Wie man mit gewöhnlichen Brüchen arbeitet. Mathematik: Operationen mit Brüchen

1. Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Wenn du Brüche mit gleichem Nenner addierst, addiere die Zähler, und

Bei der Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner wird der Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahiert, und der Nenner bleibt gleich.

Beispiele: aber) ; B)

2.Addition und Subtraktion von Brüchen mit verschiedene Nenner

So addieren (subtrahieren) Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern:

Bringe diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner

addiere (subtrahiere) die resultierenden Brüche (wie in Absatz 1)

Beispiele: aber)
; B)

3.Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen

So addieren Sie gemischte Zahlen:

die Bruchteile dieser Zahlen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen;

Führen Sie die Addition von ganzzahligen Teilen und getrennten Bruchteilen getrennt durch. Wenn beim Addieren der Bruchteile ein unechten Bruch erhalten wird, wählen Sie den ganzzahligen Teil aus diesem Bruch aus und addieren Sie ihn zum resultierenden ganzzahligen Teil.

Beispiele: aber)
; B)

Um gemischte Zahlen zu subtrahieren, müssen Sie:

die Bruchteile dieser Zahlen auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen; wenn der Bruchteil des Minuends kleiner als der Bruchteil des Subtrahends ist, verwandle ihn in einen unechten Bruch, indem du den ganzzahligen Teil um eins erniedrigst;

Führen Sie die Subtraktion von ganzzahligen Teilen und getrennten Bruchteilen separat durch.

Beispiele: aber)
; B)

4. Multiplikation von Brüchen

aber) Einen Bruch multiplizieren mit natürliche Zahl , ist es notwendig, seinen Zähler mit dieser Zahl zu multiplizieren und den Nenner unverändert zu lassen

Beispiele:

B) Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, notwendig:

1) Schreiben Sie in den Zähler das Produkt der Zähler, in den Nenner - das Produkt der Nenner;

2) eine Reduzierung durchführen (wenn möglich);

3) Multiplikation durchführen

Beispiele: aber)
; B)

c) Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, musst du sie als unechte Brüche schreiben und dann die Regel zum Multiplizieren von Brüchen anwenden.

Beispiele:

5. Division von Brüchen

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, musst du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren

Aktionen mit Brüchen. In diesem Artikel werden wir Beispiele analysieren, alles ist mit Erklärungen detailliert. Wir betrachten gewöhnliche Brüche. In Zukunft werden wir Dezimalzahlen analysieren. Ich empfehle, das Ganze anzuschauen und der Reihe nach zu studieren.

1. Summe von Brüchen, Differenz von Brüchen.

Regel: Beim Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner ist das Ergebnis ein Bruch, dessen Nenner gleich bleibt und dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der Brüche ist.

Regel: Wenn wir die Differenz von Brüchen mit demselben Nenner berechnen, erhalten wir einen Bruch - der Nenner bleibt gleich und der Zähler des zweiten wird vom Zähler des ersten Bruchs subtrahiert.

Formale Schreibweise der Summe und Differenz von Brüchen mit gleichem Nenner:

Beispiele (1):

Es ist klar, dass, wenn gewöhnliche Brüche gegeben sind, alles einfach ist, aber wenn sie gemischt sind? Nichts kompliziertes...

Variante 1- Sie können sie in gewöhnliche umwandeln und dann berechnen.

Option 2- Sie können separat mit den ganzzahligen und gebrochenen Teilen "arbeiten".

Beispiele (2):

Noch:

Und wenn die Differenz zweier gemischter Brüche gegeben ist und der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der Zähler des zweiten? Es kann auch auf zwei Arten erfolgen.

Beispiele (3):

* Umgerechnet in gewöhnliche Brüche, berechnete die Differenz, wandelte den resultierenden unechten Bruch in einen gemischten um.

* In ganze und gebrochene Teile geteilt, drei bekommen, dann 3 als Summe von 2 und 1 dargestellt, mit der Einheit als 11/11 dargestellt, dann die Differenz zwischen 11/11 und 7/11 gefunden und das Ergebnis berechnet. Die Bedeutung der obigen Transformationen besteht darin, eine Einheit zu nehmen (auszuwählen) und sie als Bruch mit dem benötigten Nenner darzustellen, dann können wir von diesem Bruch bereits einen anderen subtrahieren.

