Quadratwurzelformeln Division Subtraktion Multiplikation Addition. Operation mit Wurzeln: Addition und Subtraktion

Die Quadratwurzel einer Zahl x ist eine Zahl a, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, die Zahl x ergibt: a * a = a^2 = x, ?x = a. Wie bei allen Zahlen können Sie arithmetische Operationen der Addition und Subtraktion mit Quadratwurzeln durchführen.

Anweisungen

1. Erstens beim Hinzufügen Quadratwurzeln Versuchen Sie, diese Wurzeln zu extrahieren. Dies ist akzeptabel, wenn die Zahlen unter dem Wurzelzeichen perfekte Quadrate sind. Nehmen wir an, der gegebene Ausdruck ist ?4 + ?9. Die erste Zahl 4 ist das Quadrat der Zahl 2. Die zweite Zahl 9 ist das Quadrat der Zahl 3. Somit ergibt sich: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Wenn unter dem Wurzelzeichen keine vollständigen Quadrate vorhanden sind, versuchen Sie, den Multiplikator der Zahl unter dem Wurzelzeichen zu verschieben. Nehmen wir an, der Ausdruck sei gegeben?24 +?54. Faktorisieren Sie die Zahlen: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Die Zahl 24 hat einen Faktor von 4, der unter dem Vorzeichen übertragen werden kann Quadratwurzel. In der Zahl 54 gibt es einen Faktor von 9. Somit ergibt sich: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6. In diesem Beispiel war es durch die Entfernung des Multiplikators unter dem Wurzelzeichen möglich, den gegebenen Ausdruck zu vereinfachen.

3. Die Summe zweier Quadratwurzeln sei der Nenner eines Bruchs, sagen wir A / (?a + ?b). Und lassen Sie Ihre Aufgabe darin bestehen, „die Irrationalität im Nenner loszuwerden“. Dann können Sie die nächste Methode verwenden. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck ?a – ?b. Somit enthält der Nenner die abgekürzte Multiplikationsformel: (?a + ?b) * (?a – ?b) = a – b. Wenn der Nenner analog die Differenz zwischen den Wurzeln ?a – ?b enthält, müssen Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck ?a + ?b multipliziert werden. Nehmen wir zum Beispiel den Bruch 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 – ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 – ?5)) = 4 * (?3 – ?5) / (-2) = 2 * (?5 – ?3).

4. Betrachten Sie ein komplexeres Beispiel für die Beseitigung der Irrationalität im Nenner. Gegeben sei der Bruch 12 / (?2 + ?3 + ?5). Sie müssen den Zähler und den Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck?2 + ?3 – ?5 multiplizieren:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 – ?5)) = 12 * (?2 + ?3 – ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 – ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 – ?30.

5. Und wenn Sie schließlich nur einen ungefähren Wert benötigen, können Sie die Quadratwurzeln mit einem Taschenrechner berechnen. Berechnen Sie die Werte separat für die gesamte Zahl und notieren Sie sie mit der erforderlichen Genauigkeit (z. B. zwei Dezimalstellen). Führen Sie anschließend die erforderlichen Rechenoperationen aus, wie bei gewöhnliche Zahlen. Nehmen wir an, Sie müssen den ungefähren Wert des Ausdrucks ?7 + ?5 ? herausfinden. 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video zum Thema

Beachten Sie!
In keinem Fall können Quadratwurzeln als Grundzahlen addiert werden, d. h. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Hilfreicher Rat
Wenn Sie eine Zahl faktorisieren, um das Quadrat unter dem Wurzelzeichen zu verschieben, dann tun Sie es Rückwärtsprüfung– Multiplizieren Sie alle resultierenden Faktoren und erhalten Sie die ursprüngliche Zahl.

Quadratwurzel einer Zahl X angerufene Nummer A, was im Prozess der Multiplikation mit sich selbst ( A*A) kann eine Zahl angeben X.
Diese. A * A = A 2 = X, Und √X = A.

