Wie man Brüche mit ganzen Zahlen multipliziert. Regeln zum Multiplizieren von Brüchen mit einer Zahl
Das letzte Mal haben wir gelernt, wie man Brüche addiert und subtrahiert (siehe Lektion "Brüche addieren und subtrahieren"). Der schwierigste Moment bei diesen Aktionen war die Reduzierung der Fraktionen auf gemeinsamer Nenner.
Jetzt ist es an der Zeit, Multiplikation und Division herauszufinden. Die gute Nachricht ist, dass diese Operationen noch einfacher durchzuführen sind als Addition und Subtraktion. Betrachten Sie zunächst den einfachsten Fall, wenn es zwei positive Brüche ohne einen dedizierten ganzzahligen Teil gibt.
Um zwei Brüche zu multiplizieren, müssen Sie ihre Zähler und Nenner separat multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs, die zweite der Nenner.
Um zwei Brüche zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit der „invertierten“ Sekunde multiplizieren.
Bezeichnung:
Aus der Definition folgt, dass die Division von Brüchen auf die Multiplikation reduziert wird. Um einen Bruch zu "spiegeln", reicht es, die Positionen von Zähler und Nenner zu vertauschen. Daher werden wir in der gesamten Lektion hauptsächlich die Multiplikation betrachten.
Durch Multiplikation kann ein stornierbarer Bruch entstehen (und entsteht oft auch) - dieser muss natürlich storniert werden. Wenn sich nach allen Kontraktionen der Bruch als falsch herausstellt, sollte der ganze Teil darin ausgewählt werden. Was aber bei der Multiplikation definitiv nicht passieren wird, ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner: keine Kreuzwege, größte Faktoren und kleinste gemeinsame Vielfache.
Per Definition haben wir:
Multiplikation ganzer Brüche und negativer Brüche
Wenn die Brüche einen ganzzahligen Anteil haben, müssen sie in falsche umgerechnet werden – und erst dann nach den oben beschriebenen Schemata multipliziert werden.
Steht im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus, kann es nach folgenden Regeln aus dem Multiplikationsbereich genommen oder sogar entfernt werden:
- Plus und Minus ergibt ein Minus;
- Zwei Negative ergeben eine Bestätigung.
Bisher wurden diese Regeln nur beim Addieren und Subtrahieren negativer Brüche angetroffen, wenn es darum ging, den ganzen Teil loszuwerden. Für die Produktion können sie so verallgemeinert werden, dass sie mehrere Nachteile gleichzeitig "verbrennen":
- Streichen Sie die Minuszeichen paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. Im Extremfall kann ein Minus überleben - dasjenige, für das es kein Paar gab;
- Wenn keine Minuspunkte mehr vorhanden sind, ist die Operation abgeschlossen - Sie können mit der Multiplikation beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, da es kein Paar gefunden hat, verschieben wir es aus dem Bereich der Multiplikation. Sie erhalten einen negativen Bruch.
Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
Wir übersetzen alle Brüche in falsche und verschieben dann die Minuszeichen aus dem Bereich der Multiplikation. Was übrig bleibt wird mit multipliziert die üblichen regeln... Wir bekommen:
Lassen Sie mich noch einmal daran erinnern, dass das Minus, das vor einem Bruch mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil steht, sich speziell auf den gesamten Bruch bezieht und nicht nur auf seinen ganzzahligen Teil (dies gilt für die letzten beiden Beispiele).
Achten Sie auch auf negative Zahlen: Beim Multiplizieren werden sie in Klammern gesetzt. Dies geschieht, um die Minuszeichen von den Multiplikationszeichen zu trennen und die ganze Notation genauer zu machen.
Brüche im Handumdrehen reduzieren
Die Multiplikation ist ein sehr zeitaufwendiger Vorgang. Die Zahlen fallen hier ziemlich groß aus, und um die Aufgabe zu vereinfachen, können Sie versuchen, den Bruch noch weiter zu reduzieren vor der Multiplikation... Tatsächlich sind Zähler und Nenner von Brüchen im Wesentlichen gewöhnliche Faktoren und können daher mit der Grundeigenschaft eines Bruchs aufgehoben werden. Schauen Sie sich Beispiele an:
Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
Per Definition haben wir:
In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und der Rest rot markiert.
Bitte beachten: Im ersten Fall wurden die Multiplikatoren komplett reduziert. Stattdessen gibt es nur wenige, die im Allgemeinen weggelassen werden können. Im zweiten Beispiel konnte keine vollständige Reduzierung erreicht werden, aber der Gesamtberechnungsaufwand nahm dennoch ab.
Verwenden Sie diese Technik jedoch auf keinen Fall beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen! Ja, manchmal gibt es dort ähnliche Zahlen, die Sie einfach reduzieren möchten. Schau mal hier:
Das kannst du nicht!
Der Fehler tritt auf, weil beim Addieren eine Summe im Zähler eines Bruchs und kein Produkt von Zahlen erscheint. Daher kann die Haupteigenschaft des Bruchs nicht angewendet werden, da in dieser Eigenschaft es kommt es geht darum, Zahlen zu multiplizieren.
Es gibt einfach keinen anderen Grund, Brüche zu reduzieren, daher sieht die richtige Lösung des vorherigen Problems so aus:
Die richtige Entscheidung:
Wie Sie sehen, stellte sich die richtige Antwort als nicht so schön heraus. Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig.
Eine weitere Aktion, die Sie mit Brüchen ausführen können, ist die Multiplikation. Wir werden versuchen, seine Grundregeln beim Lösen von Problemen zu erklären, wir zeigen, wie ein gewöhnlicher Bruch mit . multipliziert wird natürliche Zahl und wie man drei Brüche und mehr richtig multipliziert.
Schreiben wir uns zuerst die Grundregel auf:
Definition 1
Wenn wir einen gemeinsamen Bruch multiplizieren, ist der Zähler des resultierenden Bruchs gleich dem Produkt der Zähler der ursprünglichen Brüche und der Nenner - dem Produkt ihrer Nenner. In wörtlicher Form kann dies für die beiden Brüche a / b und c / d als a b c d = a c b d ausgedrückt werden.
Sehen wir uns ein Beispiel für die korrekte Anwendung dieser Regel an. Nehmen wir an, wir haben ein Quadrat, dessen Seitenlänge einer numerischen Einheit entspricht. Dann beträgt die Fläche der Figur 1 Quadratmeter. Einheit. Wenn wir das Quadrat in gleiche Rechtecke mit Seiten gleich 1 4 und 1 8 einer numerischen Einheit teilen, erhalten wir, dass es nun aus 32 Rechtecken besteht (weil 8 4 = 32). Dementsprechend entspricht die Fläche jedes von ihnen 1 32 der Fläche der gesamten Figur, d. h. 1 32 qm Einheiten.
Wir haben ein schattiertes Fragment mit Seiten gleich 5 8 numerischen Einheiten und 3 4 numerischen Einheiten. Dementsprechend müssen Sie den ersten Bruch mit dem zweiten multiplizieren, um seine Fläche zu berechnen. Es entspricht 5 8 · 3 4 sq. Einheiten. Aber wir können einfach zählen, wie viele Rechtecke in dem Fragment enthalten sind: es sind 15 davon, was bedeutet, dass gesamtes Gebiet ist 15 32 Quadrateinheiten.
Da 5 3 = 15 und 8 4 = 32 ist, können wir die folgende Gleichheit schreiben:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Es ist eine Bestätigung der von uns formulierten Regel für die Multiplikation gewöhnlicher Brüche, die als a b c d = a c b d ausgedrückt wird. Es funktioniert für regelmäßige und unregelmäßige Brüche gleich; es kann verwendet werden, um Brüche mit verschiedenen und gleichen Nennern zu multiplizieren.
Schauen wir uns Lösungen für mehrere Multiplikationsprobleme für gewöhnliche Brüche an.
Beispiel 1
Multiplizieren Sie 7 11 mit 9 8.
Lösung
Berechnen wir zunächst das Produkt der Zähler der angegebenen Brüche, indem wir 7 mit 9 multiplizieren. Wir haben 63. Dann berechnen wir das Produkt der Nenner und erhalten: 11 8 = 88. Machen wir aus ihren beiden Zahlen die Antwort: 63 88.
Die gesamte Lösung kann wie folgt geschrieben werden:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Antworten: 7 11 9 8 = 63 88.