Ein anderes Beispiel:

Fazit: Es gibt einen universellen Ansatz - um die Summe (Differenz) gemischter Brüche mit gleichen Nennern zu berechnen, können sie immer in unechte Brüche umgewandelt und dann die erforderliche Aktion ausgeführt werden. Wenn wir danach einen unechten Bruch erhalten, übersetzen wir ihn in einen gemischten.

Oben haben wir uns Beispiele mit Brüchen angesehen, die denselben Nenner haben. Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? In diesem Fall werden die Brüche auf denselben Nenner gekürzt und die angegebene Aktion ausgeführt. Um einen Bruch zu ändern (zu transformieren), wird die Haupteigenschaft des Bruchs verwendet.

Betrachten Sie einfache Beispiele:

In diesen Beispielen sehen wir sofort, wie einer der Brüche umgewandelt werden kann, um gleiche Nenner zu erhalten.

Wenn wir Wege angeben, um Brüche auf einen Nenner zu bringen, wird dieser aufgerufen METHODE EINS.

Das heißt, Sie müssen sofort beim „Auswerten“ des Bruchs herausfinden, ob ein solcher Ansatz funktioniert - wir prüfen, ob der größere Nenner durch den kleineren teilbar ist. Und wenn es geteilt wird, führen wir die Transformation durch - wir multiplizieren Zähler und Nenner, sodass die Nenner beider Brüche gleich werden.

Sehen Sie sich nun diese Beispiele an:

Für sie gilt dieser Ansatz nicht. Es gibt andere Möglichkeiten, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, ziehen Sie sie in Betracht.

Methode ZWEITE.

Multipliziere Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten:

*Tatsächlich bringen wir Brüche in die Form, wenn die Nenner gleich werden. Als nächstes wenden wir die Regel an, ängstlich mit gleichen Nennern zu addieren.

Beispiel:

*Diese Methode kann als universell bezeichnet werden und funktioniert immer. Das einzig Negative ist, dass sich nach den Berechnungen möglicherweise ein Bruchteil herausstellt, der weiter reduziert werden muss.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Es ist ersichtlich, dass Zähler und Nenner durch 5 teilbar sind:

Methode DRITT.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner. Das wird sein gemeinsamer Nenner. Was ist das für eine Nummer? Dies ist die kleinste natürliche Zahl, die durch jede der Zahlen teilbar ist.

Schauen Sie, hier sind zwei Zahlen: 3 und 4, es gibt viele Zahlen, die durch sie teilbar sind - das sind 12, 24, 36, ... Die kleinste von ihnen ist 12. Oder 6 und 15, 30, 60, 90 sind durch sie teilbar .... Mindestens 30. Frage - wie bestimmt man dieses kleinste gemeinsame Vielfache?

Es gibt einen klaren Algorithmus, aber oft kann dies sofort ohne Berechnungen durchgeführt werden. Zum Beispiel wird nach den obigen Beispielen (3 und 4, 6 und 15) kein Algorithmus benötigt, wir haben große Zahlen (4 und 15) genommen, verdoppelt und gesehen, dass sie durch die zweite Zahl teilbar sind, aber Zahlenpaare können andere sein, wie 51 und 119.

Algorithmus. Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu bestimmen, müssen Sie:

- jede der Zahlen in EINFACHE Faktoren zerlegen

- Schreiben Sie die Zerlegung des GRÖSSEREN von ihnen auf

- multipliziere es mit den FEHLENDEN Faktoren anderer Zahlen

Betrachten Sie Beispiele:

50 und 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt eine Fünf

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 und 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlen zwei und drei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Primzahlen ist gleich ihrem Produkt

Frage! Und warum ist es sinnvoll, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, weil man die zweite Methode verwenden und den resultierenden Bruch einfach kürzen kann? Ja, das können Sie, aber es ist nicht immer bequem. Schauen Sie sich den Nenner für die Zahlen 48 und 72 an, wenn Sie sie einfach multiplizieren 48∙72 = 3456. Stimmen Sie zu, dass es angenehmer ist, mit kleineren Zahlen zu arbeiten.

Betrachten Sie Beispiele:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt ein Tripel

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

Und jetzt wenden wir die erste Methode an:

* Sehen Sie sich den Unterschied in den Berechnungen an, im ersten Fall gibt es ein Minimum davon, und im zweiten Fall müssen Sie separat auf einem Blatt Papier arbeiten, und sogar der Bruchteil, den Sie erhalten haben, muss reduziert werden. Das Auffinden des LCM vereinfacht die Arbeit erheblich.

