Krabička obsahuje množství bílých a černých kuliček. Pokud odtamtud náhodně vytáhnete dvě koule, pak je pravděpodobnost, že se obě ukáží jako bílé, 1/2.

A) Co je minimální možný počet míčků v krabici?
b) Stejná otázka za předpokladu, že počet černých koulí je sudý.

Nápověda 1

Nechte krabici obsahovat w bílé koule a bčerné koule. Jaká je pravděpodobnost, že když náhodně vytáhnete dvě koule z krabice, pak se obě ukážou jako bílé?

Nápověda 2

Zkuste najít požadovanou hodnotu w pro malé hodnoty b(například, b= 1, b= 2, b= 3, ...).

Řešení

Nechte tedy krabici obsahovat w bílé koule a bčerné koule. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že koule losujeme z krabice postupně. Pak je pravděpodobnost, že první koule, kterou jsme odstranili z krabice, bílá, \ (\ frac (w) (w + b) \), a pravděpodobnost, že i druhá koule bude bílá (za předpokladu, že první bílá koule) je \ (\ frac (w-1) (w + b-1) \). Podle podmínky problému je pravděpodobnost, že jsou obě koule bílé, 1/2, tj

\ [\ dfrac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) = \ dfrac12 \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (1) \]

Všimněte si, že výsledný vzorec se nezmění, pokud předpokládáme, že koule jsou vyjmuty z pole současně. Počet možností vytáhnout dvě libovolné koule je totiž roven

\ (C_ (w + b) ^ 2 = \ dfrac ((w + b) (w + b-1)) (2) \),

můžete získat dvě bílé koule

\ (C_w ^ 2 = \ dfrac (w (w-1)) (2) \) způsoby.

To znamená, že hledaná pravděpodobnost je

\ (\ dfrac (C_w ^ 2) (C_ (w + b) ^ 2) = \ frac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) \).

Výsledný výraz lze považovat za rovnici ve dvou proměnných: w a b... Vzhledem k tomu, že musíme najít nejmenší hodnotu výrazu ( w + b), je nejpřirozenější pokusit se tuto rovnici vyřešit vyčerpávajícím hledáním. Je totiž logické snažit se hodnoty důsledně dosazovat b = 1, b = 2, b= 3, ..., a poté zjistěte, zda má výsledník relativně w kvadratická rovnice celá rozhodnutí nebo ne. V našem případě tato metoda vede k řešení poměrně rychle. Tak pro b= 1 dostaneme vůbec lineární rovnici:

\ [\ dfrac (w (w-1)) (w (w + 1)) = \ dfrac12 \ qquad \ Rightarrow \ qquad 2 (w-1) = w + 1 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad w = 3 \]

To nám dává řešení bodu a). Stejnou metodou, s trochou vrtání, by se dala najít odpověď na bod b), ale půjdeme jinou, z matematického hlediska elegantnějším způsobem.

Všimněte si, že pro b> 0 a w> 0 nerovnost

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (w-1) (w + b-1). \]

S přihlédnutím k rovnici (1) z toho vyplývá

\ [\ left (\ dfrac (w) (w + b) \ right) ^ 2> \ dfrac12> \ left (\ dfrac (w-1) (w + b-1) \ right) ^ 2. \]

Extrahování odmocniny, my máme

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (1) (\ sqrt2)> \ dfrac (w-1) (w + b-1). \]

Uvažujme odděleně o první z těchto nerovností:

\ [\ dfrac (w) (w + b)> \ dfrac (1) (\ sqrt2) \ qquad \ Rightarrow \ qquad w \ sqrt2> w + b \ qquad \ Rightarrow \ qquad w> \ dfrac (b) (\ sqrt2-1) = (\ sqrt2 + 1) b. \]

Podobně pro druhou nerovnost máme

\ [\ dfrac (1) (\ sqrt2)> \ dfrac (w-1) (w + b-1) \ qquad \ Šipka vpravo \ qquad w + b + 1> (w-1) \ sqrt2 \ qquad \ Šipka vpravo \ qquad w<\dfrac{b+\sqrt2-1}{\sqrt2-1}=(\sqrt2+1)b+1.\]

Získáme tak hodnocení pro w prostřednictvím hodnoty b:

\ [(1+ \ sqrt2) b+ 1> w> (1+ \ sqrt2) b. \]

Například pro b= 1, s přihlédnutím k tomu, že \ (1 (,) 414<\sqrt2<1{,}415\), мы получаем неравенство \(2{,}414w= 3. V našem případě (pro b= 1 a w= 3) pravděpodobnost získání dvou bílých koulí z krabice je

což znamená, že minimální počet míčků v krabici jsou čtyři.

