Welche Ausdrücke sind arithmetische Fortschritte. Algebraische Progression.

Beispielsweise die Sequenz \\ (2 \\); \\(fünf\\); \\(acht\\); \\(elf\\); \\ (14 \\) ... ist ein arithmetischer Fortschritt, da jedes nächste Element vom vorherigen abweicht (kann aus dem vorherigen Threeste hinzugefügt werden):

In diesem Fortschritt ist die Differenz \\ (d \\) positiv (gleich \\ (3 \\)), und daher ist jedes nächste Mitglied größer als der vorherige. Solche Progression wird aufgerufen zunehmend..

\\ (D \\) kann jedoch eine negative Zahl sein. beispielsweise, im arithmetische Fortschritte. \\(Sechszehn\\); \\ (10 \u200b\u200b\\); \\ (vier \\); \\ (- 2 \\); \\ (- 8 \\) ... Der Unterschied der Progression \\ (d \\) ist minus sechs.

In diesem Fall wird jedes nächste Element weniger als der vorherige sein. Diese Progressionen werden aufgerufen absteigend.

Bezeichnung des arithmetischen Fortschreitens

Der Fortschritt wird von einem kleinen lateinischen Brief bezeichnet.

Die Zahlen, die den Progression bildet, rufen es an mitglieder (oder Elemente).

Sie sind mit demselben Brief als arithmetischer Fortschritt, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht eine arithmetische Progression \\ (A_n \u003d \\ Links \\ (2; 5; 8; 11; 14 ... \\ richtig \\) \\) aus Elementen \\ (A_1 \u003d 2 \\); \\ (A_2 \u003d 5 \\); \\ (A_3 \u003d 8 \\) und so weiter.

Mit anderen Worten, zum Progression \\ (a_n \u003d \\ Links \\ (2; 5; 8; 11; 14; 14 ... \\ richtig \\) \\)

Aufgaben für arithmetische Fortschritte lösen

Grundsätzlich reicht die obigen Informationen bereits aus, um fast jede Aufgabe auf der arithmetischen Progression zu lösen (einschließlich derjenigen, die auf Oge anbieten).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression wird nach Bedingungen eingestellt \\ (B_1 \u003d 7; D \u003d 4 \\). Find \\ (B_5 \\).
Entscheidung:

Antworten: \\ (B_5 \u003d 23 \\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens sind gegeben: \\ (62; 49; 36; 36 ... \\) Finden Sie den Wert des ersten negativen Mitglieds dieses Fortschreitens.
Entscheidung:

	Wir erhalten die ersten Elemente der Sequenz und es ist bekannt, dass es sich um einen arithmetischen Fortschritt handelt. Das heißt, jedes Element unterscheidet sich von derselben Anzahl benachbart. Wir lernen, was, Abzug vom nächsten Element vorher: \\ (d \u003d 49-62 \u003d -13 \\).
	Jetzt können wir unseren Fortschritt auf denjenigen wiederherstellen, den wir brauchen (erstes negatives) Element.
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: \(-3\)

Beispiel (OGE). Es gibt mehrere arithmetische arithmetische Progressionselemente der Elemente des arithmetischen Fortschreitens: \\ (... 5; x; 10; 12.5 ... \\) Suchen Sie den Wert des mit dem Buchstaben \\ (x \\) angegebenen Elements.
Entscheidung:

	Um \\ (x \\) zu finden, müssen wir wissen, wie viel das nächste Element von der vorherigen unterscheidet, mit anderen Worten - der Unterschied der Progression. Wir finden es von zwei bekannten benachbarten Elementen: \\ (d \u003d 12.5-10 \u003d 2,5 \\).
	Und jetzt finden wir ohne Probleme das gewünschte: \\ (x \u003d 5 + 2,5 \u003d 7,5 \\).
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression wird durch die folgenden Bedingungen eingestellt: \\ (A_1 \u003d -11 \\); \\ (A_ (n + 1) \u003d a_n + 5 \\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Mitglieder dieses Fortschreitens.
Entscheidung:

Wir müssen den Betrag der ersten sechs Mitglieder des Fortschritts finden. Wir kennen jedoch ihre Werte nicht, wir erhalten nur das erste Element. Berechnen Sie daher zunächst die Werte wiederum mit diesem an uns:

\\ (n \u003d 1 \\); \\ (A_ (1 + 1) \u003d A_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6 \\)
\\ (n \u003d 2 \\); \\ (A_ (2 + 1) \u003d A_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1 \\)
\\ (n \u003d 3 \\); \\ (A_ (3 + 1) \u003d A_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4 \\)
Und die Berechnung der sechs Elemente, die wir brauchen - wir finden ihre Summe.

\\ (S_6 \u003d A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 \u003d \\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Der gewünschte Betrag wurde gefunden.

Antworten: \\ (S_6 \u003d 9 \\).

Beispiel (OGE). In arithmetischem Progression \\ (A_ (12) \u003d 23 \\); \\ (A_ (16) \u003d 51 \\). Finden Sie den Unterschied in diesem Fortschritt.
Entscheidung:

Antworten: \\ (D \u003d 7 \\).

