Pyramide. Formeln und Eigenschaften der Pyramide

Apothem Apothem

(aus dem Griechischen apotíthēmi – beiseite legen), 1) ein Segment (sowie seine Länge) einer Senkrechten A, von der Mitte abgesenkt regelmäßiges Vieleck zu irgendeiner seiner Seiten. 2) In einer regelmäßigen Pyramide ist das Apothem die Höhe A Seitenkante.

APOTHEMA

APOTHEMA (griechisch apothemá – etwas Aufgeschobenes),
1) ein Segment (sowie seine Länge) einer Senkrechten a, die von der Mitte eines regelmäßigen Vielecks zu einer seiner Seiten fällt.
2) In einer regelmäßigen Pyramide ist das Apothem die Höhe der Seitenfläche.

Enzyklopädisches Wörterbuch. 2009 .

Synonyme:

Sehen Sie, was „apothem“ in anderen Wörterbüchern ist:

Siehe APOTEMA. Wörterbuch Fremdwörter, in der russischen Sprache enthalten. Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA, siehe APOTHEMA. Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache. Pawlenkow F., 1907 ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

- (aus dem Griechischen apotithemi, das ich beiseite lege) ..1) ein Segment (sowie seine Länge) einer Senkrechten a, abgesenkt von der Mitte eines regelmäßigen Vielecks zu einer seiner Seiten2)] In einer regelmäßigen Pyramide das Apothem ist die Höhe der Seitenfläche ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Substantiv, Anzahl der Synonyme: 3 Apothem (2) Länge (10) Senkrecht (4) Wörterbuch ... Synonymwörterbuch

APOTHEMA- (1) die Länge einer Senkrechten, die vom Mittelpunkt eines um ein regelmäßiges Vieleck umschriebenen Kreises zu einer seiner Seiten gezogen wird; (2) die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide; (3) die Höhe des Trapezes, das die Seitenfläche eines regelmäßigen Kegelstumpfes darstellt... ... Große Polytechnische Enzyklopädie

- (aus dem Griechischen apotithçmi, das ich beiseite gelassen habe) 1) die Länge der Senkrechten, die vom Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks zu einer seiner Seiten verläuft (Abb. 1); 2) in einer regelmäßigen Pyramide A. Höhe a seiner Seitenfläche (Abb. 2). Reis. 1 zu… … Groß Sowjetische Enzyklopädie

- (aus dem Griechischen apotfthemi, das ich beiseite lege) 1) ein Segment (sowie seine Länge) einer Senkrechten a, die von der Mitte eines regelmäßigen Vielecks zu einer seiner Seiten abgesenkt wird. 2) In einer regelmäßigen Pyramide ist A. die Höhe a der Seitenfläche (siehe Abbildung). Zur Kunst. Apothema... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

Die Länge einer Senkrechten, die vom Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks zu einer seiner Seiten verläuft; Das Apothem ist gleich dem Radius des Kreises, der in das gegebene Polygon eingeschrieben ist. A. wurde auch die geneigte Seite des Kegels genannt... Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron

- (aus dem Griechischen apotithemi, das ich beiseite gelassen habe), 1) ein Segment (sowie seine Länge) einer Senkrechten a, abgesenkt von der Mitte eines regelmäßigen Vielecks zu einer seiner Seiten. 2) In einer regelmäßigen Pyramide A. Höhe a der Seitenfläche... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

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Apothema- die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, die von ihrem Scheitelpunkt aus gezogen wird (außerdem ist das Apothem die Länge der Senkrechten, die von der Mitte des regelmäßigen Vielecks zu einer seiner Seiten abgesenkt wird);
Seitenflächen (ASB, BSC, CSD, DSA) - Dreiecke, die sich am Scheitelpunkt treffen;
seitliche Rippen ( ALS , B.S. , C.S. , D.S. ) — gemeinsame Aspekte Seitenkanten;
Spitze der Pyramide (t. S) - ein Punkt, der die Seitenrippen verbindet und der nicht in der Ebene der Basis liegt;
Höhe ( ALSO ) - ein senkrechtes Segment, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden eines solchen Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);
diagonaler Abschnitt der Pyramide- ein Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;
Base (A B C D) - ein Polygon, das nicht zum Scheitelpunkt der Pyramide gehört.

Eigenschaften der Pyramide.

1. Wenn alle Seitenkanten die gleiche Größe haben, dann:

Es ist einfach, einen Kreis in der Nähe der Basis der Pyramide zu beschreiben, und die Spitze der Pyramide wird in die Mitte dieses Kreises projiziert.
die Seitenrippen bilden mit der Ebene der Basis gleiche Winkel;
Darüber hinaus ist auch das Gegenteil der Fall, d. h. Wenn die Seitenrippen gleiche Winkel mit der Ebene der Basis bilden oder wenn ein Kreis um die Basis der Pyramide beschrieben werden kann und die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Kreises projiziert wird, bedeutet dies, dass alle Seitenkanten der Pyramide sind gleich groß.

