معادله یک خط مستقیم در پاره ها

اجازه دهید معادله کلی خط مستقیم داده شود:

معادله یک خط مستقیم در پاره ها، که در آن قسمت هایی هستند که با خط مستقیم بر روی محورهای مختصات مربوطه قطع می شوند.

یک خط مستقیم بسازید که با معادله کلی به دست می آید:

از آن می توانید معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره بسازید:

ترتیب متقابل خطوط مستقیم در یک صفحه.

بیانیه 1.

به منظور خطوط مستقیم و به دست آمده توسط معادلات:

اتفاقاً لازم و کافی است که:

اثبات: و منطبق، بردار جهت آنها و خطی هستند، یعنی:

نقطه М 0 را با این خطوط بگیرید، سپس:

با ضرب معادله اول در و جمع کردن معادله دوم بر اساس (2) به دست می آید:

بنابراین، فرمول های (2)، (3) و (4) معادل هستند. اجازه دهید (2) نگه داشته شود، سپس معادلات سیستم (*) معادل هستند؛ خطوط مستقیم مربوطه بر هم منطبق هستند.

بیانیه 2.

خطوط مستقیم که با معادلات (*) به دست می آیند موازی هستند و منطبق نیستند اگر و فقط اگر:

اثبات:

حتی اگر مطابقت نداشته باشند:

ناسازگار است، به عنوان مثال، طبق قضیه کرونکر-کاپلی:

این تنها در صورتی امکان پذیر است که:

یعنی تحت شرط (5).

هنگامی که تساوی اول (5) برآورده می شود، - عدم تحقق تساوی دوم باعث ناسازگاری سیستم (*) می شود، خطوط مستقیم موازی هستند و منطبق نیستند.

تبصره 1.

سیستم مختصات قطبی

یک نقطه از هواپیما را ثابت می کنیم و آن را قطب می نامیم. پرتوی که از قطب خارج می شود، محور قطبی نامیده می شود.

بیایید مقیاسی را برای اندازه گیری طول قطعات انتخاب کنیم و توافق کنیم که چرخش حول m در خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت در نظر گرفته شود. هر نقطه از یک صفحه معین را در نظر بگیرید، با فاصله آن تا قطب مشخص کنید و آن را شعاع قطبی نامید. زاویه ای که باید با آن محور قطبی را بچرخانید به طوری که با آن منطبق شود، با علامت گذاری شده و به آن زاویه قطبی می گویند.

تعریف 3.

مختصات قطبی یک نقطه را شعاع قطبی و زاویه قطبی آن می نامند:

نکته 2. در قطب. مقدار نقاطی غیر از یک نقطه تا یک جمع تعیین می شود.

یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در نظر بگیرید: قطب با مبدأ منطبق است، و محور قطبی با نیم محور مثبت منطبق است. اینجا. سپس:

چه رابطه ای بین سیستم مختصات دکارتی مستطیلی و قطبی وجود دارد؟

معادله لمنیسکات برنولی آن را در سیستم مختصات قطبی بنویسید.

معادله عادی یک خط مستقیم در یک صفحه. اجازه دهید محور قطبی با، - محوری که از مبدا می گذرد منطبق باشد. بگذار:

پس بگذار:

شرط (**) برای یک امتیاز:

معادله یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات قطبی.

در اینجا طول کشیده شده از مبدأ به یک خط مستقیم، زاویه شیب نرمال به محور است.

معادله (7) را می توان بازنویسی کرد:

معادله عادی یک خط مستقیم در یک صفحه.

اجازه دهید مقداری از سیستم مختصات وابسته OXY داده شود.

قضیه 2.1.هر مستقیم لسیستم مختصات ОX با یک معادله خطی شکل به دست می آید

آ ایکس+ ب y+ C = O، (1)

که در آن А، В، С R و А 2 + В 2 0. برعکس، هر معادله ای از شکل (1) یک خط مستقیم را تعریف می کند.

معادله فرم (1) - معادله کلی خط .

بگذارید در رابطه (1) همه ضرایب A، B و C غیر صفر باشند. سپس

Ax-By = -C و.

بیایید -C / A = a، -C / B = b را نشان دهیم. ما گرفتیم

-معادله پاره خط .

در واقع، اعداد | a | و | b | مقادیر قطعات بریده شده توسط خط مستقیم را نشان می دهد لبه ترتیب روی محورهای OX و OY.

بگذارید مستقیم باشد لبا معادله کلی (1) در یک سیستم مختصات مستطیلی به دست می آید و بگذارید نقاط M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) متعلق به ل... سپس

آ ایکس 1 + ب در 1 + C = A NS 2 + ب در 2 + C، یعنی A ( ایکس 1 -ایکس 2) + B ( در 1 -در 2) = 0.

آخرین تساوی به این معنی است که بردار = (A, B) متعامد بر بردار = (x 1 -x 2, y 1 -y 2) است. آن ها بردار (A, B) نامیده می شود بردار معمولی خط l.

یک بردار = (- B, A) را در نظر بگیرید. سپس

A (-B) + BA = 0. آن ها ^.

بنابراین، بردار = (- B, A) بردار هدایت کننده ادویه است ل.

معادلات پارامتریک و متعارف یک خط مستقیم

معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد

بگذارید یک خط مستقیم در سیستم مختصات افین داده شود (0، X، Y) ل، بردار جهت آن = (m, n) و نقطه M 0 ( ایکس 0 ,y 0) متعلق به ل... سپس برای یک نقطه دلخواه M ( ایکس,در) از این خط داریم

و بنابراین چگونه .

اگر نشان دهیم و

بردار شعاع نقاط M و M 0، سپس

- معادله یک خط مستقیم به صورت برداری.

از آنجایی که = ( NS,در), =(NS 0 ,در 0) سپس

ایکس= ایکس 0 + mt,

y= y 0 + nt

- معادله پارامتریک خط مستقیم .

از این رو نتیجه می شود که

- معادله متعارف خط .

در نهایت، اگر در یک خط مستقیم لدو امتیاز M 1 ( NS 1 ,در 1) و

M 2 ( ایکس 2 ,در 2)، سپس بردار = ( NS 2 -NS 1 ,y 2 -در 1) است هدایت کردن وکتور خط مستقیم ل... سپس

- معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد.

موقعیت نسبی دو خط مستقیم.