Vraťme se nyní k řešení bodu b). Chcete -li najít odpověď, zvažte postupně hodnoty b = 2, b = 4, b= 6, ... a odpovídající hodnoty w dokud nenajdeme ty správné.

b	w v intervalu	odpovídající w	P
2	(4,82; 5,83)	5	\ (\ dfrac57 \ cdot \ dfrac46 \ ne \ dfrac12 \)
4	(9,65; 10,66)	10	\ (\ dfrac (10) (14) \ cdot \ dfrac9 (13) \ ne \ dfrac12 \)
6	(14,48; 15,49)	15	\ (\ dfrac (15) (21) \ cdot \ dfrac (14) (20) = \ dfrac12 \)

Takže když b je sudý, pak je minimální počet míčků v poli 21.

Doslov

Čtenáři přirozeně vyvstává po vyřešení problému otázka - jak najít všechny možné sady černobílých koulí, u nichž je pravděpodobnost vyjmutí dvou bílých koulí z krabice 1/2. Chcete -li to provést, zvažte rovnici (1) jako rovnici v proměnné w, a množství b bude považován za parametr. Tuto rovnici přepíšeme následovně:

\ [\ dfrac (w) (w + b) \ cdot \ dfrac (w-1) (w + b-1) = \ dfrac12 \ qquad \ Rightarrow \ qquad 2w ^ 2-2w = w ^ 2 + 2wb + b ^ 2-wb \ qquad \ Rightarrow \ qquad \] \

Je zřejmé, že tato rovnice má celočíselné řešení právě tehdy, pokud je její diskriminační hodnotou druhou mocninou celého čísla. Jinými slovy, pro nějaké celé číslo m spravedlivá rovnost

nebo ekvivalentně \ (m ^ 2-8b ^ 2 = 1 \).

Výsledná rovnice je speciálním případem celočíselných rovnic obecnějšího tvaru:

Tady d- dané celé číslo, které není dokonalým čtvercem. Takové rovnice se světelnou rukou Leonarda Eulera se tradičně nazývají Pellovy rovnice (i když s nimi s největší pravděpodobností nemá nic společného anglický matematik John Pell, podle něhož Euler takové rovnice pojmenoval). Ukazuje se, že pro každou hodnotu parametru splňující podmínku d rovnice tohoto typu má nekonečně mnoho řešení a všechna tato řešení se získávají stejným způsobem.

Ukažme si na příkladu, co máme na mysli. Nech být d= 2. Pak je snadné ukázat, že pokud dvojice ( X, y) je řešením rovnice \ (x ^ 2-2y ^ 2 = 1 \), pak dvojice (3 X + 4y, 2X + 3y) je také jeden. Vskutku,

\ [(3x + 4y) ^ 2-2 (2x + 3y) ^ 2 = (9x ^ 2 + 24xy + 16y ^ 2) -2 (4x ^ 2 + 12xy + 9y ^ 2) = x ^ 2-2y ^ 2. \]

Počínaje triviálním řešením (1, 0) tedy můžeme získat nekonečnou posloupnost různých řešení \ ((x_k, y_k) \) pomocí vzorce pro opakování

\ ((x_k, y_k) = f (x_ (k-1), y_ (k-1)) \),

\ (f (x, y) = (3x + 4y, 2x + 3y) \).

V našem případě získáme řešení následovně: (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), ...

Ukazuje se, že tyto hodnoty vyčerpávají kladná řešení rovnice \ (x ^ 2-dy ^ 2 = 1 \) a ostatní její řešení se liší od řešení označených pouze znaménkem.

