Kann der arithmetische Fortschritt negativ sein. Arithmetisches und geometrisches Fortschritt
Aufgaben für arithmetische Fortschritte. Es gab schon tiefe Antike. Sie erschienen und forderten eine Lösung, weil sie eine praktische Notwendigkeit hatten.
Also in einem der Papyrus Antikes ÄgyptenEinen mathematischen Inhalt - Rinda Papyrus (XIX Century BC) - enthält eine solche Aufgabe: Wir teilen zehn Mahlzeiten für zehn Personen, vorausgesetzt, der Unterschied zwischen jedem von ihnen beträgt eine achte Maßnahme. "
Und in den mathematischen Werken der antiken Griechen gibt es elegante Theorems, die sich auf den arithmetischen Fortschritt beziehen. Also, das Hypsum Alexandrian (II. Jahrhundert, das viele interessante Aufgaben war, und fügte das vierzehnte Buch dem "Beginn von" Euclid hinzu, formulierte den Gedanken: "in einem arithmetischen Fortschritt, der eine gerade Anzahl von Mitgliedern hat, die Menge von Mitglieder der 2. Hälfte mehr als die 1. Mitglieder 1/2 Mitgliederzahlen. "
Bezeichnet die Sequenz an. Die Sequenznummern werden als Mitglieder bezeichnet und werden normalerweise mit Buchstaben mit Indizes bezeichnet, die die Sequenznummer dieses Mitglieds angeben (A1, A2, A3 ... Lesen: "A 1-O", "A 2nd", "A 3- Pin "und so weiter).
Die Reihenfolge kann unendlich oder endlich sein.
Und was ist eine arithmetische Progression? Darunter verstehen sie die Zugabe des vorherigen Mitglieds (n), das mit derselben Nummer D erhalten wurde, die der Fortschrittsunterschied ist.
Wenn D.<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, diese Progression wird als zunehmend angesehen.
Die arithmetische Progression wird ultimativ bezeichnet, wenn nur die mehreren seiner ersten Mitglieder berücksichtigt werden. Mit einer sehr großen Anzahl von Mitgliedern ist dies ein endloser Fortschritt.
Jede arithmetische Progression wird durch die folgende Formel definiert:
aN \u003d kN + B, während B und K einige Zahlen sind.
Es ist absolut wahr, eine Aussage, die inverse ist: Wenn die Sequenz von einer ähnlichen Formel angegeben ist, ist dies genau ein arithmetischer Fortschritt, der Eigenschaften hat:
- Jedes Mitglied des Fortschritts ist der arithmetische Durchschnitt des bisherigen Mitglieds und der Folge.
- REVERSE: Wenn ausgehend von der 2., jedes Mitglied ist der arithmetische Durchschnitt des bisherigen Mitglieds und der nachfolgenden, d. H. Wenn eine Bedingung erfüllt ist, ist diese Reihenfolge eine arithmetische Progression. Diese Gleichheit ist gleichzeitig ein Anzeichen von Progression, daher wird es normalerweise als charakteristische Eigenschaft des Fortschreitens bezeichnet.
In ähnlicher Weise ist der Satz, der diese Eigenschaft widerspiegelt, ist: eine Sequenz-arithmetische Weitergabe, wenn diese Gleichheit für jedes der Mitglieder der Sequenz trifft, ab dem 2. von der 2.
Die charakteristische Eigenschaft für vier beliebige Zahl der arithmetischen Progression kann durch die Formel A + AM \u003d AK + AL ausgedrückt werden, wenn n + m \u003d k + l (m, n, k die Anzahl der Progression ist).
In der arithmetischen Progression kann jeder notwendige (n-th) ein Mitglied durch Anwenden der folgenden Formel gefunden werden:
Zum Beispiel: Der erste Begriff (A1) in der arithmetischen Progression ist eingestellt und gleich drei, und der Unterschied (d) ist gleich vier. Finden Sie, dass Sie ein vierzigfünfziges Mitglied dieses Fortschreitens benötigen. A45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177
Eine \u003d AK + D-Formel (N - K) ermöglicht es Ihnen, festzustellen n-tiges Mitglied Arithmetische Progression durch jedes von ihrem K-bezahlten Mitglied, vorausgesetzt, es ist bekannt.
Die Summe der Mitglieder der arithmetischen Progression (impliziert das 1. N-Mitglied des endgültigen Fortschritts) wird wie folgt berechnet:
Sn \u003d (A1 + AN) N / 2.
Wenn das erste Element auch bekannt ist, ist eine andere Formel für die Berechnung geeignet:
Sn \u003d ((2A1 + D (N - 1)) / 2) * n.
Die Menge der arithmetischen Progression, die n-Mitglieder enthält, wird auf diese Weise berechnet:
Die Wahl der Formeln für Berechnungen hängt von den Bedingungen der Aufgaben und den Quelldaten ab.
Natürliche Serie beliebiger Zahlen wie 1,2,3, ..., n, ... das einfachste Beispiel für arithmetische Fortschritte.
Neben der arithmetischen Progression gibt es auch ein geometrisches, was seine Eigenschaften und Eigenschaften besitzt.
Wenn jede natürliche Zahl n. ein gültig eingeben eIN. , dann sagen sie, was eingestellt ist numerische Reihenfolge :
eIN. 1 , eIN. 2 , eIN. 3 , . . . , eIN. , . . . .
Die numerische Reihenfolge ist also die Funktion des natürlichen Arguments.
