Aufgaben zur Anwendung des Satzes des Pythagoras. Beginnen Sie mit Science Doc in Pythagorean Theorems

Stellen Sie sicher, dass das gegebene Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, da der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. Bei rechtwinkligen Dreiecken beträgt einer der drei Winkel immer 90 Grad.

Ein rechter Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck wird durch ein Quadrat anstelle einer Kurve angezeigt, die nicht rechte Winkel darstellt.

Beschriften Sie die Seiten des Dreiecks. Bezeichne die Beine mit „a“ und „b“ (die Beine sind Seiten, die sich im rechten Winkel schneiden) und die Hypotenuse mit „c“ (die Hypotenuse ist die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt).

Bestimmen Sie, welche Seite des Dreiecks Sie finden möchten. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks finden (wenn die anderen beiden Seiten bekannt sind). Bestimmen Sie, welche Seite (a, b, c) gefunden werden muss.

Zum Beispiel bei einer Hypotenuse von 5 und einem Bein von 3. In diesem Fall müssen Sie das zweite Bein finden. Wir werden später auf dieses Beispiel zurückkommen.
Wenn die anderen beiden Seiten unbekannt sind, muss die Länge einer der unbekannten Seiten ermittelt werden, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können. Verwenden Sie dazu die grundlegenden trigonometrischen Funktionen (wenn Sie den Wert eines der nicht rechten Winkel erhalten).

Ersetzen Sie in der Formel a 2 + b 2 \u003d c 2 die Ihnen gegebenen Werte (oder die von Ihnen gefundenen Werte). Denken Sie daran, dass a und b Beine sind und c die Hypotenuse ist.

Schreiben Sie in unserem Beispiel: 3² + b² = 5².

Quadriere jede bekannte Seite. Oder lassen Sie die Exponenten stehen - Sie können die Zahlen später quadrieren.

Schreiben Sie in unserem Beispiel: 9 + b² = 25.

Isoliere die unbekannte Seite auf einer Seite der Gleichung.Übertragen Sie dazu die bekannten Werte auf die andere Seite der Gleichung. Wenn Sie die Hypotenuse finden, dann ist sie im Satz des Pythagoras bereits auf einer Seite der Gleichung isoliert (also muss nichts getan werden).

Verschieben Sie in unserem Beispiel 9 auf die rechte Seite der Gleichung, um das unbekannte b² zu isolieren. Sie erhalten b² = 16.

Ziehen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung. In diesem Stadium gibt es eine Unbekannte (Quadrat) auf der einen Seite der Gleichung und einen Achsenabschnitt (eine Zahl) auf der anderen Seite.

In unserem Beispiel ist b² = 16. Ziehen Sie die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung und erhalten Sie b = 4. Das zweite Bein ist also 4 .

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras im Alltag, da er in einer Vielzahl praktischer Situationen angewendet werden kann. Lernen Sie dazu rechtwinklige Dreiecke im Alltag zu erkennen - in jeder Situation, in der sich zwei Objekte (oder Linien) im rechten Winkel schneiden und ein drittes Objekt (oder Linie) die Spitzen der ersten beiden Objekte (bzw Linien), können Sie den Satz des Pythagoras verwenden, um die unbekannte Seite zu finden (wenn die anderen beiden Seiten bekannt sind).

Beispiel: Gegeben sei eine Leiter, die an einem Gebäude lehnt. Der Fuß der Treppe ist 5 Meter vom Fuß der Mauer entfernt. Das obere Ende der Treppe befindet sich 20 Meter über dem Boden (die Wand hinauf). Wie lang ist die Leiter?
- „5 Meter vom Fuß der Mauer“ bedeutet, dass a = 5; „ist 20 Meter vom Boden entfernt“ bedeutet, dass b = 20 ist (das heißt, Sie erhalten zwei Beine eines rechtwinkligen Dreiecks, da sich die Wand des Gebäudes und die Erdoberfläche rechtwinklig schneiden). Die Länge der Leiter ist die Länge der Hypotenuse, die unbekannt ist.
  - a² + b² = c²
  - (5)² + (20)² = c²
  - 25 + 400 = c²
  - 425 = c²
  - c = √425
  - c = 20,6. So ist die ungefähre Länge der Treppe 20,6 Meter.

Diejenigen, die sich für die Geschichte des Satzes des Pythagoras interessieren, der im Schullehrplan studiert wird, werden auch neugierig sein auf eine Tatsache wie die Veröffentlichung eines Buches mit dreihundertsiebzig Beweisen dieses scheinbar einfachen Satzes im Jahr 1940. Aber es faszinierte die Köpfe vieler Mathematiker und Philosophen verschiedener Epochen. Im Guinness-Buch der Rekorde ist es als Theorem mit der maximalen Anzahl von Beweisen verzeichnet.

Geschichte des Satzes des Pythagoras

Der mit dem Namen Pythagoras verbundene Satz war lange vor der Geburt des großen Philosophen bekannt. So wurde in Ägypten beim Bau von Bauwerken vor fünftausend Jahren das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berücksichtigt. Die babylonischen Texte erwähnen das gleiche Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks 1200 Jahre vor der Geburt von Pythagoras.

Es stellt sich die Frage, warum dann die Geschichte sagt - die Entstehung des Satzes des Pythagoras gehört ihm? Es kann nur eine Antwort geben - er hat das Verhältnis der Seiten im Dreieck bewiesen. Er tat, was diejenigen, die einfach das Seitenverhältnis und die durch Erfahrung etablierte Hypotenuse verwendeten, vor Jahrhunderten nicht taten.