Wenn wir in der Antwort einen stornierbaren Bruchteil erhalten, müssen wir die Berechnung zu Ende bringen und ihre Stornierung durchführen. Wenn wir den falschen Bruch erhalten, müssen wir den gesamten Teil daraus auswählen.
Beispiel 2
Berechnen Sie das Produkt von Brüchen 4 15 und 55 6.
Lösung
Nach der oben untersuchten Regel müssen wir den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Der Lösungsdatensatz sieht wie folgt aus:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Wir haben einen stornierbaren Bruch, d.h. eine, die eine Teilbarkeit durch 10 hat.
Verringern wir den Bruch: 220 90 GCD (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Als Ergebnis erhalten wir einen falschen Bruch, aus dem wir den ganzen Teil auswählen und eine gemischte Zahl erhalten: 22 9 = 2 4 9.
Antworten: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Zur Vereinfachung der Berechnungen können wir auch die ursprünglichen Brüche reduzieren, bevor wir die Multiplikationsoperation durchführen, für die wir den Bruch auf die Form a · c b · d reduzieren müssen. Lassen Sie uns die Werte der Variablen in Primfaktoren zerlegen und dieselben reduzieren.
Lassen Sie uns anhand der Daten einer bestimmten Aufgabe erklären, wie es aussieht.
Beispiel 3
Berechnen Sie das Produkt 4 15 55 6.
Lösung
Schreiben wir die Berechnungen basierend auf der Multiplikationsregel. Wir bekommen:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Da 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 und 6 = 2 3, dann 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Antworten: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Ein numerischer Ausdruck, in dem die Multiplikation von gewöhnlichen Brüchen stattfindet, hat eine Verschiebungseigenschaft, dh wir können bei Bedarf die Reihenfolge der Faktoren ändern:
a b c d = c d a b = a c b d
Wie man einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multipliziert
Schreiben wir uns gleich die Grundregel auf und versuchen dann, sie in der Praxis zu erklären.
Definition 2
Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler dieses Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren. In diesem Fall ist der Nenner des letzten Bruchs gleich dem Nenner des ursprünglichen ordentlichen Bruchs. Die Multiplikation eines Bruches a b mit einer natürlichen Zahl n kann als Formel a b n = a n b geschrieben werden.
Diese Formel ist leicht zu verstehen, wenn Sie sich daran erinnern, dass jede natürliche Zahl als gewöhnlicher Bruch mit einem Nenner gleich Eins dargestellt werden kann, d. h.:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Lassen Sie uns unsere Gedanken an konkreten Beispielen verdeutlichen.
Beispiel 4
Berechnen Sie das Produkt von 2 27 mal 5.
Lösung
Als Ergebnis der Multiplikation des Zählers des ursprünglichen Bruchs mit dem zweiten Faktor erhalten wir 10. Aufgrund der obigen Regel erhalten wir als Ergebnis 10 27. Die gesamte Lösung finden Sie in diesem Beitrag:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Antworten: 2 27 5 = 10 27
Wenn wir eine natürliche Zahl mit einem gewöhnlichen Bruch multiplizieren, müssen wir das Ergebnis oft abkürzen oder als gemischte Zahl darstellen.
Beispiel 5
Bedingung: Berechnen Sie das Produkt von 8 mal 5 12.
Lösung
Nach obiger Regel multiplizieren wir die natürliche Zahl mit dem Zähler. Als Ergebnis erhalten wir 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Der letzte Bruch hat Zeichen der Teilbarkeit durch 2, also müssen wir ihn reduzieren:
LCM (40, 12) = 4, also 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Jetzt müssen wir nur noch den ganzen Teil auswählen und die fertige Antwort aufschreiben: 10 3 = 3 1 3.
In diesem Eintrag sehen Sie die gesamte Lösung: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Wir könnten den Bruch auch reduzieren, indem wir Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegen, und das Ergebnis wäre genau das gleiche.
Antworten: 5 12 8 = 3 1 3.
Ein numerischer Ausdruck, bei dem eine natürliche Zahl mit einem Bruch multipliziert wird, hat ebenfalls die Eigenschaft, sich zu bewegen, d. h. die Reihenfolge der Faktoren beeinflusst das Ergebnis nicht:
a b n = n a b = a n b
Wie man drei oder mehr Brüche multipliziert
Wir können auf die Multiplikation gewöhnlicher Brüche dieselben Eigenschaften übertragen, die für die Multiplikation natürlicher Zahlen charakteristisch sind. Dies folgt aus der Definition dieser Konzepte.
Dank der Kenntnis der Kombinations- und Verschiebungseigenschaften ist es möglich, drei zu multiplizieren gemeinsame Brüche und mehr. Es ist zulässig, die Multiplikatoren der Einfachheit halber an bestimmten Stellen neu anzuordnen oder die Klammern anzuordnen, um das Zählen zu erleichtern.
Lassen Sie uns an einem Beispiel zeigen, wie das geht.
Beispiel 6
Multiplizieren Sie die vier Brüche 1 20, 12 5, 3 7 und 5 8.
Lösung: Zuerst machen wir eine Aufnahme des Stücks. Wir erhalten 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8. Wir müssen alle Zähler und Nenner untereinander multiplizieren: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8.
Bevor wir mit der Multiplikation beginnen, können wir es uns etwas leichter machen und einige Zahlen zur weiteren Reduktion in Primfaktoren zerlegen. Dies ist einfacher, als den resultierenden Bruchteil zu reduzieren.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Antworten: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9 280.
Beispiel 7
Multiplizieren Sie 5 Zahlen 7 8 12 8 5 36 10.
Lösung
Der Einfachheit halber können wir den Bruch 7 8 mit der Zahl 8 und die Zahl 12 mit dem Bruch 5 36 gruppieren, da zukünftige Abkürzungen für uns offensichtlich sein werden. Als Ergebnis erhalten wir:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Antworten: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
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§ 87. Addition von Bruchteilen.
Die Addition von Brüchen hat viele Ähnlichkeiten mit der Addition von ganzen Zahlen. Die Addition von Brüchen ist eine Aktion, die darin besteht, dass mehrere gegebene Zahlen (Terme) zu einer Zahl (Summe) zusammengefasst werden, die alle Einheiten und Bruchteile der Einheiten der Terme enthält.
Wir betrachten drei Fälle nacheinander:
1. Brüche mit gleichen Nennern addieren.
2. Brüche mit addieren verschiedene Nenner.
3. Addition gemischter Zahlen.
1. Brüche mit gleichen Nennern addieren.
Betrachten Sie ein Beispiel: 1/5 + 2/5.
Nehmen Sie das Segment AB (Abb. 17), nehmen Sie es als Einheit und teilen Sie es in 5 gleiche Teile, dann entspricht der Teil AC dieses Segments 1/5 des Segments AB und der Teil des gleichen Segments CD wird gleich 2/5 AB sein.
Die Zeichnung zeigt, dass wenn Sie das Segment AD nehmen, es gleich 3/5 AB ist; aber das Segment AD ist nur die Summe der Segmente AC und CD. Daher können wir schreiben:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Betrachtet man diese Terme und die resultierende Summe, so ergibt sich der Zähler der Summe aus der Addition der Zähler der Terme und der Nenner blieb unverändert.
Von hier erhalten wir die folgende Regel: Um Brüche mit dem gleichen Nenner zu addieren, addiere ihre Zähler und belasse den gleichen Nenner.
Betrachten wir ein Beispiel:
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren.
Wir addieren die Brüche: 3/4 + 3/8 Zuerst müssen sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert werden:
Das Zwischenglied 6/8 + 3/8 hätte nicht geschrieben werden können; Wir haben es hier zur Verdeutlichung geschrieben.
Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, musst du sie also zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, ihre Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner unterschreiben.
Betrachten Sie ein Beispiel (wir werden zusätzliche Faktoren über die entsprechenden Brüche schreiben):
3. Addition gemischter Zahlen.
Addiere die Zahlen: 2 3/8 + 3 5/6.
Zuerst bringen wir die Bruchteile unserer Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben sie erneut um:
Jetzt fügen wir die ganzen und die Bruchteile nacheinander hinzu:
§ 88. Abzug von Bruchteilen.