Nummer eIN. 1 Anruf das erste Mitglied der Sequenz , Nummer eIN. 2 — das zweite Mitglied der Sequenz , Nummer eIN. 3 — dritte usw. Nummer eIN. Anruf n-M-Schwanz Sequenzen und die natürliche Zahl n. — seine Nummer .
Von zwei benachbarten Mitgliedern eIN. und eIN. +1 Mitgliedsequenzen eIN. +1 Anruf nachverfolgen (gegenüber eIN. ), aber eIN. — bisherige (gegenüber eIN. +1 ).
Um eine Sequenz festzulegen, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Mitglied einer Sequenz mit einer beliebigen Nummer finden können.
Oft wird die Sequenz mit der Verwendung angegeben formeln n-th Mitglied Das heißt, die Formel, mit der Sie das Sequenzelement anhand seiner Anzahl ermitteln können.
Beispielsweise,
die Reihenfolge der positiven ungeraden Zahlen kann von der Formel eingestellt werden
eIN.= 2n -1,
und die Sequenz abwechselnd 1 und -1 - Formel
b. N. = (-1) N. +1 . ◄
Sequenz kann definiert werden wiederkehrende Formel, Das heißt, eine Formel, die jedes Mitglied der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen, durch die vorherigen (ein oder mehreren) Mitgliedern.
Beispielsweise,
wenn ein eIN. 1 = 1 , aber eIN. +1 = eIN. + 5
eIN. 1 = 1,
eIN. 2 = eIN. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
eIN. 3 = eIN. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
eIN. 4 = eIN. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
eIN. 5 = eIN. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Wenn ein a 1.= 1, a 2 = 1, eIN. +2 = eIN. + eIN. +1 , Dann die ersten sieben Mitglieder numerische Reihenfolge Installieren Sie wie folgt:
a 1. = 1,
a 2 = 1,
a 3. = a 1. + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3. = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3. + a 4 = 2 + 3 = 5,
eIN. 6 = eIN. 4 + eIN. 5 = 3 + 5 = 8,
eIN. 7 = eIN. 5 + eIN. 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sequenzen können sein ende und unendlich .
Die Reihenfolge wird aufgerufen endlich Wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Reihenfolge wird aufgerufen unendlich Wenn es unendlich viele Mitglieder hat.
Beispielsweise,
die Sequenz ist zweistellig natürliche Zahlen:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
endlich.
Reihenfolge der Primzahlen:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
unendlich. ◄
Sequenz werden aufgerufen zunehmend. Wenn jedes Element von der zweiten, mehr als der vorherige.
Sequenz werden aufgerufen absteigend Wenn jedes Mitglied von der zweiten, weniger als der vorherige ist.
Beispielsweise,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n., . . . - zunehmende Reihenfolge;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / N., . . . - Abnehmende Reihenfolge. ◄
Die Sequenz, deren Elemente mit zunehmender Anzahl nicht abnehmen, werden nicht abnehmen, oder im Gegenteil nicht steigen, wird aufgerufen monotone Sequenz .
Insbesondere monotone Sequenzen sind zunehmende Sequenzen und abnehmende Sequenzen.
Arithmetische Fortschritte.
Arithmetische Fortschritte. die Sequenz wird aufgerufen, von denen jedes Element, dessen, ausgehend von der zweiten, der vorherige ist, auf den dieselbe Anzahl hinzugefügt wird.
eIN. 1 , eIN. 2 , eIN. 3 , . . . , eIN., . . .
ist ein arithmetischer Fortschritt, wenn für jede natürliche Zahl n. Bedingung ist zufrieden:
eIN. +1 = eIN. + d.,
wo d. - Einige Nummer.
Somit ist der Unterschied zwischen den nachfolgenden und früheren Mitgliedern dieses arithmetischen Fortschreitens immer konstant:
a 2 - eIN. 1 = und 3. - eIN. 2 = . . . = eIN. +1 - eIN. = d..
Nummer d. Anruf der Unterschied zwischen dem arithmetischen Fortschritt.
Um einen arithmetischen Fortschritt einzustellen, reicht es aus, seinen ersten Begriff und einen Unterschied anzugeben.
Beispielsweise,
wenn ein eIN. 1 = 3, d. = 4 Die ersten fünf Sequenzen der Sequenz finden sich wie folgt:
a 1. =3,
a 2 = a 1. + d. = 3 + 4 = 7,
a 3. = a 2 + d.= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3. + d.= 11 + 4 = 15,
eIN. 5 = eIN. 4 + d.= 15 + 4 = 19. ◄
Für arithmetische Fortschritte mit dem ersten Mitglied eIN. 1 und Unterschied d. ihr n.
eIN. = a 1. + (n.- 1)d.
Beispielsweise,
finden Sie ein dreißiges Mitglied des arithmetischen Fortschreitens
1, 4, 7, 10, . . .
a 1. =1, d. = 3,
ein 30. = a 1. + (30 - 1)d \u003d.1 + 29· 3 = 88. ◄
ein n-1 = a 1. + (n.- 2)d,
eIN.= a 1. + (n.- 1)d,
eIN. +1 = eIN. 1 + nd.,
dann offensichtlich
| eIN.=
| ein n-1 + a n + 1
|
| 2
|
jedes Mitglied des arithmetischen Fortschreitens, ab dem zweiten, ist gleich den durchschnittlichen arithmetischen vorangehenden und anschließenden Elementen.
die Zahlen A, B und C sind konsistente Mitglieder einiger arithmetischer Fortschritte, wenn und nur, wenn einer von ihnen gleich dem durchschnittlichen Arithmetik zwei ist, zwei andere.