Oben Quadratwurzeln ( √x) können Sie wie andere Zahlen arithmetische Operationen wie Subtraktion und Addition ausführen. Um Wurzeln zu subtrahieren und zu addieren, müssen sie mit Zeichen verbunden werden, die diesen Aktionen entsprechen (z. B √x - √y ).
Und dann bringen Sie die Wurzeln in ihre einfachste Form – wenn es zwischen ihnen ähnliche gibt, ist eine Kürzung notwendig. Es besteht darin, die Koeffizienten ähnlicher Terme mit den Vorzeichen der entsprechenden Terme zu nehmen, sie dann in Klammern zu setzen und daraus abzuleiten gemeinsame Wurzel außerhalb der Multiplikatorklammern. Der von uns erhaltene Koeffizient wird nach den üblichen Regeln vereinfacht.

Schritt 1: Quadratwurzeln ziehen

Um Quadratwurzeln zu bilden, müssen Sie zunächst diese Wurzeln ziehen. Dies ist möglich, wenn die Zahlen unter dem Wurzelzeichen perfekte Quadrate sind. Nehmen Sie zum Beispiel den angegebenen Ausdruck √4 + √9 . Erste Nummer 4 ist das Quadrat der Zahl 2 . Zweite Nummer 9 ist das Quadrat der Zahl 3 . Somit können wir die folgende Gleichheit erhalten: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Das war's, das Beispiel ist gelöst. Aber so einfach geht das nicht immer.

Schritt 2. Den Multiplikator der Zahl unter der Wurzel herausziehen

Wenn es unter dem Wurzelzeichen keine perfekten Quadrate gibt, können Sie versuchen, den Multiplikator der Zahl unter dem Wurzelzeichen zu entfernen. Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck √24 + √54 .

Faktorisieren Sie die Zahlen:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Unter 24 Wir haben einen Multiplikator 4 , es kann unter dem Quadratwurzelzeichen herausgezogen werden. Unter 54 Wir haben einen Multiplikator 9 .

Wir bekommen Gleichheit:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Angesichts dieses Beispiel erhalten wir den Faktor, der unter dem Wurzelzeichen entfernt wird, wodurch der gegebene Ausdruck vereinfacht wird.

Schritt 3: Den Nenner reduzieren

Stellen Sie sich die folgende Situation vor: Die Summe zweier Quadratwurzeln ist der Nenner des Bruchs, zum Beispiel: A/(√a + √b).
Jetzt stehen wir vor der Aufgabe, „die Irrationalität im Nenner loszuwerden“.
Verwenden wir die folgende Methode: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck √a - √b.

Wir erhalten nun die abgekürzte Multiplikationsformel im Nenner:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Ähnlich verhält es sich, wenn der Nenner eine Wurzeldifferenz hat: √a - √b, Zähler und Nenner des Bruchs werden mit dem Ausdruck multipliziert √a + √b.

Nehmen wir als Beispiel den Bruch:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Beispiel einer komplexen Nennerreduktion

Nun betrachten wir ein ziemlich komplexes Beispiel für die Beseitigung der Irrationalität im Nenner.

Nehmen wir zum Beispiel einen Bruch: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Sie müssen Zähler und Nenner nehmen und mit dem Ausdruck multiplizieren √2 + √3 - √5 .

Wir bekommen:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Schritt 4. Berechnen Sie den ungefähren Wert mit dem Taschenrechner

Wenn Sie nur einen ungefähren Wert benötigen, können Sie dies mit einem Taschenrechner tun, indem Sie den Wert der Quadratwurzeln berechnen. Der Wert wird für jede Zahl separat berechnet und mit der erforderlichen Genauigkeit, die durch die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt wird, notiert. Als nächstes werden alle erforderlichen Operationen wie bei gewöhnlichen Zahlen ausgeführt.

Beispiel für die Berechnung eines Näherungswerts

Es ist notwendig, den ungefähren Wert dieses Ausdrucks zu berechnen √7 + √5 .

Als Ergebnis erhalten wir:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Bitte beachten Sie: Unter keinen Umständen sollten Sie Quadratwurzeln als Primzahlen addieren; dies ist völlig inakzeptabel. Das heißt, wenn wir die Quadratwurzel aus fünf und die Quadratwurzel aus drei addieren, können wir nicht die Quadratwurzel aus acht erhalten.

