Präsentation über Volumen von Polyedern. Präsentation zum Thema "Das Volumen eines Polyeders"

MINISTERIUM FÜR BILDUNG UND WISSENSCHAFT DER RUSSISCHEN FÖDERATION

Landeshaushalt Bildungseinrichtung
höhere Bildung

"ULJANOWSK STAATLICHE TECHNISCHE UNIVERSITÄT"

Barysh College - Zweigstelle

Staat Uljanowsk Technische Universität

bei der Durchführung praktischer Arbeiten

nach Disziplin

« Mathematik: Algebra und die Anfänge der Analysis, Geometrie»

für Studenten speziell. 09.02.03 Programmierung in Computersystemen, 38.02.01 Wirtschafts- und Rechnungswesen (nach Branchen)

2018

Geprüft und genehmigt

zyklische methodische Kommission

Disziplinen des allgemeinen Natur- und Berufszyklus

Vorsitzender _______ N.A. Zolina

Ich bin damit einverstanden

Stellvertreter Regisseur für Bildungsarbeit

I. I. Schmelkova

Lehrer des Barysh College - Zweigstelle der UlSTU D.A. Sovetkin

ERLÄUTERUNGEN

Die Durchführung praktischer Lehrveranstaltungen dient der Festigung und Vertiefung der theoretischen Kenntnisse des Faches sowie dem Erwerb praktischer Fähigkeiten durch die Studierenden.

Vor jeder praktischen Unterrichtsstunde ist der Student verpflichtet, anhand der in der Hausarbeit angegebenen Literatur den behandelten Stoff zum Thema der praktischen Unterrichtsstunde zu wiederholen. Die Überprüfung der Bereitschaft der Studierenden erfolgt mittels einer Umfrage.

Bei der Durchführung von Arbeiten sollte den Schülern Selbstständigkeit eingeräumt werden, um ihre kreative Einstellung zur Arbeit auf jede erdenkliche Weise zu fördern.

Am Ende des Unterrichts erstellen die Schüler einen Bericht, in dem das Material zur Durchführung des praktischen Unterrichts in der in der Aufgabe angegebenen Reihenfolge geweiht werden soll.

Nach Abschluss des Berichts erhält der Studierende eine Gutschrift für die geleistete Arbeit.

Praktische Arbeitsregeln:

Bei der Leistungserbringung muss der Student selbstständig studieren Richtlinien um bestimmte Arbeiten auszuführen; die entsprechenden Berechnungen durchführen; Referenz- und Fachliteratur verwenden; Antworten vorbereiten auf Kontrollfragen... Beim Studium der theoretischen Grundlagen sollte der Student bedenken, dass der Hauptzweck des Studiums der Theorie die Fähigkeit ist, sie in der Praxis anzuwenden, um praktische Probleme zu lösen.

Nach Abschluss der Arbeit muss der Studierende einen Bericht über die geleistete Arbeit mit den erzielten Ergebnissen und Schlussfolgerungen vorlegen und diesen mündlich verteidigen. Praktische Arbeitsberichte werden auf A4-Blättern erstellt. Die erste Seite wird nach den Gestaltungsregeln erstellt Titelseiten... Für die Kommentare des Lehrers müssen Ränder von 25-30 mm Breite belassen werden. Alle Diagramme und Zeichnungen, die die Durchführung der praktischen Arbeit begleiten, werden gemäß den Anforderungen von GOST mit Bleistift ausgeführt.

Ungenaue Ausführung der praktischen Arbeit, Nichtbeachtung anerkannter Regeln und schlechte Gestaltung von Zeichnungen, Grafiken oder Diagrammen können dazu führen, dass die Arbeit zur Überarbeitung zurückgegeben wird.

Der Bericht sollte enthalten:

Titel der Arbeit;

Ziel der Arbeit;

• Reihenfolge der Arbeitsausführung;

  Antworten auf Sicherheitsfragen;

  Fazit über die geleistete Arbeit.

PRAKTISCHE ARBEIT

Thema " Volumen und Oberflächen von Polyedern und Rotationskörpern »

Ziel: Kenntnisse und Fähigkeiten zum Auffinden von Volumina und Oberflächen von Polyedern und Rotationskörpern zu festigen.

Zeit - 2 Stunden.

Methodische Hinweise

Vor der praktischen Arbeit muss ein individuelles Projekt abgeschlossen werden - ein Polyeder oder ein Revolutionskörper nach Anweisung des Lehrers.

Liste der Prismen

1. Die Figur ist ein Parallelepiped.

Notwendige Maße: Messen Sie die Länge, Breite, Höhe mit einem Lineal.

Finden Sie nach diesen Messungen:

quaderförmige Diagonale

Mantelfläche

Gesamtfläche

das Volumen der Figur.