V obecném případě je situace podobná. Zde je zajímavé několik důležitých bodů. Nejprve lze všechna netriviální pozitivní řešení získat vícenásobným „vynásobením“ jednoho z nich, které budeme nazývat hlavní, sobě. „Násobením“ dvou řešení Pellovy rovnice máme na mysli následující záludnou operaci (kterou ze zvyku označujeme jako obvyklé násobení - tečkou):

\ [(x_1, y_1) \ cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2 + dy_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1). \]

Například pro d= 2, hlavní řešení je (3, 2) a jeho vynásobení libovolného řešení má tvar

\ ((x, y) \ cdot (3,2) = (3x + 4y, 2x + 3y) \) je přesně to, o čem jsme hovořili výše.

Za druhé, je zajímavé vědět, jak můžete najít notoricky známé základní řešení pro každý konkrétní význam. d... Zde nám neočekávaně pomáhají pokračující zlomky: ukazuje se, že jakékoli pozitivní rozhodnutí ( X, y) Pellovy rovnice odpovídá příslušnému zlomku \ (\ frac (x) (y) \) čísla \ (\ sqrt (d) \). Opak však neplatí: řešení Pellovy rovnice neodpovídá každý vhodný zlomek, ale pouze ty, jejichž čísla mají tvar ( kn- 1), kde n- délka období sekvence pokračujících zlomkových prvků pro číslo \ (\ sqrt (d) \). Pro některé d tato čísla (a v důsledku toho i pozitivní rozhodnutí) se mohou ukázat jako poměrně velká. Tak pro d= 61, hlavní řešení má tvar (1 766 319 049, 226 153 980).

Nakonec bude zajímavé poznamenat, že geometrické Minkowského lemma na konvexním těle hraje klíčovou roli při dokazování existence netriviálního řešení Pellovy rovnice. Toto lemma se neočekávaně objevuje v různých problémech teorie čísel a je nejjasnějším příkladem spojení algebry a geometrie ve vyšší matematice.

Při přípravě článku byly použity následující materiály:
1) V.O. Bugaenko. "Pellovy rovnice" (Knihovna "Matematická výchova", číslo 13).
2) F. Mosteller. "Padesát zábavných pravděpodobnostních problémů s řešením."
3) Články V. Senderova a A. Spivaka o Pellových rovnicích v časopise „Quant“ (

Lidi, vložili jsme do webu duši. Děkuji za
že objevíte tuto krásu. Díky za inspiraci a husí kůži.
Připojte se k nám na Facebook a V kontaktu s

Známé korporace - Google, Intel nebo Apple - jsou proslulé tím, že při pohovorech kladou uchazečům o zaměstnání záludné úkoly. AIN.UA shromáždilo 10 zajímavých příkladů takových úkolů. Některé z nich byly navrženy samotnými společnostmi a některé byly zveřejněny uživateli, kteří již byli dotazováni. K jejich řešení jsou zapotřebí znalosti matematiky na úrovni školy nebo prostě vynalézavost.

stránky nabízí prověřit, jak byste takový rozhovor zvládli.

Na co se Apple ptá

Cíl 1.

Logický problém. Sheldon Cooper (stejný geniální fyzik z populárního televizního seriálu) dosáhl poslední hranice ve hře při honbě za poklady. Před ním - dvoje dveře, jedny vedou k pokladu, druhé - do smrtícího labyrintu. U každých dveří je strážný, každý z nich ví, které dveře vedou k pokladu. Jeden ze strážců nikdy nelže, druhý vždy lže. Sheldon neví, kdo je lhář a kdo ne. Před výběrem dveří můžete položit pouze jednu otázku a pouze jednoho strážce.

Otázka: Co by měl Sheldon požádat strážného, ​​aby se dostal k pokladu?

Můžete se zeptat kohokoli a přitom položit otázku takto: „Které dveře jsou podle jiného strážce správné?“ Zeptá -li se toho pravdivého, dostane informaci, které dveře vedou do labyrintu, protože ležící stráž vždy lže. Zeptá -li se ležícího strážce, znovu zjistí, které dveře vedou do labyrintu, protože bude lhát o dveřích, na které ukáže pravý strážce.

