rovnici, především se stejnými základny stupňů a pak - a se stejnými indikátory stupňů.
Po obdržení rovnice se stejnými bázemi a ukazateli stupňů nahradíte tento stupeň na novou proměnnou a získejte jednoduchou algebraickou rovnici (obvykle zlomkovou racionální nebo čtverec) vzhledem k této nové proměnné.
Rozhodování této rovnice a vyměnit, jako výsledek přichází k souhrnu nejjednodušších indikativních rovnic, které jsou řešeny všeobecné S logaritmatem.
Rovnice se nacházejí, ve kterých jsou nalezeny pouze děly (soukromé) stupňů. Využívání orientačních identit, tyto rovnice se podaří přinést okamžitě na jednu základnu, zejména na nejjednodušší indikativní rovnici.
Zvažte, jak je indikativní rovnice řešena se třemi různými základny stupňů.
(Pokud učitel má školení počítačový program l.ya. Borevsky "matematika - 2000 kurz, přirozeně pracujeme s disku, pokud ne - můžete vytisknout tento typ tohoto druhu rovnice z ní, předložené níže.)
Obr. 2. Plán řešení rovnice.
Obr. 3. Začátek řešení rovnice
Obr. čtyři. Eliminace řešení rovnice.
Praktická práce
Určete typ rovnice a vyřešte jej.
1. 2. 3. 0,125 4. 5. 6.
Sčítání lekce
Instalace odhadů pro lekci.
Konec lekce
Pro učitele
Schéma odpovědí praktické práce.
Úkol: Ze seznamu rovnic vyberte rovnice zadaného typu (№ reager na stůl):
- Tři různé základy stupňů
- Dvě různé základny - různé ukazatele stupně
- Základy stupňů - stupeň jednoho čísla
- Stejné základny - různé ukazatele stupňů
- Stejné základy stupňů - stejné ukazatele stupňů
- Práce stupňů
- Dvě různé základy stupňů - stejné ukazatele
- Nejjednodušší orientační rovnice
1. 
(Stupně práce)
2. 
(Stejné základy jsou různé ukazatele stupňů)
Příklady:
(4 ^ x \u003d 32)
(5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4.8 \\ t
((SQRT (7)) ^ (2x + 2) -50 CDOT (SQRT (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\ t
Jak řešit exponenciální rovnice
Při řešení, jakákoliv orientační rovnice se snažíme vést k formuláři (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x))), a pak provést přechod na rovnost ukazatelů, to je:
(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\ (⇔) (f (x) \u003d g (x) \\ t
Například: (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2) \\ (⇔) (x + 1 \u003d 2)
Důležité! Ze stejné logiky následuje dva požadavky na takový přechod:
- Číslo B. vlevo a vpravo by mělo být stejné;
- stupně vlevo a vpravo by měly být "čisté"to znamená, že by neměly být žádné, násobení, divize atd.
Například:
Chcete-li si vychutnat rovnici formuláře (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x))) a.
Příklad
. Rozhodnout o indikativní rovnici (SQRT (27) · 3 ^ (X - 1) \u003d ((Frac (1) (3))) ^ (2x) \\) \\ t
Rozhodnutí:
|
(sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((frac (1) (3))) ^ (2x) \\ t |
Víme, že (27 \u003d 3 ^ 3). S tímto vědomím transformujeme rovnici. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(SQRT (3 ^ 3) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((frac (1) (3)) ^ (2x) \\ t |
Podle vlastnictví kořene (sqrt [n] (a) \u003d a ^ (frac (1) (n))) jsme získali (sqrt (3 ^ 3) \u003d ((3 ^ 3) ) ^ (Frac (1) (2)) \\ t Dále, pomocí stupně stupně ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc)), získáme (((3 ^ 3) ^ (frac (1) (1) (2)) \u003d 3 ^ (3 \\ cdot frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (frac (3) (2)) \\ t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(3 ^ (frac (3) (2)) cdot 3 ^ (x - 1) \u003d (frac (1) (3)) ^ (2x) \\ t |
Také víme, že (a ^ b · ^ c \u003d a ^ (b + c)). Použití na levé straně se dostaneme: (3 ^ (frac (3) (2)) · 3 ^ (x - 1) \u003d 3 ^ (frac (3) (2) + x - 1) \u003d 3 ^ (1,5 + x - 1) \u003d 3 ^ (x + 0,5)). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(3 ^ (x + 0,5) \u003d (frac (1) (3) ^ (2x) \\ t |
