ساده ترین خواص انتگرال ها ویژگی های اساسی یک انتگرال نامعین ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

حل انتگرال ها کار آسانی است، اما فقط برای تعداد معدودی. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را بفهمند، اما چیزی در مورد آنها نمی دانند یا تقریباً هیچ چیز نمی دانند. انتگرال ... چرا مورد نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ انتگرال معین و نامعین چیست؟

اگر تنها استفاده از یک انتگرال که می شناسید، قلاب بافی کردن چیزی مفید از مکان های صعب العبور با قلاب بافی به شکل نماد یکپارچه است، پس خوش آمدید! یاد بگیرید که چگونه انتگرال های ابتدایی و سایر انتگرال ها را حل کنید و چرا نمی توانید بدون آن در ریاضیات کار کنید.

کاوش در مفهوم « انتگرال »

ادغام از مصر باستان شناخته شده است. البته نه به شکل امروزی اش، اما همچنان. از آن زمان، ریاضیدانان کتاب های زیادی در این زمینه نوشته اند. به خصوص خود را متمایز کردند نیوتن و لایب نیتس اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است.

چگونه انتگرال ها را از ابتدا بفهمیم؟ به هیچ وجه! برای درک این مبحث، همچنان به دانش اولیه مبانی حساب دیفرانسیل و انتگرال نیاز دارید. ما قبلاً اطلاعات لازم برای درک انتگرال ها را در وبلاگ خود داریم.

انتگرال نامعین

فرض کنید ما نوعی تابع داریم f (x) .

انتگرال نامعین یک تابع f (x) چنین تابعی نامیده می شود F (x) که مشتق آن برابر تابع است f (x) .

به عبارت دیگر، انتگرال مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال، در مورد چگونگی در مقاله ما بخوانید.

ضد مشتق برای همه توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، علامت ثابت اغلب به ضد مشتق اضافه می شود، زیرا مشتقات توابعی که با یک ثابت متفاوت هستند منطبق هستند. فرآیند یافتن انتگرال را انتگرال می گویند.

مثال ساده:

برای اینکه به طور مداوم ضد مشتقات توابع ابتدایی را محاسبه نکنید، راحت است که آنها را به یک جدول بیاورید و از مقادیر آماده استفاده کنید.

جدول کامل انتگرال ها برای دانش آموزان

انتگرال معین

وقتی با مفهوم انتگرال سروکار داریم، با کمیت های بی نهایت کوچک سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت یک شکل، جرم یک جسم ناهمگن، مسیر طی شده با حرکت ناهموار و موارد دیگر کمک می کند. باید به خاطر داشت که انتگرال مجموع تعداد بی نهایت زیادی از جمله های بی نهایت کوچک است.

به عنوان مثال، بیایید نموداری از یک تابع را تصور کنیم.

چگونه مساحت یک شکل را که با نمودار یک تابع محدود شده است پیدا کنیم؟ با استفاده از انتگرال! ذوزنقه منحنی را که توسط محورهای مختصات و نمودار تابع محدود شده است، به بخش های بی نهایت کوچک تقسیم می کنیم. بنابراین، شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها مساحت ذوزنقه خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی خواهد داشت. با این حال، هرچه قطعات کوچکتر و باریکتر باشند، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این یک انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته شده است:

نقاط a و b را حدود ادغام می گویند.

« انتگرال »

راستی! برای خوانندگان ما، اکنون 10 درصد تخفیف در نظر گرفته شده است

قوانین محاسباتی یکپارچه برای آدمک ها

خواص انتگرال نامعین

چگونه انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا به ویژگی های انتگرال نامعین نگاه خواهیم کرد که در حل مثال ها به کار می آیند.

• مشتق انتگرال برابر است با انتگرال:

• ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:

• انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. در مورد تفاوت نیز صادق است:

خواص انتگرال معین

• خطی بودن:

• علامت انتگرال تغییر می کند اگر محدودیت های ادغام معکوس شوند:

• در هرنکته ها آ, بو با:

قبلاً فهمیدیم که انتگرال معین حد مجموع است. اما چگونه هنگام حل یک مثال یک مقدار مشخص بدست می آورید؟ برای این، فرمول نیوتن-لایبنیتس وجود دارد:

نمونه راه حل های انتگرالی

در زیر یک انتگرال نامعین و مثال هایی را با حل در نظر خواهیم گرفت. ما به شما پیشنهاد می کنیم که به طور مستقل پیچیدگی های راه حل را بفهمید و اگر چیزی روشن نیست، در نظرات سؤالات خود را بپرسید.