اجازه دهید خطوط مستقیم ل 1 و ل 2 با معادلات کلی آنها به دست می آید

ل 1: A 1 NS+ B 1 در+ С 1 = 0، (1)

ل 2: A 2 NS+ B 2 در+ C 2 = 0.

قضیه... اجازه دهید خطوط مستقیم ل 1 و ل 2 با معادله (1) به دست می آید. سپس و تنها آن زمان:

1) خطوط مستقیم وقتی قطع می شوند که عدد λ وجود نداشته باشد به طوری که

A 1 = λA 2، B 1 = λB 2;

2) خطوط منطبق هستند زمانی که یک عدد λ وجود دارد به طوری که

А 1 = λA 2، B 1 = λB 2، С 1 = λС 2;

3) خطوط متمایز و موازی هستند زمانی که عدد λ وجود داشته باشد به طوری که

А 1 = λA 2، В 1 = λВ 2، С 1 λС 2.

بسته ای از خطوط مستقیم

یک دسته از خطوط مستقیم مجموعه ای از تمام خطوط در صفحه ای که از یک نقطه می گذرد نامیده می شود مرکز پرتو.

برای تنظیم معادله پرتو کافی است هر دو خط مستقیم را بدانید ل 1 و ل 2 عبور از مرکز پرتو.

اجازه دهید در سیستم مختصات affine خطوط ل 1 و ل 2 توسط معادلات به دست می آید

ل 1: A 1 ایکس+ B 1 y+ C 1 = 0،

ل 2: A 2 ایکس+ B 2 y+ C 2 = 0.

معادله:

الف 1 ایکس+ B 1 y+ C + λ (A 2 NS+ B 2 y+ ج) = 0

- معادله مداد خطوط مستقیم که با معادلات l 1 و l 2 تعریف شده است.

در ادامه، منظور از سیستم مختصات، سیستم مختصات مستطیلی است .

شرایط موازی و عمود بودن دو خط مستقیم

اجازه دهید خطوط مستقیم ل 1 و ل 2. معادلات کلی آنها؛ = (A 1، B 1)، = (A 2، B 2) - بردارهای عادی این خطوط. ک 1 = tgα 1، ک 2 = tgα 2 - شیب ها. = ( متر 1 ,n 1), (متر 2 ,n 2) - بردارهای جهت. سپس، مستقیم ل 1 و ل 2 موازی هستند اگر و فقط در صورتی که یکی از شرایط زیر رعایت شود:

یا یکی ک 1 =ک 2 یا.

اجازه دهید خطوط مستقیم در حال حاضر ل 1 و ل 2 عمود بر هم هستند. سپس، بدیهی است، یعنی A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

اگر مستقیم ل 1 و ل 2 توسط معادلات به دست می آید

ل 1: در=ک 1 ایکس+ ب 1 ,

ل 2: در=ک 2 ایکس+ ب 2 ,

سپس tgα 2 = tg (90º + α) = .

از این رو نتیجه می شود که

در نهایت، اگر و بردارهای جهت خطوط مستقیم، پس ^، یعنی،

متر 1 متر 2 + n 1 n 2 = 0

روابط اخیر شرط لازم و کافی برای عمود بودن دو صفحه را بیان می کند.

زاویه بین دو خط مستقیم

در زاویه φ بین دو خط مستقیم ل 1 و ل 2 ما کوچکترین زاویه ای را که باید از طریق آن یک خط مستقیم بچرخانیم تا با خط مستقیم دیگری موازی شود یا با آن منطبق شود، یعنی 0 £ φ £ را درک خواهیم کرد.

بگذارید خطوط مستقیم با معادلات کلی داده شوند. بدیهی است که

cosφ =

اجازه دهید خطوط مستقیم در حال حاضر ل 1 و ل 2 با معادلات با ضرایب شیب به دست می آید ک 1 اینچ ک 2 به ترتیب. سپس

بدیهی است که ( NS-NS 0) + B ( در-در 0) + C ( z-z 0) = 0

بیایید براکت ها را گسترش دهیم و D = -A را نشان دهیم ایکس 0 - ب در 0 - C z 0. ما گرفتیم

آ ایکس+ ب y+ سی z+ D = 0 (*)

- معادله کلی هواپیمایا معادله کلی هواپیما.

قضیه 3.1معادله خطی (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) معادله صفحه است و بالعکس، هر معادله صفحه خطی است.

1) D = 0، سپس هواپیما از مبدا عبور می کند.

2) A = 0، سپس صفحه موازی با محور OX است

3) A = 0، B = 0، سپس صفحه موازی با صفحه OXY است.

بگذارید همه ضرایب در معادله غیر صفر باشند.

- معادله صفحه در پاره خط... اعداد | a |، | b |، | c | مقادیر قطعات خط بریده شده توسط صفحه را در محورهای مختصات نشان می دهد.

و ما به طور مفصل شکل خاصی از معادله خط مستقیم - را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. بیایید با شکل معادله یک خط مستقیم در پاره ها شروع کنیم و مثالی بزنیم. پس از آن، ما بر روی ساخت یک خط مستقیم تمرکز می کنیم که با معادله یک خط مستقیم در پاره ها به دست می آید. در نتیجه، ما نشان می‌دهیم که چگونه انتقال از معادله کلی یک خط مستقیم به معادله یک خط مستقیم در بخش‌ها انجام می‌شود.

پیمایش صفحه.

معادله خط مستقیم در پاره خط - شرح و مثال.

بگذارید Oxy در هواپیما ثابت شود.

معادله یک خط مستقیم در پاره هادر یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی، Oxy به شکلی است که a و b برخی از اعداد واقعی غیر صفر هستند.

تصادفی نیست که معادله یک خط مستقیم در بخش ها چنین نامی را دریافت کرده است - مقادیر مطلق اعداد a و b برابر است با طول بخش هایی که با خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع شده اند. گاو و اوی، شمارش از مبدأ.

اجازه دهید این نکته را روشن کنیم. می دانیم که مختصات هر نقطه از یک خط مستقیم معادله این خط مستقیم را برآورده می کند. سپس به وضوح مشاهده می شود که خط مستقیمی که با معادله خط مستقیم در پاره ها به دست می آید از نقاط عبور می کند و از آنجا که و ... و نقاط و فقط به ترتیب روی محورهای مختصات Ox و Oy قرار دارند و با واحدهای a و b از مبدا حذف می شوند. علائم اعداد a و b نشان دهنده جهتی است که پاره های خط باید در آن قرار بگیرند. علامت "+" به این معنی است که قطعه در جهت مثبت محور مختصات قرار گرفته است، علامت "-" به معنای مخالف است.

