Lösen linearer Gleichungen mit Beispielen. Lineare Gleichungen

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, in der es einen unbekannten Term gibt – x. Seine Bedeutung muss gefunden werden.

Die Unbekannte wird Wurzel der Gleichung genannt. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, ihre Wurzel zu finden, und dafür müssen Sie die Eigenschaften der Gleichungen kennen. Die Gleichungen für die 5. Klasse sind einfach, aber wenn Sie lernen, sie richtig zu lösen, werden Sie in Zukunft keine Probleme damit haben.

Die Haupteigenschaft von Gleichungen

Wenn Sie beide Seiten der Gleichung um den gleichen Betrag ändern, ist es weiterhin dieselbe Gleichung mit derselben Wurzel. Lassen Sie uns ein paar Beispiele lösen, um diese Regel besser zu verstehen.

Gleichungen lösen: Addieren oder Subtrahieren

Angenommen, wir haben eine Gleichung der Form:

• a + x = b - hier sind a und b Zahlen und x ist ein unbekannter Begriff in der Gleichung.

Wenn wir den Wert c auf beiden Seiten der Gleichung addieren (oder subtrahieren), ändert er sich nicht:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

Beispiel 1

Verwenden wir diese Eigenschaft, um die Gleichung zu lösen:

• 37 + x = 51

Subtrahiere 37 von beiden Teilen:

• 37 + x-37 = 51-37

wir bekommen:

• x = 51-37.

Die Wurzel der Gleichung ist x = 14.

Wenn wir uns die letzte Gleichung genau ansehen, können wir sehen, dass sie dieselbe ist wie die erste. Wir haben den Term 37 einfach von einer Seite der Gleichung auf die andere verschoben und Plus durch Minus ersetzt.

Es stellt sich heraus, dass jede Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen von einer Seite der Gleichung auf eine andere übertragen werden kann.

Beispiel 2

• 37 + x = 37 + 22

Führen wir die gleiche Aktion aus, übertragen Sie die Zahl 37 von der linken Seite der Gleichung nach rechts:

• x = 37 - 37 + 22

Da 37-37 = 0, reduzieren wir dies einfach und erhalten:

• x = 22.

Identische Terme der Gleichung mit gleichem Vorzeichen, die in unterschiedlichen Teilen der Gleichung stehen, können gestrichen (gelöscht) werden.

Multiplikation und Division von Gleichungen

Beide Seiten der Gleichheit können auch mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden:

Wenn die Gleichheit a = b mit c geteilt oder multipliziert wird, ändert sie sich nicht:

• a / c = b / c,
• ac = bc.

Beispiel 3

• 5x = 20

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 5:

• 5x / 5 = 20/5.

Da 5/5 = 1 ist, löschen wir diesen Faktor und den Divisor auf der linken Seite der Gleichung und erhalten:

• x = 20/5, x = 4

Beispiel 4

• 5x = 5a

Wenn beide Seiten der Gleichung durch 5 geteilt werden, erhalten wir:

• 5x / 5 = 5a / 5.

5 im Zähler und Nenner der linken und rechten Seite entfallen, es ergibt sich x = a. Dies bedeutet, dass sich die gleichen Faktoren auf der linken und rechten Seite der Gleichungen aufheben.

Lassen Sie uns noch ein Beispiel lösen:

• 13 + 2x = 21

Verschiebe Term 13 von der linken Seite der Gleichung nach rechts mit dem entgegengesetzten Vorzeichen:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch 2 und erhalten:

• x = 4.

Makarova T.P., GBOU Sekundarschule Nr. 618 Training "Gleichungen" Klasse 5

Training für Klasse 5 zum Thema "Gleichungen" in 2 Versionen

Makarova Tatiana Pawlowna,

Lehrer GBOU Sekundarschule Nr. 618, Moskau

Kontingent: 5. Klasse

Das Training zielt darauf ab, die Kenntnisse und Fähigkeiten der Studierenden zum Thema "Gleichungen" zu testen. Das Training richtet sich an Schüler der 5. Klasse für das Lehrbuch N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhova ua Lehrbuch für die 5. Klasse. - M.: Mnemosina, 2013.-- 288p. Der Test enthält zwei parallele Varianten gleichen Schwierigkeitsgrades, jeweils neun Aufgaben (4 Aufgaben mit Antwortwahl, 3 Aufgaben mit Kurzantwort, 2 Aufgaben mit Detaillösung).

Diese Ausbildung entspricht voll und ganz dem Landesbildungsstandard (zweite Generation), kann bei der Durchführung von Unterrichtskontrollen eingesetzt werden und kann auch von Schülerinnen und Schülern der 5. Klasse zur selbstständigen Bearbeitung des Themas genutzt werden.