Beispielsweise,
eIN. = 2n.- 7 ist ein arithmetischer Fortschritt.
Wir verwenden die obige Anweisung. Wir haben:
eIN. = 2n.- 7,
ein n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n.- 9,
a n + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2n.- 5.
Daher,
| a n + 1 + a n-1
| =
| 2n.- 5 + 2n.- 9
| = 2n.- 7 = eIN.,
|
| 2
| 2
|
◄
Beachten Sie, dass n. -y Mitglied der arithmetischen Progression kann nicht nur gefunden werden eIN. 1 aber auch irgendwelche vorherigen ein K.
eIN. = ein K. + (n.- k.)d..
Beispielsweise,
zum eIN. 5 kann aufgenommen werden
a 5 = a 1. + 4d.,
a 5 = a 2 + 3d.,
a 5 = a 3. + 2d.,
a 5 = a 4 + d.. ◄
eIN. = ein n-k + kd.,
eIN. = ein n + k - kd.,
dann offensichtlich
| eIN.=
| eIN. N-k.
+ A. N + k.
|
| 2
|
jedes Mitglied des arithmetischen Fortschreitens, ausgehend von der zweiten, gleich der Hälfte der Mitglieder dieses arithmetischen Fortschritts, der ihm gleich ist.
Darüber hinaus trifft die Gleichstellung für jeden arithmetischen Fortschritt zu:
ein m + a n \u003d a k + a l,
m + n \u003d k + l.
Beispielsweise,
im arithmetischen Fortschritt.
1) eIN. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (eIN. 9 + eIN. 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3. + 7d.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + A 12 \u003d A 5 + A 9, als
a 2 + A 12= 4 + 34 = 38,
Ein 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S N.= ein 1 + a 2 + a 3 +. . .+ eIN.,
zuerst n. Die Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens entsprechen der Arbeit der extremen alternativen Begriffe für die Anzahl der Bedingungen:
Von hier aus folgt insbesondere, dass, wenn die Mitgliedschaft zusammengefasst werden soll
ein K., ein K. +1 , . . . , eIN.,
die vorherige Formel behält seine Struktur:
Beispielsweise,
im arithmetischen Fortschritt. 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S. 10 - S. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Wenn der arithmetische Fortschritt gegeben ist, dann die Werte eIN. 1 , eIN., d., n. undS. n. begrenzt von zwei Formeln:
Deshalb, wenn trey-Werte Diese Werte sind angegeben, dann werden die entsprechenden Werte der beiden verbleibenden Werte aus diesen Formeln bestimmt, die in ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert sind.
Die arithmetische Progression ist eine monotone Sequenz. Dabei:
- wenn ein d. > 0 dann nimmt es zu;
- wenn ein d. < 0 Es ist absteigend;
- wenn ein d. = 0 Die Reihenfolge ist stationär.
Geometrische Progression.
Geometrische Progression. die Sequenz wird aufgerufen, deren Element, dessen, ab dem zweiten, der vorherige ist, der mit der gleichen Nummer multipliziert ist.
b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . , b N., . . .
ist ein geometrischer Fortschritt, wenn für jede natürliche Zahl n. Bedingung ist zufrieden:
b N. +1 = b N. · q,
wo q ≠ 0 - Einige Nummer.
Somit ist das Verhältnis des anschließenden Elements dieses geometrischen Fortschreitens zum vorherigen die Zahl permanent:
b. 2 / b. 1 = b. 3 / b. 2 = . . . = b N. +1 / b N. = q.
Nummer q Anruf nenner Geometrische Progression..
Um einen geometrischen Progression einzustellen, reicht es aus, seinen ersten Begriff und den Nenner anzugeben.
Beispielsweise,
wenn ein b. 1 = 1, q = -3 Die ersten fünf Sequenzen der Sequenz finden sich wie folgt:
b 1. = 1,
b 2. = b 1. · q = 1 · (-3) = -3,
b 3. = b 2. · q= -3 · (-3) = 9,
b 4. = b 3. · q= 9 · (-3) = -27,
b. 5 = b. 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b. 1 und Nenner q ihr n. - Ich kann von der Formel gefunden werden:
b N. = b. 1 · q N. -1 .
Beispielsweise,
finden Sie das siebte Mitglied des geometrischen Fortschritts 1, 2, 4, . . .
b. 1 = 1, q = 2,
b. 7 = b. 1 · q 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄
b N-1 = b 1. · q N. -2 ,
b N. = b 1. · q N. -1 ,
b N. +1 = b. 1 · q N.,
dann offensichtlich
b N. 2 = b N. -1 · b N. +1 ,
jedes Mitglied des geometrischen Fortschreitens, ab dem zweiten, ist gleich den durchschnittlichen geometrischen (proportionalen) vorangehenden und anschließenden Elementen.
Da die entgegengesetzte Anweisung auch trifft, findet dann die folgende Erklärung statt:
die Zahlen A, B und C sind konsistente Mitglieder einiger geometrischer Progression, wenn und nur, wenn das Quadrat eines von ihnen gleich der Arbeit der anderen beiden ist, dh eine der Zahlen ist ein durchschnittlicher geometrischer zweier anderes.
Beispielsweise,
wir beweisen, dass die von der Formel angegebene Reihenfolge b N. \u003d -3 · 2 N. ist ein geometrischer Fortschritt. Wir verwenden die obige Anweisung. Wir haben:
b N. \u003d -3 · 2 N.,
b N. -1 \u003d -3 · 2 N. -1 ,
b N. +1 \u003d -3 · 2 N. +1 .