Mehr Beispiele:

* Im zweiten Beispiel ist das klar kleinste Zahl, das durch 40 und 60 geteilt wird, ist gleich 120.

GESAMT! ALLGEMEINER BERECHNUNGSALGORITHMUS!

- Wir bringen Brüche zu gewöhnlichen, wenn es einen ganzzahligen Teil gibt.

- Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (zuerst schauen wir, ob ein Nenner durch einen anderen teilbar ist, wenn er teilbar ist, dann multiplizieren wir Zähler und Nenner dieses anderen Bruchs; wenn er nicht teilbar ist, handeln wir mit dem andere oben angegebene Methoden).

- Nachdem wir Brüche mit gleichem Nenner erhalten haben, führen wir Aktionen durch (Addition, Subtraktion).

- gegebenenfalls kürzen wir das Ergebnis.

- Wählen Sie ggf. den gesamten Teil aus.

2. Produkt von Brüchen.

Die Regel ist einfach. Beim Multiplizieren von Brüchen werden deren Zähler und Nenner multipliziert:

Beispiele:

Dieser Artikel ist ein allgemeiner Blick auf Operationen mit Brüchen. Hier formulieren und begründen wir die Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren von Brüchen der allgemeinen Form A/B, wobei A und B Zahlen, numerische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sind. Wie gewohnt liefern wir das Material mit anschaulichen Beispielen mit ausführlichen Lösungsbeschreibungen.

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Regeln zum Ausführen von Operationen mit numerischen Brüchen allgemeiner Form

Vereinbaren wir, dass allgemeine Zahlenbrüche Brüche sind, bei denen Zähler und/oder Nenner nicht nur durch natürliche Zahlen, sondern auch durch andere Zahlen oder Zahlenausdrücke dargestellt werden können. Zur Verdeutlichung hier ein paar Beispiele für solche Brüche: .

Wir kennen die Regeln, nach denen . Nach den gleichen Regeln können Sie Operationen mit Brüchen einer allgemeinen Form durchführen:

Begründung für die Regeln

Um die Gültigkeit der Regeln für die Durchführung von Aktionen mit allgemeinen Zahlenbrüchen zu begründen, kann man von folgenden Punkten ausgehen:

• ein Bruchstrich ist im Wesentlichen ein Divisionszeichen,
• Division durch eine Zahl ungleich Null kann als Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors betrachtet werden (dies erklärt sofort die Regel Division von Brüchen),
• Eigenschaften von Aktionen mit reellen Zahlen,
• und sein allgemeines Verständnis,

Sie ermöglichen Ihnen die Durchführung der folgenden Transformationen, die die Regeln zum Addieren, Subtrahieren von Brüchen mit gleichem und unterschiedlichem Nenner sowie die Regel zum Multiplizieren von Brüchen rechtfertigen:

Beispiele

Lassen Sie uns Beispiele für die Ausführung einer Aktion mit Brüchen einer allgemeinen Form gemäß den im vorherigen Absatz erlernten Regeln geben. Nehmen wir gleich an, dass nach der Durchführung von Operationen mit Brüchen der resultierende Bruch normalerweise vereinfacht werden muss und der Prozess der Vereinfachung eines Bruchs oft schwieriger ist als die Durchführung der vorherigen Aktionen. Wir gehen nicht weiter auf die Vereinfachung von Brüchen ein (die entsprechenden Transformationen werden im Artikel Transformation von Brüchen behandelt), um nicht von dem für uns interessanten Thema abgelenkt zu werden.

Beginnen wir mit Beispielen für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner. Beginnen wir mit der Addition der Brüche und . Offensichtlich sind die Nenner gleich. Gemäß der entsprechenden Regel schreiben wir einen Bruch auf, dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der ursprünglichen Brüche ist, und lassen den Nenner gleich, wir haben . Die Addition ist erledigt, es bleibt, den resultierenden Bruch zu vereinfachen: . Damit, .

Es war möglich, die Entscheidung auf andere Weise durchzuführen: Zuerst den Übergang zu gewöhnlichen Brüchen vornehmen und dann die Addition durchführen. Mit diesem Ansatz haben wir .