Hilfreicher Rat: Wenn Sie sich entscheiden, eine Zahl zu faktorisieren, müssen Sie, um das Quadrat unter dem Wurzelzeichen abzuleiten, eine umgekehrte Prüfung durchführen, d. h. alle Faktoren multiplizieren, die sich aus den Berechnungen ergeben haben, und Endresultat Diese mathematische Berechnung sollte zu der Zahl führen, die uns ursprünglich gegeben wurde.

In der Mathematik hat jede Handlung ihr Gegenpaar – im Wesentlichen ist dies eine der Manifestationen des Hegelschen Gesetzes der Dialektik: „die Einheit und der Kampf der Gegensätze“. Eine der Aktionen in einem solchen „Paar“ zielt darauf ab, die Zahl zu erhöhen, und die andere, das Gegenteil, zielt darauf ab, sie zu verringern. Beispielsweise ist das Gegenteil der Addition die Subtraktion und die Division das Gegenteil der Multiplikation. Auch die Potenzierung hat ihr eigenes dialektisches Gegenpaar. Wir sprechen über das Extrahieren der Wurzel.

Die Wurzel dieser oder jener Potenz aus einer Zahl zu ziehen bedeutet, zu berechnen, welche Zahl entsprechend potenziert werden muss, um am Ende eine bestimmte Zahl zu erhalten. Die beiden Grade haben ihre eigenen Namen: Der zweite Grad heißt „Quadrat“ und der dritte heißt „Würfel“. Dementsprechend ist es schön, die Wurzeln dieser Potenzen Quadratwurzel und Kubikwurzel zu nennen. Aktionen mit Kubikwurzeln sind ein Thema für eine separate Diskussion, aber jetzt wollen wir über das Addieren von Quadratwurzeln sprechen.

Beginnen wir mit der Tatsache, dass es in manchen Fällen einfacher ist, zuerst Quadratwurzeln zu ziehen und dann die Ergebnisse zu addieren. Angenommen, wir müssen den Wert des folgenden Ausdrucks ermitteln:

Schließlich ist es überhaupt nicht schwer zu berechnen, dass die Quadratwurzel von 16 4 und von 121 11 ist. Daher gilt:

√16+√121=4+11=15

Dies ist jedoch der einfachste Fall – hier wir reden überüber perfekte Quadrate, d.h. über die Zahlen, die man durch Quadrieren ganzer Zahlen erhält. Aber das passiert nicht immer. Beispielsweise ist die Zahl 24 kein perfektes Quadrat (es gibt keine ganze Zahl, die, wenn sie in die zweite Potenz erhöht würde, 24 ergeben würde). Das Gleiche gilt für eine Zahl wie 54 ... Was wäre, wenn wir die Quadratwurzeln dieser Zahlen addieren müssten?

In diesem Fall erhalten wir in der Antwort keine Zahl, sondern einen anderen Ausdruck. Das Maximum, das wir hier tun können, besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen. Dazu müssen Sie die Faktoren unter der Quadratwurzel herausziehen. Sehen wir uns am Beispiel der oben genannten Zahlen an, wie das geht:

Lassen Sie uns zunächst 24 in Faktoren zerlegen, sodass einer von ihnen leicht als Quadratwurzel gezogen werden kann (d. h. sodass es ein perfektes Quadrat ist). Es gibt so eine Zahl – sie ist 4:

Machen wir nun dasselbe mit 54. In ihrer Zusammensetzung wird diese Zahl 9 sein:

Somit erhalten wir Folgendes:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Jetzt extrahieren wir die Wurzeln aus dem, woraus wir sie extrahieren können: 2*√6+3*√6

Hier gibt es einen gemeinsamen Faktor, den wir aus der Klammer herausnehmen können:

(2+3)* √6=5*√6

Dies wird das Ergebnis der Addition sein – mehr kann hier nicht extrahiert werden.

Sie können zwar auf einen Taschenrechner zurückgreifen, das Ergebnis ist jedoch ungefähr und weist eine große Anzahl von Dezimalstellen auf:

√6=2,449489742783178

Durch schrittweises Aufrunden erhalten wir etwa 2,5. Wenn wir die Lösung des vorherigen Beispiels dennoch zu einem logischen Abschluss bringen möchten, können wir dieses Ergebnis mit 5 multiplizieren – und erhalten 12,5. Mehr genaues Ergebnis kann mit solchen Ausgangsdaten nicht ermittelt werden.

