Kaka finde den Unterschied im arithmetischen Fortschritt. So finden Sie den Unterschied in der arithmetischen Fortschreitung: Formeln und Lösungsbeispiele

Ja, ja: arithmetic progression ist nicht spielzeug you :)

Nun, Freunde, wenn Sie diesen Text lesen, sagt mir die innere Kappe offensichtlich, dass Sie immer noch nicht wissen, was der arithmetische Fortschritt ist, aber sehr (nein, so: oooooo!) Möchten Sie es wissen. Daher werde ich Ihnen keinen langen Beitritt quälen und sofort in den Fall gehen.

Für ein paar Beispiele. Betrachten Sie mehrere Zahlensätze:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \\ Sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Was ist für all diese Sets üblich? Auf den ersten Blick - nichts. Aber eigentlich ist etwas. Nämlich: jedes nächste Element unterscheidet sich von der vorherigen und derselben Nummer..

Urteile selbst. Das erste Set läuft lediglich in eine Reihe der Zahl, jeder neben anderen ist größer als der vorherige. Im zweiten Fall ist der Unterschied zwischen der nahe gelegenen Anzahl von Nummern bereits fünf, aber dieser Unterschied ist noch konstant. Im dritten Fall, im Allgemeinen Wurzeln. $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ und $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, d. H. In diesem Fall erhöht jedes nächste Element nur $ \\ sqrt (2) $ $ (und lässt ihn nicht erschrecken, dass diese Zahl irrational ist).

Also: Alle solchen Sequenzen werden gerade als arithmetische Fortschritte bezeichnet. Lassen Sie uns eine strikte Definition geben:

Definition. Die Reihenfolge der Zahlen, in der sich alle nächsten Merkmale von dem vorherigen und demselben Wert unterscheiden, wird als arithmetischer Fortschritt bezeichnet. Die Größe der Zahl ist unterschiedlich, wird der Unterschied in der Progression genannt und am häufigsten durch den Buchstaben $ D $ angezeigt.

Bezeichnung: $ \\ Left (((a) _ (n)) \\ rechts) $ - Progression selbst, $ D $ ist der Unterschied.

Und sofort ein paar wichtige Kommentare. Erstens wird der Fortschritt nur berücksichtigt ordentlich Die Reihenfolge der Zahlen: Sie dürfen streng in der Reihenfolge lesen, in der sie aufgenommen werden - und in irgendeiner Weise. Es ist unmöglich, die Anzahl der Zahlen neu anzuordnen und zu ändern.

Zweitens kann die Sequenz selbst sowohl endlich als auch endlos sein. Beispielsweise ist der Satz (1; 2; 3) offensichtlich der endgültige arithmetische Fortschritt. Aber wenn Sie etwas in den Geist schreiben (1; 2; 3; 4; ...) - Dies ist ein unendlicher Fortschritt. Nach dem vierten, nach dem vierten, wie es war, deuten es hin, dann gibt es noch ziemlich einige Zahlen. Zum Beispiel unendlich viel. :)

Ich möchte auch, dass der Fortschritt zunehmend und abnehmend ist. Wir haben bereits den zunehmenden - demselben Satz gesehen (1; 2; 3; 4; ...). Beispiele für absteigende Fortschritte:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \\ Sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

OK OK: letztes Beispiel Es mag zu kompliziert erscheinen. Aber der Rest, ich denke, du bist verständlich. Daher führen wir neue Definitionen ein:

Definition. Arithmetische Fortschritte. namens:

erhöhen, wenn jedes nächste Element größer ist als der vorherige;

wenn im Gegenteil absteigend ist, ist jedes nachfolgende Element weniger als der vorherige.

Darüber hinaus gibt es sogenannte "stationäre" Sequenzen - sie bestehen aus derselben wiederkehrenden Nummer. Beispielsweise (3; 3; 3; ...).

Es gibt nur eine Frage: Wie man ein zunehmendes Fortschritt aus dem Abnehmen unterscheidet? Glücklicherweise hängt alles von dem an, was das Zeichen der Zahl $ D $ ist, d. H. Progressionsunterschied:

Wenn $ d \\ gt 0 $, dann erhöht sich das Progression;
Wenn $ d \\ lt 0 $, dann ist das Fortschritt offensichtlich abnehmend;
Schließlich gibt es einen Fall von $ d \u003d 0 $ - in diesem Fall wird der gesamte Fortschritt auf die stationäre Sequenz derselben Nummern reduziert: (1; 1; 1; 1; ...) usw.

Versuchen wir, den Unterschied von $ D $ für drei abnehmende Fortschrittsfortschritte zu berechnen. Dazu reicht es aus, dass es zwei benachbarte Elemente (zum Beispiel den ersten und den zweiten) anzunehmen, und subtrahieren aus dem rechten, den Zahlenelementen. Es wird so aussehen:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \\ Sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Wie Sie sehen, stellte sich in allen drei Fällen der Unterschied wirklich als negativ heraus. Und jetzt, wenn wir die Definitionen mehr oder weniger herausfinden, ist es Zeit, damit umzugehen, wie das Fortschritt beschrieben wird und welche Eigenschaften sie haben.

Progression und wiederkehrende Formel

Da die Elemente unserer Sequenzen nicht an Orten geändert werden können, können sie nummeriert werden:

\\ [\\ links (((((a) _ (n)) \\ rechts) \u003d \\ link \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ RECHT \\) \\]

Separate Elemente dieses Sets werden als Progressionsmitglieder bezeichnet. Sie zeigen sie mit Hilfe der Nummer an: den ersten Schwanz, der zweite Begriff usw.

Da wir bereits wissen, sind benachbarte Mitglieder des Fortschritts mit der Formel verbunden:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n - 1)) \u003d d \\ righarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + d \\]

Kurz gesagt, um ein $ N $ -D-Mitglied des Fortschritts zu finden, müssen Sie $ N-1 $ -Th-Mitglied und die Differenz $ D $ wissen. Eine solche Formel wird als wiederkehrend bezeichnet, da er verwendet werden kann, um eine beliebige Nummer zu finden, die nur den vorherigen Kenntnis (und in der Tat - alle vorherigen) kennen. Es ist sehr unpraktisch, daher gibt es eine listere Formel, die alle Berechnungen an das erste Mitglied und den Unterschied reduziert:

\\ [((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ links (n-1 \\ rechts) d \\]

Sicher haben Sie bereits mit dieser Formel getroffen. Sie liebt es, in allen Verzeichnissen und in Reshebnikh zu geben. Ja, und in jedem erläuternden Lehrbuch auf Mathematik geht sie zu einem der ersten.

Trotzdem schlage ich eine kleine Belastung vor.

Aufgabe Nummer 1. Stellen Sie sicher, dass die ersten drei Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens von $ \\ links (((a) _ (n)) \\ rechts) $, falls $ (a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Entscheidung. Wir kennen also den ersten Begriff $ ((a) _ (1)) \u003d 8 $ und den Unterschied im Fortschritt von $ d \u003d -5 $. Wir verwenden nur die resultierende Formel und ersetzen $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ und $ n \u003d $ 3:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ links (n-1 \\ rechts) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ links (1-1 \\ rechts) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ links (2-1 \\ rechts) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ links (3-1 \\ rechts) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (richten) \\]

Antwort: (8; 3; -2)

Das ist alles! Bitte beachten Sie: Unser Fortschritt ist absteigend.

Natürlich konnten $ n \u003d 1 $ nicht ersetzt werden - das erste Mitglied, das wir auch bekannt sind. Ersetzt das Gerät jedoch überzeugt, dass unsere Formel auch für das erste Mitglied zusammenarbeiten. In anderen Fällen wurde alles zur Banal-Arithmetik gebracht.

Task Nummer 2. Schreiben Sie die ersten drei Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens, wenn das siebte Mitglied -40 -40 ist, und das siebzehnte Mitglied ist -50.

Entscheidung. Wir schreiben den Zustand der Aufgabe in den üblichen Bedingungen:

\\ [((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ Quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ linke \\ (\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\\\ ende (richten) \\ right. \\]

\\ [\\ linke \\ (\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ \\ ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (ausrichten) \\ Recht. \\]

Ich habe das Systemzeichen eingestellt, da diese Anforderungen gleichzeitig durchgeführt werden sollen. Und jetzt notieren wir, wenn der erste, der die erste Gleichung abzieht (wir haben das Recht, dies zu tun, weil wir ein System haben), bekommen wir folgendes:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ links ((((a) _ (1)) + 6d \\ rechts) \u003d - 50- \\ links (-40 \\ rechts); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (richten) \\]

Das ist so einfach, dass wir den Unterschied in der Progression gefunden haben! Es bleibt, die gefundene Nummer an einem der Systemgleichungen zu ersetzen. Zum Beispiel in der ersten:

\\ [\\ beginnend (matrix) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ Quad d \u003d -1 \\\\ \\ DownArrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ ende (matrix) \\]

Wenn Sie das erste Mitglied und den Unterschied kennen, bleibt es, den zweiten und den dritten Schwanz zu finden:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (richten) \\]

Bereit! Die Aufgabe ist gelöst.

Antwort: (-34; -35; -36)

Achten Sie auf das neugierige Eigentum des Fortschritts, den wir gefunden haben: Wenn Sie $ N $ und $ M $ -Y -Y-Mitglieder mitnehmen und sie voneinander subtrahieren, werden wir den Unterschied in der Progression erhalten, multipliziert um $ N-M $

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ links (n-m \\ rechts) \\]

Einfach aber sehr nützliches EigentumDass Sie wissen müssen - damit können Sie die Lösung vieler Probleme mit vielen Problemen erheblich beschleunigen. Hier ist ein helles Beispiel:

Task Nummer 3. Der fünfte Laufzeit der arithmetischen Progression beträgt 8,4, und sein zehntes Mitglied ist 14,4. Finden Sie ein fünfzehnte Mitglied dieses Fortschreitens.

Entscheidung. Seit $ (a) _ (5)) \u003d 8,4 $, $ ((a) _ (10)) \u003d 14,4 $, und Sie müssen $ ((a) _ (15)) $ gefunden, dann Hinweis folgen:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (richten) \\]

Aber nach Zustand $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, daher $ 5d \u003d 6 $, von wo wir haben:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (richten) \\]

Antwort: 20.4.

Das ist alles! Wir mussten keine Art von Gleichungen sein und das erste Mitglied und den Unterschied in Betracht ziehen - alles entschied sich buchstäblich in ein paar Linien.

