Was immer quadratisch ist. Lösung quadratischer Gleichungen, Wurzelformeln, Beispiele
Die Transformation einer vollständigen quadratischen Gleichung in eine unvollständige sieht so aus (für den Fall \(b=0\)):
Für Fälle, in denen \(c=0\) oder beide Koeffizienten gleich Null sind, ist alles ähnlich.
Bitte beachten Sie, dass \(a\) nicht gleich Null ist, es kann nicht gleich Null sein, da es in diesem Fall zu:
Unvollständige quadratische Gleichungen lösen
Zunächst müssen Sie verstehen, dass die unvollständige quadratische Gleichung immer noch besteht und daher auf die gleiche Weise wie die übliche quadratische Gleichung (durch) gelöst werden kann. Dazu addieren wir einfach die fehlende Komponente der Gleichung mit einem Koeffizienten von Null.
Beispiel
: Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(3x^2-27=0\)
Lösung
:
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Wir haben eine unvollständige quadratische Gleichung mit dem Koeffizienten \(b=0\). Das heißt, wir können die Gleichung in der folgenden Form schreiben: |
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\(3x^2+0\cdot x-27=0\) |
Tatsächlich ist hier die gleiche Gleichung wie am Anfang, aber jetzt kann sie als gewöhnliches Quadrat gelöst werden. Zuerst schreiben wir die Koeffizienten auf. |
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\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\) |
Berechnen Sie die Diskriminante mit der Formel \(D=b^2-4ac\) |
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\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) |
Lassen Sie uns die Wurzeln der Gleichung mithilfe der Formeln finden |
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\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\) |
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Schreibe die Antwort auf |
Antworten : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)
Beispiel
: Finden Sie die Wurzeln der Gleichung \(-x^2+x=0\)
Lösung
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Wieder eine unvollständige quadratische Gleichung, aber jetzt ist der Koeffizient \(c\) gleich Null. Wir schreiben die Gleichung als vollständig. |
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Quadratische Gleichung oder eine Gleichung zweiten Grades mit einer Unbekannten ist eine Gleichung, die nach Transformationen auf die folgende Form reduziert werden kann:
Axt 2 + bx + c = 0 - quadratische Gleichung
wo x ist das Unbekannte, und a, b und c- Koeffizienten der Gleichung. In quadratischen Gleichungen a heißt der erste Koeffizient ( a ≠ 0), b heißt der zweite Koeffizient, und c wird als bekanntes oder freies Mitglied bezeichnet.
Die gleichung:
Axt 2 + bx + c = 0
genannt Komplett quadratische Gleichung. Wenn einer der Koeffizienten b oder c Null ist oder beide dieser Koeffizienten gleich Null sind, dann wird die Gleichung als unvollständige quadratische Gleichung dargestellt.
Reduzierte quadratische Gleichung
Die vollständige quadratische Gleichung kann auf eine bequemere Form gebracht werden, indem alle ihre Terme durch dividiert werden a, also für den ersten Koeffizienten:
Die gleichung x 2 + px + q= 0 heißt eine reduzierte quadratische Gleichung. Daher kann jede quadratische Gleichung, in der der erste Koeffizient gleich 1 ist, als reduziert bezeichnet werden.
Zum Beispiel die Gleichung:
x 2 + 10x - 5 = 0
reduziert, und die Gleichung:
3x 2 + 9x - 12 = 0
kann durch die obige Gleichung ersetzt werden, indem alle ihre Terme durch -3 geteilt werden:
x 2 - 3x + 4 = 0
Lösen quadratischer Gleichungen
Um eine quadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie sie in eine der folgenden Formen bringen:
Axt 2 + bx + c = 0
Axt 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0
Jeder Gleichungstyp hat seine eigene Formel, um die Wurzeln zu finden:
Achte auf die Gleichung:
Axt 2 + 2kx + c = 0
Dies ist die umgewandelte Gleichung Axt 2 + bx + c= 0, wobei der Koeffizient b- gerade, wodurch es durch Typ 2 ersetzt werden kann k. Daher kann die Formel zum Finden der Wurzeln für diese Gleichung vereinfacht werden, indem 2 eingesetzt wird k Anstatt von b:
Beispiel 1 Löse die Gleichung:
3x 2 + 7x + 2 = 0
Da der zweite Koeffizient in der Gleichung keine gerade Zahl ist und der erste Koeffizient nicht gleich eins ist, suchen wir die Wurzeln mit der allerersten Formel, die als allgemeine Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung bezeichnet wird. Zuerst
a = 3, b = 7, c = 2
Um nun die Wurzeln der Gleichung zu finden, setzen wir einfach die Werte der Koeffizienten in die Formel ein:
| x 1 = | -2 | = - | 1 | , x 2 = | -12 | = -2 |
| 6 | 3 | 6 |
| Antworten: - | 1 | , -2. |
| 3 |
Beispiel 2:
x 2 - 4x - 60 = 0
Lassen Sie uns bestimmen, was die Koeffizienten gleich sind:
a = 1, b = -4, c = -60
Da der zweite Koeffizient in der Gleichung eine gerade Zahl ist, verwenden wir die Formel für quadratische Gleichungen mit einem geraden zweiten Koeffizienten:
x 1 = 2 + 8 = 10, x 2 = 2 - 8 = -6
Antworten: 10, -6.
Beispiel 3
j 2 + 11j = j - 25
Bringen wir die Gleichung auf eine allgemeine Form:
j 2 + 11j = j - 25
j 2 + 11j - j + 25 = 0
j 2 + 10j + 25 = 0
Lassen Sie uns bestimmen, was die Koeffizienten gleich sind:
a = 1, p = 10, q = 25
Da der erste Koeffizient gleich 1 ist, suchen wir nach den Wurzeln, indem wir die Formel für die obigen Gleichungen mit einem geraden zweiten Koeffizienten verwenden:
Antworten: -5.
Beispiel 4
x 2 - 7x + 6 = 0
Lassen Sie uns bestimmen, was die Koeffizienten gleich sind:
a = 1, p = -7, q = 6
Da der erste Koeffizient gleich 1 ist, suchen wir die Wurzeln mit der Formel für die gegebenen Gleichungen mit einem ungeraden zweiten Koeffizienten:
x 1 = (7 + 5) : 2 = 6, x 2 = (7 - 5) : 2 = 1
Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Gleichungen werden seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. Mit der Diskriminante können Sie alle quadratischen Gleichungen mit der allgemeinen Formel lösen, die die folgende Form hat:
Die Diskriminanzformel hängt vom Grad des Polynoms ab. Die obige Formel eignet sich zum Lösen quadratischer Gleichungen der folgenden Form:
Die Diskriminante hat die folgenden Eigenschaften, die Sie kennen müssen:
* "D" ist 0, wenn das Polynom mehrere Wurzeln hat (gleiche Wurzeln);
* "D" ist ein symmetrisches Polynom in Bezug auf die Wurzeln des Polynoms und ist daher ein Polynom in seinen Koeffizienten; außerdem sind die Koeffizienten dieses Polynoms ganze Zahlen, unabhängig von der Erweiterung, in der die Wurzeln gezogen werden.