Wichtige Formeln für arithmetische Fortschritte

Wie Sie sehen, können viele Aufgaben auf der arithmetischen Progression gelöst werden, einfach die Hauptsache verstanden - dass der arithmetische Fortschritt eine Kette von Zahlen ist, und jedes nächste Element in dieser Kette wird durch Hinzufügen der vorherigen und derselben Zahl ( Progressionsunterschied).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen es ziemlich unbequem ist, "in der Stirn" zu entscheiden. Stellen Sie sich beispielsweise vor, dass wir in dem ersten Beispiel ein nicht fünftes Element \\ (B_5 \\) und dreihundertachtzig sechs \\ (B_ (386) \\) finden müssen. Das ist was, us \\ (385 \\), um viermal hinzuzufügen? Oder stellen Sie sich vor, dass es im vorletzten Beispiel erforderlich ist, die Summe der ersten siebzig drei Elemente zu finden. Betrachten Sie Folter ...

Daher lösen in solchen Fällen "in der Stirn" nicht, sondern verwenden Sie spezielle Formeln, die für den arithmetischen Fortschritt abgeleitet wurden. Und die wichtigsten von ihnen sind die Formel eines ungültigen Elements des Fortschritts und der Formel des Betrags \\ (n \\) der ersten Mitglieder.

Formel \\ (n \\) - Mitglied: \\ (A_N \u003d A_1 + (N - 1) d \\), wobei \\ (a_1 \\) der erste Begriff des Fortschritts ist;
\\ (n \\) - die Anzahl des künstlerischen Elements;
\\ (a_n \\) ist ein Mitglied des Progression mit der Nummer \\ (n \\).

Mit dieser Formel können wir schnell mindestens drei Hundertstel von mindestens einem Million Element finden, wobei nur der erste und der Unterschied der Progression kennt.

Beispiel. Die arithmetische Progression wird nach Bedingungen eingestellt: \\ (B_1 \u003d -159 \\); \\ (d \u003d 8.2 \\). Find \\ (B_ (246) \\).
Entscheidung:

Antworten: \\ (B_ (246) \u003d 1850 \\).

Formel der Menge der ersten Mitglieder: \\ (s_n \u003d \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\ cdot n \\), wo

\\ (a_n \\) - das letzte zusammenfassende Mitglied;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression wird nach Bedingungen eingestellt \\ (A_N \u003d 3,4n-0,6 \\). Finden Sie den Betrag der ersten Mitglieder des ersten \\ (25 \\) dieses Fortschreitens.
Entscheidung:

\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (A_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ CDOT 25 \\)		Um den Betrag der ersten fünfundzwanzigsten Elemente zu berechnen, müssen wir den Wert des ersten und zwanzig fünften Mitglieds kennen. Unsere Progression wird von der Formel eines Enon-Mitglieds abhängig von seiner Nummer gefragt (siehe weitere Details). Berechnen wir das erste Element, ersetzen Sie anstelle von \\ (n \\) eine Einheit.
\\ (n \u003d 1; \\) \\ (A_1 \u003d 3,4 · 1-0,6 \u003d 2,8 \\)		Jetzt finden wir das zwanzig fünfte Mitglied, ersetzen statt \\ (n \\) fünfundzwanzig.
\\ (n \u003d 25; \\) \\ (A_ (25) \u003d 3,4 · 25-0,6 \u003d 84.4 \\)		Nun, und jetzt ohne Probleme berechnen wir den gewünschten Betrag.
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (A_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (2,8 + 84.4) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (1090 \\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \\ (S_ (25) \u003d 1090 \\).

Für die ersten Mitglieder des Betrags \\ (n \\) können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (A_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ CDOT 25 \\) anstelle von \\ (A_n \\) ersetzen Sie die Formel für IT \\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\). Wir bekommen:

Formel der Menge der ersten Elemente: \\ (s_n \u003d \\) \\ (\\ frac (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\), wo

\\ (S_N \\) ist der gewünschte Betrag \\ (n \\) der ersten Elemente;
\\ (A_1 \\) - das erste zusammenfassende Mitglied;
\\ (D \\) - der Unterschied der Progression;
\\ (n \\) - die Anzahl der Elemente in der Menge.

Beispiel. Finden Sie den Betrag des ersten \\ (33 \\) - dem Ex von Mitgliedern des arithmetischen Fortschritts: \\ (17 \\); \\ (15.5 \\); \\(vierzehn\\)…
Entscheidung:

Antworten: \\ (S_ (33) \u003d - 231 \\).

Komplexere Aufgaben für arithmetische Fortschritte

Jetzt haben Sie alle notwendigen Informationen, um fast jede Aufgabe auf dem arithmetischen Fortschritt zu lösen. Vervollständigen Sie das Thema mit der Berücksichtigung von Aufgaben, in denen es nicht einfach ist, Formeln zu verwenden, aber auch ein wenig zu denken (in Mathematik ist es nützlich ☺)

Beispiel (OGE). Finden Sie die Summe aller negativen Mitglieder des Fortschritts: \\ (- 19.3 \\); \\(-neunzehn\\); \\ (- 18.7 \\) ...
Entscheidung:

\\ (S_N \u003d \\) \\ (\\ frac (2a_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)		Die Aufgabe ist dem vorherigen sehr ähnlich. Wir beginnen auch zu lösen: Zuerst finden wir \\ (d \\).
\\ (d \u003d A_2-A_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0,3 \\)		Jetzt würde ich \\ (d \\) in der Formel für den Betrag ersetzen ... und hier öffnet die kleine Nuance - wir wissen nicht \\ (n \\). Mit anderen Worten, wir wissen nicht, wie viele Mitglieder gefaltet werden müssen. Wie erfahren Sie? Denken wir nach. Wir stoppen faltende Elemente, wenn wir das erste positive Element erreichen. Das heißt, Sie müssen die Nummer dieses Elements kennen. Wie? Wir schreiben die Formel zur Berechnung eines beliebigen Elements der arithmetischen Progression: \\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\) für unseren Fall.
\\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\)
\\ (A_n \u003d -19,3 + (N - 1) · 0,3 \\)		Wir brauchen, damit \\ (a_n \\) mehr Null geworden ist. So wird es mit was \\ (n \\) passieren.
\\ (- 19.30 (n - 1) · 0,3\u003e 0 \\)
\\ (((n - 1) · 0,3\u003e 19.3 \\) \\ (\|: 0.3 \\)		Wir teilen beide Teile der Ungleichung auf \\ (0,3 \\).
\\ (N-1\u003e \\) \\ (\\ frac (19.3) (0.3) \\)		Tragen Sie minus eins, nicht vergessen, Zeichen zu ändern
\\ (n\u003e \\) \\ (\\ frac (19.3) (0.3) \\) \\ (+ 1 \\)		Berechnung ...
\\ (n\u003e 65.333 ... \\)		... und es stellt sich heraus, dass das erste positive Element eine Zahl \\ (66 \\) hat. Dementsprechend hat das letztere negative \\ (n \u003d 65 \\). Nur für den Fall, überprüfen Sie es.
\\ (n \u003d 65; \\) \\ (A_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) · 0,3 \u003d -0,1 \\) \\ (n \u003d 66; \\) \\ (A_ (66) \u003d - 19.3+ (66-1) · 0,3 \u003d 0,2 \\)		Somit müssen wir die ersten \\ (65 \\) -Elemente falten.
\\ (S_ (65) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-19.3) + (65-1) 0,3) (2) \\)\\ (\\ Cdot 65 \\) \\ (S_ (65) \u003d \\) \\ ((- 38,6 + 19,2) (2) \\) \\ (\\ cdot 65 \u003d -630.5 \\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \\ (S_ (65) \u003d - 630.5 \\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression wird nach Bedingungen eingestellt: \\ (A_1 \u003d -33 \\); \\ (A_ (n + 1) \u003d A_n + 4 \\). Finden Sie die Summe von \\ (26 \\) bis \\ (42 \\) -Element inklusive.
Entscheidung:

\\ (A_1 \u003d -33; \\) \\ (A_ (n + 1) \u003d A_n + 4 \\)	Diese Aufgabe muss auch die Menge an Elementen finden, jedoch nicht von der ersten und c \\ (26 \\) beginnen. Für einen solchen Fall haben wir keine Formeln. Wie löst man? Einfach -, um den Betrag von \\ (26 \\) zu erhalten Der Betrag von ihm zuerst nach \\ (25 \\) - CSO (siehe ein Bild).
	Für unser Progression \\ (A_1 \u003d -33 \\) und die Differenz \\ (d \u003d 4 \\) (schließlich fügen wir dem vorherigen Element zum vorherigen Element hinzu, um den nächsten zu finden). Wenn wir wissen, werden wir die Menge der ersten \\ (42 \\) - Enden finden.
\\ (S_ (42) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\)\\ (\\ cdot 42 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-66 + 164) (2) \\) \\ (\\ cdot 42 \u003d 2058 \\)	Nun die Menge der ersten Elemente der ersten \\ (25 \\).
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \\)\\ (\\ Cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-66 + 96) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d 375 \\)	Und schließlich berechnen wir die Antwort.
\\ (S \u003d S_ (42) -S_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683 \\)

Antworten: \\ (S \u003d 1683 \\).

Für arithmetische Fortschritte gibt es mehrere weitere Formeln, die wir in diesem Artikel aufgrund ihres kleinen praktischen Nutzens nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.

I. V. Yakovlev | Mathematik-Materialien | Mathus.ru.

Arithmetische Fortschritte.

Die arithmetische Progression ist eine spezielle Formübersicht. Bevor Sie die Definition von arithmetischem (und dann geometrischem) Fortschreiten (und dann geometrischem) Fortschreiten geben, müssen wir kurz das wichtige Konzept der numerischen Reihenfolge diskutieren.

Reihenfolge

Stellen Sie sich das Gerät auf dem Bildschirm vor, von dem einige Nummern angezeigt werden. Sagen wir 2; 7; 13; einer; 6; 0; 3; ::: Derartige Zahlensatz ist nur ein Beispiel für eine Sequenz.

Definition. Die numerische Sequenz ist ein Satz von Nummern, in dem jede Nummer Sie eine eindeutige Nummer (dh um eine einzige natürliche Zahl) zuweisen können, 1. Nummer n Nummer angerufen n-M-Schwanz Sequenzen.

Somit weist in dem obigen Beispiel die erste Zahl eine Nummer 2 auf, die das erste Element der Sequenz ist, die von A1 bezeichnet werden kann; Nummer fünf hat eine Nummer 6, ist das fünfte Element der Sequenz, die von A5 bezeichnet werden kann. Überhaupt, n-tiges Mitglied Die Sequenz wird von einem (oder BN, CN usw.) bezeichnet.