Fakt 1.
\(\bullet\) Nehmen wir eine nichtnegative Zahl \(a\) (das heißt \(a\geqslant 0\) ). Dann (Arithmetik) Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) nennt man eine solche nichtnegative Zahl \(b\), quadriert erhalten wir die Zahl \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(same as )\quad a=b^2\] Aus der Definition ergibt sich das \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Diese Einschränkungen sind eine wichtige Voraussetzung für die Existenz einer Quadratwurzel und sollten beachtet werden!
Denken Sie daran, dass jede quadrierte Zahl ein nicht negatives Ergebnis ergibt. Das heißt, \(100^2=10000\geqslant 0\) und \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Was ist \(\sqrt(25)\) gleich? Wir wissen, dass \(5^2=25\) und \((-5)^2=25\) . Da wir per Definition eine nichtnegative Zahl finden müssen, ist \(-5\) nicht geeignet, daher gilt \(\sqrt(25)=5\) (da \(25=5^2\) ).
Den Wert von \(\sqrt a\) zu ermitteln, nennt man Ziehen der Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) und die Zahl \(a\) nennt man Wurzelausdruck.
\(\bullet\) Basierend auf der Definition, dem Ausdruck \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) usw. ergibt keinen Sinn.

Fakt 2.
Für schnelle Berechnungen ist es hilfreich, die Quadrattabelle zu lernen natürliche Zahlen von \(1\) bis \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakt 3.
Welche Operationen können Sie mit Quadratwurzeln durchführen?
\(\Kugel\) Die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln ist NICHT GLEICH der Quadratwurzel der Summe oder Differenz \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Wenn Sie also beispielsweise \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) berechnen müssen, müssen Sie zunächst die Werte von \(\sqrt(25)\) und \(\ sqrt(49)\ ) und falten Sie sie dann. Somit, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Können bei der Addition von \(\sqrt a+\sqrt b\) die Werte \(\sqrt a\) oder \(\sqrt b\) nicht gefunden werden, dann wird ein solcher Ausdruck nicht weiter transformiert und bleibt so wie er ist. Beispielsweise können wir in der Summe \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) feststellen, dass \(\sqrt(49)\) \(7\) ist, aber \(\sqrt 2\) kann nicht in umgewandelt werden Wie auch immer, Deshalb \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Leider kann dieser Ausdruck nicht weiter vereinfacht werden\(\bullet\) Das Produkt/Quotient der Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des Produkts/Quotienten, d. h \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (vorausgesetzt, dass beide Seiten der Gleichheiten Sinn ergeben)
Beispiel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Mit diesen Eigenschaften ist es praktisch, Quadratwurzeln großer Zahlen zu finden, indem man sie faktorisiert.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Finden wir \(\sqrt(44100)\) . Da \(44100:100=441\) , dann \(44100=100\cdot 441\) . Gemäß dem Kriterium der Teilbarkeit ist die Zahl \(441\) durch \(9\) teilbar (da die Summe ihrer Ziffern 9 ist und durch 9 teilbar ist), also \(441:9=49\), das heißt, \(441=9\ cdot 49\) .
So bekamen wir: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Lassen Sie uns am Beispiel des Ausdrucks \(5\sqrt2\) zeigen, wie man Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingibt (Kurzschreibweise für den Ausdruck \(5\cdot \sqrt2\)). Da \(5=\sqrt(25)\) , dann \ Beachten Sie auch, dass z. B.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Warum so? Erklären wir es anhand von Beispiel 1). Wie Sie bereits verstehen, können wir die Zahl \(\sqrt2\) nicht irgendwie umwandeln. Stellen wir uns vor, dass \(\sqrt2\) eine Zahl \(a\) ist. Dementsprechend ist der Ausdruck \(\sqrt2+3\sqrt2\) nichts anderes als \(a+3a\) (eine Zahl \(a\) plus drei weitere gleiche Zahlen \(a\)). Und wir wissen, dass dies vier solchen Zahlen \(a\) entspricht, also \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Sie sagen oft „Sie können die Wurzel nicht extrahieren“, wenn Sie das Vorzeichen \(\sqrt () \ \) der Wurzel (Radikal) nicht entfernen können, wenn Sie den Wert einer Zahl ermitteln . Beispielsweise können Sie die Wurzel der Zahl \(16\) ziehen, weil \(16=4^2\) , also \(\sqrt(16)=4\) . Aber es ist unmöglich, die Wurzel der Zahl \(3\) zu ziehen, also \(\sqrt3\) zu finden, weil es keine Zahl gibt, die quadriert \(3\) ergibt.
Solche Zahlen (oder Ausdrücke mit solchen Zahlen) sind irrational. Zum Beispiel Zahlen \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) usw. sind irrational.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) usw.
\(\bullet\) Bitte beachten Sie, dass jede Zahl entweder rational oder irrational sein kann. Und alle rationalen und alle irrationalen Zahlen bilden zusammen eine Menge namens eine Menge reeller Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben \(\mathbb(R)\) bezeichnet.
Dies bedeutet, dass alle Nummern, die eingeschaltet sind dieser Moment wir wissen, werden reelle Zahlen genannt.

