Wie die Reihenfolge bestimmt wird. Zahlenfolge

Folge

Folge- Das Bausatz Elemente eines Satzes:

• für jede natürliche Zahl können Sie ein Element dieser Menge angeben;
• diese Nummer ist die Elementnummer und gibt die Position dieses Elements in der Sequenz an;
• für jedes Element (Mitglied) der Sequenz können Sie das nächste Element der Sequenz angeben.

Die Folge ist also das Ergebnis konsistent Auswahl von Elementen einer bestimmten Menge. Und wenn eine Menge von Elementen endlich ist und wir von einer Stichprobe eines endlichen Volumens sprechen, dann stellt sich die Folge als eine Stichprobe eines unendlichen Volumens heraus.

Eine Sequenz ist von Natur aus eine Anzeige, daher sollte sie nicht mit einem Set verwechselt werden, das die Sequenz durchläuft.

In der Mathematik werden viele verschiedene Sequenzen betrachtet:

• Zeitreihen sowohl numerischer als auch nicht numerischer Natur;
• Folgen von Elementen des metrischen Raums
• Sequenzen von Funktionsraumelementen
• Zustandsfolge von Steuerungen und Automaten.

Das Ziel des Studiums aller Arten von Sequenzen besteht darin, Muster zu finden, zukünftige Zustände vorherzusagen und Sequenzen zu generieren.

Definition

Gegeben sei eine Menge von Elementen beliebiger Natur. | Jede Abbildung der Menge der natürlichen Zahlen auf eine gegebene Menge heißt Reihenfolge(Elemente der Menge).

Das Bild einer natürlichen Zahl, nämlich eines Elements, heißt - NS Mitglied von oder Sequenzelement, und die Ordnungszahl eines Mitglieds der Sequenz ist sein Index.

Zugehörige Definitionen

• Nehmen wir eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen, so kann man sie als Folge von Indizes einer bestimmten Folge betrachten: Nimmt man die Elemente der ursprünglichen Folge mit den entsprechenden Indizes (aus einer aufsteigenden Folge natürlicher Zahlen), dann wir erhalten wieder eine Folge, die heißt Folge eine vorgegebene Reihenfolge.

Kommentare (1)

• Ein wichtiges Konzept in der mathematischen Analysis ist der Grenzwert einer Zahlenfolge.

Bezeichnungen

Sequenzen des Formulars

es ist üblich, kompakt in Klammern zu schreiben:

oder

Manchmal werden geschweifte Klammern verwendet:

Mit einiger Freiheit der Rede kann man auch endliche Folgen der Form

,

die das Bild des Anfangssegments einer Folge natürlicher Zahlen darstellen.

siehe auch

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Synonyme:

Sehen Sie, was "Sequenz" in anderen Wörterbüchern ist:

FOLGE. In IV. Kireevskys Artikel "Das neunzehnte Jahrhundert" (1830) lesen wir: "Vom Untergang des Römischen Reiches bis in unsere Zeit erscheint uns die Aufklärung Europas in allmählicher Entwicklung und in ununterbrochener Folge" (Bd. 1, S . ... ... Geschichte der Worte

SEQUENZ, Sequenzen, pl. nein, Ehefrauen. (Buchen). ablenken. Substantiv zu konsistent. Eine Abfolge von irgendwelchen Phänomenen. Konstanz im Wechsel von Ebbe und Flut. Konsistenz in der Argumentation. Erklärendes Wörterbuch Uschakow. ... ... Ushakovs Erklärendes Wörterbuch

Konsistenz, Kontinuität, Konsistenz; Reihe, Progression, Abschluss, Serie, String, Folge, Kette, Kette, Kaskade, Relais; Beharrlichkeit, Gültigkeit, Rekrutierung, Methodik, Anordnung, Harmonie, Beharrlichkeit, Folge, Verbindung, Wendung, ... ... Synonymwörterbuch

SEQUENZ, Zahlen oder Elemente in organisierter Reihenfolge. Folgen können endlich (mit einer begrenzten Anzahl von Elementen) oder unendlich sein, wie eine vollständige Folge von natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 .... ... ... Wissenschaftliches und technisches enzyklopädisches Wörterbuch

SEQUENCE, eine Menge von Zahlen (mathematische Ausdrücke usw .; sie sagen: Elemente jeder Art), nummeriert mit natürlichen Zahlen. Die Folge wird geschrieben als x1, x2, ..., xn, ... oder kurz (xi) ... Moderne Enzyklopädie

Einer der Grundbegriffe der Mathematik. Die Folge besteht aus Elementen beliebiger Natur, die mit den natürlichen Zahlen 1, 2, ..., n, ... nummeriert sind und in der Form x1, x2, ..., xn, ... oder kurz (xn ) ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Folge- SEQUENCE, eine Reihe von Zahlen (mathematische Ausdrücke usw .; sie sagen: Elemente jeder Art), nummeriert mit natürlichen Zahlen. Die Sequenz wird als x1, x2, ..., xn, ... oder kurz (xi) geschrieben. ... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