Die Situation ist sehr praktisch, wenn das n-te Mitglied der Sequenz nach einer Formel gefragt werden kann. Zum Beispiel setzt die Formel AN \u003d 2N 3 die Sequenz: 1; einer; 3; fünf; 7; :::: Die Formel A \u003d (1) n setzt die Sequenz: 1; einer; einer; einer; :: :::

Nicht viele Zahlen sind eine Reihenfolge. Das Segment ist also keine Sequenz; Es enthält viele von vielen Zahlen, damit sie gemietet werden können. Der Satz R aller gültigen Zahlen ist auch keine Sequenz. Diese Tatsachen sind im Rahmen der mathematischen Analyse nachgewiesen.

Arithmetische Progression: Grunddefinitionen

Jetzt sind wir bereit, arithmetische Fortschritte zu definieren.

Definition. Die arithmetische Progression ist eine Sequenz, deren Element (ausgehend von der zweiten) gleich dem Betrag des vorherigen Elements und einer festen Zahl (der Unterschied in der arithmetischen Progression) ist.

Beispielsweise eine Sequenz 2; fünf; acht; elf; ::: Es ist ein arithmetischer Fortschritt mit dem ersten Begriff 2 und einem Unterschied 3. Sequenz 7; 2; 3; acht; ::: Es ist ein arithmetischer Fortschritt mit dem ersten Bezeichnung 7 und einem Unterschied 5. Sequenz 3; 3; 3; ::: Es ist ein arithmetischer Fortschritt mit einem Unterschied, der Null gleich ist.

Gleichwertige Definition: Die Sequenz ein wird als arithmetischer Fortschritt bezeichnet, wenn der Unterschied ein + 1 A der permanente Wert (unabhängig von n) ist.

Der arithmetische Fortschritt wird als zunehmend bezeichnet, wenn der Unterschied positiv ist, und sinkt, wenn der Unterschied negativ ist.

1 aber mehr lakonische Definition: Die Sequenz ist eine auf dem Set definierte Funktion natürliche Zahlen. Zum Beispiel hat die Reihenfolge der gültigen Nummern eine F: n-Funktion! R.

Die Standardsequenz gilt als endlos, das heißt, das unendlich viele Zahlen enthält. Aber niemand stört, den endgültigen Sequenzen zu berücksichtigen; Eigentlich kann jeder endliche Satz von Zahlen als endgültige Reihenfolge bezeichnet werden. Zum Beispiel die endgültige Reihenfolge 1; 2; 3; vier; 5 besteht aus fünf Zahlen.

Formel des N-TH-Mitglieds des arithmetischen Fortschreitens

Es ist leicht zu verstehen, dass der arithmetische Fortschritt vollständig durch zwei Zahlen bestimmt wird: das erste Mitglied und den Unterschied. Daher stellt sich die Frage: Wie, der erster Begriff und der Unterschied kennt, finden Sie ein willkürliches Mitglied des arithmetischen Fortschreitens?

Holen Sie sich die gewünschte Formel des n-th-Mitglieds des arithmetischen Fortschreitens nicht schwierig. Lass ein.

arithmetischer Fortschritt mit einem Unterschied d. Wir haben:
aN + 1 \u003d AN + D (N \u003d 1; 2; :: :):
Insbesondere schreiben wir:
a2 \u003d A1 + D;
a3 \u003d A2 + D \u003d (A1 + D) + D \u003d A1 + 2D;
a4 \u003d A3 + D \u003d (A1 + 2D) + D \u003d A1 + 3D;
und jetzt wird klar, dass die Formel für ein Form hat:
aN \u003d A1 + (N 1) D:

Aufgabe 1. In der arithmetischen Progression 2; fünf; acht; elf; :::: Finden Sie die Formel des N-TH-Mitglieds und berechnen Sie das Hundertste Mitglied.

Entscheidung. Laut der Formel (1) haben wir:

aN \u003d 2 + 3 (N 1) \u003d 3N 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Eigentum und Zeichen des arithmetischen Fortschreitens

Eigentum des arithmetischen Fortschreitens. Im arithmetischen Fortschritt eines für jeden

Mit anderen Worten, jedes Mitglied des arithmetischen Fortschreitens (ausgehend von der zweiten) ist ein mittlere arithmetische benachbarte Elemente.

	Beweise. Wir haben:
	a n 1 + a n + 1		(Ein d) + (AN + D)

was war erforderlich

Mehr normalerweise, für arithmetische Progression ist eine Gleichstellung fair

a n \u003d a n k + a n + k

mit jedem n\u003e 2 und einem natürlichen k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Es stellt sich heraus, dass die Formel (2) nicht nur erforderlich ist, sondern auch ausreichend, sondern auch ausreichend Zustand, dass die Sequenz arithmetisch ist.

Zeichen des arithmetischen Fortschreitens. Wenn für alle N\u003e 2 keine Gleichheit (2) durchgeführt wird, ist die Sequenz ein arithmetischer Fortschritt.

Beweise. Wir schreiben die Formel (2) wie folgt um:

a n a n 1 \u003d a n + 1a n:

Es ist ersichtlich, dass der Unterschied von + 1 ein nicht von n abhängt, und dies ist nur das, was bedeutet, dass die Sequenz ein arithmetisches Fortschritt ist.

Das Eigentum und das Anzeichen von arithmetischer Fortschritte können in Form einer Anweisung formuliert werden; Wir machen es für die Komfort für drei Zahlen (diese Situation wird häufig in Aufgaben gefunden).

Charakterisierung des arithmetischen Fortschreitens. Drei Zahlen A, B, C bilden dann einen arithmetischen Fortschritt und nur wenn 2B \u003d A + c.