Betrachten Sie nun eine andere Art von Aufgabe, um negative und positive Mitglieder des Fortschritts zu finden. Es ist kein Geheimnis, dass, wenn der Fortschreiten mit ihrem ersten Mitglied ihres Negativs zunimmt, früher oder später positive Mitglieder geben wird. Fast: Mitglieder des Verringerung des Fortschreitens früher oder später werden negativ.

Gleichzeitig ist es nicht immer möglich, diesen Moment "in der Stirn" hinzuzufügen, indem sie sequentiell durch die Elemente drehen. Oft sind die Aufgaben so konzipiert, dass es mehrere Blätter geben würde, ohne die Formeln zu kennen - wir würden einfach einschlafen, während sie die Antwort gefunden haben. Versuchen wir daher, diese Aufgaben schneller zu lösen.

Task Nummer 4. Wie viele negative Mitglieder im arithmetischen Fortschritt beträgt -38,5; -35,8; ...?

Entscheidung. $ $ (A) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((a) _ (2)) \u003d - 35,8.8 $, wo wir sofort einen Unterschied finden:

Beachten Sie, dass der Unterschied positiv ist, daher steigt der Fortschritt an. Das erste Mitglied ist negativ, so dass wir irgendwann die positiven Zahlen behindern. Die einzige Frage ist, wenn es passiert.

Versuchen wir, herauszufinden: Wie lange (d. H. Zu was natürliche Zahl $ n $) bewahrt die Negativität der Mitglieder:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ righarrow ((a) _ (1)) + \\ links (n-1 \\ rechts) d \\ lt 0; \\\\ & -38,5+ \\ links (n-1 \\ rechts) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ Quad \\ Links | \\ CDOT 10 \\ RECHTS. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ linke (n-1 \\ rechts) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27N-27 \\ lt 0; \\\\ & 27N \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (richten) \\]

Die letzte Zeile erfordert Erklärung. Wir wissen also, dass $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $ $. Andererseits simulieren wir nur die Integer-Werte der Nummer (mehr als: $ n \\ in \\ mathbb (n) $), sodass die größte zulässige Anzahl genau $ n \u003d $ 15 ist, und in keinem Fall 16

Task Nummer 5. Im arithmetischen Fortschritt von $ (() _ (5)) \u003d - 150 (() _ (6)) \u003d - 147 $. Finden Sie das erste positive Mitglied dieses Fortschreitens.

Es wäre genau die gleiche Aufgabe wie der vorherige, wir wissen jedoch nicht $ ((a) _ (1)) $. Die benachbarten Mitglieder sind jedoch bekannt: $ ((a) _ (5)) $ und $ (a) _ (6)) $, so dass wir leicht den Unterschied in der Progression finden:

Versuchen wir außerdem, den fünften Schwanz durch den ersten und den Unterschied gemäß der Standardformel auszudrücken:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ links (n-1 \\ rechts) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d (a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (richten) \\]

Jetzt machen wir analog mit der vorherigen Aufgabe. Wir erfahren, in welchem \u200b\u200bPunkt in unserer Sequenz positive Zahlen haben wird:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ links (n-1 \\ rechts) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3N \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Righgarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (richten) \\]

Die minimale Ganzzahllösung dieser Ungleichung ist die Zahl 56.

Bitte beachten Sie: In der letzten Aufgabe wurde alles auf strikte Ungleichheit aufgehellt, sodass die Option $ n \u003d $ 55 nicht zu uns passt.

Wenn wir jetzt gelernt haben, um einfache Aufgaben zu lösen, wenden wir uns komplexer an. Aber zuerst untersuchen wir ein weiteres sehr nützliches Eigentum von arithmetischen Fortschritts, der in der Zukunft uns ein paar Zeit und ungleiche Zellen retten wird. :)

Durchschnittliche arithmetische und gleiche Einrückungen

Betrachten Sie mehrere aufeinanderfolgende Mitglieder der zunehmenden arithmetischen Progression von $ \\ Left (((a) _ (n)) \\ Right) $. Versuchen wir, sie auf einer numerischen Gerade zu markieren:

Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens auf einer numerischen direkten

Ich habe ausdrücklich willkürliche Mitglieder $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, und nicht etwas $ (a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ usw. Denn die Regel, die ich jetzt erzähle, funktioniert es gleichermaßen für alle "Segmente".

Und die Regel ist sehr einfach. Erinnern wir uns an die Rezidivformel und schreibe es an alle markierten Mitglieder:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (richten) \\]

Diese Gleichungen können jedoch anders umgeschrieben werden:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3D; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3D; \\\\ \\ end (richten) \\]

Na so was? Und die Tatsache, dass Mitglieder $ ((a) _ (n - 1)) $ und $ ((a) _ (n + 1)) $ in derselben Entfernung von $ ((a) _ (n)) $ liegen. Und diese Entfernung beträgt $ D $. Dasselbe kann über die Mitglieder von $ ((a) _ (n - 2)) $ und $ (a) _ (n + 2)) $ ((a) _ (n + 2)) $ - sie werden auch von $ (a) _ (n )) $ Auf der gleichen Entfernung, gleich 2D $. Sie können weiterhin unendlich sein, aber der Punkt ist durch das Bild gut illustriert

Die Progressionsmitglieder liegen in der gleichen Entfernung vom Zentrum

Was bedeutet das für uns? Dies bedeutet, dass Sie $ ((a) _ (n)) $ finden, wenn die Nachbarn bekannt sind:

\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - 1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Wir haben große Genehmigung mitgebracht: Jedes Mitglied des arithmetischen Fortschreitens entspricht den durchschnittlichen arithmetischen benachbarten Mitgliedern! Darüber hinaus: Wir können uns von unserem $ ((a) _ (n)) $ link und rechts nicht einen Schritt zurückziehen, und auf $ K $ -E-Schritten - und trotzdem wird die Formel korrekt sein:

\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

Jene. Wir können sicher etwas $ ((a) _ (150)) $ finden, wenn wir $ ((a) _ (100)) $ und $ ((a) _ (200)) $ ((a) _ (200)) $, wegen $ (a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass diese Tatsache uns nichts nützliches gibt. In der Praxis sind jedoch viele Aufgaben speziell "geschärft", um die durchschnittliche Arithmetik zu verwenden. Schau mal:

Aufgabe Nummer 6. Finden Sie alle Werte von $ X $, an der die Zahlen $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ und $ 14 + 4 (((x) ^ (2)) $ sind konsistente Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens (in angegeben).

Entscheidung. Da diese Zahlen Mitglieder des Fortschritts sind, wird der Zustand der durchschnittlichen Arithmetik für sie durchgeführt: Das zentrale Element $ x + 1 $ kann über benachbarte Elemente ausgedrückt werden:

\\ [\\ beginnend (ausrichten) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (richten) \\]

Es stellte sich klassisch heraus quadratische Gleichung. Seine Wurzeln: $ x \u003d 2 $ und $ x \u003d -3 $ - Dies ist die Antworten.

Antwort: -3; 2

Task Nummer 7. Finden Sie den Wert $$, an welchen Zahlen $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ ist ein arithmetischer Fortschritt (in der angegebenen Reihenfolge).

Entscheidung. Wieder drücken wir das durchschnittliche Mitglied durch den arithmetischen Durchschnitt der benachbarten Mitglieder aus:

\\ [\\ beginnend (richten) & 4x-3 \u003d \\ frac (x - 1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ Quad \\ Links | \\ Cdot 2 \\ RECHTS.; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (richten) \\]

Wieder die quadratische Gleichung. Und wieder zwei Wurzeln: $ x \u003d $ 6 und $ x \u003d 1 $.

Antwort 1; 6.

Wenn Sie im Prozess der Lösung des Problems einige brutale Zahlen haben, oder Sie nicht ganz in der Richtigkeit der gefundenen Antworten sind, dh es ist eine wunderbare Technik, sodass Sie überprüfen können: Haben wir die Aufgabe gelöst?

Angenommen, in der Task Nummer 6 haben wir Antworten -3 und 2. So überprüfen Sie, ob diese Antworten korrekt sind? Lassen Sie uns sie einfach im Originalzustand ersetzen und sehen, was passiert. Lassen Sie mich daran erinnern, dass wir drei Zahlen haben ($ -6 ((() ^ (2)) $, $ + 1 $ und $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), die ein arithmetischer Fortschritt sein sollte. Ersetzen Sie $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ beginnend (Richtig) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ ENDE (ALIGN) \\]

Erhaltene Zahlen -54; -2; 50, das sich bei 52 unterscheidet - zweifellos ist dies ein arithmetischer Fortschritt. Dasselbe passiert bei $ x \u003d $ 2:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & x \u003d 2 \\ rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ ENDE (ALIGN) \\]

Nochmals der Fortschritt, sondern mit einem Unterschied 27. Somit wird die Aufgabe wahr gelöst. Diejenigen, die es wünschen, kann die zweite Aufgabe alleine überprüfen, aber ich werde sofort sagen: Alles ist auch dort wahr.

Im Allgemeinen, um die neuesten Aufgaben zu lösen, kamen wir auf einen anderen interessante TatsacheWer muss sich auch erinnern:

Wenn drei Zahlen so sind, dass der zweite durchschnittlich ist arithmetisch zuerst Und letztere, diese Zahlen bilden einen arithmetischen Fortschritt.

In Zukunft wird das Verständnis dieser Erklärung erlauben, die notwendigen Fortschritte buchstäblich "entwerfen", basierend auf dem Zustand des Problems. Aber bevor wir mit einem solchen "Design" umgehen, sollten Sie auf eine andere Tatsache achten, die direkt aus dem bereits berücksichtigten Folgendes folgt.

Gruppierung und Anzahl der Elemente

Kommen wir wieder in die numerische Achse. Wir beachten dort mehrere Mitglieder des Fortschritts, zwischen denen möglicherweise. Es gibt viele andere Mitglieder:

6 Elemente sind auf numerischen Geraden markiert

Versuchen wir, den "linken Schwanz" durch $ ((a) _ (n)) $ und $ D $ auszudrücken, und den "Right Heck" über $ ((a) _ (k)) $ und $ D $. Es ist sehr einfach:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (richten) \\]

Und jetzt beachten wir, dass die folgenden Beträge gleich sind:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d s; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + (a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2D \u003d S. \\ ENDE (ALIGN) \\]

Legen Sie einfach ein, wenn wir die zwei Elemente des Progression als Start in Betracht ziehen, der in der Menge in Höhe von jeder Anzahl von $ S $ ist, und dann mit dem Gehen von diesen Gegenständen in den gegenüberliegenden Seiten (in Richtung einander oder umgekehrt für das Löschen), dann die Mengen an Elementen, die wir stolpern, sind ebenfalls gleich $ S $. Am deutlichsten kann grafisch dargestellt werden:

Die gleichen Einrückungen geben gleichwertige Beträge.