Das Subtrahieren von Brüchen wird genauso definiert wie das Subtrahieren ganzer Zahlen. Dies ist eine Aktion, bei der für eine gegebene Summe von zwei Termen und einem von ihnen ein anderer Term gefunden wird. Betrachten wir nacheinander drei Fälle:
1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Subtraktion gemischter Zahlen.
1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.
Betrachten wir ein Beispiel:
13 / 15 - 4 / 15
Nehmen Sie das Segment AB (Abb. 18), nehmen Sie es als Einheit und teilen Sie es in 15 gleiche Teile; dann entspricht ein Teil des AC dieses Segments 1/15 von AB, und ein Teil von AD desselben Segments entspricht 13/15 AB. Lassen wir das Segment ED gleich 4/15 AB beiseite.
Wir müssen 4/15 von 13/15 subtrahieren. In der Zeichnung bedeutet dies, dass Sie das Segment ED vom Segment AD abziehen müssen. Als Ergebnis bleibt das Segment AE bestehen, das 9/15 des Segments AB ist. Wir können also schreiben:
Unser Beispiel zeigt, dass der Zähler der Differenz durch Subtraktion der Zähler erhalten wird, der Nenner aber gleich bleibt.
Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie daher den Zähler des Subtrahierten vom Zähler des Dekrementierten subtrahieren und den gleichen Nenner belassen.
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
Beispiel. 3/4 - 5/8
Zuerst bringen wir diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:
Zwischen 6/8 - 5/8 ist hier der Klarheit halber geschrieben, kann aber im Folgenden weggelassen werden.
Um also einen Bruch von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie sie zuerst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, dann den Zähler des subtrahierten vom Zähler des reduzierten subtrahieren und den gemeinsamen Nenner unter ihrer Differenz signieren.
Betrachten wir ein Beispiel:
3. Subtraktion gemischter Zahlen.
Beispiel. 10 3/4 - 7 2/3.
Bringen wir die Bruchteile des reduzierten und subtrahierten auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:
Wir subtrahieren das Ganze vom Ganzen und den Bruch vom Bruch. Aber es gibt Zeiten, in denen der Bruchteil des Subtrahierten größer ist als der Bruchteil des reduzierten. In solchen Fällen müssen Sie eine Einheit aus dem gesamten Teil des verminderten Teils nehmen, sie in die Teile aufteilen, in denen der Bruchteil ausgedrückt wird, und sie zum Bruchteil des verringerten Teils hinzufügen. Und dann wird die Subtraktion wie im vorherigen Beispiel durchgeführt:
§ 89. Multiplikation von Brüchen.
Beim Studium der Multiplikation von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:
1. Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl.
2. Den Bruch einer gegebenen Zahl ermitteln.
3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.
4. Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch.
5. Multiplikation gemischter Zahlen.
6. Das Konzept des Interesses.
7. Ermitteln des Prozentsatzes einer bestimmten Zahl. Betrachten wir sie der Reihe nach.
1. Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl.
Das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl hat die gleiche Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einer ganzen Zahl. Einen Bruch (Multiplikator) mit einer ganzen Zahl (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, die Summe der gleichen Terme zu bilden, wobei jeder Term gleich dem Multiplikator ist und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.
Wenn Sie also 1/9 mit 7 multiplizieren müssen, können Sie dies wie folgt tun:
Wir haben das Ergebnis leicht erhalten, da die Aktion darauf reduziert wurde, Brüche mit demselben Nenner zu addieren. Somit,
Die Betrachtung dieser Aktion zeigt, dass das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl äquivalent dazu ist, diesen Bruch so oft zu erhöhen, wie die ganze Zahl Einheiten enthält. Und da eine Erhöhung des Bruches entweder durch Erhöhen seines Zählers
oder durch Verringern des Nenners 
, dann können wir entweder den Zähler mit einer ganzen Zahl multiplizieren oder den Nenner dadurch dividieren, wenn eine solche Division möglich ist.
Von hier erhalten wir die Regel:
Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, multiplizieren Sie den Zähler mit dieser ganzen Zahl und lassen Sie den Nenner gleich, oder teilen Sie, wenn möglich, den Nenner durch diese Zahl und lassen Sie den Zähler unverändert.
Bei der Multiplikation sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:
2. Den Bruch einer gegebenen Zahl ermitteln. Es gibt viele Probleme, bei deren Lösung Sie einen Teil einer bestimmten Zahl finden oder berechnen müssen. Der Unterschied zwischen diesen Aufgaben besteht darin, dass sie die Nummer einiger Objekte oder Maßeinheiten angeben und es ist erforderlich, einen Teil dieser Nummer zu finden, der hier auch durch einen bestimmten Bruch angegeben wird. Zur besseren Verständlichkeit geben wir zunächst Beispiele für solche Probleme und stellen Ihnen dann die Lösungswege vor.
Ziel 1. Ich hatte 60 Rubel; 1/3 dieses Geldes habe ich für den Kauf von Büchern ausgegeben. Wie viel haben die Bücher gekostet?
Ziel 2. Der Zug muss die Entfernung zwischen den Städten A und B zurücklegen, die 300 km entspricht. 2/3 dieser Strecke hat er bereits zurückgelegt. Wie viele Kilometer sind es?
Ziel 3. Im Dorf gibt es 400 Häuser, davon sind 3/4 gemauert, der Rest ist aus Holz. Wie viele Backsteinhäuser gibt es?
Hier sind einige der vielen Probleme, mit denen wir uns beim Auffinden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl auseinandersetzen müssen. Sie werden normalerweise als Probleme des Findens des Bruchs einer gegebenen Zahl bezeichnet.
Lösung für Problem 1. Ab 60 Rubel. Ich habe 1/3 für Bücher ausgegeben; Um die Kosten für Bücher zu ermitteln, müssen Sie die Zahl 60 durch 3 teilen:
Lösung für Problem 2. Die Bedeutung des Problems ist, dass Sie 2/3 von 300 km finden müssen. Lassen Sie uns das erste 1/3 von 300 berechnen; Dies wird erreicht, indem 300 km durch 3 geteilt werden:
300: 3 = 100 (das ist 1/3 von 300).
Um zwei Drittel von 300 zu finden, müssen Sie den resultierenden Quotienten verdoppeln, dh mit 2 multiplizieren:
100 x 2 = 200 (das sind 2/3 von 300).
Lösung für Problem 3. Hier müssen Sie die Anzahl der Backsteinhäuser bestimmen, die 3/4 von 400 sind. Finden wir das erste 1/4 von 400,
400: 4 = 100 (das ist 1/4 von 400).
Um drei Viertel von 400 zu berechnen, muss der resultierende Quotient verdreifacht, also mit 3 multipliziert werden:
100 x 3 = 300 (das ist 3/4 von 400).
Aus der Lösung dieser Probleme können wir folgende Regel ableiten:
Um den Wert eines Bruchs einer gegebenen Zahl zu ermitteln, müssen Sie diese Zahl durch den Nenner des Bruchs teilen und den resultierenden Quotienten mit seinem Zähler multiplizieren.
3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.
Früher (§ 26) wurde festgestellt, dass die Multiplikation ganzer Zahlen als Addition derselben Terme (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20) zu verstehen ist. In diesem Absatz (Punkt 1) wurde festgestellt, dass das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl bedeutet, dass die Summe der gleichen Terme gleich diesem Bruch ist.
In beiden Fällen bestand die Multiplikation darin, die Summe der gleichen Terme zu finden.
Wir wenden uns nun der ganzzahligen Multiplikation mit einem Bruch zu. Hier treffen wir zum Beispiel auf eine Multiplikation: 9 2/3. Es ist ganz offensichtlich, dass die bisherige Definition der Multiplikation nicht auf diesen Fall passt. Dies ist daran zu erkennen, dass wir eine solche Multiplikation nicht durch Addieren gleicher Zahlen ersetzen können.
Aus diesem Grund müssen wir die Multiplikation neu definieren, dh die Frage beantworten, was unter Multiplikation mit einem Bruch zu verstehen ist, wie diese Aktion zu verstehen ist.
Die Bedeutung der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch wird durch die folgende Definition verdeutlicht: eine ganze Zahl (Multiplikator) mit einem Bruch (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikators zu finden.
Das Multiplizieren von 9 mit 2/3 bedeutet nämlich, 2/3 von neun Einheiten zu finden. Im vorherigen Absatz wurden solche Aufgaben gelöst; Es ist also leicht herauszufinden, dass wir bei 6 enden werden.
