این مقاله اطلاعات لازم برای حل تقریباً هر مثالی را در موضوع سری اعداد، از یافتن مجموع یک سری گرفته تا بررسی آن برای همگرایی، گردآوری و ساختاربندی کرده است.

بررسی مقاله.

بیایید با تعاریف یک سری نشانه مثبت، تغییر علامت و مفهوم همگرایی شروع کنیم. در مرحله بعد، سری های استاندارد، مانند یک سری هارمونیک، یک سری هارمونیک تعمیم یافته را در نظر خواهیم گرفت، و فرمول را برای یافتن مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش به یاد می آوریم. پس از آن به ویژگی های سری های همگرا می پردازیم، شرط لازم برای همگرایی سری ها را می گذرانیم و معیارهای کافی برای همگرایی سری ها را صدا می کنیم. ما نظریه را با حل مثال های معمولی با توضیحات مفصل رقیق خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

تعاریف و مفاهیم اساسی

فرض کنید یک دنباله عددی داریم، جایی که .

بیایید مثالی از یک دنباله عددی ارائه دهیم: .

سری شمارهمجموع اعضای یک دنباله عددی از فرم است .

به عنوان مثالی از یک سری اعداد، می‌توانیم مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت کاهشی را با مخرج q = -0.5 بدست آوریم: .

نامیده می شوند عضو مشترک سری اعدادیا k-امین عضو سری.

برای مثال قبلی، عبارت رایج سری اعداد است.

مجموع جزئی یک سری اعدادمجموع شکلی است که n مقداری طبیعی است. جمع جزئی n-امین یک سری اعداد نیز نامیده می شود.

مثلا چهارمین مجموع جزئی سری وجود دارد .

مقادیر جزئی دنباله ای نامتناهی از مجموع جزئی یک سری اعداد را تشکیل می دهند.

برای سری ما، جمع جزئی n-امین با فرمول حاصل از مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسی پیدا می شود. ، یعنی دنباله ای از مجموع جزئی را خواهیم داشت: .

سری اعداد نامیده می شود همگرااگر حد محدودی از دنباله مجموع جزئی وجود داشته باشد. اگر حد دنباله مجموع جزئی یک سری عددی وجود نداشته باشد یا نامحدود باشد، آن سری نامیده می شود. واگرا.

مجموع یک سری اعداد همگراحد دنباله مجموع جزئی آن نامیده می شود، یعنی .

در مثال ما، بنابراین، سری همگرا می شود و مجموع آن برابر با شانزده سوم است: .

یک مثال از یک سری واگرا مجموع یک تصاعد هندسی با مخرج بزرگتر از یک است: ... جمع جزئی n ام با عبارت تعیین می شود ، و حد مجموع جزئی نامحدود است: .

مثال دیگری از سری اعداد واگرا مجموع شکل است ... در این مورد، مجموع جزئی n-امین را می توان به صورت محاسبه کرد. حد مجموع جزئی نامحدود است .

جمع فرم تماس گرفت سری اعداد هارمونیک.

جمع فرم ، جایی که s مقداری واقعی است، فراخوانی می شود سری اعداد هارمونیک تعمیم یافته.

تعاریف فوق برای اثبات عبارات بسیار پرکاربرد زیر کافی است، توصیه می کنیم آنها را به خاطر بسپارید.

سری هارمونیک در حال پخش است.

اجازه دهید واگرایی سری هارمونیک را ثابت کنیم.

فرض کنید سری همگرا شود. سپس یک حد محدود از مجموع جزئی آن وجود دارد. در این صورت می توانیم و را بنویسیم که ما را به برابری می رساند .

از طرف دیگر،


نابرابری های زیر بدون شک هستند. بدین ترتیب، . نابرابری حاصل به ما نشان می دهد که برابری نمی توان به دست آورد، که با فرض ما در مورد همگرایی سری هارمونیک در تضاد است.

نتیجه گیری: سری هارمونیک واگرا می شود.

مجموع پیشرفت هندسی نما با مخرج q یک سری اعداد همگرا، IF، و تقسیم کننده سری در AT است.

بیایید ثابت کنیم.

می دانیم که مجموع n جمله اول یک پیشروی هندسی با فرمول بدست می آید .

زمانی که حقیقت دارد


که نشان دهنده همگرایی سری اعداد است.

برای q = 1، یک سری اعداد داریم ... مجموع جزئی آن به صورت یافت می شود و حد مجموع جزئی نامتناهی است ، که نشان دهنده واگرایی سریال در این مورد است.

اگر q = -1 باشد، سری اعداد شکل خواهد گرفت ... مجموع جزئی مقادیر n فرد و زوج را به دست می آورند. از اینجا می توان نتیجه گرفت که حد مبالغ جزئی وجود ندارد و سری واگرا می شود.

زمانی که حقیقت دارد


که نشان دهنده واگرایی سری اعداد است.

به طور کلی، سری هارمونیک برای s> 1 همگرا می شود و برای آن متفاوت است.

اثبات

برای s = 1، یک سری هارمونیک دریافت می کنیم، و در بالا واگرایی آن را ایجاد می کنیم.

در s نابرابری برای همه k طبیعی برقرار است. با توجه به واگرایی سری هارمونیک، می توان استدلال کرد که دنباله مجموع جزئی آن نامحدود است (از آنجایی که محدودیت محدودی وجود ندارد). سپس دنباله مجموع جزئی سری های عددی نامحدود تر است (هر جمله از این سری بزرگتر از جمله مربوط به سری هارمونیک است)، بنابراین، سری هارمونیک تعمیم یافته در s واگرا می شود.

باقی مانده است که همگرایی سری برای s> 1 را ثابت کنیم.

بیایید تفاوت را بنویسیم:



بدیهی است، پس


اجازه دهید نابرابری حاصل را برای n = 2، 4، 8، 16، بنویسیم.



با استفاده از این نتایج، می توانید کارهای زیر را با سری اعداد اصلی انجام دهید:



اصطلاح مجموع یک تصاعد هندسی است که مخرج آن است. از آنجایی که ما در حال بررسی مورد s> 1 هستیم، پس. از همین رو
... بنابراین، دنباله مجموع جزئی سری هارمونیک تعمیم یافته برای s> 1 در حال افزایش است و در عین حال از بالا با مقدار محدود می شود، بنابراین دارای یک حد است که نشان دهنده همگرایی سری است. اثبات کامل است.

سری اعداد نامیده می شود مثبتاگر همه اعضای آن مثبت باشند، یعنی .

سری اعداد نامیده می شود متناوباگر نشانه های اعضای همسایه آن متفاوت باشد. یک سری اعداد متناوب را می توان به صورت نوشتاری نوشت یا ، جایی که .

سری اعداد نامیده می شود متناوباگر شامل مجموعه نامتناهی از جمله مثبت و منفی باشد.

سری اعداد متناوب یک مورد خاص از یک سری متناوب است.