Fakt 5.
\(\bullet\) Der Modul einer reellen Zahl \(a\) ist eine nicht negative Zahl \(|a|\) gleich dem Abstand vom Punkt \(a\) zu \(0\) auf der echte Linie. Zum Beispiel sind \(|3|\) und \(|-3|\) gleich 3, da die Abstände von den Punkten \(3\) und \(-3\) zu \(0\) sind gleich und gleich \(3 \) .
\(\bullet\) Wenn \(a\) eine nicht negative Zahl ist, dann ist \(|a|=a\) .
Beispiel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann \(|a|=-a\) .
Beispiel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sie sagen, dass bei negativen Zahlen der Modul das Minus „frisst“, während positive Zahlen sowie die Zahl \(0\) vom Modul unverändert bleiben.
ABER Diese Regel gilt nur für Zahlen. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля wir können nicht. In diesem Fall bleibt dieser Ausdruck derselbe: \(|x|\) . \(\bullet\) Es gelten die folgenden Formeln: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( vorausgesetzt ) a\geqslant 0\] Sehr oft wird der folgende Fehler gemacht: Man sagt, dass \(\sqrt(a^2)\) und \((\sqrt a)^2\) ein und dasselbe seien. Dies gilt nur, wenn \(a\) eine positive Zahl oder Null ist. Aber wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann ist dies falsch. Es genügt, dieses Beispiel zu betrachten. Nehmen wir statt \(a\) die Zahl \(-1\) . Dann ist \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , aber der Ausdruck \((\sqrt (-1))^2\) existiert überhaupt nicht (schließlich Es ist unmöglich, das Wurzelzeichen für negative Zahlen zu verwenden!).
Deshalb machen wir Sie darauf aufmerksam, dass \(\sqrt(a^2)\) nicht gleich \((\sqrt a)^2\) ist! Beispiel 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Weil \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Da \(\sqrt(a^2)=|a|\) , dann ist \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (Der Ausdruck \(2n\) bezeichnet eine gerade Zahl)
Das heißt, wenn man aus einer Zahl, die bis zu einem gewissen Grad die Wurzel zieht, diesen Grad halbiert.
Beispiel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (Beachten Sie, dass sich herausstellt, dass die Wurzel der Zahl gleich \(-25\) ist, wenn das Modul nicht angegeben wird. ) ; aber wir erinnern uns, dass dies per Definition einer Wurzel nicht passieren kann: Wenn wir eine Wurzel ziehen, sollten wir immer eine positive Zahl oder Null erhalten)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (da jede Zahl zu einer geraden Potenz nicht negativ ist)