بیایید یک نقشه شماتیک بکشیم که تمام موارد بالا را توضیح می دهد. این بسته به مقادیر اعداد a و b در معادله یک خط مستقیم در قطعات، مکان خطوط مستقیم را نسبت به یک سیستم مختصات مستطیلی ثابت Oxy نشان می دهد.

اکنون مشخص شد که معادله یک خط مستقیم در قطعات، ساخت این خط مستقیم را در یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy آسان می کند. برای ساختن یک خط مستقیم که با معادله یک خط مستقیم در قسمت های نما به دست می آید، باید نقاطی را در یک سیستم مختصات مستطیلی روی صفحه علامت بزنید و سپس با استفاده از خط کش آنها را با یک خط مستقیم به هم وصل کنید.

بیایید یک مثال بزنیم.

مثال.

یک خط مستقیم که با معادله یک خط مستقیم در پاره های دید مشخص شده است رسم کنید.

راه حل.

از معادله داده شده خط مستقیم در پاره ها، می توان دریافت که خط مستقیم از نقاط عبور می کند. ... آنها را علامت گذاری می کنیم و با یک خط مستقیم وصل می کنیم.

کاهش معادله کلی یک خط مستقیم به معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

هنگام حل برخی از مسائل مربوط به یک خط مستقیم در یک صفحه، راحت است که با معادله یک خط مستقیم در قطعات کار کنید. با این حال، انواع دیگری از معادلات وجود دارند که یک خط مستقیم را در یک صفحه تعریف می کنند. بنابراین، لازم است انتقال از یک معادله داده شده از یک خط مستقیم به معادله ای از این خط مستقیم در بخش ها انجام شود.

در این بخش، نحوه به دست آوردن معادله یک خط مستقیم در پاره ها را نشان می دهیم، اگر یک معادله کلی کامل از یک خط مستقیم داده شود.

معادله کلی یک خط مستقیم در صفحه را به ما اطلاع دهید ... از آنجایی که A، B و C برابر با صفر نیستند، می توانید عدد C را به سمت راست تساوی منتقل کنید، دو طرف برابری حاصل را بر -C تقسیم کنید و ضرایب x و y را به مخرج ارسال کنید:
.

(در آخرین انتقال، از برابری استفاده کردیم ).

بنابراین ما از معادله کلی خط مستقیم هستیم به معادله یک خط مستقیم در پاره ها منتقل می شود، جایی که .

مثال.

یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy با معادله به دست می آید ... معادله این خط را در پاره خط بنویسید.

راه حل.

بیایید یک ثانیه را به سمت راست برابری داده شده منتقل کنیم: ... حالا بیایید تساوی حاصل را به هر دو قسمت تقسیم کنیم: ... باقی مانده است که برابری حاصل را به شکل مورد نظر تبدیل کنیم: ... بنابراین معادله مورد نیاز یک خط مستقیم را در پاره ها بدست آوردیم.

پاسخ:

اگر خط مستقیم مشخص شود

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 C ¹ 0، پس از تقسیم بر –C، به دست می آید: یا

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Ox است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

مثال. معادله کلی خط راست x - y + 1 = 0 داده شده است معادله این خط مستقیم را به صورت پاره پاره بیابید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط مستقیم.

اگر هر دو طرف معادله Ax + Vy + C = 0 به عددی تقسیم شوند که نامیده می شود عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

Xcosj + ysinj - p = 0 -

معادله عادی یک خط مستقیم

علامت ± عامل نرمال کننده باید به گونه ای انتخاب شود که m × С< 0.

p طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم است و j زاویه ای است که توسط این عمود با جهت مثبت محور Ox تشکیل می شود.

مثال. یک معادله کلی از خط مستقیم 12x - 5y - 65 = 0 داده شده است که نیاز به نوشتن انواع معادلات این خط مستقیم است.

معادله این خط مستقیم در قطعات:

معادله این خط مستقیم با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله معمولی خط:

; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا.

مثال. خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلث تشکیل شده توسط این قطعات 8 سانتی متر مربع باشد، یک معادله خط مستقیم ایجاد کنید.

معادله خط مستقیم به این شکل است: a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 با بیان مسئله مطابقت ندارد.

مجموع: یا x + y - 4 = 0.

مثال. معادله خط مستقیمی که از نقطه A (2-، -3) و مبدا می گذرد را رسم کنید.

معادله خط مستقیم به شکل زیر است:، که در آن x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین می گذرد

عمود بر خط داده شده.

تعریف.خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و عمود بر خط مستقیم y = kx + b با معادله نشان داده می شود:

زاویه بین خطوط مستقیم در هواپیما.

تعریف.اگر دو خط مستقیم y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط مستقیم به صورت تعریف می شود.

اگر k 1 = k 2 دو خط مستقیم موازی باشند.

اگر k 1 = -1 / k 2 باشد، دو خط مستقیم عمود هستند.

قضیه. خطوط مستقیم Ax + Vy + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 زمانی که ضرایب متناسب A 1 = lA، B 1 = lB موازی هستند. اگر همچنین С 1 = lС، خطوط بر هم منطبق هستند.

مختصات نقطه تقاطع دو خط مستقیم به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شود.

فاصله از نقطه به خط.

قضیه. اگر یک نقطه M (x 0، y 0) داده شود، فاصله تا خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به عنوان تعیین می شود.

اثباتبگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M روی یک خط مستقیم داده شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد.

اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

مثال . زاویه بین خطوط مستقیم را تعیین کنید: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

مثال. نشان دهید که خطوط مستقیم 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.

ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 k 2 = -1، بنابراین، خطوط مستقیم عمود هستند.

مثال. رئوس مثلث A (0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b.

k =. سپس y =. زیرا ارتفاع از نقطه C عبور می کند، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: از آنجا b = 17. مجموع:.

پاسخ: 3x + 2y - 34 = 0.

منحنی های مرتبه دوم.

منحنی مرتبه دوم را می توان با معادله بدست آورد

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

یک سیستم مختصات (نه لزوماً مستطیلی دکارتی) وجود دارد که در آن این معادله را می توان به یکی از اشکال زیر نشان داد.

1) - معادله بیضی.