Aus dem Leben des Pythagoras

Der zukünftige große Wissenschaftler, Mathematiker und Philosoph wurde 570 v. Chr. Auf der Insel Samos geboren. Historische Dokumente bewahrten Informationen über den Vater von Pythagoras, der ein Edelsteinschnitzer war, aber es gibt keine Informationen über seine Mutter. Sie sagten über den geborenen Jungen, dass er ein herausragendes Kind war, das von Kindheit an eine Leidenschaft für Musik und Poesie zeigte. Historiker schreiben Hermodamant und Pherekides von Syros den Lehrern des jungen Pythagoras zu. Der erste führte den Jungen in die Welt der Musen ein, und der zweite, ein Philosoph und Gründer der italienischen Philosophieschule, lenkte den Blick des jungen Mannes auf den Logos.

Im Alter von 22 Jahren (548 v. Chr.) ging Pythagoras nach Naukratis, um die Sprache und Religion der Ägypter zu studieren. Außerdem führte sein Weg nach Memphis, wo er dank der Priester, die ihre genialen Tests bestanden hatten, die ägyptische Geometrie verstand, was den neugierigen jungen Mann vielleicht dazu veranlasste, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Die Geschichte wird dem Theorem später diesen Namen zuschreiben.

Vom König von Babylon gefangen genommen

Auf dem Heimweg nach Hellas wird Pythagoras vom König von Babylon gefangen genommen. Aber die Gefangenschaft kam dem neugierigen Geist des Mathematikanfängers zugute, er musste viel lernen. Tatsächlich war in jenen Jahren die Mathematik in Babylon weiter entwickelt als in Ägypten. Zwölf Jahre lang studierte er Mathematik, Geometrie und Magie. Und vielleicht war es die babylonische Geometrie, die am Beweis des Seitenverhältnisses des Dreiecks und der Entdeckungsgeschichte des Satzes beteiligt war. Pythagoras hatte dafür genug Wissen und Zeit. Aber dass dies in Babylon geschah, dafür gibt es keine dokumentarische Bestätigung oder Widerlegung.

Im Jahr 530 v Pythagoras flieht aus der Gefangenschaft in seine Heimat, wo er als Halbsklave am Hof des Tyrannen Polykrates lebt. Ein solches Leben passt Pythagoras nicht, und er zieht sich in die Höhlen von Samos zurück und geht dann nach Süditalien, wo sich damals die griechische Kolonie Kroton befand.

Geheimer Mönchsorden

Auf der Grundlage dieser Kolonie organisierte Pythagoras einen geheimen Mönchsorden, der gleichzeitig eine religiöse Vereinigung und eine wissenschaftliche Gesellschaft war. Diese Gesellschaft hatte ihre Charta, die von der Einhaltung einer besonderen Lebensweise sprach.

Pythagoras argumentierte, dass man, um Gott zu verstehen, Wissenschaften wie Algebra und Geometrie kennen, Astronomie kennen und Musik verstehen muss. Die Forschungsarbeit reduzierte sich auf die Kenntnis der mystischen Seite der Zahlen und der Philosophie. Es sei darauf hingewiesen, dass die damals von Pythagoras gepredigten Prinzipien in der heutigen Zeit sinnvoll nachzuahmen sind.

Viele der Entdeckungen der Schüler von Pythagoras wurden ihm zugeschrieben. Kurz gesagt, die Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras durch antike Historiker und Biographen dieser Zeit ist jedoch direkt mit dem Namen dieses Philosophen, Denkers und Mathematikers verbunden.

Die Lehren des Pythagoras

Vielleicht ließen sich die Historiker von der Aussage des großen Griechen inspirieren, dass das sprichwörtliche Dreieck mit seinen Beinen und Hypotenuse alle Phänomene unseres Lebens verschlüsselt. Und dieses Dreieck ist der "Schlüssel" zur Lösung aller auftretenden Probleme. Der große Philosoph sagte, dass man ein Dreieck sehen sollte, dann können wir davon ausgehen, dass das Problem zu zwei Dritteln gelöst ist.

Pythagoras erzählte seinen Schülern nur mündlich von seiner Lehre, ohne Notizen zu machen und es geheim zu halten. Leider haben die Lehren des größten Philosophen bis heute nicht überlebt. Einiges davon ist durchgesickert, aber es ist unmöglich zu sagen, wie viel an dem, was bekannt geworden ist, wahr und wie viel falsch ist. Auch bei der Geschichte des Satzes des Pythagoras ist nicht alles sicher. Mathematikhistoriker bezweifeln die Urheberschaft von Pythagoras, ihrer Meinung nach wurde der Satz viele Jahrhunderte vor seiner Geburt verwendet.

Satz des Pythagoras

Es mag seltsam erscheinen, aber es gibt keine historischen Fakten zum Beweis des Satzes durch Pythagoras selbst - weder in den Archiven noch in anderen Quellen. In der modernen Version wird angenommen, dass es niemand anderem als Euklid selbst gehört.

Es gibt Hinweise auf einen der größten Mathematikhistoriker, Moritz Cantor, der auf einem im Berliner Museum aufbewahrten Papyrus entdeckte, der um 2300 v. Chr. Von den Ägyptern geschrieben wurde. e. Gleichheit, die lautete: 3² + 4² = 5².