Fakt 6.
Wie vergleiche ich zwei Quadratwurzeln?
\(\bullet\) Für Quadratwurzeln gilt: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aBeispiel:
1) Vergleiche \(\sqrt(50)\) und \(6\sqrt2\) . Lassen Sie uns zunächst den zweiten Ausdruck in umwandeln \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Da \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\sqrt(50)\)?
Da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) und \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vergleichen wir \(\sqrt 2-1\) und \(0.5\) . Nehmen wir an, dass \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((einen auf beiden Seiten hinzufügen))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((beide Seiten quadrieren))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Wir sehen, dass wir eine falsche Ungleichung erhalten haben. Daher war unsere Annahme falsch und \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Beachten Sie, dass das Hinzufügen einer bestimmten Zahl zu beiden Seiten der Ungleichung das Vorzeichen nicht beeinflusst. Das Multiplizieren/Dividieren beider Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl hat ebenfalls keinen Einfluss auf deren Vorzeichen, aber das Multiplizieren/Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen der Ungleichung um!
Sie können beide Seiten einer Gleichung/Ungleichung NUR dann quadrieren, wenn beide Seiten nicht negativ sind. Beispielsweise kann man in der Ungleichung aus dem vorherigen Beispiel beide Seiten quadrieren, in der Ungleichung \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Daran sollte man sich erinnern \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca. 1,4\\ &\sqrt 3\ca. 1,7 \end(aligned)\] Die ungefähre Bedeutung dieser Zahlen zu kennen, wird Ihnen beim Zahlenvergleich helfen! \(\bullet\) Um die Wurzel (sofern sie extrahiert werden kann) aus einer großen Zahl zu ziehen, die nicht in der Quadrattabelle enthalten ist, müssen Sie zunächst bestimmen, zwischen welchen „Hundertern“ sie liegt, und dann – zwischen denen „ Zehner“ und bestimmen Sie dann die letzte Ziffer dieser Zahl. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das funktioniert.
Nehmen wir \(\sqrt(28224)\) . Wir wissen, dass \(100^2=10\.000\), \(200^2=40\.000\) usw. Beachten Sie, dass \(28224\) zwischen \(10\,000\) und \(40\,000\) liegt. Daher liegt \(\sqrt(28224)\) zwischen \(100\) und \(200\) .
Nun bestimmen wir, zwischen welchen „Zehnern“ unsere Zahl liegt (also zum Beispiel zwischen \(120\) und \(130\)). Aus der Quadrattabelle wissen wir auch, dass \(11^2=121\) , \(12^2=144\) usw., dann \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Wir sehen also, dass \(28224\) zwischen \(160^2\) und \(170^2\) liegt. Daher liegt die Zahl \(\sqrt(28224)\) zwischen \(160\) und \(170\) .
Versuchen wir, die letzte Ziffer zu bestimmen. Erinnern wir uns, welche einstelligen Zahlen quadriert am Ende \(4\) ergeben? Dies sind \(2^2\) und \(8^2\) . Daher endet \(\sqrt(28224)\) entweder mit 2 oder 8. Lassen Sie uns dies überprüfen. Finden wir \(162^2\) und \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Daher ist \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Um das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik adäquat zu lösen, müssen Sie zunächst theoretisches Material studieren, das Sie in zahlreiche Theoreme, Formeln, Algorithmen usw. einführt. Auf den ersten Blick scheint dies recht einfach zu sein. Tatsächlich ist es jedoch eine ziemlich schwierige Aufgabe, eine Quelle zu finden, in der die Theorie für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik für Studierende jeden Ausbildungsniveaus einfach und verständlich dargestellt wird. Schulbücher können nicht immer griffbereit sein. Und selbst im Internet kann es schwierig sein, Grundformeln für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik zu finden.

Warum ist das Studium der Mathematiktheorie nicht nur für Absolventen des Einheitlichen Staatsexamens so wichtig?

Weil es Ihren Horizont erweitert. Das Studium theoretischer Materialien in der Mathematik ist für jeden nützlich, der Antworten auf eine Vielzahl von Fragen im Zusammenhang mit dem Wissen über die Welt um ihn herum erhalten möchte. Alles in der Natur ist geordnet und hat eine klare Logik. Genau das spiegelt sich in der Wissenschaft wider, durch die es möglich ist, die Welt zu verstehen.
Weil es Intelligenz entwickelt. Durch das Studium von Referenzmaterialien für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik sowie das Lösen verschiedener Probleme lernt eine Person, logisch zu denken und zu argumentieren, Gedanken kompetent und klar zu formulieren. Er entwickelt die Fähigkeit zu analysieren, zu verallgemeinern und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Wir laden Sie ein, alle Vorteile unseres Ansatzes zur Systematisierung und Präsentation von Lehrmaterialien persönlich zu bewerten.