درجات

به ترتیب علامت مثبت، علامت متناوب و علامت متناوب هستند.

برای یک سری متناوب، مفهوم همگرایی مطلق و مشروط وجود دارد.

کاملا همگرا، اگر یک سری از مقادیر مطلق اعضای آن همگرا شود، یعنی یک سری عدد علامت مثبت همگرا شود.

مثلا سری اعداد و کاملاً همگرایی، از سری ، که مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است.

سری متناوب نامیده می شود مشروط همگرااگر سری واگرا شود و سری همگرا شوند.

به عنوان نمونه ای از یک سری اعداد متعارف همگرا، می توانیم سری را ارائه دهیم ... سری شماره ، متشکل از مقادیر مطلق اعضای سری اصلی، واگرا، زیرا هارمونیک است. در عین حال، سری اصلی همگرا است که به راحتی با استفاده از آن ایجاد می شود. بنابراین، سری متناوب عددی مشروط همگرا

ویژگی های سری های عددی همگرا.

مثال.

همگرایی یک سری اعداد را ثابت کنید.

راه حل.

بیایید سریال را به شکل دیگری بنویسیم ... سری عددی همگرا می شود، زیرا سری هارمونیک تعمیم یافته برای s> 1 همگرا است و به موجب خاصیت دوم سری عددی همگرا، سری با ضریب عددی نیز همگرا می شود.

مثال.

اینکه آیا سری اعداد همگرا هستند یا خیر.

راه حل.

بیایید ردیف اصلی را تبدیل کنیم: ... بنابراین، مجموع دو سری عددی را به دست آوردیم و هر یک از آنها همگرا می شوند (به مثال قبلی مراجعه کنید). در نتیجه، به موجب ویژگی سوم سری های عددی همگرا، سری اصلی نیز همگرا می شوند.

مثال.

همگرایی یک سری اعداد را ثابت کنید و مجموع آن را محاسبه کنید.

راه حل.

این سری اعداد را می توان به عنوان تفاوت بین دو سری نشان داد:

هر یک از این سری ها مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است، بنابراین، همگرا هستند. سومین ویژگی سری همگرا به ما امکان می دهد ادعا کنیم که سری اعداد اصلی همگرا هستند. بیایید جمع آن را محاسبه کنیم.

جمله اول سری یک است و مخرج پیشرفت هندسی مربوطه 0.5 است، بنابراین، .

جمله اول سری 3 است و مخرج پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش 1/3 است، بنابراین .

بیایید از نتایج به دست آمده برای یافتن مجموع سری عددی اصلی استفاده کنیم:

شرط لازم برای همگرایی سریال.

اگر سری اعداد همگرا شود، حد k-امین جمله آن صفر است:.

هنگام بررسی هر سری عددی برای همگرایی، اول از همه، باید تحقق شرط همگرایی لازم را بررسی کرد. عدم رعایت این شرط نشان دهنده واگرایی سری عددی است، یعنی اگر، آنگاه سری واگرا می شود.

از طرف دیگر، باید درک کنید که این شرط کافی نیست. یعنی تحقق تساوی به معنای همگرایی سری اعداد نیست. به عنوان مثال، برای یک سری هارمونیک، شرط همگرایی لازم برقرار است و سری واگرا می شود.

مثال.

یک سری اعداد را برای همگرایی بررسی کنید.

راه حل.

اجازه دهید شرط لازم برای همگرایی یک سری عددی را بررسی کنیم:

حد عضو n-ام سری اعداد برابر با صفر نیست، بنابراین، سری واگرا می شود.

نشانه های کافی از همگرایی یک سری مثبت.

هنگام استفاده از ویژگی های کافی برای مطالعه سری های عددی برای همگرایی، دائماً باید با آن دست و پنجه نرم کنید، بنابراین توصیه می کنیم در صورت داشتن هر گونه مشکل به این بخش مراجعه کنید.

شرط لازم و کافی برای همگرایی یک سری اعداد مثبت.

برای همگرایی یک سری اعداد مثبت لازم و کافی است که ترتیب مجموع جزئی آن محدود شود.

بیایید با علائم مقایسه سری شروع کنیم. ماهیت آنها در مقایسه سری عددی مورد مطالعه با یک سری است که همگرایی یا واگرایی آنها مشخص است.

نشانه های اول، دوم و سوم مقایسه.

اولین نشانه مقایسه ردیف ها.

فرض کنید u دو سری عددی با علامت مثبت باشد و نابرابری برای همه k = 1، 2، 3، ... برقرار است سپس همگرایی سری دلالت بر همگرایی دارد و واگرایی سری دلالت بر واگرایی دارد.

معیار مقایسه اول اغلب استفاده می شود و ابزار بسیار قدرتمندی برای بررسی سری های عددی برای همگرایی است. مشکل اصلی انتخاب یک سری مناسب برای مقایسه است. سری برای مقایسه معمولاً (اما نه همیشه) طوری انتخاب می شود که توان k-امین جمله آن برابر با اختلاف بین توان های صورت و مخرج k-امین ترم سری عددی مورد مطالعه باشد. به عنوان مثال، فرض کنید تفاوت بین نماهای صورت و مخرج 2 - 3 = -1 است، بنابراین، برای مقایسه، یک سری با عبارت kth، یعنی یک سری هارمونیک انتخاب می کنیم. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال.

همگرایی یا واگرایی سری را ایجاد کنید.

راه حل.

از آنجایی که حد واژه کلی سری صفر است، شرط لازم برای همگرایی سری برقرار است.

به راحتی می توان فهمید که نابرابری برای همه اعداد طبیعی k برقرار است. می دانیم که سری هارمونیک واگرا می شود، بنابراین با توجه به اولین نشانه مقایسه، سری اصلی نیز واگرا هستند.

مثال.

سری اعداد را برای همگرایی بررسی کنید.

راه حل.

شرط لازم برای همگرایی یک سری عددی برآورده می شود، زیرا ... بدیهی است که نابرابری برای هر مقدار طبیعی k. سری همگرا می شود زیرا سری هارمونیک تعمیم یافته برای s> 1 همگرا است. بنابراین، اولین علامت مقایسه سری به ما امکان می دهد همگرایی سری عددی اصلی را بیان کنیم.

مثال.

همگرایی یا واگرایی سری اعداد را تعیین کنید.

راه حل.

بنابراین شرط لازم برای همگرایی سری های عددی برقرار است. کدام ردیف را برای مقایسه انتخاب کنیم؟ سری اعداد خودش را پیشنهاد می کند و برای تعیین s، دنباله اعداد را به دقت بررسی می کنیم. اعضای دنباله عددی تا بی نهایت افزایش می یابند. بنابراین، با شروع از مقداری N (یعنی با N = 1619)، اعضای این دنباله بزرگتر از 2 خواهند بود. با شروع از این عدد N، نابرابری برقرار است. سری عددی به موجب اولین ویژگی سری همگرا همگرا می شود، زیرا از سری همگرا با کنار گذاشتن اولین عبارت N - 1 به دست می آید. بنابراین با توجه به معیار مقایسه اول، سری همگرا است و به دلیل اولین خاصیت سری های عددی همگرا، سری نیز همگرا خواهند شد.