Subtrahiere nun von dem Bruch Fraktion . Die Nenner von Brüchen sind gleich, daher gehen wir nach der Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern vor:

Kommen wir zu Beispielen für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Hier liegt die Hauptschwierigkeit darin, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Für Brüche einer allgemeinen Form ist dies ein ziemlich umfangreiches Thema, wir werden es in einem separaten Artikel ausführlich analysieren. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Beschränken wir uns jetzt auf ein paar Allgemeine Empfehlungen, weil in dieser Moment Wir interessieren uns mehr für die Technik, Operationen mit Brüchen durchzuführen.

Im Allgemeinen ähnelt der Prozess der Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner gewöhnlicher Brüche. Das heißt, die Nenner werden als Produkte dargestellt, dann werden alle Faktoren aus dem Nenner des ersten Bruchs genommen und die fehlenden Faktoren aus dem Nenner des zweiten Bruchs dazu addiert.

Wenn die Nenner der addierten oder subtrahierten Brüche keine gemeinsamen Faktoren haben, dann ist es logisch, ihr Produkt als gemeinsamen Nenner zu nehmen. Nehmen wir ein Beispiel.

Nehmen wir an, wir müssen Brüche und 1/2 addieren. Hier ist es logisch, als gemeinsamen Nenner das Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche zu nehmen, also . In diesem Fall ist der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch 2 . Nachdem Zähler und Nenner damit multipliziert wurden, nimmt der Bruch die Form an. Und für den zweiten Bruch ist der zusätzliche Faktor der Ausdruck. Mit seiner Hilfe wird der Bruch 1/2 auf die Form reduziert. Es bleibt übrig, die resultierenden Brüche mit denselben Nennern zu addieren. Hier ist eine Zusammenfassung der gesamten Lösung:

Bei Brüchen allgemeiner Form handelt es sich nicht mehr um den kleinsten gemeinsamen Nenner, auf den gewöhnliche Brüche meist zurückgeführt werden. Obwohl es in dieser Angelegenheit immer noch wünschenswert ist, nach etwas Minimalismus zu streben. Damit wollen wir sagen, dass es nicht notwendig ist, das Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche gleich als gemeinsamen Nenner zu nehmen. Zum Beispiel ist es überhaupt nicht notwendig, den gemeinsamen Nenner von Brüchen und dem Produkt zu nehmen . Hier können wir als gemeinsamen Nenner nehmen.

Wir wenden uns den Beispielen der Multiplikation von Brüchen einer allgemeinen Form zu. Multiplizieren Sie die Brüche und . Die Regel zur Durchführung dieser Aktion sagt uns, dass wir einen Bruch aufschreiben müssen, dessen Zähler das Produkt der Zähler der ursprünglichen Brüche ist und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Wir haben . Hier, wie in vielen anderen Fällen beim Multiplizieren von Brüchen, können Sie den Bruch kürzen: .

Die Regel zum Teilen von Brüchen ermöglicht es Ihnen, von der Division zur Multiplikation mit einem Kehrwert zu wechseln. Hier müssen Sie daran denken, dass Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs vertauschen müssen, um den Kehrwert eines gegebenen Bruchs zu erhalten. Hier ist ein Beispiel für den Übergang von der Division allgemeiner Brüche zur Multiplikation: . Es bleibt die Multiplikation durchzuführen und den resultierenden Bruch zu vereinfachen (siehe ggf. die Transformation irrationaler Ausdrücke):

Zum Abschluss der Informationen dieses Absatzes erinnern wir daran, dass jede Zahl oder jeder numerische Ausdruck als Bruch mit einem Nenner 1 dargestellt werden kann, daher kann die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division einer Zahl und eines Bruchs als Ausführung der entsprechenden Aktion angesehen werden Brüche, von denen einer eine Einheit im Nenner hat. Zum Beispiel Ersetzen im Ausdruck Wurzel aus drei Brüchen, werden wir von der Multiplikation eines Bruchs mit einer Zahl zur Multiplikation von zwei Brüchen übergehen: .

Durchführen von Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten

Die Regeln aus dem ersten Teil dieses Artikels gelten auch für Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten. Lassen Sie uns die erste von ihnen begründen - die Regel der Addition und Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner, der Rest wird auf genau die gleiche Weise bewiesen.