Ich schaute noch einmal auf das Schild... Und los geht's!

Beginnen wir mit etwas Einfachem:

Nur eine Minute. Dies bedeutet, dass wir es so schreiben können:

Habe es? Hier ist das nächste für Sie:

Werden die Wurzeln der resultierenden Zahlen nicht exakt gezogen? Kein Problem – hier einige Beispiele:

Was wäre, wenn es nicht zwei, sondern mehr Multiplikatoren gäbe? Das selbe! Die Formel zur Wurzelmultiplikation funktioniert mit einer beliebigen Anzahl von Faktoren:

Jetzt ganz alleine:

Antworten: Gut gemacht! Stimmen Sie zu, alles ist ganz einfach, Hauptsache man kennt das Einmaleins!

Wurzelteilung

Wir haben die Wurzelmultiplikation geklärt, kommen wir nun zur Eigenschaft der Division.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die allgemeine Formel so aussieht:

Was bedeutet, dass Die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

Das ist alles, was Wissenschaft ist. Hier ist ein Beispiel:

Es ist nicht alles so glatt wie im ersten Beispiel, aber wie Sie sehen, gibt es nichts Kompliziertes.

Was ist, wenn Sie auf diesen Ausdruck stoßen:

Sie müssen die Formel nur in die entgegengesetzte Richtung anwenden:

Und hier ist ein Beispiel:

Möglicherweise stoßen Sie auch auf diesen Ausdruck:

Alles ist beim Alten, nur müssen Sie sich hier merken, wie man Brüche übersetzt (wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an und kommen Sie zurück!). Erinnerst du dich? Jetzt lasst uns entscheiden!

Ich bin mir sicher, dass Sie alles gemeistert haben. Versuchen wir nun, die Wurzeln auf ein gewisses Maß anzuheben.

Potenzierung

Was passiert, wenn die Quadratwurzel quadriert wird? Es ist ganz einfach, erinnern Sie sich an die Bedeutung der Quadratwurzel einer Zahl – das ist eine Zahl, deren Quadratwurzel gleich ist.

Was erhalten wir also, wenn wir eine Zahl quadrieren, deren Quadratwurzel gleich ist?

Nun, natürlich, !

Schauen wir uns Beispiele an:

Es ist einfach, oder? Was ist, wenn die Wurzel in einem anderen Ausmaß vorliegt? Macht nichts!

Folgen Sie der gleichen Logik und merken Sie sich die Eigenschaften und möglichen Aktionen mit Graden.

Lesen Sie die Theorie zum Thema „“ und alles wird Ihnen ganz klar werden.

Hier ist zum Beispiel ein Ausdruck:

In diesem Beispiel ist der Grad gerade, aber was ist, wenn er ungerade ist? Wenden Sie erneut die Eigenschaften von Exponenten an und faktorisieren Sie alles:

Damit scheint alles klar zu sein, aber wie zieht man die Wurzel einer Zahl in eine Potenz? Hier ist zum Beispiel das:

Ziemlich einfach, oder? Was ist, wenn der Grad größer als zwei ist? Wir folgen der gleichen Logik, indem wir die Eigenschaften von Graden verwenden:

Na, ist alles klar? Dann lösen Sie die Beispiele selbst:

Und hier sind die Antworten:

Eintreten im Zeichen der Wurzel

Was haben wir nicht gelernt, mit Wurzeln umzugehen! Jetzt müssen Sie nur noch üben, die Nummer unter dem Wurzelzeichen einzugeben!

Es ist wirklich einfach!

Nehmen wir an, wir haben eine Nummer aufgeschrieben

Was können wir damit machen? Nun, natürlich verstecken Sie die drei unter der Wurzel und denken Sie daran, dass die drei die Quadratwurzel von ist!

Warum brauchen wir das? Ja, nur um unsere Möglichkeiten beim Lösen von Beispielen zu erweitern:

Wie gefällt Ihnen diese Eigenschaft der Wurzeln? Macht es das Leben viel einfacher? Für mich ist das genau richtig! Nur Wir müssen bedenken, dass wir nur positive Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingeben können.