برای ادغام مطالب، ویدئویی را در مورد نحوه حل انتگرال ها در عمل تماشا کنید. اگر انتگرال فوراً داده نشد، ناامید نشوید. با خدمات دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید و می توانید هر انتگرال سه گانه یا منحنی را روی یک سطح بسته مدیریت کنید.

این مقاله خصوصیات اساسی یک انتگرال معین را شرح می دهد. آنها با استفاده از مفهوم انتگرال ریمان و داربوکس ثابت می شوند. محاسبه انتگرال معین به دلیل 5 خاصیت صورت می گیرد. بقیه آنها برای ارزیابی عبارات مختلف استفاده می شوند.

قبل از پرداختن به خصوصیات اساسی یک انتگرال معین، لازم است مطمئن شوید که a از b تجاوز نمی کند.

ویژگی های اساسی یک انتگرال معین

تعریف 1

تابع y = f (x) که در x = a تعریف شده است، مشابه برابری معتبر ∫ a a f (x) d x = 0 است.

اثبات 1

از این رو می بینیم که مقدار انتگرال با حدود منطبق برابر با صفر است. این نتیجه انتگرال ریمان است، زیرا هر مجموع انتگرال σ برای هر پارتیشن در بازه [a; a] و هر انتخابی از نقاط ζ i برابر با صفر است، زیرا x i - x i - 1 = 0، i = 1، 2،. ... ... ، n، از این رو، به دست می آوریم که حد توابع انتگرال صفر است.

تعریف 2

برای تابعی که در بخش [a; b]، شرط ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x برآورده می شود.

اثبات 2

به عبارت دیگر، اگر حد بالایی و پایینی انتگرال در جاهایی تغییر کند، مقدار انتگرال به عکس تغییر می کند. این ویژگی از انتگرال ریمان گرفته شده است. با این حال، شماره گذاری تقسیم بخش از نقطه x = b می آید.

تعریف 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x برای توابع قابل انتگرال گیری از نوع y = f (x) و y = g (x) تعریف شده در بازه [a; ب].

اثبات 3

مجموع انتگرال تابع y = f (x) ± g (x) را برای تقسیم به قطعات با انتخاب داده شده از نقاط ζ i بنویسید: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

که در آن σ f و σ g مجموع انتگرال توابع y = f (x) و y = g (x) برای تقسیم قطعه هستند. پس از عبور از حد در λ = m a x i = 1, 2,. ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 بدست می آوریم که lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

از تعریف ریمان، این عبارت معادل است.

تعریف 4

انجام یک عامل ثابت فراتر از علامت یک انتگرال معین. یک تابع قابل ادغام از بازه [a; b] با مقدار دلخواه k دارای نابرابری معتبر به شکل ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x.

اثبات 4

اثبات خاصیت انتگرال معین مشابه مورد قبلی است:

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

تعریف 5

اگر تابعی از شکل y = f (x) در بازه x با ∈ x، b ∈ x قابل انتگرال باشد، به دست می آوریم که ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d ایکس.

اثبات 5

این ویژگی برای c ∈ a صادق در نظر گرفته می شود. b، برای c ≤ a و c ≥ b. اثبات مشابه خواص قبلی است.

تعریف 6

وقتی تابع قابلیت ادغام شدن از بخش [a; b]، سپس برای هر بخش داخلی c قابل انجام است. d ∈ a; ب

اثبات 6

اثبات بر اساس خاصیت Darboux است: اگر به پارتیشن موجود سگمنت امتیاز اضافه کنیم، مجموع Darboux پایین کاهش نمی‌یابد و مقدار بالایی افزایش نمی‌یابد.

تعریف 7

وقتی تابع روی [a; b] از f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 برای هر مقدار x ∈ a. b، سپس به دست می آوریم که ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

این ویژگی را می توان با استفاده از تعریف انتگرال ریمان اثبات کرد: هر جمع انتگرالی برای هر انتخابی از نقاط تقسیم قطعه و نقاط ζ i با این شرط که f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0، غیر منفی.

اثبات 7

اگر توابع y = f (x) و y = g (x) در قطعه [a; b]، سپس نابرابری های زیر درست در نظر گرفته می شوند:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x، اگر و f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x، اگر و f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a; ب

به لطف بیانیه، ما می دانیم که ادغام قابل قبول است. این نتیجه برای اثبات سایر خواص استفاده خواهد شد.

تعریف 8

با یک تابع قابل انتگرال y = f (x) از بخش [a; b] یک نابرابری معتبر از شکل ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x داریم.

