Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion am Punkt x0

Beispiel 1

Bezug: Die folgenden Möglichkeiten, eine Funktion zu notieren, sind äquivalent: Bei manchen Aufgaben kann es praktisch sein, die Funktion als „Player“ und bei manchen als „ef from x“ zu bezeichnen.

Zuerst finden wir die Ableitung:

Beispiel 2

Berechnen Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt

, , Vollfunktionsstudie usw.

Beispiel 3

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion am Punkt . Lassen Sie uns zuerst die Ableitung finden:

Nun, das ist eine ganz andere Sache. Berechnen Sie den Wert der Ableitung am Punkt:

Falls Sie nicht verstehen, wie die Ableitung gefunden wurde, kehren Sie zu den ersten beiden Lektionen des Themas zurück. Bei Schwierigkeiten (Missverständnis) mit dem Arcus Tangens und seiner Bedeutung, Notwendig methodisches Material studieren Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen- der allerletzte Absatz. Denn für das Studentenalter gibt es noch genügend Arkustangens.

Beispiel 4

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion am Punkt .

Die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

Betrachten Sie zur Festigung des vorherigen Absatzes das Problem, die Tangente zu zu finden Funktionsgrafiken an dieser Stelle. Wir sind dieser Aufgabe in der Schule begegnet, und sie findet sich auch im Studium der höheren Mathematik.

Betrachten Sie ein elementares Beispiel für eine "Demonstration".

Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt mit der Abszisse. Ich werde sofort eine fertige grafische Lösung des Problems geben (in der Praxis ist dies in den meisten Fällen nicht erforderlich):

Eine strenge Definition einer Tangente ist gegeben durch Definitionen der Ableitung einer Funktion, aber jetzt werden wir den technischen Teil der Ausgabe meistern. Sicher versteht fast jeder intuitiv, was eine Tangente ist. Wenn Sie "an den Fingern" erklären, dann ist die Tangente an den Graphen der Funktion gerade, was den Graphen der Funktion in betrifft das einzige Punkt. In diesem Fall liegen alle benachbarten Punkte der Geraden so nah wie möglich am Graphen der Funktion.

Auf unseren Fall angewendet: Bei , berührt die Tangente (Standardnotation) den Graphen der Funktion an einem einzigen Punkt.

Und unsere Aufgabe ist es, die Gleichung einer geraden Linie zu finden.

Ableitung einer Funktion an einem Punkt

Wie finde ich die Ableitung einer Funktion an einem Punkt? Aus der Formulierung ergeben sich zwei offensichtliche Punkte dieser Aufgabe:

1) Es ist notwendig, die Ableitung zu finden.

2) Es ist notwendig, den Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt zu berechnen.

Beispiel 1

Berechnen Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt

Hilfe: Die folgenden Möglichkeiten, eine Funktion zu notieren, sind äquivalent:

Bei manchen Aufgaben kann es praktisch sein, die Funktion als „Player“ und bei manchen als „ef from x“ zu bezeichnen.

Zuerst finden wir die Ableitung:

Ich hoffe, dass sich viele bereits daran gewöhnt haben, solche Derivate mündlich zu finden.

Im zweiten Schritt berechnen wir den Wert der Ableitung am Punkt:

Ein kleines Aufwärmbeispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 2

Berechnen Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Die Notwendigkeit, die Ableitung an einem Punkt zu finden, ergibt sich aus folgenden Aufgaben: Konstruieren einer Tangente an den Graphen einer Funktion (nächster Absatz), Untersuchung einer Funktion für ein Extremum , Untersuchung der Funktion für die Beugung des Graphen , Vollfunktionsstudie usw.

Aber die betrachtete Aufgabe findet sich in Kontrollpapieren und von selbst. Und in solchen Fällen ist die Funktion in der Regel ziemlich komplex. Betrachten Sie in diesem Zusammenhang zwei weitere Beispiele.

Beispiel 3

Berechne die Ableitung einer Funktion am Punkt .
Lassen Sie uns zuerst die Ableitung finden:

Die Ableitung wird im Prinzip gefunden, und der erforderliche Wert kann ersetzt werden. Aber ich will eigentlich gar nichts machen. Der Ausdruck ist sehr lang und der Wert von "x" ist ein Bruchteil. Daher versuchen wir, unser Derivat so weit wie möglich zu vereinfachen. Versuchen wir in diesem Fall, die letzten drei Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen: am Punkt .

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Wie findet man den Wert der Ableitung der Funktion F(x) am Ho-Punkt? Wie löst man das allgemein?