2. Wenn die Seitenflächen einen gleichen Neigungswinkel zur Ebene der Basis haben, dann:

Es ist einfach, einen Kreis in der Nähe der Basis der Pyramide zu beschreiben, und die Spitze der Pyramide wird in die Mitte dieses Kreises projiziert.
die Höhen der Seitenflächen sind gleich lang;
Die Fläche der Seitenfläche ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Seitenfläche.

3. Eine Kugel kann um eine Pyramide beschrieben werden, wenn sich an der Basis der Pyramide ein Polygon befindet, um das ein Kreis beschrieben werden kann (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Der Mittelpunkt der Kugel ist der Schnittpunkt der Ebenen, die durch die Mitten der senkrecht zu ihnen stehenden Kanten der Pyramide verlaufen. Aus diesem Satz schließen wir, dass eine Kugel sowohl um jedes Dreieck als auch um jede regelmäßige Pyramide beschrieben werden kann.

4. Eine Kugel kann in eine Pyramide eingeschrieben werden, wenn sich die Winkelhalbierenden der inneren Diederwinkel der Pyramide im 1. Punkt schneiden (eine notwendige und hinreichende Bedingung). Dieser Punkt wird zum Mittelpunkt der Kugel.

Die einfachste Pyramide.

Basierend auf der Anzahl der Winkel wird die Basis der Pyramide in dreieckige, viereckige usw. unterteilt.

Es wird eine Pyramide geben dreieckig, viereckig usw., wenn die Basis der Pyramide ein Dreieck, ein Viereck usw. ist. Eine dreieckige Pyramide ist ein Tetraeder – ein Tetraeder. Viereckig – fünfeckig und so weiter.

Um Probleme in der Geometrie erfolgreich lösen zu können, müssen Sie die in dieser Wissenschaft verwendeten Begriffe klar verstehen. Dies sind beispielsweise „gerade“, „ebene“, „Polyeder“, „Pyramide“ und viele andere. In diesem Artikel beantworten wir die Frage, was ein Apothem ist.

Doppelte Verwendung des Begriffs „Apothem“

In der Geometrie hängt die Bedeutung des Wortes „Apothema“ oder „Apothema“, wie es auch genannt wird, von dem Objekt ab, auf das es angewendet wird. Es gibt zwei grundsätzlich unterschiedliche Klassen von Figuren, bei denen es sich um eines ihrer Merkmale handelt.

Das hier zunächst einmal flache Polygone. Was ist ein Apothem für ein Polygon? Dies ist die Höhe, die vom geometrischen Mittelpunkt der Figur zu einer ihrer Seiten gezogen wird.

Um klarer zu machen, was wir meinen wir reden über Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Nehmen wir an, dass es so ist regelmäßiges Sechseck in der folgenden Abbildung dargestellt.

Das Symbol l bezeichnet die Länge seiner Seite und der Buchstabe a bezeichnet das Apothem. Bei einem markierten Dreieck ist es nicht nur die Höhe, sondern auch die Winkelhalbierende und der Mittelwert. Es ist leicht zu zeigen, dass durch die Seite l es wie folgt berechnet werden kann:

Das Apothem ist für jedes n-Eck ähnlich definiert.

Zweitens sind das Pyramiden. Was ist ein Apothem für eine solche Figur? Dieses Problem erfordert eine detailliertere Betrachtung.

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Pyramiden und ihre Apotheme

Lassen Sie uns zunächst eine Pyramide aus geometrischer Sicht definieren. Diese Figur ist ein dreidimensionaler Körper, der aus einem n-Eck (Basis) und n Dreiecken (Seiten) besteht. Letztere sind in einem Punkt verbunden, der Scheitelpunkt genannt wird. Der Abstand von ihm zur Basis entspricht der Höhe der Figur. Fällt es auf den geometrischen Mittelpunkt des N-Ecks, dann heißt die Pyramide Gerade. Hat das n-Eck außerdem gleiche Winkel und Seiten, so heißt die Figur regulär. Unten sehen Sie ein Beispiel einer Pyramide.

Was ist ein Apothem für eine solche Figur? Dies ist die Senkrechte, die die Seiten des N-Ecks mit dem Scheitelpunkt der Figur verbindet. Offensichtlich stellt es die Höhe des Dreiecks dar, das die Seite der Pyramide darstellt.

Apothem ist beim Lösen praktisch geometrische Probleme mit korrekten Pyramiden. Tatsache ist, dass bei ihnen alle Seitenflächen einander gleich sind gleichschenklige Dreiecke. Letzte Tatsache bedeutet, dass alle n Apotheme gleich sind, sodass wir für eine regelmäßige Pyramide von einer und nur einer solchen Geraden sprechen können.

Apothem einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Vielleicht am meisten ein klares Beispiel Diese Figur wird das berühmte erste Weltwunder sein – die Cheopspyramide. Sie befindet sich in Ägypten.