Beweisen wir, dass wir für alle Ausdrücke A , C und D (D ist identisch ungleich Null) die Gleichheit haben auf seinem Bereich akzeptabler Werte von Variablen.

Nehmen wir einige Variablen von ODZ. Lassen Sie die Ausdrücke A , C und D die Werte a 0 , c 0 und d 0 für diese Werte der Variablen annehmen. Wenn Sie dann die Werte von Variablen aus dem ausgewählten Satz in den Ausdruck einsetzen, wird daraus eine Summe (Differenz) von numerischen Brüchen mit denselben Nennern der Form , die gemäß der Regel der Addition (Subtraktion) von numerischen Brüchen mit der gleichen Nennern, ist gleich . Wenn Sie jedoch die Werte der Variablen aus dem ausgewählten Satz in den Ausdruck einsetzen, wird daraus derselbe Bruch. Dies bedeutet, dass für den ausgewählten Satz von Variablenwerten aus der ODZ die Werte der Ausdrücke und gleich sind. Es ist klar, dass die Werte der angegebenen Ausdrücke für jeden anderen Satz von Werten von Variablen aus der ODZ gleich sind, was bedeutet, dass die Ausdrücke und identisch gleich sind, dh die bewiesene Gleichheit ist wahr .

Beispiele für Addition und Subtraktion von Brüchen mit Variablen

Wenn die Nenner der addierten oder subtrahierten Brüche gleich sind, ist alles ganz einfach - die Zähler werden addiert oder subtrahiert und der Nenner bleibt gleich. Es ist klar, dass der danach erhaltene Bruch falls nötig und möglich vereinfacht wird.

Beachten Sie, dass sich die Nenner von Brüchen manchmal nur auf den ersten Blick unterscheiden, tatsächlich aber identisch gleiche Ausdrücke sind, wie zum Beispiel und , oder und . Und manchmal reicht es schon, die Anfangsbrüche so zu vereinfachen, dass ihre identischen Nenner „erscheinen“.

Beispiel.

, B) , in) .

Lösung.

a) Wir müssen Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren. Entsprechend der entsprechenden Regel lassen wir den Nenner gleich und subtrahieren die Zähler, wir haben . Aktion erledigt. Aber Sie können immer noch die Klammern im Zähler öffnen und ähnliche Begriffe bringen: .

b) Offensichtlich sind die Nenner der addierten Brüche gleich. Deshalb addieren wir die Zähler und lassen den Nenner gleich: . Ergänzung abgeschlossen. Aber es ist leicht zu sehen, dass der resultierende Bruch reduziert werden kann. Tatsächlich kann der Zähler des resultierenden Bruchs durch das Quadrat der Summe als (lgx+2) 2 reduziert werden (siehe die abgekürzten Multiplikationsformeln), sodass die folgenden Transformationen stattfinden: .

c) Brüche in der Summe verschiedene Nenner haben. Aber indem du einen der Brüche umwandelst, kannst du damit fortfahren, Brüche mit denselben Nennern zu addieren. Wir zeigen zwei Lösungen.

Erster Weg. Der Nenner des ersten Bruchs kann mit der Quadratdifferenzformel faktorisiert und dieser Bruch dann reduziert werden: . Auf diese Weise, . Es schadet nicht, die Irrationalität im Nenner eines Bruchs loszuwerden: .

Der zweite Weg. Durch Multiplizieren des Zählers und Nenners des zweiten Bruchs (dieser Ausdruck verschwindet für keine Werte der Variablen x aus dem DPV für den ursprünglichen Ausdruck) können Sie zwei Ziele gleichzeitig erreichen: Irrationalität beseitigen und zum Addieren übergehen Brüche mit gleichem Nenner. Wir haben

Antworten:

aber) , B) , in) .

Letztes Beispiel brachte uns zu der Frage, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Dort sind wir fast zufällig auf denselben Nenner gekommen, indem wir einen der addierten Brüche vereinfacht haben. Aber in den meisten Fällen muss man beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern die Brüche gezielt auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dazu werden die Nenner von Brüchen üblicherweise als Produkte dargestellt, alle Faktoren aus dem Nenner des ersten Bruchs genommen und die fehlenden Faktoren aus dem Nenner des zweiten Bruchs dazu addiert.

Beispiel.

Aktionen mit Brüchen ausführen: a) , b) , c) .