Aber jetzt gibt es ein interessantes und wichtige Frage: Warum werden solche scheinbar unterschiedlichen Aktionen, wie das Finden der Summe gleicher Zahlen und das Finden des Bruchs einer Zahl, in der Arithmetik mit dem gleichen Wort "Multiplikation" bezeichnet?
Dies geschieht, weil die vorherige Aktion (mehrmaliges Wiederholen der Zahl durch die Summanden) und die neue Aktion (das Finden des Bruchteils einer Zahl) eine Antwort auf homogene Fragen geben. Das heißt, wir gehen hier von der Überlegung aus, dass homogene Fragestellungen oder Probleme durch dieselbe Aktion gelöst werden.
Um dies zu verstehen, stellen Sie sich das folgende Problem vor: „1 Meter Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel werden 4 m eines solchen Stoffes kosten?"
Dieses Problem wird gelöst, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (4) multipliziert wird, d. h. 50 x 4 = 200 (Rubel).
Nehmen wir das gleiche Problem, aber darin wird die Stoffmenge als Bruchzahl ausgedrückt: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel werden 3/4 m eines solchen Stoffes kosten?
Dieses Problem muss ebenfalls gelöst werden, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (3/4) multipliziert wird.
Es ist möglich und mehrmals, ohne die Bedeutung des Problems zu ändern, die darin enthaltenen Zahlen zu ändern, z. B. 9/10 m oder 2 3/10 m usw.
Da diese Aufgaben den gleichen Inhalt haben und sich nur in Zahlen unterscheiden, nennen wir die zu ihrer Lösung verwendeten Aktionen mit dem gleichen Wort - Multiplikation.
Wie wird eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert?
Nehmen wir die Zahlen des letzten Problems:
Laut Definition müssen wir 3/4 von 50 finden. Zuerst finden wir 1/4 von 50 und dann 3/4.
1/4 der Zahl 50 ist 50/4;
3/4 der Zahl 50 ist.
Somit.
Betrachten Sie ein anderes Beispiel: 12 5/8 =?
1/8 von 12 ist 12/8,
5/8 der Zahl 12 sind.
Somit,
Von hier erhalten wir die Regel:
Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner dieses Bruchs als Nenner signieren.
Schreiben wir diese Regel mit Buchstaben:
Um diese Regel ganz klar zu machen, sei daran erinnert, dass ein Bruch als Quotient angesehen werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 vorgestellten Regel zur Multiplikation einer Zahl mit einem Quotienten zu vergleichen
Denken Sie daran, dass Sie vor der Durchführung der Multiplikation (wenn möglich) Ermäßigungen, Beispielsweise:
4. Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch. Das Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch hat die gleiche Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch, dh wenn Sie einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, müssen Sie den Bruch im Faktor aus dem ersten Bruch ermitteln (Multiplikation).
Das Multiplizieren von 3/4 mit 1/2 (halb) bedeutet nämlich, die Hälfte von 3/4 zu finden.
Wie wird ein Bruch mit einem Bruch multipliziert?
Nehmen wir ein Beispiel: 3/4 mal 5/7. Dies bedeutet, dass Sie 5/7 von 3/4 finden müssen. Finden Sie zuerst 1/7 von 3/4 und dann 5/7
1/7 von 3/4 wird wie folgt ausgedrückt:
5/7 von 3/4 werden wie folgt ausgedrückt:
Auf diese Weise,
Ein weiteres Beispiel: 5/8 mal 4/9.
1/9 von 5/8 ist,
4/9 der Zahl 5/8 ist.
Auf diese Weise, 
Aus diesen Beispielen lässt sich folgende Regel ableiten:
Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite zum Nenner des Produkts machen.
Diese Regel in Gesamtansicht kann so geschrieben werden:
Bei der Multiplikation müssen (wenn möglich) Reduktionen vorgenommen werden. Betrachten wir einige Beispiele:
5. Multiplikation gemischter Zahlen. Da gemischte Zahlen leicht durch unechte Brüche ersetzt werden können, wird dieser Umstand normalerweise bei der Multiplikation gemischter Zahlen verwendet. Dies bedeutet, dass in Fällen, in denen der Multiplikator oder der Faktor oder beide Faktoren durch gemischte Zahlen ausgedrückt werden, diese durch falsche Brüche ersetzt werden. Lassen Sie uns zum Beispiel die gemischten Zahlen multiplizieren: 2 1/2 und 3 1/5. Lassen Sie uns jeden von ihnen in einen unregelmäßigen Bruch umwandeln und dann werden wir die resultierenden Brüche nach der Regel der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch multiplizieren:
Regel. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie zuerst in unechte Brüche umwandeln und dann nach der Regel der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch multiplizieren.
Notiz. Wenn einer der Faktoren eine ganze Zahl ist, kann die Multiplikation basierend auf dem Verteilungsgesetz wie folgt durchgeführt werden:
6. Das Konzept des Interesses. Bei der Lösung von Problemen und der Durchführung verschiedener praktischer Berechnungen verwenden wir alle Arten von Brüchen. Dabei ist jedoch zu bedenken, dass viele Größen keine, sondern natürliche Unterteilungen für sie zulassen. Zum Beispiel können Sie ein Hundertstel (1/100) eines Rubels nehmen, es wird eine Kopeke sein, zwei Hundertstel sind 2 Kopeken, drei Hundertstel - 3 Kopeken. Sie können 1/10 Rubel nehmen, es sind "10 Kopeken oder ein Cent. Sie können ein Viertel Rubel nehmen, dh 25 Kopeken, einen halben Rubel, dh 50 Kopeken (fünfzig Kopeken). Aber sie nehmen zum Beispiel praktisch keine 2/7 Rubel, weil der Rubel nicht in Siebtel unterteilt ist.
Die Maßeinheit des Gewichts, also das Kilogramm, erlaubt vor allem Dezimalteilungen, zum Beispiel 1/10 kg oder 100 g und Bruchteile eines Kilogramms wie 1/6, 1/11, 1/13 sind ungewöhnlich.
Im Allgemeinen sind unsere (metrischen) Maße dezimal und erlauben Dezimalteilungen.
Es sollte jedoch beachtet werden, dass es in einer Vielzahl von Fällen äußerst nützlich und praktisch ist, dieselbe (einheitliche) Methode zur Unterteilung von Mengen zu verwenden. Die langjährige Erfahrung hat gezeigt, dass eine so bewährte Einteilung die „hundertste“ Einteilung ist. Betrachten Sie einige Beispiele aus den unterschiedlichsten Bereichen der menschlichen Praxis.
1. Der Preis von Büchern ist um 12/100 des vorherigen Preises gesunken.
Beispiel. Der bisherige Preis des Buches beträgt 10 Rubel. Es sank um 1 Rubel. 20 Kopeken
2. Sparkassen zahlen an die Einleger 2/100 des im Laufe des Jahres für Spareinlagen vorgesehenen Betrags aus.
Beispiel. Der Kassierer hat 500 Rubel, das Einkommen aus diesem Betrag für das Jahr beträgt 10 Rubel.
3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5/100 der Gesamtzahl der Schüler.
BEISPIEL Nur 1.200 Schüler haben an der Schule studiert, 60 von ihnen haben die Schule abgeschlossen.
Ein Hundertstel einer Zahl wird als Prozentsatz bezeichnet..
Das Wort "Prozentsatz" ist entlehnt von Latein und seine Wurzel "Cent" bedeutet hundert. Zusammen mit der Präposition (pro centum) bedeutet dieses Wort "über hundert". Die Bedeutung dieses Ausdrucks ergibt sich daraus, dass zunächst in antikes Rom Zinsen waren das Geld, das der Schuldner "für jeden Hundert" an den Kreditgeber zahlte. Das Wort "Cent" ist in so vertrauten Worten zu hören: Zentner (einhundert Kilogramm), Zentimeter (besagter Zentimeter).
Anstatt beispielsweise zu sagen, dass das Werk des letzten Monats 1/100 aller seiner Produkte Schrott abgegeben hat, sagen wir Folgendes: Das Werk des letzten Monats hat ein Prozent des Schrotts abgegeben. Statt zu sagen: Das Werk produzierte 4/100 mehr als den festgelegten Plan, sagen wir: Das Werk übertraf den Plan um 4 Prozent.