Cíl 2.

Zemi ovládli mimozemšťané. Plánují zničit celou planetu, ale rozhodli se dát lidstvu šanci. Vybrali tucet nejchytřejších lidí a umístili je do úplně temné místnosti, seděli v řadě, jeden po druhém. Každý z lidí dostal klobouk, klobouky pouze dvou barev - růžové a zelené. Poté, co jsou všechny klobouky na jejich hlavách, rozsvítí se světlo.

Mimozemšťan začíná posledním člověkem v řadě a ptá se, jakou barvu má klobouk na hlavě. Jiná slova, kromě barvy klobouku, nelze vyslovit. Abych také mlčel - Pokud odpoví správně, zůstane naživu, pokud udělá chybu, je zabit.

Nevidíte, jakou barvu má váš klobouk, ale můžete se dohodnout na nějaké zásadě, podle které odpovíte všem. Umístění klobouků je náhodné, kombinace mohou být libovolné, vidíte všechny klobouky, které se nacházejí před vámi.

Otázka: Co je potřeba zodpovědět, aby přežilo co nejvíce lidí?

První respondent spočítá počet zelených klobouků před sebou: pokud je to liché číslo, nazývá „zelené“, pokud je sudé - „růžové“. Další, když vidí počet a barvu klobouků před sebou, tak může vypočítat, jakou barvu má klobouk na hlavě (například pokud je stále lichý počet zelených, pak je zřejmé, že má růžovou barvu ), a tak dále. 9 z 10 tedy zaručeně přežije a první respondent má šanci 1 ku 1.

Co je požadováno v Adobe

Cíl 3

K dispozici máte 50 motocyklů s plnou palivovou nádrží, která vystačí na 100 km jízdy.

Otázka: Jak daleko můžete pomocí těchto 50 kol (vzhledem k tomu, že se původně nacházely ve stejném bodě vesmíru)?

Nejjednodušší odpověď je spustit všechny najednou a ujet 100 km. Existuje ale i jiné řešení. Nejprve přesuňte všechny motocykly o 50 km. Poté přeneste palivo z poloviny kol na druhou polovinu. Máte tedy 25 motocyklů s plnou nádrží. Jeďte dalších 50 km a postup opakujte. Můžete tedy nastoupat 350 km (když nepočítáme palivo, které z „extra“ motorky zůstane, když se pětadvacítka rozdělí na dvě části).

Na co se Microsoft ptá

Úkol 4.

Máte nekonečné zásoby vody a dvě kbelíky - 5 litrů a 3 litry.

Otázka: Jak budete měřit 4 litry?

Naplňte 5l kbelík vodou a část vody nalijte do 3l kbelíku. Nyní máte 3 litry v malém kbelíku a 2 ve velkém. Vyprázdněte malý kbelík a nalijte do něj zbývající 2 litry z velkého kbelíku. Doplňte velký kbelík a nalijte vodu do malého kbelíku. Už tam jsou 2 litry vody, takže litr bude muset být doplněn a ve velkém zůstanou 4 litry.

Úkol 5.

Máte dva kusy lana. Každá je taková, že pokud ji zapálíte z jednoho konce, bude hořet přesně 60 minut.

Otázka: S pouhou krabičkou zápalek, jak můžete měřit 45 minut se dvěma kusy takového provazu (provazy nemůžete roztrhnout)?

Jedna z sekcí je zapálena z obou konců, zatímco druhá sekce je zapálena současně, ale z jednoho konce. Když první segment zcela vyhoří, uplyne 30 minut a 30minutový segment také zůstane od prvního. Zapálením z obou konců získáme 15 minut.

Co je požadováno na Googlu

Úkol 6.

Máte 8 kuliček stejného tvaru a velikosti.

Otázka: Jak zjistíte těžší míč pomocí váhy a pouhých dvou vážení?