Aufgabe 2. (MSU, Escu. Ft, 2007) Drei Zahlen 8x, 3 x2 und 4 in der angegebenen Prozedur bilden einen abnehmenden arithmetischen Fortschritt. Finden Sie x und geben Sie den Unterschied dieses Fortschreitens an.

Entscheidung. Durch die Eigenschaft des arithmetischen Fortschreitens haben wir:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Wenn x \u003d 1 ist, dann wird das abnehmende Verlauf von 8, 2, 4 mit einer Differenz von 6 erhalten, wenn x \u003d 5, dann wird ein zunehmender Verlauf 40, 22, 4 erhalten; Dieser Fall ist nicht geeignet.

Antwort: x \u003d 1, der Unterschied ist gleich 6.

Die Summe der ersten n Mitglieder des arithmetischen Fortschritts

Die Legende sagt, dass der Lehrer eines Tages den Kindern bestellte, die Summe der Zahlen von 1 bis 100 zu finden und ruhig die Zeitung zu lesen. Ein paar Minuten vergingen jedoch nicht, da ein Junge sagte, er hat die Aufgabe entschieden. Es war ein 9-jähriger Carl Friedrich Gauß, anschließend einer der größten Mathematiker in der Geschichte.

Die Idee eines kleinen Gaußs war wie folgt. Lassen

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Wir schreiben diesen Betrag in umgekehrter Reihenfolge:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

und lag zwei dieser Formeln:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Jeder Begriff in Klammern ist gleich 101 und alle derartigen Begriffe 100. Deshalb

2s \u003d 101 100 \u003d 10100;

Wir verwenden diese Idee für die Leistung der Summe der Menge.

S \u003d A1 + A2 + ::: + + A n n: (3)

Die nützliche Modifikation der Formel (3) wird erhalten, wenn sie die Formel des N-ten-Elements an \u003d A1 + (N 1) d ersetzen

		2A1 + (n 1) d

Aufgabe 3. Finden Sie die Summe aller positiven dreistelligen Nummern, die durch 13 geteilt werden.

Entscheidung. Dreistellige Zahlen, mehrere 13, bilden einen arithmetischen Fortschritt mit dem ersten Element 104 und der Differenz zwischen 13; Das n-th-Mitglied dieses Fortschritts ist:

aN \u003d 104 + 13 (N 1) \u003d 91 + 13N:

Finden Sie heraus, wie viele Mitglieder unser Fortschritt enthält. Um dies zu tun, lösen Sie Ungleichheit:

ein 6 999; 91 + 13N 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; N 6 69:

Also, in unserem Fortschritt von 69 Mitgliedern. Mit der Formel (4) finden wir den gesuchten Betrag:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

Setzen Sie sich also auf und schreiben Sie an, beliebige Zahlen zu schreiben. Beispielsweise:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und sie können trotzdem (in unserem Fall) sein können. Wie viele Zahlen, die wir nicht geschrieben haben, können wir immer sagen, welcher von ihnen der zweite ist, und so weiter bis zum letzten, das heißt, wir können sie taub. Dies ist ein Beispiel für eine numerische Reihenfolge:

Nummersequenz
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Reihe von Sequenzen charakteristisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekundenzahlen in der Reihenfolge. Die zweite Zahl (als Zahl) ist immer eins.
Die Nummer mit der Nummer wird als Mitglied der Sequenz bezeichnet.

Wir nennen normalerweise alle Sequenz (zum Beispiel), und jedes Element dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Anzahl dieses Elements entspricht :.

In unserem Fall:

Angenommen, wir haben es nummersequenzin dem der Unterschied zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Beispielsweise:

usw.
Eine solche numerische Sequenz wird als arithmetischer Fortschritt bezeichnet.
Der Begriff "Progression" wurde vom römischen Autor von Boeziem im 6. Jahrhundert eingeführt und wurde in einem breiteren Sinne als unendlicher numerischer Sequenz verstanden. Der Name "Arithmetik" wurde von der Theorie der kontinuierlichen Proportionen übertragen, die in den alten Griechen tätig waren.

Dies ist eine numerische Sequenz, von denen jedes Element gleich dem vorherigen ist, der mit der gleichen Nummer gefaltet ist. Diese Zahl wird als Unterschied im arithmetischen Fortschritt bezeichnet und ist angegeben.

Versuchen Sie, zu ermitteln, welche numerischen Sequenzen arithmetische Fortschritte sind und nicht:

ein)
b)
c)
d)

Herausgefunden? Vergleichen Sie unsere Antworten:
Ist ein Arithmetischer Fortschritt - B, c.
Ist nicht Arithmetische Progression - A, d.

Gehen wir zurück zu einem bestimmten Progression () und versuchen Sie, die Bedeutung davon zu finden - ein Mitglied. Existiert. zwei Wie finde ich es?

1. Methode.

Wir können den vorherigen Wert der Anzahl der Progression hinzufügen, bis wir vor dem Fortschreiten des Fortschreitens tun. Es ist gut, dass wir etwas links zusammenfassen müssen - nur drei Bedeutungen:

So ist ein Mitglied des beschriebenen arithmetischen Fortschreitens gleich.