Die obigen Beispiele können unterschiedlich formuliert werden:
1. Der Preis von Büchern ist gegenüber dem vorherigen Preis um 12 Prozent gesunken.
2. Sparkassen zahlen jährlich 2 Prozent des Sparbetrags an die Einleger aus.
3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5 Prozent aller Schüler der Schule.
Um den Buchstaben zu kürzen, ist es üblich, anstelle des Wortes „Prozentsatz“ das Symbol % zu schreiben.
Es ist jedoch zu beachten, dass bei Berechnungen das %-Zeichen normalerweise nicht geschrieben wird, sondern in der Aufgabenstellung und im Endergebnis stehen kann. Bei Berechnungen müssen Sie statt einer ganzen Zahl mit diesem Vorzeichen einen Bruch mit einem Nenner von 100 schreiben.
Sie müssen in der Lage sein, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol durch einen Bruch mit einem Nenner von 100 zu ersetzen:
Umgekehrt müssen Sie sich daran gewöhnen, statt eines Bruchs mit Nenner 100 eine ganze Zahl mit dem angegebenen Vorzeichen zu schreiben:
7. Ermitteln des Prozentsatzes einer bestimmten Zahl.
Ziel 1. Die Schule erhielt 200 Kubikmeter. m Brennholz, davon 30% Birkenbrennholz. Wie viel Birkenholz gab es?
Die Bedeutung dieses Problems ist, dass Birkenbrennholz nur ein Teil des an die Schule gelieferten Brennholzes war, und dieser Anteil wird als Bruchteil von 30/100 ausgedrückt. Das bedeutet, dass wir vor der Aufgabe stehen, den Bruch einer Zahl zu finden. Um es zu lösen, müssen wir 200 mit 30/100 multiplizieren (die Probleme, den Bruch einer Zahl zu finden, werden gelöst, indem die Zahl mit einem Bruch multipliziert wird).
Das bedeutet, dass 30% von 200 gleich 60 sind.
Der Bruch 30/100, der bei diesem Problem auftritt, kann um 10 reduziert werden. Diese Reduzierung hätte man von Anfang an durchführen können; die Lösung des Problems hätte sich nicht geändert.
Ziel 2. Im Lager waren 300 Kinder unterschiedlichen Alters. Kinder im Alter von 11 Jahren machten 21% aus, Kinder im Alter von 12 Jahren machten 61% aus und schließlich 13-jährige Kinder machten 18% aus. Wie viele Kinder jeden Alters waren im Lager?
Bei diesem Problem müssen Sie drei Berechnungen durchführen, d. h. nacheinander die Anzahl der Kinder im Alter von 11 Jahren, dann 12 Jahren und schließlich 13 Jahren ermitteln.
Das bedeutet, dass Sie hier den Bruch der Zahl dreimal finden müssen. Lass es uns tun:
1) Wie viele Kinder waren 11 Jahre alt?
2) Wie viele Kinder waren 12 Jahre alt?
3) Wie viele Kinder waren 13 Jahre alt?
Nach der Lösung des Problems ist es sinnvoll, die gefundenen Zahlen zu addieren; ihre Summe sollte 300 betragen:
63 + 183 + 54 = 300
Sie sollten auch darauf achten, dass die Summe der Zinsen, die in der Bedingung des Problems angegeben werden, 100 beträgt:
21% + 61% + 18% = 100%
Das deutet darauf hin Gesamtzahl Kinder im Lager wurden als 100% genommen.
3 Fall 3. Der Arbeiter erhielt 1.200 Rubel pro Monat. Davon gab er 65 % für Lebensmittel aus, 6 % - für Wohnung und Heizung, 4 % - für Gas, Strom und Radio, 10 % - für den kulturellen Bedarf und 15 % - gespart. Wie viel Geld wurde für die in der Aufgabe angegebenen Bedürfnisse ausgegeben?
Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie den Bruch der Zahl 1 200 5-mal finden.
1) Wie viel Geld wurde für Lebensmittel ausgegeben? Das Problem besagt, dass diese Ausgaben 65 % des Gesamteinkommens ausmachen, dh 65/100 der Zahl 1200. Machen wir die Berechnung:
2) Wie viel Geld wurde für eine Wohnung mit Heizung bezahlt? Wenn wir wie in der vorherigen Argumentation argumentieren, kommen wir zu folgender Berechnung:
3) Wie viel Geld hast du für Gas, Strom und Radio bezahlt?
4) Wie viel Geld wurde für kulturelle Bedürfnisse ausgegeben?
5) Wie viel Geld hat der Arbeiter gespart?
Es ist nützlich, die in diesen 5 Fragen gefundenen Zahlen zum Testen hinzuzufügen. Der Betrag sollte 1200 Rubel betragen. Alle Einnahmen werden als 100 % angenommen, was leicht zu überprüfen ist, indem Sie die Prozentsätze in der Problembeschreibung addieren.
Wir haben drei Probleme gelöst. Obwohl es sich bei diesen Problemen um verschiedene Dinge handelte (Lieferung von Brennholz für die Schule, Anzahl der Kinder unterschiedlichen Alters, Kosten der Arbeiter), wurden sie auf die gleiche Weise gelöst. Dies geschah, weil es bei allen Problemen notwendig war, einige Prozent der angegebenen Zahlen zu finden.
§ 90. Teilung von Bruchteilen.
Bei der Untersuchung der Teilung von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:
1. Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl.
2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl
3. Division einer ganzen Zahl in einen Bruch.
4. Division eines Bruches in einen Bruch.
5. Division gemischter Zahlen.
6. Finden einer Zahl für einen gegebenen Bruch.
7. Ermitteln der Zahl anhand ihres Prozentsatzes.
Betrachten wir sie der Reihe nach.
1. Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl.
Wie im Abschnitt über ganze Zahlen angedeutet, ist die Division eine Aktion, die darin besteht, dass für ein gegebenes Produkt aus zwei Faktoren (teilbar) und einem dieser Faktoren (Teiler) ein anderer Faktor gefunden wird.
Wir haben uns die Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl im Bereich der ganzen Zahlen angesehen. Wir sind dort auf zwei Divisionsfälle gestoßen: Division ohne Rest bzw. "ganz" (150: 10 = 15) und Division mit Rest (100: 9 = 11 und 1 im Rest). Wir können daher sagen, dass im Bereich der ganzen Zahlen eine exakte Division nicht immer möglich ist, da der Dividenden nicht immer das Produkt des Divisors durch eine ganze Zahl ist. Nach der Einführung der Multiplikation mit einem Bruch können wir jeden Fall der Division von ganzen Zahlen für möglich halten (nur Division durch Null ist ausgeschlossen).
Wenn Sie beispielsweise 7 durch 12 teilen, müssen Sie eine Zahl finden, deren Produkt durch 12 7 wäre. Diese Zahl ist 7/12, weil 7/12 12 = 7. Ein anderes Beispiel: 14:25 = 14/25, weil 14/25 25 = 14.
Um eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl zu dividieren, müssen Sie also einen Bruch bilden, dessen Zähler der Dividenden und der Nenner der Divisor ist.
2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl.
Dividiere den Bruch 6/7 durch 3. Nach der oben gegebenen Definition der Division haben wir hier das Produkt (6/7) und einen der Faktoren (3); es ist erforderlich, einen solchen zweiten Faktor zu finden, der durch Multiplikation mit 3 das gegebene Produkt 6/7 ergeben würde. Offensichtlich sollte es dreimal weniger sein als dieses Stück. Dies bedeutet, dass die vor uns gestellte Aufgabe darin bestand, den Bruch 6/7 um das Dreifache zu reduzieren.
Wir wissen bereits, dass das Verringern eines Bruchs entweder durch Verringern seines Zählers oder durch Erhöhen seines Nenners durchgeführt werden kann. Daher kann man schreiben:
V in diesem Fall der Zähler von 6 ist durch 3 teilbar, daher sollte der Zähler um das Dreifache reduziert werden.
Nehmen wir ein anderes Beispiel: dividiere 5/8 durch 2. Hier ist der Zähler von 5 nicht gerade durch 2 teilbar, also musst du den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren:
Darauf aufbauend können wir eine Regel formulieren: Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu teilen, musst du den Zähler des Bruchs durch diese ganze Zahl dividieren(wenn möglich), den gleichen Nenner belassen oder den Nenner des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren, so dass der gleiche Zähler bleibt.