Kurz aus der Geschichte des Satzes des Pythagoras

Die Formulierung des Satzes aus den euklidischen „Anfängen“ in der Übersetzung klingt genauso wie in der modernen Interpretation. Ihre Lesart ist nichts Neues: Das Quadrat der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite ist gleich der Summe der Quadrate der dem rechten Winkel benachbarten Seiten. Die Tatsache, dass die alten Zivilisationen Indiens und Chinas den Satz verwendeten, wird durch die Abhandlung Zhou Bi Suan Jin bestätigt. Es enthält Informationen über das ägyptische Dreieck, das das Seitenverhältnis mit 3:4:5 beschreibt.

Nicht weniger interessant ist ein weiteres chinesisches mathematisches Buch „Chu-pei“, das auch das pythagoräische Dreieck mit einer Erklärung und Zeichnungen erwähnt, die mit den Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Baskhara übereinstimmen. Über das Dreieck selbst sagt das Buch, dass, wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt werden kann, die Linie, die die Enden der Seiten verbindet, gleich fünf ist, wenn die Basis drei und die Höhe vier ist.

Die indische Abhandlung "Sulva Sutra" stammt aus dem 7. bis 5. Jahrhundert vor Christus. e., erzählt von der Konstruktion eines rechten Winkels mit dem ägyptischen Dreieck.

Beweis des Satzes

Im Mittelalter hielten es die Studenten für zu schwierig, einen Satz zu beweisen. Schwache Schüler lernten Sätze auswendig, ohne die Bedeutung des Beweises zu verstehen. In dieser Hinsicht erhielten sie den Spitznamen "Esel", weil der Satz des Pythagoras für sie ein unüberwindbares Hindernis war, wie eine Brücke für einen Esel. Im Mittelalter erfanden Schüler einen spielerischen Vers zum Thema dieses Theorems.

Um den Satz des Pythagoras am einfachsten zu beweisen, sollten Sie einfach seine Seiten messen, ohne das Konzept der Flächen im Beweis zu verwenden. Die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite ist c und die angrenzenden a und b. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung: a 2 + b 2 \u003d c 2. Diese Aussage wird, wie oben erwähnt, verifiziert, indem man die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Wenn wir den Beweis des Satzes beginnen, indem wir die Fläche der Rechtecke betrachten, die an den Seiten des Dreiecks gebaut sind, können wir die Fläche der gesamten Figur bestimmen. Es entspricht der Fläche eines Quadrats mit einer Seite (a + b) und andererseits der Summe der Flächen von vier Dreiecken und dem inneren Quadrat.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , was zu beweisen war.

Die praktische Bedeutung des Satzes von Pythagoras besteht darin, dass er verwendet werden kann, um die Längen von Segmenten zu ermitteln, ohne sie zu messen. Beim Bau von Bauwerken werden Abstände, die Platzierung von Stützen und Balken berechnet und Schwerpunkte bestimmt. Der Satz des Pythagoras wird auch in allen modernen Technologien angewendet. Sie haben das Theorem bei der Erstellung von Filmen in 3D-6D-Dimensionen nicht vergessen, bei denen zusätzlich zu den üblichen 3 Werten: Höhe, Länge, Breite, Zeit, Geruch und Geschmack berücksichtigt werden. Wie hängen Geschmäcker und Gerüche mit dem Theorem zusammen, fragen Sie? Alles ist sehr einfach - wenn Sie einen Film zeigen, müssen Sie berechnen, wo und was im Zuschauerraum riecht und schmeckt.

Es ist nur der Anfang. Grenzenlose Möglichkeiten, neue Technologien zu entdecken und zu erschaffen, warten auf neugierige Köpfe.

Pythagoras ist ein griechischer Wissenschaftler, der vor etwa 2500 Jahren (564-473 v. Chr.) lebte.

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten a, b und Mit(Abb. 267).

Lassen Sie uns Quadrate an seinen Seiten bauen. Die Flächen dieser Quadrate sind jeweils a 2 , b 2 und Mit 2. Lassen Sie uns das beweisen Mit 2 = ein 2 +b 2 .

Lassen Sie uns zwei Quadrate MKOR und M'K'O'R' (Abb. 268, 269) konstruieren, indem wir für die Seite jedes von ihnen eine Strecke nehmen, die gleich der Summe der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks ABC ist.

Nachdem wir die in den Abbildungen 268 und 269 gezeigten Konstruktionen in diesen Quadraten abgeschlossen haben, werden wir sehen, dass das MKOR-Quadrat in zwei Quadrate mit Flächen unterteilt ist a 2 und b 2 und vier gleiche rechtwinklige Dreiecke, von denen jedes gleich dem rechtwinkligen Dreieck ABC ist. Das Quadrat M'K'O'R' ist in ein Viereck (es ist in Abbildung 269 schraffiert) und vier rechtwinklige Dreiecke unterteilt, von denen jedes auch gleich dem Dreieck ABC ist. Das schattierte Viereck ist ein Quadrat, da seine Seiten gleich sind (jede ist gleich der Hypotenuse des Dreiecks ABC, d.h. Mit), und die Winkel sind Geraden ∠1 + ∠2 = 90°, womit ∠3 = 90°).

Somit ist die Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate (in Abbildung 268 sind diese Quadrate schattiert) gleich der Fläche des MKOR-Quadrats ohne die Summe der Flächen von vier gleichen Dreiecken und der Fläche von Das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat (in Abbildung 269 ist dieses Quadrat auch schattiert) ist gleich der Fläche des Quadrats M'K'O'R', gleich dem Quadrat von MKOR, ohne die Summe der Flächen von vier ähnliche Dreiecke. Daher ist die Fläche des Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf den Beinen gebaut sind.