Daher,
b N. 2 \u003d (-3 · 2 N.) 2 \u003d (-3 · 2 N. -1 ) · (-3 · 2 N. +1 ) = b N. -1 · b N. +1 ,
was die notwendige Anweisung beweist. ◄
Beachten Sie, dass n. -y Mitglied der geometrischen Progression kann nicht nur durch gefunden werden b. 1 , aber auch ein bisheriges Mitglied b k. Warum reicht es aus, um die Formel zu verwenden?
b N. = b k. · q N. - K..
Beispielsweise,
zum b. 5 kann aufgenommen werden
b 5. = b 1. · q 4 ,
b 5. = b 2. · f 3.,
b 5. = b 3. · f 2.,
b 5. = b 4. · q. ◄
b N. = b k. · q N. - K.,
b N. = b N. - K. · q K.,
dann offensichtlich
b N. 2 = b N. - K.· b N. + K.
das Quadrat eines jeden Mitglieds des geometrischen Fortschreitens, ab dem zweiten, der von der Arbeit der Mitglieder dieses Fortschritts entspricht, von diesem aus beteiligbar ist.
Darüber hinaus ist die Gleichstellung für jeden geometrischen Fortschritt wahr:
b M.· b N.= b k.· b L.,
m.+ n.= k.+ l..
Beispielsweise,
in geometrischer Progression.
1) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b. 5 · b. 7 ;
2) 1024 = b. 11 = b. 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b. 4 · b. 8 ;
4) b. 2 · b. 7 = b. 4 · b. 5 , als
b. 2 · b. 7 = 2 · 64 = 128,
b. 4 · b. 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S N.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . + b N.
zuerst n. Mitglieder des geometrischen Fortschreitens mit Nenner q ≠ 0 Berechnet von der Formel:
Und für q = 1 - Laut der Formel
S N.= nb. 1
Beachten Sie, dass, wenn Sie Mitglieder zusammensetzen müssen
b k., b k. +1 , . . . , b N.,
die Formel wird verwendet:
| S N.- S k. -1 = b k. + b k. +1 + . . . + b N. = b k. · | 1 - q N. -
K. +1
| . |
| 1 - q
|
Beispielsweise,
in geometrischer Progression. 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S. 10 - S. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Wenn der geometrische Fortschritt gegeben ist, dann die Werte b. 1 , b N., q, n. und S N. begrenzt von zwei Formeln:
Wenn daher die Werte von drei dieser Werte angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der beiden verbleibenden Werte aus diesen Formeln ermittelt, die in ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert werden.
Für geometrische Progression mit dem ersten Mitglied b. 1 und Nenner q Es gibt folgende eigenschaften von Monotonie :
- die Progression nimmt zu, wenn eine der folgenden Bedingungen durchgeführt wird:
b. 1 > 0 und q> 1;
b. 1 < 0 und 0 < q< 1;
- die Progression ist absteigend, wenn eine der folgenden Bedingungen durchgeführt wird:
b. 1 > 0 und 0 < q< 1;
b. 1 < 0 und q> 1.
Wenn ein q< 0 , dann geometrische Progression ist ein Zeichen): Ihre Mitglieder mit ungeraden Zahlen haben das gleiche Zeichen wie sein erstes Mitglied und Mitglieder mit geraden Zahlen - das entgegengesetzte Zeichen. Es ist klar, dass der alternative geometrische Fortschritt nicht monoton ist.
Die Arbeit des ersten n. Mitglieder der geometrischen Progression können von der Formel berechnet werden:
P n= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B N. = (b 1. · b N.) n. / 2 .
Beispielsweise,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Unendlich abnehmender geometrischer Fortschritt
Unendlich abnehmender geometrischer Fortschritt Rufen Sie einen unendlichen geometrischen Fortschritt an, dessen Nenner-Modul weniger ist 1 , also
|q| < 1 .
Beachten Sie, dass ein unendlich abnehmender geometrischer Fortschritt möglicherweise keine abnehmende Sequenz sein kann. Dies entspricht dem Fall
1 < q< 0 .
Mit diesem Nenner wechselt die Sequenz abwechselnd. Beispielsweise,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Summe des unendlich abnehmenden geometrischen Fortschreitens rufen Sie die Nummer an, in der die Summe der ersten unbegrenzt ist n. Mitglieder des Fortschritts mit unbegrenzter Erhöhung der Zahl n. . Diese Nummer ist natürlich natürlich und von der Formel ausgedrückt
| S.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . = | b. 1
| . |
| 1 - q
|
Beispielsweise,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Kommunikation von arithmetischen und geometrischen Fortschritts
Arithmetik I. geometrische Progression. Eng miteinander verwandt. Betrachten Sie nur zwei Beispiele.
eIN. 1 , eIN. 2 , eIN. 3 , . . . d. T.
b A. 1 , b A. 2 , b A. 3 , . . . b D. .
Beispielsweise,
1, 3, 5, . . . - arithmetischer Fortschritt mit einem Unterschied 2 und
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - Geometrische Progression mit Nenner 7 2 . ◄
b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . - Geometrische Progression mit Nenner q T.
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - arithmetischer Fortschritt mit einem Unterschied log A.q .
Beispielsweise,
2, 12, 72, . . . - Geometrische Progression mit Nenner 6 und
lG 2, lG 12, lG 72, . . . - arithmetischer Fortschritt mit einem Unterschied lG 6 . ◄
Die Summe des arithmetischen Fortschreitens.