Nezapomeňte, že: (a ^ (- n) \u003d frac (1) (a ^ n) \\ t Tento vzorec lze také použít v opačném směru: (frac (1) (a ^ n) \u003d a ^ (- n)). Pak (Frac (1) (3) \u003d Frac (1) (3 ^ 1) \u003d 3 ^ (- 1) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(3 ^ (x + 0,5) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \\ t |
Použití vlastnosti ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc)) do pravé části získáme: ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) \u003d 3 ^ ((- 1) · 2x) \u003d 3 ^ (- 2x) \\ t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(3 ^ (x + 0,5) \u003d 3 ^ (- 2x) \\ t |
A teď máme základy stejné a neexistují žádné interferující koeficienty atd. Takže můžeme udělat přechod. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Příklad
. Vyřešte orientační rovnici (4 ^ (x + 0,5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0)
Odpovědět : \(-1; 1\). Otázka zůstává - jak pochopit, když je použita metoda? Dodává se se zkušenostmi. Mezitím jste nepracovali, použijte obecné doporučení Řešení složitých úkolů, "nevíte, co dělat - dělat to, co můžete". To znamená, jak můžete v zásadě převést rovnici a pokusit se to udělat - najednou to, co vyjde? Hlavní věc, kterou bude učinit jen matematicky rozumné transformace. Orientační rovnice, které nemají řešeníBudeme analyzovat dvě další situace, které jsou často umístěny do smrti studenta: Pokusme se vyřešit poprsí. Pokud x je kladné číslo, pak roste stupeň (2 ^ x) pouze: (x \u003d 1); (2 ^ 1 \u003d 2) (x \u003d 0); (2 ^ 0 \u003d 1) Také. Existují negativní hole. Zapamatování nemovitosti (a ^ (- n) \u003d frac (1) (a ^ n)), zkontrolujte: (x \u003d -1); (2 ^ (- 1) \u003d frac (1) (2 ^ 1) \u003d frac (1) (2) \\ t Navzdory skutečnosti, že počet s každým krokem se zmenšuje, nikdy se nedosáhne nuly. Takže a negativní stupeň nás nezachránil. Přijedeme k logickému závěru: Kladné číslo do jakékoli míry zůstane kladné číslo.Oba rovnice jsou tedy nemají žádné řešení. Orientační rovnice s různými bázemiV praxi, někdy existují orientační rovnice s různými bázemi, které nejsou na sebe sníženy, a zároveň se stejnými ukazateli. Vypadají takto: (a ^ (f (x)) \u003d b ^ (f (x)) \\), kde (a) a (b) jsou kladná čísla. Například: (7 ^ (x) \u003d 11 ^ (x) \\ t Takové rovnice mohou být snadno vyřešeny dělením na některém z částí rovnice (obvykle rozdělených na pravou stranu, to znamená, (b ^ (f (x))). Takže můžete rozdělit, protože kladné číslo Je v každém rozsahu pozitivní (to znamená, že nejsme rozděleni nulou). Dostaneme: (Frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \\ (\u003d 1) Příklad
. Vyřešte orientační rovnici (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\ t
Odpovědět : \(-7\). Někdy "stejné" ukazatele stupně není zřejmé, ale zručné použití stupně stupně řeší tuto otázku. Příklad
. Vyřešte orientační rovnici (7 ^ (2x-4) \u003d (Frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\ t
Odpovědět : \(2\). |
V této lekci budeme zvažovat řešení složitějších demonstračních rovnic, pamatovat hlavní teoretická ustanovení orientační funkce.
1. Definice a vlastnosti orientační funkce, způsob řešení nejjednodušších indikativních rovnic
Vyvolejte definici a základní vlastnosti orientační funkce. Je na vlastnostech, že řešení všech orientačních rovnic a nerovností je založeno.
Exponenciální funkce - Jedná se o funkci formuláře, kde je základem stupně a zde X je nezávislá proměnná, argument; Y - závislá proměnná, funkce.
Obr. 1. Rozvrh indikativní funkce
Graf ukazuje rostoucí a klesající vystavovatele ilustrující indikativní funkci na základě větší jednotky a menší jednotky, ale velkou nulou.
Oba křivky procházejí bodem (0; 1)
Vlastnosti orientační funkce:
Doména :;
Hodnotová oblast:;
Funkce Monotonne se zvyšujícím se snižuje.