اثبات 8

داریم که - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x). از ویژگی قبلی، به دست آوردیم که نابرابری را می توان ترم به ترم ادغام کرد و با نابرابری به شکل - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x مطابقت دارد. این نابرابری مضاعف را می توان به شکل دیگری نوشت: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

تعریف 9

وقتی توابع y = f (x) و y = g (x) از بخش [a; b] برای g (x) ≥ 0 برای هر x ∈ a. b، نابرابری به شکل m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x به دست می‌آوریم، جایی که m = m i n x ∈ a. b f (x) و M = m a x x ∈ a; b f (x).

اثبات 9

اثبات به روشی مشابه انجام می شود. M و m بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع y = f (x) در نظر گرفته می شوند که از قطعه [a; b]، سپس m ≤ f (x) ≤ M. لازم است نابرابری مضاعف را در تابع y = g (x) ضرب کنیم، که مقدار نامساوی مضاعف شکل m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) به دست می آید. لازم است آن را در بخش [a; b]، سپس ادعایی را به دست می آوریم که باید اثبات شود.

نتیجه: برای g (x) = 1، نابرابری به شکل m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) می باشد.

اولین فرمول مقدار میانگین

تعریف 10

برای y = f (x)، قابل ادغام در بخش [a; b] با m = m i n x ∈ a; b f (x) و M = m a x x ∈ a; b f (x) یک عدد μ ∈ m وجود دارد. M، که با ∫ a b f (x) d x = μ b - a مطابقت دارد.

نتیجه: وقتی تابع y = f (x) از قطعه [a; b]، سپس یک عدد c ∈ a وجود دارد. b، که برابری ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a را برآورده می کند.

فرمول مقدار میانگین اول به صورت تعمیم یافته

تعریف 11

وقتی توابع y = f (x) و y = g (x) از بخش [a; b] با m = m i n x ∈ a; b f (x) و M = m a x x ∈ a; b f (x)، و g (x)> 0 برای هر مقدار x ∈ a. ب از این رو داریم که یک عدد μ ∈ m وجود دارد. M، که برابری ∫ a b f (x) g (x) d x = μ ∫ a b g (x) d x را برآورده می کند.

دومین فرمول مقدار میانگین

تعریف 12

وقتی تابع y = f (x) از بخش [a; b]، و y = g (x) یکنواخت است، سپس عددی وجود دارد که c ∈ a; ب، جایی که یک برابری معتبر از شکل ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

از این ویژگی ها برای انجام تبدیل انتگرال با هدف کاهش آن به یکی از انتگرال های ابتدایی و محاسبه بیشتر استفاده می شود.

1. مشتق انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

2. دیفرانسیل انتگرال نامعین برابر است با انتگرال:

3. انتگرال نامعین دیفرانسیل یک تابع برابر است با مجموع این تابع و یک ثابت دلخواه:

4. عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

علاوه بر این، یک ≠ 0

5. انتگرال مجموع (تفاوت) برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرالها:

6. اموال ترکیبی از خواص 4 و 5 است:

علاوه بر این، a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. خاصیت تغییرناپذیری انتگرال نامعین:

اگر پس از آن

8. اموال:

اگر پس از آن

در واقع این خاصیت یک مورد خاص از ادغام با استفاده از روش تغییر متغیر است که در قسمت بعدی به طور مفصل به آن پرداخته می شود.

بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:

ابتدا خاصیت 5 و سپس خاصیت 4 را اعمال کردیم و سپس از جدول ضد مشتقات استفاده کردیم و به نتیجه رسیدیم.

الگوریتم ماشین حساب انتگرال آنلاین ما از تمام ویژگی های ذکر شده در بالا پشتیبانی می کند و به راحتی می تواند یک راه حل دقیق برای انتگرال شما پیدا کند.

در این مقاله ویژگی های اصلی انتگرال معین را فهرست می کنیم. اکثر این خصوصیات بر اساس مفاهیم انتگرال معین ریمان و داربوکس اثبات می شوند.

تعریف انتگرال معین اغلب با استفاده از پنج ویژگی اول انجام می شود، بنابراین در صورت لزوم به آنها اشاره خواهیم کرد. بقیه خصوصیات یک انتگرال معین عمدتاً برای ارزیابی عبارات مختلف استفاده می شود.

قبل از حرکت به خصوصیات اساسی انتگرال معین، اجازه دهید توافق کنیم که a از b تجاوز نمی کند.

برای تابع y = f (x)، که در x = a تعریف شده است، برابری درست است.