Lösung.

a) Mit den Nennern der Brüche brauchen Sie nichts zu tun. Als gemeinsamen Nenner nehmen wir das Produkt . In diesem Fall ist der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch der Ausdruck und für den zweiten Bruch die Zahl 3. Diese zusätzlichen Faktoren bringen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, was es uns weiter ermöglicht, die Aktion auszuführen, die wir brauchen, die wir haben

b) In diesem Beispiel sind die Nenner bereits als Produkte dargestellt, und es sind keine weiteren Transformationen erforderlich. Offensichtlich unterscheiden sich die Faktoren in den Nennern nur in Exponenten, daher nehmen wir als gemeinsamen Nenner das Produkt der Faktoren mit den größten Exponenten, d.h. . Dann ist der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch x 4 und für den zweiten - ln(x+1) . Jetzt können wir Brüche subtrahieren:

c) Ein c dieser Fall Beginnen wir mit den Nennern von Brüchen. Die Formeln für die Differenz von Quadraten und das Quadrat der Summe ermöglichen es Ihnen, von der ursprünglichen Summe zum Ausdruck zu gelangen . Nun ist klar, dass diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden können . Mit diesem Ansatz sieht die Lösung wie folgt aus:

Antworten:

aber)

B)

in)

Beispiele für die Multiplikation von Brüchen mit Variablen

Das Multiplizieren von Brüchen ergibt einen Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler der ursprünglichen Brüche ist und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist. Wie Sie sehen, ist hier alles vertraut und einfach, und wir können nur hinzufügen, dass der durch diese Aktion erhaltene Bruchteil oft reduziert wird. In diesen Fällen wird sie gekürzt, es sei denn, dies ist selbstverständlich erforderlich und gerechtfertigt.

In der Mathematik wurden seit ihren Anfängen verschiedene Arten von Zahlen untersucht. Es gibt eine große Anzahl von Mengen und Teilmengen von Zahlen. Darunter sind ganze Zahlen, rationale, irrationale, natürliche, gerade, ungerade, komplexe und gebrochene Zahlen. Heute werden wir Informationen über den letzten Satz analysieren - Bruchzahlen.

Definition von Brüchen

Brüche sind Zahlen, die aus einem ganzen Teil und Bruchteilen einer Einheit bestehen. Genau wie bei ganzen Zahlen gibt es zwischen zwei ganzen Zahlen unendlich viele Bruchzahlen. In der Mathematik werden Operationen mit Brüchen durchgeführt, wie mit ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen. Es ist ganz einfach und kann in ein paar Lektionen erlernt werden.

Der Artikel stellt zwei Typen vor

Gemeinsame Brüche

Gewöhnliche Brüche sind der ganzzahlige Teil a und zwei Zahlen, die durch den Bruchstrich b/c geschrieben werden. Gewöhnliche Brüche können äußerst praktisch sein, wenn der Bruchteil nicht in rationaler Dezimalform dargestellt werden kann. Außerdem ist es bequemer, arithmetische Operationen durch einen Bruchstrich auszuführen. Der obere Teil heißt Zähler, der untere Teil Nenner.

Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen: Beispiele

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs. Bei multipliziert man den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl, die nicht Null ist, ist das Ergebnis eine Zahl, die gleich der gegebenen ist. Diese Eigenschaft eines Bruchs hilft, einen Nenner zur Addition zu bringen (dies wird weiter unten besprochen) oder einen Bruch zu kürzen, was das Zählen bequemer macht. a/b = a*c/b*c. Zum Beispiel 36/24 = 6/4 oder 9/13 = 18/26

Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Um den Nenner eines Bruchs zu erhalten, müssen Sie den Nenner in Form von Faktoren darstellen und dann mit den fehlenden Zahlen multiplizieren. Zum Beispiel 15.07. und 30.12.; 7/5*3 und 12/5*3*2. Wir sehen, dass sich die Nenner um zwei unterscheiden, also multiplizieren wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 2. Wir erhalten: 14/30 und 12/30.

Zusammengesetzte Brüche- gewöhnliche Brüche mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil. (A b/c) Um einen zusammengesetzten Bruch als gewöhnlichen Bruch darzustellen, multipliziere die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner und addiere sie dann zum Zähler: (A*c + b)/c.

Rechenoperationen mit Brüchen

Es wird nicht überflüssig sein, die bekannten Rechenoperationen nur bei der Arbeit mit Bruchzahlen zu berücksichtigen.