Verstehen dieser Tatsache Lassen Sie uns die Aufgaben eines grundsätzlich höheren Komplexitätsniveaus lösen als diejenigen, die wir oben berücksichtigen. Beispielsweise, so:

Task Nummer 8. Bestimmen Sie den Unterschied in der arithmetischen Progression, in dem der erste Begriff 66 ist, und die Arbeit der zweiten und zwölften Mitglieder ist das kleinste möglich.

Entscheidung. Wir schreiben alles, was wir kennen:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ ENDE (ALIGN) \\]

Wir sind also unbekannt den Unterschied beim Fortschreiten von $ D $. Tatsächlich um den Unterschied und wird alle Lösung gebaut, da das Produkt $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ kann wie folgt umschreiben:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ links (66 + d \\ rechts) \\ cdot \\ links (66 + 11d \\ rechts) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ Cdot \\ linke (d + 66 \\ rechts) \\ cdot \\ links (d + 6 \\ rechts). \\ ENDE (ALIGN) \\]

Für diejenigen, die sich im Tank befinden: Ich habe einen allgemeinen Multiplizierer von 11 der zweiten Halterung durchgeführt. Somit ist das gewünschte Produkt eine quadratische Funktion relativ zur Variablen von $ D $. Daher betrachten wir die Funktion $ F \\ Left (d \\ rechts) \u003d 11 \\ links (d + 66 \\ rechts) \\ links (d + 6 \\ rechts) \\ linke (d + 6 \\ rechts) $ - Der Zeitplan wird Parabola-Filialen aufgerufen, weil Wenn Sie die Klammern offenbaren, erhalten wir:

\\ [\\ beginnend (richten) & f \\ links (d \\ rechts) \u003d 11 \\ links (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ rechts) \u003d \\\\ \\ \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ CDOT 72D + 11 \\ CDOT 66 \\ CDOT 6 \\ ENDE (ALIGN) \\]

Wie wir sehen können, ist der Koeffizient mit den leitenden Bedingungen 11 - Dies ist eine positive Zahl, sodass es sich wirklich um Parabola-Zweige handelt:

Zeitplan quadratische Funktion - Parabola
Bitte beachten Sie: Der Mindestwert dieses Parabolas nimmt seinen Scheitelpunkt mit einem Abszisse $ ((d) _ (0)) $. Natürlich können wir diese Abszisse gemäß dem Standardschema berechnen (es gibt eine Formel $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), aber viel wunderbar wird das gewünschte Die Oberseite liegt auf der Achse die Symmetrie der Parabola, daher ist der Punkt $ ((d) _ (0)) $ ((d) _ (0)) $ ist gleich den Wurzeln der Gleichung $ f \\ links (d \\ rechts) \u003d 0 $:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & f \\ linke (d \\ rechts) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ linke (d + 66 \\ rechts) \\ cdot \\ links (d + 6 \\ rechts) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ Quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (richten) \\]

Deshalb habe ich mich nicht wirklich beeilt, die Klammern zu offenbaren: In der ursprünglichen Form waren die Wurzeln sehr und sehr einfach. Folglich ist die Abszisse gleich der durchschnittlichen arithmetischen Zahl -66 und -6:

\\ [((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Was gibt uns eine erkannte Nummer? Damit nimmt die erforderliche Arbeit den kleinsten Wert (wir überwiesen übrigens nicht ((y) _ (\\ min)) $ - es ist nicht von uns erforderlich). Gleichzeitig ist diese Zahl der Unterschied des anfänglichen Fortschreitens, d. H. Wir haben die Antwort gefunden. :)

Antwort: -36.

Aufgabe Nummer 9. Zwischen Zahlen $ - \\ frac (1) (2) $ und $ - \\ frac (1) (6) $ $ Insert drei Zahlen, sodass sie mit diesen Zahlen einen arithmetischen Fortschritt machen.

Entscheidung. Im Wesentlichen müssen wir eine Reihenfolge von fünf Zahlen erstellen, und die erste und letzte Zahl ist bereits bekannt. Bezeichnen Sie die fehlende Anzahl von Variablen $ x $, $ y $ und $ Z $:

\\ [\\ links (((((a) _ (n)) \\ rechts) \u003d \\ link \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ richtig \\ ) \\]

Es sei darauf hingewiesen, dass die Zahl $ y $ ein "Mitte" unserer Sequenz ist - es ist äquidistant und von Zahlen $ x $ und $ Z $, und von Zahlen $ - \\ Frac (1) (2) $ und $ - \\ Frac (1) (6) $. Und wenn von Zahlen $ X $ und $ Z $ in sind, sind wir in dieser Moment Wir können nicht $ y $ bekommen, dann mit den Enden des Fortschritts ist die Situation anders. Wir erinnern uns an den arithmetischen Durchschnitt:

Jetzt, wenn Sie $ Y $ kennen, werden wir die verbleibenden Nummern finden. Beachten Sie, dass $ x $ zwischen den Zahlen $ - \\ FRAC (1) (2) $ liegt und der gefundenen $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $ ist nur gefunden. deshalb

In ähnlicher Weise finden wir die verbleibende Nummer:

Bereit! Wir haben alle drei Zahlen gefunden. Wir schreiben sie als Antwort in der Reihenfolge, in der sie zwischen den Anfangszahlen eingefügt werden müssen.

Antwort: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Tasknummer 10. Setzen Sie zwischen den Zahlen 2 und 42 mehrere Zahlen ein, die zusammen mit diesen Zahlen einen arithmetischen Fortschritt bilden, wenn bekannt ist, dass die Summe der ersten, zweiten und letzten der eingesetzten Nummern 56 beträgt.

Entscheidung. Eine noch schwierigere Aufgabe, die jedoch durch das gleiche Schema wie die vorherigen - durch den arithmetischen Durchschnitt gelöst wird. Das Problem ist, dass wir nicht bekannt sind, wie viele gezielte Zahlen eingefügt werden sollen. Wir setzen daher auf die Definition, dass nach dem Einfügen genau $ N $ -Zahlen vorhanden sind, und der erste ist 2, und der letzte - 42. In diesem Fall wird die Suche nach arithmetischem Fortschritt in dem Formular dargestellt:

\\ [\\ links (((((a) _ (n)) \\ rechts) \u003d \\ link \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n - 1)); 42 \\ richtig \\) \\]

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56 \\]

Hinweis, dass die Zahlen $ ((a) _ (2)) $ und $ ((a) _ (n - 1)) $ von den Rändern der Zahlen 2 und 42 um einen Schritt zueinander erhalten, d. H. . In das Sequenzzentrum. Und das bedeutet das

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Dann kann der oben aufgezeichnete Ausdruck so umgeschrieben werden:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56; \\\\ \\ links (((a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \\ rechts) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + (a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (richten) \\]

$ ((A) _ (3)) $ und $ (a) _ (1)) $, wir finden leicht den Unterschied in der Progression:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ links (3-1 \\ rechts) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2D \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (richten) \\]

Es bleibt nur noch, andere Mitglieder zu finden:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ CDOT 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ CDOT 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ CDOT 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ CDOT 5 \u003d 32; \\\\ & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ CDOT 5 \u003d 37; \\\\ & (a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ CDOT 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (richten) \\]

So werden wir bereits im 9. Schritt zum linken Ende der Sequenz kommen - die Zahl 42. Es war notwendig, nur 7 Zahlen einzulegen: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Antwort: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Textaufgaben mit Progression

Zusammenfassend möchte ich ein paar relativ in Betracht ziehen einfache Aufgaben. Nun, so einfach: Für die meisten Schüler, die Mathematik in der Schule erkunden und nicht gelesen haben, was oben geschrieben ist, können diese Aufgaben wie eine Zinn erscheinen. Trotzdem ist es genau so, dass solche Aufgaben in der mathematischen Oge und EGE stammen, also empfehle ich Ihnen, sich mit ihnen vertraut zu machen.

Task Nummer 11. Die in den 62. Januar-Teilen hergestellte Brigade und in jedem nächsten Monat machte er mehr als 14 Teile als in der vorherigen. Wie viele Details machten im November eine Brigade?

Entscheidung. Natürlich wird die Anzahl der in Monate lackierten Details ein zunehmender arithmetischer Fortschritt sein. Und:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ Quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ links (N-1 \\ RECHTS) \\ CDOT 14. \\\\ \\ ende (ausrichten) \\]

November ist der 11. Monat pro Jahr, also müssen wir $ ((a) _ (11)) $ finden:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ CDOT 14 \u003d 202 \\]

Daher werden 202 Einzelheiten im November hergestellt.

Tasknummer 12. Eine verbindliche Workshop überlappt sich im Januar 216-Bücher, und in jedem nächsten Monat verflochten sie mit 4 Büchern mehr als in der vorherigen. Wie viele Bücher überwältigt den Workshop im Dezember?

Entscheidung. Alles das selbe:

$ \\ beginnen (ausrichten) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ Quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ links (n-1 \\ rechts) \\ cdot 4. \\\\ ende (richten) $

Dezember ist der letzte, 12. Monat pro Jahr, also suchen wir nach $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Dies ist die Antwort - 260 Bücher werden im Dezember miteinander verbunden.

Nun, wenn Sie es hier lesen, beeile ich mich, Ihnen zu gratulieren: "Der Kurs eines jungen Kämpfers" auf arithmetischen Fortschritts, die Sie erfolgreich bestanden haben. Sie können sich sicher an die nächste Lektion bewegen, wo wir die Formel des Fortschrittsbetrags studieren, sowie wichtige und sehr nützliche Folgen davon.

Beachtung!
Dieses Thema hat zusätzliche
Materialien in einem speziellen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die stark sind "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr ..." sind)

Die arithmetische Progression ist eine Reihe von Zahlen, in denen jede Zahl größer als (oder weniger) den vorherigen und demselben Wert ist.

Dieses Thema ist oft komplex und unverständlich. Indizes an den Schnäbeln, n-tiges Mitglied Progression, der Unterschied der Progression - all dies irgendwie verwirrt, ja ... lassen wir uns mit der Bedeutung des arithmetischen Fortschreitens verstehen und alles wird sofort trainieren.)

Das Konzept des arithmetischen Fortschreitens.

Arithmetischer Fortschritt - Das Konzept ist sehr einfach und klar. Zweifel? Vergeblich.) Sehen Sie sich selbst.

Ich werde eine unfertige Anzahl von Zahlen schreiben:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kannst du diese Serie verlängern? Welche Zahlen werden nach den ersten fünf weiteren weiterfahren? Jeder ... uh-uh ..., kurz gesagt, jeder wird herausfinden, dass die Zahlen 6, 7, 8, 9 usw. weiter gehen.