یعنی مقدار یک انتگرال معین با حدود ادغام همزمان صفر است. این ویژگی نتیجه تعریف انتگرال ریمان است، زیرا در این مورد هر مجموع انتگرال برای هر تقسیم بازه و هر انتخاب نقطه برابر با صفر است، زیرا، بنابراین، حد مجموع انتگرال صفر است.

برای یک تابع قابل ادغام در یک بخش، .

به عبارت دیگر، هنگام تغییر حدود بالا و پایین ادغام در مکان ها، مقدار انتگرال معین به عکس تغییر می کند. این ویژگی یک انتگرال معین نیز از مفهوم انتگرال ریمان ناشی می شود، فقط شماره گذاری پارتیشن یک بخش باید از نقطه x = b شروع شود.

برای توابع y = f (x) و y = g (x) قابل ادغام در یک بازه.

اثبات

مجموع انتگرال تابع را می نویسیم برای یک تقسیم معین از یک بخش و انتخاب معینی از نقاط:

که و به ترتیب مجموع انتگرال توابع y = f (x) و y = g (x) برای پارتیشن داده شده از بخش هستند.

عبور از حد در ما دریافتیم که با تعریف انتگرال ریمان، معادل ادعای خاصیت اثبات شده است.

عامل ثابت را می توان خارج از علامت یک انتگرال معین گرفت. یعنی برای یک تابع y = f (x) قابل انتگرال در یک بازه و یک عدد دلخواه k، برابری .

اثبات این ویژگی یک انتگرال معین کاملاً مشابه مورد قبلی است:


اجازه دهید تابع y = f (x) در بازه X قابل انتگرال باشد و و سپس .

این ویژگی برای هر دو، و برای یا صادق است.

اثبات را می توان با استفاده از ویژگی های قبلی انتگرال معین انجام داد.

اگر یک تابع در یک بخش قابل ادغام باشد، در هر بخش داخلی نیز قابل ادغام است.

اثبات بر اساس ویژگی مجموع Darboux است: اگر نقاط جدیدی را به پارتیشن موجود سگمنت اضافه کنید، مجموع Darboux پایین کاهش نمی‌یابد و مقدار بالایی افزایش نمی‌یابد.

اگر تابع y = f (x) در یک بازه و برای هر مقدار آرگومان قابل انتگرال باشد، آنگاه .

این ویژگی از طریق تعریف انتگرال ریمان ثابت می‌شود: هر مجموع انتگرالی برای هر انتخابی از نقاط پارتیشن یک بخش و نقاط در غیر منفی (نه مثبت) خواهد بود.

نتیجه.

برای توابع y = f (x) و y = g (x) قابل انتگرال در یک بازه، نابرابری های زیر برقرار است:


این بیانیه به این معنی است که ادغام نابرابری ها قابل قبول است. ما از این نتیجه برای اثبات ویژگی های زیر استفاده خواهیم کرد.

اجازه دهید تابع y = f (x) در یک بازه انتگرال پذیر باشد، سپس نابرابری .

اثبات

بدیهی است که ... در ویژگی قبلی متوجه شدیم که نابرابری را می توان ترم به ترم ادغام کرد، بنابراین درست است. ... این نابرابری مضاعف را می توان به صورت .

اجازه دهید توابع y = f (x) و y = g (x) در یک بازه و برای هر مقدار آرگومان قابل انتگرال باشند، سپس ، جایی که و .

اثبات مشابه است. از آنجایی که m و M کوچکترین و بزرگترین مقادیر تابع y = f (x) در قطعه هستند، پس ... ضرب نابرابری مضاعف در تابع غیرمنفی y = g (x) ما را به نابرابری مضاعف زیر می رساند. با ادغام آن در یک بخش، به ادعای در حال اثبات می رسیم.

نتیجه.

اگر g (x) = 1 را بگیریم، آنگاه نابرابری شکل می گیرد .

فرمول مقدار متوسط ​​اول

اجازه دهید تابع y = f (x) در یک بازه انتگرال پذیر باشد، و سپس یک عدد وجود دارد که .

نتیجه.

اگر تابع y = f (x) در یک بازه پیوسته باشد، عددی وجود دارد که .

اولین فرمول میانگین به صورت تعمیم یافته.

اجازه دهید توابع y = f (x) و y = g (x) در یک بازه انتگرال پذیر باشند، و، و g (x)> 0 برای هر مقدار آرگومان. سپس یک عدد وجود دارد که .

فرمول دوم برای میانگین.

اگر تابع y = f (x) در یک بازه انتگرال پذیر باشد و y = g (x) یکنواخت باشد، آنگاه عددی وجود دارد که برابری .