2) - معادله بیضی "خیالی".

3) - معادله هذلولی.

4) a 2 x 2 - c 2 y 2 = 0 - معادله دو خط متقاطع.

5) y 2 = 2px - معادله سهمی.

6) y 2 - a 2 = 0 معادله دو خط موازی است.

7) y 2 + a 2 = 0 معادله دو خط موازی "خیالی" است.

8) y 2 = 0 یک جفت خط مستقیم منطبق است.

9) (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 معادله دایره است.

دایره.

در دایره (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2، مرکز دارای مختصات (a; b) است.

مثال. مختصات مرکز و شعاع دایره را بیابید، اگر معادله آن به شکل زیر باشد:

2x 2 + 2y 2 - 8x + 5y - 4 = 0.

برای یافتن مختصات مرکز و شعاع دایره، این معادله باید به شکل ذکر شده در بالا در بند 9 کاهش یابد. برای انجام این کار، مربع های کامل را انتخاب کنید:

x 2 + y 2 - 4x + 2.5y - 2 = 0

x 2 - 4x + 4 –4 + y 2 + 2.5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

از اینجا ما O (2; -5/4) را پیدا می کنیم. R = 11/4.

بیضی.

تعریف. بیضیمنحنی داده شده توسط معادله نامیده می شود.

تعریف. تمرکزبه این دو نقطه گفته می شود که مجموع فواصل آنها تا هر نقطه از بیضی ثابت است.

F 1، F 2 - فوکوس می کند. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

ج - نصف فاصله بین کانونها؛

الف - محور نیمه اصلی؛

ب - محور نیمه فرعی.

قضیه. فاصله کانونی و نیم محورهای بیضی با نسبت:

a 2 = b 2 + c 2.

اثبات:اگر نقطه M در محل تقاطع بیضی با محور عمودی باشد، r 1 + r 2= 2 (توسط قضیه فیثاغورث). اگر نقطه M در محل تقاطع بیضی با محور افقی باشد، r 1 + r 2 = a - c + a + c.زیرا طبق تعریف مقدار r 1 + r 2یک مقدار ثابت است، پس با معادل سازی، دریافت می کنیم:

a 2 = b 2 + c 2

r 1 + r 2 = 2a.

تعریف.شکل یک بیضی با یک مشخصه تعیین می شود که نسبت فاصله کانونی به محور اصلی است و به آن می گویند. عجیب و غریب.

زیرا با< a, то е < 1.

تعریف.کمیت k = b / a نامیده می شود نسبت تراکمبیضی، و کمیت 1 - k = (a - b) / a نامیده می شود فشرده کنندهبیضی

نسبت تراکم و خروج از مرکز با نسبت: k 2 = 1 - e 2 مرتبط است.

اگر a = b (c = 0، e = 0، کانون ها ادغام شوند)، بیضی به یک دایره تبدیل می شود.

اگر برای یک نقطه M (x 1, y 1) شرط برقرار باشد:، آنگاه داخل بیضی است و اگر، آن نقطه خارج از بیضی است.

قضیه. برای یک نقطه دلخواه M (x, y) متعلق به یک بیضی، روابط زیر برقرار است::

R 1 = a - ex، r 2 = a + ex.

اثباتدر بالا نشان داده شد که r 1 + r 2 = 2a. علاوه بر این، به دلایل هندسی، می توانید بنویسید:

پس از مربع و کاهش عبارات مشابه:

می توان به طور مشابه ثابت کرد که r 2 = a + ex. قضیه ثابت می شود.

دو خط مستقیم به بیضی متصل می شوند که نامیده می شود کارگردانان... معادلات آنها عبارتند از:

X = a / e; x = -a / e.

قضیه. برای قرار گرفتن یک نقطه بر روی یک بیضی، لازم و کافی است که نسبت فاصله به کانون به فاصله به جهت مربوطه برابر با خروج از مرکز e باشد.

مثال. خط مستقیمی را که از کانون سمت چپ می گذرد و رأس پایین بیضی که با معادله به دست می آید معادل کنید:

1) مختصات راس پایین: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

2) مختصات کانون سمت چپ: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F 2 (-3; 0).

3) معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد:

مثال. اگر کانون های بیضی F 1 (0; 0)، F 2 (1; 1) باشد، و محور اصلی 2 باشد، معادله بیضی را رسم کنید.

معادله بیضی شکل:. فاصله بین فوکوس ها:

2c =، بنابراین a 2 - b 2 = c 2 = ½

با شرط 2a = 2، بنابراین a = 1، b =

هذلولی.

تعریف. هایپربولیمجموعه ای از نقاط صفحه نامیده می شود که مدول اختلاف بین فواصل از دو نقطه داده شده، نامیده می شود. ترفندهامقدار ثابتی کمتر از فاصله بین کانون ها وجود دارد.

طبق تعریف ïr 1 - r 2 ï = 2a. F 1، F 2 - کانون های هذلولی. F 1 F 2 = 2c.

اجازه دهید یک نقطه دلخواه M (x,y) روی هذلولی انتخاب کنیم. سپس:

نشانگر c 2 - a 2 = b 2 (از نظر هندسی، این مقدار نیم محور کوچک است)

معادله هذلولی متعارف را دریافت کرد.

هذلولی در مورد نقطه میانی قطعه ای که کانون ها را به هم وصل می کند و در مورد محورهای مختصات متقارن است.

محور 2a را محور واقعی هذلولی می نامند.

محور 2b را محور خیالی هذلولی می نامند.

هذلولی دارای دو مجانب است که معادلات آنها عبارتند از

تعریف.رابطه نامیده می شود عجیب و غریبهذلولی ها، جایی که c نصف فاصله بین کانون ها است و نیم محور واقعی است.

با توجه به اینکه c 2 - a 2 = b 2:

اگر a = b، e =، هذلولی نامیده می شود متساوی الساقین (متساوی الاضلاع).

تعریف.دو خط مستقیم عمود بر محور واقعی هذلولی که به طور متقارن حول مرکز در فاصله a/e از آن قرار دارند نامیده می شوند. کارگردانانهذلولی معادلات آنها عبارتند از:.

قضیه. اگر r فاصله یک نقطه دلخواه M از هذلولی تا هر کانونی باشد، d فاصله همان نقطه تا جهت متناظر با این کانون است، آنگاه نسبت r/d یک مقدار ثابت برابر با گریز از مرکز است.