Angenommen, wir haben eine quadratische Gleichung der folgenden Form:
1 Gleichung
Nach der Formel haben wir:
Da \, dann hat die Gleichung 2 Wurzeln. Lassen Sie uns sie definieren:
Wo kann ich die Gleichung mit dem Diskriminanz-Online-Solver lösen?
Sie können die Gleichung auf unserer Website https: // site. Mit dem kostenlosen Online-Solver können Sie eine Online-Gleichung beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Sie können sich auch die Videoanleitung ansehen und lernen, wie man die Gleichung auf unserer Website löst. Und wenn Sie Fragen haben, können Sie sie in unserer Vkontakte-Gruppe http://vk.com/pocketteacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.
Ich hoffe, dass Sie nach dem Studium dieses Artikels lernen, wie man die Wurzeln einer vollständigen quadratischen Gleichung findet.
Mit Hilfe der Diskriminante werden nur vollständige quadratische Gleichungen gelöst, zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen kommen andere Methoden zum Einsatz, die Sie im Artikel "Unvollständige quadratische Gleichungen lösen" finden.
Welche quadratischen Gleichungen heißen vollständig? Das Gleichungen der Form ax 2 + b x + c = 0, wobei die Koeffizienten a, b und c ungleich Null sind. Um also die vollständige quadratische Gleichung zu lösen, müssen Sie die Diskriminante D berechnen.
D \u003d b 2 - 4ac.
Je nachdem, welchen Wert die Diskriminante hat, schreiben wir die Antwort auf.
Wenn die Diskriminante eine negative Zahl ist (D< 0),то корней нет.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann x \u003d (-b) / 2a. Wenn die Diskriminante eine positive Zahl ist (D > 0),
dann x 1 = (-b - √D)/2a und x 2 = (-b + √D)/2a.
Zum Beispiel. löse die Gleichung x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Antwort: 2.
Lösen Sie Gleichung 2 x 2 + x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Antwort: keine Wurzeln.
Lösen Sie Gleichung 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Antwort: - 3,5; eines.
Stellen wir uns also die Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen nach dem Schema in Abbildung 1 vor.
Diese Formeln können verwendet werden, um jede vollständige quadratische Gleichung zu lösen. Man muss nur darauf achten Die Gleichung wurde als Polynom der Standardform geschrieben
a x 2 + bx + c, sonst kann man sich irren. Wenn Sie beispielsweise die Gleichung x + 3 + 2x 2 = 0 schreiben, können Sie dies fälschlicherweise entscheiden
a = 1, b = 3 und c = 2. Dann
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 und dann hat die Gleichung zwei Wurzeln. Und das ist nicht wahr. (Siehe Beispiel 2 Lösung oben).
Wenn also die Gleichung nicht als Polynom der Standardform geschrieben wird, muss zuerst die vollständige quadratische Gleichung als Polynom der Standardform geschrieben werden (das Monom mit dem größten Exponenten sollte also an erster Stelle stehen). a x 2 , dann mit weniger – bx, und dann der freie Begriff Mit.
Beim Lösen der obigen quadratischen Gleichung und der quadratischen Gleichung mit einem geraden Koeffizienten für den zweiten Term können auch andere Formeln verwendet werden. Machen wir uns mit diesen Formeln vertraut. Wenn in der vollständigen quadratischen Gleichung mit dem zweiten Term der Koeffizient gerade ist (b = 2k), dann kann die Gleichung mit den im Diagramm von Abbildung 2 gezeigten Formeln gelöst werden.
Eine vollständige quadratische Gleichung heißt reduziert, wenn der Koeffizient at x 2 gleich Eins ist und die Gleichung die Form annimmt x 2 + px + q = 0. Eine solche Gleichung kann zum Lösen gegeben werden oder wird erhalten, indem alle Koeffizienten der Gleichung durch den Koeffizienten dividiert werden a stehen an x 2 .
Abbildung 3 zeigt ein Diagramm der Lösung des reduzierten Quadrats 
Gleichungen. Betrachten Sie das Beispiel der Anwendung der in diesem Artikel besprochenen Formeln.
Beispiel. löse die Gleichung
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Lösen wir diese Gleichung mit den in Abbildung 1 gezeigten Formeln.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3
x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3
Sie können sehen, dass der Koeffizient bei x in dieser Gleichung eine gerade Zahl ist, dh b \u003d 6 oder b \u003d 2k, woher k \u003d 3. Versuchen wir dann, die Gleichung mit den im Abbildungsdiagramm gezeigten Formeln zu lösen D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3. Beachten Sie, dass alle Koeffizienten in dieser quadratischen Gleichung durch 3 teilbar sind und teilen, erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung x 2 + 2x - 2 = 0 Wir lösen diese Gleichung unter Verwendung der Formeln für das reduzierte Quadrat 
Gleichungen Abbildung 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3
Antwort: -1 - √3; –1 + √3.
Wie Sie sehen können, haben wir beim Lösen dieser Gleichung mit verschiedenen Formeln dieselbe Antwort erhalten. Wenn Sie also die im Diagramm von Abbildung 1 gezeigten Formeln gut beherrschen, können Sie jederzeit jede vollständige quadratische Gleichung lösen.
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UnterrichtsinhaltWas ist eine quadratische Gleichung und wie löst man sie?
Wir erinnern uns, dass eine Gleichung eine Gleichheit ist, die eine Variable enthält, deren Wert gefunden werden muss.
Wenn die in der Gleichung enthaltene Variable auf die zweite Potenz (Quadrat) erhoben wird, wird eine solche Gleichung aufgerufen Gleichung zweiten Grades oder quadratische Gleichung.
Beispielsweise sind die folgenden Gleichungen quadratisch:
Wir lösen die erste dieser Gleichungen, nämlich x 2 − 4 = 0 .
Alle identischen Transformationen, die wir beim Lösen gewöhnlicher linearer Gleichungen verwendet haben, können auch beim Lösen quadratischer Gleichungen angewendet werden.
Also in der Gleichung x 2 − 4 = 0 verschieben wir den Term −4 von der linken auf die rechte Seite, indem wir das Vorzeichen ändern:
Habe die Gleichung x 2 = 4 . Früher haben wir gesagt, dass die Gleichung als gelöst betrachtet wird, wenn in einem Teil die Variable im ersten Grad geschrieben ist und ihr Koeffizient gleich eins ist, und der andere Teil gleich einer Zahl ist. Das heißt, um die Gleichung zu lösen, sollte sie auf die Form reduziert werden x = a, wo a- Wurzel der Gleichung.
Wir haben eine Variable x noch im zweiten Grad, also muss die Lösung fortgesetzt werden.
Um die Gleichung zu lösen x 2 = 4 , müssen Sie die Frage zu welchem Wert beantworten x die linke Seite wird zu 4 . Offensichtlich für die Werte 2 und −2 . Um diese Werte abzuleiten, verwenden wir die Definition der Quadratwurzel.