Vezměte 6 kuliček, rozdělte je do skupin po 3 kuličkách a položte na váhy. Skupina s těžším míčem potáhne mísu. Vyberte si libovolné 2 koule z těchto tří a zvážte. Pokud je mezi nimi těžký míč, poznáte to; pokud váží stejně, ten těžký, který zbyde. Pokud ve skupinách po 3 není těžší míč, patří mezi zbylé 2.

Ptá se Qualcomm

Úkol 7.

Tento problém popsal uživatel, který byl dotazován na pozici vedoucího systémového inženýra. V popisu problému poznamenal, že má vlastní odpověď, o kterou se dlouho hádal s osobou, která vede rozhovor.

Řekněme, že máme 10 paketových datových přenosů přes bezdrátovou síť. Kanál není příliš kvalitní, takže je 1/10 šance, že datový paket nebude přenesen. Vysílač vždy ví, zda byl datový paket přenesen úspěšně nebo neúspěšně. Když je přenos neúspěšný, vysílač bude vysílat paket, dokud neuspěje.

Otázka: Jak velkou šířku pásma získáme?

Podle uživatelské verze měla odpověď znít: 9 paketů za sekundu. Osoba, která s ním vedla rozhovor, s ním však nesouhlasila, nedala odpověď, ale zopakovala, že „kvůli retransmisi by měla být propustnost snížena o více než 1/10“.

Existuje morfologický slovník asi 100 000 záznamů, ve kterém jsou dokonalá a nedokonalá slovesa umístěna v samostatných heslech (tj. „Dělat“ a „dělat“ jsou považovány za různé záznamy slovní zásoby). Takové druhové dvojice je potřeba najít ve slovníku a články „slepit“ do jednoho.

Otázka: Popište obecný scénář řešení takového problému a přibližný algoritmus pro hledání dvojic druhů.

Bohužel nemáme žádné odpovědi na úkoly Yandexu.

A bonus

Problém 10.

Tento úkol je připisován Albertu Einsteinovi – údajně jej využíval k výběru asistentů pro sebe. Další téměř legendární příběh přisuzuje autorství Lewisovi Carrollovi. Všimněte si, že je to velmi snadné vyřešit na papíře, ale pokud chcete hardcore - zkuste to vyřešit ve své hlavě.

Na ulici je pět domů.
Angličan bydlí v červeném domě.
Španěl má psa.
V zeleném domě pijí kávu.
Ukrajinec pije čaj.
Zelený dům se nachází hned napravo od bílého domu.
Každý, kdo kouří Old Gold, chová šneky.
Kool je uzený ve žlutém domě.
Mléko se pije v centrálním domě.
Nor bydlí v prvním domě.
Soused kuřáka Chesterfielda chová lišku.
Kool je uzený v domě vedle toho, kde je držen kůň.
Každý, kdo kouří Lucky Strike, pije pomerančový džus.
Japonci kouří parlament.
Nor žije vedle modrého domu.
Každý z domů je vymalován jinou barvou, v každém domě bydlí zástupce jiné národnosti, každý má svého mazlíčka, svoji oblíbenou značku cigaret a pití.

Otázka: Kdo pije vodu? Kdo drží zebru?

Problémy pro klasické stanovení pravděpodobnosti.
Příklady řešení

Ve třetí lekci se podíváme na různé problémy související s přímou aplikací klasické definice pravděpodobnosti. Chcete-li efektivně studovat materiály tohoto článku, doporučuji vám seznámit se se základními pojmy. teorie pravděpodobnosti a základy kombinatoriky... Úkol klasického určování pravděpodobnosti s pravděpodobností směřující k jedné bude přítomen ve vaší nezávislé / kontrolní práci na terveru, takže se připravujeme na seriózní práci. Ptáte se, co je na tom vážného? ... jen jeden primitivní vzorec. Varuji vás před lehkovážností - tematické úkoly jsou poměrně různorodé a mnoho z nich vás může snadno zmást. V tomto ohledu se kromě práce přes hlavní lekci pokuste prostudovat další úkoly na téma, které jsou v prasátku hotová řešení ve vyšší matematice... Rozhodovací metody rozhodovacími metodami, ale „přátele“ je stále třeba znát zrakem, protože i bohatá představivost je omezená a existuje také dostatek typických úkolů. Budu se snažit rozeznat jejich maximální počet v dobré kvalitě.