SEQUENZ, und, Frauen. 1. siehe sequenziell. 2. In der Mathematik: eine unendliche geordnete Menge von Zahlen. Ozhegovs Erklärendes Wörterbuch. S.I. Ozhegov, N. Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Ozhegovs Erklärendes Wörterbuch

Englisch. Abfolge / Reihenfolge; Deutsch Konsequenz. 1. Die Reihenfolge nacheinander. 2. Eines der Grundkonzepte der Mathematik. 3. Die Qualität stimmt logisches Denken, wenn rum, die Argumentation ist frei von inneren Widersprüchen in ein und demselben ... ... Enzyklopädie der Soziologie

Folge- „eine auf der Menge natürlicher Zahlen definierte Funktion, deren Wertemenge aus Elementen jeder Art bestehen kann: Zahlen, Punkte, Funktionen, Vektoren, Mengen, Zufallsvariablen usw., nummeriert mit natürlichen Zahlen .. . Wirtschafts- und Mathematik-Wörterbuch

Bücher

• Wir bauen eine Sequenz. Kätzchen. 2-3 Jahre,. Spiel "Kätzchen". Wir bauen eine Sequenz. 1. Ebene. Serie" Vorschulbildung". Lustige Kätzchen beschlossen, sich am Strand zu sonnen! Aber sie können sich einfach nicht die Plätze teilen. Helfen Sie ihnen, es herauszufinden! ...

Spezies ja= F(x), xÖ n, wo n- eine Menge natürlicher Zahlen (oder eine Funktion eines natürlichen Arguments), bezeichnet mit ja=F(n) oder ja 1 ,ja 2 ,…, ja nein,…. Die Werte ja 1 ,ja 2 ,ja 3 ,… heißen jeweils die ersten, zweiten, dritten, ... Mitglieder der Folge.

Zum Beispiel für die Funktion ja= n 2 kann geschrieben werden:

ja 1 = 1 2 = 1;

ja 2 = 2 2 = 4;

ja 3 = 3 2 = 9;…j n = n 2 ;…

Methoden zum Einstellen von Sequenzen. Sequenzen können auf verschiedene Weise spezifiziert werden, von denen drei besonders wichtig sind: analytisch, beschreibend und wiederkehrend.

1. Eine Folge ist analytisch gegeben, wenn die Formel gegeben ist n Mitglied:

ja nein=F(n).

Beispiel. ja nein= 2n - 1 – eine Folge ungerader Zahlen: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Beschreibend die Art und Weise, eine numerische Sequenz anzugeben, besteht darin, dass sie erklärt, aus welchen Elementen die Sequenz aufgebaut ist.

Beispiel 1. "Alle Mitglieder der Sequenz sind gleich 1". Das heisst, es kommtüber eine stationäre Folge 1, 1, 1,…, 1,….

Beispiel 2. "Eine Folge besteht aus allen Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge." Die gegebene Sequenz ist also 2, 3, 5, 7, 11,…. Bei dieser Methode zum Einstellen der Sequenz in dieses Beispiel es ist schwer zu beantworten, was beispielsweise das 1000. Element der Folge ist.

3. Eine wiederkehrende Möglichkeit, eine Sequenz anzugeben, besteht darin, eine Regel anzugeben, mit der Sie berechnen können n th Glied der Sequenz, wenn ihre vorherigen Glieder bekannt sind. Der Name rekursiver Weg kommt vom lateinischen Wort wiederkehren- Komm zurück. Meistens wird in solchen Fällen eine Formel angegeben, mit der man ausdrücken kann n-ten Term der Sequenz durch die vorherigen und setzen Sie 1-2 Anfangsglieder der Sequenz.

Beispiel 1. ja 1 = 3; y n = y n–1 + 4 wenn n = 2, 3, 4,….

Hier ja 1 = 3; ja 2 = 3 + 4 = 7;ja 3 = 7 + 4 = 11; ….

Sie sehen, dass die in diesem Beispiel erhaltene Sequenz auch analytisch spezifiziert werden kann: ja nein= 4n - 1.

Beispiel 2. ja 1 = 1; ja 2 = 1; ja nein = ja nein –2 + ja nein–1 wenn n = 3, 4,….

Hier: ja 1 = 1; ja 2 = 1; ja 3 = 1 + 1 = 2; ja 4 = 1 + 2 = 3; ja 5 = 2 + 3 = 5; ja 6 = 3 + 5 = 8;

Die Sequenz in diesem Beispiel wurde speziell in der Mathematik untersucht, da sie eine Reihe interessanter Eigenschaften und Anwendungen hat. Sie wird nach dem italienischen Mathematiker aus dem 13. Jahrhundert Fibonacci-Folge genannt. Es ist sehr einfach, die Fibonacci-Folge rekursiv zu definieren, aber analytisch ist es sehr schwierig. n-te Fibonacci-Zahl wird durch ihre Ordnungszahl durch die folgende Formel ausgedrückt.

Auf den ersten Blick die Formel für n Fibonacci-Zahl erscheint unwahrscheinlich, da die Formel, die eine Folge nur natürlicher Zahlen angibt, enthält Quadratwurzeln, aber Sie können die Gültigkeit dieser Formel für die ersten paar "manuell" überprüfen n.