Für den Abschluss des Tests sind 15 bis 25 Minuten Unterrichtszeit vorgesehen. Schlüssel sind im Lieferumfang enthalten.

Training für Klasse 5 zum Thema "Gleichungen". Variante 1.

№p / p

Übung

Antworten

Löse die Gleichung

574

1124

1114

1024

Finde die Wurzel der Gleichung

(156-x )+43=170.

1) Die Wurzel der Gleichung ist die Bedeutung des Buchstabens.

2) Die Wurzel der Gleichung (23 - x) - 21 = 2 ist keine natürliche Zahl.

3) Um die subtrahierte Unbekannte zu finden, ist es notwendig, die Differenz von der reduzierten zu subtrahieren.

4) Gleichung x - x= 0 hat genau eine Wurzel.

Petya hat sich eine Nummer ausgedacht. Addieren wir 43 zu dieser Zahl und 77 zur Gesamtsumme, erhalten wir 258. Welche Zahl plant Petya?

1) (x + 43) – 77 = 258

2) (x + 43) + 77 = 258

3) (x – 43) + 77 = 258

4) (x – 43) – 77 = 258

Lösen Sie die Gleichung: (5 Mit – 8) : 2 = 121: 11.

Lösen Sie die Gleichung: 821 - ( m + 268) = 349.

Finden Sie die Bedeutung der Zahl ein wenn 8 ein + 9x= 60 und x=4.

Lösen Sie das Problem mit einer Gleichung. Die Bibliothek hatte 125 Bücher über Mathematik. Nachdem die Schüler mehrere Bücher mitgenommen hatten und dann 3 Bücher zurückgegeben wurden, waren es 116. Wie viele Bücher nahmen die Schüler mit?

Löse die Gleichung:

456 + (x – 367) – 225 =898

Training für Klasse 5 zum Thema "Gleichungen". Option 2.

№p / p

Übung

Antworten

Teil 1. Aufgabe mit mehreren Antworten

Löse die Gleichung

525

1081

535

1071

Finde die Wurzel der Gleichung

942 – (ja + 142) = 419.

391

481

1219

381

Geben Sie die Nummern der richtigen Aussagen an:

1) Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die einen Buchstaben enthält, dessen Wert gefunden werden muss.

2) Jede natürliche Zahl ist eine Wurzel der Gleichung

3) Die Wurzel der Gleichung ist der Wert des Buchstabens, bei dem der richtige numerische Ausdruck aus der Gleichung erhalten wird.

4) Um einen unbekannten Dividenden zu finden, müssen Sie dem Quotienten einen Divisor hinzufügen.

Dasha hat sich eine Nummer ausgedacht. Wenn wir 43 zu dieser Zahl addieren und 77 vom erhaltenen Betrag abziehen, erhalten wir 258. Welche Zahl denkt Dasha?

1) (x + 43) – 77 = 258

2) (x + 43) + 77 = 258

3) (x – 43) + 77 = 258

4) (x – 43) – 77 = 258

Teil 2. Aufgabe mit kurzer Antwort

Lösen Sie die Gleichung: 63: (2 x – 1) = 21: 3.

Löse die Gleichung: 748 - ( B +248) = 300.

Finden Sie die Bedeutung der Zahl ein wenn 7 ein – 3x= 41 und x=5.

Teil 3. Aufgaben mit detaillierter Lösung

Lösen Sie das Problem mit einer Gleichung. Im Lager befanden sich 197 Maschinen. Nachdem einige verkauft und 86 weitere eingebracht wurden, verblieben 115 weitere Maschinen im Lager. Wie viele Maschinen haben Sie insgesamt verkauft?

Lineare Gleichungen. Lösung, Beispiele.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Materialien im Besonderen Abschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr "nicht sehr ..." sind
Und für diejenigen, die "sehr ausgeglichen sind ...")

Lineare Gleichungen.

Lineare Gleichungen sind nicht das schwierigste Thema in der Schulmathematik. Aber es gibt da einige Tricks, die selbst einen geübten Schüler verwirren können. Sollen wir es herausfinden?)

Typischerweise wird eine lineare Gleichung als eine Gleichung der Form definiert:

Axt + B = 0 wo A und B- beliebige Zahlen.