Připomínáme klasiku žánru:

Pravděpodobnost výskytu události v nějakém testu se rovná poměru, kde:

- celkový počet všech stejně možné, základní výsledky této studie, které tvoří kompletní skupina akcí;

- číslo základní výsledky příznivé pro tuto událost.

A hned okamžitá zastávka v boxech. Rozumíte podtrženým termínům? To znamená jasné, ne intuitivní porozumění. Pokud ne, pak je stále lepší vrátit se k 1. článku na teorie pravděpodobnosti a teprve potom jít dál.

Nepřeskočte prosím první příklady - v nich zopakuji jeden zásadně důležitý bod a také vám řeknu, jak správně navrhnout řešení a jak ho můžete provést:

Problém 1

Urna obsahuje 15 bílých, 5 červených a 10 černých kuliček. Náhodně se vylosuje jedna kulička, zjistěte pravděpodobnost, že bude: a) bílá, b) červená, c) černá.

Řešení: nejdůležitějším předpokladem pro použití klasické definice pravděpodobnosti je schopnost vypočítat celkový počet výsledků.

Celkem v urně: 15 + 5 + 10 = 30 míčků a samozřejmě platí následující skutečnosti:

- získat jakýkoli míč je stejně možné (rovná příležitost výsledky), zatímco výsledky základní a forma kompletní skupina akcí (tj. v důsledku testu bude jeden z 30 míčků určitě odstraněn).

Celkový počet výsledků tedy:

Zvažte událost: - z urny bude odstraněna bílá koule. Tato událost je upřednostňována základní výsledky tedy podle klasické definice:
- pravděpodobnost, že bude z urny odstraněna bílá koule.

Kupodivu i u tak jednoduchého úkolu lze přiznat závažnou nepřesnost, na kterou jsem upozorňoval již v prvním článku na teorie pravděpodobnosti... Kde je tady úskalí? Je nesprávné tvrdit, že zde „Vzhledem k tomu, že polovina koulí je bílá, je pravděpodobnost vytažení bílé koule vysoká» ... V klasické definici pravděpodobnosti mluvíme o ZÁKLADNÍ výsledky a zlomek musí být předepsán!

S dalšími body podobným způsobem zvažte následující události:

- z urny bude odstraněn červený míč;
- z urny bude odstraněna černá koule.

Událost je upřednostňována 5 elementárními výsledky a událost - 10 elementárních výsledků. Odpovídající pravděpodobnosti jsou tedy:

Typická kontrola mnoha úkolů na serveru se provádí pomocí věty o součtu pravděpodobností událostí tvořících ucelenou skupinu... V našem případě události tvoří ucelenou skupinu, což znamená, že součet odpovídajících pravděpodobností musí být nutně roven jedné:.

Ověřte si, zda tomu tak je: o čem jsme se chtěli přesvědčit.

Odpovědět:

V zásadě lze odpověď sepsat podrobněji, ale osobně jsem zvyklý dávat tam pouze čísla - z toho důvodu, že když začnete „chrlit“ problémy ve stovkách a tisících, snažíte se zkrátit záznam řešení co nejvíce. Mimochodem, o stručnosti: v praxi je rozšířená možnost návrhu „vysokorychlostního“ řešení:

Celkem: 15 + 5 + 10 = 30 míčků v urně. Podle klasické definice:
- pravděpodobnost, že bude z urny odstraněn bílý míček;
- pravděpodobnost, že z urny bude odstraněn červený míč;
- pravděpodobnost, že bude z urny odstraněna černá koule.

Odpovědět:

Pokud je však v podmínce více bodů, pak je řešení často pohodlnější vypracovat prvním způsobem, což zabere trochu více času, ale umístí vše na police a usnadní navigaci v problému.

Zahřívání:

Úkol 2

Prodejna obdržela 30 chladniček, z nichž pět má tovární závadu. Náhodně je vybrána jedna lednička. Jaká je pravděpodobnost, že bude bez závad?