Nummer b heißt die Quadratwurzel der Zahl a, wenn b 2 = ein und wird bezeichnet als
Wir haben jetzt eine ähnliche Situation. Immerhin, was ist x 2 = 4? Variable x in diesem Fall ist es die Quadratwurzel aus 4, weil die zweite Potenz x gleich 4.
Dann können wir das schreiben. Die Berechnung der rechten Seite ermöglicht es Ihnen, herauszufinden, was gleich ist x. Die Quadratwurzel hat zwei Bedeutungen: positiv und negativ. Dann bekommen wir x= 2 und x= −2 .
Normalerweise schreiben sie es so: Sie setzen ein Plus-Minus-Zeichen vor die Quadratwurzel und finden dann. In unserem Fall sollte in der Phase, in der der Ausdruck geschrieben wird, das ±-Zeichen vorangestellt werden
Finden Sie dann den arithmetischen Wert der Quadratwurzel
Ausdruck x= ± 2 bedeutet das x= 2 und x= −2 . Das heißt, die Wurzeln der Gleichung x 2 − 4 = 0 sind die Zahlen 2 und −2 . Wir schreiben die vollständige Lösung dieser Gleichung:
In beiden Fällen ist die linke Seite Null. Die Gleichung stimmt also.
Lösen wir eine andere Gleichung. Es sei erforderlich, die quadratische Gleichung ( x+ 2) 2 = 25
Lassen Sie uns zunächst diese Gleichung analysieren. Die linke Seite ist quadratisch und entspricht 25 . Welche Zahl zum Quadrat ist 25? Offensichtlich die Zahlen 5 und −5
Das heißt, unsere Aufgabe ist es, zu finden x, unter dem der Ausdruck x+ 2 ist gleich den Zahlen 5 und −5 . Schreiben wir diese beiden Gleichungen:
Lösen wir beide Gleichungen. Dies sind gewöhnliche lineare Gleichungen, die leicht gelöst werden können:
Also die Wurzeln der Gleichung ( x+ 2) 2 = 25 sind die Zahlen 3 und −7 .
In diesem Beispiel können Sie wie in der Vergangenheit die Definition der Quadratwurzel verwenden. Also, in den Gleichungen ( x+ 2) 2 = 25 Ausdruck ( x+ 2) ist die Quadratwurzel von 25. Daher können wir das erstmal schreiben 
.
Dann wird die rechte Seite gleich ±5 . Sie erhalten zwei Gleichungen: x+ 2 = 5 und x+ 2 = –5. Indem wir jede dieser Gleichungen einzeln lösen, kommen wir zu den Wurzeln 3 und −7.
Schreiben wir die vollständige Lösung der Gleichung ( x+ 2) 2 = 25
Aus den betrachteten Beispielen ist ersichtlich, dass die quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat. Um die gefundenen Wurzeln nicht zu vergessen, muss die Variable x kann mit Indizes signiert werden. Somit kann die Wurzel 3 bezeichnet werden als x 1 , und die Wurzel –7 durch x 2
Im vorherigen Beispiel könnten Sie dies auch tun. Die gleichung x 2 − 4 = 0 hatte Wurzeln 2 und −2 . Diese Wurzeln können als bezeichnet werden x 1 = 2 und x 2 = −2.
Es kommt auch vor, dass eine quadratische Gleichung nur eine oder gar keine Wurzeln hat. Wir werden solche Gleichungen später betrachten.
Überprüfen wir die Gleichung ( x+ 2) 2 = 25 . Setzen Sie die Wurzeln 3 und −7 ein. Wenn für die Werte 3 und −7 die linke Seite gleich 25 ist, bedeutet dies, dass die Gleichung korrekt gelöst ist:
In beiden Fällen ist die linke Seite 25 . Die Gleichung stimmt also.
Die quadratische Gleichung wird in verschiedenen Formen angegeben. Seine häufigste Form sieht so aus:
Axt 2 + bx + c= 0
,
wo a, b, c- einige Zahlen x- Unbekannt.
Diese sog allgemeine Form der quadratischen Gleichung. In einer solchen Gleichung werden alle Terme an einer gemeinsamen Stelle (in einem Teil) gesammelt und der andere Teil ist gleich Null. Andernfalls wird diese Art von Gleichung aufgerufen Normalform einer quadratischen Gleichung.
Sei Gleichung 3 gegeben x 2 + 2x= 16 . Es hat eine Variable x in die zweite Potenz erhoben, also ist die Gleichung quadratisch. Bringen wir diese Gleichung auf eine allgemeine Form.
Wir müssen also eine Gleichung erhalten, die der Gleichung ähnlich ist Axt 2 + bx+ c= 0 . Dazu in Gleichung 3 x 2 + 2x= 16 verschieben wir 16 von der rechten Seite auf die linke Seite, indem wir das Vorzeichen ändern:
3x 2 + 2x − 16 = 0
Habe die Gleichung 3x 2 + 2x− 16 = 0 . In dieser Gleichung a= 3 , b= 2 , c= −16 .
In einer quadratischen Gleichung der Form Axt 2 + bx+ c= 0 Zahlen a , b und c haben ihre eigenen Namen. Ja, die Nummer a genannt der erste oder ältere Koeffizient; Nummer b genannt der zweite Koeffizient; Nummer c freies Mitglied genannt.
In unserem Fall für die Gleichung 3x 2 + 2x− 16 = 0 der erste oder höchste Koeffizient ist 3; der zweite Koeffizient ist die Zahl 2; das freie Mitglied ist die Zahl −16 . Es gibt noch einen anderen gebräuchlichen Namen für Zahlen a, b und c — Optionen.
Also in der Gleichung 3x 2 + 2x− 16 = 0 die Parameter sind die Zahlen 3 , 2 und −16 .
In einer quadratischen Gleichung ist es wünschenswert, die Terme so anzuordnen, dass sie in derselben Reihenfolge angeordnet sind wie in der normalen Form der quadratischen Gleichung.
Zum Beispiel angesichts der Gleichung −5 + 4x 2 + x= 0 , dann ist es wünschenswert, es in der normalen Form zu schreiben, dh in der Form Axt 2 + bx + c= 0.
In der Gleichung −5 + 4x 2 + x = 0 Es ist ersichtlich, dass der freie Term -5 ist, er sollte sich am Ende der linken Seite befinden. Mitglied 4 x 2 den führenden Koeffizienten enthält, muss er an erster Stelle stehen. Mitglied x jeweils an zweiter Stelle stehen:
Die quadratische Gleichung kann je nach Fall unterschiedliche Formen annehmen. Es hängt alles davon ab, was die Werte sind a , b und Mit .
Wenn die Koeffizienten a , b und c ungleich Null sind, dann heißt die quadratische Gleichung Komplett. Zum Beispiel ist die quadratische Gleichung vollständig 2x 2 + 6x - 8 = 0 .