2x + 7 = 0. Hier a = 2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Hier a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Hier a = 12, b = 1/2

Nichts kompliziertes, oder? Vor allem, wenn Ihnen die Worte nicht auffallen: "wobei a und b beliebige Zahlen sind"... Und wenn Sie es bemerken, aber nachlässig denken?) Immerhin, wenn a = 0, b = 0(sind irgendwelche Zahlen möglich?), dann bekommt man einen lustigen Ausdruck:

Aber das ist nicht alles! Wenn, sagen wir, a = 0, ein b = 5, es stellt sich etwas ganz Außergewöhnliches heraus:

Was das Vertrauen in die Mathematik strapaziert und untergräbt, ja ...) Vor allem in Prüfungen. Aber aus diesen seltsamen Ausdrücken ist es auch notwendig, das X zu finden! Was gar nicht da ist. Und überraschenderweise ist dieses X sehr leicht zu finden. Wir werden lernen, wie das geht. In diesem Tutorial.

Wie erkennt man eine lineare Gleichung an ihrem Aussehen? Es hängt davon ab, welches Aussehen.) Der Trick besteht darin, dass lineare Gleichungen nicht nur Gleichungen der Form . heißen Axt + B = 0 , aber auch alle Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form reduziert werden. Und wer weiß, ob es reduziert werden kann oder nicht?)

Eine lineare Gleichung ist in manchen Fällen deutlich zu erkennen. Sagen wir, wenn wir eine Gleichung haben, in der es nur Unbekannte ersten Grades und Zahlen gibt. Und in der Gleichung gibt es kein Brüche geteilt durch Unbekannt , es ist wichtig! Und Division durch Nummer, oder ein Zahlenbruch - bitte! Zum Beispiel:

Dies ist eine lineare Gleichung. Hier gibt es Brüche, aber es gibt keine x-Werte im Quadrat, im Würfel usw. und es gibt keine x-Werte in den Nennern, d.h. Nein Division durch x... Und hier ist die Gleichung

kann nicht als linear bezeichnet werden. Hier sind die x's alle im ersten Grad, aber es gibt Division durch Ausdruck mit x... Nach Vereinfachungen und Transformationen erhalten Sie eine lineare Gleichung und eine quadratische Gleichung und alles, was Sie möchten.

Es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, eine lineare Gleichung in einem kniffligen Beispiel zu finden, bis Sie sie fast gelöst haben. Das ist ärgerlich. Aber bei Aufgaben wird normalerweise nicht nach der Art der Gleichung gefragt, oder? In Aufgaben werden Gleichungen befohlen lösen. Es gefällt.)

Lineare Gleichungen lösen. Beispiele.

Die gesamte Lösung linearer Gleichungen besteht aus identischen Transformationen der Gleichungen. Übrigens, diese Transformationen (bis zu zwei!) liegen den Lösungen zugrunde alle Gleichungen der Mathematik. Mit anderen Worten, die Lösung beliebig die Gleichung beginnt mit diesen Transformationen. Bei linearen Gleichungen basiert sie (die Lösung) auf diesen Transformationen und endet mit einer vollständigen Antwort. Es macht Sinn, dem Link zu folgen, oder?) Außerdem gibt es auch Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen.

Beginnen wir mit dem einfachsten Beispiel. Ohne Fallstricke. Angenommen, wir müssen diese Gleichung lösen.

x - 3 = 2 - 4x

Dies ist eine lineare Gleichung. X ist alles ersten Grades, es gibt keine Division durch X. Aber eigentlich ist es uns egal, welche Gleichung es ist. Wir müssen es lösen. Das Schema ist hier einfach. Sammle alles mit x auf der linken Seite der Gleichheit, alles ohne x (Zahl) auf der rechten Seite.

Um dies zu tun, müssen Sie übertragen - 4x nach links, mit Vorzeichenwechsel natürlich, aber - 3 - Nach rechts. Das ist übrigens erste identische Transformation von Gleichungen. Bist du überrascht? Wir sind dem Link also nicht gefolgt, aber vergebens ...) Wir erhalten:

x + 4x = 2 + 3

Wir geben ähnliche, glauben wir:

Was fehlt uns zum vollkommenen Glück? Ja, damit war links ein sauberes X! Die Fünf ist im Weg. Die Top 5 loswerden mit zweite identische Transformation von Gleichungen. Wir teilen nämlich beide Seiten der Gleichung durch 5. Wir erhalten eine fertige Antwort:

Ein elementares Beispiel natürlich. Dies ist zum Aufwärmen.) Es ist nicht ganz klar, warum ich mich hier an identische Transformationen erinnere? Okay. Wir packen den Stier bei den Hörnern.) Entscheiden wir uns für etwas Beeindruckenderes.

Hier ist zum Beispiel die Gleichung:

Mit was fangen wir an? Mit x - nach links, ohne x - nach rechts? Könnte so sein. In kleinen Schritten den langen Weg entlang. Oder Sie können es sofort, universell und kraftvoll. Wenn es in Ihrem Arsenal natürlich identische Transformationen von Gleichungen gibt.