Eigenschaften von Zahlenfolgen.

Eine Zahlenfolge ist ein Sonderfall einer Zahlenfunktion, daher werden auch für Folgen eine Reihe von Eigenschaften von Funktionen berücksichtigt.

Definition . Folge ( ja nein} heißt aufsteigend, wenn jedes seiner Mitglieder (außer dem ersten) größer ist als das vorherige:

ja 1 J 2 J 3 J J J N +1

Definition: Die Sequenz ( ja nein} heißt abnehmend, wenn jedes seiner Mitglieder (außer dem ersten) kleiner als das vorherige ist:

ja 1 > ja 2 > ja 3 > … > ja nein> ja nein +1 > … .

Aufsteigende und absteigende Sequenzen werden durch einen gemeinsamen Begriff vereint - monotone Sequenzen.

Beispiel 1. ja 1 = 1; ja nein= n 2 - aufsteigende Reihenfolge.

Somit ist der folgende Satz wahr (eine charakteristische Eigenschaft einer arithmetischen Folge). Eine Zahlenfolge ist genau dann arithmetisch, wenn jedes ihrer Glieder außer dem ersten (und im Falle einer endlichen Folge das letzte) gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Glieder ist.

Beispiel. Zu welchem ​​Wert x Nummer 3 x + 2, 5x- 4 und 11 x+ 12 eine endliche arithmetische Folge bilden?

Gemäß der charakteristischen Eigenschaft müssen die angegebenen Ausdrücke die Beziehung

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Die Lösung dieser Gleichung ergibt x= –5,5. Mit diesem Wert x gegebene Ausdrücke 3 x + 2, 5x- 4 und 11 x+ 12 nehmen jeweils Werte von –14,5, –31,5, –48,5. Das - arithmetische Progression, seine Differenz beträgt –17.

Geometrischer Verlauf.

Eine Zahlenfolge, deren alle Glieder ungleich Null sind und deren Glieder, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorherigen Term durch Multiplikation mit derselben Zahl erhalten werden Q, heißt geometrische Folge, und die Zahl Q- der Nenner einer geometrischen Progression.

Auf diese Weise, geometrischer Verlauf Ist eine Zahlenfolge ( b nein) rekursiv definiert durch die Relationen

B 1 = B, b nein = b nein –1 Q (n = 2, 3, 4…).

(B und Q - gegebene Zahlen, B ≠ 0, Q ≠ 0).

Beispiel 1.2, 6, 18, 54, ... - zunehmender geometrischer Verlauf B = 2, Q = 3.

Beispiel 2. 2, –2, 2, –2,… – geometrischer Verlauf B= 2,Q= –1.

Beispiel 3. 8, 8, 8, 8, ... – geometrischer Verlauf B= 8, Q= 1.

Eine geometrische Folge ist eine aufsteigende Folge, wenn B 1 > 0, Q> 1 und abnehmend, wenn B 1> 0, 0 q

Eine der offensichtlichen Eigenschaften einer geometrischen Folge ist, dass wenn eine Folge eine geometrische Folge ist, dann eine Folge von Quadraten, d.h.

B 1 2 , B 2 2 , B 3 2 , …, b nein 2, ... ist eine geometrische Folge, deren erster Term ist B 1 2, und der Nenner ist Q 2 .

Formel n- Term der geometrischen Progression hat die Form

b nein= B 1 q n– 1 .

Sie können eine Formel für die Summe der Mitglieder einer endlichen geometrischen Folge erhalten.

Gegeben sei eine endliche geometrische Progression

B 1 ,B 2 ,B 3 , …, b nein

lassen S n - die Summe seiner Mitglieder, d.h.

S nein= B 1 + B 2 + B 3 + … +b nein.

Es wird angenommen dass Q Nr. 1. Um zu bestimmen S nein ein künstlicher Trick wird angewendet: einige geometrische Transformationen des Ausdrucks werden durchgeführt S n q.

S n q = (B 1 + B 2 + B 3 + … + b nein –1 + b nein)Q = B 2 + B 3 + B 4 + …+ b nein+ b n q = S nein+ b n q– B 1 .

Auf diese Weise, S n q= S nein +bnq - b 1 und deshalb

Dies ist eine Formel mit ummah n Mitglieder einer geometrischen Folge für den Fall, wenn Q≠ 1.

Bei Q= 1, die Formel kann separat weggelassen werden, es ist offensichtlich, dass in diesem Fall S nein= ein 1 n.

Der geometrische Verlauf wird benannt, weil jeder Term darin, mit Ausnahme des ersten, gleich dem geometrischen Mittel der vorherigen und nachfolgenden Elemente ist. Tatsächlich seit

bn = bn- 1 Q;

bn = bn + 1 / Q,

somit, b nein 2= bn– 1 b n + 1 und der folgende Satz ist wahr (charakteristische Eigenschaft einer geometrischen Folge):

eine Zahlenfolge ist genau dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Glieder außer dem ersten (und im Falle einer endlichen Folge auch dem letzten) gleich dem Produkt der vorherigen und nachfolgenden Glieder ist.