Die Aufgabe erledigen. Ich gebe eine unfertige Anzahl von Zahlen:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Sie können regelmäßig fangen, eine Zeile erweitern und anrufen siebte Reihenanzahl?

Wenn Sie erkannt haben, dass dies die Nummer 20 ist - ich gratuliere Ihnen! Sie fühlten sich nicht nur schlüsselpunkte des arithmetischen Fortschreitens, Und nutzte sie aber erfolgreich in den Fall! Wenn nicht realisiert - wir lesen weiter.

Und jetzt werden wir wichtige Momente von Empfindungen in Mathematik übertragen.)

Erster Schlüsselmoment.

Der arithmetische Fortschritt befasst sich mit Zahlen. Dies ist zunächst verwirrt. Wir sind an die Gleichung gewöhnt, um sich zu entscheiden, Diagramme und all das ... und dann eine Zahl ausdehnen, die Anzahl der Zeilen zu finden ...

Nichts Schlimmes. Nur Progression ist der erste Bekanntschaft mit dem neuen Abschnitt der Mathematik. Der Abschnitt wird als "Zeilen" bezeichnet und arbeitet genau mit den Zahlen und Ausdrücken an. Sich an etwas gewöhnen.)

Der zweite Schlüsselmoment.

In der arithmetischen Progression unterscheidet sich jede Zahl von der vorherigen auf der gleichen Größe.

In dem ersten Beispiel ist dieser Unterschied eins. Was eine Zahl ist, ist weder dauert, es ist mehr als der vorherige pro Einheit. In der zweiten - troika. Jede Zahl mehr als der vorherige. Tatsächlich ist das der Moment und gibt uns die Möglichkeit, Muster zu fangen und die nachfolgenden Zahlen zu berechnen.

Dritter Schlüsselpunkt.

Dieser Moment ist nicht auffällig, ja ... aber sehr, sehr wichtig. Da ist er: jede Zahl von Progression ist an seiner Stelle. Es gibt die erste Zahl, es gibt siebte, es gibt vierzig fünfte usw. Wenn sie verwirrt sind, wie es gefallen ist, verschwindet das Muster. Die arithmetische Progression wird verschwinden. Es wird nur eine Reihe von Zahlen geben.

Das ist der springende Punkt.

Natürlich, B. neues Thema Neue Bedingungen und Notation erscheinen. Sie müssen es wissen. Ansonsten werde ich die Aufgabe nicht verstehen. Zum Beispiel müssen Sie etwas entscheiden, wie:

Schreiben Sie die ersten sechs Mitglieder der arithmetischen Progression (a n), wenn a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Inspiriert?) Köche, einige Indizes ... und die Aufgabe, übrigens ist nicht einfacher. Sie müssen nur die Bedeutung von Begriffen und Bezeichnungen verstehen. Jetzt werden wir dieses Ding beherrschen und zur Aufgabe zurückkehren.

Bedingungen und Bezeichnungen.

Arithmetische Fortschritte. - Dies ist eine Anzahl von Nummern, in denen sich jede Zahl vom vorherigen unterscheidet auf der gleichen Größe.

Dieser Wert wird aufgerufen . Lassen Sie uns detaillierter mit diesem Konzept erkennen.

Der Unterschied des arithmetischen Fortschreitens.

Der Unterschied im arithmetischen Fortschritt - Dies ist der Wert, den eine beliebige Anzahl von Fortschritt mehr vorheriger.

Ein wichtiger Moment. Bitte achten Sie auf das Wort "Mehr". Mathematisch bedeutet dies, dass jede Anzahl von Fortschritt erhalten wird gelinde Der Unterschied in der arithmetischen Progression auf die vorherige Nummer.

Um zu berechnen, sagen wir zweite Anzahl der Zeilen, es ist notwendig zuerst Nummer hinzufügen Dieser sehr unterschiedliche arithmetische Fortschritt. Zur Berechnung fünfte - Der Unterschied ist notwendig hinzufügen zu vierte Nun usw.

Der Unterschied im arithmetischen Fortschritt kann sein positiv Dann wird sich jede Anzahl von Reihen eigentlich mehr als der vorherige. Solche Progression wird aufgerufen zunehmen. Beispielsweise:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Hier wird jede Zahl herausschaltet gelinde Eine positive Zahl, +5 zum vorherigen.

Der Unterschied kann sein negativ Dann wird sich jede Anzahl von Reihen herausstellen weniger als der vorherige. Ein solcher Fortschritt wird genannt (Sie werden es nicht glauben!) absteigend.

Beispielsweise:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Hier wird jede Zahl auch erhalten gelinde Zur vorherigen, aber bereits negativen Zahl, -5.

Beim Arbeiten, wenn Sie mit dem Fortschritt arbeiten, ist es sehr nützlich, sofort seinen Charakter zu bestimmen - es erhöht sich, oder nimmt ab. Es hilft, in der Entscheidung zu navigieren, Ihre Fehler zu schädigen und sie zu beheben, bis es zu spät ist.

Der Unterschied im arithmetischen Fortschritt bezeichnet in der Regel in der Regel der Brief d.

Wie findet man d. ? Sehr einfach. Es ist notwendig, von einer beliebigen Anzahl von Zahlern zu nehmen bisherige Nummer. Abziehen. Das Ergebnis der Subtraktion wird übrigens als "Differenz" bezeichnet.)

Wir definieren zum Beispiel, d. Zur Erhöhung des arithmetischen Fortschreitens:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Nehmen Sie eine beliebige Anzahl von Zeilen, wie wir möchten, beispielsweise 11. Nehmen Sie sich davon ab vorherige Nummer jene. acht:

Dies ist die richtige Antwort. Für diesen arithmetischen Fortschritt ist der Unterschied drei.

Sie können genau annehmen eine beliebige Anzahl von Fortschritt weil Für ein bestimmtes Fortschritt. d -immer die gleiche Sache. Obwohl irgendwo am Anfang der Reihe, selbst in der Mitte, zumindest irgendwo überall. Sie können nicht nur die erste Zahl nehmen. Nur weil in der ersten Zahl Keine vorherige.)

Übrigens, das zu wissen d \u003d 3.Es ist sehr einfach, die siebte Anzahl dieser Progression zu finden. Wir fügen 3 der fünften Zahl hinzu - wir erhalten sechs, es wird 17 Jahre alt sein. Ich werde die sechste Anzahl der Top-drei hinzufügen, wir erhalten die siebte Zahl - zwanzig.

Bestimmen d. Zum Abnehmen des arithmetischen Fortschreitens:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ich erinnere Sie daran, dass Sie unabhängig von den Schildern bestimmen, zu bestimmen d. brauchen von einer beliebigen Nummer nimm den vorherigen weg. Wählen Sie eine beliebige Anzahl von Progression, zum Beispiel -7. Der vorherige hat eine Nummer -2. Dann:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Der Unterschied in der arithmetischen Progression kann eine beliebige Zahl sein: Ganzes, fraktioniert, irrational, alle Arten.

Andere Bedingungen und Bezeichnungen.

Jede Anzahl von Zeilen wird aufgerufen ein Mitglied des arithmetischen Fortschreitens.

Jedes Mitglied des Fortschreitens hat deine Nummer? Die Zimmer gehen in wenigen strengsten, ohne den Fokus. Der erste, zweite, dritte, vierte usw. Zum Beispiel in Progression 2, 5, 8, 11, 14, ... zwei - dies ist das erste Mitglied, die fünf, der zweite, elf - der vierte, gut, das Sie verstanden haben ...) Ich bitte um eindeutig zu erkennen - zahlen selbst kann ganz beliebig sein, ganz, fraktioniert, negativ, was aber nummerierungsnummern - streng in Ordnung!

Wie schreibe ich ein Fortschritt in der allgemeinen Formular? Kein Problem! Jede Anzahl von Reihen wird in Form des Briefes geschrieben. Um den arithmetischen Fortschritt anzuzeigen, ist es normalerweise der Brief eIN.. Die Mitgliedsnummer wird durch den Index unten rechts angezeigt. Mitglieder schreiben ein Komma (oder einen Punkt mit einem Komma), wie folgt:

a 1, A 2, A 3, A 4, A 5, .....

a 1.- Dies ist die erste Zahl a 3. - dritter usw. Nichts listet. Nehmen Sie diese Serie auf, die Sie dieses kurz mögen können: (EIN.).

Progression ist da Endlich und endlos.

Endlich Die Progression hat eine begrenzte Anzahl von Mitgliedern. Fünf, dreißig acht, so viel Sie möchten. Aber - eine endliche Zahl.

Unendlich Progression - hat eine unendliche Anzahl von Mitgliedern, wie Sie erraten können.)

Nehmen Sie den endgültigen Fortschritt durch eine Serie auf, kann solange sein, alle Mitglieder und der Punkt am Ende:

a 1, A 2, A 3, A 4, A 5.

Oder, wenn viele Mitglieder sind:

a 1, A 2, ... A 14, A 15.

In einem kurzen Datensatz müssen Sie zusätzlich die Anzahl der Mitglieder angeben. Zum Beispiel (für zwanzig Mitglieder), wie folgt:

(a n), n \u003d 20

Der unendliche Fortschritt befindet sich in der Ausgabe am Ende der Zeile, wie in den Beispielen dieser Lektion.

Jetzt können Sie Aufgaben ausmachen. Die Aufgaben sind einfach, reine, um die Bedeutung von arithmetischen Fortschreiten zu verstehen.

Beispiele für Aufgaben für arithmetische Fortschritte.

Wir werden die detaillierte Aufgabe analysieren, die oben angegeben ist:

1. Entfernen Sie die ersten sechs Mitglieder der arithmetischen Progression (A n), wenn a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Wir übersetzen die Aufgabe in verständliche Sprache. Dana Endless Arithmetic Progression. Die zweite Nummer dieses Fortschreitens gekannt: a 2 \u003d 5. Der Unterschied in der Progression ist bekannt: d \u003d -2.5. Es ist notwendig, die erste, dritte, vierte, fünfte und sechste Person dieses Fortschritts zu finden.

Für Klarheit schreiben Sie eine Reihe von Bedingungen der Aufgabe. Die ersten sechs Mitglieder, in denen das zweite Mitglied fünft ist:

a 1, 5, A 3, A 4, A 5, A 6, ...

a 3. = a 2 + d.