Wenn einer der Koeffizienten gleich Null ist (d. h. nicht vorhanden ist), wird die Gleichung erheblich reduziert und nimmt eine einfachere Form an. Diese quadratische Gleichung heißt unvollständig. Beispielsweise ist die quadratische Gleichung 2 unvollständig x 2 + 6x= 0, es hat Koeffizienten a und b(Nummern 2 und 6 ), aber es gibt kein kostenloses Mitglied c.
Lassen Sie uns jeden dieser Gleichungstypen betrachten, und für jeden dieser Typen werden wir seine eigene Art der Lösung definieren.
Lassen Sie die quadratische Gleichung 2x 2 + 6x - 8 = 0 . In dieser Gleichung a= 2 , b= 6 , c= −8 . Wenn ein b gleich Null gesetzt, dann nimmt die Gleichung die Form an:
Es stellte sich Gleichung 2 heraus x 2 − 8 = 0 . Um es zu lösen, verschieben wir −8 nach rechts und ändern das Vorzeichen:
2x 2 = 8
Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, verwenden wir die zuvor untersuchten identischen Transformationen. In diesem Fall können Sie beide Teile in 2 teilen
Wir haben die Gleichung, die wir zu Beginn dieser Lektion gelöst haben. Um die Gleichung zu lösen x 2 \u003d 4, sollten Sie die Definition der Quadratwurzel verwenden. Wenn ein x 2 = 4 , dann . Von hier x= 2 und x= −2 .
Also die Wurzeln von Gleichung 2 x 2 − 8 = 0 sind die Zahlen 2 und −2 . Wir schreiben die vollständige Lösung dieser Gleichung:
Machen wir einen Check. Wir setzen die Wurzeln 2 und −2 in die ursprüngliche Gleichung ein und führen die entsprechenden Berechnungen durch. Wenn für die Werte 2 und −2 die linke Seite gleich Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung korrekt gelöst ist:
In beiden Fällen ist die linke Seite gleich Null, was bedeutet, dass die Gleichung korrekt gelöst ist.
Die Gleichung, die wir jetzt gelöst haben, ist unvollständige quadratische gleichung. Der Name spricht für sich. Wenn die vollständige quadratische Gleichung aussieht Axt 2 + bx+ c= 0 , dann den Koeffizienten bilden b Null ist eine unvollständige quadratische Gleichung Axt 2 + c= 0 .
Wir hatten auch zuerst eine vollständige quadratische Gleichung 2x 2 + 6x− 4 = 0 . Aber wir haben das Verhältnis gemacht b Null, d.h. anstelle der Zahl 6 0 setzen. Als Ergebnis wurde die Gleichung zu einer unvollständigen quadratischen Gleichung 2 x 2 − 4 = 0 .
Zu Beginn dieser Lektion haben wir die quadratische Gleichung gelöst x 2 − 4 = 0 . Es ist auch eine Gleichung der Form Axt 2 + c= 0 , also unvollständig. In ihm a= 1 , b= 0 , Mit= −4 .
Außerdem wird die quadratische Gleichung unvollständig, wenn der Koeffizient c gleich Null ist.
Betrachten Sie die vollständige quadratische Gleichung 2x 2 + 6x - 4 = 0 . Machen wir einen Koeffizienten c Null. Das heißt, anstelle der Zahl 4, setzen Sie 0
Habe eine quadratische Gleichung 2 x 2 + 6x=0 , was unvollständig ist. Um eine solche Gleichung zu lösen, muss die Variable x aus Klammern setzen:
Es stellte sich heraus, die Gleichung x(2x+ 6) = 0 in denen zu finden ist x, bei der die linke Seite gleich Null wird. Beachten Sie, dass in dieser Gleichung die Ausdrücke x und 2 x+ 6) sind Faktoren. Eine der Eigenschaften der Multiplikation besagt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist (entweder der erste Faktor oder der zweite).
In unserem Fall wird Gleichheit erreicht, wenn x gleich Null sein oder (2 x+ 6) wird gleich Null sein. Beginnen wir damit, dies zu schreiben:
Es gibt zwei Gleichungen: x= 0 und 2 x+ 6 = 0 . Die erste Gleichung muss nicht gelöst werden – sie wurde bereits gelöst. Das heißt, die erste Wurzel ist Null.
Um die zweite Wurzel zu finden, lösen wir Gleichung 2 x+ 6 = 0 . Dies ist eine einfache lineare Gleichung, die leicht zu lösen ist:
Wir sehen, dass die zweite Wurzel −3 ist.
Also die Wurzeln von Gleichung 2 x 2 + 6x= 0 sind die Zahlen 0 und −3 . Wir schreiben die vollständige Lösung dieser Gleichung:
Machen wir einen Check. Wir setzen die Wurzeln 0 und −3 in die ursprüngliche Gleichung ein und führen die entsprechenden Berechnungen durch. Wenn für die Werte 0 und –3 die linke Seite gleich Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung korrekt gelöst ist:
Der nächste Fall ist, wenn die Zahlen b und Mit gleich Null sind. Betrachten Sie die vollständige quadratische Gleichung 2x 2 + 6x− 4 = 0 . Machen wir Koeffizienten b und c Nullen. Dann lautet die Hallo-Gleichung:
Habe Gleichung 2 x 2 = 0 . Die linke Seite ist das Produkt und die rechte Seite ist Null. Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Es ist klar, dass x= 0 . Tatsächlich ist 2 × 0 2 = 0 . Also 0 = 0 . Für andere Werte x Gleichstellung wird nicht erreicht.
Einfach ausgedrückt, wenn in einer quadratischen Gleichung der Form Axt 2 + bx+ c= 0 Zahlen b und Mit gleich Null sind, dann ist die Wurzel einer solchen Gleichung gleich Null.
Beachten Sie, dass wenn die Sätze " b ist Null" oder " c ist null “, dann versteht es sich, dass die Parameter b oder c gar nicht in die Rechnung eingerechnet.
Zum Beispiel, wenn Gleichung 2 gegeben ist x 2 − 32 = 0 , dann sagen wir das b= 0 . Denn im Vergleich zur vollständigen Gleichung Axt 2 + bx+ c= 0 , das sieht man in Gleichung 2 x 2 − 32 = 0 gibt es einen führenden Koeffizienten a, gleich 2; es gibt einen Schnittpunkt -32 ; aber kein Koeffizient b .
Betrachten Sie schließlich die vollständige quadratische Gleichung Axt 2 + bx+ c= 0 . Lassen Sie uns als Beispiel die quadratische Gleichung lösen x 2 − 2x+ 1 = 0 .
Also müssen wir finden x, bei der die linke Seite gleich Null wird. Lassen Sie uns die zuvor untersuchten identischen Transformationen verwenden.
Beachten Sie zunächst, dass die linke Seite der Gleichung ist. Wenn wir uns erinnern wie , kommen wir auf die linke Seite ( x− 1) 2 .