2. Abbildung - gerades Dreiecksprisma ABCA 1 B 1 C 1 .

Finden Sie nach diesen Messungen:

Mantelfläche

Gesamtfläche

Figurenvolumen

Querschnittsfläche durch seitliche RippeAA 1 und die Mitte des Randes der BasisBC

3. Figur - Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Erforderliche Maße: Messen Sie alle Kanten mit einem Lineal.

Finden Sie nach diesen Messungen:

Prismendiagonalen

Mantelfläche

Gesamtfläche

Figurenvolumen

Kontrollfragen:

Definition eines Polyeders

Ein Prisma definieren

Arten von Prismen, ihre Definitionen

Prismenelemente

Definition eines Parallelepipeds, seiner Ansichten und Elemente

Arten von Abschnitten eines Prismas

Das Volumen des Parallelepipeds und des Prismas

Liste der Pyramiden

Die Figur ist ein Tetraeder.

Erforderliche Maße: Messen Sie alle Kanten mit einem Lineal.

Finden Sie nach diesen Messungen:

Pyramidenhöhe

Mantelfläche

Gesamtfläche

Figurenvolumen

Querschnittsfläche durch die Seitenrippe und das Apothem der gegenüberliegenden Seite

Die Figur ist eine viereckige Pyramide.

Erforderliche Maße: Messen Sie alle Kanten mit einem Lineal.

Finden Sie nach diesen Messungen:

Mantelfläche

Gesamtfläche

Figurenvolumen

Querschnittsfläche durch die Diagonalen der Grund- und Seitenrippe

der Winkel zwischen der Seitenfläche und der Ebene der Basis.

Die Figur ist eine abgestumpfte dreieckige Pyramide.

Erforderliche Maße: Messen Sie alle Kanten mit einem Lineal.

Finden Sie nach diesen Messungen:

Mantelfläche

Gesamtfläche

Figurenvolumen

Querschnittsfläche durch die Höhe der Basis und der Seitenrippe.

Die Figur ist eine abgestumpfte viereckige Pyramide.

Erforderliche Maße: Messen Sie mit einem Lineal.

Finden Sie nach diesen Messungen:

Mantelfläche

Gesamtfläche

Figurenvolumen

Querschnittsfläche, die durch zwei gegenüberliegende Seitenrippen verläuft.

Kontrollfragen:

Definition einer Pyramide, eines Pyramidenstumpfes

Arten von Pyramiden, ihre Definitionen

Pyramidenelemente

Abschnittstypen

Pyramidenvolumen

Liste der Revolutionskörper

1. Zylinder

Erforderliche Maße: Messen Sie den Durchmesser und die Höhe des Zylinders mit einem Lineal.

Finden Sie nach diesen Messungen:

Mantelfläche

Gesamtfläche

Figurenvolumen

finde die Querschnittsfläche parallel zur Zylinderachse im AbstandL(jeden Schüler einzeln fragen) von ihr.

Fragen:

Einen Zylinder definieren

Geben Sie die Definition eines geraden und gleichseitigen Zylinders an

Zylinderelemente

Abschnittstypen

Zylindervolumen

2. Kegel

Erforderliche Maße: Messen Sie die Mantellinie und den Durchmesser der Basis mit einem Lineal.

Finden Sie nach diesen Messungen:

Mantelfläche

Gesamtfläche

Figurenvolumen

Axialschnittfläche

der Neigungswinkel der Mantellinie zur Grundebene.

Fragen:

Definition eines Kegels, Kegelstumpf

Kegelelemente

Abschnittstypen

Fläche und Volumen des Kegels, Kegelstumpf

3. Kugel und Kugel

Erforderliche Maße: Messen Sie die Länge des diametralen Kreises.

Finden Sie nach diesen Messungen:

Formradius

Oberfläche einer Kugel

Kugelvolumen

Finden Sie die Querschnittsfläche einer Kugel oder Kugel durch eine im Abstand gezeichnete Ebenex(jeden Schüler einzeln fragen) aus dem Zentrum.

Fragen:

Definition einer Kugel, Kugel

Arten von Abschnitten einer Kugel und einer Kugel

Kugelgleichung

Definieren einer ebenen Tangente an eine Kugel

Definition eines Kugelsegments, einer Kugelschicht und eines Kugelsektors

Übung:

1. Nehmen Sie die erforderlichen Messungen gemäß der Abbildung vor

2. Führen Sie basierend auf den Messdaten die erforderlichen Berechnungen durch

3. Füllen Sie das Problem in Notizbüchern aus

4. Beantworten Sie theoretische Fragen.

Voraussetzungen für die Registrierung: Zeichnen Sie eine Zeichnung einer Figur, schreiben Sie auf, was angegeben ist, schreiben Sie auf, was gefunden werden muss, eine vollständige Lösung und eine Antwort.