Die Menge der arithmetischen Progression ist einfach. Und in der Bedeutung und durch die Formel. Die Aufgaben zu diesem Thema sind jedoch alle Arten von. Von elementar bis recht solide.
Zuerst handeln wir uns mit der Bedeutung und Zusammenfassungsformel. Und dann rasieren sie sich. In meiner Freude.) Die Bedeutung des Betrags ist einfach als Seife. Um den Betrag der arithmetischen Fortschritte zu finden, müssen Sie nur alle Mitglieder sanft falten. Wenn diese Mitglieder klein sind, können Sie ohne Formeln einsetzen. Aber wenn viel oder sehr viel ... Zusatzstämme.) In diesem Fall spart die Formel.
Die Summe des Betrags sieht einfach aus:
Lassen Sie uns unterscheiden, dass die Schnäbel in der Formel enthalten sind. Dies wird viel klären.
S N. - Menge an arithmetischem Fortschritt. Ergebnis der Ergänzung. alle Mitglieder, S. zuerst durch letzte. Es ist wichtig. Es ist genau alles Mitglieder in Folge, ohne zu überspringen und zu springen. Und es ist beginnend mit zuerst. In Aufgaben, z. B. der Feststellung des Betrags der dritten und achten Mitglieder oder die Höhe der Mitglieder vom fünften am zwanzigsten - direkte Anwendung Formeln werden enttäuschen.)
a 1. - zuerst Mitglied des Fortschreitens. Hier ist alles klar, es ist nur zuerst Reihenanzahl.
eIN. - letzte Mitglied des Fortschreitens. Die letzte Anzahl von Reihen. Nicht sehr vertrauter Name, aber in der Menge an den Betrag ist es sehr gut. Außerdem werden Sie sehen.
n. - die Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig, das in der Formel dieser Nummer zu verstehen stimmt mit der Anzahl der gefalteten Mitglieder zusammen.
Mit dem Konzept verteidigen letzte Mitglied eIN.. Backup-Frage: Was für ein Mitglied wird letzte Wenn dana. unendlich Arithmetischer Fortschritt?)
Für eine sichere Antwort müssen Sie die elementare Bedeutung des arithmetischen Fortschreitens verstehen und ... lesen Sie die Aufgabe sorgfältig an!)
In der Aufgabe, die Summe der arithmetischen Progression zu finden, erscheint das letzte Mitglied immer (direkt oder indirekt) wer sollte begrenzt sein Ansonsten der ultimative, konkrete Betrag existiert einfach nicht. Um zu lösen, ist es wichtig, dass die Progression eingestellt ist: das ultimative oder endlose. Es ist wichtig, dass es gefragt wird: in der Nähe der Zahlen oder der Formel des N-TH-Mitglieds.
Das Wichtigste ist, zu verstehen, dass die Formel mit dem ersten Mitglied des Progression an ein Mitglied mit der Nummer arbeitet n. Eigentlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens. Die Anzahl dieser sehr ersten Mitglieder, d. H. n.wird ausschließlich von der Aufgabe bestimmt. In der Aufgabe ist all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... aber nichts, in den Beispielen unten streifen wir diese Geheimnisse.)
Beispiele für Aufgaben für den Betrag der arithmetischen Progression.
Vor allem, eine nützliche Information:
Die Hauptkomplexität in den Aufgaben in der Menge an arithmetischem Progression besteht darin, die Elemente der Formel ordnungsgemäß zu definieren.
Diese Sehr Elemente der Compiler von Aufgaben werden mit einer unendlichen Fantasie verschlüsselt.) Die Hauptsache ist nicht fürchtet. Das Verständnis der Essenz der Elemente reicht aus, um sie zu entschlüsseln. Wir analysieren mehrere Beispiele detailliert. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf echten GIA basiert.
1. Die arithmetische Progression wird durch Bedingung angegeben: a n \u003d 2n-3,5. Finden Sie den Betrag der ersten 10 ihrer Mitglieder.
Gute Aufgabe. Licht.) Zu uns, um den Betrag durch die Formel dessen zu ermitteln, was Sie wissen müssen? Erstes Mitglied a 1., letzter Schwanz eIN.Ja die Nummer des letzten Mitglieds n.
Wo Sie die Nummer des letzten Mitglieds erhalten n.? Ja, dort, in der Bedingung! Es heißt: Finden Sie den Betrag die ersten 10 Mitglieder. Nun, mit welchen Nummer wird es sein letzte, Zehntes Mitglied?) Sie werden seine Nummer nicht glauben - das Zehntel!) Es wurde anstelle davon eIN. In der Formel werden wir ersetzen a 10, und stattdessen n. - Dutzend. Ich wiederhole, die Anzahl des letzten Mitglieds fällt mit der Anzahl der Mitglieder zusammen.
Es bleibt zu bestimmen a 1. und a 10. Dies ist leicht von der Formel des N-TH-Mitglieds zu betrachten, das in der Bedingung des Problems angegeben ist. Weiß nicht, wie es geht? Besuchen Sie die vorherige Lektion, ohne dies - in keiner Weise.
a 1.\u003d 2 · 1 - 3,5 \u003d -1,5
a 10\u003d 2 · 10 - 3,5 \u003d 16,5
S N. = S 10..
Wir haben den Wert aller Elemente der Formel der Summe der arithmetischen Fortschritte herausgefunden. Es bleibt, sie zu ersetzen, aber zählen:
Das ist alles. Antwort: 75.