3. Division einer ganzen Zahl in einen Bruch.
Angenommen, man muss 5 durch 1/2 teilen, dh eine Zahl finden, die nach der Multiplikation mit 1/2 das Produkt 5 ergibt. Offensichtlich muss diese Zahl größer als 5 sein, da 1/2 ein regulärer Bruch ist , und wenn die Zahl mit einem regulären Bruch multipliziert wird, muss das Produkt kleiner als das Multiplikierbare sein. Um es klarer zu machen, schreiben wir unsere Aktionen wie folgt: 5: 1/2 = x , also x 1/2 = 5.
Wir müssen eine solche Nummer finden x , was, wenn es mit 1/2 multipliziert wird, 5 ergeben würde. Da eine Zahl mit 1/2 multipliziert wird, bedeutet dies, 1/2 dieser Zahl zu finden, also 1/2 der unbekannten Zahl x ist gleich 5, und die ganze Zahl x doppelt so viel, d. h. 5 2 = 10.
Also 5: 1/2 = 5 2 = 10
Lass uns nachsehen: 
Nehmen wir ein anderes Beispiel. Angenommen, Sie möchten 6 durch 2/3 teilen. Versuchen wir zunächst, anhand der Zeichnung (Abb. 19) das gewünschte Ergebnis zu finden.
Abb. 19
Lassen Sie uns ein Segment AB zeichnen, das ungefähr 6 Einheiten entspricht, und jede Einheit in 3 gleiche Teile teilen. In jeder Einheit sind drei Drittel (3/3) im gesamten Segment AB 6 mal mehr, d.h. B. 18/3. Wir verbinden mit Hilfe kleiner Klammern 18 erhaltene Segmente von 2; Es wird nur 9 Segmente geben. Das bedeutet, dass die Fraktion 2/3 in 6 Einheiten 9 mal enthalten ist, oder anders ausgedrückt, die Fraktion 2/3 ist 9 mal weniger als 6 ganze Einheiten. Somit,
Wie können Sie dieses Ergebnis ohne Blaupause nur mit Berechnungen erhalten? Wir argumentieren wie folgt: Es ist erforderlich, 6 durch 2/3 zu dividieren, d. h. es ist erforderlich, die Frage zu beantworten, wie oft 2/3 in 6 enthalten sind. Finden wir zuerst heraus: Wie oft ist 1/3 in 6 enthalten? In einer ganzen Einheit - 3 Drittel und in 6 Einheiten - 6-mal mehr, dh 18 Drittel; um diese Zahl zu finden, müssen wir 6 mit 3 multiplizieren. Das bedeutet, dass 1/3 in 6 Einheiten 18 mal enthalten ist und 2/3 in 6 nicht 18 mal enthalten ist, sondern halb so oft, also 18: 2 = 9. Daher haben wir beim Dividieren von 6 durch 2/3 Folgendes getan:
Daraus erhalten wir die Regel zum Dividieren einer ganzen Zahl durch einen Bruch. Um eine ganze Zahl in einen Bruch zu teilen, müssen Sie diese ganze Zahl mit dem Nenner des gegebenen Bruchs multiplizieren und, nachdem Sie dieses Produkt zum Zähler gemacht haben, durch den Zähler des gegebenen Bruchs dividieren.
Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:
Um diese Regel ganz klar zu machen, sei daran erinnert, dass ein Bruch als Quotient angesehen werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 vorgestellten Regel zur Division einer Zahl durch einen Quotienten zu vergleichen. Beachten Sie, dass dort dieselbe Formel erhalten wurde.
Beim Teilen sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:
4. Division eines Bruches in einen Bruch.
Angenommen, Sie möchten 3/4 durch 3/8 teilen. Welche Zahl wird das Ergebnis der Division sein? Es beantwortet die Frage, wie oft der Bruch 3/8 im Bruch 3/4 enthalten ist. Um dieses Problem zu verstehen, machen wir eine Zeichnung (Abb. 20).
Nehmen Sie das Segment AB, nehmen Sie es als Einheit, teilen Sie es in 4 gleiche Teile und markieren Sie 3 solcher Teile. Das AC-Segment entspricht 3/4 des AB-Segments. Teilen wir nun jedes der vier Anfangssegmente in zwei Hälften, dann wird das AB-Segment in 8 gleiche Teile geteilt und jeder dieser Teile entspricht 1/8 des AB-Segments. Lassen Sie uns 3 solcher Segmente mit Bögen verbinden, dann entspricht jedes der Segmente AD und DC 3/8 des Segments AB. Die Zeichnung zeigt, dass das Segment gleich 3/8 in dem Segment gleich 3/4 genau 2 mal enthalten ist; Daher kann das Ergebnis der Division wie folgt geschrieben werden:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Nehmen wir ein anderes Beispiel. Teilen wir 15/16 durch 3/32:
Wir können so argumentieren: Sie müssen eine Zahl finden, die nach der Multiplikation mit 3/32 ein Produkt von 15/16 ergibt. Schreiben wir die Berechnungen wie folgt:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 unbekannte Nummer x sind 15/16
1/32 einer unbekannten Zahl x ist,
32/32 Zahlen x bilden.
Somit,
Um also einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler machen. und der zweite, der Nenner.
Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:
Beim Teilen sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:
5. Division gemischter Zahlen.
Beim Dividieren von gemischten Zahlen müssen diese zuerst in . umgewandelt werden unregelmäßige Brüche und dann dividiere die resultierenden Brüche nach den Regeln zum Teilen von Bruchzahlen. Betrachten wir ein Beispiel:
Lassen Sie uns die gemischten Zahlen in unechte Brüche umwandeln:
Jetzt teilen wir uns auf:
Um gemischte Zahlen zu teilen, müssen Sie sie also in unechte Brüche umwandeln und dann nach der Bruchteilungsregel dividieren.
6. Finden einer Zahl für einen gegebenen Bruch.
Unter den verschiedenen Problemen mit Brüchen gibt es manchmal solche, bei denen der Wert eines Bruchs einer unbekannten Zahl angegeben wird und es erforderlich ist, diese Zahl zu finden. Diese Art von Problem ist invers in Bezug auf das Problem, den Bruch einer gegebenen Zahl zu finden; dort wurde eine Zahl angegeben und es war erforderlich, einen bestimmten Bruchteil dieser Zahl zu finden, hier ist ein Bruchteil einer Zahl angegeben und es ist erforderlich, diese Zahl selbst zu finden. Diese Idee wird noch klarer, wenn wir uns der Lösung dieser Art von Problemen zuwenden.
Ziel 1. Am ersten Tag verglasten die Glaser 50 Fenster, das sind 1/3 aller Fenster im gebauten Haus. Wie viele Fenster hat dieses Haus?
Lösung. Das Problem besagt, dass 50 verglaste Fenster 1/3 aller Fenster im Haus ausmachen, also insgesamt 3x mehr Fenster vorhanden sind, d.h.
Das Haus hatte 150 Fenster.
Ziel 2. Das Geschäft verkaufte 1.500 kg Mehl, das sind 3/8 des gesamten Mehlangebots des Geschäfts. Was war der ursprüngliche Mehlvorrat des Ladens?
Lösung. Aus der Problemstellung geht hervor, dass die verkauften 1.500 kg Mehl 3/8 des Gesamtbestandes ausmachen; Dies bedeutet, dass 1/8 dieses Bestands dreimal geringer ist, dh, um ihn zu berechnen, müssen Sie 1500 um das Dreifache reduzieren:
1.500: 3 = 500 (das ist 1/8 des Bestands).
Offensichtlich wird der gesamte Bestand 8-mal größer sein. Somit,
500 8 = 4000 (kg).
Der ursprüngliche Mehlvorrat im Lager betrug 4.000 kg.
Aus der Betrachtung dieses Problems lässt sich die folgende Regel ableiten.
Um eine Zahl für einen gegebenen Wert ihres Bruches zu finden, genügt es, diesen Wert durch den Zähler des Bruches zu teilen und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruches zu multiplizieren.
Wir haben zwei Probleme gelöst, eine Zahl aus einem gegebenen Bruch zu finden. Solche Probleme werden, wie aus letzterem besonders deutlich hervorgeht, durch zwei Aktionen gelöst: Division (wenn ein Teil gefunden wird) und Multiplikation (wenn die ganze Zahl gefunden wird).