Für jede solche Figur mit regelmäßiger n-eckiger Basis können wir Formeln angeben, die es uns ermöglichen, ihr Apothem durch die Länge a der Seite des Polygons, durch die Seitenkante b und die Höhe h zu bestimmen. Hier schreiben wir die entsprechenden Formeln für eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche auf. Das Apothem h b dafür ist gleich:

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h b = √(b 2 - a 2 /4);

h b = √(h 2 + a 2 /4)

Der erste dieser Ausdrücke gilt für jede regelmäßige Pyramide, der zweite nur für eine viereckige.

Lassen Sie uns zeigen, wie diese Formeln zur Lösung des Problems verwendet werden können.

Geometrisches Problem

Gegeben sei eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Es ist notwendig, seine Grundfläche zu berechnen. Das Apothem der Pyramide beträgt 16 cm und ihre Höhe beträgt das Zweifache der Seitenlänge der Basis.

Jedes Schulkind weiß: Um die Fläche des Quadrats zu ermitteln, das die Basis der betreffenden Pyramide darstellt, muss man deren Seite a kennen. Um es zu finden, verwenden wir die folgende Formel für Apothem:

h b = √(h 2 + a 2 /4)

Die Bedeutung des Apothems ist aus den Bedingungen des Problems bekannt. Da die Höhe h doppelt so groß ist wie die Seitenlänge a, lässt sich dieser Ausdruck wie folgt umwandeln:

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Die Fläche eines Quadrats ist gleich dem Produkt seiner Seiten. Wenn wir a durch den resultierenden Ausdruck ersetzen, erhalten wir:

S = a 2 = 4/17*h b 2

Es bleibt noch, den Apothemwert aus den Problembedingungen in die Formel einzusetzen und die Antwort aufzuschreiben: S ≈ 60,2 cm 2.

Lesen Sie auch:

Notiz. Dies ist Teil einer Lektion mit Geometrieproblemen (Schnittstereometrie, Probleme zur Pyramide). Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. In Aufgaben wird anstelle des „Quadratwurzel“-Symbols die Funktion sqrt() verwendet, wobei sqrt das Symbol ist Quadratwurzel, und der radikale Ausdruck ist in Klammern angegeben.Für einfache Wurzelausdrücke kann das Zeichen „√“ verwendet werden.

Theoretische Materialien und Formeln finden Sie im Kapitel „ Richtige Pyramide ".

Aufgabe

Das Apothem einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt 4 cm und der Diederwinkel an der Basis beträgt 60 Grad. Finden Sie das Volumen der Pyramide.

Lösung.

Da die Pyramide regelmäßig ist, berücksichtigen Sie Folgendes:

Die Höhe der Pyramide wird auf die Mitte der Basis projiziert
Dem Problem zufolge ist der Mittelpunkt der Grundfläche einer regelmäßigen Pyramide ein gleichseitiges Dreieck
Der Mittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks ist gleichzeitig der Mittelpunkt eines eingeschriebenen und umschriebenen Kreises.
Die Höhe der Pyramide bildet mit der Grundebene einen rechten Winkel

Das Volumen der Pyramide lässt sich mit der Formel ermitteln:
V = 1/3 Sh

Da das Apothem einer regelmäßigen Pyramide zusammen mit der Höhe der Pyramide ein rechtwinkliges Dreieck bildet, verwenden wir den Sinussatz, um die Höhe zu ermitteln. Berücksichtigen wir außerdem Folgendes:

Der erste Teil des Themas rechtwinkliges Dreieck ist die Höhe, der zweite Schenkel ist der Radius des eingeschriebenen Kreises (in einem regelmäßigen Dreieck ist der Mittelpunkt gleichzeitig der Mittelpunkt des eingeschriebenen und umschriebenen Kreises), die Hypotenuse ist das Apothem der Pyramide
Der dritte Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 30 Grad (die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad, der Winkel von 60 Grad ist durch die Bedingung gegeben, der zweite Winkel ist eine Gerade gemäß den Eigenschaften der Pyramide, der dritte ist 180-90-60 = 30)
Sinus 30 Grad gleich 1/2
Der Sinus von 60 Grad entspricht der Wurzel aus drei Hälften
der Sinus von 90 Grad ist 1

Nach dem Sinussatz:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
Wo
r = 2
h = 2√3

An der Basis der Pyramide liegt ein regelmäßiges Dreieck, dessen Fläche mit der Formel ermittelt werden kann:
S regelmäßiges Dreieck = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Jetzt ermitteln wir das Volumen der Pyramide:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm 3.

Antwort: 24 cm 3 .

Aufgabe

Die Höhe und die Seite der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide betragen 24 bzw. 14. Finden Sie das Apothem der Pyramide.

Lösung .

Da die Pyramide regelmäßig ist, liegt an ihrer Basis ein regelmäßiges Viereck – ein Quadrat. Darüber hinaus wird die Höhe der Pyramide in die Mitte des Platzes projiziert. Somit ist der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, der durch das Apothem der Pyramide, die Höhe und das sie verbindende Segment gebildet wird, gleich der halben Länge der Grundfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide.

Wobei nach dem Satz des Pythagoras die Länge des Apothems aus der Gleichung ermittelt wird:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Antwort: 25 cm