Wir ersetzen im Ausdruck a 2 \u003d 5 und d \u003d -2.5.. Vergiss nicht abzüglich!

a 3.=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Das dritte Element erwies sich weniger als der zweite. Alles ist logisch. Wenn die Zahl größer ist als der vorherige negativ Der Betrag, dann ertönt die Zahl selbst, um weniger als der vorherige zu sein. Die Progression ist absteigend. Okay, berücksichtigen.) Wir betrachten das vierte Mitglied unserer Serie:

a 4 = a 3. + d.

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d.

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6. = a 5 + d.

a 6.=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

So wurden Mitglieder mit dem dritten auf dem Sechsten berechnet. Es stellte sich eine solche Serie heraus:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Es bleibt, das erste Mitglied zu finden a 1. durch zweiter bekannt. Es ist ein Schritt zur anderen Seite, links.) Der Unterschied im arithmetischen Fortschritt d. Wir dürfen nicht hinzufügen a 2, aber wegbringen:

a 1. = a 2 - d.

a 1.=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Das ist alles. Quest-Antwort:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Beachten Sie, dass wir diese Aufgabe gelöst haben wiederkehrend Weg. Es ist ein schreckliches Wort, das nur ein Mitglied des Fortschritts bedeutet gemäß der vorherigen (benachbarten) Nummer. Andere Möglichkeiten, mit dem Fortschritt zu arbeiten, werden wir weiter ansehen.

Von dieser einfachen Aufgabe können Sie eine wichtige Leistung erstellen.

Merken:

Wenn wir mindestens ein Mitglied und den Unterschied in der arithmetischen Progression bekannt sind, können wir ein Mitglied dieses Fortschreitens finden.

Merken? Mit dieser einfachen Schlussfolgerung können Sie die meisten Aufgaben des Schulkurs zu diesem Thema lösen. Alle Aufgaben drehen sich um drei Hauptparameter: ein Mitglied des arithmetischen Fortschreitens, der Unterschied der Progression, eine Mitgliedsnummer des Fortschritts. Alles.

Natürlich wird die gesamte frühere Algebra nicht storniert.) Im Fortschreiten von Ungleichungen und Gleichungen und andere Dinge sind gefangen. Aber für den Fortschritt selbst - Alles dreht sich um drei Parameter.

Betrachten Sie beispielsweise einige beliebte Aufgaben zu diesem Thema.

2. Nehmen Sie die endgültige arithmetische Progression in Form einer Serie auf, wenn n \u003d 5, d \u003d 0,4 und a 1 \u003d 3,6.

Hier ist alles einfach. Alles ist schon gegeben. Es ist notwendig, sich zu erinnern, wie Mitglieder des arithmetischen Fortschritts berücksichtigt werden, um zu berechnen, zu berechnen und zu schreiben. Es ist ratsam, die Wörter in der Zuweisungsbedingung nicht zu verpassen: "Final" und " n \u003d 5."Um nicht zu zählen, um Scoff abzuschließen.) In diesem Fortschritt, nur 5 (fünf) Mitglieder:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d A 2 + D \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3. + d \u003d 4,4 + 0,4 \u003d 4,8

a 5 = a 4 + d \u003d 4,8 + 0,4 \u003d 5.2

Links, um die Antwort aufzunehmen:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Mehr Aufgabe:

3. Bestimmen Sie, ob die Zahl 7 Mitglied der arithmetischen Progression (A n) ist, wenn ein 1 \u003d 4,1; d \u003d 1.2.

Hmm ... Wer kennt ihn? Wie erstellt man etwas?

Wie sehr ... Ja, schreibe einen Fortschritt in Form einer Reihe und sehen, dass es sieben gibt, oder nicht! Wir erwägen:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1.2 \u003d 5,3

a 3 \u003d A 2 + D \u003d 5,3 + 1.2 \u003d 6,5

a 4 = a 3. + d \u003d 6,5 + 1,2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Jetzt ist klar, dass wir gerade sind rutschend Zwischen 6,5 und 7.7! Sieben kamen in unsere Anzahl der Zahlen, und es bedeutet, dass die sieben kein Mitglied eines bestimmten Fortschreitens sein werden.

Antwort: Nein.

Aber ein Problem basierend auf echte Option GIA:

4. Es gibt mehrere aufeinanderfolgende Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens:

...; fünfzehn; x; neun; 6; ...

Hier wird eine Zeile ohne Ende aufgezeichnet und beginnen. Es gibt keine Mitgliedsnummern noch den Unterschied d.. Nichts Schlimmes. Um die Aufgabe zu lösen, genügt es, den Sinn des arithmetischen Fortschreitens zu verstehen. Wir sehen und denken, dass Sie können entdecken Aus dieser Serie? Was sind die Parameter der drei Haupt-?

Mitgliederzahlen? Es gibt keine Einzelzahl.

Aber es gibt drei Zahlen und Aufmerksamkeit! - Wort "Konsistent" In der Bedingung. Dies bedeutet, dass die Zahlen streng in Ordnung gehen, ohne zu überspringen. Gibt es zwei zwei in dieser Reihe? benachbart berühmte Zahlen? Ja, gibt es! Dies ist 9 und 6. Es wurde, wir können den Unterschied in der arithmetischen Progression berechnen! Von Sechstutter bisherige Nummer, d. H. Neun:

Es gab noch restliche Kleinigkeiten. Welche Nummer ist der vorherige für Iksa? Fünfzehn. Also kann X einfach leicht gefunden werden. Zu 15 Fügen Sie den Unterschied in der arithmetischen Fortschritte hinzu:

Das ist alles. Antworten: x \u003d 12.

Die folgenden Aufgaben lösen sich selbst. Hinweis: Diese Aufgaben sind nicht für Formeln. Rein auf das Verständnis der Bedeutung von arithmetischen Fortschreiten.) Schreiben Sie einfach eine Reihe mit Zahlen, schauen und wir denken.

5. Finden Sie ein erstes positives Mitglied des arithmetischen Fortschritts, wenn ein 5 \u003d -3; d \u003d 1.1.

Es ist bekannt, dass die Zahl 5,5 ein Mitglied des arithmetischen Progressions (A n) ist, wobei ein 1 \u003d 1,6 ist; d \u003d 1.3. Bestimmen Sie die Anzahl der n dieses Mitglieds.

Es ist bekannt, dass in der arithmetischen Progression a 2 \u003d 4; ein 5 \u003d 15.1. Finden Sie einen 3.

8. Mehrere aufeinanderfolgende Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens sind geschrieben:

...; 15.6; x; 3.4; ...

Finden Sie ein Mitglied des Fortschritts, das durch den Buchstaben X angezeigt wird.

9. Der Zug begann von der Station zu ziehen, um die Geschwindigkeit von 30 Metern pro Minute gleichmäßig zu erhöhen. Was wird die Zuggeschwindigkeit in fünf Minuten sein? Antwort geben KM / h.

Es ist bekannt, dass in der arithmetischen Progression a 2 \u003d 5; ein 6 \u003d -5. Finden Sie einen 1..

Antworten (in Unordnung): 7.7; 7.5; 9.5; neun; 0,3; vier.

Es hat alles geklappt? Wunderbar! Sie können den arithmetischen Fortschreiten auf mehr erforschen hohes LevelIn den folgenden Lektionen.

Nicht alles ist passiert? Kein Problem. In einem speziellen Abschnitt 555 werden all diese Aufgaben um die Knochen zerlegt.) Und natürlich wird eine einfache praktische Zulassung beschrieben, die die Lösung solcher Aufgaben unverzüglich deutlich hervorhebt, ist klar, wie man

Übrigens gibt es in dem Problem des Zugs zwei Probleme, die die Menschen oft stolpern. Man ist rein auf dem Fortschritt, und der zweite ist bei Problemen in Mathematik und auch Physik üblich. Dies ist eine Übersetzung von Abmessungen von einem zum anderen. Es ist gezeigt, wie diese Probleme lösen können.

In dieser Lektion haben wir den Grundbeschreibung des arithmetischen Fortschritts und seiner Hauptparameter überprüft. Dies reicht aus, um fast alle Aufgaben zu diesem Thema zu lösen. Einstellen d. Zu den Zahlen, schreiben Sie eine Reihe, alles wird entschieden.

Die Lösung "an den Fingern" eignet sich gut für sehr kurze Stücke einer Zahl, wie in den Beispielen dieser Lektion. Wenn eine Zeile vollständiger ist, sind die Berechnungen kompliziert. Wenn beispielsweise in der Task 9 ersetzt "fünf Minuten" auf der "fünfunddreißig Minuten", Die Aufgabe wird wesentlicher Bedeutung.)

Und es gibt einmal einfache Aufgaben im Wesentlichen, aber nicht gültige Berechnungen, zum Beispiel:

Eine arithmetische Progression wird angegeben (a n). Finden Sie einen 121, wenn ein 1 \u003d 3 und d \u003d 1/6 ist.

Und was werden wir viel mehr als 1/6 hinzufügen? Sie können es töten!

Sie können.) Wenn Sie keine einfache Formel kennen, nach denen solche Aufgaben in einer Minute gelöst werden können. Diese Formel ist in der nächsten Lektion. Und diese Aufgabe wird dort gelöst. In einer Minute.)

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Übrigens habe ich noch weitere interessante Sehenswürdigkeiten für dich.)

Es kann auf das Lösen von Beispielen zugegriffen werden und erfahren Sie Ihr Niveau. Testen mit Instant-Check. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Derivaten kennenlernen.

Anweisung

Arithmetische Progression ist eine Folge des Formulars A1, A1 + D, A1 + 2D ..., A1 + (N - 1) D. Nummer D Schritt. fortschreiten. Natürlich, dass das gesamte beliebige N-TH-Mitglied der Arithmetik fortschreiten Es sieht aus: An \u003d A1 + (N - 1) d. Dann wissen Sie eines der Mitglieder fortschreitenMitglied fortschreiten und schritt fortschreitenEs ist möglich, das heißt die Anzahl der Fortschrittsmitglieder. Offensichtlich wird es von der Formel N \u003d (AN-A1 + D) / D bestimmt.

Lass uns jetzt den M-Dick kennen fortschreiten Und sie ist ein anderes Mitglied fortschreiten - nth, aber n, wie im vorherigen Fall, aber es ist bekannt, dass n und m nicht übereinstimmen. Hasha fortschreiten Es kann von der Formel berechnet werden: D \u003d (AN-AM) / (N-M). Dann n \u003d (an-am + md) / d.