نشانه دوم مقایسه

اجازه دهید و سری عددی مثبت باشد. اگر، پس همگرایی از همگرایی سری به وجود می آید. اگر، پس واگرایی از واگرایی سری عددی ناشی می شود.

نتیجه.

اگر و، پس از همگرایی یک سری، همگرایی سری دیگر، و از واگرایی، واگرایی می آید.

اجازه دهید سری را برای همگرایی با استفاده از معیار مقایسه دوم بررسی کنیم. یک سریال همگرا را به عنوان یک سریال در نظر بگیرید. اجازه دهید حد نسبت k-امین سری عددی را پیدا کنیم:

بنابراین، با توجه به معیار مقایسه دوم، همگرایی سری اصلی از همگرایی سری عددی ناشی می شود.

مثال.

همگرایی یک سری اعداد را بررسی کنید.

راه حل.

اجازه دهید شرایط لازم برای همگرایی سری را بررسی کنیم ... شرط محقق شده است. برای اعمال معیار مقایسه دوم، یک سری هارمونیک می گیریم. اجازه دهید حد نسبت k-امین عبارت را پیدا کنیم:

در نتیجه، از واگرایی سری هارمونیک، واگرایی سری اصلی با توجه به معیار مقایسه دوم حاصل می شود.

برای اطلاع، سومین نشانه مقایسه سریال را می دهیم.

سومین نشانه مقایسه.

اجازه دهید و سری عددی مثبت باشد. اگر شرط از مقداری N برآورده شود، همگرایی از همگرایی سری و واگرایی از واگرایی سری به دست می آید.

علامت دالامبر

اظهار نظر.

آزمون دالامبر در صورتی معتبر است که حد نامحدود باشد، یعنی اگر ، سپس سری همگرا می شود اگر ، سپس سریال از هم جدا می شود.

اگر، پس آزمون دالامبر اطلاعاتی در مورد همگرایی یا واگرایی سری ارائه نمی دهد و تحقیقات بیشتری لازم است.

مثال.

سری اعداد را برای همگرایی دالامبر بررسی کنید.

راه حل.

اجازه دهید تحقق شرط لازم برای همگرایی یک سری عددی را بررسی کنیم، حد به صورت زیر محاسبه می شود:

شرط محقق شده است.

بیایید از آزمون d'Alembert استفاده کنیم:

بنابراین، مجموعه همگرا می شود.

نشانه رادیکال کوشی

بگذارید یک سری عدد مثبت باشد. اگر، آنگاه سری عددی همگرا می شود، اگر، آنگاه سری واگرا می شود.

اظهار نظر.

معیار رادیکال کوشی در صورتی معتبر است که حد نامحدود باشد، یعنی اگر ، سپس سری همگرا می شود اگر ، سپس سریال از هم جدا می شود.

در صورتی که آزمون کوشی رادیکال اطلاعاتی در مورد همگرایی یا واگرایی سری ارائه ندهد و تحقیقات بیشتری مورد نیاز است.

معمولاً تشخیص مواردی که بهتر است از معیار کوشی رادیکال استفاده شود، به اندازه کافی آسان است. یک مورد معمولی زمانی است که عبارت رایج یک سری عددی یک عبارت نمایی نمایی است. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال.

یک سری اعداد مثبت را برای همگرایی با استفاده از آزمون کوشی رادیکال بررسی کنید.

راه حل.

... با معیار رادیکال کوشی، به دست می آوریم .

در نتیجه، سریال همگرا می شود.

مثال.

آیا سری اعداد همگرا هستند؟ .

راه حل.

ما از معیار کوشی رادیکال استفاده می کنیم بنابراین، سری اعداد همگرا می شوند.

تست کوشی انتگرال.

بگذارید یک سری عدد مثبت باشد. بیایید تابعی از آرگومان پیوسته y = f (x)، شبیه به تابع بسازیم. اجازه دهید تابع y = f (x) مثبت، پیوسته و در بازه، جایی که کاهش می‌یابد). سپس در صورت همگرایی انتگرال نامناسبسری عددی مورد مطالعه همگرا می شود. اگر انتگرال نامناسب واگرا شود، سری اصلی نیز واگرا می شود.

هنگام بررسی کاهش تابع y = f (x) در یک بازه، تئوری از بخش ممکن است برای شما مفید باشد.

مثال.

یک سری اعداد را با شرایط مثبت برای همگرایی بررسی کنید.

راه حل.

شرط لازم برای همگرایی سریال برآورده شده است، زیرا ... بیایید یک تابع را در نظر بگیریم. مثبت، پیوسته و در بازه زمانی کاهش می یابد. تداوم و مثبت بودن این عملکرد جای شک و تردیدی ندارد و با جزئیات بیشتر به کاهش آن خواهیم پرداخت. مشتق را بیابید:
... در بازه منفی است، بنابراین، تابع در این بازه کاهش می یابد.

معیار همگرایی دالامبر معیار همگرایی رادیکال کوشی معیار همگرایی کوشی انتگرال

یکی از نشانه های رایج مقایسه که در مثال های عملی یافت می شود، علامت d'Alembert است. علائم کوشی کمتر رایج هستند، اما بسیار محبوب هستند. مثل همیشه سعی خواهم کرد مطالب را به صورت ساده، در دسترس و قابل فهم ارائه کنم. موضوع دشوارترین موضوع نیست و همه کارها تا حدی قابل استنبل هستند.

ژان لرون دالامبر، ریاضیدان مشهور فرانسوی قرن هجدهم است. به طور کلی دالامبر در معادلات دیفرانسیل تخصص داشت و بر اساس تحقیقات خود به بالستیک مشغول بود تا اعلیحضرت بتواند گلوله های توپ بهتری را به پرواز درآورد. در عین حال ، من رتبه های عددی را فراموش نکردم ، بی جهت نبود که صفوف سربازان ناپلئون به وضوح به هم نزدیک شده و از هم جدا می شوند.

قبل از فرمول بندی خود ویژگی، یک سوال مهم را در نظر بگیرید:
چه زمانی باید معیار همگرایی d'Alembert اعمال شود؟

بیایید با تکرار شروع کنیم. اجازه دهید مواردی را که باید از محبوب ترین ها استفاده کنید را به یاد بیاوریم معیار مقایسه حدی... معیار مقایسه محدود زمانی اعمال می شود که در عبارت رایج سری باشد:
1) مخرج شامل یک چند جمله ای است.
2) چند جمله ای ها هم در صورت و هم در مخرج هستند.
3) یک یا هر دو چند جمله ای می توانند در ریشه باشند.