اثباتبیایید یک هذلولی را ترسیم کنیم.

از روابط هندسی آشکار، می توانید بنویسید:

a / e + d = x، بنابراین d = x - a / e.

(x - c) 2 + y 2 = r 2

از معادله متعارف: با در نظر گرفتن b 2 = c 2 - a 2:

سپس از آن زمان c / a = e، سپس r = ex - a.

برای شاخه سمت چپ هذلولی، اثبات مشابه است. قضیه ثابت می شود.

مثال. معادله هذلولی را بیابید که راس ها و کانون های آن در رئوس و کانون های مربوط به بیضی قرار دارند.

برای بیضی: c 2 = a 2 - b 2.

برای هذلولی: c 2 = a 2 + b 2.

معادله هایپربولا:.

مثال. معادله هذلولی را در صورتی بنویسید که خروج از مرکز آن 2 باشد و کانون ها با معادله پارامتر سهمی با کانون های بیضی منطبق باشند. اجازه دهید معادله متعارف سهمی را استخراج کنیم.

از روابط هندسی: AM = MF; AM = x + p / 2;

MF 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4

معادله Directrix: x = -p / 2.

مثال . در سهمی y 2 = 8x نقطه ای را پیدا کنید که فاصله آن از جهت 4 باشد.

از معادله سهمی در می یابیم که p = 4.

r = x + p / 2 = 4; از این رو:

x = 2; y 2 = 16; y = 4±. امتیاز جستجو: M 1 (2; 4)، M 2 (2; -4).

مثال. معادله منحنی در سیستم مختصات قطبی به صورت زیر است:

معادله یک منحنی را در سیستم مختصات مستطیلی دکارتی پیدا کنید، نوع منحنی را تعیین کنید، کانون ها و خروج از مرکز را پیدا کنید. یک منحنی به صورت شماتیک بسازید.

بیایید از اتصال بین سیستم مختصات مستطیلی و قطبی دکارتی استفاده کنیم:;

معادله هذلولی متعارف را دریافت کرد. از معادله مشاهده می شود که هذلولی در امتداد محور Ox 5 به چپ جابه جا شده است، نیم محور اصلی a برابر با 4، نیم محور کوچک b برابر با 3 است که از آن c 2 = a 2 + b به دست می آید. 2 c = 5; e = c / a = 5/4.

F 1 (-10; 0)، F 2 (0; 0) را فوکوس می کند.

بیایید این هذلولی را ترسیم کنیم.

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.
بردار جهت یک خط مستقیم است. بردار معمولی

خط مستقیم در هواپیما یکی از ساده ترین اشکال هندسی است که شما از کلاس های ابتدایی می شناسید و امروز یاد می گیریم که چگونه با استفاده از روش های هندسه تحلیلی با آن کنار بیاییم. برای تسلط بر مواد، باید بتوانید یک خط مستقیم بسازید. بدانید که از چه معادله ای برای تعریف یک خط مستقیم استفاده می شود، به ویژه خط مستقیمی که از مبدأ عبور می کند و خطوط مستقیم موازی با محورهای مختصات. این اطلاعات را می توان در دفترچه راهنما یافت نمودارها و خواص توابع ابتدایی، من آن را برای matan ایجاد کردم، اما بخش مربوط به تابع خطی بسیار موفق و دقیق بود. بنابراین قوری های عزیز ابتدا آنجا را گرم کنید. علاوه بر این، شما نیاز به دانش اولیه دارید بردارها، در غیر این صورت درک مطالب ناقص خواهد بود.

در این درس به روش هایی می پردازیم که از طریق آنها می توانید معادله یک خط مستقیم را در یک صفحه بنویسید. توصیه می کنم از مثال های عملی غافل نشوید (حتی اگر بسیار ساده به نظر برسد)، زیرا حقایق ابتدایی و مهم را در اختیار آنها قرار می دهم، تکنیک هایی که در آینده مورد نیاز خواهند بود، از جمله در سایر بخش های ریاضیات عالی.

• چگونه معادله خط مستقیم را با شیب بنویسیم؟
• چگونه؟
• چگونه بردار جهت را با معادله کلی یک خط مستقیم پیدا کنیم؟
• چگونه از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله خط مستقیم بسازیم؟

و شروع می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با شیب

شکل معروف "مدرسه" معادله خط مستقیم نامیده می شود معادله یک خط مستقیم با شیب... به عنوان مثال، اگر یک خط مستقیم با یک معادله داده شود، شیب آن برابر است با:. معنای هندسی این ضریب و اینکه مقدار آن بر محل خط مستقیم تأثیر می گذارد را در نظر بگیرید:

درس هندسه این را ثابت می کند شیب خط مستقیم است مماس یک زاویهبین جهت مثبت محورو این خط:، و زاویه در خلاف جهت عقربه های ساعت "باز شده" است.

برای اینکه نقاشی را به هم نریزم، گوشه هایی را فقط برای دو خط کشیدم. خط قرمز و شیب آن را در نظر بگیرید. مانند بالا: (زاویه "آلفا" با یک قوس سبز نشان داده شده است). برای خط "آبی" با شیب، برابری درست است (زاویه "بتا" با قوس قهوه ای نشان داده می شود). و اگر مماس زاویه مشخص باشد، در صورت لزوم، پیدا کردن آن آسان است و خود گوشهبا استفاده از تابع معکوس - متقاطع. همانطور که می گویند، یک جدول مثلثاتی یا ریز حساب در دست است. بدین ترتیب، شیب درجه شیب خط مستقیم به محور آبسیسا را ​​مشخص می کند..

در این صورت موارد زیر امکان پذیر است:

1) اگر شیب منفی باشد:، خط، به طور کلی، از بالا به پایین می رود. به عنوان مثال خطوط مستقیم "آبی" و "زرشکی" در نقاشی هستند.

2) اگر شیب مثبت باشد: آنگاه خط از پایین به بالا می رود. به عنوان مثال خطوط "سیاه" و "قرمز" در نقاشی هستند.

3) اگر شیب صفر باشد: معادله شکل می گیرد و خط مستقیم مربوطه با محور موازی است. به عنوان مثال یک خط مستقیم "زرد" است.

4) برای یک خانواده از خطوط مستقیم موازی با محور (هیچ نمونه ای در نقاشی وجود ندارد، به جز خود محور)، شیب وجود ندارد (مماس 90 درجه تعریف نشده است).