Wir bekommen die Formel Mit 2 = ein 2 +b 2, wo Mit- Hypotenuse, a und b- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz des Pythagoras lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Aus der Formel Mit 2 = ein 2 +b 2 können Sie die folgenden Formeln erhalten:

a 2 = Mit 2 - b 2 ;

b 2 = Mit 2 - a 2 .

Diese Formeln können verwendet werden, um die unbekannte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenn zwei seiner Seiten gegeben sind.

Zum Beispiel:

a) wenn Beine gegeben sind a= 4cm, b\u003d 3 cm, dann finden Sie die Hypotenuse ( Mit):

Mit 2 = ein 2 +b 2, d.h. Mit 2 = 4 2 + 3 2 ; mit 2 = 25, woher Mit= √25 = 5(cm);

b) wenn die Hypotenuse gegeben ist Mit= 17 cm und Bein a= 8 cm, dann kannst du ein anderes Bein finden ( b):

b 2 = Mit 2 - a 2, d.h. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, woher b= √225 = 15 (cm).

Korollar: Wenn in zwei rechtwinkligen Dreiecken ABC und A 1 B 1 C 1 Hypotenuse Mit und Mit 1 sind gleich, und das Bein b Dreieck ABC ist größer als das Bein b 1 Dreieck A 1 B 1 C 1,

dann das Bein a Dreieck ABC ist kleiner als das Bein a 1 Dreieck A 1 B 1 C 1 .

Tatsächlich erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras:

a 2 = Mit 2 - b 2 ,

a 1 2 = Mit 1 2 - b 1 2

In den geschriebenen Formeln sind die Minuenden gleich und der Subtrahend in der ersten Formel ist größer als der Subtrahend in der zweiten Formel, daher ist die erste Differenz kleiner als die zweite.

d.h. a 2 ein 1 2 . Wo a eine 1 .

Shapovalova LA (Station Egorlykskaya, MBOU ESOSH Nr. 11)

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In diesem akademischen Jahr lernte ich einen interessanten Satz kennen, der, wie sich herausstellte, aus der Antike bekannt war:

"Das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaute Quadrat ist gleich der Summe der auf den Schenkeln aufgebauten Quadrate."

Normalerweise wird die Entdeckung dieser Aussage dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras (VI Jahrhundert v. Chr.) Zugeschrieben. Aber das Studium alter Manuskripte zeigte, dass diese Aussage lange vor der Geburt von Pythagoras bekannt war.

Ich fragte mich, warum es in diesem Fall mit dem Namen Pythagoras in Verbindung gebracht wird.

Relevanz des Themas: Der Satz des Pythagoras ist von großer Bedeutung: Er wird in der Geometrie buchstäblich auf Schritt und Tritt verwendet. Ich glaube, dass die Werke von Pythagoras immer noch relevant sind, denn wohin wir auch schauen, überall können wir die Früchte seiner großartigen Ideen sehen, die in verschiedenen Zweigen des modernen Lebens verkörpert sind.

Der Zweck meiner Forschung war: herauszufinden, wer Pythagoras war und welche Beziehung er zu diesem Theorem hat.

Als ich die Geschichte des Theorems studierte, beschloss ich, Folgendes herauszufinden:

Gibt es noch andere Beweise für diesen Satz?

Welche Bedeutung hat dieses Theorem im Leben der Menschen?

Welche Rolle spielte Pythagoras bei der Entwicklung der Mathematik?

Aus der Biographie des Pythagoras

Pythagoras von Samos ist ein großer griechischer Wissenschaftler. Seine Berühmtheit ist mit dem Namen des Satzes des Pythagoras verbunden. Obwohl wir jetzt bereits wissen, dass dieser Satz im alten Babylon 1200 Jahre vor Pythagoras und in Ägypten 2000 Jahre vor ihm ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 bekannt war, nennen wir ihn immer noch mit dem Namen dieses Alten Wissenschaftler.

Über das Leben von Pythagoras ist fast nichts mit Sicherheit bekannt, aber eine große Anzahl von Legenden ist mit seinem Namen verbunden.

Pythagoras wurde 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren.

Pythagoras hatte ein hübsches Aussehen, trug einen langen Bart und ein goldenes Diadem auf dem Kopf. Pythagoras ist kein Name, sondern ein Spitzname, den der Philosoph erhielt, weil er wie ein griechisches Orakel immer richtig und überzeugend sprach. (Pythagoras - "überzeugende Rede").

550 v. Chr. trifft Pythagoras eine Entscheidung und geht nach Ägypten. So tut sich vor Pythagoras ein unbekanntes Land und eine unbekannte Kultur auf. Pythagoras war hierzulande sehr erstaunt und überrascht, und nach einigen Beobachtungen des Lebens der Ägypter erkannte Pythagoras, dass der Weg zum Wissen, geschützt durch die Priesterkaste, über die Religion führt.

Nach elf Jahren Studium in Ägypten geht Pythagoras in seine Heimat, wo er unterwegs in babylonische Gefangenschaft gerät. Dort lernt er die babylonische Wissenschaft kennen, die weiter entwickelt war als die ägyptische. Die Babylonier wussten, wie man lineare, quadratische und einige Arten von kubischen Gleichungen löst. Nachdem er aus der Gefangenschaft geflohen war, konnte er aufgrund der dort herrschenden Atmosphäre von Gewalt und Tyrannei nicht lange in seiner Heimat bleiben. Er beschloss, nach Kroton (eine griechische Kolonie in Norditalien) zu ziehen.

In Kroton beginnt die glorreichste Zeit im Leben des Pythagoras. Dort gründete er so etwas wie eine religiös-ethische Bruderschaft oder einen geheimen Mönchsorden, dessen Mitglieder verpflichtet waren, die sogenannte pythagoräische Lebensweise zu führen.