Eine andere Aufgabe, die auf GIA basiert. Etwas komplizierter:
2. Die arithmetische Progression (A n) ist gegeben, deren Unterschied 3,7 ist; ein 1 \u003d 2,3. Finden Sie den Betrag der ersten 15 ihrer Mitglieder.
Schreiben Sie sofort die Zusammenfassungsformel:
Diese Formel ermöglicht es uns, den Wert jedes Mitglieds von seiner Nummer zu finden. Wir suchen einen einfachen Ersatz:
ein 15 \u003d 2,3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54.1
Es bleibt, alle Elemente in der Formelsumme der arithmetischen Progression zu ersetzen und die Antwort zu berechnen:
Antwort: 423.
Übrigens, wenn stattdessen in der Summe der Summe eIN. Ersetzen Sie einfach die Formel des N-TH-Mitglieds, wir erhalten:
Wir geben dergleichen, wir erhalten eine neue Formel der Summe der Mitglieder des arithmetischen Fortschreitens:
 |
Wie Sie sehen, erfordert es kein n-th-Mitglied eIN.. In einigen Aufgaben hilft diese Formel großartig, ja ... Sie können sich an diese Formel erinnern. Und Sie können es einfach im richtigen Moment bringen, wie hier. Immerhin sollte die Formel der Summe und die Formel des N-TH-Mitglieds erinnert werden.)
Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):
3. Finden Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, mehrere drei.
Inwiefern! Weder dein erstes Mitglied noch der letzte noch das letzte Fortschritt im Allgemeinen ... Wie kann man leben?
Sie müssen Ihren Kopf nachdenken und alle Elemente der Summe des arithmetischen Fortschreitens aus dem Zustand herausziehen. Was ist zweistellige Nummern - wir wissen es? Der beiden Tsiferok besteht aus.) Welche zweistellige Zahl wird sein zuerst? 10, es ist notwendig zu glauben.) A letztes Ding Zweistellige Zahl? 99 natürlich! Hinter ihm schon dreistellig ...
Drücken Sie drei ... ähm ... Dies sind die Zahlen, die in drei Ziele unterteilt sind, hier! Ein Dutzend ist nicht in drei unterteilt, 11 ist nicht geteilt ... 12 ... geteilt! Also ist etwas verdampft. Sie können bereits eine Reihe von Aufgabenbedingungen aufzeichnen:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Wird diese Reichweite des arithmetischen Fortschritts? Sicher! Jedes Mitglied unterscheidet sich von dem vorherigen streng auf den oberen drei. Wenn Sie 2 oder 4 an ein Mitglied hinzufügen, sagen Sie das Ergebnis, d. H. Eine neue Zahl, die nicht mehr Aktien mehr auf 3. vor dem Heap abzielt, können Sie sofort und den Unterschied in der arithmetischen Progression ermitteln, um zu bestimmen: d \u003d 3. Wahr werden!)
Sie können also sicher einige Progressionsparameter schreiben:
Und was wird die Nummer sein n. Letztes Mitglied? Derjenige, der denkt, ist das, dass 99 - tödlich irreldern ... Räume - sie gehen immer in eine Reihe, und wir haben Mitglieder - springen über die ersten drei. Sie sind nicht zusammenfallen.
Es gibt zwei Möglichkeiten, zu lösen. Eine Möglichkeit - für Überholungen. Sie können den Fortschritt, den gesamten Zahlenbereich malen und die Anzahl der Mitglieder mit dem Finger berechnen.) Der zweite Weg ist für nachdenklich. Es ist notwendig, sich an die Formel des N-TH-Mitglieds abzurufen. Wenn die Formel für unsere Aufgabe anwendet, erhalten wir das 99 ein dreißiges Mitglied des Fortschritts. Jene. n \u003d 30.
Wir betrachten die Formelsumme des arithmetischen Fortschreitens:
Wir sehen und freuen uns, dass wir die Aufgabe aus den Bedingungen der Aufgabe herausgezogen haben, alles, was Sie brauchen, um den Betrag zu berechnen:
a 1.= 12.
ein 30.= 99.
S N. = S 30..
Elementararchmetikum bleibt erhalten. Wir ersetzen die Nummer in der Formel und glauben:
Antwort: 1665.
Eine andere Art von beliebter Aufgabe:
4. Dana Arithmetic Progression:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Finden Sie den Betrag der Mitglieder von den zwanzigsten bis dreißig bis dreißig.
Wir betrachten die Summe der Summe und ... sind verärgert.) Formel, Erinnern, hält den Betrag an vom ersten Mitglied. Und die Aufgabe muss berücksichtigt werden mit zwanzigem ... Die Formel funktioniert nicht.
Sie können natürlich den gesamten Fortschritt in Folge malen, sondern um die Mitglieder von 20 auf 34 zu posten. Aber ... irgendwie dumm und lang es sichtet, richtig?)
Es gibt eine elegante Lösung. Wir brechen unsere Zeile in zwei Teile. Der erste Teil wird sein vom ersten Mitglied des neunzehnten Mitglieds. Der zweite Teil von - von den zwanzigsten bis dreißig verwendet. Es ist klar, dass, wenn wir den Betrag der Mitglieder zuerst betrachten S 1-19., ja, fügen Sie die Summe der Mitglieder des zweiten Teils hinzu S 20-34.Ich werde den Fortschrittsbetrag von dem ersten Mitglied des dreißig vierzigstens erhalten S 1-34.. So:
S 1-19. + S 20-34. = S 1-34.
Von hier aus ist es zu sehen, dass er den Betrag ermittelt S 20-34. Sie können leicht subtrahieren
S 20-34. = S 1-34. - S 1-19.