پیش نیازهای اصلی برای استفاده از ویژگی d'Alembert به شرح زیر است:

1) اصطلاح متداول سریال («پر کردن» سریال) مثلاً مقداری در توان و غیره را شامل می شود. علاوه بر این ، اصلاً مهم نیست که این چیز در کجا قرار دارد ، در صورت یا مخرج - مهم است که در آنجا وجود داشته باشد.

2) فاکتوریل در اصطلاح کلی سری گنجانده شده است. در طول درس شمشیرها را با فاکتوریل ضربدری کردیم دنباله عددی و حد آن... با این حال، باز کردن دوباره سفره ای که خود جمع شده است، ضرری ندارد:





…


…

! هنگام استفاده از آزمون d'Alembert، فقط باید فاکتوریل را با جزئیات توصیف کنیم. مانند پاراگراف قبل، فاکتوریل را می توان در بالا یا پایین کسر قرار داد.

3) اگر در اصطلاح رایج سری مثلاً «زنجیره عوامل» وجود داشته باشد. این مورد نادر است، اما! هنگام بررسی چنین مجموعه ای، اغلب اشتباهاتی رخ می دهد - به مثال 6 مراجعه کنید.

همراه با قدرت ها و (و) فاکتوریل ها، چند جمله ای ها اغلب در پر کردن سری یافت می شوند، این موضوع را تغییر نمی دهد - باید از علامت d'Alembert استفاده کنید.

علاوه بر این، در اصطلاح کلی سری، هم درجه و هم فاکتوریل را می توان به طور همزمان یافت. می تواند دو فاکتوریل، دو درجه وجود داشته باشد، مهم است که وجود داشته باشد حداقل چیزی ازاز نکات در نظر گرفته شده - و این فقط یک پیش نیاز برای استفاده از علامت d'Alembert است.

علامت دالامبر: در نظر گرفتن سری اعداد مثبت... اگر محدودیتی در رابطه عضو بعدی با قبلی وجود دارد:، پس:
الف) برای یک سری همگرا می شود... به طور خاص، این مجموعه برای.
ب) برای یک سری واگرا می شود... به طور خاص، این سری در واگرا.
ج) چه زمانی علامت جواب نمی دهد... باید از علامت دیگری استفاده کرد. اغلب، واحد زمانی به دست می‌آید که سعی می‌شود در جاهایی که لازم است از ویژگی مقایسه محدودکننده استفاده شود، از آزمون d'Alembert استفاده شود.

هر کس هنوز با محدودیت ها مشکل دارد یا محدودیت ها را درک نمی کند، به درس مراجعه کند محدودیت ها نمونه هایی از راه حل ها... متأسفانه، بدون درک محدودیت و توانایی افشای عدم قطعیت، نمی توان بیشتر پیش رفت.

و اکنون نمونه های مورد انتظار.

مثال 1

می بینیم که در اصطلاح رایج سریال داریم و این پیش شرط درستی برای استفاده از علامت دالامبر است. ابتدا یک راه حل کامل و یک نمونه طرح در زیر نظر دهید.

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

همگرا می شود.

(1) نسبت عضو بعدی سری به عضو قبلی را می سازیم:. از شرط می بینیم که اصطلاح رایج سری. برای به دست آوردن اعضای بعدی مجموعه، لازم است به جای جایگزین کردن: .
(2) خلاص شدن از کسری چهار طبقه. با کمی تجربه در مورد راه حل، این مرحله را می توان نادیده گرفت.
(3) پرانتزها را در صورت حساب باز کنید. در مخرج چهار را از درجه خارج می کنیم.
(4) کاهش دهید. ثابت از علامت حد خارج می شود. ما عبارات مشابه را در صورت شمار داخل پرانتز می آوریم.
(5) عدم قطعیت به روش استاندارد حذف می شود - تقسیم صورت و مخرج بر "en" در بالاترین توان.
(6) ما اعداد را بر مخرج ترم به جمله تقسیم می کنیم و عبارت هایی را نشان می دهیم که به صفر تمایل دارند.
(7) پاسخ را ساده می کنیم و یادداشت می کنیم که با این نتیجه که طبق آزمون دالامبر، سری مورد مطالعه همگرا می شوند.

در مثال در نظر گرفته شده، در عبارت رایج سری، با یک چند جمله ای درجه 2 مواجه شدیم. اگر چند جمله ای درجه 3، 4 یا بالاتر وجود داشته باشد چه؟ واقعیت این است که اگر چند جمله ای درجه بالاتر داده شود، باز کردن براکت ها با مشکل مواجه خواهد شد. در این مورد، می توانید از راه حل "توربو" استفاده کنید.

مثال 2

یک سری مشابه بگیرید و آن را از نظر همگرایی بررسی کنید

ابتدا راه حل کامل و سپس نظرات:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

(1) تالیف رابطه.
(2) خلاص شدن از کسری چهار طبقه.
(3) یک عبارت را در صورت و یک عبارت را در مخرج در نظر بگیرید. می بینیم که در صورت حساب باید پرانتز را باز کنید و به توان چهارم برسانید: که مطلقاً نمی خواهید انجام دهید. علاوه بر این، برای کسانی که با دوجمله ای نیوتن آشنایی ندارند، این کار ممکن است اصلا قابل اجرا نباشد. بیایید بالاترین درجه ها را تجزیه و تحلیل کنیم: اگر براکت ها را در بالا باز کنیم، بالاترین درجه را به دست می آوریم. در زیر همین مدرک ارشد را داریم:. با قیاس با مثال قبلی، بدیهی است که وقتی صورت و مخرج بر جمله تقسیم می شوند، در حد یک عدد بدست می آید. یا همانطور که ریاضیدانان می گویند، چند جمله ای ها و - همان ترتیب رشد... بنابراین، کاملاً ممکن است که نسبت را با یک مداد ساده دور بزنیم و بلافاصله نشان دهیم که این چیز به یک گرایش دارد. ما با جفت دوم چند جمله ای ها به روشی مشابه برخورد می کنیم: و، آنها نیز هستند همان ترتیب رشد، و نسبت آنها به وحدت گرایش دارد.

در واقع، چنین "هک" می‌توانست در مثال شماره 1 انجام شود، اما برای چند جمله‌ای درجه 2، چنین راه‌حلی هنوز به‌گونه‌ای نامشخص به نظر می‌رسد. من شخصاً این کار را انجام می‌دهم: اگر چند جمله‌ای (یا چند جمله‌ای) درجه اول یا دوم وجود داشته باشد، از راه طولانی برای حل مثال 1 استفاده می‌کنم. اگر با چند جمله‌ای درجات سوم یا بالاتر مواجه شدم، از روش "turbo" مشابه مثال 2.