Lösen Sie dieses Beispiel selbst -
Hast du es geschafft? Mal sehen, was Sie bekommen sollten:

Gut gemacht! Sie haben es geschafft, die Nummer unter dem Wurzelzeichen einzugeben! Kommen wir zu etwas ebenso Wichtigem – schauen wir uns an, wie man Zahlen vergleicht, die eine Quadratwurzel enthalten!

Vergleich der Wurzeln

Warum müssen wir lernen, Zahlen zu vergleichen, die eine Quadratwurzel enthalten?

Sehr einfach. Bei großen und langen Ausdrücken, die wir in der Prüfung antreffen, erhalten wir oft eine irrationale Antwort (erinnern Sie sich, was das ist? Wir haben heute bereits darüber gesprochen!)

Wir müssen die erhaltenen Antworten beispielsweise auf der Koordinatenlinie platzieren, um zu bestimmen, welches Intervall für die Lösung der Gleichung geeignet ist. Und hier entsteht das Problem: In der Prüfung gibt es keinen Taschenrechner, und wie kann man sich ohne ihn vorstellen, welche Zahl größer und welche kleiner ist? Das ist es!

Bestimmen Sie beispielsweise, was größer ist: oder?

Das kann man nicht sofort erkennen. Nun, nutzen wir die disassemblierte Eigenschaft, eine Zahl unter dem Wurzelzeichen einzugeben?

Fahre fort:

Nun ja, je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen, desto größer ist natürlich auch die Wurzel selbst!

Diese. wenn, dann, .

Daraus schließen wir fest: Und niemand wird uns vom Gegenteil überzeugen!

Wurzeln aus großen Zahlen ziehen

Zuvor haben wir einen Multiplikator unter dem Vorzeichen der Wurzel eingegeben, aber wie kann man ihn entfernen? Sie müssen es nur in Faktoren zerlegen und extrahieren, was Sie extrahieren!

Es war möglich, einen anderen Weg einzuschlagen und auf andere Faktoren auszudehnen:

Nicht schlecht, oder? Jeder dieser Ansätze ist richtig, entscheiden Sie, wie Sie möchten.

Faktorisierung ist sehr nützlich, wenn man solche nicht standardmäßigen Probleme wie dieses löst:

Lasst uns keine Angst haben, sondern handeln! Zerlegen wir jeden Faktor unter der Wurzel in einzelne Faktoren:

Probieren Sie es jetzt selbst aus (ohne Taschenrechner! Es wird nicht in der Prüfung sein):

Ist das das Ende? Lasst uns nicht auf halbem Weg stehen bleiben!

Das ist alles, es ist nicht so gruselig, oder?

Passiert? Gut gemacht, das stimmt!

Probieren Sie nun dieses Beispiel aus:

Aber das Beispiel ist eine schwierige Nuss, sodass man nicht sofort weiß, wie man es angeht. Aber natürlich können wir damit umgehen.

Nun, fangen wir mit dem Factoring an? Beachten wir gleich, dass man eine Zahl durch teilen kann (denken Sie an die Teilbarkeitszeichen):

Probieren Sie es jetzt selbst aus (wieder ohne Taschenrechner!):

Na, hat es funktioniert? Gut gemacht, das stimmt!

Fassen wir es zusammen

Die Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist.
.
Wenn wir einfach die Quadratwurzel aus etwas ziehen, erhalten wir immer ein nicht negatives Ergebnis.
Eigenschaften einer arithmetischen Wurzel:
Beim Vergleich von Quadratwurzeln ist zu beachten, dass die Wurzel selbst umso größer ist, je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist.

Wie ist die Quadratwurzel? Alles klar?

Wir haben versucht, Ihnen unkompliziert alles zu erklären, was Sie in der Prüfung über die Quadratwurzel wissen müssen.

Jetzt bist du dran. Schreiben Sie uns, ob Ihnen dieses Thema schwerfällt oder nicht.

Hast du etwas Neues gelernt oder war schon alles klar?

Schreiben Sie in die Kommentare und viel Glück bei Ihren Prüfungen!