2. Methode.

Und was ist, wenn wir die Bedeutung eines Fortschrittsmitglieds finden müssen? Die Summation würde nicht eine Stunde mitnehmen, und nicht die Tatsache, dass wir beim Hinzufügen von Zahlen nicht falsch sein würden.
Natürlich kam Mathematik eine Methode auf, in der sie nicht den Unterschied in der arithmetischen Progression auf den vorherigen Wert hinzufügen muss. Schauen Sie sich die gezogene Zeichnung sorgfältig an ... Sicher haben Sie bereits regelmäßige Regelmäßigkeit bemerkt, nämlich:

Lassen Sie uns zum Beispiel sehen, was der Wert eines Mitglieds dieses arithmetischen Fortschreitens ist:

Mit anderen Worten:

Versuchen Sie, auf diese Weise die Bedeutung eines Mitglieds dieses arithmetischen Fortschreitens zu finden.

Berechnet? Vergleichen Sie Ihre Datensätze mit der Antwort:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Nummer wie in der vorherigen Methode haben, wenn wir dem vorherigen Wert der Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens konsequent hinzugefügt wurden.
Versuchen wir, diese Formel zu "erkennen" - wir geben es an generelle Form und bekomme:

Gleichung des arithmetischen Fortschreitens.

Der arithmetische Fortschritt nimmt zu, und es gibt abnehmend.

Zunehmend. - Fortschritte, in denen jeder nachfolgende Wert von Mitgliedern mehr als der vorherige ist.
Beispielsweise:

Absteigend - Fortschritte, in denen jeder nachfolgende Wert von Mitgliedern weniger als der vorherige ist.
Beispielsweise:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung der Mitglieder sowohl in zunehmendem und abnehmenden Mitgliedern des arithmetischen Fortschreitens angelegt.
Überprüfen Sie es in der Praxis.
Wir erhalten einen arithmetischen Fortschritt, bestehend aus den folgenden Zahlen: Überprüfen Sie, was die Anzahl dieser arithmetischen Fortschritte ist, wenn Sie bei der Berechnung unserer Formel verwenden:

Seit damals:

So haben wir sichergestellt, dass die Formel sowohl in der absteigenden als auch in der zunehmenden arithmetischen Progression wirkt.
Versuchen Sie, meine eigenen Mitglieder dieses arithmetischen Fortschreitens zu finden.

Vergleichen Sie die erhaltenen Ergebnisse:

Eigentum des arithmetischen Fortschreitens

Füllen Sie die Aufgabe ab - ziehen Sie das Eigentum des arithmetischen Fortschreitens ab.
Angenommen, wir erhalten eine solche Bedingung:
- Arithmetic Progression, Finden Sie einen Wert.
Einfach, Sie werden sagen, und Sie werden anfangen, die bereits bekannte Formel zu berücksichtigen:

Lass, und dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, wir finden es zuerst und fügen sie dann der ersten Nummer hinzu und erhalten Sie das gewünschte. Wenn der Fortschritt durch kleine Werte dargestellt wird, ist dabei nichts kompliziert, und wenn die Nummer uns gegeben wird? Es ist einverstanden, es besteht die Möglichkeit, einen Fehler in Berechnungen zu erzielen.
Und nun denken, ist es möglich, dieses Problem in einer Aktion mit einer beliebigen Formel zu lösen? Natürlich ja, und es ist ihr, dass wir es jetzt versuchen werden, es jetzt zu bringen.

Wir bezeichnen das gewünschte Mitglied der arithmetischen Progression, da die Formel für seinen Standort uns bekannt ist - dies ist die von uns abgeleitete Formel:
, dann:

vorbegriffe Progression ist:
nachfolgendes Mitglied des Progression Das ist:

Wir fassen die vorherigen und anschließenden Mitglieder des Fortschritts zusammen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und anschließenden Mitglieder des Fortschritts der doppelte Wert eines Mitglieds des Fortschreitens ist, der zwischen ihnen liegt. Mit anderen Worten, um den Wert eines Fortschrittsmitglieds mit den bekannten vorherigen und aufeinanderfolgenden Werten zu finden, muss sie sie hinzufügen und geteilt durch.

Das stimmt, wir haben die gleiche Nummer. Das Material befestigen. Berechnen Sie den Wert für das Fortschritt selbst, denn es ist ziemlich einfach.

Gut gemacht! Sie kennen fast alles über den Fortschritt! Es blieb, nur eine Formel herauszufinden, die auf den Legenden ohne Schwierigkeiten einen der größten Mathematiker aller Zeiten führte, "König der Mathematiker" - Karl Gauß ...

Als Carl Gausu 9 Jahre alt war, stellte ein Lehrer, der mit den Werken anderer Klassen arbeitet, die folgende Aufgabe an der Lektion bat: "Zählen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von bis (von anderen Quellen) inklusive." Was war die Überraschung des Lehrers, als einer seiner Schüler (dies Karl Gauß) in einer Minute die richtige Antwort auf den Set-Set gab, während die meisten der Mozelchka-Klassenkameraden nach langer Berechnung das falsche Ergebnis erhielt ...

Junge Karl Gauss bemerkte regelmäßige Regelmäßigkeit, die Sie leicht bemerken können.
Angenommen, wir haben einen arithmetischen Fortschritt, bestehend aus einem Mitglied: Wir müssen den Betrag dieser Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens finden. Natürlich können wir alle Werte manuell zusammenfassen, aber was zu tun ist, wenn es in der Aufgabe notwendig ist, den Betrag ihrer Mitglieder zu finden, wie suchte es nach Gauß?

Ich werde das von uns gegebene Fortschritt darstellen. Schauen Sie sich sorgfältig auf die dedizierten Zahlen und versuchen Sie, verschiedene mathematische Aktionen mit ihnen herzustellen.