Ich stelle dir eine Kernfrage: Was magst du an dieser Gleichung am meisten nicht?

95 von 100 Personen werden antworten: Brüche ! Die Antwort ist richtig. Also lass uns sie loswerden. Deshalb starten wir gleich mit zweite Identitätstransformation... Was braucht man, um den linken Bruch zu multiplizieren, damit der Nenner vollständig gekürzt werden kann? Richtig, bei 3. Und rechts? Durch 4. Aber die Mathematik erlaubt uns, beide Seiten mit zu multiplizieren die gleiche Nummer... Wie kommen wir raus? Und multiplizieren wir beide Seiten mit 12! Jene. auf einem gemeinsamen Nenner. Dann werden sowohl die Drei als auch die Vier reduziert. Vergessen Sie nicht, dass Sie jeden Teil multiplizieren müssen. ganz... So sieht der erste Schritt aus:

Erweitern der Klammern:

Beachten Sie! Zähler (x + 2) Ich habe es in Klammern gesetzt! Dies liegt daran, dass beim Multiplizieren von Brüchen der Zähler vollständig multipliziert wird! Und jetzt können die Brüche reduziert werden:

Erweitern Sie die restlichen Klammern:

Kein Beispiel, aber pure Freude!) Jetzt erinnern wir uns an den Zauberspruch aus den Grundschulklassen: mit x - nach links, ohne x - nach rechts! Und wenden Sie diese Transformation an:

Hier sind ähnliche:

Und wir teilen beide Teile durch 25, d.h. Wende die zweite Transformation erneut an:

Das ist alles. Antworten: x=0,16

Beachten Sie: Um die ursprüngliche verworrene Gleichung in eine angenehme Form zu bringen, haben wir zwei (nur zwei!) identische Transformationen- links-rechts mit Vorzeichenwechsel und Multiplikation-Division der Gleichung mit der gleichen Zahl übertragen. Dies ist ein universeller Weg! Wir werden auf diese Weise arbeiten mit beliebig Gleichungen! Absolut beliebig. Deshalb wiederhole ich diese identischen Transformationen die ganze Zeit.)

Wie Sie sehen, ist das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen einfach. Wir nehmen die Gleichung und vereinfachen sie mit Hilfe identischer Transformationen, bis wir die Antwort erhalten. Die Hauptprobleme liegen hier in den Berechnungen, nicht im Lösungsprinzip.

Aber ... Es gibt solche Überraschungen beim Lösen der elementarsten linearen Gleichungen, die Sie in eine starke Betäubung treiben können ...) Zum Glück kann es nur zwei solcher Überraschungen geben. Nennen wir sie Sonderfälle.

Sonderfälle beim Lösen linearer Gleichungen.

Erste Überraschung.

Angenommen, Sie stoßen auf eine elementare Gleichung, etwa:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

Etwas gelangweilt übertragen wir es mit einem x nach links, ohne ein x nach rechts ... Bei einem Vorzeichenwechsel ist alles ein Kinn-Porzellan ...

2x-5x + 3x = 5-2-3

Wir denken, und ... ach scheiße !!! Wir bekommen:

Diese Gleichheit an sich ist nicht zu beanstanden. Null ist tatsächlich Null. Aber das X ist weg! Und wir sind verpflichtet, in die Antwort zu schreiben, was gleich x ist. Ansonsten zählt die Entscheidung nicht, ja...) Sackgasse?

Ruhig! In solchen Zweifelsfällen gelten die allgemeinsten Regeln. Wie löst man Gleichungen? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Das heisst, Finden Sie alle x-Werte, die uns, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, die richtige Gleichheit ergeben.

Aber wir haben wahre Gleichberechtigung schon passiert! 0 = 0, wie viel genauer?! Es bleibt herauszufinden, zu welchem ​​​​xx es sich herausstellt. Welche Werte von x können ersetzt werden in Initial Gleichung, wenn diese x's wird sowieso auf null schrumpfen? Komm schon?)

Ja!!! Xs können ersetzt werden beliebig! Was Sie wollen. Mindestens 5, mindestens 0,05, mindestens -220. Sie werden sowieso schrumpfen. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie dies überprüfen.) Ersetzen Sie alle x-Werte in Initial Gleichung und Zählung. Die ganze Zeit wird die reine Wahrheit erhalten: 0 = 0, 2 = 2, -7.1 = -7.1 und so weiter.

Hier ist die Antwort: x - eine beliebige Zahl.

Die Antwort kann in verschiedenen mathematischen Symbolen geschrieben werden, die Essenz ändert sich nicht. Dies ist eine absolut richtige und vollständige Antwort.

Zweite Überraschung.