LISTE DER VERWENDETEN QUELLEN

1. Dadayan A.A. Sammlung von Problemen in der Mathematik: Lehrbuch. Handbuch / A.A. Dadayan. - M.: FORUM: INFRA-M, 2014 .-- 352p.

2. Dadayan A.A. Mathematik: Lehrbuch. / A. A. Dadayan. - 2. Aufl. - M.: FORUM, 2014.-544 S. _

3. Bogomolov N.V. Praktischer Mathematikunterricht, - M.: Nauka, 2011. - 370er Jahre.

4. Algebra und der Beginn der Analyse. Mathematik für Fachschulen in 2 Stunden Ed. G. N. Jakowlewa. - M.: Nauka, 2015. -1002p.

5. Geometrie: Lehrbuch. für 10-11 cl. Allgemeinbildung. Institutionen / L.S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ua - 6. Aufl. - M.: Bildung, 2013.-- 207 p.

6. Alimov Sh. A. ua Mathematik: Algebra und der Beginn der mathematischen Analysis, Geometrie. Algebra und Beginn der mathematischen Analysis (Grund- und Oberstufe) 10-11 Klassen. - M., 2014.

Klasse: 11

Ziele:

• wiederholen Sie die Arten von Polyedern, ihre Elemente und Volumenformeln; die Praxisorientierung des Studienthemas aufzeigen;
• Entwicklung der praktischen Fähigkeiten der Schüler;
• Interesse für das Thema wecken.

Ausrüstung:

• ein Satz aller Arten von Polyedern;
• Zeichnungen von Polygonen auf der Tafel;
• ein Poster, das ein modernes Gebäude darstellt;
• Beamer.

I. Heuristische Konversation

(Wiederholung von theoretischem Material zum Thema)

1. Benennen und notieren Sie die Formeln für die Volumina eines Prismas, eines Parallelepipeds, einer Pyramide, eines Pyramidenstumpfes.
(Vprism = Sbase h, Vparal = abc oder Vparal = Sbase h, V Pyramide = Sbase h, V =

2. Welche Werte werden in allen aufgeführten Formeln wiederholt? (Höhe)
3. Zeigen Sie die Höhe auf geraden und schrägen Prismen an.
4. Kann ein Parallelepiped als Prisma bezeichnet werden? Und der Würfel? (Ja, das sind Sonderfälle eines Prismas)
5. Zeigen Sie die Höhe auf einer geraden und schrägen Pyramide an.
6. Welche Figuren können an der Basis des Prismas und der Pyramide stehen? (Dreieck, Quadrat, Raute, Rechteck, Parallelogramm, Trapez und andere flache Figuren)
7. Kann es an der Basis eines Parallelepipeds ein Trapez geben? (Nein, denn ein Parallelepiped ist ein Prisma, an dessen Basis sich ein Parallelogramm befindet)
8. Betrachten Sie die Polygone auf dem Brett. Diese Polygone können an der Basis der von uns betrachteten Polyeder liegen.

Auf den Karten Formeln mit Berechnungen der Flächen von Polygonen ( Anhang 1 Verbinden Sie diese Formeln mit den Formen auf der Tafel; Sagen Sie mir, nach welcher Formel wird die Fläche jeder dieser Zahlen berechnet?
9. Welche dieser Formeln eignet sich zur Berechnung der Grundfläche eines Raumes? ( ein . B oder ein 2)

II. Probleme mit praktischen Inhalten lösen

Erste Wahl:"Service der Experten der sanitären und epidemiologischen Station"

(es wird ein „Senior Expert“ ausgewählt, der den Inhalt des Problems darlegt und aus den Ergebnissen der Entscheidung eine Schlussfolgerung zieht).

Lösung:

V = abc oder V = Sbas.H
V = 8,5 6 3,6 = 183,6 ( m 3)
183,6: 30 = 6,12(m 3) Es gibt Luft pro Schüler.

Expertenmeinung:

Ja, 30 Studenten können im Büro studieren.

Zweite Option:"Dienst der Meteorologen"

(es wird ein „Senior Meteorologe“ ausgewählt, der den Inhalt des Problems darlegt und aus den Ergebnissen der Entscheidung eine Schlussfolgerung zieht)

Lösung:

Das Blumenbeet ist eine geometrische Figur - ein gerades dreieckiges Prisma, wobei h = 20 mm, dann V = Sbase. h

1) Sb. =
2) h = 20 mm, 1m = 1000mm, 1mm = 0,001m, dann h = 0,02 m
3) V = 15,3 0,02 = 0,306 ( m 3) = 306(dm 3)
4) 1dm 3 = 1l(Wasser) dann 306 dm 3 = 306 Liter Wasser

Fazit des "Senior Meteorologen":

Tagsüber fielen 306 Liter Niederschlag auf das Blumenbeet.