Beide Beträge im rechten Teil werden berücksichtigt vom ersten Mitglied, d. H. Es ist ganz auf die Standard-Zusammenfassungsformel anwendbar. Start?
Ziehen Sie das Problem des Problems des Fortschreitens des Problems heraus:
d \u003d 1,5.
a 1.= -21,5.
Um die Summen der ersten 19 und der ersten 34 Mitglieder zu berechnen, benötigen wir die 19. und 34. Mitglieder. Wir betrachten sie nach der Formel des N-TH-Mitglieds, wie in der Aufgabe 2:
ein 19\u003d -21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5,5
ein 34.\u003d -21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28
Es ist nichts mehr übrig. Von der Menge von 34 Mitgliedern, um den Betrag von 19 Mitgliedern herauszunehmen:
S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262.5
Antwort: 262.5.
Eine wichtige Bemerkung! Bei der Lösung dieser Aufgabe gibt es einen sehr nützlichen Chip. Anstelle der direkten Berechnung was benötigt wird (S 20-34), Wir haben gezählt was scheint nötig zu sein - S 1-19. Und dann dann bestimmt und S 20-34., tropft ot. volles Ergebnis nicht notwendig. Solche "Fint-Ohren" spart oft in bösen Aufgaben.)
In dieser Lektion haben wir die Aufgaben überprüft, für die er genügt, um die Bedeutung der Summe der arithmetischen Progression zu verstehen. Nun, ein paar Formeln müssen wissen.)
Bei der Lösung einer Aufgabe in der Menge an arithmetischem Fortschritt empfehle ich, die beiden Hauptformeln sofort aus diesem Thema zu entladen.
Die Formel des N-TH-Mitglieds:
Diese Formeln werden sofort aufgefordert, dass Sie nachsehen müssen, in welche Richtung, in welcher Richtung nachdenken müssen, um die Aufgabe zu lösen. Hilft.
Und jetzt Aufgaben für Selbstentscheidungen.
5. Finden Sie die Summe aller zweistelligen Nummern, die nicht durch drei geteilt werden.
Cool?) Tipp ist im Kommentar zur Aufgabe 4. Nun, die Aufgabe 3 wird helfen.
6. Die arithmetische Progression wird durch Bedingung eingestellt: a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Finden Sie den Betrag der ersten 24 ihrer Mitglieder.
Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Darüber kann in der vorherigen Lektion gelesen werden. Ignorieren Sie nicht den Link, solche Aufgaben in GIA werden oft gefunden.
7. Vasya hat sich für den Urlaub des Geldes gesammelt. Ganze 4550 Rubel! Und ich beschloss, meine Lieblingsperson selbst (mich selbst) für mehrere Tage des Glücks zu geben). Schön leben, ohne sich abzulehnen. Verbringen Sie am ersten Tag 500 Rubel, und in jedem späteren Tag verbringen Sie 50 Rubel mehr als in der vorherigen! Bis der Geldbestand endet. Wie viele Tage des Glücks kamen Vasi?
Schwierig?) Eine zusätzliche Formel wird von der Aufgabe 2 helfen.
Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.
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Oder Arithmetik ist eine Form einer geordneten numerischen Sequenz, deren Eigenschaften im Schuljahr Algebra studiert werden. Dieser Artikel beschreibt detailliert die Frage, wie Sie den Betrag der arithmetischen Fortschritte finden können.
Was ist dieser Fortschritt?
Bevor Sie sich an die Berücksichtigung des Problems bewegen (wie man einen arithmetischen Fortschritt findet), ist es wert, zu verstehen, worüber wir sprechen.
Jede Folge von gültigen Zahlen, die durch Hinzufügen von (Subtrahieren) eines bestimmten Werts von jeder vorherigen Nummer erhalten wird, wird als algebraischer (arithmetischer) Fortschritt bezeichnet. Diese Definition in der Sprache der Mathematik nimmt ein Formular an:
Hier ist ich die Sequenznummer des Elements der Serie A i. Wenn Sie nur eine anfängliche Nummer kennen, können Sie den gesamten Bereich leicht wiederherstellen. Der Parameter D in der Formel wird als Unterschied im Progression bezeichnet.
Es kann leicht gezeigt werden, dass für die Anzahl der betrachteten Nummern die folgende Gleichstellung ausgeführt wird:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Das heißt, den Wert von n-ten in der Reihenfolge des Elements zu finden, sollte N-1-Zeit die Differenz d an das erste Element A 1 hinzufügen.
Was ist die Menge an arithmetischem Fortschritt: Formel
Bevor Sie die Formel für den angegebenen Betrag bringen, ist es ein einfacher privater Fall wert. Das Fortschreiten der natürlichen Zahlen von 1 bis 10 ist angegeben, es ist notwendig, ihre Summe zu finden. Da Mitglieder in der Progression ein bisschen (10) sind (10), können Sie die Aufgabe in der Stirn lösen, dh alle Elemente in der Reihenfolge zusammenfassen.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Es lohnt sich, ein interessantes Ding zu erwägen: Da jedes Element sich von dem anschließenden und demselben Wert von d \u003d 1 unterscheidet, dann ergibt sich der ersten Zusammensalde des ersten mit dem Zehnten, der zweite mit dem neunten und so weitergibt. Ja wirklich:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Wie zu sehen ist, sind diese Summen nur 5, dh genau zweimal weniger als die Anzahl der Elemente der Serie. Wenn Sie dann die Anzahl der Summen (5) auf dem Ergebnis jedes Betrags (11) multiplizieren, werden Sie in das in dem ersten Beispiel erhaltene Ergebnis kommen.