Funkce Monotone má každou z vlastního hodnoty s jedinou hodnotou argumentu.
Když se argument zvyšuje z mínus do plus nekonečna, funkce se zvyšuje z nuly ne inkluzivní plus nekonečno. S opakem, kdy se argument zvyšuje z mínus do plus nekonečna, funkce se snižuje z nekonečna na nulu, která není inkluzivní.
2. Řešení typických orientačních rovnic
Připomeňme si, jak vyřešit nejjednodušší demonstrační rovnice. Jejich rozhodnutí je založeno na monotónnosti orientační funkce. K takovým rovnicím se sníží téměř všechny komplexní indikativní rovnice.
Rovnost ukazatelů stupně se stejnými základny je způsobena vlastnictvím orientační funkce, a to jeho monotónnosti.
Řešení techniky:
Vyrovnat základy stupňů;
Srovnávané stupně.
Obraťme se na zvážení složitějších exponenciálních rovnic, naším cílem je snížit každého z nich nejjednodušší.
Bez kořene na levé straně a dát titul na stejný základ:
Za účelem snížení komplexní indikativní rovnice k nejjednodušším se často používá variabilní výměna.
Používáme nemovitost:
Zavedeme náhradu. Pak 
Vynásobte výslednou rovnici pro dva a přesuňte všechny komponenty na levé straně:
První kořen nesplňuje mezeru hodnot y, házet jej. Dostaneme:
Nechte rozsah stejného ukazatele:
Zavedeme výměnu:
Pak 
. S touto výměnou je zřejmé, že trvá přísně pozitivní hodnoty. Dostaneme:
Víme, jak řešit takové náměstí rovnice, vypili jsme odpověď:
Abychom se ujistili, že kořeny opravují, můžete provést kontrolu na větu WESET, tj. Najít množství kořenů a jejich práce a ověřit s odpovídajícími koeficienty rovnice.
Dostaneme:
3. Metody řešení homogenních orientačních rovnic druhého stupně
Studujeme následující významný typ orientačních rovnic:
Rovnice tohoto typu se nazývají homogenní druhý stupeň vzhledem k funkcím f a g. V levé části se nachází čtvercový třístupňový vzhledem k f s parametrem g nebo čtvercový tři snížené vzhledem k g s parametrem f.
Řešení techniky:
Tato rovnice může být vyřešena jako čtverec, ale je snadnější dělat jinak. Měly by být zváženy dva případy:
V prvním případě se dostaneme
Ve druhém případě máme právo rozdělit ve starším stupni a získat:
Mělo by být nahrazeno proměnnými, získáme čtvercovou rovnici vzhledem k:
Všimli jsme si, že funkce f a g mohou být nějaké, ale zajímají se o případ, kdy je to orientační funkce.
4. Příklady řešení homogenních rovnic
Přeneseme všechny podmínky v levé části rovnice:
Vzhledem k tomu, že orientační funkce nabývají přísně pozitivní hodnoty, máme právo okamžitě sdílet rovnici, aniž by zvážil případ, kdy:
Dostaneme:
Zavedeme výměnu: 
(Podle vlastností indikativní funkce)
Obdržel čtvercovou rovnici:
Definujeme kořeny na Vieta teorém:
První kořen nesplňuje mezeru hodnot y, házet ho, dostaneme:
Stupeň používáme vlastnosti a poskytujeme všechny stupně na jednoduché důvody:
Je snadné si všimnout funkce f a g:
Vzhledem k tomu, že orientační funkce získávají přísně pozitivní hodnoty, máme právo okamžitě sdílet rovnici, aniž by zvážil případ, kdy.
Řešení většiny matematických problémů je jedním nebo jiným spojeným s transformací numerických, algebraických nebo funkčních výrazů. Zejména se vztahuje zejména na rozhodnutí. V variantách EGE v matematice k takovému typu úkolů je úkol, zejména problém C3. Naučte se řešit úkoly C3 je důležitý nejen pro účely úspěšnosti surchase Ege.Ale z toho důvodu, že tato dovednost je užitečná při studiu průběhu matematiky v nejvyšší škole.