Sequenzbegrenzung.

Sei eine Folge ( c nein} = {1/n}. Diese Folge wird als harmonisch bezeichnet, da jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem zweiten, das harmonische Mittel zwischen den vorherigen und nachfolgenden Gliedern ist. Geometrisches Mittel der Zahlen ein und B es gibt eine nummer

Andernfalls heißt die Folge divergent.

Anhand dieser Definition kann man zum Beispiel die Existenz des Grenzwertes A = 0 harmonische Folge ( c nein} = {1/n). Sei ε eine beliebig kleine positive Zahl. Der Unterschied wird berücksichtigt

Gibt es sowas n das für alle n ≥ n Ungleichung 1 / N? Wenn wir als nehmen n irgendein natürliche Zahlübersteigen 1/ε dann für alle n ≥ N Ungleichung 1 / n 1/ N ε, Q.E.D.

Es ist manchmal sehr schwierig zu beweisen, dass eine Folge einen Grenzwert hat. Die gängigsten Sequenzen sind gut untersucht und in Nachschlagewerken aufgeführt. Es gibt wichtige Theoreme, die uns auf der Grundlage der bereits untersuchten Folgen den Schluss erlauben, dass eine gegebene Folge einen Grenzwert hat (und diesen sogar berechnen).

Satz 1. Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann ist sie beschränkt.

Satz 2. Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann hat sie einen Grenzwert.

Satz 3. Wenn die Folge ( ein} hat eine Grenze EIN, dann die Sequenzen ( kann}, {ein+ s) und (| ein|} Grenzen haben ca, EIN +C, |EIN| bzw. (hier C- eine beliebige Zahl).

Satz 4. Wenn Folgen ( ein} und ( b nein) haben Grenzen gleich EIN und B Pfanne + qb n) hat eine Grenze pA+ qB.

Satz 5. Wenn Folgen ( ein) und ( b nein) haben Grenzen gleich EIN und B bzw. dann die Folge ( a n b n) hat eine Grenze AB.

Satz 6. Wenn Folgen ( ein} und ( b nein) haben Grenzen gleich EIN und B jeweils und darüber hinaus b n ≠ 0 und B ≠ 0, dann die Sequenz ( a n / b n) hat eine Grenze A / B.

Anna Chugainova

Numerische Folge ist eine numerische Funktion, die auf der Menge der natürlichen Zahlen definiert ist .

Wenn die Funktion auf die Menge der natürlichen Zahlen eingestellt ist
, dann ist der Wertesatz der Funktion zählbar und jede Zahl
stimmt mit der Zahl überein
... In diesem Fall sagen sie, dass gegeben Zahlenfolge... Die Nummern heißen Elemente oder Mitglieder der Sequenz, und die Zahl - allgemein oder Das Mitglied der Sequenz. Jedes Element hat ein Folgeelement
... Dies erklärt die Verwendung des Begriffs "Sequenz".

Eine Folge wird normalerweise entweder durch Aufzählung ihrer Elemente oder durch Angabe des Berechnungsgesetzes für das Element mit der Zahl festgelegt , d.h. Angabe seiner Formel Das Mitglied .

Beispiel.Folge
kann durch die Formel gegeben werden:
.

Üblicherweise werden die Sequenzen wie folgt bezeichnet: etc., wobei die Formel in Klammern angegeben ist te Mitglied.

Beispiel.Folge
‑das ist die folge

Menge aller Elemente der Sequenz
bezeichnet
.

Lassen
und
- zwei Sequenzen.

MIT umma Sequenzen
und
Anruffolge
, wo
, d.h.

R Die Fülle diese Folgen nennt man die Folge
, wo
, d.h.

Wenn und ‑ konstant, dann ist die Folge
,
werden genannt lineare Kombination Sequenzen
und
, d.h.

Nach Produkt Sequenzen
und
eine Sequenz aufrufen mit -tes Mitglied
, d.h.
.

Wenn
, dann kannst du definieren Privatgelände
.

Summe, Differenz, Produkt und Quotient von Folgen
und
Sie heißen algebraischKompositionen.

Beispiel.Betrachten Sie die Sequenzen
und
, wo. Dann
, d.h. Folge
hat alle Elemente gleich Null.

,
, d.h. alle Elemente der Arbeit und des Quotienten sind gleich
.

Wenn Sie einige Elemente der Sequenz durchstreichen
so dass unendlich viele Elemente übrig bleiben, dann erhalten wir eine weitere Folge, genannt Folge Sequenzen
... Wenn Sie die ersten paar Elemente der Sequenz streichen
, dann heißt die neue Folge der Rest.

Folge
begrenztOben(von unten) wenn der Satz
oben begrenzt (unten). Die Folge heißt begrenzt wenn es nach oben und unten begrenzt ist. Die Sequenz ist genau dann begrenzt, wenn einer ihrer Reste begrenzt ist.

Konvergierende Folgen

Sie sagen, dass Folge
konvergiert, wenn es eine Zahl gibt so dass für jeden
es gibt sowas
das für jeden
, gilt die Ungleichung:
.