Addition und Subtraktion. Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist genauso einfach wie ganze Zahlen, mit Ausnahme einer Schwierigkeit – dem Vorhandensein eines Bruchstrichs. Bei der Addition von Brüchen mit gleichem Nenner müssen nur die Zähler beider Brüche addiert werden, die Nenner bleiben unverändert. Zum Beispiel: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Wenn die Nenner zweier Brüche unterschiedliche Zahlen sind, musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen (wie oben besprochen). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Die Subtraktion erfolgt nach genau demselben Prinzip: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.

Multiplikation und Division. Aktionen mit Brüchen durch Multiplikation erfolgen nach folgendem Prinzip: Zähler und Nenner werden getrennt multipliziert. IN Gesamtansicht Die Multiplikationsformel sieht so aus: a/b *c/d = a*c/b*d. Außerdem kannst du beim Multiplizieren den Bruch kürzen, indem du dieselben Faktoren aus Zähler und Nenner eliminierst. In einer anderen Sprache sind Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilbar: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Um einen gewöhnlichen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie Zähler und Nenner des Divisors ändern und die Multiplikation zweier Brüche nach dem zuvor besprochenen Prinzip durchführen: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Dezimalstellen

Dezimalzahlen sind die beliebtere und am häufigsten verwendete Version von Bruchzahlen. Sie lassen sich einfacher in einer Zeile aufschreiben oder am Computer präsentieren. Der Aufbau einer Dezimalzahl ist wie folgt: Zuerst wird die ganze Zahl geschrieben, und dann wird nach dem Dezimalkomma der Bruchteil geschrieben. Im Kern Dezimalstellen- Dies sind zusammengesetzte gewöhnliche Brüche, ihr Bruchteil wird jedoch durch eine Zahl geteilt durch ein Vielfaches von 10 dargestellt. Daher stammt ihr Name. Operationen mit Dezimalbrüchen ähneln Operationen mit ganzen Zahlen, da sie ebenfalls im dezimalen Zahlensystem geschrieben werden. Außerdem können Dezimalzahlen im Gegensatz zu gewöhnlichen Brüchen irrational sein. Dies bedeutet, dass sie unendlich sein können. Sie werden als 7,(3) geschrieben. Der folgende Eintrag wird gelesen: ganze sieben, drei Zehntel im Punkt.

Grundlegende Operationen mit Dezimalzahlen

Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen. Aktionen mit Brüchen durchzuführen ist nicht schwieriger als mit ganzen natürlichen Zahlen. Die Regeln sind genau die gleichen wie beim Addieren oder Subtrahieren natürlicher Zahlen. Sie können auf die gleiche Weise auch als Spalte betrachtet werden, aber ersetzen Sie gegebenenfalls die fehlenden Stellen durch Nullen. Zum Beispiel: 5,5697 - 1,12. Um eine Spaltensubtraktion durchzuführen, müssen Sie die Anzahl der Zahlen nach dem Komma ausgleichen: (5,5697 - 1,1200). Der Zahlenwert ändert sich also nicht und kann in einer Spalte gezählt werden.

Operationen mit Dezimalbrüchen können nicht durchgeführt werden, wenn einer von ihnen eine irrationale Form hat. Dazu müssen Sie beide Zahlen in gewöhnliche Brüche umwandeln und dann die zuvor beschriebenen Techniken anwenden.

Multiplikation und Division. Das Multiplizieren von Dezimalzahlen ähnelt dem Multiplizieren natürlicher Zahlen. Sie können auch mit einer Spalte multipliziert werden, wobei das Komma einfach ignoriert wird, und dann im Endwert die gleiche Anzahl von Stellen durch ein Komma getrennt, wie die Summe nach dem Komma in zwei Dezimalbrüchen war. Beispiel: 1,5 * 2,23 = 3,345. Alles ist sehr einfach und sollte keine Schwierigkeiten bereiten, wenn Sie bereits die Multiplikation natürlicher Zahlen beherrschen.

Die Division stimmt auch mit der Division natürlicher Zahlen überein, jedoch mit einem kleinen Exkurs. Um durch eine Dezimalzahl in einer Spalte zu dividieren, müssen Sie das Komma im Divisor weglassen und den Dividenden mit der Anzahl der Nachkommastellen im Divisor multiplizieren. Führen Sie dann die Division wie bei natürlichen Zahlen durch. Bei einer unvollständigen Division können Sie dem Dividenden rechts Nullen hinzufügen und auch eine Null nach dem Komma hinzufügen.