Provádění úkolů C3, musíte se rozhodnout různé druhy rovnice a nerovnosti. Mezi nimi patří racionální, iracionální, orientační, logaritmická, trigonometrie obsahující moduly (absolutní hodnoty), stejně jako kombinované. Tento článek popisuje hlavní typy orientačních rovnic a nerovností, jakož i různé metody jejich řešení. Přečtěte si o rozhodnutí zbývajících typů rovnic a nerovností v čísle "" v článcích o metodách řešení problémů C3 možnosti ESMER. matematika.
Před pokračováním s analýzou specifických orientační rovnice a nerovnostiJako učitel v matematice doporučuji osvěžit nějaký teoretický materiál, který potřebujeme.
Exponenciální funkce
Co je indikativní funkce?
Funkce typu. y. = a X.kde a. \u003e 0 I. a. ≠ 1, volal orientační funkce.
Údržba vlastnosti orientační funkce y. = a X.:
Graf indikativní funkce
Graf orientační funkce je vystavovatel:
Grafy orientačních funkcí (vystavovatelů)
Řešení orientačních rovnic
Indikativní Nazývá se rovnice, ve kterých je neznámá proměnná pouze v ukazatelích všech stupňů.
Pro řešení konzumační rovnice Musíte vědět a být schopen použít následující jednoduchý teorém:
Věta 1. Orientační rovnice a. f.(x.) = a. g.(x.) (kde. a. > 0, a. ≠ 1) ekvivalentní rovnice f.(x.) = g.(x.).
Kromě toho je užitečné zapamatovat si základní vzorce a akce s tituly:
Title \u003d "(! Lang: Vykresleno pomocí QuickTextex.com">!}
Příklad 1. Řešit rovnici:
Rozhodnutí: Používáme výše uvedené vzorce a substituci:
Rovnice pak má formulář:
Diskriminantní přijatý čtvercová rovnice Pozitivní:
Title \u003d "(! Lang: Vykresleno pomocí QuickTextex.com">!}
To znamená, že tato rovnice má dva kořeny. Najdeme je:
Zapnutí návratnosti, dostaneme:
Druhá kořenová rovnice nemá, protože indikativní funkce je přísně pozitivní v celé oblasti definice. Řešíme druhou:
S ohledem na uvedenou v teorému 1 přejděte na ekvivalentní rovnici: x. \u003d 3. To bude odpověď na úkol.
Odpovědět: x. = 3.
Příklad 2. Řešit rovnici:
Rozhodnutí: Neexistují žádná omezení oblasti přípustných hodnot na rovnici, protože výraz krmení dává smysl v každém smyslu x. (exponenciální funkce y. = 9 4 -X. pozitivní a ne rovný nule).
Řešíme rovnici podle ekvivalentních transformací pomocí pravidel násobení a rozdělení titulů:
Poslední přechod byl proveden v souladu s větu 1.
Odpovědět:x.= 6.
Příklad 3. Řešit rovnici:
Rozhodnutí: Obě části zdrojové rovnice mohou být rozděleny 0,2 x. . Tento přechod bude ekvivalentní, protože tento výraz je větší než nula v libovolné hodnotě. x. (Orientační funkce je v oblasti definiční oblasti přísně pozitivní). Pak rovnice má formulář:
Odpovědět: x. = 0.
Příklad 4. Řešit rovnici:
Rozhodnutí:zjednodušujeme rovnici základním způsobem ekvivalentním transformacím pomocí pravidel rozdělení a násobení titulů uvedených na začátku článku:
Rozdělení obou částí rovnice pro 4 x. Stejně jako v předchozím příkladu je ekvivalentní transformace, protože tento výraz není nulová bez ohledu na to, jaké hodnoty x..
Odpovědět: x. = 0.
Příklad 5. Řešit rovnici:
Rozhodnutí: funkce y. = 3 X., stojí na levé straně rovnice, se zvyšuje. Funkce y. = —x.-2/3, stojící v pravé části rovnice, sestupuje. To znamená, že pokud se grafy těchto funkcí protínají, pak ne více než jeden bod. V tomto případě není těžké odhadnout, že grafy se protínají v bodě x. \u003d -1. Nebudou žádné další kořeny.
Odpovědět: x. = -1.
Příklad 6. Řešit rovnici:
Rozhodnutí: Zjednodušte rovnici podle ekvivalentních transformací, s ohledem na vědomí všude, kde je indikativní funkce přísně větší než nula v jakémkoliv významu x.a využívání pravidel pro výpočet práce a soukromých titulů uvedených na začátku článku:
Odpovědět: x. = 2.