Nummer werden genannt Grenze der Sequenz
... Gleichzeitig schreibe
oder
.

Beispiel.
.

Lass uns das zeigen
... Lass uns eine beliebige Zahl setzen
... Ungleichheit
durchgeführt für
so dass
dass die Definition der Konvergenz für die Zahl erfüllt ist
... Meint,
.

Mit anderen Worten
bedeutet, dass alle Mitglieder der Folge
mit ausreichend großen Zahlen unterscheidet sich wenig von der Zahl , d.h. beginnend mit einer Zahl
(für) die Elemente der Folge liegen im Intervall
welches heisst - die Umgebung des Punktes .

Folge
, deren Grenze Null ist (
, oder
bei
) wird genannt unendlich klein.

In Bezug auf infinitesimal sind die folgenden Aussagen wahr:

Die Summe von zwei infinitesimal ist infinitesimal;

Das Produkt einer infinitesimalen durch eine begrenzte Menge ist infinitesimal.

Satz .Um die Konsistenz zu gewährleisten
eine Grenze hat, ist es notwendig und ausreichend, dass
, wo - konstant; - unendlich klein .

Grundeigenschaften konvergierender Folgen:

Die Eigenschaften 3. und 4. verallgemeinern auf den Fall beliebig vieler konvergierender Folgen.

Beachten Sie, dass bei der Berechnung des Grenzwertes eines Bruchs dessen Zähler und Nenner Linearkombinationen von Potenzen sind , ist die Grenze des Bruchs gleich der Grenze des Verhältnisses der höchsten Terme (d. h. der Terme mit den größten Potenzen Zähler und Nenner).

Folge
namens:

Alle diese Folgen heißen eintönig.

Satz . Wenn die Sequenz
monoton zunimmt und von oben begrenzt ist, dann konvergiert er und sein Grenzwert ist gleich seiner exakten oberen Schranke; wenn die Folge abnimmt und nach unten beschränkt ist, dann konvergiert sie gegen ihre exakte untere Schranke.

Einleitung …………………………………………………………………………… 3

1.Theoretischer Teil …………………………………………………………… .4

Grundbegriffe und Begriffe ……………………………………………… .... 4

1.1 Arten von Sequenzen ……………………………………………… ... 6

1.1.1.Begrenzte und unbegrenzte numerische Sequenzen ... ..6

1.1.2 Monotonie von Sequenzen ………………………………… 6

1.1.3 Unendlich große und unendlich kleine Folgen …… .7

1.1.4 Eigenschaften infinitesimaler Folgen ………………… 8

1.1.5 Konvergierende und divergierende Folgen und ihre Eigenschaften ... ... 9

1.2 Sequenzgrenze ………………………………………………… .11

1.2.1 Folgegrenzensätze ………………………………………………………………………………………… 15

1.3 Arithmetische Progression ……………………………………………… 17

1.3.1. Eigenschaften der arithmetischen Folge ………………………………… ..17

1.4 Geometrischer Verlauf ……………………………………………… ..19

1.4.1. Eigenschaften einer geometrischen Progression …………………………………… .19

1.5. Fibonacci-Zahlen ………………………………………………………… ..21

1.5.1 Beziehung von Fibonacci-Zahlen zu anderen Wissensgebieten …………………… .22

1.5.2. Verwendung einer Reihe von Fibonacci-Zahlen zur Beschreibung der belebten und unbelebten Natur …………………………………………………………………………… .23

2. Eigene Recherche ………………………………………………… .28

Fazit ……………………………………………………………………… .30

Liste der verwendeten Literatur ………………………………………… .... 31

Einführung.

Zahlenfolgen sind ein sehr interessantes und lehrreiches Thema. Dieses Thema tritt in Quests auf erhöhte Komplexität von Autoren für Studenten angeboten didaktisches Material, in Problemen der mathematischen Olympiade, Aufnahmeprüfungen für Higher Bildungseinrichtungen und bei der Prüfung. Ich bin daran interessiert, den Zusammenhang mathematischer Sequenzen mit anderen Wissensgebieten zu lernen.

Ziel Forschungsarbeit: Erweitern Sie Ihr Wissen über die Zahlenfolge.

1. Betrachten Sie die Sequenz;

2. Betrachten Sie seine Eigenschaften;

3. Betrachten Sie die analytische Aufgabe der Sequenz;

4. Demonstrieren Sie seine Rolle bei der Entwicklung anderer Wissensgebiete.

5. Demonstrieren Sie die Verwendung einer Reihe von Fibonacci-Zahlen zur Beschreibung der belebten und unbelebten Natur.

1. Der theoretische Teil.

Grundbegriffe und Begriffe.

Definition. Eine Zahlenfolge ist eine Funktion der Form y = f (x), x О N, wobei N eine Menge natürlicher Zahlen (oder eine Funktion eines natürlichen Arguments) ist, bezeichnet mit y = f (n) oder y1, y2 ,…, yn,…. Die Werte y1, y2, y3,… heißen jeweils die ersten, zweiten, dritten,… Glieder der Folge.

Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge x = (x n), wenn es für eine beliebige vorgegebene beliebig kleine positive Zahl ε eine natürliche Zahl N gibt, so dass für alle n > N die Ungleichung | x n - a |< ε.

Ist die Zahl a der Grenzwert der Folge x = (x n), dann sagt man, dass x n gegen a strebt und schreiben

.

Eine Folge (yn) heißt aufsteigend, wenn jedes ihrer Glieder (außer dem ersten) größer ist als das vorherige:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Eine Folge (yn) heißt absteigend, wenn jedes ihrer Mitglieder (außer dem ersten) kleiner ist als das vorherige:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

Aufsteigende und absteigende Sequenzen werden durch einen gemeinsamen Begriff vereint - monotone Sequenzen.

Eine Folge heißt periodisch, wenn es eine natürliche Zahl T gibt, so dass ausgehend von einem n die Gleichheit yn = yn + T gilt. Die Zahl T heißt die Länge der Periode.

Eine arithmetische Folge ist eine Folge (an), deren jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich der Summe des vorherigen Termes und derselben Zahl d ist, wird als arithmetische Folge bezeichnet, und die Zahl d ist die Differenz von an arithmetische Progression.

Eine arithmetische Folge ist also eine Zahlenfolge (an) rekursiv gegeben durch die Relationen

a1 = a, an = an – 1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

Eine geometrische Folge ist eine Folge, deren alle Glieder ungleich Null sind und deren jeder Term, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorherigen Term durch Multiplikation mit derselben Zahl q erhalten wird.

Eine geometrische Folge ist also eine Zahlenfolge (bn), die rekursiv durch die Beziehungen

b1 = b, bn = bn – 1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Arten von Sequenzen.

1.1.1 Begrenzte und unbegrenzte Sequenzen.

Eine Folge (bn) heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt, so dass für jede Zahl n die Ungleichung bn≤ M erfüllt ist;

Eine Folge (bn) heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt, so dass für jede Zahl n die Ungleichung bn≥ M erfüllt ist;

Zum Beispiel:

1.1.2 Monotonie von Sequenzen.

Eine Folge (bn) heißt nicht ansteigend (nicht abnehmend), wenn für eine beliebige Zahl n die Ungleichung bn≥ bn + 1 (bn ≤ bn + 1) gilt;

Eine Folge (bn) heißt fallend (steigend), wenn für eine beliebige Zahl n die Ungleichung bn> bn + 1 (bn

Ab- und ansteigende Sequenzen werden als streng monoton bezeichnet, nicht ansteigende monoton im weiteren Sinne.

Folgen, die gleichzeitig nach oben und unten beschränkt sind, heißen beschränkt.

Die Abfolge all dieser Typen wird zusammenfassend als monoton bezeichnet.

1.1.3 Unendlich große und kleine Folgen.

Eine infinitesimale Folge ist eine numerische Funktion oder Folge, die gegen Null tendiert.

Eine Folge an heißt infinitesimal, wenn

Eine Funktion heißt infinitesimal in einer Umgebung des Punktes x0, wenn ℓimx → x0 f (x) = 0.

Eine Funktion heißt im Unendlichen infinitesimal, wenn ℓimx → + ∞ f (x) = 0 oder ℓimx → -∞ f (x) = 0

Eine infinitesimale Funktion ist auch die Differenz zwischen einer Funktion und ihrem Grenzwert, dh wenn ℓimx → + ∞ f (x) = a, dann f (x) - a = α (x), ℓimx → + ∞ f ((x) -a) = 0.

Eine unendlich große Folge ist eine numerische Funktion oder eine Folge, die ins Unendliche tendiert.

Eine Folge an heißt unendlich groß, wenn

imn → 0 an = ∞.

Eine Funktion heißt unendlich groß in einer Umgebung des Punktes x0, wenn ℓimx → x0 f (x) = ∞.

Eine Funktion heißt unendlich groß im Unendlichen, wenn

imx → + ∞ f (x) = ∞ oder ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 Eigenschaften infinitesimaler Folgen.

Die Summe zweier infinitesimaler Folgen ist selbst auch eine infinitesimale Folge.

Die Differenz zweier infinitesimaler Folgen ist selbst auch eine infinitesimale Folge.

Algebraische Summe von any endliche Zahl infinitesimale Folgen sind selbst auch infinitesimale Folgen.

Das Produkt einer beschränkten Folge durch eine infinitesimale Folge ist eine infinitesimale Folge.

Das Produkt einer endlichen Anzahl infinitesimaler Folgen ist eine infinitesimale Folge.

Jede infinitesimale Folge ist begrenzt.

Wenn eine stationäre Folge infinitesimal ist, dann sind alle ihre Elemente, beginnend mit eins, gleich Null.

Wenn die ganze infinitesimale Folge aus identischen Elementen besteht, dann sind diese Elemente Nullen.

Wenn (xn) eine unendlich große Folge ist, die keine Nullterme enthält, dann gibt es eine unendlich kleine Folge (1 / xn). Enthält (xn) dennoch null Elemente, so kann die Folge (1 / xn) noch ab einer Zahl n definiert werden und ist immer noch unendlich klein.