هر چه شیب مدول بیشتر باشد، نمودار خط مستقیم تندتر است.

به عنوان مثال، دو خط را در نظر بگیرید. بنابراین، در اینجا، خط شیب تندتری دارد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ماژول به شما امکان می دهد علامت را نادیده بگیرید، ما فقط به آن علاقه داریم ارزش های مطلقضرایب شیب

به نوبه خود، یک خط مستقیم تندتر از خطوط مستقیم است. .

برعکس: هرچه شیب مدول کمتر باشد، خط مستقیم صاف تر است.

برای مستقیم نابرابری درست است، بنابراین، خط مستقیم صاف تر است. سرسره بچه گانه، برای اینکه کبودی و برآمدگی روی خود نکارید.

چرا این مورد نیاز است؟

عذاب خود را طولانی کنید دانستن حقایق فوق به شما امکان می دهد فوراً اشتباهات خود را ببینید ، به ویژه خطاهای نمودار - اگر نقاشی معلوم شد "به وضوح چیزی اشتباه است". توصیه می شود که شما فورامشخص بود که مثلاً یک خط مستقیم بسیار شیب دار است و از پایین به بالا می رود و یک خط مستقیم بسیار کم عمق و نزدیک به محور است و از بالا به پایین می رود.

در مسائل هندسی، اغلب چندین خط مستقیم ظاهر می شود، بنابراین نشان دادن آنها به نحوی راحت است.

تعیین ها: خطوط مستقیم با حروف کوچک لاتین نشان داده می شوند:. یک گزینه محبوب، تعیین با همان حرف با زیرنویس های طبیعی است. به عنوان مثال، پنج خط مستقیمی که اکنون در نظر گرفتیم را می توان با نشان داد .

از آنجایی که هر خط مستقیم با دو نقطه مشخص می شود، می توان آن را با این نقاط نشان داد: و غیره. نماد به وضوح نشان می دهد که نقاط متعلق به یک خط مستقیم هستند.

زمان کمی گرم کردن:

چگونه معادله خط مستقیم را با شیب بنویسیم؟

اگر نقطه ای متعلق به یک خط مستقیم مشخص و شیب این خط مستقیم مشخص باشد، معادله این خط مستقیم با فرمول بیان می شود:

مثال 1

اگر معلوم است که نقطه متعلق به این خط مستقیم است، یک خط مستقیم را با یک شیب معادل کنید.

راه حل: معادله خط مستقیم با فرمول تهیه می شود ... در این مورد:

پاسخ:

معاینهابتدایی انجام می شود. ابتدا به معادله به دست آمده نگاه می کنیم و مطمئن می شویم که شیب ما در جای خود قرار دارد. دوم، مختصات نقطه باید این معادله را برآورده کند. بیایید آنها را در معادله جایگزین کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که نقطه معادله حاصل را برآورده می کند.

خروجی: معادله صحیح است.

یک مثال پیچیده تر برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 2

معادله یک خط مستقیم را بسازید در صورتی که معلوم شود زاویه تمایل آن نسبت به جهت مثبت محور است و نقطه متعلق به این خط مستقیم است.

اگر مشکلی دارید، مطالب تئوری را دوباره بخوانید. دقیق تر، عملی تر، من بسیاری از شواهد را از دست داده ام.

آخرین زنگ به صدا درآمد، جشن فارغ التحصیلی خاموش شد و پشت دروازه مدرسه مادری ما، هندسه تحلیلی در واقع در انتظار ماست. شوخی ها تموم شد…. یا شاید آنها تازه شروع کرده اند =)

با نوستالژیک قلمی را برای آشنا تکان می دهیم و با معادله کلی یک خط مستقیم آشنا می شویم. از آنجایی که این مورد در هندسه تحلیلی کاربرد دارد:

معادله کلی خط مستقیم شکل دارد:، تعدادی اعداد کجا هستند. علاوه بر این، ضرایب همزمانبرابر با صفر نیستند، زیرا معادله معنای خود را از دست می دهد.

بیایید معادله شیب را کت و شلوار و کراوات بپوشیم. ابتدا، اجازه دهید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم:

عبارت با "x" باید در وهله اول قرار گیرد:

اصولاً معادله قبلاً شکل دارد، اما طبق قوانین آداب ریاضی، ضریب جمله اول (در این مورد) باید مثبت باشد. تغییر علائم:

این ویژگی فنی را به خاطر بسپارید!ضریب اول را (بیشتر اوقات) مثبت می کنیم!

در هندسه تحلیلی، معادله یک خط مستقیم تقریباً همیشه به صورت کلی ارائه می شود. خوب، در صورت لزوم، آسان است که آن را با شیب به نمای "مدرسه" بیاورید (به جز خطوط مستقیم موازی با محور مختصات).

از خودمان بپرسیم که چیست؟ کافیآیا می دانید یک خط مستقیم بسازید؟ دو نقطه اما بیشتر در مورد این مورد دوران کودکی بعدا، در حال حاضر چوب با فلش قانون. هر خط مستقیم دارای یک شیب کاملاً مشخص است که "انطباق" با آن آسان است. بردار.

بردار موازی یک خط را بردار جهت این خط می گویند.... بدیهی است که هر خط مستقیم دارای بردارهای جهت بی نهایت زیادی است و همه آنها خطی خواهند بود (هم جهت یا نه - مهم نیست).

من بردار جهت را به صورت زیر تعیین می کنم:.

اما یک بردار برای ایجاد یک خط مستقیم کافی نیست، بردار آزاد است و به هیچ نقطه ای از صفحه گره نمی خورد. بنابراین، دانستن نقطه ای که متعلق به خط مستقیم است نیز ضروری است.

چگونه یک خط مستقیم را از یک نقطه و یک بردار جهت برابر کنیم؟

اگر نقطه ای متعلق به یک خط مستقیم و بردار جهت این خط مستقیم مشخص باشد ، سپس معادله این خط مستقیم را می توان با فرمول جمع آوری کرد:

گاهی نامیده می شود معادله متعارف خط .

چه زمانی باید انجام داد یکی از مختصاتصفر است، نمونه های عملی را در زیر مشاهده خواهیم کرد. به هر حال، توجه کنید - هر دو به یکبارهمختصات نمی توانند برابر با صفر باشند، زیرا بردار صفر جهت خاصی را مشخص نمی کند.