Pythagoras und die Pythagoräer

Pythagoras organisierte in einer griechischen Kolonie im Süden der Apenninenhalbinsel eine religiöse und ethische Bruderschaft, etwa einen Mönchsorden, der später Pythagoreische Union genannt wurde. Die Mitglieder der Vereinigung mussten sich an bestimmte Grundsätze halten: erstens nach dem Schönen und Herrlichen streben, zweitens nützlich sein und drittens nach hohem Vergnügen streben.

Das System moralischer und ethischer Regeln, das Pythagoras seinen Schülern vermachte, wurde zu einer Art Moralkodex der pythagoräischen „Goldenen Verse“ zusammengefasst, die in der Epoche der Antike, des Mittelalters und der Renaissance sehr beliebt waren.

Das pythagoräische Studiensystem bestand aus drei Abschnitten:

Lehren über Zahlen - Arithmetik,

Lehren über Figuren - Geometrie,

Lehren über den Aufbau des Universums - Astronomie.

Das von Pythagoras festgelegte Bildungssystem überdauerte viele Jahrhunderte.

Die Schule des Pythagoras hat viel dazu beigetragen, der Geometrie den Charakter einer Wissenschaft zu geben. Das Hauptmerkmal der pythagoreischen Methode war die Kombination von Geometrie mit Arithmetik.

Pythagoras beschäftigte sich viel mit Proportionen und Progressionen und wahrscheinlich mit der Ähnlichkeit von Figuren, da ihm die Lösung des Problems zugeschrieben wird: „Konstruieren Sie eine dritte, gleich groß wie eine der Daten und ähnlich der zweiten, basierend auf den gegeben zweistellig.“

Pythagoras und seine Schüler führten das Konzept der polygonalen, freundlichen, vollkommenen Zahlen ein und untersuchten ihre Eigenschaften. Arithmetik als Rechenpraxis interessierte Pythagoras nicht, und er erklärte stolz, dass er "die Arithmetik über die Interessen des Kaufmanns stellte".

Mitglieder der Pythagoräischen Union lebten in vielen Städten Griechenlands.

Die Pythagoräer nahmen auch Frauen in ihre Gesellschaft auf. Die Union blühte mehr als zwanzig Jahre lang auf, und dann begann die Verfolgung ihrer Mitglieder, viele der Studenten wurden getötet.

Es gab viele verschiedene Legenden über den Tod von Pythagoras selbst. Aber die Lehren von Pythagoras und seinen Schülern lebten weiter.

Aus der Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras

Es ist derzeit bekannt, dass dieser Satz nicht von Pythagoras entdeckt wurde. Einige glauben jedoch, dass es Pythagoras war, der als erster seinen vollen Beweis erbrachte, während andere ihm dieses Verdienst absprechen. Einige schreiben Pythagoras den Beweis zu, den Euklid im ersten Buch seiner Elemente gibt. Andererseits behauptet Proclus, dass der Beweis in den Elementen Euklid selbst zu verdanken ist. Wie wir sehen können, hat die Geschichte der Mathematik fast keine zuverlässigen konkreten Daten über das Leben von Pythagoras und seine mathematische Tätigkeit.

Beginnen wir unseren historischen Rückblick auf den Satz des Pythagoras mit dem alten China. Hier zieht das mathematische Buch von Chu-pei besondere Aufmerksamkeit auf sich. Dieser Aufsatz sagt Folgendes über das pythagoräische Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5:

"Wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt wird, dann ist die Linie, die die Enden seiner Seiten verbindet, 5, wenn die Basis 3 und die Höhe 4 ist."

Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen Sie ein 12 m langes Seil und binden Sie es entlang eines farbigen Streifens in einem Abstand von 3 m daran fest. von einem Ende und 4 Meter vom anderen. Zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten wird ein rechter Winkel eingeschlossen.

Die Geometrie war bei den Hindus eng mit dem Kult verbunden. Es ist sehr wahrscheinlich, dass der Hypotenuse-Quadrat-Satz bereits um das 8. Jahrhundert v. Chr. in Indien bekannt war. Neben rein rituellen Vorschriften gibt es Werke geometrisch-theologischer Natur. In diesen Schriften aus dem 4. oder 5. Jahrhundert v. Chr. begegnen wir der Konstruktion eines rechten Winkels aus einem Dreieck mit den Seiten 15, 36, 39.

Im Mittelalter definierte der Satz des Pythagoras die Grenze, wenn nicht des größtmöglichen, so doch zumindest guten mathematischen Wissens. Die charakteristische Zeichnung des Satzes des Pythagoras, die heute manchmal von Schulkindern zum Beispiel in einen Zylinder in einer Robe eines Professors oder eines Mannes verwandelt wird, wurde damals oft als Symbol der Mathematik verwendet.

Abschließend präsentieren wir verschiedene Formulierungen des Satzes des Pythagoras, übersetzt aus dem Griechischen, Lateinischen und Deutschen.

Der Satz von Euklid lautet (wörtliche Übersetzung):

"In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Seiten, die den rechten Winkel überspannen, gleich den Quadraten auf den Seiten, die den rechten Winkel einschließen."

Wie Sie sehen können, gibt es in verschiedenen Ländern und verschiedenen Sprachen unterschiedliche Versionen der Formulierung des bekannten Theorems. Sie wurden zu verschiedenen Zeiten und in verschiedenen Sprachen erstellt und spiegeln die Essenz eines mathematischen Musters wider, dessen Beweis auch mehrere Optionen hat.