Wir argumentieren weiter. Die linke Seite ist quadratisch und gleich Null. Welche Zahl zum Quadrat ist Null? Offensichtlich nur 0 . Unsere Aufgabe ist es daher, zu finden x, wobei der Ausdruck x− 1 ist gleich Null. Durch Lösen der einfachsten Gleichung x− 1 = 0 , können Sie herausfinden, was gleich ist x
Das gleiche Ergebnis erhält man mit der Quadratwurzel. In der Gleichung ( x− 1) 2 = 0 Ausdruck ( x− 1) ist die Quadratwurzel aus Null. Dann kann man das schreiben 
. In diesem Beispiel brauchen Sie das ±-Zeichen nicht vor die Wurzel zu schreiben, da die Wurzel aus Null nur einen Wert hat – Null. Dann stellt sich heraus x− 1 = 0 . Von hier x= 1
.
Also die Wurzel der Gleichung x 2 − 2x+ 1 = 0 ist eine Einheit. Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln. In diesem Fall haben wir eine quadratische Gleichung gelöst, die nur eine Wurzel hat. Dies geschieht auch.
Einfache Gleichungen sind nicht immer gegeben. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x 2 + 2x− 3 = 0 .
In diesem Fall ist die linke Seite nicht mehr das Quadrat der Summe oder Differenz. Daher müssen andere Lösungen gefunden werden.
Beachten Sie, dass die linke Seite der Gleichung ein quadratisches Trinom ist. Dann können wir versuchen, ein volles Quadrat aus diesem Trinom auszuwählen und sehen, was es uns gibt.
Wir wählen das volle Quadrat aus dem quadratischen Trinom, das sich auf der linken Seite der Gleichung befindet:
In der resultierenden Gleichung übertragen wir −4 auf die rechte Seite, indem wir das Vorzeichen ändern:
Lassen Sie uns nun die Quadratwurzel verwenden. In der Gleichung ( x+ 1) 2 = 4 Ausdruck ( x+ 1) ist die Quadratwurzel von 4. Dann kann man das schreiben 
. Die Berechnung der rechten Seite ergibt den Ausdruck x+ 1 = ±2 . Daraus erhalten wir zwei Gleichungen: x+ 1 = 2 und x+ 1 = −2, dessen Wurzeln die Zahlen 1 und −3 sind
Also die Wurzeln der Gleichung x 2 + 2x− 3 = 0 sind die Zahlen 1 und −3 .
Lass uns das Prüfen:
Beispiel 3. löse die Gleichung x 2 − 6x+ 9 = 0 , ein volles Quadrat auswählen.
Also die Wurzel der Gleichung x 2 − 6x+ 9 = 0 ist 3. Prüfen wir:
Beispiel 4 4x 2 + 28x− 72 = 0 , Hervorhebung des gesamten Quadrats:
Wählen Sie ein ganzes Quadrat von der linken Seite aus:
Lassen Sie uns −121 von der linken Seite auf die rechte Seite verschieben und das Vorzeichen ändern:
Nehmen wir die Quadratwurzel:
Wir haben zwei einfache Gleichungen: 2 x+ 7 = 11 und 2 x+ 7 = -11. Lösen wir sie:
Beispiel 5. löse die Gleichung 2x 2 + 3x− 27 = 0
Diese Gleichung ist etwas komplizierter. Wenn wir ein volles Quadrat auswählen, stellen wir den ersten Term des quadratischen Trinoms als ein Quadrat mit einem bestimmten Ausdruck dar.
Im vorherigen Beispiel war der erste Term der Gleichung also 4 x 2. Es könnte als Quadrat des Ausdrucks 2 dargestellt werden x, also (2x) 2 = 2 2 x 2 = 4x 2 . Um zu überprüfen, ob dies richtig ist, können Sie die Quadratwurzel aus dem Ausdruck 4 ziehen x 2. Dies ist die Quadratwurzel des Produkts - sie ist gleich dem Produkt der Wurzeln:
In der Gleichung 2x 2 + 3x− 27 = 0 erstes Mitglied ist 2 x 2. Es kann nicht als Quadrat irgendeines Ausdrucks dargestellt werden. Denn es gibt keine Zahl, deren Quadrat 2 ist. Gäbe es eine solche Zahl, dann wäre diese Zahl die Quadratwurzel aus der Zahl 2. Aber die Quadratwurzel aus der Zahl 2 wird nur näherungsweise gezogen. Und der Näherungswert ist nicht geeignet, die Zahl 2 als Quadrat darzustellen.
Wenn beide Teile der ursprünglichen Gleichung mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der ursprünglichen entspricht. Diese Regel gilt auch für die quadratische Gleichung.
Dann können wir beide Seiten unserer Gleichung durch 2 teilen. Dies wird die Zwei vorher loswerden x 2, die uns später die Möglichkeit gibt, ein ganzes Quadrat auszuwählen:
Schreibe die linke Seite als drei Brüche mit Nenner 2 um
Wir reduzieren den ersten Bruch um 2. Wir schreiben die restlichen Mitglieder der linken Seite ohne Änderungen um. Die rechte Seite wird immer noch Null:
Wählen wir ein volles Quadrat aus.
Bei der Darstellung eines Terms als Doppelprodukt würde das Auftreten eines Faktors 2 dazu führen, dass dieser Faktor und der Nenner des Bruchs gekürzt würden. Um dies zu verhindern, wurde das verdoppelte Produkt mit multipliziert. Bei der Auswahl eines vollen Quadrats sollten Sie immer darauf achten, dass sich der Wert des ursprünglichen Ausdrucks nicht ändert.
Lassen Sie uns das resultierende vollständige Quadrat reduzieren:
Hier sind ähnliche Mitglieder:
Lassen Sie uns den Bruch auf die rechte Seite verschieben, indem wir das Vorzeichen ändern:
Lassen Sie uns die Quadratwurzel verwenden. Der Ausdruck ist die Quadratwurzel einer Zahl
Um die rechte Seite zu berechnen, verwenden wir die Extraktionsregel:
Dann nimmt unsere Gleichung die Form an:
Wir erhalten zwei Gleichungen:
Lösen wir sie:
Also die Wurzeln der Gleichung 2x 2 + 3x− 27 = 0 sind die Zahlen 3 und .
Es ist bequemer, die Wurzel in dieser Form zu belassen, ohne den Zähler durch den Nenner zu teilen. Dies erleichtert die Überprüfung.
Machen wir einen Check. Wir setzen die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung ein:
In beiden Fällen ist die linke Seite gleich Null, so die Gleichung 2x 2 + 3x− 27 = 0 richtig entschieden.
Lösen der Gleichung 2x 2 + 3x− 27 = 0 , ganz am Anfang haben wir beide Teile davon durch 2 geteilt . Als Ergebnis wurde eine quadratische Gleichung erhalten, in der der Koeffizient vor x 2 ist gleich eins:
Diese Art von quadratischer Gleichung wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung.