Wenn (an) eine unendlich kleine Folge ist, die keine Nullterme enthält, dann gibt es eine unendlich große Folge (1 / an). Enthält (an) dennoch null Elemente, so kann die Folge (1 / an) immer noch ab einer Zahl n definiert werden und ist immer noch unendlich groß.

1.1.5 Konvergierende und divergierende Folgen und ihre Eigenschaften.

Eine konvergierende Folge ist eine Folge von Elementen einer Menge X, die in dieser Menge einen Grenzwert hat.

Eine divergente Folge ist eine Folge, die nicht konvergent ist.

Jede infinitesimale Folge ist konvergent. Seine Grenze ist null.

Das Entfernen einer endlichen Anzahl von Elementen aus einer unendlichen Folge beeinflusst weder die Konvergenz noch den Grenzwert dieser Folge.

Jede konvergierende Folge ist beschränkt. Allerdings konvergiert nicht jede begrenzte Folge.

Wenn die Folge (xn) konvergiert, aber nicht infinitesimal ist, dann wird ab einer Zahl die Folge (1 / xn) definiert, die beschränkt ist.

Die Summe der konvergierenden Folgen ist auch eine konvergierende Folge.

Die Differenz der konvergierenden Folgen ist ebenfalls eine konvergierende Folge.

Das Produkt konvergierender Folgen ist auch eine konvergierende Folge.

Der Quotient zweier konvergierender Folgen wird ausgehend von einem Element definiert, es sei denn, die zweite Folge ist infinitesimal. Wenn der Quotient zweier konvergierender Folgen definiert ist, handelt es sich um eine konvergierende Folge.

Wenn eine konvergierende Folge nach unten beschränkt ist, überschreitet keine ihrer unteren Schranken ihren Grenzwert.

Wenn eine konvergierende Folge nach oben beschränkt ist, überschreitet ihr Grenzwert keine ihrer oberen Schranken.

Wenn für irgendeine Zahl die Glieder einer konvergierenden Folge die Glieder einer anderen konvergierenden Folge nicht überschreiten, dann überschreitet der Grenzwert der ersten Folge auch nicht den Grenzwert der zweiten.

Vorlesung 8. Numerische Folgen.

Definition8.1. Wenn jedem Wert nach einem bestimmten Gesetz eine reelle Zahl zugewiesen wirdx n , dann die Menge der nummerierten reellen Zahlen

– abgekürzte Notation
, (8.1)

werde anrufenZahlenfolge oder nur eine folge.

Separate Nummern x n  Elemente oder Mitglieder einer Sequenz (8.1).

Die Reihenfolge kann durch eine gängige Termformel angegeben werden, zum Beispiel:
oder
... Die Reihenfolge kann mehrdeutig angegeben werden, zum Beispiel kann die Reihenfolge –1, 1, –1, ... durch die Formel angegeben werden
oder
... Manchmal wird eine rekursive Methode verwendet, um eine Sequenz zu spezifizieren: Die ersten paar Glieder der Sequenz werden angegeben und eine Formel wird verwendet, um die nächsten Elemente zu berechnen. Zum Beispiel die durch das erste Element definierte Sequenz und die Wiederholungsbeziehung
(arithmetische Progression). Betrachten Sie eine Folge namens in der Nähe von Fibonacci: die ersten beiden Elemente sind gesetzt x 1 =1, x 2 = 1 und Wiederholungsbeziehung
für jeden
... Wir erhalten eine Folge von Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…. Für eine solche Reihe ist es ziemlich schwierig, eine Formel für den allgemeinen Term zu finden.

8.1. Arithmetische Operationen mit Folgen.

Betrachten Sie zwei Sequenzen:

(8.1)

Definition 8.2. Lass uns anrufenProdukt der Folge
nach der Zahl mFolge
... Schreiben wir es so:
.

Nennen wir die Sequenz Summe der Folgen (8.1) und (8.2) schreiben wir wie folgt:; ähnlich
Lass uns anrufen Sequenzunterschied (8.1) und (8.2);
 Produkt von Folgen (8.1) und (8.2);  private Sequenzen (8.1) und (8.2) (alle Elemente
).

8.2. Begrenzte und unbegrenzte Sequenzen.

Die Sammlung aller Elemente in einer beliebigen Reihenfolge
bildet eine numerische Menge, die von oben (von unten) begrenzt werden kann und für die ähnliche Definitionen wie für reelle Zahlen gelten.

Definition 8.3. Folge
namensvon oben begrenzt , wenn ; m  Oberkante.

Definition 8.4. Folge
namensvon unten begrenzt , wenn ;m  Unterkante.

Definition 8.5.Folge
namensbegrenzt wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, d. h. wenn es zwei reelle Zahlen M gibt undm so dass jedes Element der Folge
erfüllt die Ungleichungen:

, (8.3)

mundm- untere und obere Kante
.

Ungleichungen (8.3) heißen die Bedingung der Beschränktheit der Folge
.

Zum Beispiel die Sequenz
begrenzt, und
unbegrenzt.