Wenn die Formel gegeben ist, finden Sie die Ableitung und ersetzen Sie X durch X-Null. zählen
Wenn wir über b-8 USE, Graph sprechen, müssen Sie den Tangens des Winkels (spitz oder stumpf) finden, der eine Tangente an die X-Achse bildet (unter Verwendung der mentalen Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks und Bestimmung des Tangens von der Winkel)

Timur Adilchodschajew

Zuerst müssen Sie sich für das Zeichen entscheiden. Wenn sich der Punkt x0 im unteren Teil der Koordinatenebene befindet, ist das Vorzeichen in der Antwort minus, und wenn es höher ist, dann +.
Zweitens müssen Sie wissen, was Tange in einem rechteckigen Rechteck ist. Und das ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite (Bein) zur angrenzenden Seite (ebenfalls Bein). Es gibt normalerweise ein paar schwarze Flecken auf dem Gemälde. Aus diesen Markierungen machst du ein rechtwinkliges Dreieck und findest Tange.

Wie findet man den Wert der Ableitung der Funktion f x am Punkt x0?

es gibt keine spezifische Frage - vor 3 Jahren

Im allgemeinen Fall ist es notwendig, um den Wert der Ableitung einer Funktion in Bezug auf eine Variable an einem beliebigen Punkt zu finden, die gegebene Funktion in Bezug auf diese Variable zu differenzieren. In Ihrem Fall durch die Variable X. Setzen Sie im resultierenden Ausdruck anstelle von X den Wert von x an den Punkt, für den Sie den Wert der Ableitung finden müssen, d.h. Ersetzen Sie in Ihrem Fall Null X und berechnen Sie den resultierenden Ausdruck.

Nun, Ihr Wunsch, dieses Problem zu verstehen, verdient meiner Meinung nach zweifellos +, was ich mit gutem Gewissen sage.

Eine solche Formulierung des Problems, die Ableitung zu finden, wird oft gestellt, um das Material auf die geometrische Bedeutung der Ableitung zu fixieren. Es wird ein Graph einer bestimmten Funktion vorgeschlagen, völlig willkürlich und nicht durch eine Gleichung gegeben, und es muss der Wert der Ableitung (nicht die Ableitung selbst!) am angegebenen Punkt X0 gefunden werden. Dazu wird eine Tangente an die gegebene Funktion konstruiert und die Punkte ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ermittelt. Dann wird die Gleichung dieser Tangente in der Form y=kx+b aufgestellt.

In dieser Gleichung ist der Koeffizient k und der Wert der Ableitung. es bleibt nur noch der Wert des Koeffizienten b zu finden. Dazu finden wir den Wert von y bei x \u003d o, sei gleich 3 - dies ist der Wert des Koeffizienten b. Wir setzen die Werte von X0 und Y0 in die ursprüngliche Gleichung ein und finden k - unseren Wert der Ableitung an dieser Stelle.

In Aufgabe B9 ist ein Graph einer Funktion oder Ableitung gegeben, aus dem eine der folgenden Größen bestimmt werden muss:

Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
Hoch- oder Tiefpunkte (Extrempunkte),
Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung stark vereinfacht. Obwohl die Aufgabe in den Bereich der mathematischen Analysis gehört, ist sie auch für schwächste Schüler durchaus machbar, da hier keine tiefen theoretischen Kenntnisse erforderlich sind.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu finden, gibt es einfache und universelle Algorithmen - alle werden unten besprochen.

Lies dir die Bedingung von Aufgabe B9 genau durch, um keine dummen Fehler zu machen: Manchmal kommen recht umfangreiche Texte rüber, aber es gibt wenige wichtige Bedingungen, die den Lösungsverlauf beeinflussen.

Berechnung des Wertes des Derivats. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph der Funktion f(x) gegeben wird, der diesen Graphen an einem Punkt x 0 tangiert, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

Finden Sie zwei "geeignete" Punkte auf dem Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Lassen Sie uns diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2) bezeichnen. Schreiben Sie die Koordinaten richtig auf - das ist der Schlüsselpunkt der Lösung, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
Mit Kenntnis der Koordinaten ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten, Sie müssen das Funktionsinkrement durch das Argumentinkrement dividieren - und dies wird die Antwort sein.