Řešení orientačních nerovností
Indikativní To se nazývá nerovnosti, ve kterých je neznámá proměnná obsažena pouze v ukazatelích všech stupňů.
Pro řešení orientační nerovnosti Znalosti vyžadují následující teorém:
Věta 2. Pokud a. \u003e 1, pak nerovnost a. f.(x.) > a. g.(x.) Je ekvivalentní nerovnosti stejného významu: f.(x.) > g.(x.). Pokud 0.< a. < 1, то показательное неравенство a. f.(x.) > a. g.(x.) Je ekvivalentní nerovnosti opačného smyslu: f.(x.) < g.(x.).
Příklad 7.Řešení nerovnosti:
Rozhodnutí: Představte si počáteční nerovnost ve formuláři:
Vydělujeme obě části této nerovnosti pro 3 2 x. zároveň (kvůli pozitivitě funkce y.= 3 2x.) Znamení nerovnosti se nezmění:
Používáme substituci:
Pak bude mít nerovnost formulář:
Takže řešení nerovnosti je mezera:
zapnutí návratnosti, dostaneme:
Levá nerovnost v důsledku pozitivosti orientační funkce se provádí automaticky. Využití známého vlastnictví logaritmu, přejděte na ekvivalentní nerovnost:
Vzhledem k tomu, že dojde k přechodu na následující nerovnost v míře ve stupni, bude přechod na následující nerovnost:
Tak se konečně dostanete odpovědět:
Příklad 8. Řešení nerovnosti:
Rozhodnutí: Použití vlastností násobení a dělení stupňů, přepsat nerovnost ve formuláři:
Zavedeme novou proměnnou:
S ohledem na tuto náhradu, nerovnost má formulář:
Vynásobte numátor a jmenovatel zlomku na 7, dostaneme následující ekvivalentní nerovnost:
Takže nerovnost splňují následující hodnoty proměnné t.:
Pak projdou na náhradu návratnosti, dostaneme:
Vzhledem k tomu, že základem stupně je více než jednotka, ekvivalent (věta 2) přechod k nerovnosti:
Konečně dostat odpovědět:
Příklad 9. Řešení nerovnosti:
Rozhodnutí:
Rozdělujeme obě části nerovnosti k výrazu:
Je vždy větší než nula (vzhledem k pozitivosti orientační funkce), takže znamení nerovnosti není nutné. Dostaneme:
t, umístěný v intervalu:
Zapnutí návratnosti získáme, že počáteční nerovnost se rozpadne do dvou případů:
První nerovnost řešení nemá význam indikativní funkce. Řešíme druhou:
Příklad 10. Řešení nerovnosti:
Rozhodnutí:
Parabola pobočky y. = 2x.+2-x. 2 jsou směrovány dolů, proto je omezeno z výše uvedené hodnoty, kterou dosáhne v jeho vrcholu:
Parabola pobočky y. = x. 2 -2x.+2, stojící v indikátoru, je zaměřen nahoru, to znamená, že je omezen na dno s hodnotou, kterou dosáhne v jeho vrcholu:
S tímto omezeným dnem je funkce také y. = 3 x. 2 -2x.+2, stojící v pravé části rovnice. Dosáhne jeho nejmenší hodnoty ve stejném bodě jako parabola stojící v indikátoru, a tato hodnota je 3 1 \u003d 3. Takže počáteční nerovnost může být správná pouze v případě, že funkce vlevo a funkce vpravo je pořízena Jeden bod hodnota rovnou 3 (křižovatka oblastí těchto funkcí je pouze toto číslo). Tato podmínka se provádí v jednom bodě. x. = 1.
Odpovědět: x.= 1.
Aby se naučili rozhodnout orientační rovnice a nerovnosti, Je nutné neustále trénovat ve svém rozhodnutí. V tomto obtížném případě můžete pomoci různým metodické příručky, učitelé v základní matematice, sbírkách konkurenčních úkolů, tříd v matematice ve škole, stejně jednotlivé sezení S profesionálním učitelem. Upřímně vám přeji úspěch v přípravě a skvělé výsledky na zkoušku.
Sergey Valerievich
P. S. Vážení hosté! Prosím, nepište aplikace do komentářů k řešení vašich rovnic. Bohužel, nemám na to absolutně žádný čas. Tyto zprávy budou vymazány. Přečtěte si prosím článek. Možná najdete odpovědi na otázky, které vám nedovolily vyřešit váš úkol.