III. Lösen von Problemen für die Entwicklung des Auges

Wir müssen uns oft die Frage stellen: Ist es viel oder wenig? Um zu lernen, wie Sie solche Fragen beantworten können, müssen Sie Ihr Auge ständig weiterentwickeln. Jetzt hat jeder von Ihnen die Möglichkeit, die Qualität seines Auges zu überprüfen.

1) Wie viel denkst du? cm Enthält diese Flasche 3 Eau de Cologne oder Lotion? (Der Lehrer zeigt den Schülern eine abgeschnittene Pyramide oder eine rechteckige parallelepipedische Flasche.)

Während die Schüler ihre Annahmen formulieren, geht einer von ihnen an die Tafel, nimmt die entsprechenden Messungen vor und berechnet das richtige Ergebnis. Die Schüler korrelieren ihre Annahmen mit diesem Ergebnis und überprüfen so die Qualität ihres Auges.

2) Wie viel m 3 Airs in unserem Büro? (Der Lehrer gibt die Parameter selbst vor).

NS. "Auszeit" für die Entwicklung der räumlichen Vorstellungskraft

1. Ein Tablet mit einer Zeichnung des Gebäudes wird freigelegt.

Frage: Aus welchen geometrischen Formen besteht dieses Gebäude?
Antworten: Rechteckiges Parallelepiped, eine regelmäßige viereckige Pyramide und so weiter.

2. Was? geometrische Figuren an Ihrem Arbeitsplatz treffen?

V. Labor- und Praxisarbeiten

Jeder hat ein Modell eines Polyeders auf dem Tisch.

Übung: Nehmen Sie die erforderlichen Messungen vor und berechnen Sie das Volumen dieser Figur auf einem Blatt Papier.

(Notieren Sie auf einem Blatt Papier die Nummer der Figur und ihren Namen).

Vi. Das Kreuzworträtsel lösen

Studierende, die die laborpraktische Arbeit früher als andere bewältigt haben, sind eingeladen, das Polyeder-Kreuzworträtsel zu lösen.

1. Parallele Flächen des Prismas (Base);
2. Einer der Polyeder (Pyramide);
3. Senkrecht zwischen den Grundflächen des Prismas (Höhe);
4. Die Ebene, die das Polyeder schneidet (Sektion);
5. Maßeinheit (Meter).

Vii. Hausaufgaben

VIII. Zusammenfassung der Lektion

Folie 1

Folie 2

Polyeder Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche besteht aus endliche Zahl flache Polygone.

Folie 3

Ein Polyeder heißt konvex, wenn es auf einer Seite einer Ebene liegt, die seine Fläche enthält. Ein Polyeder heißt nichtkonvex, wenn es eine Fläche gibt, bei der sich das Polyeder auf beiden Seiten der Ebene befindet, die diese Fläche enthält.

Folie 4

Was ist im alltäglichen Sinne das Volumen eines Körpers, insbesondere eines Polyeders? So viel Flüssigkeit kann in dieses Polyeder gegossen werden. Schneiden Sie die Spitzen ab und gießen Sie Wasser in jedes Polyeder. Ein konvexes Polyeder ist bereits gefüllt, ein nicht-konvexes noch nicht. Es ist jedoch möglich, dass das Wasser mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten gegossen wurde: Um die Volumina richtig zu vergleichen, gießen wir die Flüssigkeit aus jedem Polyeder in identische Gläser. Der Wasserstand im rechten Glas ist höher als im linken, was bedeutet, dass das Volumen eines nicht-konvexen Polyeders tatsächlich größer ist als das Volumen eines konvexen.

Folie 5

Viele bedeutende Leistungen von Mathematikern Antikes Griechenland bei der Lösung von Problemen beim Auffinden von Kubaturen (Berechnung von Volumina) von Körpern sind mit der Anwendung der von Eudoxus von Knidos (um 408-355 v. Chr.) vorgeschlagenen Erschöpfungsmethode verbunden. Es gibt eine bekannte Formel, die es ermöglicht, das Volumen eines Polyeders zu bestimmen, wenn nur die Längen seiner Kanten bekannt sind. Das Volumen eines beliebigen Polyeders kann berechnet werden, indem man nur die Längen seiner Kanten kennt. Das Polyeder muss jedoch von besonderer Art sein.

Folie 6

Im allgemeinen Fall kann gezeigt werden, dass die verallgemeinerten Volumina von Polyedern die Wurzeln von Polynomgleichungen mit Koeffizienten sind, die nicht von der Lage der Ecken des Polyeders im Raum abhängen, sondern Polynome in den Quadraten der Längen seiner Kanten. Die numerischen Koeffizienten dieser Polynome werden durch die kombinatorische Struktur des Polyeders bestimmt.

Folie 7

Das Volumen des Pyramidensatzes. Das Volumen der Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus Grundfläche und Höhe.

Folie 8