Fünf Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen

alte chinesische Beweise

In einer alten chinesischen Zeichnung werden vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Beinen a, b und Hypotenuse c so übereinander gestapelt, dass ihre Außenkontur ein Quadrat mit der Seite a + b und die innere ein Quadrat mit der Seite c bildet, auf der gebaut Hypotenuse

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Beweis von J. Gardfield (1882)

Ordnen wir zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke so an, dass der Schenkel des einen eine Fortsetzung des anderen ist.

Die Fläche des betrachteten Trapezes ergibt sich als Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und der Höhe

Andererseits ist die Fläche des Trapezes gleich der Summe der Flächen der erhaltenen Dreiecke:

Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir:

Der Beweis ist einfach

Dieser Beweis wird im einfachsten Fall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt.

Wahrscheinlich begann das Theorem mit ihm.

Tatsächlich muss man sich nur die Kachelung von gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecken ansehen, um zu sehen, dass der Satz wahr ist.

Zum Beispiel für das Dreieck ABC: Das auf der Hypotenuse AC aufgebaute Quadrat enthält 4 Anfangsdreiecke, und die auf den Schenkeln aufgebauten Quadrate enthalten zwei. Der Satz ist bewiesen.

Beweis der alten Hindus

Ein Quadrat mit einer Seite (a + b) kann entweder wie in Abb. 12. a, oder wie in fig. 12b. Es ist klar, dass die Teile 1, 2, 3, 4 in beiden Figuren gleich sind. Und wenn Gleiche von Gleichen (Flächen) subtrahiert werden, dann bleiben Gleiche übrig, d.h. c2 = a2 + b2.

Euklids Beweis

Zwei Jahrtausende lang war der Beweis des von Euklid erfundenen Satzes des Pythagoras am gebräuchlichsten. Es ist in seinem berühmten Buch "Beginnings" platziert.

Euklid senkte die Höhe BH vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse und bewies, dass seine Verlängerung das auf der Hypotenuse fertiggestellte Quadrat in zwei Rechtecke teilt, deren Flächen gleich den Flächen der entsprechenden Quadrate sind, die auf den Beinen gebaut sind.

Die zum Beweis dieses Satzes verwendete Zeichnung wird scherzhaft "Pythagoräische Hose" genannt. Lange Zeit galt er als eines der Symbole der mathematischen Wissenschaft.

Anwendung des Satzes des Pythagoras

Die Bedeutung des Satzes des Pythagoras liegt darin, dass die meisten Sätze der Geometrie aus ihm oder mit seiner Hilfe abgeleitet und viele Probleme gelöst werden können. Darüber hinaus besteht die praktische Bedeutung des Satzes des Pythagoras und seines Umkehrsatzes darin, dass sie verwendet werden können, um die Längen von Segmenten zu ermitteln, ohne die Segmente selbst zu messen. Dies öffnet gleichsam den Weg von einer geraden Linie zu einer Ebene, von einer Ebene zu einem volumetrischen Raum und darüber hinaus. Aus diesem Grund ist der Satz des Pythagoras so wichtig für die Menschheit, die danach strebt, weitere Dimensionen zu entdecken und Technologien in diesen Dimensionen zu schaffen.

Fazit

Der Satz des Pythagoras ist so berühmt, dass es schwierig ist, sich eine Person vorzustellen, die noch nichts davon gehört hat. Ich habe gelernt, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Ich studierte eine Reihe historischer und mathematischer Quellen, einschließlich Informationen im Internet, und stellte fest, dass der Satz des Pythagoras nicht nur wegen seiner Geschichte interessant ist, sondern auch, weil er einen wichtigen Platz im Leben und in der Wissenschaft einnimmt. Dies wird durch die verschiedenen Interpretationen des Textes dieses Theorems, die ich in diesem Aufsatz gegeben habe, und die Art und Weise seiner Beweise belegt.

Der Satz des Pythagoras ist also einer der wichtigsten und, könnte man sagen, der wichtigste Satz der Geometrie. Seine Bedeutung liegt darin, dass die meisten Sätze der Geometrie aus ihm oder mit seiner Hilfe abgeleitet werden können. Der Satz des Pythagoras ist auch insofern bemerkenswert, als er an sich überhaupt nicht offensichtlich ist. Beispielsweise sind die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks direkt auf der Zeichnung ersichtlich. Aber egal, wie oft Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck ansehen, Sie werden nie sehen, dass es eine einfache Beziehung zwischen seinen Seiten gibt: c2 = a2 + b2. Daher wird häufig Visualisierung verwendet, um dies zu beweisen. Das Verdienst von Pythagoras war, dass er einen vollständigen wissenschaftlichen Beweis dieses Theorems lieferte. Interessant ist die Persönlichkeit des Wissenschaftlers selbst, dessen Gedächtnis nicht zufällig durch dieses Theorem bewahrt wird. Pythagoras ist ein wunderbarer Redner, Lehrer und Erzieher, der Organisator seiner Schule, die sich auf die Harmonie von Musik und Zahlen, Güte und Gerechtigkeit, Wissen und einen gesunden Lebensstil konzentriert. Er mag uns, fernen Nachfahren, als Vorbild dienen.

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Laut van der Waerden war es sehr wahrscheinlich, dass das Verhältnis in allgemeiner Form bereits um das 18. Jahrhundert v. Chr. In Babylon bekannt war. e.