Jede quadratische Gleichung der Form Axt 2 + bx+ c= 0 reduziert werden kann. Dazu müssen Sie beide Teile durch den Koeffizienten dividieren, der sich vor x² befindet. In diesem Fall beide Seiten der Gleichung Axt 2 + bx+ c= 0 unterteilt werden muss a
Beispiel 6. Lösen Sie eine quadratische Gleichung 2x 2 + x+ 2 = 0
Lassen Sie uns diese Gleichung reduzieren:
Wählen wir ein ganzes Quadrat aus:
Habe die Gleichung 
, wobei das Quadrat des Ausdrucks gleich einer negativen Zahl ist. Das kann nicht sein, da das Quadrat jeder Zahl oder jedes Ausdrucks immer positiv ist.
Daher gibt es so etwas nicht x, wobei die linke Seite gleich werden würde. Also die Gleichung hat keine Wurzeln.
Und da die Gleichung entspricht der ursprünglichen Gleichung 2x 2 + x+ 2 = 0
, dann hat sie (die ursprüngliche Gleichung) keine Wurzeln.
Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Es ist nicht sehr praktisch, für jede zu lösende quadratische Gleichung ein ganzes Quadrat auszuwählen.
Ist es möglich, universelle Formeln zum Lösen quadratischer Gleichungen zu erstellen? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Jetzt werden wir uns damit befassen.
Basierend auf der wörtlichen Gleichung Axt 2 + bx+ c= 0 , und nachdem wir einige identische Transformationen durchgeführt haben, können wir Formeln zum Ableiten der Wurzeln der quadratischen Gleichung erhalten Axt 2 + bx+ c= 0 . Koeffizienten können in diese Formeln eingesetzt werden a , b , Mit und Lösungen erhalten.
Also wählen wir das volle Quadrat von der linken Seite der Gleichung aus Axt 2 + bx+ c= 0. Lassen Sie uns zuerst diese Gleichung reduzieren. Teilen wir beide Teile in a
Jetzt wählen wir in der resultierenden Gleichung das vollständige Quadrat aus:
Wir übertragen die Begriffe und auf die rechte Seite, indem wir das Vorzeichen ändern:
Bringen wir die rechte Seite auf einen gemeinsamen Nenner. Aus Buchstaben bestehende Brüche ergeben einen gemeinsamen Nenner. Das heißt, der Nenner des ersten Bruchs wird zum zusätzlichen Faktor des zweiten Bruchs und der Nenner des zweiten Bruchs wird zum zusätzlichen Faktor des ersten Bruchs:
Im Zähler der rechten Seite nehmen wir aus Klammern heraus a
Lassen Sie uns die rechte Seite verkürzen a
Da alle Transformationen identisch waren, ergibt sich die resultierende Gleichung 
hat die gleichen Wurzeln wie die ursprüngliche Gleichung Axt 2 + bx+ c= 0.
Die gleichung hat nur Wurzeln, wenn die rechte Seite größer oder gleich Null ist. Dies liegt daran, dass das Quadrieren auf der linken Seite erfolgt und das Quadrat jeder Zahl positiv oder gleich Null ist (wenn Null in dieses Quadrat quadriert wird). Und was die rechte Seite gleich sein wird, hängt davon ab, was anstelle von Variablen ersetzt wird a
, b und c
.
Denn für jeden a ungleich Null, dem Nenner der rechten Seite der Gleichung immer positiv ist, dann hängt das Vorzeichen des Bruchs vom Vorzeichen seines Zählers ab, also vom Ausdruck b 2 − 4ac
.
Ausdruck b 2 − 4ac genannt Diskriminante einer quadratischen Gleichung. Diskriminanz ist eine lateinische Wortbedeutung Feuerlöscher . Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung wird mit dem Buchstaben bezeichnet D
D = b 2 − 4ac
Die Diskriminante ermöglicht es Ihnen, im Voraus zu wissen, ob die Gleichung Wurzeln hat oder nicht. In der vorherigen Aufgabe haben wir also die Gleichung für eine lange Zeit gelöst 2x 2 + x+ 2 = 0 und es stellte sich heraus, dass es keine Wurzeln hat. Die Diskriminante würde es uns ermöglichen, im Voraus zu wissen, dass es keine Wurzeln gibt. In der Gleichung 2x 2 + x+ 2 = 0 Chancen ein, b und c sind 2, 1 bzw. 2. Setze sie in die Formel ein D = b 2 −4ac
D = b 2 − 4ac= 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.
Wir sehen das D(es ist b 2 − 4ac) ist eine negative Zahl. Dann macht es keinen Sinn, die Gleichung zu lösen 2x 2 + x+ 2 = 0,
Auswählen eines vollen Quadrats darin, denn wenn wir zu einer Gleichung der Form kommen , stellt sich heraus, dass die rechte Seite kleiner als Null wird (aufgrund der negativen Diskriminante). Und das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein. Daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.
Es wird deutlich, warum die alten Menschen den Ausdruck betrachteten b 2 − 4ac Feuerlöscher. Dieser Ausdruck ermöglicht es Ihnen, wie ein Indikator, zwischen einer Gleichung mit Wurzeln und einer Gleichung ohne Wurzeln zu unterscheiden.
So, D gleich b 2 − 4ac. Setze in die Gleichung ein statt Ausdruck b 2 − 4ac Buchstabe D
Wenn die Diskriminante der ursprünglichen Gleichung kleiner als Null ist ( D< 0) , то уравнение примет вид:
In diesem Fall hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln, da das Quadrat einer beliebigen Zahl nicht negativ sein darf.
Wenn die Diskriminante der ursprünglichen Gleichung größer als Null ist ( D> 0) , dann nimmt die Gleichung die Form an:
In diesem Fall hat die Gleichung zwei Wurzeln. Um sie abzuleiten, verwenden wir die Quadratwurzel:
Habe die Gleichung 
. Daraus erhalten wir zwei Gleichungen: 
und 
. Äußern x in jeder der Gleichungen:
Die resultierenden zwei Gleichungen sind die universellen Formeln zum Lösen der quadratischen Gleichung Axt 2 + bx+ c= 0. Sie heißen Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung.
Meistens werden diese Formeln als bezeichnet x 1 und x 2. Das heißt, um die erste Wurzel zu berechnen, wird eine Formel mit dem Index 1 verwendet; um die zweite Wurzel abzuleiten - eine Formel mit dem Index 2. Lassen Sie uns unsere Formeln auf die gleiche Weise bezeichnen:
Die Reihenfolge, in der die Formeln angewendet werden, ist nicht wichtig.
Lassen Sie uns zum Beispiel eine quadratische Gleichung lösen x 2 + 2x− 8 = 0 mit den Formeln der Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung sind die Zahlen 1 , 2 und −8 . Also, a= 1 , b= 2 , c= −8 .
Bevor Sie die Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung verwenden, müssen Sie die Diskriminante dieser Gleichung finden.