Vyberte příslušnou možnost návrhu a zkontrolujte vzorek v dolní části stránky.

V nejjednodušších příkladech leží počet obecných a počet příznivých výsledků na povrchu, ale ve většině případů musí být brambory vykopány samy. Kanonická řada problémů o zapomnětlivém volajícím:

Problém 3

Při vytáčení telefonního čísla předplatitel zapomněl poslední dvě číslice, ale pamatuje si, že jedna z nich je nula a druhá lichá. Najděte pravděpodobnost, že vytočí správné číslo.

Poznámka : nula je sudé číslo (dělitelné 2 beze zbytku)

Řešení: Nejprve zjistěte celkový počet výběrů. Podle podmínky si účastník pamatuje, že jedna z číslic je nula a druhá číslice je lichá. Tady je racionálnější nebýt chytrý s kombinatorikou a používáním přímým výpisem výsledků ... To znamená, že při rozhodování jednoduše zapíšeme všechny kombinace:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

A počítáme je - celkem: 10 výsledků.

Existuje pouze jeden příznivý výsledek: správné číslo.

Podle klasické definice:
- pravděpodobnost, že předplatitel vytočí správné číslo

Odpovědět: 0,1

Desetinné zlomky vypadají v teorii pravděpodobnosti docela vhodné, ale můžete se také držet tradičního vyshmatovského stylu, který funguje pouze s obyčejnými zlomky.

Pokročilý úkol pro vlastní řešení:

Problém 4

Předplatitel zapomněl PIN kód své SIM karty, ale pamatuje si, že obsahuje tři „pětky“ a jedno z čísel je buď „sedm“ nebo „osm“. Jaká je pravděpodobnost úspěšné autorizace na první pokus?

Zde můžete stále rozvíjet myšlenku pravděpodobnosti, že předplatitel dostane trest ve formě spousty kódu, ale zdůvodnění bohužel již přesahuje rámec této lekce.

Řešení a odpověď níže.

Někdy může být vypisování kombinací velmi náročné. Zejména je tomu tak v další, neméně populární skupině problémů, kde se hodí 2 kostky (méně často - více):

Problém 5

Najděte pravděpodobnost, že při házení dvěma kostkami bude součet:

a) pět bodů;
b) ne více než čtyři body;
c) od 3 do 9 bodů včetně.

Řešení: zjistěte celkový počet výsledků:

Strana 1. kostky může vypadávat způsoby a líc 2. kostky může vypadnout způsobem; na pravidlo násobení, Celkem: možné kombinace. Jinými slovy, každý líc 1. kostky může být spořádaný pár s každým tvář 2. kostky. Pojďme se dohodnout, že takový pár zapíšeme do formuláře, kde je číslo, které vypadlo na 1. kostce, je číslo, které vypadlo na 2. kostce. Například:

- první kostka má 3 body, druhá - 5 bodů, součet bodů: 3 + 5 = 8;
- na první kostce padlo 6 bodů, na druhé - 1 bod, součet bodů: 6 + 1 = 7;
- Na obě kosti byly hodeny 2 body, součet: 2 + 2 = 4.

Je zřejmé, že nejmenší částka je dána dvojicí a největší - dvěma „šestkami“.

a) Zvažte událost: - při hodu dvěma kostkami odpadne 5 bodů. Pojďme si zapsat a vypočítat počet výsledků, které upřednostňují tuto událost:

Celkem: 4 příznivé výsledky. Podle klasické definice:
Je požadovaná pravděpodobnost.

b) Zvažte událost: - neklesnou více než 4 body. Tedy buď 2, nebo 3, nebo 4 body. Opět uvádíme a spočítáme příznivé kombinace, vlevo napíšu celkový počet bodů a za dvojtečkou - vhodné páry:

Celkem: 6 příznivých kombinací. Tím pádem:
- pravděpodobnost, že nepadne více než 4 body.

c) Zvažte událost: - 3 až 9 bodů včetně bude zrušeno. Tady můžete jít rovnou cestou, ale ... nechci. Ano, některé páry již byly uvedeny v předchozích odstavcích, ale stále je před námi hodně práce.