Etwa 400 v. h., laut Proclus gab Plato eine Methode zum Finden von pythagoreischen Tripeln, indem er Algebra und Geometrie kombinierte. Um 300 v. e. in den „Elementen“ von Euklid erschien der älteste axiomatische Beweis des Satzes des Pythagoras.

Wortlaut

Die Hauptformulierung enthält algebraische Operationen - in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Beinlängen gleich sind ein (\displaystyle ein) und b (\ displaystyle b), und die Länge der Hypotenuse ist c (\ displaystyle c), ist die Beziehung erfüllt:

Es ist auch eine äquivalente geometrische Formulierung möglich, die auf das Konzept der Fläche Figur zurückgreift: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des auf der Hypotenuse gebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen gebauten Quadrate. In dieser Form ist der Satz in Euklids Principia formuliert.

Inverser Satz des Pythagoras- eine Aussage über die Rechtwinkligkeit eines beliebigen Dreiecks, dessen Seitenlängen durch die Beziehung in Beziehung stehen a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Als Konsequenz für jedes Tripel positiver Zahlen ein (\displaystyle ein), b (\ displaystyle b) und c (\ displaystyle c), so dass a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen ein (\displaystyle ein) und b (\ displaystyle b) und Hypotenuse c (\ displaystyle c).

Beweis für

Mindestens 400 Beweise des Satzes des Pythagoras sind in der wissenschaftlichen Literatur verzeichnet, was sowohl durch den fundamentalen Wert für die Geometrie als auch durch die Elementarität des Ergebnisses erklärt wird. Die Hauptrichtungen der Beweise sind: algebraische Verwendung der Verhältnisse von Elementen – Dreieck (wie z. B. die beliebte Ähnlichkeitsmethode), Flächenmethode, es gibt auch verschiedene exotische Beweise (z. B. unter Verwendung von Differentialgleichungen).

Durch ähnliche Dreiecke

Der klassische Beweis von Euklid zielt darauf ab, die Gleichheit der Flächen zwischen den Rechtecken herzustellen, die durch Zerlegen des Quadrats über der Hypotenuse mit der Höhe aus dem rechten Winkel mit den Quadraten über den Beinen gebildet werden.

Die für den Beweis verwendete Konstruktion ist wie folgt: für ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C (\displaystyle C), Quadrate über den Beinen und und Quadrate über der Hypotenuse A B I K (\displaystyle ABIK) Höhe wird gebaut CH (\displaystyle CH) und der Strahl, der es fortsetzt s (\displaystyle s), das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke teilend und . Der Beweis zielt darauf ab, die Gleichheit der Flächen des Rechtecks festzustellen A H J K (\displaystyle AHJK) mit einem Quadrat über dem Bein A C (\displaystyle AC); Die Gleichheit der Flächen des zweiten Rechtecks, das ein Quadrat über der Hypotenuse ist, und des Rechtecks über dem anderen Bein wird auf ähnliche Weise hergestellt.

Gleichheit der Flächen eines Rechtecks A H J K (\displaystyle AHJK) und A C E D (\displaystyle ACED) entsteht durch die Kongruenz von Dreiecken △ A C K (\displaystyle\triangle ACK) und △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), deren Fläche jeweils der Hälfte der Fläche von Quadraten entspricht A H J K (\displaystyle AHJK) und A C E D (\displaystyle ACED) jeweils in Verbindung mit folgender Eigenschaft: Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte der Fläche eines Rechtecks, wenn die Figuren eine gemeinsame Seite haben, und die Höhe des Dreiecks zur gemeinsamen Seite die andere Seite ist das Rechteck. Die Kongruenz von Dreiecken folgt aus der Gleichheit zweier Seiten (Quadratseiten) und dem Winkel zwischen ihnen (zusammengesetzt aus einem rechten Winkel und einem Winkel a). A (\displaystyle A).

Somit stellt der Beweis fest, dass die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse aus Rechtecken besteht A H J K (\displaystyle AHJK) und B H J I (\ displaystyle BHJI), ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Beinen.

Beweis für Leonardo da Vinci

Die Flächenmethode beinhaltet auch den von Leonardo da Vinci gefundenen Beweis. Es sei ein rechtwinkliges Dreieck △ A B C (\displaystyle\triangle ABC) rechter Winkel C (\displaystyle C) und Quadrate A C E D (\displaystyle ACED), B. C. F. G. (\displaystyle BCFG) und A B H J (\displaystyle ABHJ)(siehe Bild). In diesem Beweis auf der Seite HJ (\displaystyle HJ) zu letzterem wird nach außen kongruent ein Dreieck konstruiert △ A B C (\displaystyle\triangle ABC), darüber hinaus sowohl relativ zur Hypotenuse als auch relativ zu ihrer Höhe (d.h. J ich = BC (\ displaystyle JI = BC) und H. ich = A. C. (\displaystyle HI=AC)). Gerade CI (\ displaystyle CI) teilt das auf der Hypotenuse gebaute Quadrat in zwei gleiche Teile, seit Dreiecken △ A B C (\displaystyle\triangle ABC) und △ JH I (\displaystyle \triangle JHI) sind baugleich. Der Beweis stellt die Kongruenz von Vierecken her C A J I (\ displaystyle CAJI) und D A B G (\ displaystyle DABG), deren Fläche einerseits gleich der Summe der Hälfte der Flächen der Quadrate an den Beinen und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks andererseits gleich der Hälfte der Fläche von ist das Quadrat über der Hypotenuse plus die Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Insgesamt ist die Hälfte der Summe der Flächen der Quadrate über den Beinen gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse, was der geometrischen Formulierung des Satzes des Pythagoras entspricht.