Wenn die Summe mehrerer Elemente der Arithmetik fortschreitensowie sein erstes und zuletzt, dann kann auch die Anzahl dieser Elemente bestimmt werden. Das Arithmetiksystem fortschreiten Es wird sein: s \u003d ((a1 + a) / 2) n. Dann n \u003d 2s / (A1 + AN) - Ctenov fortschreiten. Verwenden Sie die Tatsache, dass eine \u003d A1 + (N - 1) D, diese Formel in der Form neugeschrieben werden kann: n \u003d 2S / (2A1 + (N - 1) d). Daraus kann von n von n ausgedrückt werden, um die eckige Gleichung zu lösen.

Die arithmetische Sequenz wird als ein solcher geordneter Zahlensatz bezeichnet, von dem jedes Element zusätzlich zu den ersten von dem vorherigen und demselben Wert unterscheidet. Dieser konstante Wert wird als Unterschied in der Progression oder dessen Schritt bezeichnet und kann nach bekannten Mitgliedern des arithmetischen Fortschreitens berechnet werden.

Anweisung

Wenn die Werte der Aufgabe dem ersten und dem zweiten oder einem anderen Paar benachbarter Elemente bekannt sind, um die Differenz (D) zu berechnen (d), nehmen Sie einfach das anschließende Element der vorherigen ab. Der resultierende Wert kann sowohl eine positive als auch eine negative Zahl sein - es hängt davon ab, ob das Fortschreiten der Erhöhung. Im Allgemeinen wird die Lösung für ein willkürlich eingenommenes Paar (Aᵢ und Aᵢ₊ & sub1;) der benachbarten Elemente der Progression wie folgt aufgezeichnet: D \u003d Aᵢ₊₁ - Aᵢ.

Für ein paar Mitglieder eines solchen Progressions, von dem einer der erste (A & sub1;) ist, und der andere - beliebige andere willkürlich gewählte, kann auch eine Formel sein, um einen Unterschied (d) zu finden. In diesem Fall muss jedoch die Sequenznummer (i) eines beliebigen ausgewählten Sequenzelements bekannt sein. Um den Unterschied zu berechnen, setzen Sie beide Nummern, und das resultierende Ergebnis ist in eine geringere Anzahl von beliebigerem Element aufgeteilt, das pro Einheit reduziert wird. Im Allgemeinen wird diese Formel wie folgt geschrieben: D \u003d (A₁ + Aᵢ) / (I-1).

Wenn neben einem beliebigen Mitglied der arithmetischen Progression mit einer Sequenznummer I ein anderes Mitglied mit der Sequenznummer U bekannt ist, ändern Sie die Formel entsprechend aus dem vorherigen Schritt. In diesem Fall ist der Unterschied (d) der Progression die Summe dieser beiden Mitglieder, die in die Differenz ihrer Sequenznummern unterteilt ist: D \u003d (A ᵢ + Aᵥ) / (I-V).

Die Formel zur Berechnung der Differenz (d) ist etwas kompliziert, wenn der Wert des ersten Begriffs (A & sub1;) und die Summe der ersten Elemente der arithmetischen Sequenz (I) unter Bedingungen des Problems angegeben sind. Um einen gewünschten Wert zu erhalten, teilen Sie den Betrag durch die Anzahl der Mitglieder seiner Mitglieder, nehmen Sie die erste Zahl in der Reihenfolge an, und das Ergebnis ist doppelt. Der resultierende Wert ist in eine von der Mitgliedermenge reduzierte Anzahl unterteilt. Im Allgemeinen wird die Formel zur Berechnung des Diskriminierungsmittels wie folgt aufgezeichnet: D \u003d 2 * (Sᵢ / I-A & sub1;) / (I-1).

Beispielsweise die Sequenz \\ (2 \\); \$fünf\$; \$acht\$; \$elf\$; \\ (14 \\) ... ist ein arithmetischer Fortschritt, da jedes nächste Element vom vorherigen abweicht (kann aus dem vorherigen Threeste hinzugefügt werden):

In diesem Fortschritt ist die Differenz \\ (d \\) positiv (gleich \\ (3 \\)), und daher ist jedes nächste Mitglied größer als der vorherige. Solche Progression wird aufgerufen zunehmend..

\\ (D \\) kann jedoch eine negative Zahl sein. beispielsweiseim arithmetischen Progression \\ (16 \\); \\ (10 \u200b\u200b\\); \\ (vier \\); \\ (- 2 \\); \\ (- 8 \\) ... Der Unterschied der Progression \\ (d \\) ist minus sechs.

In diesem Fall wird jedes nächste Element weniger als der vorherige sein. Diese Progressionen werden aufgerufen absteigend.

Bezeichnung des arithmetischen Fortschreitens

Der Fortschritt wird von einem kleinen lateinischen Brief bezeichnet.

Die Zahlen, die den Progression bildet, rufen es an mitglieder (oder Elemente).

Sie sind mit demselben Brief als arithmetischer Fortschritt, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht eine arithmetische Progression \\ (A_n \u003d \\ Links \\ (2; 5; 8; 11; 14 ... \\ richtig \\) \\) aus Elementen \\ (A_1 \u003d 2 \\); \\ (A_2 \u003d 5 \\); \\ (A_3 \u003d 8 \\) und so weiter.

Mit anderen Worten, zum Progression \\ (a_n \u003d \\ Links \\ (2; 5; 8; 11; 14; 14 ... \\ richtig \\) \\)

Aufgaben für arithmetische Fortschritte lösen

Grundsätzlich reicht die obigen Informationen bereits aus, um fast jede Aufgabe auf der arithmetischen Progression zu lösen (einschließlich derjenigen, die auf Oge anbieten).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression wird nach Bedingungen eingestellt \\ (B_1 \u003d 7; d \u003d 4 \\). Find \\ (B_5 \\).
Entscheidung:

Antworten: \\ (B_5 \u003d 23 \\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens sind gegeben: \\ (62; 49; 36; 36 ... \\) Finden Sie den Wert des ersten negativen Mitglieds dieses Fortschreitens.
Entscheidung:

	Wir erhalten die ersten Elemente der Sequenz und es ist bekannt, dass es sich um einen arithmetischen Fortschritt handelt. Das heißt, jedes Element unterscheidet sich von derselben Anzahl benachbart. Wir lernen, was, Abzug vom nächsten Element vorher: \\ (d \u003d 49-62 \u003d -13 \\).
	Jetzt können wir unseren Fortschritt auf denjenigen wiederherstellen, den wir brauchen (erstes negatives) Element.
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: $-3$

Beispiel (OGE). Es gibt mehrere arithmetische arithmetische Progressionselemente der Elemente des arithmetischen Fortschreitens: \\ (... 5; x; 10; 12.5 ... \\) Suchen Sie den Wert des mit dem Buchstaben \\ (x \\) angegebenen Elements.
Entscheidung:

	Um \\ (x \\) zu finden, müssen wir wissen, wie viel das nächste Element von der vorherigen unterscheidet, mit anderen Worten - der Unterschied der Progression. Wir finden es von zwei bekannten benachbarten Elementen: \\ (d \u003d 12.5-10 \u003d 2,5 \\).
	Und jetzt finden wir ohne Probleme das gewünschte: \\ (x \u003d 5 + 2,5 \u003d 7,5 \\).
	Bereit. Sie können eine Antwort schreiben.

Antworten: $7,5$.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression wird durch die folgenden Bedingungen eingestellt: \\ (A_1 \u003d -11 \\); \\ (A_ (n + 1) \u003d a_n + 5 \\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Mitglieder dieses Fortschreitens.
Entscheidung:

Wir müssen den Betrag der ersten sechs Mitglieder des Fortschritts finden. Wir kennen jedoch ihre Werte nicht, wir erhalten nur das erste Element. Berechnen Sie daher zunächst die Werte wiederum mit diesem an uns:

\\ (n \u003d 1 \\); \\ (A_ (1 + 1) \u003d A_1 + 5 \u003d -11 + 5 \u003d -6 \\)
\\ (n \u003d 2 \\); \\ (A_ (2 + 1) \u003d A_2 + 5 \u003d -6 + 5 \u003d -1 \\)
\\ (n \u003d 3 \\); \\ (A_ (3 + 1) \u003d A_3 + 5 \u003d -1 + 5 \u003d 4 \\)
Und die Berechnung der sechs Elemente, die wir brauchen - wir finden ihre Summe.

\\ (S_6 \u003d A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 \u003d \\)
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

Der gewünschte Betrag wurde gefunden.

Antworten: \\ (S_6 \u003d 9 \\).

Beispiel (OGE). In arithmetischem Progression \\ (A_ (12) \u003d 23 \\); \\ (A_ (16) \u003d 51 \\). Finden Sie den Unterschied in diesem Fortschritt.
Entscheidung:

Antworten: \\ (d \u003d 7 \\).

Wichtige Formeln für arithmetische Fortschritte

Wie Sie sehen, können viele Aufgaben auf der arithmetischen Progression gelöst werden, einfach die Hauptsache verstanden - dass der arithmetische Fortschritt eine Kette von Zahlen ist, und jedes nächste Element in dieser Kette wird durch Hinzufügen der vorherigen und derselben Zahl ( Progressionsunterschied).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen es ziemlich unbequem ist, "in der Stirn" zu entscheiden. Stellen Sie sich beispielsweise vor, dass wir in dem ersten Beispiel ein nicht fünftes Element \\ (B_5 \\) und dreihundertachtzig sechs \\ (B_ (386) \\) finden müssen. Das ist was, us \\ (385 \\), um viermal hinzuzufügen? Oder stellen Sie sich vor, dass es im vorletzten Beispiel erforderlich ist, die Summe der ersten siebzig drei Elemente zu finden. Betrachten Sie Folter ...

Daher lösen in solchen Fällen "in der Stirn" nicht, sondern verwenden Sie spezielle Formeln, die für den arithmetischen Fortschritt abgeleitet wurden. Und die wichtigsten von ihnen sind die Formel eines ungültigen Elements des Fortschritts und der Formel des Betrags \\ (n \\) der ersten Mitglieder.

Formel \\ (n \\) - Mitglied: \\ (A_N \u003d A_1 + (N - 1) d \\), wobei \\ (a_1 \\) der erste Begriff des Fortschritts ist;
\\ (n \\) - die Anzahl des künstlerischen Elements;
\\ (a_n \\) ist ein Mitglied des Progression mit der Nummer \\ (n \\).

Mit dieser Formel können wir schnell mindestens drei Hundertstel von mindestens einem Million Element finden, wobei nur der erste und der Unterschied der Progression kennt.

Beispiel. Die arithmetische Progression wird nach Bedingungen eingestellt: \\ (B_1 \u003d -159 \\); \\ (d \u003d 8.2 \\). Find \\ (B_ (246) \\).
Entscheidung:

Antworten: \\ (B_ (246) \u003d 1850 \\).