Wenn Sie diese Argumente verallgemeinern, können Sie den folgenden Ausdruck aufzeichnen:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Dieser Ausdruck zeigt, dass es nicht notwendig ist, alle Elemente überhaupt zusammenzufassen, reicht es aus, den Wert des ersten A 1 und der letzteren A n zu kennen gesamt Begriffe n.
Es wird angenommen, dass Gauß zum ersten Mal vor dieser Gleichstellung nachgedacht, als er nach einer Entscheidung über sein gegebenes suchte schullehrer Aufgabe: Fassen Sie die 100 ersten Ganzzahlen zusammen.
Menge der Elemente von m bis n: Formel
Die im vorherige Absatz angegebene Formel gibt eine Antwort auf die Frage, wie Sie den Betrag der arithmetischen Progression (erste Elemente) finden, jedoch häufig in Aufgaben erforderlich, um eine Reihe von Zahlen in der Mitte des Fortschritts zusammenzufassen. Wie kann man es machen?
Beantworten Sie diese Frage ist der einfachste Weg, wenn man das folgende Beispiel betrachtet: Lassen Sie es notwendig sein, den Betrag der Mitglieder von Herrn bis N-Th zu finden. Um das Problem zu lösen, sollte ein bestimmtes Segment von M bis N progression in Form einer neuen numerischen Serie vorhanden sein. In solch vertretung m-th Der Begriff A M ist der erste, und ein N wird unter der Nummer n- (m-1) sein. In diesem Fall wird die Anwendung der Standardformel für den Betrag anwesend, dass der folgende Ausdruck ergibt:
Sm n \u003d (n - m + 1) * (ein m + a n) / 2.
Ein Beispiel für die Verwendung von Formeln
Wenn Sie wissen, wie Sie einen arithmetischen Fortschritt finden können, lohnt es sich, ein einfaches Beispiel für die Verwendung der obigen Formeln in Betracht zu ziehen.
Das Folgende ist die numerische Reihenfolge, Sie sollten den Betrag seiner Mitglieder ab dem 5. und Ende 12 finden:
Diese Zahlen zeigen an, dass die Differenz d gleich 3 ist 3. Verwenden des Ausdrucks für das N-TH-Element können Sie die Werte der 5. und 12. Mitglieder des Fortschreitens finden. Es stellt sich heraus:
5 \u003d A 1 + D * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d A 1 + D * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Die Werte der Zahlen kennen, die an den als in Betracht gezogenen Enden stehen algebraische Progression.Wenn Sie auch wissen, welche Zahlen in der Reihe sie besetzen, können Sie die Formel für den in dem vorherigen Absatz erhaltenen Betrag nutzen. Es stellt sich heraus:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Es ist erwähnenswert, dass dieser Wert anders gewonnen werden könnte: Finden Sie zunächst die Menge der ersten 12 Elemente gemäß der Standardformel, dann berechnen Sie die Menge der ersten 4 Elemente mit der gleichen Formel, dann subtrahieren Sie den zweiten Betrag.
Das Konzept der numerischen Sequenz impliziert die Korrespondenz jeder natürlichen Anzahl von gültigem Wert. Eine solche Anzahl von Zahlen kann sowohl willkürlich sein als auch bestimmte Eigenschaften - Fortschritte haben. IM in letzter Fall Jedes nachfolgende Element (Element) der Sequenz kann mit dem vorherigen berechnet werden.
Die arithmetische Progression ist eine Folge von numerischen Werten, in denen sich seine benachbarten Mitglieder voneinander auf dieselbe Anzahl unterscheiden (alle Elemente einer Serie, ab 2.) besitzen die Eigenschaft. Diese Zahl ist die Differenz zwischen dem vorherigen und anschließenden Mitglied - ständig und wird als Unterschied in der Progression genannt.
Progressionsunterschied: Definition
Betrachten Sie eine Sequenz, die aus J-Werten A \u003d A (1), A (2), A (3), A (4), A (J), J gehört, gehört zu dem Satz der natürlichen Zahlen N. arithmetischer Fortschritt entsprechend seiner Definitionssequenz, in der A (3) - A (2) \u003d A (4) - A (3) \u003d A (5) - A (4) \u003d ... \u003d A (j) - A ( J-1) \u003d d. Der Wert von d ist der gewünschte Unterschied in diesem Fortschritt.
d \u003d a (j) - a (j-1).
Zuordnen:
- Erhöhung des Fortschreitens, in diesem Fall d\u003e 0. Beispiel: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Verringerung des Fortschreitens, dann d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Der Unterschied der Progression und seiner willkürlichen Elemente
Wenn es 2 beliebige Mitglied des Fortschritts (i-th, kH) gibt, kann der Unterschied für diese Reihenfolge auf der Beziehung basieren:
a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, es bedeutet d \u003d (a (i) - a (k)) / (i - k).
Der Unterschied der Progression und des ersten Mitglieds
Dieser Ausdruck hilft, den unbekannten Wert nur in Fällen zu bestimmen, in denen die Anzahl des Sequenzelements bekannt ist.
Der Unterschied des Fortschreitens und seiner Menge
Die Höhe der Progression ist die Summe seiner Mitglieder. Um den Gesamtwert seiner ersten J-Elemente zu berechnen, verwenden Sie die entsprechende Formel:
S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, aber weil a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), dann s (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * J \u003d (( 2a (1) + D (1)) / 2) * J.