مثال 3

سری را برای همگرایی بررسی کنید

حل کامل و طرح نمونه در پایان درس دنباله اعداد.
(4) کاهش هر چیزی که می تواند کاهش یابد.
(5) ثابت از علامت حد خارج می شود. پرانتزها را در صورت حساب باز کنید.
(6) عدم قطعیت به روش استاندارد حذف می شود - با تقسیم صورت و مخرج بر "en" در بالاترین توان.

مثال 5

سری را برای همگرایی بررسی کنید

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس

مثال 6

سری را برای همگرایی بررسی کنید

گاهی اوقات ردیف هایی وجود دارند که حاوی "زنجیره ای" از عوامل در پر شدن آنها هستند؛ ما هنوز این نوع ردیف ها را در نظر نگرفته ایم. چگونه یک سریال را با "زنجیره ای" از عوامل بررسی کنیم؟ از علامت d'Alembert استفاده کنید. اما ابتدا برای اینکه بفهمیم چه اتفاقی می‌افتد، این سریال را با جزئیات شرح می‌دهیم:

از بسط، می بینیم که برای هر جمله بعدی در مجموعه، یک عامل اضافی در مخرج اضافه می شود، بنابراین، اگر عبارت رایج در سری باشد، عبارت بعدی در سری:
... در اینجا، آنها اغلب به طور خودکار اشتباه می کنند و به طور رسمی مطابق الگوریتمی که می نویسند

یک مثال تقریبی از یک راه حل ممکن است به شکل زیر باشد:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

قبل از شروع کار با این موضوع، به شما توصیه می کنم به بخش اصطلاحات سری اعداد نگاه کنید. به خصوص ارزش توجه به مفهوم عضو مشترک یک سریال را دارد. اگر در صحت انتخاب معیار همگرایی شک دارید، توصیه می کنم به مبحث "انتخاب معیار همگرایی برای سری های عددی" مراجعه کنید.

آزمون آلمبرت (یا آزمون d'Alembert) برای بررسی همگرایی سری هایی استفاده می شود که عبارت مشترک آنها به شدت بزرگتر از صفر است، یعنی $ u_n> 0 $. این سری ها نامیده می شوند. کاملا مثبت... در مثال های استاندارد، ویژگی Alamber D به شکل محدود کننده آن استفاده می شود.

علامت D "Alamber" (به شکل شدید)

اگر سری $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) u_n $ کاملاً مثبت است و $$ \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = L ، $ $ سپس برای $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (و برای $ L = \ infty $) سری واگرا می شود.

فرمول بسیار ساده است، اما سوال زیر باز می ماند: اگر $ L = 1 $ باشد چه اتفاقی می افتد؟ علامت D آلمبرت نمی تواند به این سوال پاسخ دهد.

اغلب، در مثال‌های استاندارد، اگر عبارت برای عبارت کلی سری حاوی چند جمله‌ای $n $ (چند جمله‌ای ممکن است زیر ریشه باشد) و درجه‌ای از شکل $ a ^ n $ از علامت D استفاده می‌شود. یا $ n! $. به عنوان مثال، $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ (به مثال شماره 1 مراجعه کنید) یا $ u_n = \ frac (\ sqrt ( 4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

عبارت "n" به چه معناست؟ نشان دادن \ پنهان کردن

ورودی "n!" (بخوانید "en factorial") حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا n را نشان می دهد، یعنی.

$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$

طبق تعریف، فرض می شود که $ 0! = 1! = 1 $. به عنوان مثال، بیایید 5 را پیدا کنیم!:

$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

علاوه بر این، ویژگی D "آمبرت اغلب برای تعیین همگرایی یک سری استفاده می شود که عبارت رایج آن شامل حاصلضرب ساختار زیر است: $ u_n = \ frac (3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot \ ldots \ cdot (2n + 1)) (2 \ cdot 5 \ cdot 8 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-1)) $.

مثال شماره 1

سری $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ را برای همگرایی بررسی کنید.

از آنجایی که حد پایینی جمع 1 است، عبارت رایج سری در زیر علامت جمع نوشته می شود: $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $. از آنجایی که برای $ n≥ 1 $، $ 3n + 7> 0 $، $ 5 ^ n> 0 $ و $ 2n ^ 3-1> 0 $ داریم، سپس $ u_n> 0 $. بنابراین، سریال ما به شدت مثبت است.

$5 \ cdot \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac ((3n + 10) \ چپ (2n ^ 3-1 \ راست)) (\ چپ (2 (n + 1) ^ 3-1 \ راست ) (3n + 7)) = \ چپ | \ فراک (\ infty) (\ infty) \ سمت راست | = 5 \ cdot \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (\ frac ((3n + 10) \ چپ (2n ^ 3-1 \ راست)) (n ^ 4)) (\ frac (\ چپ (2 (n + 1) ^ 3-1 \ راست) (3n + 7)) (n ^ 4)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (\ frac (3n + 10) (n) \ cdot \ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\ frac (\ سمت چپ (2 ( n + 1) ^ 3-1 \ راست)) (n ^ 3) \ cdot \ frac (3n + 7) (n)) = \\ = 5 \ cdot \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (\ چپ (\ frac (3n) (n) + \ frac (10) (n) \ راست) \ cdot \ چپ (\ frac (2n ^ 3) (n ^ 3) - \ frac (1) (n ^ 3) \ حق \ چپ (\ frac (3n) (n) + \ frac (7) (n) \ سمت راست)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (\ چپ (3+ \ frac (10) (n) \ راست) \ cdot \ چپ (2- \ فرک (1) (n ^ 3) \ راست)) (\ چپ (2 \ چپ (1+ \ فرک (1) (n) \ راست) ^ 3 - \ frac (1) (n ^ 3) \ راست) \ cdot \ چپ (3+ \ frac (7) (n) \ راست)) = 5 \ cdot \ frac (3 \ cdot 2) (2 \ cdot 3 ) = 5. $$

از آنجایی که $ \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 5> 1 $، پس با توجه به سری داده شده واگرا می شود.

راستش را بخواهید، علامت آلمبر D تنها گزینه در این شرایط نیست. شما می توانید برای مثال از آزمون کوشی رادیکال استفاده کنید. اما استفاده از آزمون کوشی رادیکال مستلزم دانش (یا اثبات) فرمول های اضافی است. استفاده از ویژگی Alamber D" در این شرایط راحت تر است.

پاسخ: ردیف از هم جدا می شود.

مثال شماره 2

کاوش محدوده $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ на сходимость.!}

از آنجایی که حد پایینی جمع 1 است، عبارت رایج سری در زیر علامت جمع نوشته می شود: $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

عبارت رایج سری شامل چند جمله ای در ریشه است، i.e. $ \ sqrt (4n + 5) $ و فاکتوریل $ (3n-2)! $. وجود فاکتوریل در نمونه استاندارد تقریباً صد در صد تضمین استفاده از مشخصه آلمبر D است.