Nehmen wir dieselbe elementare lineare Gleichung und ändern nur eine Zahl darin. Das werden wir lösen:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

Nach denselben identischen Transformationen erhalten wir etwas Faszinierendes:

So. Eine lineare Gleichung gelöst, eine seltsame Gleichheit erhalten. Mathematisch gesehen haben wir falsche Gleichheit. Und in einfachen Worten ist dies nicht wahr. Rave. Trotzdem ist dieser Unsinn ein sehr guter Grund, die Gleichung richtig zu lösen.)

Auch hier denken wir nach den allgemeinen Regeln. Was x, wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, uns ergibt wahr Gleichstellung? Ja, keine! Es gibt keine solchen x. Was auch immer Sie ersetzen, alles wird reduziert, Delirium bleibt.)

Hier ist die Antwort: keine Lösungen.

Dies ist auch eine ziemlich vollständige Antwort. In der Mathematik werden solche Antworten häufig gefunden.

So. Nun, ich hoffe, der Verlust von x beim Lösen einer (nicht nur linearen) Gleichung wird Sie überhaupt nicht verwirren. Die Sache ist bereits bekannt.)

Nachdem wir nun alle Fallstricke in linearen Gleichungen herausgefunden haben, ist es sinnvoll, sie zu lösen.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt ...

Übrigens habe ich noch ein paar interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Sofortige Validierungstests. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Eine der wichtigsten Fähigkeiten in Aufnahme in die 5. Klasse ist die Fähigkeit, die einfachsten Gleichungen zu lösen. Da die 5. Klasse noch nicht so weit von der Grundschule entfernt ist, gibt es nicht so viele Arten von Gleichungen, die ein Schüler lösen kann. Wir werden Ihnen alle grundlegenden Arten von Gleichungen vorstellen, die Sie benötigen, um sie lösen zu können, wenn Sie möchten an einer Physik- und Mathematikschule einschreiben.

Typ 1: "bauchig"
Dies sind Gleichungen, die Ihnen wahrscheinlich einfallen, wenn Aufnahme in jede Schule oder ein Kreis der Klasse 5 als separate Aufgabe. Sie sind leicht von anderen zu unterscheiden: Die Variable ist in ihnen nur einmal vorhanden. Zum Beispiel, oder.
Sie sind sehr einfach gelöst: Sie müssen nur zum Unbekannten "kommen" und nach und nach alles Unnötige "entfernen", das es umgibt - als ob Sie eine Zwiebel schälen würden - daher der Name. Um es zu lösen, genügt es, sich ein paar Regeln aus der zweiten Klasse zu merken. Lassen Sie uns sie alle auflisten:

Zusatz

1. Begriff1 + Begriff2 = Summe
2. Begriff1 = Summe - Begriff2
3. Begriff2 = Summe - Begriff1

Subtraktion

1. subtrahiert - subtrahiert = Differenz
2. subtrahiert = subtrahiert + Differenz
3. subtrahiert = subtrahiert - Differenz

Multiplikation

1. Faktor1 * Faktor2 = Produkt
2. Faktor1 = Produkt: Faktor2
3. Faktor2 = Produkt: Faktor1

Teilung

1. Dividende: Divisor = Quotient
2. Dividende = Divisor * Quotient
3. Divisor = Dividende: Quotient

Nehmen wir ein Beispiel, wie diese Regeln angewendet werden.

Beachten Sie, dass wir uns teilen auf und wir bekommen. In dieser Situation kennen wir den Divisor und den Quotienten. Um den Dividenden zu ermitteln, musst du den Divisor mit dem Quotienten multiplizieren:

Wir sind uns selbst ein Stück näher gekommen. Jetzt sehen wir das zu hinzugefügt und erhalten. Um also einen der Terme zu finden, müssen Sie den bekannten Term von der Summe subtrahieren:

Und eine weitere "Schicht" wird aus dem Unbekannten entfernt! Jetzt sehen wir eine Situation mit einem bekannten Wert des Produkts () und einem bekannten Faktor ().

Jetzt die Situation "abgenommen - abgezogen = Differenz"

Und der letzte Schritt ist das bekannte Produkt () und einer der Faktoren ()

Typ 2: Gleichungen mit Klammern
Gleichungen dieser Art werden am häufigsten bei Problemen angetroffen - 90% aller Probleme für Aufnahme in die 5. Klasse... Im Gegensatz zu "Zwiebelgleichungen" die Variable kann hier mehrmals vorkommen, daher ist es unmöglich, sie mit den Methoden aus dem vorherigen Absatz zu lösen. Typische Gleichungen: oder
Die Hauptschwierigkeit besteht darin, die Klammern richtig zu öffnen. Nachdem wir dies richtig gemacht haben, sollten wir ähnliche Begriffe (Zahlen zu Zahlen, Variablen zu Variablen) bringen, und danach erhalten wir die einfachsten "bauchgleichung" die wir zu lösen wissen. Aber das Wichtigste zuerst.