Beispiele für Aktionen mit Dezimalbrüchen. Dezimalzahlen sind ein sehr praktisches Werkzeug zum arithmetischen Zählen. Sie vereinen den Komfort natürlicher, ganzer Zahlen und die Genauigkeit gängiger Brüche. Außerdem ist es ziemlich einfach, einen Bruch in einen anderen umzuwandeln. Operationen mit Brüchen unterscheiden sich nicht von Operationen mit natürlichen Zahlen.

1. Addition: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Subtraktion: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Multiplikation: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Teilung: 3,6: 0,6 = 6

Außerdem eignen sich Dezimalzahlen zur Darstellung von Prozentzahlen. Also 100 % = 1; 60 % = 0,6; und umgekehrt: 0,659 = 65,9 %.

Das ist alles, was Sie über Brüche wissen müssen. Der Artikel betrachtete zwei Arten von Brüchen - gewöhnliche und dezimale. Beide sind recht einfach zu berechnen, und wenn Sie die natürlichen Zahlen und Operationen vollständig beherrschen, können Sie getrost anfangen, Bruchzahlen zu lernen.

1º. Ganze Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen verwendet werden. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet, d.h. N = (1, 2, 3, …).

Schuss heißt eine Zahl, die aus mehreren Bruchteilen von Eins besteht. Gemeinsamer Bruch heißt eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl ist n zeigt, wie viele gleiche Teile eine Einheit geteilt wird, und eine natürliche Zahl m zeigt, wie viele solcher gleichen Teile genommen werden. Zahlen m Und n werden jeweils genannt Zähler Und Nenner Brüche.

Wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist, wird der Bruch aufgerufen Korrekt; Wenn der Zähler gleich oder größer als der Nenner ist, wird der Bruch aufgerufen falsch. Eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil besteht, wird aufgerufen gemischte Zahl.

Zum Beispiel - echte gemeinsame Brüche, - unechte gemeinsame Brüche, 1 - gemischte Zahl.

2º. Beim Ausführen von Aktionen auf gewöhnliche Brüche erinnere dich an folgende Regeln:

1)Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs. Multipliziert oder dividiert man Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl, so erhält man einen Bruch, der gleich dem angegebenen ist.

Zum Beispiel a) ; B) .

Das Dividieren von Zähler und Nenner eines Bruchs durch ihren gemeinsamen Teiler, der von Eins verschieden ist, nennt man Fraktionsreduktion.

2) Um eine gemischte Zahl als unechten Bruch darzustellen, müssen Sie ihren ganzzahligen Teil mit dem Nenner des Bruchteils multiplizieren und den Zähler des Bruchteils zum resultierenden Produkt addieren, den resultierenden Betrag als Zähler von schreiben Bruch, und lassen Sie den Nenner gleich.

Ebenso kann jede natürliche Zahl als unechter Bruch mit beliebigem Nenner geschrieben werden.

Zum Beispiel a) , weil ; B) usw.

3) Um einen unechten Bruch als gemischte Zahl zu schreiben (dh einen ganzzahligen Teil aus einem unechten Bruch auszuwählen), müssen Sie den Zähler durch den Nenner dividieren, den Quotienten als ganzzahligen Teil nehmen, den Rest als Zähler, den Nenner gleich lassen.

Zum Beispiel a) seit 200: 7 = 28 (verbleibende 4);
b), seit 20: 5 = 4 (Rest 0).

4) Um Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bringen, müssen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner dieser Brüche finden (es wird ihr kleinster gemeinsamer Nenner sein), den kleinsten gemeinsamen Nenner durch die Nenner dieser Brüche dividieren ( dh finden Sie zusätzliche Faktoren für Brüche) , multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor.

Lassen Sie uns zum Beispiel Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Bedeutet, ; ; .

5) Regeln für arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen:

a) Die Addition und Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner erfolgt nach der Regel:

b) Die Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern wird nach Regel a) durchgeführt, nachdem die Brüche zuvor auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gekürzt wurden.

c) Wenn Sie gemischte Zahlen addieren und subtrahieren, können Sie sie umwandeln unechte Brüche, und befolgen Sie dann die Regeln a) und b),