Versucht? Was haben Sie bemerkt? Recht! Ihre Summen sind gleich

Und jetzt antworten Sie, wie viel sind solche Paare im Fortschritt in den USA? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen, das ist.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe von zwei Mitgliedern des arithmetischen Fortschreitens gleich und solche gleichen Paare gleich ist, verstehen wir, dass der Gesamtbetrag ist:
.
Somit wird die Formel für die Summe der ersten Mitglieder eines beliebigen arithmetischen Fortschritts so sein:

In einigen Aufgaben sind wir uns unbekannt, aber der Unterschied in der Progression ist bekannt. Versuchen Sie, die Zusammenfassungsformel, eine Mitgliedsformel, zu ersetzen.
Was hast du gemacht?

Gut gemacht! Jetzt kehren wir zu der Aufgabe zurück, dass Karl Gauss eingestellt wurde: unabhängig voneinander gezählt, was der Anzahl der Zahlen entspricht, die von -GO von -GO und der Anzahl der Zahl von -Go reicht.

Wie viel hast du getan?
Gauß stellte sich heraus, dass die Höhe der Mitglieder gleich ist, und die Höhe der Mitglieder. Hast du gelöst?

Tatsächlich wurde die Formel der Summe der Mitglieder des arithmetischen Fortschritts von dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophanta im 3. Jahrhundert nachgewiesen, und während dieser Zeit verwendeten witzige Menschen mit den Eigenschaften des arithmetischen Fortschreitens.
Stellen Sie sich beispielsweise vor Antikes Ägypten Und der größte Bau der Zeit - der Bau der Pyramide ... Die Figur zeigt eine Seite.

Wo sagen Sie mir das Fortschreiten? Schauen Sie sich sorgfältig an und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Wand der Pyramide.

Was ist kein arithmetischer Fortschritt? Berechnen Sie, wie viel Blöcke für den Bau einer Wand erforderlich sind, wenn Blockziegelsteine \u200b\u200bin der Basis platziert sind. Ich hoffe, Sie werden nicht zählen, wenn Sie Ihren Finger über den Monitor führen, Sie erinnern an die letzte Formel und alles, was wir über den arithmetischen Fortschritt gesprochen haben?

In diesem Fall ist der Fortschritt wie folgt :.
Der Unterschied des arithmetischen Fortschreitens.
Anzahl der Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens.
Wir ersetzen unsere Daten in den letzten Formeln (wir berechnen die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt ist es möglich, auf dem Monitor zu berechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Zwischengespeichert? Gut gemacht, haben Sie die Summe des arithmetischen arithmetischen Fortschreitens beherrscht.
Natürlich wird von den Blöcken am Ende der Pyramide nicht bauen, aber von? Versuchen Sie, zu berechnen, wie viele Sandsteine \u200b\u200bbenötigt werden, um mit einem solchen Zustand eine Wand zu bauen.
Umgehen?
Die richtige Antwort - Blocks:

Trainieren

Aufgaben:

Masha kommt bis zum Sommer in Form. Jeden Tag erhöht es die Anzahl der Kniebeugen. Wie oft wird Masha nach Wochen angenäht, wenn sie in der ersten Trainingseinheit Kniebeugen gemacht hat.
Was ist die Summe aller ungeraden Anzahl, die in enthalten sind.
Lumberboards beim Speichern von Protokollen werden so gestapelt, dass jede obere Schicht ein Protokoll weniger als den vorherigen enthält. Wie viele Protokolle in einem Mauerwerk sind, wenn die Basis des Mauerwerks Protokolle dient.

Antworten:

Wir definieren die Parameter des arithmetischen Fortschreitens. In diesem Fall
(Wochen \u003d Tage).
Antworten:Zwei Wochen muss Masha einmal am Tag hocken.
Die erste ungerade Anzahl, die letzte Zahl.
Der Unterschied des arithmetischen Fortschreitens.
Die Anzahl der ungeraden Zahlen in - Hälfte prüft diese Tatsache jedoch mit der Formel des Zinsnutzers des arithmetischen Fortschreitens:
Zahlen enthalten wirklich ungerade Zahlen.
Die verfügbaren Daten, um in der Formel zu ersetzen:
Antworten:Die Summe aller ungeraden Anzahl, die in enthalten sind, ist gleich.
Erinnern Sie sich an die Aufgabe über die Pyramide. Für unseren Fall A, da jede Deckschicht auf einem Protokoll abnimmt, dann in nur einem Bündel von Schichten, das ist.
Ersatzdaten in der Formel:
Antworten:Im Mauerwerk sind Protokolle.

Lass uns zusammenfassen

- Zahlensequenz, in der der Unterschied zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es kommt zufällig zu wachsen und abzunehmen.
Formel-Aufenthalt "Ein Mitglied des arithmetischen Fortschreitens wird von der Formel aufgenommen, wobei - die Anzahl der Zahlen im Progression.
Eigentum der Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens - - wo - die Anzahl der Zahlen im Progression.
Die Summe der Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens Kann auf zwei Arten gefunden werden:

wo - die Anzahl der Werte.

Arithmetische Fortschritte. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Nummersequenz

Setzen wir uns auf und fangen an, beliebige Zahlen zu schreiben. Beispielsweise:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es kann irgendwo vorhanden sein. Aber man kann immer sagen, welcher von ihnen, was ist der zweite und so weiter, das heißt, wir können sie nutzen. Dies ist ein Beispiel für eine numerische Sequenz.