Erweiterungsklammern... Wir geben ein paar Regeln an, die in diesem Fall verwendet werden sollten. Wie die Praxis zeigt, beginnt der Schüler jedoch erst nach 70-80 gelösten Problemen, die Klammern richtig zu öffnen. Die Grundregel lautet: Jeder Faktor außerhalb der Klammern muss mit jedem Term innerhalb der Klammern multipliziert werden. Und das Minus vor der Klammer ändert das Vorzeichen aller Ausdrücke darin. Also die Grundregeln der Offenlegung:

Ähnliches mitbringen... Hier ist alles viel einfacher: Sie müssen durch die Übertragung der Begriffe durch das Gleichheitszeichen sicherstellen, dass es auf der einen Seite nur Begriffe mit dem Unbekannten und auf der anderen Seite nur Zahlen gibt. Die Grundregel lautet: Jeder durchgezogene Begriff wechselt sein Vorzeichen - war er mit, wird er zu c und umgekehrt. Nach einer erfolgreichen Übertragung ist es notwendig, die Gesamtzahl der Unbekannten zu zählen, wobei die letzte Zahl auf der anderen Seite der Gleichheit steht, anstatt der Variablen, und die Primzahl zu lösen "bauchgleichung".

In diesem Video werden wir einen ganzen Satz linearer Gleichungen analysieren, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Lassen Sie uns zunächst definieren: Was ist eine lineare Gleichung und welche ist die einfachste?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachsten reduziert:

1. Erweitern Sie Klammern, falls vorhanden;
2. Verschieben Sie Terme, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Terme ohne Variable auf die andere.
3. Bringen Sie ähnliche Begriffe links und rechts vom Gleichheitszeichen ein;
4. Dividiere die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $ x $.

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass manchmal nach all diesen Manipulationen der Koeffizient bei der Variablen $ x $ Null ist. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn Sie beispielsweise etwas wie $ 0 \ cdot x = 8 $ erhalten, d.h. Links steht eine Null und rechts eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns mehrere Gründe gleichzeitig ansehen, warum eine solche Situation möglich ist.
2. Die Lösung sind alle Zahlen. Der einzige Fall, in dem dies möglich ist - die Gleichung wurde auf die Konstruktion $ 0 \ cdot x = 0 $ reduziert. Es ist ganz logisch, dass unabhängig davon, welches $ x $ wir ersetzen, es immer noch "Null gleich Null" ergibt, d.h. korrekte numerische Gleichheit.

Sehen wir uns nun am Beispiel realer Probleme an, wie das Ganze funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute haben wir es mit linearen Gleichungen zu tun, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichheit, die genau eine Variable enthält, und sie geht nur bis zum ersten Grad.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

1. Zuerst müssen Sie die Klammern, falls vorhanden, erweitern (wie in unserem letzten Beispiel);
2. Dann bring ähnliches mit
3. Schließlich erfassen Sie die Variable, d.h. alles, was mit einer Variablen verbunden ist - die Terme, in denen sie enthalten ist - sollte in die eine Richtung übertragen werden, und alles, was ohne sie übrig bleibt, sollte in die andere Richtung übertragen werden.

Dann müssen Sie in der Regel ähnliche auf jeder Seite der erhaltenen Gleichheit bringen, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten am "x" dividieren, und wir erhalten die endgültige Antwort.

Theoretisch sieht das schön und einfach aus, aber in der Praxis können selbst erfahrene Gymnasiasten bei recht einfachen linearen Gleichungen beleidigende Fehler machen. In der Regel werden Fehler gemacht, entweder beim Erweitern von Klammern oder bei der Berechnung von "Plus" und "Minus".

Außerdem kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat, oder dass die Lösung die gesamte Zahlengeraden ist, d.h. irgendeine Nummer. Diese Feinheiten werden wir in der heutigen Lektion analysieren. Aber wir beginnen, wie Sie bereits verstanden haben, mit den einfachsten Aufgaben.

Schema zum Lösen der einfachsten linearen Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen schreiben:

1. Erweitern Sie die Klammern, falls vorhanden.
2. Wir sekretieren die Variablen, d.h. alles, was "x" enthält, wird auf eine Seite übertragen und ohne "x" - auf die andere.
3. Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
4. Wir teilen alles in den Koeffizienten bei "x".

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer, es gibt bestimmte Feinheiten und Tricks, und jetzt werden wir sie kennenlernen.