♦ Erklärung 8.1.
ist begrenzt .

Nachweisen. Lass uns wählen
... Nach Definition 8.5 ist die Folge
wird begrenzt sein. ■

Definition 8.6. Folge
namensunbegrenzt falls es für jede positive (beliebig große) reelle Zahl A mindestens ein Element der Folge gibtx n die Ungleichung erfüllen:
.

Zum Beispiel die Sequenz 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 n,…  unbegrenzt, da nur von unten begrenzt.

8.3. Unendlich große und unendlich kleine Folgen.

Definition 8.7. Folge
namensunendlich groß wenn es für jede (beliebig große) reelle Zahl A eine Zahl gibt
so dass für alle
die Elementex n
.

☼ Anmerkung 8.1. Wenn die Folge unendlich groß ist, dann ist sie unbegrenzt. Aber man sollte nicht denken, dass jede unbeschränkte Folge unendlich groß ist. Zum Beispiel die Sequenz
nicht begrenzt, aber nicht unendlich groß, da Zustand
scheitert für alle sogar n. ☼

 Beispiel 8.1.
ist unendlich groß. Nimm eine beliebige Zahl EIN> 0. Von der Ungleichung
wir bekommen n>EIN... Wenn du nimmst
dann für alle n>n die Ungleichung
, d. h. nach Definition 8.7 ist die Folge
unendlich groß. 

Definition 8.8. Folge
namensunendlich klein wenn wegen
(wenn auch klein ) es gibt eine Zahl
so dass für alle
die Elemente dieser Folge erfüllen die Ungleichung
.

 Beispiel 8.2. Zeigen wir, dass die Folge unendlich klein.

Nimm eine beliebige Zahl
... Von der Ungleichung
wir bekommen ... Wenn du nimmst
dann für alle n>n die Ungleichung
. 

♦ Erklärung 8.2. Folge
ist unendlich groß für
und unendlich klein für
.

Nachweisen.

1) Lass zuerst
:
, wo
... Nach der Bernoulli-Formel (Beispiel 6.3, S. 6.1.)
... Wir legen eine beliebige positive Zahl fest EIN und wähle damit eine Zahl aus n so dass die Ungleichung gilt:

,
,
,
.

Als
, dann nach der Eigenschaft des Produkts der reellen Zahlen für alle

.

Also für
es gibt so eine nummer
das für alle


- unendlich groß bei
.

2) Betrachten Sie den Fall
,
(bei Q= 0 haben wir den trivialen Fall).

Lassen
, wo
, nach der Bernoulli-Formel
oder
.

Wir reparieren
,
und wähle
so dass

,
,
.

Zum

... Wir geben eine solche Zahl an n das für alle

, das heißt für
Folge
unendlich klein. ■

8.4. Grundlegende Eigenschaften infinitesimaler Folgen.

♦ Satz 8.1.Summe

und

Nachweisen. Wir reparieren ;
- unendlich klein

,

- unendlich klein

... Lass uns wählen
... Dann bei

,
,
. ■

♦ Satz 8.2. Unterschied
zwei infinitesimale Folgen
und
es gibt eine unendlich kleine Folge.

Zum nachweisen des Satzes genügt es, die Ungleichung zu verwenden. ■

Folge.Die algebraische Summe einer endlichen Anzahl infinitesimaler Folgen ist eine infinitesimale Folge.

♦ Satz 8.3.Das Produkt einer beschränkten Folge durch eine infinitesimale Folge ist eine infinitesimale Folge.

Nachweisen.
- begrenzt,
- eine unendlich kleine Folge. Wir reparieren ;
,
;
: bei
gerecht
... Dann
. ■

♦ Satz 8.4.Jede infinitesimale Folge ist beschränkt.

Nachweisen. Wir reparieren Lassen Sie eine Zahl. Dann
für alle Zahlen n, was bedeutet, dass die Sequenz begrenzt ist. ■

Folge. Das Produkt zweier (und einer beliebigen endlichen Zahl) infinitesimaler Folgen ist eine infinitesimale Folge.

♦ Satz 8.5.

Wenn alle Elemente einer infinitesimalen Folge
gleich der gleichen ZahlC, dann c = 0.

Nachweisen Satz wird durch Widerspruch ausgeführt, wenn wir bezeichnen
. ■

♦ Satz 8.6. 1) Wenn
Ist also eine unendlich große Folge, ausgehend von einer Zahln, der Quotient ist definiert zwei Sequenzen
und
, was eine unendlich kleine Folge ist.

2) Wenn alle Elemente einer infinitesimalen Folge
ungleich Null sind, dann ist der Quotient zwei Sequenzen
und
ist eine unendlich große Folge.

Nachweisen.

1) Lass
- eine unendlich große Folge. Wir reparieren ;
oder
bei
... Somit ist nach Definition 8.8 die Folge - unendlich klein.

2) Lass
- eine unendlich kleine Folge. Angenommen, alle Elemente
sind ungleich null. Wir reparieren EIN;
oder
bei
... Nach Definition 8.7 ist die Folge unendlich groß. ■