Nummersequenz - Dies ist eine Menge von Zahlen, von denen jedes eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Mit anderen Worten, jede Zahl kann in Übereinstimmung mit einer bestimmten natürlichen Zahl und der einzigen eingehalten werden. Und diese Nummer werden in diesem Set keine andere Nummer angeben.

Die Nummer mit der Nummer wird als Mitglied der Sequenz bezeichnet.

Wir nennen normalerweise alle Sequenz (zum Beispiel), und jedes Element dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Anzahl dieses Elements entspricht :.

Sehr praktisch, wenn ein Mitglied der Sequenz nach einer Formel gefragt werden kann. Zum Beispiel Formel

gibt die Reihenfolge an:

Und die Formel ist eine solche Reihenfolge:

Zum Beispiel ist der arithmetische Progression die Sequenz (der erste Begriff hier ist gleich und der Unterschied). Oder (, Differenz).

Formel N-TH-Mitglied

Wir nennen eine solche Formel, in der wir das bisherige oder höhere Kenntnis erfahren müssen:

Um für eine solche Formel zu finden, zum Beispiel ein Mitglied des Fortschritts, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Zum Beispiel lass. Dann:

Nun, was ist jetzt klar, welche Formel?

In jeder Zeile hinzufügen wir uns mit einer beliebigen Nummer multipliziert. Was? Sehr einfach: Dies ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Jetzt viel bequemer, richtig? Prüfen:

Teilen Sie sich selbst:

Finden Sie im arithmetischen Fortschritt die Formel des N-TH-Mitglieds und finden Sie ein hundertstes Mitglied.

Entscheidung:

Das erste Mitglied ist gleich. Und was ist der Unterschied? Aber was:

(Es ist, weil er als Unterschied genannt wird, der dem Unterschied der aufeinanderfolgenden Mitglieder des Fortschritts entspricht).

So, Formel:

Dann ist ein hundertstes Mitglied:

Was ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Laut der Legende, der große mathematische Karl Gauß, ein 9-jähriger Junge, der diesen Betrag in wenigen Minuten betrachtet. Er stellte fest, dass die Summe der ersten und letzten Zahl gleich der Summe des zweiten und der vorletzten ist - auch die Summe des dritten und 3. von dem Ende ist auch usw. Wie viel kostet solche Paare? Das ist richtig, genau die Hälfte der Anzahl aller Nummern, das ist. So,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Mitglieder eines arithmetischen Fortschreitens wird so sein:

Beispiel:
Finden Sie die Summe aller zweistelligen Zahlen, mehrfachen.

Entscheidung:

Die erste solche Nummer ist. Jeder Weiter wird durch Hinzufügen der vorherigen Nummer erhalten. Somit interessieren sich die Zahlen, die Sie an einem arithmetischen Fortschritt mit dem ersten Mitglied und dem Unterschied interessieren.

Formel -Go-Mitglied für diesen Fortschritt:

Wie viele Mitglieder im Progression, wenn sie alle zweistellig sein sollten?

Sehr leicht: .

Das letzte Mitglied des Fortschritts ist gleich. Dann die Summe:

Antworten:.

Jetzt werde ich entscheiden:

Jeden Tag läuft ein Athlet größer als der Vortag. Wie viele ganzen Kilometer läuft es für eine Woche, wenn er am ersten Tag km m m rannte?
Der Radfahrer fährt jeden Tag mehr als in der vorherigen Km. Am ersten Tag fuhr er Kilometer. Wie viele Tage muss er KM überwinden? Wie viele Kilometer werden er den letzten Tag des Weges übergehen?
Der Preis des Kühlschranks im Geschäft nimmt jährlich auf den gleichen Betrag ab. Bestimmen Sie, wie viel der Preis des Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn, wenn der Verkauf von Rubel ausgesetzt ist, sechs Jahre lang für Rubel verkauft wurden.

Antworten:

Hier ist das Wichtigste, den arithmetischen Fortschritt zu erkennen und seine Parameter zu ermitteln. In diesem Fall (Wochen \u003d Tage). Es ist notwendig, den Betrag der ersten Mitglieder dieses Fortschreitens zu ermitteln:
.
Antworten:
Hier wird gegeben:, Sie müssen finden.
Natürlich müssen Sie dieselbe zusammenfassende Formel wie in der vorherigen Aufgabe verwenden:
.
Wir ersetzen die Werte:
Die Wurzel ist offensichtlich nicht geeignet, es bedeutet, dass die Antwort.
Berechnen Sie den Weg, der über den letzten Tag mit Hilfe einer Mitgliedsformel verabschiedet wurde:
(km).
Antworten:
Dano: Finden: .
Es passiert nicht:
(reiben).
Antworten:

Arithmetische Fortschritte. Kurz über die Hauptsache

Dies ist eine numerische Sequenz, in der der Unterschied zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Die arithmetische Progression erhöht () und sinkt ().

Beispielsweise:

Formel, ein N-Bous-Mitglied des arithmetischen Fortschreitens zu finden

es wird von der Formel geschrieben, wobei - die Anzahl der Zahlen im Progression.

Eigentum der Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens

Es macht es leicht, ein Mitglied des Fortschritts zu finden, wenn seine benachbarten Mitglieder bekannt sind - wo - die Anzahl der Zahlen im Progression.

Anzahl der Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Betrag zu finden:

Wo - die Anzahl der Werte.

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