برای اعمال این ویژگی، باید حد نسبت $ \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $ را پیدا کنیم. برای نوشتن $ u_ (n + 1) $، به $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2) نیاز دارید$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

از آنجایی که $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $، فرمول $ u_ (n + 1) $ را می توان به صورت زیر نوشت یکی دیگر:

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4n + 9)) ((3n + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

این نماد برای حل بیشتر زمانی مناسب است که ما باید کسر زیر حد را لغو کنیم. اگر برابری با فاکتوریل نیاز به توضیح دارد، لطفاً یادداشت زیر را گسترش دهید.

چگونه برابری $ (3n + 1) را بدست آوردیم!= (3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $؟ نشان دادن \ پنهان کردن

علامت $ (3n + 1) $ به معنای حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از 1 تا 3n $ + 1 $ است. آن ها این عبارت را می توان اینگونه نوشت:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n + 1). $$

دقیقاً قبل از عدد $ 3n + 1 $ یک عدد کمتر وجود دارد، یعنی. عدد 3n $ + 1-1 = 3n $. و بلافاصله قبل از عدد $ 3n $ عدد $ 3n-1 $ وجود دارد. خوب، بلافاصله قبل از عدد $ 3n-1 $، عدد $ 3n-1-1 = 3n-2 $ را داریم. بیایید فرمول $ (3n + 1) را بازنویسی کنیم! $:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

محصول $ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $ چیست؟ این محصول برابر است با $ (3n-2)! $. بنابراین، عبارت $ (3n + 1)! $ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

این نماد برای حل بیشتر زمانی مناسب است که ما باید کسر زیر حد را لغو کنیم.

بیایید مقدار $ \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $ را محاسبه کنیم:

$$ \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (\ frac (\ sqrt (4n + 9)) (( 3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1))) (\ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

از آنجایی که $ \ lim_ (n \ تا \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 0<1$, то согласно

معیارهای همگرایی برای سری ها
علامت دالامبر علائم کوشی

کار، کار - و درک بعداً خواهد آمد
جی.ال. دالامبر

آغاز سال تحصیلی را به همه تبریک می گویم! امروز 1 سپتامبر است، و به افتخار تعطیلات، تصمیم گرفتم خوانندگان را با این واقعیت آشنا کنم که شما مدتها منتظر بودید و مشتاق دانستن آن بودید - معیارهای همگرایی برای سری های عددی مثبت... تعطیلات 1 سپتامبر و تبریک من همیشه مرتبط است، اشکالی ندارد اگر واقعاً تابستان است بیرون، شما اکنون برای سومین بار دوباره امتحان می دهید، اگر به این صفحه بروید!

برای کسانی که تازه شروع به مطالعه این مجموعه کرده اند، توصیه می کنم ابتدا مقاله را مطالعه کنند سری اعداد برای آدمک ها... در واقع این گاری در ادامه ضیافت است. بنابراین، امروز در درس به مثال ها و راه حل هایی در مورد موضوعات نگاه خواهیم کرد:

یکی از نشانه های رایج مقایسه که در مثال های عملی یافت می شود، علامت d'Alembert است. علائم کوشی کمتر رایج هستند، اما بسیار محبوب هستند. مثل همیشه سعی خواهم کرد مطالب را به صورت ساده، در دسترس و قابل فهم ارائه کنم. موضوع دشوارترین موضوع نیست و همه کارها تا حدی قابل استنبل هستند.

آزمون همگرایی دالامبر

ژان لرون دالامبر، ریاضیدان مشهور فرانسوی قرن هجدهم است. به طور کلی دالامبر در معادلات دیفرانسیل تخصص داشت و بر اساس تحقیقات خود به بالستیک مشغول بود تا اعلیحضرت بتواند گلوله های توپ بهتری را به پرواز درآورد. در عین حال ، من رتبه های عددی را فراموش نکردم ، بی جهت نبود که صفوف سربازان ناپلئون به وضوح به هم نزدیک شده و از هم جدا می شوند.

قبل از فرمول بندی خود ویژگی، یک سوال مهم را در نظر بگیرید:
چه زمانی باید معیار همگرایی d'Alembert اعمال شود؟

بیایید با تکرار شروع کنیم. اجازه دهید مواردی را که باید از محبوب ترین ها استفاده کنید را به یاد بیاوریم معیار مقایسه حدی... معیار مقایسه محدود زمانی اعمال می شود که در عبارت رایج سری باشد:

1) مخرج شامل یک چند جمله ای است.
2) چند جمله ای ها هم در صورت و هم در مخرج هستند.
3) یک یا هر دو چند جمله ای می توانند در ریشه باشند.
4) البته ممکن است چند جمله ای ها و ریشه ها بیشتر باشد.

پیش نیازهای اصلی برای استفاده از ویژگی d'Alembert به شرح زیر است:

1) اصطلاح متداول سریال («پر کردن» سریال) شامل تعدادی عدد در توان است، مثلاً و غیره. علاوه بر این ، اصلاً مهم نیست که این چیز در کجا قرار دارد ، در صورت یا مخرج - مهم است که در آنجا وجود داشته باشد.

2) فاکتوریل در اصطلاح کلی سری گنجانده شده است. شمشیرها را با فاکتوریل در درس دنباله عددی و حد آن تلاقی کردیم. با این حال، باز کردن دوباره سفره ای که خود جمع شده است، ضرری ندارد:





…


…

! هنگام استفاده از آزمون d'Alembert، فقط باید فاکتوریل را با جزئیات توصیف کنیم. مانند پاراگراف قبل، فاکتوریل را می توان در بالا یا پایین کسر قرار داد.

3) اگر در اصطلاح رایج سریال یک "زنجیره عوامل" وجود داشته باشد، برای مثال، ... این مورد نادر است، اما! هنگام بررسی چنین مجموعه ای، اغلب اشتباهاتی رخ می دهد - به مثال 6 مراجعه کنید.

همراه با قدرت ها و (و) فاکتوریل ها، چند جمله ای ها اغلب در پر کردن سری یافت می شوند، این موضوع را تغییر نمی دهد - باید از علامت d'Alembert استفاده کنید.

علاوه بر این، در اصطلاح کلی سری، هم درجه و هم فاکتوریل را می توان به طور همزمان یافت. می تواند دو فاکتوریل، دو درجه وجود داشته باشد، مهم است که وجود داشته باشد حداقل چیزیاز نکات در نظر گرفته شده - و این فقط یک پیش نیاز برای استفاده از علامت d'Alembert است.

علامت دالامبر: در نظر گرفتن سری اعداد مثبت... اگر محدودیتی در رابطه عضو بعدی با قبلی وجود دارد:، پس:
الف) برای یک سری همگرا می شود
ب) برای یک سری واگرا می شود
ج) چه زمانی علامت جواب نمی دهد... باید از علامت دیگری استفاده کرد. اغلب، واحد زمانی به دست می‌آید که سعی می‌شود در جاهایی که لازم است از ویژگی مقایسه محدودکننده استفاده شود، از آزمون d'Alembert استفاده شود.