Wir halten noch einmal fest: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente wird zwangsläufig mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst ist die Aufgabe falsch formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und finden Sie die Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Lassen Sie uns den Wert der Ableitung finden: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0), finden Sie Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Jetzt finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und finden Sie Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Es bleibt der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir die Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse ist, ist die Ableitung der Funktion am Berührungspunkt gleich Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas berechnen - schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung von Hochs und Tiefs

Manchmal wird in Aufgabe B9 anstelle eines Graphen einer Funktion ein Ableitungsgraph angegeben, und es ist erforderlich, den maximalen oder minimalen Punkt der Funktion zu finden. In diesem Szenario ist die Zweipunktmethode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Lassen Sie uns zunächst die Terminologie definieren:

Der Punkt x 0 heißt Maximumpunkt der Funktion f(x), wenn in irgendeiner Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in irgendeiner Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte im Graphen der Ableitung zu finden, genügt es, die folgenden Schritte auszuführen:

Zeichnen Sie den Graphen der Ableitung neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, stören zusätzliche Daten nur die Entscheidung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse - und das war's.
Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Möglichkeiten möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist leicht aus der Originalzeichnung zu bestimmen: Liegt der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse, dann ist f'(x) ≥ 0. Umgekehrt, liegt der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse, dann ist f'(x) ≤ 0.
Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, gibt es einen Minimalpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Es wird immer von links nach rechts gezählt.

Dieses Schema funktioniert nur für stetige Funktionen - es gibt keine anderen in Problem B9.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−5; 5]. Finde den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden - wir werden nur die Grenzen verlassen [−5; 5] und die Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Beachten Sie auch die Schilder:

Offensichtlich ändert sich an der Stelle x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von minus nach plus. Dies ist der Mindestpunkt.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den maximalen Punkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns den Graphen neu zeichnen und nur die Grenzen [−3; 7] und die Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten Sie die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus - dies ist der Maximalpunkt.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−6; vier]. Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x), die zum Intervall [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den Teil des Graphen zu betrachten, der durch die Strecke [−4; 3]. Deshalb bauen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und die darin enthaltenen Nullstellen der Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen maximalen Punkt x = 2. Darin ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Zum Beispiel wurde in der letzten Aufgabe der Punkt x = −3,5 betrachtet, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 nehmen. Bei richtiger Problemformulierung sollten solche Änderungen die Antwort nicht beeinflussen, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ nicht direkt an der Lösung des Problems beteiligt sind. Bei ganzzahligen Punkten funktioniert ein solcher Trick natürlich nicht.

Intervalle der Zunahme und Abnahme einer Funktion finden

Bei einem solchen Problem wird vorgeschlagen, wie bei den Punkten des Maximums und des Minimums, Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst aus dem Graphen der Ableitung zunimmt oder abnimmt. Lassen Sie uns zunächst definieren, was aufsteigend und absteigend ist:

Eine Funktion f(x) heißt auf einer Strecke wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke die Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Mit anderen Worten, je größer der Wert des Arguments, desto größer der Wert der Funktion.
Eine Funktion f(x) heißt fallend auf einer Strecke, wenn für je zwei Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke die Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Diese. ein größerer Wert des Arguments entspricht einem kleineren Wert der Funktion.

Wir formulieren hinreichende Bedingungen für Zunahme und Abnahme:

Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment zunimmt, genügt es, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d.h. f'(x) ≥ 0.
Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, genügt es, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d.h. f'(x) ≤ 0.

Wir akzeptieren diese Behauptungen ohne Beweis. So erhalten wir ein Schema zum Auffinden von Anstiegs- und Abfallintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

Entfernen Sie alle redundanten Informationen. Auf dem ursprünglichen Graphen der Ableitung interessieren uns hauptsächlich die Nullstellen der Funktion, also lassen wir nur sie.
Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen den Nullen. Bei f'(x) ≥ 0 nimmt die Funktion zu und bei f'(x) ≤ 0 ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x hat, markieren wir diese zusätzlich auf dem neuen Diagramm.
Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und der Einschränkung kennen, bleibt es, den erforderlichen Wert im Problem zu berechnen.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−3; 7.5]. Finden Sie die Intervalle der fallenden Funktion f(x). Schreiben Sie in Ihre Antwort die Summe der ganzen Zahlen, die in diesen Intervallen enthalten sind.

Wie üblich zeichnen wir den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie die Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann markieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es bleibt, alle ganzen Zahlen zu summieren, die sich innerhalb dieses Intervalls befinden:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Segment [−10; vier]. Finden Sie die Intervalle der ansteigenden Funktion f(x). Schreiben Sie in Ihre Antwort die Länge des größten von ihnen.

Lassen Sie uns redundante Informationen loswerden. Wir lassen nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, die sich diesmal als vier herausstellte: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Beachten Sie die Vorzeichen der Ableitung und erhalten Sie das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. wobei f'(x) ≥ 0. Es gibt zwei solche Intervalle in der Grafik: (−8; −6) und (−3; 2). Lassen Sie uns ihre Länge berechnen:
l 1 = – 6 – (–8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da es erforderlich ist, die Länge des größten Intervalls zu finden, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.