Lassen Sie uns die Diskriminante der quadratischen Gleichung finden. Dazu verwenden wir die Formel D = b 2 − 4 ac. Statt Variablen ein, b und c Wir werden die Koeffizienten der Gleichung haben x 2 + 2x− 8 = 0
D = b 2 − 4ac= 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36
Die Diskriminante ist größer als Null. Die Gleichung hat also zwei Wurzeln. Jetzt können Sie die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden:
Also die Wurzeln der Gleichung x 2 + 2x− 8 = 0 sind die Zahlen 2 und −4 . Überprüfen, ob die Wurzeln richtig gefunden wurden:
Betrachten Sie schließlich den Fall, in dem die Diskriminante der quadratischen Gleichung gleich Null ist. Gehen wir zurück zur Gleichung. Wenn die Diskriminante Null ist, nimmt die rechte Seite der Gleichung die Form an:
Und in diesem Fall hat die quadratische Gleichung nur eine Wurzel. Nehmen wir die Quadratwurzel:
Dies ist eine weitere Formel zum Ableiten der Quadratwurzel. Betrachten wir seine Anwendung. Vorhin haben wir die Gleichung gelöst x 2 − 6x+ 9 = 0 , die eine Wurzel 3 hat. Wir haben es gelöst, indem wir ein volles Quadrat ausgewählt haben. Versuchen wir nun, das Problem mit Formeln zu lösen.
Lassen Sie uns die Diskriminante der quadratischen Gleichung finden. In dieser Gleichung a= 1 , b= −6 , c= 9 . Dann gilt nach der Diskriminanzformel:
D = b 2 − 4ac= (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
Die Diskriminante ist Null ( D= 0) . Das bedeutet, dass die Gleichung nur eine Wurzel hat und durch die Formel berechnet wird
Also die Wurzel der Gleichung x 2 − 6x+ 9 = 0 ist die Zahl 3.
Für eine quadratische Gleichung mit einer Wurzel gelten die Formeln ebenfalls 
und 
. Die Anwendung jeder von ihnen führt jedoch zum gleichen Ergebnis.
Wenden wir diese beiden Formeln auf die vorherige Gleichung an. In beiden Fällen erhalten wir die gleiche Antwort 3
Wenn die quadratische Gleichung nur eine Wurzel hat, ist es ratsam, die Formel und nicht die Formeln zu verwenden und . Das spart Zeit und Platz.
Beispiel 3. löse die Gleichung 5x 2 − 6x+ 1 = 0
Also die Wurzeln der Gleichung 5x 2 − 6x+ 1 = 0 sind die Zahlen 1 und .
Antworten: 1; .
Beispiel 4. löse die Gleichung x 2 + 4x+ 4 = 0
Lassen Sie uns die Diskriminante der quadratischen Gleichung finden:
Die Diskriminante ist Null. Die Gleichung hat also nur eine Wurzel. Er wird nach der Formel berechnet
Also die Wurzel der Gleichung x 2 + 4x+ 4 = 0 ist die Zahl −2.
Antwort: -2.
Beispiel 5. löse die Gleichung 3x 2 + 2x+ 4 = 0
Lassen Sie uns die Diskriminante der quadratischen Gleichung finden:
Die Diskriminante ist kleiner als Null. Diese Gleichung hat also keine Wurzeln.
Antworten: Keine Wurzeln.
Beispiel 6. löse die Gleichung (x+ 4) 2 = 3x+ 40
Bringen wir diese Gleichung in Normalform. Auf der linken Seite ist das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke. Lassen Sie es uns aufschlüsseln:
Lassen Sie uns alle Begriffe von der rechten Seite auf die linke Seite verschieben, indem wir ihre Vorzeichen ändern. Null bleibt auf der rechten Seite:
Die Diskriminante ist größer als Null. Die Gleichung hat also zwei Wurzeln. Verwenden wir die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung:
Also die Wurzeln der Gleichung (x+ 4) 2 = 3x+ 40 sind die Zahlen 3 und −8 .
Antworten: 3; −8.
Beispiel 7. löse die Gleichung 
Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung mit 2. Dadurch können wir den Bruch auf der linken Seite loswerden:
In der resultierenden Gleichung übertragen wir 22 von der rechten Seite auf die linke Seite, indem wir das Vorzeichen ändern. 0 bleibt auf der rechten Seite
Hier sind ähnliche Begriffe auf der linken Seite:
In der resultierenden Gleichung finden wir die Diskriminante:
Die Diskriminante ist größer als Null. Die Gleichung hat also zwei Wurzeln. Verwenden wir die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung:
Also die Wurzeln der Gleichung sind die Zahlen 23 und −1 .
Antworten: 23; −1.
Beispiel 8. löse die Gleichung 
Multipliziere beide Teile mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner beider Brüche. Dadurch werden die Brüche in beiden Teilen beseitigt. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 6 . Dann bekommen wir:
Öffnen Sie in der resultierenden Gleichung die Klammern in beiden Teilen:
Lassen Sie uns nun alle Terme von der rechten Seite auf die linke Seite übertragen und ihre Vorzeichen ändern. 0 bleibt auf der rechten Seite
Hier sind ähnliche Begriffe auf der linken Seite:
In der resultierenden Gleichung finden wir die Diskriminante:
Die Diskriminante ist größer als Null. Die Gleichung hat also zwei Wurzeln. Verwenden wir die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung:
Also die Wurzeln der Gleichung sind Zahlen und 2.
Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen
Beispiel 1. löse die Gleichung x 2 = 81
Dies ist die einfachste quadratische Gleichung, in der Sie die Zahl bestimmen müssen, deren Quadrat 81 ist. Dies sind die Zahlen 3 und −3. Lassen Sie uns die Quadratwurzel verwenden, um sie abzuleiten:
Antworten: 9, −9 .
Beispiel 2. löse die Gleichung x 2 − 9 = 0
Dies ist eine unvollständige quadratische Gleichung. Um es zu lösen, musst du den Term −9 auf die rechte Seite verschieben, indem du das Vorzeichen änderst. Dann bekommen wir:
Antworten: 3, −3.
Beispiel 3. löse die Gleichung x 2 − 9x= 0
Dies ist eine unvollständige quadratische Gleichung. Um es zu lösen, müssen Sie zuerst herausnehmen x für Klammern:
Die linke Seite der Gleichung ist das Produkt. Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Die linke Seite wird separat gleich Null x Null ist, oder wenn der Ausdruck x− 9 ist gleich Null. Sie erhalten zwei Gleichungen, von denen eine bereits gelöst ist:
Antworten: 0, 9 .
Beispiel 4. löse die Gleichung x 2 + 4x− 5 = 0
Dies ist eine vollständige quadratische Gleichung. Sie kann gelöst werden, indem man ein ganzes Quadrat auswählt oder die Formeln der Wurzeln einer quadratischen Gleichung verwendet.
Lassen Sie uns diese Gleichung mit Formeln lösen. Lassen Sie uns zuerst die Diskriminante finden:
D= b 2 − 4ac= 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36
Die Diskriminante ist größer als Null. Die Gleichung hat also zwei Wurzeln. Rechnen wir sie aus:
Antworten: 1, −5 .