هر کس هنوز با محدودیت ها مشکل دارد یا محدودیت ها را درک نمی کند، به درس مراجعه کند محدودیت ها نمونه هایی از راه حل ها... متأسفانه، بدون درک محدودیت و توانایی افشای عدم قطعیت، نمی توان بیشتر پیش رفت.

و اکنون نمونه های مورد انتظار.

مثال 1

می بینیم که در اصطلاح رایج سریال داریم و این پیش شرط درستی برای استفاده از علامت دالامبر است. ابتدا یک راه حل کامل و یک نمونه طرح در زیر نظر دهید.

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:


همگرا می شود.
(1) نسبت عضو بعدی سری به عضو قبلی را می سازیم:. از شرط می بینیم که اصطلاح رایج سری. برای به دست آوردن عضو بعدی سری، شما نیاز دارید در عوض جایگزین: .
(2) خلاص شدن از کسری چهار طبقه. با کمی تجربه در مورد راه حل، این مرحله را می توان نادیده گرفت.
(3) پرانتزها را در صورت حساب باز کنید. در مخرج چهار را از درجه خارج می کنیم.
(4) کاهش دهید. ثابت از علامت حد خارج می شود. ما عبارات مشابه را در صورت شمار داخل پرانتز می آوریم.
(5) عدم قطعیت به روش استاندارد حذف می شود - تقسیم صورت و مخرج بر "en" در بالاترین توان.
(6) ما اعداد را بر مخرج ترم به جمله تقسیم می کنیم و عبارت هایی را نشان می دهیم که به صفر تمایل دارند.
(7) پاسخ را ساده می کنیم و یادداشت می کنیم که با این نتیجه که طبق آزمون دالامبر، سری مورد مطالعه همگرا می شوند.

در مثال در نظر گرفته شده، در عبارت رایج سری، با یک چند جمله ای درجه 2 مواجه شدیم. اگر چند جمله ای درجه 3، 4 یا بالاتر وجود داشته باشد چه؟ واقعیت این است که اگر چند جمله ای درجه بالاتر داده شود، باز کردن براکت ها با مشکل مواجه خواهد شد. در این مورد، می توانید از راه حل "توربو" استفاده کنید.

مثال 2

یک سری مشابه بگیرید و آن را از نظر همگرایی بررسی کنید

ابتدا راه حل کامل و سپس نظرات:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:


بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

(1) تالیف رابطه.

(3) عبارت را در نظر بگیرید در صورت و بیان در مخرج. می بینیم که در صورت حساب باید پرانتز را باز کنید و به توان چهارم برسانید: که مطلقاً نمی خواهید انجام دهید. و برای کسانی که با دوجمله ای نیوتن آشنایی ندارند، این کار دشوارتر خواهد بود. بیایید درجات بالاتر را تجزیه و تحلیل کنیم: اگر پرانتزها را در بالا گسترش دهیم ، سپس بالاترین درجه را می گیریم. در زیر همین مدرک ارشد را داریم:. با قیاس با مثال قبلی، بدیهی است که وقتی صورت و مخرج بر جمله تقسیم می شوند، در حد یک عدد بدست می آید. یا به قول ریاضیدانان چند جمله ای ها و - همان ترتیب رشد... بنابراین، دور زدن رابطه کاملاً ممکن است با یک مداد ساده و بلافاصله نشان می دهد که این چیز به یک تمایل دارد. ما با جفت دوم چند جمله ای ها به روشی مشابه برخورد می کنیم: و، آنها نیز هستند همان ترتیب رشد، و نسبت آنها به وحدت گرایش دارد.

در واقع، چنین «هک» می‌توانست در مثال شماره 1 انجام شود، اما برای یک چند جمله‌ای درجه 2، چنین راه‌حلی هنوز به‌گونه‌ای نامشخص به نظر می‌رسد. من شخصاً این کار را انجام می دهم: اگر چند جمله ای (یا چند جمله ای) درجه اول یا دوم وجود داشته باشد، از راه "طولانی" برای حل مثال 1 استفاده می کنم. اگر به چند جمله ای درجه سوم یا بالاتر برخوردم، از روش "turbo" مشابه مثال 2.

مثال 3

سری را برای همگرایی بررسی کنید

بیایید مثال های معمولی با فاکتوریل ها را در نظر بگیریم:

مثال 4

سری را برای همگرایی بررسی کنید

اصطلاح کلی سری هم شامل درجه و هم فاکتوریل می شود. مثل روز روشن است که باید از علامت d'Alembert در اینجا استفاده شود. ما تصمیم گرفتیم.

بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.
(1) تالیف رابطه. یک بار دیگر تکرار می کنیم. با شرط، اصطلاح رایج سری: ... برای دریافت ترم بعدی این مجموعه، در عوض باید جایگزین کنید، بدین ترتیب: .
(2) خلاص شدن از کسری چهار طبقه.
(3) هفت را از درجه جدا می کنیم. ما فاکتوریل ها را با جزئیات نقاشی می کنیم... چگونه این کار را انجام دهیم - به ابتدای درس یا مقاله مربوط به دنباله اعداد مراجعه کنید.
(4) کاهش هر چیزی که می تواند کاهش یابد.
(5) ثابت از علامت حد خارج می شود. پرانتزها را در صورت حساب باز کنید.
(6) عدم قطعیت به روش استاندارد حذف می شود - با تقسیم صورت و مخرج بر "en" در بالاترین توان.

مثال 5

سری را برای همگرایی بررسی کنید

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس

مثال 6

سری را برای همگرایی بررسی کنید

گاهی اوقات ردیف هایی وجود دارند که حاوی "زنجیره ای" از عوامل در پر شدن آنها هستند؛ ما هنوز این نوع ردیف ها را در نظر نگرفته ایم. چگونه یک سریال را با "زنجیره ای" از عوامل بررسی کنیم؟ از علامت d'Alembert استفاده کنید. اما ابتدا برای اینکه بفهمیم چه اتفاقی می‌افتد، این سریال را با جزئیات شرح می‌دهیم:

از بسط می بینیم که برای هر جمله بعدی سری، یک عامل اضافی در مخرج اضافه می شود، بنابراین اگر عبارت مشترک سری باشد. ، سپس عضو بعدی مجموعه:
... در اینجا، آنها اغلب به طور خودکار اشتباه می کنند و به طور رسمی مطابق الگوریتمی که می نویسند

یک مثال تقریبی از یک راه حل ممکن است به شکل زیر باشد:

ما از علامت d'Alembert استفاده می کنیم:

بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

نشانه رادیکال کوشی

آگوستین لوئی کوشی یک ریاضیدان فرانسوی حتی مشهورتر است. هر دانشجوی فنی می تواند درباره بیوگرافی کوشی به شما بگوید. در زیباترین رنگ ها. تصادفی نیست که این نام در طبقه اول برج ایفل حک شده است.