Lösen von Beispielen aus der Praxis für einfache lineare Gleichungen

Problem Nummer 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern erweitern. In diesem Beispiel sind sie jedoch nicht enthalten, daher überspringen wir diese Phase. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen erfassen. Bitte beachten Sie: Es handelt sich hier nur um einzelne Begriffe. Lass uns schreiben:

Links und rechts stellen wir ähnliche Begriffe vor, dies ist aber bereits geschehen. Daher gehen wir zum vierten Schritt über: dividieren durch den Koeffizienten:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Also haben wir die Antwort bekommen.

Problem Nummer 2

In diesem Problem können wir die Klammern beobachten, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr den gleichen Aufbau, gehen wir aber nach dem Algorithmus vor, d.h. Wir sekretieren die Variablen:

Hier sind ähnliche:

An welchen Wurzeln wird es durchgeführt. Antwort: für jeden. Daher können wir schreiben, dass $ x $ eine beliebige Zahl ist.

Problem Nummer 3

Interessanter ist schon die dritte lineare Gleichung:

\ [\ links (6-x \ rechts) + \ links (12 + x \ rechts) - \ links (3-2x \ rechts) = 15 \]

Es gibt hier ein paar Klammern, aber sie werden mit nichts multipliziert, sie haben nur andere Zeichen davor. Öffnen wir sie:

Den zweiten uns bereits bekannten Schritt führen wir durch:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Lass uns zählen:

Wir führen den letzten Schritt aus - wir teilen alles durch den Koeffizienten bei "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Dinge, die Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Abgesehen von zu einfachen Aufgaben möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung - manchmal gibt es einfach keine Wurzeln;
• Selbst wenn es Wurzeln gibt, kann es null darunter geben - daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie der Rest, Sie sollten sie in keiner Weise diskriminieren oder annehmen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Ein weiteres Merkmal bezieht sich auf die Klammererweiterung. Bitte beachten: Wenn ein "Minus" davor steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Zeichen zu Gegenteil... Und dann können wir es mit Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Wenn Sie diese einfache Tatsache verstehen, können Sie dumme und verletzende Fehler in der High School vermeiden, wenn solche Handlungen als selbstverständlich angesehen werden.

Lösen komplexer linearer Gleichungen

Kommen wir zu komplexeren Gleichungen. Jetzt werden die Konstruktionen komplexer und es erscheint eine quadratische Funktion, wenn verschiedene Transformationen durchgeführt werden. Sie sollten jedoch keine Angst davor haben, denn wenn wir nach der Intention des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden bei der Transformation zwangsläufig alle Monome, die eine quadratische Funktion enthalten, gelöscht.

Beispiel 1

Der erste Schritt besteht natürlich darin, die Klammern zu erweitern. Machen wir es ganz vorsichtig:

Jetzt zum Datenschutz:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Hier sind ähnliche:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, daher schreiben wir die Antwort wie folgt:

\ [\ varnothing \]

oder keine Wurzeln.

Beispiel Nr. 2

Wir folgen den gleichen Schritten. Erster Schritt:

Verschiebe alles mit der Variablen nach links und ohne nach rechts:

Hier sind ähnliche:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, also schreiben wir sie so:

\ [\ varnothing \],

oder es gibt keine Wurzeln.

Lösungsnuancen

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke haben wir noch einmal dafür gesorgt, dass selbst bei den einfachsten linearen Gleichungen nicht alles so einfach sein kann: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele Wurzeln geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, in beiden gibt es einfach keine Wurzeln.

Aber ich möchte Sie auf eine andere Tatsache aufmerksam machen: wie man mit Klammern arbeitet und wie man sie öffnet, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor der Offenlegung müssen Sie alles mit "X" multiplizieren. Hinweis: multipliziert jeder einzelne Begriff... Im Inneren befinden sich zwei Terme - bzw. zwei Terme und multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen durchgeführt wurden, können Sie die Klammer im Hinblick darauf erweitern, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: Erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles, was untergeht, nur das Vorzeichen ändert. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem das vordere "Minus" verschwindet auch.

Das gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen aufmerksam mache. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementarer Transformationen, wobei die Unfähigkeit, einfache Handlungen klar und kompetent auszuführen, dazu führt, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen und Sie werden diese Fähigkeiten zum Automatismus verfeinern. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen, Sie schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, ist schon schwer die einfachste Aufgabe zu nennen, aber der Sinn bleibt gleich.

Problem Nummer 1

\ [\ links (7x + 1 \ rechts) \ links (3x-1 \ rechts) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Machen wir die Abgeschiedenheit:

Hier sind ähnliche:

Den letzten Schritt führen wir durch:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Hier ist unsere letzte Antwort. Und trotz der Tatsache, dass sich die Koeffizienten beim Lösen mit einer quadratischen Funktion gegenseitig vernichten, was die Gleichung exakt linear und nicht quadratisch macht.