Nachdem wir jedoch die Division von Brüchen studiert haben, können die obigen Probleme in einer Aktion gelöst werden, nämlich: Division durch einen Bruch.
Die letzte Aufgabe kann beispielsweise in einem Schritt wie folgt gelöst werden:
In Zukunft werden wir das Problem lösen, eine Zahl durch ihren Bruch in einer Aktion zu finden - Division.
7. Ermitteln der Zahl anhand ihres Prozentsatzes.
Bei diesen Aufgaben müssen Sie eine Zahl finden, indem Sie einige Prozent dieser Zahl kennen.
Ziel 1. Anfang dieses Jahres habe ich 60 Rubel von einer Sparkasse bekommen. Einkommen aus dem Betrag, den ich vor einem Jahr angespart habe. Wie viel Geld habe ich bei einer Sparkasse angelegt? (Kassen geben den Beitragszahlern 2% Einkommen pro Jahr.)
Der Sinn des Problems ist, dass ein bestimmter Geldbetrag von mir bei einer Sparkasse hinterlegt wurde und dort ein Jahr verblieb. Nach einem Jahr erhielt ich 60 Rubel von ihr. Einkommen, das sind 2/100 des Geldes, das ich eingezahlt habe. Wie viel Geld habe ich investiert?
Wenn wir also einen Teil dieses Geldes kennen, das auf zwei Arten (in Rubel und in Bruchteilen) ausgedrückt wird, müssen wir den gesamten, bisher unbekannten Betrag finden. Dies ist eine gewöhnliche Aufgabe, eine Zahl aus einem gegebenen Bruch zu finden. Folgende Aufgaben werden durch Division gelöst:
Dies bedeutet, dass 3000 Rubel in die Sparkasse eingezahlt wurden.
Ziel 2. Die Fischer erfüllten den monatlichen Plan in zwei Wochen um 64 %, nachdem sie 512 Tonnen Fisch geerntet hatten. Was war ihr Plan?
Aus der Problemstellung ist bekannt, dass die Fischer einen Teil des Plans erfüllt haben. Dieser Teil entspricht 512 Tonnen, was 64 % des Plans entspricht. Wir wissen nicht, wie viele Tonnen Fisch nach Plan zubereitet werden müssen. Das Finden dieser Nummer wird die Lösung des Problems sein.
Solche Aufgaben werden gelöst, indem man teilt:
Das bedeutet, dass laut Plan 800 Tonnen Fisch zubereitet werden müssen.
Ziel 3. Der Zug fuhr von Riga nach Moskau. Als er den 276. Kilometer passierte, fragte einer der Fahrgäste den vorbeifahrenden Schaffner, welches Stück des Weges sie schon passiert hätten. Darauf antwortete der Schaffner: "Wir haben bereits 30 % der Gesamtstrecke zurückgelegt." Wie groß ist die Entfernung von Riga nach Moskau?
Aus der Problemstellung geht hervor, dass 30% der Strecke von Riga nach Moskau 276 km lang sind. Wir müssen die gesamte Entfernung zwischen diesen Städten finden, d. h. für einen bestimmten Teil das Ganze:
§ 91. Gegenseitige Nummern. Division durch Multiplikation ersetzen.
Nimm den Bruch 2/3 und bewege den Zähler auf den Nenner, sodass du 3/2 erhältst. Wir haben die Umkehrung dieses Bruchs.
Um den Kehrwert des gegebenen Bruchs zu erhalten, müssen Sie seinen Zähler an die Stelle des Nenners setzen und den Nenner an die Stelle des Zählers. Auf diese Weise können wir den Kehrwert jedes Bruchs erhalten. Zum Beispiel:
3/4, umgekehrt 4/3; 5/6, rückwärts 6/5
Zwei Brüche mit der Eigenschaft, dass der Zähler des ersten der Nenner des zweiten und der Nenner des ersten der Zähler des zweiten ist, heißen gegenseitig invers.
Überlegen wir uns nun, welcher Bruch der Kehrwert von 1/2 ist. Offensichtlich ist es 2/1 oder nur 2. Wenn wir nach der Umkehrung des gegebenen Bruchs suchen, erhalten wir eine ganze Zahl. Und dieser Fall ist kein Einzelfall; im Gegenteil, für alle Brüche mit Zähler 1 (eins) sind ganze Zahlen invers, zum Beispiel:
1/3, Rückseite 3; 1/5, rückwärts 5
Da wir bei der Suche nach Kehrwerten auch auf ganze Zahlen gestoßen sind, werden wir im Folgenden nicht von Kehrwerten, sondern von Kehrzahlen sprechen.
Lassen Sie uns herausfinden, wie man den Kehrwert einer ganzen Zahl schreibt. Bei Brüchen kann dies einfach gelöst werden: Sie müssen den Nenner an die Stelle des Zählers setzen. Auf die gleiche Weise erhalten Sie den Kehrwert für eine ganze Zahl, da jede ganze Zahl einen Nenner 1 haben kann. Daher ist der Kehrwert von 7 1/7, weil 7 = 7/1; für die Zahl 10 ist die Umkehrung 1/10, da 10 = 10/1
Dieser Gedanke lässt sich auch anders ausdrücken: die Umkehrung einer gegebenen Zahl erhält man, indem man eins durch eine gegebene Zahl dividiert... Diese Aussage gilt nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. Wenn wir den Kehrwert des Bruchs 5/9 schreiben wollen, können wir 1 nehmen und durch 5/9 dividieren, d.h.
Lassen Sie uns jetzt auf einen hinweisen Eigentum gegenseitig reziproke Zahlen, die uns nützlich sein werden: das Produkt gegenseitig reziproker Zahlen ist gleich eins. Tatsächlich:
Mit dieser Eigenschaft können wir Kehrwerte auf folgende Weise finden. Angenommen, Sie müssen die Umkehrung von 8 finden.
Nennen wir es mit dem Buchstaben x , dann 8 x = 1, daher x = 1/8. Suchen wir eine andere Zahl, die Umkehrung von 7/12, bezeichnen wir sie mit einem Buchstaben x , dann 7/12 x = 1, daher x = 1: 7/12 oder x = 12 / 7 .
Wir haben hier das Konzept der sich gegenseitig reziproken Zahlen eingeführt, um die Angaben zur Bruchteilung etwas zu ergänzen.
Wenn wir die Zahl 6 durch 3/5 teilen, dann machen wir Folgendes:
Achte genau auf den Ausdruck und vergleiche ihn mit dem gegebenen:.
Wenn wir den Ausdruck separat nehmen, ohne Verbindung mit dem vorherigen, dann ist es unmöglich, die Frage zu lösen, woher er kommt: aus der Division von 6 durch 3/5 oder der Multiplikation von 6 mit 5/3. In beiden Fällen ist das Ergebnis das gleiche. Also können wir sagen dass man eine Zahl durch eine andere dividieren kann, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert.
Die Beispiele, die wir unten anführen, unterstützen diese Schlussfolgerung voll und ganz.
Gewöhnliche Bruchzahlen begegnen Schülern der 5. Klasse erstmals und begleiten sie ein Leben lang, da es im Alltag oft erforderlich ist, einen Gegenstand nicht ganz, sondern in Einzelteilen zu betrachten oder zu verwenden. Der Beginn des Studiums dieses Themas ist Aktien. Aktien sind gleiche Teile, in die dieses oder jenes Thema unterteilt ist. Schließlich ist es nicht immer möglich, beispielsweise die Länge oder den Preis einer Ware ganzzahlig auszudrücken, man sollte Teile oder Bruchteile eines Maßes berücksichtigen. Gebildet aus dem Verb "split" - in Teile zu teilen und mit arabischen Wurzeln entstand im VIII. Jahrhundert das Wort "Bruch" selbst im Russischen.
Gebrochene Ausdrücke galten lange Zeit als das schwierigste Gebiet der Mathematik. Als im 17. Jahrhundert die ersten Lehrbücher zur Mathematik erschienen, wurden sie "gebrochene Zahlen" genannt, was für die Menschen nur sehr schwer verständlich war.