تست همگرایی کوشی برای سری های مثبت تا حدودی شبیه به آزمون d'Alembert است که اخیراً در نظر گرفته شد.

نشانه رادیکال کوشی:در نظر گرفتن سری اعداد مثبت... اگر محدودیتی وجود دارد:، پس:
الف) برای یک سری همگرا می شود... به طور خاص، این مجموعه برای.
ب) برای یک سری واگرا می شود... به طور خاص، این سری در واگرا.
ج) چه زمانی علامت جواب نمی دهد... باید از علامت دیگری استفاده کرد. جالب است بدانید که اگر آزمون کوشی پاسخی به سوال همگرایی سریال به ما نمی دهد، آزمون دالامبر نیز پاسخی نمی دهد. اما اگر علامت d'Alembert پاسخی ندهد، علامت کوشی ممکن است "کار کند". یعنی علامت کوشی از این نظر نشانه قوی تری است.

چه زمانی باید از علامت کوشی رادیکال استفاده کرد؟معیار رادیکال کوشی معمولاً در مواردی استفاده می شود که ریشه "خوب" از یکی از اعضای مشترک مجموعه استخراج شود. به طور معمول، این فلفل در درجه است که بستگی دارد... موارد عجیب و غریب نیز وجود دارد، اما ما با آنها زحمت نخواهیم داد.

مثال 7

سری را برای همگرایی بررسی کنید

می بینیم که کسر کاملاً زیر درجه بسته به "en" است، به این معنی که باید از معیار کوشی رادیکال استفاده کنید:


بنابراین، سری تحت مطالعه واگرا می شود.

(1) اصطلاح رایج سری را به صورت ریشه تشکیل می دهیم.

(2) ما همان چیز را فقط بدون ریشه و با استفاده از ویژگی power بازنویسی می کنیم.
(3) در توان، صورت را بر مخرج بر جمله تقسیم کنید، که نشان می دهد که
(4) نتیجه عدم قطعیت است. در اینجا می توان راه طولانی را طی کرد: ساختن به یک مکعب، ساختن به یک مکعب، سپس صورت و مخرج را بر «en» در مکعب تقسیم کرد. اما در این مورد، یک راه حل کارآمدتر وجود دارد: این تکنیک را می توان دقیقاً تحت درجه-ثابت استفاده کرد. برای حذف عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر (بالاترین درجه چندجمله ای ها) تقسیم کنید.

(5) ما تقسیم بندی ترم به ترم را انجام می دهیم و عبارت هایی را نشان می دهیم که به سمت صفر گرایش دارند.
(6) پاسخ را به ذهن می آوریم، آن را علامت گذاری می کنیم و نتیجه می گیریم که این سری از هم جدا می شود.

و در اینجا یک مثال ساده تر برای یک راه حل انجام دهید:

مثال 8

سری را برای همگرایی بررسی کنید

و چند مثال معمولی دیگر.

حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس

مثال 9

سری را برای همگرایی بررسی کنید
ما از علامت کوشی رادیکال استفاده می کنیم:


بنابراین، سری تحت مطالعه همگرا می شود.

(1) عبارت مشترک سری را زیر ریشه قرار می دهیم.

(2) همان را بازنویسی می کنیم، اما بدون ریشه، در حالی که پرانتزها را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری گسترش می دهیم: .
(3) در نشانگر، صورت را بر مخرج ترم تقسیم کنید و آن را نشان دهید.
(4) عدم قطعیت فرم به دست می آید و در اینجا نیز می توانید مستقیماً زیر درجه تقسیم را انجام دهید. اما با یک شرط:ضرایب در بالاترین درجه چند جمله ای ها باید متفاوت باشد. ما آنها را متفاوت داریم (5 و 6) و بنابراین امکان (و ضروری) تقسیم هر دو طبقه وجود دارد. اگر این ضرایب همان هستندبه عنوان مثال (1 و 1):، پس این ترفند کار نمی کند و باید از آن استفاده کنید دومین محدودیت فوق العاده... اگر به خاطر داشته باشید در پاراگراف آخر مقاله به این نکات ظریف توجه شده بود. روش های حل محدود.

(5) در واقع، ما تقسیم بندی ترم به ترم را انجام می دهیم و نشان می دهیم که کدام عبارت ها به سمت صفر گرایش دارند.
(6) عدم قطعیت حذف شده است، ما ساده ترین حد را داریم:. چرا در بی نهایت بزرگدرجه تمایل به صفر دارد؟ زیرا پایه درجه نابرابری را برآورده می کند. اگر کسی در مورد عادلانه بودن حد شک دارد ، پس من تنبل نخواهم شد ، یک ماشین حساب برمی دارم:
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
اگر پس از آن
… و غیره. تا بی نهایت - یعنی در حد:

فقط همین پیشرفت هندسی در حال کاهش بی نهایتروی انگشت =)
! هرگز از این ترفند به عنوان مدرک استفاده نکنید! زیرا اگر چیزی آشکار است، به این معنا نیست که درست است.

(7) اشاره می کنیم که نتیجه می گیریم که سری همگرا می شوند.

مثال 10

سری را برای همگرایی بررسی کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید.

گاهی اوقات مثال تحریک آمیزی برای راه حل ارائه می شود، به عنوان مثال:. اینجا در نماگر بدون "en"، فقط ثابت است. در اینجا شما باید صورت و مخرج را مربع کنید (چندجمله ای دریافت می کنید) و سپس به الگوریتم مقاله پایبند باشید. ردیف هایی برای آدمک ها... در چنین مثالی یا معیار لازم برای همگرایی سری یا معیار مقایسه محدود کننده باید کار کند.

تست کوشی انتگرال

یا فقط یک ویژگی جدایی ناپذیر. من کسانی را که به مطالب دوره اول ضعیف تسلط دارند ناامید خواهم کرد. برای به کارگیری معیار انتگرال کوشی، باید کم و بیش با اطمینان بتوان مشتقات، انتگرال ها را پیدا کرد و همچنین مهارت محاسبه را داشت. انتگرال نامناسباز نوع اول

در کتاب های درسی حساب دیفرانسیل و انتگرال تست کوشی انتگرالاز نظر ریاضی دقیق، اما خیلی تحریف شده است، بنابراین من این معیار را نه خیلی دقیق، بلکه قابل درک، فرموله می کنم:

در نظر گرفتن سری اعداد مثبت... اگر یک انتگرال نامناسب وجود داشته باشد، آنگاه سری همراه با این انتگرال همگرا یا واگرا می شود.

و بلافاصله مثال هایی برای روشن شدن:

مثال 11

سری را برای همگرایی بررسی کنید

تقریبا کلاسیک لگاریتم طبیعی و نوعی بیاکا.

فرض اصلی استفاده از معیار کوشی انتگرالاین واقعیت است که عبارت رایج سری حاوی عواملی مشابه برخی از تابع ها و مشتقات آن است. از موضوع