Formel der Menge der ersten Mitglieder: \\ (s_n \u003d \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\ cdot n \\), wo

\\ (a_n \\) - das letzte zusammenfassende Mitglied;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression wird nach Bedingungen eingestellt \\ (A_N \u003d 3,4n-0,6 \\). Finden Sie den Betrag der ersten Mitglieder des ersten \\ (25 \\) dieses Fortschreitens.
Entscheidung:

\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (A_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ CDOT 25 \\)		Um den Betrag der ersten fünfundzwanzigsten Elemente zu berechnen, müssen wir den Wert des ersten und zwanzig fünften Mitglieds kennen. Unsere Progression wird von der Formel eines Enon-Mitglieds abhängig von seiner Nummer gefragt (siehe weitere Details). Berechnen wir das erste Element, ersetzen Sie anstelle von \\ (n \\) eine Einheit.
\\ (n \u003d 1; \\) \\ (A_1 \u003d 3,4 · 1-0,6 \u003d 2,8 \\)		Jetzt finden wir das zwanzig fünfte Mitglied, ersetzen statt \\ (n \\) fünfundzwanzig.
\\ (n \u003d 25; \\) \\ (A_ (25) \u003d 3,4 · 25-0,6 \u003d 84.4 \\)		Nun, und jetzt ohne Probleme berechnen wir den gewünschten Betrag.
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (A_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (2,8 + 84.4) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d \\) \\ (1090 \\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \\ (S_ (25) \u003d 1090 \\).

Für die ersten Mitglieder des Betrags \\ (n \\) können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ frac (A_1 + A_ (25)) (2) \\) \\ (\\ CDOT 25 \\) anstelle von \\ (A_n \\) ersetzen Sie die Formel für IT \\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\). Wir bekommen:

Formel der Menge der ersten Elemente: \\ (s_n \u003d \\) \\ (\\ frac (2A_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\), wo

\\ (S_N \\) ist der gewünschte Betrag \\ (n \\) der ersten Elemente;
\\ (A_1 \\) - das erste zusammenfassende Mitglied;
\\ (D \\) - der Unterschied der Progression;
\\ (n \\) - die Anzahl der Elemente in der Menge.

Beispiel. Finden Sie den Betrag des ersten \\ (33 \\) - dem Ex von Mitgliedern des arithmetischen Fortschritts: \\ (17 \\); \\ (15.5 \\); \$vierzehn\$…
Entscheidung:

Antworten: \\ (S_ (33) \u003d - 231 \\).

Komplexere Aufgaben für arithmetische Fortschritte

Jetzt haben Sie alle notwendigen Informationen, um fast jede Aufgabe auf dem arithmetischen Fortschritt zu lösen. Vervollständigen Sie das Thema mit der Berücksichtigung von Aufgaben, in denen es nicht einfach ist, Formeln zu verwenden, aber auch ein wenig zu denken (in Mathematik ist es nützlich ☺)

Beispiel (OGE). Finden Sie die Summe aller negativen Mitglieder des Fortschritts: \\ (- 19.3 \\); \$-neunzehn\$; \\ (- 18.7 \\) ...
Entscheidung:

\\ (S_N \u003d \\) \\ (\\ frac (2a_1 + (n - 1) d) (2) \\) \\ (\\ cdot n \\)		Die Aufgabe ist dem vorherigen sehr ähnlich. Wir beginnen auch zu lösen: Zuerst finden wir \\ (d \\).
\\ (d \u003d A_2-A_1 \u003d -19 - (- 19.3) \u003d 0,3 \\)		Jetzt würde ich \\ (d \\) in der Formel für den Betrag ersetzen ... und hier öffnet die kleine Nuance - wir wissen nicht \\ (n \\). Mit anderen Worten, wir wissen nicht, wie viele Mitglieder gefaltet werden müssen. Wie erfahren Sie? Denken wir nach. Wir stoppen faltende Elemente, wenn wir das erste positive Element erreichen. Das heißt, Sie müssen die Nummer dieses Elements kennen. Wie? Wir schreiben die Formel zur Berechnung eines beliebigen Elements der arithmetischen Progression: \\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\) für unseren Fall.
\\ (a_n \u003d a_1 + (n - 1) d \\)
\\ (A_n \u003d -19,3 + (N - 1) · 0,3 \\)		Wir brauchen, damit \\ (a_n \\) mehr Null geworden ist. So wird es mit was \\ (n \\) passieren.
\\ (- 19.30 (n - 1) · 0,3\u003e 0 \\)
\\ (((n - 1) · 0,3\u003e 19.3 \\) \\ (\|: 0.3 \\)		Wir teilen beide Teile der Ungleichung auf \\ (0,3 \\).
\\ (N - 1\u003e \\) \\ (\\ frac (19.3) (0.3) \\)		Tragen Sie minus eins, nicht vergessen, Zeichen zu ändern
\\ (n\u003e \\) \\ (\\ frac (19.3) (0.3) \\) \\ (+ 1 \\)		Berechnung ...
\\ (n\u003e 65.333 ... \\)		... und es stellt sich heraus, dass das erste positive Element eine Zahl \\ (66 \\) hat. Dementsprechend hat das letztere negative \\ (n \u003d 65 \\). Nur für den Fall, überprüfen Sie es.
\\ (n \u003d 65; \\) \\ (A_ (65) \u003d - 19.3+ (65-1) · 0,3 \u003d -0,1 \\) \\ (n \u003d 66; \\) \\ (A_ (66) \u003d - 19.3+ (66-1) · 0,3 \u003d 0,2 \\)		Somit müssen wir die ersten \\ (65 \\) -Elemente falten.
\\ (S_ (65) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-19.3) + (65-1) 0,3) (2) \\)\\ (\\ Cdot 65 \\) \\ (S_ (65) \u003d \\) \\ ((- 38,6 + 19,2) (2) \\) \\ (\\ cdot 65 \u003d -630.5 \\)		Die Antwort ist fertig.

Antworten: \\ (S_ (65) \u003d - 630.5 \\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Progression wird nach Bedingungen eingestellt: \\ (A_1 \u003d -33 \\); \\ (A_ (n + 1) \u003d A_n + 4 \\). Finden Sie die Summe von \\ (26 \\) bis \\ (42 \\) -Element inklusive.
Entscheidung:

\\ (A_1 \u003d -33; \\) \\ (A_ (n + 1) \u003d A_n + 4 \\)	Diese Aufgabe muss auch die Menge an Elementen finden, jedoch nicht von der ersten und c \\ (26 \\) beginnen. Für einen solchen Fall haben wir keine Formeln. Wie löst man? Einfach -, um den Betrag von \\ (26 \\) zu erhalten Der Betrag von ihm zuerst nach \\ (25 \\) - CSO (siehe ein Bild).
	Für unser Progression \\ (A_1 \u003d -33 \\) und die Differenz \\ (d \u003d 4 \\) (schließlich fügen wir dem vorherigen Element zum vorherigen Element hinzu, um den nächsten zu finden). Wenn wir wissen, werden wir die Menge der ersten \\ (42 \\) - Enden finden.
\\ (S_ (42) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \\)\\ (\\ cdot 42 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-66 + 164) (2) \\) \\ (\\ cdot 42 \u003d 2058 \\)	Nun die Menge der ersten Elemente der ersten \\ (25 \\).
\\ (S_ (25) \u003d \\) \\ (\\ Frac (2 \\ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \\)\\ (\\ Cdot 25 \u003d \\) \\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-66 + 96) (2) \\) \\ (\\ cdot 25 \u003d 375 \\)	Und schließlich berechnen wir die Antwort.
\\ (S \u003d S_ (42) -S_ (25) \u003d 2058-375 \u003d 1683 \\)

Antworten: \\ (S \u003d 1683 \\).

Für arithmetische Fortschritte gibt es mehrere weitere Formeln, die wir in diesem Artikel aufgrund ihres kleinen praktischen Nutzens nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.

Beim Studieren von Algebra in der Sekundarschule (Note 9) sind eines der wichtigsten Themen numerische SequenzenAuf welche Fortschritte von isometrisch und arithmetisch. In diesem Artikel berücksichtigen Sie arithmetische Fortschritte und Beispiele mit Lösungen.

Was ist der arithmetische Fortschritt?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, das Fortschreiten des Fortschritts zu definieren sowie die Grundformeln zu bringen, die beim Lösen von Problemen weiter verwendet werden.

Arithmetik oder ist ein solcher Satz von bestellten rationalen Zahlen, deren Mitglied sich von dem vorherigen auf einem dauerhaften Wert unterscheidet. Dieser Wert wird als Unterschied bezeichnet. Das heißt, ein Mitglied einer bestellten Reihe von Zahlen und einem Unterschied zu kennen, kann man alle arithmetischen Fortschritte wiederherstellen.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben. Die nächste Reihenfolge der Zahlen ist der Fortschritt der Arithmetik: 4, 8, 12, 16, ..., da der Unterschied in diesem Fall 4 beträgt, 4 (8 - 4 \u003d 12 - 8 \u003d 16 - 12). Der Satz von Nummern 3, 5, 8, 12, 17 ist jedoch nicht auf die Art der unter Berücksichtigung der Untersuchung zurückzuführen, da der Unterschied dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17) - 12).

Wichtige Formeln

Wir präsentieren nun die Grundformeln, die erforderlich sind, um Probleme mit dem arithmetischen Fortschritt zu lösen. Begeben Sie sich durch das Symbol ein n N-th-Mitglied der Sequenz, wobei n eine Ganzzahl ist. Der Unterschied wird vom lateinischen Buchstaben d bezeichnet. Dann sind die folgenden Ausdrücke wahr:

Um den Wert des N-ten Elements zu bestimmen, ist die Formel geeignet: a n \u003d (n - 1) * d + a 1.
Zur Bestimmung der Menge der ersten N der Komponenten: S n \u003d (a n + a 1) * n / 2.

Um alle Beispiele für arithmetische Fortschritte mit einer Entscheidung in der Grade 9 zu verstehen, reicht es aus, sich an diese beiden Formeln zu erinnern, da auf deren Verwendung beliebige Aufgaben des betrachteten Typs erstellt werden. Wir sollten auch nicht vergessen, dass der Unterschied in der Progression von der Formel bestimmt wird: d \u003d a n - a n-1.

Beispiel №1: Ein unbekanntes Mitglied finden

Wir geben ein einfaches Beispiel für das Fortschreiten der Arithmetik und der Formulatur, die zur Lösung verwendet werden müssen.

Lassen Sie die Reihenfolge von 10, 8, 6, 4, ..., es ist notwendig, fünf Mitglieder darin zu finden.