Beispiel 5. löse die Gleichung 
Lassen Sie uns beide Teile mit 5, 3 und 6 multiplizieren. Dadurch werden die Brüche in beiden Teilen beseitigt:
In der resultierenden Gleichung übertragen wir alle Terme von der rechten Seite auf die linke Seite, indem wir das Vorzeichen ändern. Null bleibt auf der rechten Seite:
Hier sind ähnliche Mitglieder:
Antworten: 5 , .
Beispiel 6. löse die Gleichung x 2 = 6
In diesem Beispiel müssen Sie die Quadratwurzel verwenden:
Die Quadratwurzel von 6 wird jedoch nicht gezogen. Es wird nur annähernd extrahiert. Die Wurzel kann mit einer gewissen Genauigkeit extrahiert werden. Extrahieren wir es auf das nächste Hundertstel:
Aber meistens bleibt die Wurzel als Radikal übrig:
Antworten:
Beispiel 7. löse die Gleichung (2x+ 3) 2 + (x− 2) 2 = 13
Öffnen wir die Klammern auf der linken Seite der Gleichung:
In der resultierenden Gleichung übertragen wir 13 von der rechten Seite auf die linke Seite und ändern das Vorzeichen. Dann geben wir ähnliche Mitglieder:
Wir haben eine unvollständige quadratische Gleichung. Lösen wir es:
Antworten: 0 , −1,6 .
Beispiel 8. löse die Gleichung (5 + 7x)(4 − 3x) = 0
Diese Gleichung kann auf zwei Arten gelöst werden. Betrachten wir jeden von ihnen.
Erster Weg. Erweitern Sie die Klammern und erhalten Sie die Normalform der quadratischen Gleichung.
Erweitern wir die Klammern:
Hier sind ähnliche Mitglieder:
Wir schreiben die resultierende Gleichung so um, dass der Term mit dem höchsten Koeffizienten an erster Stelle steht, der Term mit dem zweiten Koeffizienten an zweiter Stelle und der freie Term an dritter Stelle:
Um den führenden Term positiv zu machen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit −1. Dann ändern alle Terme der Gleichung ihr Vorzeichen in das Gegenteil:
Wir lösen die resultierende Gleichung mit den Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung:
Zweiter Weg. Werte finden x, für die die Faktoren auf der linken Seite der Gleichung gleich Null sind. Diese Methode ist bequemer und viel kürzer.
Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. In diesem Fall die Gleichheit in der Gleichung (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 wird erreicht, wenn der Ausdruck (5 + 7 x) gleich Null ist, oder der Ausdruck (4 − 3 x) ist null. Unsere Aufgabe ist es, herauszufinden, unter was x es passiert:
Beispiele für Problemlösungen
Stellen Sie sich vor, es wäre notwendig geworden, einen kleinen Raum mit einer Fläche von 8 m 2 zu bauen. In diesem Fall sollte die Länge des Raums doppelt so groß sein wie die Breite. Wie bestimmt man die Länge und Breite eines solchen Raums?
Machen wir eine ungefähre Zeichnung dieses Raums, die die Draufsicht veranschaulicht:
Bezeichnen Sie die Breite des Raums durch x. Und die Länge des Raumes nach 2 x, denn je nach Zustand des Problems sollte die Länge doppelt so breit sein. Der Multiplikator ist 2 und wird diese Anforderung erfüllen:
Die Oberfläche des Raumes (sein Boden) ist ein Rechteck. Um die Fläche eines Rechtecks zu berechnen, multiplizieren Sie die Länge des Rechtecks mit seiner Breite. Machen wir das:
2x × x
Je nach Zustand des Problems sollte die Fläche 8 m 2 betragen. Also Ausdruck 2 x× x sollte gleich 8 sein
2x × x = 8
Habe eine Gleichung. Wenn Sie es lösen, können Sie die Länge und Breite des Raums finden.
Das erste, was Sie tun können, ist die Multiplikation auf der linken Seite der Gleichung:
2x 2 = 8
Als Ergebnis dieser Transformation wird die Variable x wechselte in den zweiten Studiengang. Und wir sagten, wenn die in der Gleichung enthaltene Variable mit der zweiten Potenz (zum Quadrat) erhoben wird, dann ist eine solche Gleichung eine Gleichung zweiten Grades oder eine quadratische Gleichung.
Um unsere quadratische Gleichung zu lösen, verwenden wir die zuvor untersuchten identischen Transformationen. In diesem Fall können Sie beide Teile in 2 teilen
Lassen Sie uns nun die Quadratwurzel verwenden. Wenn ein x 2 = 4 , dann . Von hier x= 2 und x= −2 .
Durch x Die Breite des Raumes wurde angegeben. Die Breite darf nicht negativ sein, daher wird nur der Wert 2 berücksichtigt. Dies geschieht häufig beim Lösen von Problemen, bei denen eine quadratische Gleichung verwendet wird. In der Antwort werden zwei Wurzeln erhalten, aber nur eine von ihnen erfüllt die Bedingung des Problems.
Und die Länge wurde mit 2 angegeben x. Bedeutung x jetzt bekannt, ersetzen Sie es in Ausdruck 2 x und berechne die Länge:
2x= 2 × 2 = 4
Die Länge beträgt also 4 m und die Breite 2 m. Diese Lösung erfüllt die Bedingung des Problems, da die Fläche des Raums 8 m 2 beträgt
4 × 2 = 8 m 2
Antworten: Die Länge des Raums beträgt 4 m und die Breite 2 m.
Beispiel 2. Ein Gartengrundstück in Form eines Rechtecks, dessen eine Seite 10 m länger ist als die andere, muss mit einem Zaun umgeben werden. Bestimmen Sie die Länge des Zauns, wenn bekannt ist, dass die Fläche des Geländes 1200 m 2 beträgt
Lösung
Die Länge eines Rechtecks ist normalerweise größer als seine Breite. Lassen Sie die Plotbreite x Meter und die Länge ( x+ 10) Meter. Die Grundstücksfläche beträgt 1200 m 2 . Multiplizieren Sie die Länge des Abschnitts mit seiner Breite und gleich 1200, erhalten wir die Gleichung:
x(x+ 10) = 1200
Lösen wir diese Gleichung. Öffnen Sie zuerst die Klammern auf der linken Seite:
Lassen Sie uns 1200 von der rechten Seite auf die linke Seite verschieben, indem wir das Vorzeichen ändern. 0 bleibt auf der rechten Seite
Wir lösen die resultierende Gleichung mit den Formeln:
Obwohl die quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat, berücksichtigen wir nur den Wert 30. Weil die Breite nicht als negative Zahl ausgedrückt werden kann.
Also durch x Die Breite des Bereichs wurde markiert. Es ist gleich dreißig Meter. Und die Länge wurde durch den Ausdruck angegeben x+ 10 . Ersetzen Sie den gefundenen Wert darin x und berechne die Länge:
x
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