Problem Nummer 2

\ [\ links (1-4x \ rechts) \ links (1-3x \ rechts) = 6x \ links (2x-1 \ rechts) \]

Machen wir den ersten Schritt sauber: Multiplizieren Sie jedes Element in der ersten Klammer mit jedem Element in der zweiten. Insgesamt soll es nach den Transformationen vier neue Begriffe geben:

Führen wir nun die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durch:

Verschieben wir die Begriffe mit "x" nach links und ohne - nach rechts:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wieder haben wir die endgültige Antwort erhalten.

Lösungsnuancen

Die wichtigste Bemerkung zu diesen beiden Gleichungen ist folgende: Sobald wir anfangen, die Klammern zu multiplizieren, in denen mehr als ein Term ist, dann geschieht dies nach folgender Regel: Wir nehmen den ersten Term aus dem ersten und multipliziere mit jedem Element aus dem zweiten; dann nehmen wir das zweite Element aus dem ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element aus dem zweiten. Als Ergebnis erhalten wir vier Terme.

Algebraische Summe

Mit dem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was eine algebraische Summe ist. In der klassischen Mathematik meinen wir mit 1-7 $ eine einfache Konstruktion: Subtrahiere sieben von eins. In der Algebra meinen wir damit folgendes: Zur Zahl „eins“ fügen wir eine weitere Zahl hinzu, nämlich „minus sieben“. Dadurch unterscheidet sich die algebraische Summe von der üblichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei der Durchführung aller Transformationen, jeder Addition und Multiplikation beginnen, Konstruktionen zu sehen, die den oben beschriebenen ähnlich sind, werden Sie bei der Arbeit mit Polynomen und Gleichungen einfach keine Probleme in der Algebra haben.

Lassen Sie uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele betrachten, die noch komplexer sind als die, die wir gerade betrachtet haben, und um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit einem Bruch lösen

Um solche Probleme zu lösen, müssen wir unserem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen. Aber zuerst werde ich unseren Algorithmus daran erinnern:

1. Klammern erweitern.
2. Variablen trennen.
3. Bringen Sie ähnliche mit.
4. Durch Faktor dividieren.

Leider erweist sich dieser ausgezeichnete Algorithmus trotz seiner Effektivität als nicht ganz angemessen, wenn wir es mit Brüchen zu tun haben. Und in dem, was wir unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen links und rechts einen Bruch.

Wie ist in diesem Fall zu arbeiten? Alles ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion durchgeführt werden kann, nämlich Brüche loszuwerden. Somit sieht der Algorithmus wie folgt aus:

1. Befreien Sie sich von Brüchen.
2. Klammern erweitern.
3. Variablen trennen.
4. Bringen Sie ähnliche mit.
5. Durch Faktor dividieren.

Was bedeutet "Brüche loswerden"? Und warum kann dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt erfolgen? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche numerisch im Nenner, d.h. überall im Nenner ist nur eine Zahl. Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel 1

\ [\ frac (\ links (2x + 1 \ rechts) \ links (2x-3 \ rechts)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4\]

Achtung: alles wird einmal mit "vier" multipliziert, dh. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede von ihnen mit vier multiplizieren müssen. Schreiben wir auf:

\ [\ links (2x + 1 \ rechts) \ links (2x-3 \ rechts) = \ links (((x) ^ (2)) - 1 \ rechts) \ cdot 4 \]

Jetzt öffnen wir:

Wir machen die Abgrenzung der Variablen:

Wir führen die Reduzierung ähnlicher Bedingungen durch:

\ [- 4x = -1 \ links | : \ links (-4 \ rechts) \ rechts. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Wir haben die endgültige Lösung, wir gehen zur zweiten Gleichung über.

Beispiel Nr. 2

\ [\ frac (\ links (1-x \ rechts) \ links (1 + 5x \ rechts)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Hier führen wir alle die gleichen Aktionen aus:

\ [\ frac (\ links (1-x \ rechts) \ links (1 + 5x \ rechts) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Das Problem ist gelöst worden.

Das war eigentlich alles, was ich heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse sind wie folgt:

• Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
• Fähigkeit, Klammern zu öffnen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie irgendwo quadratische Funktionen haben, sie werden höchstwahrscheinlich bei weiteren Transformationen schrumpfen.
• Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst in den einfachsten: eine einzelne Wurzel, der ganze Zahlenstrahl ist eine Wurzel, und es gibt überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für das weitere Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es warten noch viele weitere interessante Dinge auf Sie!