مثال 3

یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت را برابر کنید

راه حل: معادله خط مستقیم با فرمول تهیه می شود. در این مورد:

با استفاده از خواص نسبت، از شر کسرها خلاص می شویم:

و معادله را به شکل کلی در می آوریم:

پاسخ:

ترسیم در چنین نمونه هایی، به عنوان یک قاعده، نیازی به انجام ندارد، اما برای درک:

در نقاشی، نقطه شروع، بردار جهت اصلی (می توان آن را از هر نقطه ای در صفحه کنار گذاشت) و خط ساخته شده را می بینیم. به هر حال، در بسیاری از موارد، ساخت یک خط مستقیم با استفاده از یک معادله با شیب راحت تر است. به راحتی می توان معادله خود را به شکل تبدیل کرد و به راحتی یک نقطه دیگر را برای ساخت یک خط مستقیم انتخاب کرد.

همانطور که در ابتدای این بخش ذکر شد، یک خط مستقیم دارای بردارهای جهت بی نهایت زیادی است و همه آنها خطی هستند. به عنوان مثال، من سه بردار از این قبیل ترسیم کردم: ... هر بردار جهت را انتخاب کنیم، نتیجه همیشه همان معادله خط مستقیم خواهد بود.

بیایید معادله یک خط مستقیم را در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت بسازیم:

نسبت را تعیین می کنیم:

هر دو ضلع را بر 2- تقسیم می کنیم و معادله آشنا به دست می آید:

علاقه مندان می توانند به طور مشابه بردارها را آزمایش کنند یا هر بردار خطی دیگری.

حالا بیایید مشکل معکوس را حل کنیم:

چگونه بردار جهت را با معادله کلی یک خط مستقیم پیدا کنیم؟

بسیار ساده:

اگر یک خط با یک معادله کلی داده شود، آن بردار بردار جهت این خط است.

نمونه هایی از یافتن بردارهای جهت خطوط مستقیم:

این ادعا به ما امکان می دهد فقط یک بردار جهت دار را از یک مجموعه نامتناهی پیدا کنیم، اما به بیشتر نیاز نداریم. اگرچه در برخی موارد توصیه می شود مختصات بردارهای جهت را کاهش دهید:

بنابراین، معادله یک خط مستقیم را تعریف می کند که موازی با محور است و مختصات بردار جهت حاصل به راحتی بر 2- تقسیم می شود و دقیقاً بردار پایه را به عنوان بردار جهت می گیرد. منطقی است.

به طور مشابه، معادله یک خط مستقیم موازی با محور را مشخص می کند و با تقسیم مختصات بردار بر 5، ort را به عنوان بردار جهت به دست می آوریم.

حالا بیایید اجرا کنیم مثال 3 را بررسی کنید... مثال بالا رفت، پس به شما یادآوری می کنم که در آن معادله یک خط مستقیم را در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت ساخته ایم.

در ابتدا، با معادله خط مستقیم بردار جهت آن را بازیابی می کنیم: - همه چیز خوب است، ما بردار اصلی را به دست آوردیم (در برخی موارد، می تواند با بردار اصلی هم خط باشد، و این معمولاً از تناسب مختصات مربوطه به راحتی قابل مشاهده است).

دوما، مختصات نقطه باید معادله را برآورده کند. آنها را در معادله جایگزین می کنیم:

برابری صحیح به دست آمد که بسیار خوشحالیم.

خروجی: کار به درستی انجام شده است.

مثال 4

یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت را برابر کنید

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. راه حل و پاسخ در پایان درس. بسیار توصیه می شود که مطابق الگوریتمی که در نظر گرفته شده است، بررسی کنید. همیشه (در صورت امکان) سعی کنید پیش نویس را بررسی کنید. احمقانه است که اشتباهاتی را مرتکب شویم که 100% قابل اجتناب باشند.

در صورتی که یکی از مختصات بردار جهت صفر باشد، آنها بسیار ساده عمل می کنند:

مثال 5

راه حل: فرمول کار نمی کند زیرا مخرج سمت راست صفر است. یک خروجی وجود دارد! با استفاده از خواص نسبت، فرمول را به شکل بازنویسی می کنیم و بقیه در امتداد یک شیار عمیق می چرخند:

پاسخ:

معاینه:

1) بردار جهت خط مستقیم را بازسازی کنید:
- بردار حاصل با بردار جهت اصلی هم خط است.

2) مختصات نقطه را در معادله جایگزین کنید:

برابری صحیح به دست می آید

خروجی: کار به درستی انجام شده است

این سوال پیش می‌آید، اگر یک نسخه جهانی وجود دارد که به هر حال کار می‌کند، چرا با فرمول زحمت بکشید؟ دو دلیل وجود دارد. اول، فرمول کسری خیلی بهتر به خاطر بسپارید... و ثانیاً عدم وجود فرمول جهانی این است خطر سردرگمی به طور قابل توجهی افزایش می یابدهنگام تعویض مختصات

مثال 6

یک خط مستقیم را در امتداد یک نقطه و یک بردار جهت برابر کنید.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید.

بیایید به دو نکته ای که در همه جا وجود دارد بازگردیم:

چگونه از دو نقطه معادله خط مستقیم بسازیم؟

اگر دو نقطه مشخص باشد، معادله یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد را می توان با فرمول جمع آوری کرد:

در واقع، این یک نوع فرمول است و دلیل آن این است: اگر دو نقطه مشخص باشد، بردار بردار جهت این خط خواهد بود. در درس وکتور برای آدمکما ساده ترین مسئله را در نظر گرفتیم - چگونه مختصات یک بردار را با دو نقطه پیدا کنیم. با توجه به این مشکل، مختصات بردار جهت:

توجه داشته باشید : نقاط را می توان "مبادله" کرد و می توان از یک فرمول استفاده کرد. چنین راه حلی معادل خواهد بود.

مثال 7

یک خط مستقیم را از دو نقطه برابر کنید .

راه حل: از فرمول استفاده می کنیم:

مخرج ها را شانه می کنیم:

و عرشه را به هم بزنید:

اکنون خلاص شدن از شر اعداد کسری راحت است. در این مورد، باید هر دو قسمت را در 6 ضرب کنید:

پرانتزها را باز می کنیم و معادله را به ذهن می آوریم:

پاسخ:

معاینهواضح است - مختصات نقاط اصلی باید معادله حاصل را برآورده کند:

1) مختصات نقطه را جایگزین کنید:

برابری واقعی

2) مختصات نقطه را جایگزین کنید:

برابری واقعی

خروجی: معادله خط مستقیم صحیح است.