Jaký je nejlepší způsob, jak postupovat? V takových případech je trasa kruhového objezdu racionální. Zvážit opačná událost: - Padne 2 nebo 10 nebo 11 nebo 12 bodů.

Jaký to má smysl? Opačné události zvýhodňuje výrazně menší počet párů:

Celkem: 7 příznivých výsledků.

Podle klasické definice:
- pravděpodobnost, že budou vynechány méně než tři nebo více než 9 bodů.

Kromě přímého vypisování a počítání výstupů různé kombinatorické vzorce... A opět epický problém výtahu:

Problém 7

Do výtahu 20patrové budovy v prvním patře nastoupily 3 osoby. A vyrážíme. Najděte pravděpodobnost, že:

a) vyjdou na různá patra
b) dva vycházejí na stejném patře;
c) všichni vyjdou na stejné patro.

Naše fascinující lekce skončila a na konci důrazně doporučuji ještě jednou, pokud ne vyřešit, tak alespoň porozumět další problémy s klasickým určováním pravděpodobnosti... Jak jsem poznamenal, na „ručním vycpávání“ záleží také!

Dále po kurzu - Geometrická definice pravděpodobnosti a Věty o sčítání a násobení pro pravděpodobnosti a ... štěstí je hlavní věc!

Řešení a odpovědi:

Úkol 2: Řešení: 30 - 5 = 25 ledniček není vadných.

- pravděpodobnost, že vybraná chladnička není náhodně vadná.
Odpovědět :

Úkol 4: Řešení: zjistěte celkový počet výsledků:
způsoby, jak si můžete vybrat místo, kde se sporná postava nachází a na každém z těchto 4 míst lze lokalizovat 2 čísla (sedm nebo osm). Podle pravidla násobení kombinací je celkový počet výsledků: .
Alternativně v řešení můžete jednoduše uvést všechny výsledky (naštěstí jich není mnoho):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Jeden příznivý výsledek (správný PIN kód).
Podle klasické definice tedy:
- pravděpodobnost, že je předplatitel autorizován od prvního pokusu
Odpovědět :

Úkol 6: Řešení: zjistěte celkový počet výsledků:
čísla na 2 kostkách mohou vypadávat různými způsoby.

a) Zvažte událost: - při hodu dvěma kostkami bude součin bodů roven sedmi. Podle klasické definice pravděpodobnosti nejsou pro tuto událost žádné příznivé výsledky:
, tj. tato událost je nemožná.

b) Zvažte událost: - při hodu dvěma kostkami bude součin bodů minimálně 20. Tato událost je upřednostňována následujícími výsledky:

Celkem: 8
Podle klasické definice:
Je požadovaná pravděpodobnost.

c) Zvažte opačné události:
- součin bodů bude sudý;
- součin bodů bude lichý.
Uveďme všechny výsledky příznivé pro akci:

Celkem: 9 příznivých výsledků.
Podle klasické definice pravděpodobnosti:
Opačné události tvoří úplnou skupinu, proto:
Je požadovaná pravděpodobnost.

Odpovědět :

Úkol 8: Řešení: vypočítat celkový počet výstupů: 10 mincí může padat různými způsoby.
Jiný způsob: 1. mince může padnout různými způsoby a způsob, jakým může padnout 2. mince a … a 10. mince může padat různými způsoby. Podle pravidla násobení kombinací může padnout 10 coinů způsoby.
a) Zvažte událost: - hlavy padají na všechny mince. Tato událost je upřednostňována jediným výsledkem, podle klasické definice pravděpodobnosti :.
b) Zvažte událost: - hlavy padnou na 9 mincí a ocasy na jednu.
Existují mince, které mohou přijít ocasy. Podle klasické definice pravděpodobnosti: .
c) Zvažte událost: - hlavy padnou na polovinu mincí.
Existuje unikátní kombinace pěti mincí, na které mohou padat hlavy. Podle klasické definice pravděpodobnosti:
Odpovědět :