Aus dem Zustand des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Komponenten bekannt sind. Der Fünftel kann auf zwei Arten definiert werden:

Berechnen, um den Unterschied zu starten. Wir haben: d \u003d 8 - 10 \u003d -2. In ähnlicher Weise können Sie zwei weitere Mitglieder nehmen, die nebeneinander stehen. Zum Beispiel d \u003d 4 - 6 \u003d -2. Da es bekannt ist, dass d \u003d a n - a n-1, dann d \u003d a 5 - a 4, von wo wir bekommen: a 5 \u003d a 4 + d. Wir ersetzen die bekannten Werte: a 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
Die zweite Methode erfordert auch das Wissen über den Unterschied in der unter Berücksichtigung des Fortschritts, daher ist es jedoch zunächst notwendig, sie zu bestimmen, wie oben gezeigt (d \u003d -2). Zu wissen, dass der erste Begriff 1 \u003d 10 ist, verwenden wir die Formel für n Anzahl der Reihenfolge. Wir haben: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. In den letzten Ausdruck n \u003d 5 ersetzen wir: A 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.

Wie zu sehen ist, führten beide Lösungsmethoden auf das gleiche Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Differenz D des Fortschritts ein negativer Wert ist. Solche Sequenzen werden abnehmend bezeichnet, da jeder nächste Begriff kleiner ist als der vorherige.

Beispiel Nummer 2: Der Unterschied der Progression

Komplizieren Sie nun eine kleine Aufgabe, geben wir ein Beispiel an, wie Sie den Unterschied im Fortschreiten der Arithmetik finden können.

Es ist bekannt, dass bei einigerigung des algebraischen 1. Elements 6 und das 7. Element 18 ist. Es ist notwendig, einen Unterschied zu finden und diese Sequenz bis zu 7 Elemente wiederherzustellen.

Wir verwenden die Formel, um das unbekannte Element zu bestimmen: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Wir ersetzen die bekannten Daten aus dem Zustand, dh die Zahlen A 1 und A 7 haben wir: 18 \u003d 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie den Unterschied leicht berechnen: D \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Somit beantworteten sie den ersten Teil des Problems.

Um eine Reihenfolge von bis zu 7 Mitglied wiederherzustellen, sollten Sie die Definition verwenden algebraische Progression.Das heißt, ein 2 \u003d a 1 + d, ein 3 \u003d a 2 + d usw. Infolgedessen stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, A 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, A 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14 Ein 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Beispiel Nummer 3: Produktion von Progression

Lassen Sie uns noch stärker den Zustand der Aufgabe komplizieren. Nun ist es notwendig, die Frage zu beantworten, wie ein arithmetischer Fortschritt gefunden wird. Sie können das folgende Beispiel angeben: Zwei Zahlen werden beispielsweise - 4 und 5 angegeben, es ist notwendig, ein Fortschreiten von Algebraic vorzunehmen, sodass drei weitere Mitglieder platziert werden.

Bevor Sie anfangen, diese Aufgabe zu lösen, ist es notwendig, zu verstehen, welchen Ort die angegebene Zahlen in zukünftiger Progression sein wird. Da es drei weitere Mitglieder zwischen ihnen gibt, dann ein 1 \u003d -4 und ein 5 \u003d 5. Durch die Installation wenden wir uns an die Aufgabe, die dem vorherigen ähnlich ist. Für das n-te Mitglied verwenden wir die Formel, wir erhalten: A 5 \u003d A 1 + 4 * d. Ort: D \u003d (A 5 - A 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Hier erhalten wir keinen ganzen Wert des Unterschieds, es ist jedoch eine rationale Zahl, so dass die Formeln für den algebraischen Fortschritt gleich bleiben.

Fügen Sie nun den Unterschied hinzu, der einem 1 gefunden wurde, und stellen Sie das fehlende Mitglied des Fortschritts wieder her. Wir erhalten: einen 1 \u003d - 4, einen 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, einem 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, einem 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, einem 5 \u003d 5, + 2,25 \u003d 5, was mit dem Zustand des Problems zusammengefugt.

Beispiel №4: Erstes Mitglied des Progression

Wir bringen weiterhin Beispiele für arithmetische Fortschritte mit der Lösung. In allen früheren Aufgaben war die erste Anzahl der algebraischen Progression bekannt. Berücksichtigen Sie nun die Aufgabe eines anderen Typs: Lassen Sie zwei Zahlen gegeben werden, wobei ein 15 \u003d 50 und ein 43 \u003d 37 ist. Es ist notwendig zu finden, von welchem \u200b\u200bDatum dieser Sequenz beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln empfehlen dem Wissen A 1 und D. In der Bedingung des Problems dieser Zahlen ist nichts nicht bekannt. Trotzdem werden wir die Ausdrücke für jedes Mitglied ausschreiben, das es Informationen gibt: einen 15 \u003d A 1 + 14 * D und einen 43 \u003d 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen erhalten, in denen 2 unbekannte Werte (1 und d). Dies bedeutet, dass die Aufgabe reduziert wird, um ein System von linearen Gleichungen zu lösen.

Das angegebene System ist am einfachsten zu entscheiden, ob Sie in jeder Gleichung A 1 ausdrücken und dann die erhaltenen Ausdrücke vergleichen. Die erste Gleichung: A 1 \u003d A 15 - 14 * D \u003d 50 - 14 * D; Die zweite Gleichung: A 1 \u003d A 43 - 42 * D \u003d 37 - 42 * d. Diese Ausdrücke entsprechen, erhalten wir: 50 - 14 * D \u003d 37 - 42 * D, wobei D \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (42 - 14) \u003d - 0,464 (nur 3 Zeichen der Genauigkeit) nach dem Komma) gegeben werden.

Wenn Sie wissen, können Sie eine der beiden 2 Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Wenn sich Zweifel an der Folge ergeben, können Sie es beispielsweise überprüfen, um 43 Mitglied des Progression zu bestimmen, der in der Bedingung eingestellt ist. Wir erhalten: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37.008. Ein kleiner Fehler ist mit der Tatsache verbunden, dass bei Rundung von Berechnungen auf Tausendstelfraktionen verwendet werden.

Beispiel Nummer 5: Menge

Betrachten Sie nun mehrere Beispiele mit Lösungen für die Menge an arithmetischem Fortschritt.

Lassen Sie das folgende Fortschreiten des folgenden Formulars: 1, 2, 3, 4, ... ,. Wie berechnen Sie den Betrag von 100 dieser Nummern?

Dank der Entwicklung von Computertechnologien können Sie diese Aufgabe entscheiden, das heißt sequentiell alle Zahlen, die die Rechenmaschine sofort schaffen, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Die Aufgabe kann jedoch im Sinn gelöst werden, wenn Sie darauf hinweisen, dass die Anzahl der dargestellten Nummern das Fortschreiten von Algebraic ist, und der Unterschied ist das 1. Verwenden der Formel für den Betrag, erhalten wir: s n \u003d n * (a 1 + AN) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Es ist neugierig darauf, dass diese Aufgabe als "Gaußscher" bezeichnet wird, da zu Beginn des 16. Jahrhunderts der berühmte Deutsche noch im Alter von 10 Jahren im Alter von 10 Jahren in den Kopf gelöst wurde. Der Junge kennt die Formel nicht für die Menge an algebraischen Fortschritt, aber er bemerkte, dass, wenn wir die Zahlen in den Rändern der Sequenz falten, ein Ergebnis immer erhalten wird, dh 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., und da diese Beträge genau 50 (100/2) beträgt, reicht es aus, 50 bis 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel №6: Anzahl der Mitglieder von n bis m

Noch einer typisches Beispiel Die Menge an arithmetischem Fortschritt ist folgender: Dan solcher Zahlenbereich: 3, 7, 11, 15, ..., Sie müssen feststellen, was die Summe seiner Mitglieder von 8 bis 14 gleich ist.

Die Aufgabe wird auf zwei Arten gelöst. Der erste impliziert die Suche nach unbekannten Mitgliedern von 8 bis 14 Jahren und dann ihre konsistente Summation. Da die Begriffe ein bisschen sind, ist diese Methode nicht ganz mühsam. Trotzdem wird vorgeschlagen, dieses Problem mit der zweiten Methode zu lösen, die vielseitiger ist.

Die Idee ist, eine Formel für die Summe der algebraischen Progression zwischen den Mitgliedern M und N zu erhalten, wobei n\u003e m ganze Zahlen ist. Wir haben zwei Ausdrücke für beide Fälle getrunken:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Da n\u003e m, ist es offensichtlich, dass der Betrag der Menge das erste umfasst. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass, wenn Sie einen Unterschied zwischen diesen Summen einnehmen, und einem Mitglied dazuen (im Falle eines Unterschieds), wird er von den Summen abgezogen), dann erhalten wir die notwendige Antwort auf die Aufgabe. Wir haben: S MN \u003d S N - S M + AM \u003d N * (A 1 + A) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM \u003d A 1 * (N - M) / 2 + AN * N / 2 + AM * (1- m / 2). In diesem Ausdruck ist es notwendig, die Formel für ein N und ein m zu ersetzen. Dann erhalten wir: s m mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - M / 2) \u003d A 1 * (N - M + 1) + D * N * (N - 1) / 2 + D * (3 * M - M 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, trotzdem hängt der Summe S MN nur von N, M, A 1 und D ab. In unserem Fall, ein 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Ersetzen Sie diese Zahlen, erhalten wir: S MN \u003d 301.

Wie aus den Lösungen ersichtlich ist, basieren alle Aufgaben auf dem Kenntnis der Expression für das N-TH-Mitglied und die Formel für den Betrag des Satzes der ersten Komponenten. Bevor Sie anfangen, eine dieser Aufgaben zu lösen, wird empfohlen, die Bedingung sorgfältig zu lesen, es ist klar, dass es klar ist, was erforderlich ist, um zu finden, und erfolgt nur dann mit der Lösung.

Ein weiterer Rat ist in dem Wunsch nach Einfachheit Im Beispiel der arithmetischen Progression mit der Entscheidungsnummer 6 wäre es beispielsweise möglich, auf der Formel S MN \u003d N * (A 1 + A) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM) zu wohnen, und smash. allgemeine Aufgabe Auf separaten Unteraufgaben (in diesem Fall finden Sie zuerst Mitglieder A n und A m).

Wenn es Zweifel an dem Ergebnis gibt, wird empfohlen, es zu überprüfen, wie dies in einigen der angegebenen Beispiele durchgeführt wurde. So finden Sie einen arithmetischen Fortschritt, der herausgefunden wird. Wenn Sie es herausfinden, ist es nicht so schwierig.