Beweis nach der Infinitesimalmethode

Es gibt mehrere Beweise mit der Technik der Differentialgleichungen. Insbesondere wird Hardy ein Beweis zugeschrieben, der unendlich kleine Beininkremente verwendet ein (\displaystyle ein) und b (\ displaystyle b) und Hypotenuse c (\ displaystyle c), und Bewahrung der Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Rechteck, d. h. Sicherstellung der folgenden differentiellen Beziehungen:

d ein d c = c ein (\ displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Durch die Methode der Variablentrennung wird daraus eine Differentialgleichung abgeleitet c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), deren Integration die Relation ergibt c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Anwendung von Anfangsbedingungen a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definiert eine Konstante als 0, was zur Behauptung des Theorems führt.

Die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel erscheint aufgrund der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe auf den unabhängigen Beiträgen der Inkremente verschiedener Schenkel beruht.

Variationen und Verallgemeinerungen

Kosinussatz

Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des allgemeineren Kosinussatzes, der die Seitenlängen in einem beliebigen Dreieck in Beziehung setzt:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta)=c^(2)),

wo ist der winkel zwischen den seiten ein (\displaystyle ein) und b (\ displaystyle b). Wenn der Winkel 90° beträgt, dann cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), und die Formel vereinfacht sich zum üblichen Satz des Pythagoras.

Beliebiges Dreieck

Es gibt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf ein beliebiges Dreieck, das ausschließlich auf dem Verhältnis der Seitenlängen basiert. Es wird angenommen, dass es zuerst von dem sabischen Astronomen Sabit ibn Kurra aufgestellt wurde. Darin ist für ein beliebiges Dreieck mit Seiten ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Basis an der Seite c (\ displaystyle c), wobei der Scheitelpunkt mit dem Scheitelpunkt des ursprünglichen Dreiecks gegenüber der Seite zusammenfällt c (\ displaystyle c) und Winkel an der Basis gleich dem Winkel θ (\displaystyle\theta) gegenüberliegende Seite c (\ displaystyle c). Als Ergebnis werden zwei Dreiecke gebildet, ähnlich wie im Original: das erste mit Seiten ein (\displaystyle ein), die laterale Seite des einbeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks weit davon entfernt, und r (\displaystyle r)- Seitenteile c (\ displaystyle c); der zweite ist von der Seite symmetrisch dazu b (\ displaystyle b) mit einer Party s (\displaystyle s)- der relevante Teil der Seite c (\ displaystyle c). Damit ist die Beziehung erfüllt:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

was in den Satz des Pythagoras bei entartet θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Das Verhältnis ergibt sich aus der Ähnlichkeit der gebildeten Dreiecke:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rechtspfeil \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Flächensatz von Pappus

Nichteuklidische Geometrie

Der Satz des Pythagoras leitet sich aus den Axiomen der euklidischen Geometrie ab und ist für die nichteuklidische Geometrie ungültig – die Erfüllung des Satzes des Pythagoras kommt dem Postulat des euklidischen Parallelismus gleich.

In der nicht-euklidischen Geometrie wird die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks notwendigerweise eine andere Form als im Satz des Pythagoras haben. Beispielsweise haben in der sphärischen Geometrie alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die einen Oktanten einer Einheitskugel begrenzen, eine Länge π / 2 (\displaystyle \pi/2), was dem Satz des Pythagoras widerspricht.

Darüber hinaus gilt der Satz des Pythagoras in der hyperbolischen und elliptischen Geometrie, wenn die Anforderung, dass das Dreieck rechteckig ist, durch die Bedingung ersetzt wird, dass die Summe der beiden Winkel des Dreiecks gleich dem dritten sein muss.

sphärische Geometrie

Für jedes rechtwinklige Dreieck auf einer Kugel mit Radius R (\displaystyle R)(z. B. wenn der Winkel im Dreieck richtig ist) mit Seiten a , b , c (\displaystyle a,b,c) Die Beziehung zwischen den Seiten ist:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Diese Gleichheit lässt sich als Spezialfall des sphärischen Kosinussatzes ableiten, der für alle sphärischen Dreiecke gilt:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ ein ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

wo ch (\Displaystyle\Operatorname (ch))- hyperbolischer Kosinus. Diese Formel ist ein Spezialfall des hyperbolischen Kosinussatzes, der für alle Dreiecke gilt:

ch ⁡ c = ch ⁡ ein ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ ein ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

wo γ (\displaystyle\gamma)- ein Winkel, dessen Scheitel einer Seite gegenüberliegt c (\ displaystyle c).

Unter Verwendung der Taylor-Reihe für den hyperbolischen Kosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) kann gezeigt werden, dass, wenn das hyperbolische Dreieck abnimmt (d.h. wann ein (\displaystyle ein), b (\ displaystyle b) und c (\ displaystyle c) gegen Null gehen), dann nähern sich die hyperbolischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck der Beziehung des klassischen Satzes des Pythagoras an.

Anwendung

Entfernung in zweidimensionalen rechteckigen Systemen

Die wichtigste Anwendung des Satzes des Pythagoras ist die Bestimmung der Entfernung zwischen zwei Punkten in einem rechteckigen System Koordinaten: Entfernung s (\displaystyle s) zwischen Punkten mit Koordinaten (a , b) (\displaystyle (a,b)) und (c , d) (\displaystyle (c,d)) gleich:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Für komplexe Zahlen liefert der Satz des Pythagoras eine natürliche Formel zum Ermitteln der Modul komplexen Zahl - for z = x + y ich (\displaystyle z=x+yi) es ist gleich der Länge