Moderne Optik einfache fraktionale Residuen, von denen Teile durch eine horizontale Linie getrennt sind, wurden zuerst von Fibonacci - Leonardo von Pisa gefördert. Seine Werke sind auf 1202 datiert. Der Zweck dieses Artikels besteht jedoch darin, dem Leser einfach und klar zu erklären, wie die Multiplikation gemischter Brüche mit verschiedenen Nennern stattfindet.
Multiplikation von Brüchen mit verschiedenen Nennern
Zunächst lohnt es sich zu bestimmen Sorten von Brüchen:
- Korrekt;
- falsch;
- gemischt.
Als nächstes müssen Sie sich daran erinnern, wie die Multiplikation von Bruchzahlen mit demselben Nenner abläuft. Die Regel dieses Prozesses ist leicht unabhängig zu formulieren: Das Ergebnis der Multiplikation einfacher Brüche mit gleichen Nennern ist ein Bruchausdruck, dessen Zähler das Produkt der Zähler ist und der Nenner das Produkt der Nenner dieser Brüche ist . Das heißt, der neue Nenner ist das Quadrat eines der vorhandenen.
Beim Multiplizieren einfache Brüche mit verschiedenen Nennern für zwei oder mehr Faktoren ändert sich die Regel nicht:
ein /B * C /D = a * c / b*d.
Der einzige Unterschied besteht darin, dass die gebildete Zahl unter der Bruchlinie das Produkt verschiedener Zahlen ist und es natürlich unmöglich ist, sie als Quadrat eines numerischen Ausdrucks zu bezeichnen.
Es lohnt sich, die Multiplikation von Brüchen mit verschiedenen Nennern mit Beispielen zu betrachten:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
In den Beispielen werden Möglichkeiten zum Reduzieren von Bruchausdrücken verwendet. Es können nur die Zahlen des Zählers mit den Zahlen des Nenners gestrichen werden, benachbarte Faktoren oberhalb oder unterhalb der Nachkommalinie können nicht gestrichen werden.
Neben einfachen Bruchzahlen gibt es das Konzept der gemischten Brüche. Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil, d. h. sie ist die Summe dieser Zahlen:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Wie funktioniert die Multiplikation?
Es werden mehrere Beispiele zur Betrachtung vorgeschlagen.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Das Beispiel verwendet die Multiplikation einer Zahl mit gewöhnlicher Bruchteil, können Sie die Regel für diese Aktion mit der Formel aufschreiben:
ein * B /C = a * b /C.
Tatsächlich ist ein solches Produkt die Summe derselben gebrochenen Reste, und die Anzahl der Terme gibt diese natürliche Zahl an. Ein Sonderfall:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Es gibt eine andere Möglichkeit, die Multiplikation einer Zahl mit einem gebrochenen Rest zu lösen. Du musst nur den Nenner durch diese Zahl teilen:
D * e /F = e /f: d.
Es ist sinnvoll, diese Technik anzuwenden, wenn der Nenner ohne Rest oder, wie man sagt, vollständig durch eine natürliche Zahl dividiert wird.
Wandeln Sie gemischte Zahlen in unechte Brüche um und erhalten Sie das Produkt auf die zuvor beschriebene Weise:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Dieses Beispiel beinhaltet eine Möglichkeit, einen gemischten Bruch in einem unechten darzustellen, er kann auch dargestellt werden als allgemeine Formel:
ein BC = a * b + c / c, wobei der Nenner des neuen Bruchs gebildet wird, indem der ganzzahlige Teil mit dem Nenner multipliziert und zum Zähler des ursprünglichen Bruchteils addiert wird, und der Nenner bleibt gleich.
Dieser Vorgang funktioniert auch in die andere Richtung. Um den ganzen Teil und den gebrochenen Rest auszuwählen, müssen Sie den Zähler des unechten Bruchs durch seinen Nenner "Ecke" dividieren.
Multiplikation unechter Brüche konventionell hergestellt. Wenn der Datensatz bei Bedarf unter eine einzelne Nachkommalinie geht, ist es notwendig, Brüche zu reduzieren, um die Zahlen mit dieser Methode zu reduzieren, und es ist einfacher, das Ergebnis zu berechnen.
Im Internet gibt es viele Helfer, um auch komplexe mathematische Probleme in verschiedenen Programmvarianten zu lösen. Beim Zählen der Multiplikation von Brüchen mit unterschiedlichen Zahlen in den Nennern bieten eine ausreichende Anzahl solcher Dienste ihre Hilfe an – die sogenannten Online-Rechner zur Berechnung von Brüchen. Sie können nicht nur multiplizieren, sondern auch alle anderen einfachen arithmetischen Operationen mit gewöhnlichen Brüchen und gemischten Zahlen ausführen. Es ist nicht schwer, damit zu arbeiten, die entsprechenden Felder werden auf der Site-Seite ausgefüllt, das Vorzeichen der mathematischen Aktion wird ausgewählt und "Berechnen" gedrückt. Das Programm rechnet automatisch.
Das Thema arithmetische Operationen mit gebrochenen Zahlen ist im gesamten Bildungsbereich der Mittel- und Oberstufe relevant. In der High School gelten sie nicht mehr als die einfachsten Typen, aber ganzzahlige Bruchausdrücke, aber die früher gewonnene Kenntnis der Umformungs- und Berechnungsregeln wird in ihrer ursprünglichen Form angewendet. Fundiertes Grundwissen gibt volles Vertrauen in die erfolgreiche Lösung schwierigster Probleme.
Abschließend ist es sinnvoll, die Worte von Lev Nikolaevich Tolstoi zu zitieren, der schrieb: „Der Mensch ist ein Bruchteil. Es liegt nicht in der Macht des Menschen, seinen Zähler – seine Würde – zu vergrößern, aber jeder kann seinen Nenner – seine Meinung über sich selbst – verkleinern, und durch diese Verringerung kann er sich seiner Vollkommenheit nähern.“
) und den Nenner durch den Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts).
Die Formel zum Multiplizieren von Brüchen:
Zum Beispiel:
Bevor Sie mit der Multiplikation der Zähler und Nenner beginnen, müssen Sie prüfen, ob der Bruch gekürzt werden kann. Wenn Sie den Bruch reduzieren können, ist es für Sie einfacher, weitere Berechnungen anzustellen.
Division eines gewöhnlichen Bruches in einen Bruch.
Division von Brüchen unter Beteiligung einer natürlichen Zahl.
Es ist nicht so beängstigend, wie es klingt. Wandeln Sie wie bei der Addition eine ganze Zahl in einen Bruch mit Eins im Nenner um. Zum Beispiel:
Multiplikation gemischter Brüche.
Die Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):
- Umwandeln gemischter Brüche in unregelmäßige;
- die Zähler und Nenner von Brüchen multiplizieren;
- wir reduzieren den Bruchteil;
- Wenn Sie einen falschen Bruch erhalten haben, wandeln Sie den falschen Bruch in einen gemischten um.
Beachten Sie! Um einen gemischten Bruch mit einem anderen gemischten Bruch zu multiplizieren, müssen Sie sie zuerst in die Form unechter Brüche bringen und dann nach der Multiplikationsregel für gewöhnliche Brüche multiplizieren.
Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.
Es kann bequemer sein, die zweite Methode zu verwenden, um einen gewöhnlichen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren.
Beachten Sie! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Nenner des Bruchs durch diese Zahl teilen und den Zähler unverändert lassen.
Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner des Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl geteilt wird.
Mehrstöckige Fraktionen.
In der High School werden häufig dreistöckige (oder mehr) Brüche gefunden. Beispiel:
Um einen solchen Bruch in seine übliche Form zu bringen, wird durch 2 Punkte geteilt:
Beachten Sie! Bei der Teilung von Brüchen ist die Teilungsreihenfolge sehr wichtig. Seien Sie vorsichtig, hier kann man leicht verwirrt werden.
Beachten Sie, Beispielsweise:
Wenn man eins durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur invertiert:
Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:
1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Sorgfalt. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, mit Konzentration und Klarheit durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als in den Berechnungen im Kopf durcheinander zu geraten.
2. In Aufgaben mit verschiedenen Arten von Brüchen - gehen Sie zur Form der gewöhnlichen Brüche.
3. Reduzieren Sie alle Brüche, bis eine Reduzierung unmöglich wird.
4. Mehrstöckige Bruchausdrücke werden durch Division durch 2 Punkte in gewöhnliche umgewandelt.
5. Teilen Sie die Einheit gedanklich in einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.