اگر حداقل یکیاز نقاط معادله را برآورده نمی کند، به دنبال خطا باشید.

شایان ذکر است که تأیید گرافیکی در این مورد دشوار است، زیرا می توانید یک خط مستقیم بسازید و ببینید آیا نقاط به آن تعلق دارند یا خیر. ، نه چندان آسان

من همچنین به چند جنبه فنی راه حل اشاره خواهم کرد. شاید در این کار استفاده از فرمول آینه سودمندتر باشد و در همان نقاط معادله بسازید:

اینها کسرهای کوچکتر هستند. اگر بخواهید می توانید راه حل را تا انتها دنبال کنید و نتیجه همان معادله باشد.

نکته دوم این است که به پاسخ نهایی نگاه کنید و بفهمید که آیا می توان آن را بیشتر ساده کرد؟ به عنوان مثال، اگر معادله ای به دست آمد، توصیه می شود که آن را دو برابر کاهش دهید: - معادله همان خط مستقیم را تعیین می کند. با این حال، این در حال حاضر موضوع گفتگو در مورد آن است موقعیت نسبی خطوط مستقیم.

پس از دریافت پاسخ در مثال 7، برای هر موردی، بررسی کردم که آیا همه ضرایب معادله بر 2، 3 یا 7 بخش پذیر هستند یا خیر. اگرچه، اغلب، چنین کاهش هایی حتی در حین حل نیز انجام می شود.

مثال 8

یک خط مستقیم بین نقاط را برابر کنید .

این مثالی برای یک راه حل مستقل است که به شما امکان می دهد تکنیک محاسبات را بهتر درک کرده و کار کنید.

مشابه پاراگراف قبل: اگر در فرمول یکی از مخرج ها (مختصات بردار جهت) ناپدید می شود، سپس آن را به صورت بازنویسی می کنیم. باز هم توجه کنید که او چقدر بی دست و پا و گیج کننده به نظر می رسد. من در ارائه مثال های عملی چندان منطقی نمی بینم، زیرا ما قبلاً چنین مشکلی را حل کرده ایم (نگاه کنید به شماره 5، 6).

بردار معمولی خط (بردار عادی)

چه چیزی طبیعی است؟ به عبارت ساده، یک نرمال یک عمود است. یعنی بردار عادی یک خط بر این خط عمود است. بدیهی است که هر خط مستقیمی بی نهایت از آنها (و همچنین بردارهای جهت) دارد و همه بردارهای عادی خط مستقیم هم خط خواهند بود (هم جهت یا نه - بدون تفاوت).

جداسازی با آنها حتی ساده تر از بردارهای جهت خواهد بود:

اگر یک خط با یک معادله کلی در یک سیستم مختصات مستطیل شکل داده شود، آن بردار بردار عادی این خط است.

اگر مختصات بردار جهت باید با دقت از معادله خارج شود، مختصات بردار معمولی به سادگی "حذف" می شود.

بردار معمولی همیشه متعامد بردار جهت خط مستقیم است. اجازه دهید با استفاده از متعامد بودن این بردارها را بررسی کنیم محصول نقطه ای:

من با همان معادلات برای بردار جهت مثال می زنم:

آیا می توان با دانستن یک نقطه و یک بردار معمولی معادله یک خط مستقیم را تشکیل داد؟ می توانید آن را در روده خود احساس کنید. اگر بردار نرمال شناخته شده باشد، جهت خط مستقیم به طور منحصر به فرد تعیین می شود - این یک "ساختار سفت و سخت" با زاویه 90 درجه است.

چگونه از یک نقطه و یک بردار معمولی معادله خط مستقیم بسازیم؟

اگر نقطه ای متعلق به یک خط مستقیم و بردار نرمال این خط مستقیم مشخص باشد، معادله این خط مستقیم با فرمول بیان می شود:

در اینجا همه چیز بدون کسری و شگفتی های دیگر انجام شد. این بردار معمولی ماست. عاشقش باش و احترام =)

مثال 9

یک خط مستقیم در امتداد یک نقطه و یک بردار معمولی را برابر کنید. بردار جهت خط راست را بیابید.

راه حل: از فرمول استفاده می کنیم:

معادله کلی خط مستقیم به دست می آید، بیایید بررسی کنیم:

1) "حذف" مختصات بردار نرمال از معادله: - بله، در واقع، بردار اصلی از شرط به دست آمده است (یا باید بردار خطی به دست آید).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله را برآورده می کند:

برابری واقعی

بعد از اینکه از درستی معادله مطمئن شدیم، قسمت دوم و آسان‌تر کار را انجام می‌دهیم. بردار جهت دهنده خط مستقیم را بیرون می آوریم:

پاسخ:

در نقاشی، وضعیت به این صورت است:

برای اهداف آموزشی، یک کار مشابه برای یک راه حل مستقل:

مثال 10

یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار معمولی را برابر کنید. بردار جهت خط راست را بیابید.

بخش پایانی درس به انواع کمتر رایج، اما مهم معادلات یک خط مستقیم در یک صفحه اختصاص خواهد یافت.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.
معادله یک خط مستقیم به شکل پارامتریک

معادله یک خط مستقیم در پاره ها به شکلی است که ثابت های غیر صفر هستند. برخی از انواع معادلات را نمی توان به این شکل نشان داد، به عنوان مثال، تناسب مستقیم (زیرا جمله آزاد برابر با صفر است و هیچ راهی برای به دست آوردن یک در سمت راست وجود ندارد).

این، به بیان مجازی، یک نوع معادله "فنی" است. یک کار معمولی این است که معادله کلی یک خط مستقیم را به شکل معادله یک خط مستقیم در قطعات نشان دهیم. چگونه راحت است؟ معادله یک خط مستقیم در بخش ها به شما امکان می دهد به سرعت نقاط تقاطع یک خط مستقیم را با محورهای مختصات پیدا کنید که در برخی از مسائل ریاضیات عالی بسیار مهم است.

نقطه تلاقی خط با محور را پیدا کنید. "بازی" را صفر می کنیم و معادله شکل می گیرد. امتیاز مورد نظر به صورت خودکار به دست می آید:.

به طور مشابه با محور - نقطه ای که در آن خط مستقیم محور ارتجاعی را قطع می کند.